Teoria dos Grafos - Uma introdução
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DefinicoesClassificacao
Conceitos relacionadosInter-relacoes e quantificacao de grafos
Inter-relacoes e caractersticas de vertices e arestasClassificacao de grafos quanto a suas caractersticas
Representacoes matriciais de grafosReferencias
Uma introducao a teoria dos grafos
Teoria dos GrafosUma Introducao
Claudia Cavalcante FonsecaOrientacao: Elisa Canete
Universidade Federal de Alagoas
20 de setembro de 2014
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DefinicoesClassificacao
Conceitos relacionadosInter-relacoes e quantificacao de grafos
Inter-relacoes e caractersticas de vertices e arestasClassificacao de grafos quanto a suas caractersticas
Representacoes matriciais de grafosReferencias
Topicos
1 DefinicoesPrimeiras DefinicoesExemplos
2 ClassificacaoQuanto a orientacaoQuanto ao valor
3 Conceitos relacionadosRedundanciasCaminhos
MedidasCiclos
4 Inter-relacoes e quantificacao de grafosSubgrafos
Quantificacao
5 Inter-relacoes e caractersticas de vertices e arestasRelacoes entre Arestas e verticesInter-relacoes e caractersticas de vertices
6 Classificacao de grafos quanto a suas caractersticasQuanto a qualidade dos caminhosQuanto a presenca de ciclosQuanto a disposicao das arestas
7 Representacoes matriciais de grafosMatriz de incidenciaMatriz de AdjacenciaO teorema das 4 cores
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DefinicoesClassificacao
Conceitos relacionadosInter-relacoes e quantificacao de grafos
Inter-relacoes e caractersticas de vertices e arestasClassificacao de grafos quanto a suas caractersticas
Representacoes matriciais de grafosReferencias
Primeiras DefinicoesExemplos
Primeiras Definicoes
Teoria dos Grafos
Estuda as relacoes entre objetos de um conjunto
Grafo
Um Grafo e uma dupla G(V ,A) de conjuntos tais que:
1 V = {V1,V2,V3, ...,Vm}, cujos elementos,chamados vertices, sao os objetos a seremestudados
2 A = {a1 = (Vi1,Vj1), a2 = (Vi2,Vj2), ...,an = (Vin,Vjn)} e o conjunto de pares de verticescujos elementos sao chamados arestas erepresentam as relacoes entre os vertices.
V1 V2
V3
V4V5
V6
V = {V1,V2,V3,V4,V5,V6}A = {(V1,V6), (V1,V2), (V1,V3), (V2,V3), (V2,V6),(V3,V4), (V3,V5)}
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Inter-relacoes e caractersticas de vertices e arestasClassificacao de grafos quanto a suas caractersticas
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Primeiras DefinicoesExemplos
Exemplos
Figura: Exemplos de Grafos
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Conceitos relacionadosInter-relacoes e quantificacao de grafos
Inter-relacoes e caractersticas de vertices e arestasClassificacao de grafos quanto a suas caractersticas
Representacoes matriciais de grafosReferencias
Quanto a orientacaoQuanto ao valor
Grafo Nao Orientado
Nao Direcionado, Nao Orientado (ou simplesmenteGrafo)
Suas arestas sao duplas de vertices nao orientadas(Vi ,Vj ) = (Vj ,Vi )
Example
Rotas entre aeroportos, amizades no facebook.
A
B
C
D
E
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Conceitos relacionadosInter-relacoes e quantificacao de grafos
Inter-relacoes e caractersticas de vertices e arestasClassificacao de grafos quanto a suas caractersticas
Representacoes matriciais de grafosReferencias
Quanto a orientacaoQuanto ao valor
Grafo Orientado
Direcionado, Orientado, Quiver ou Dgrafo
Suas arestas sao pares ordenados.Graficamente, possuem uma direcao associada.(Vi ,Vj ) 6= (Vj ,Vi )
Example
Links em websites, Seguidores no Twitter.
A
B
C
D
E
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Quanto a orientacaoQuanto ao valor
Grafo Ponderado
Grafo Ponderado ou Valorado
Um grafo munido de uma funcao (chamada custo)f : A R ou f : V R que a cada aresta ou verticerelaciona um numero real.
Example
Rotas entre cidades, passagens de aviao (Google Maps,O problema do caixeiro viajante).
A
B
C
D
E
2
2
3
5
2
3
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RedundanciasCaminhos
Conceitos relacionados
Loop/Laco
Uma aresta (Vi ,Vj ) tal que Vi = Vj .Ex.: Um curto-circuito num circuito eletrico
A B
C
Arestas Paralelas
Duas arestas (U1,U2) e (V1,V2) tais que U1 = V1 eU2 = V2 ou U1 = V2 e U2 = V1.Ex.: A Via Expressa e a Av. Fernandes Lima.
AB
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RedundanciasCaminhos
Caminhos
Caminho/Passeio
Uma sequencia de vertices e arestas intercalados da seguinteforma:V1, a1 = (V1,V2),V2, a2 = (V2,V3), ...,Vn1, an1 =(Vn1,Vn),Vn
Caminho Elementar/Caminho
Um caminho cujo conjunto de vertices nao possui elementosrepetidos.
Caminho Simples/Trajeto
Um caminho cujo conjunto de arestas nao possui elementosrepetidos.
A B
C
D E
F
G
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RedundanciasCaminhos
Medidas em caminhos
Comprimento de um caminho
Quantidade de arestas de um caminho
Custo de um caminho
Em um grafo ponderado, o custo do caminho e a soma doscustos das arestas
A B
C
D E2
25
2
3
F
1
3
G
3
2
2
6
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RedundanciasCaminhos
Caminhos: Ciclos
Ciclo
Um caminho cujo primeiro vertice coincide com o ultimo.
Example
Ciclos de comprimento igual a 1 sao lacos.
Example
Ciclos simples ou Circuitos sao ciclos de caminhos simplescom comprimento maior ou igual a 3.
A B
CD E2
2 5
2
3
F
1
3
G
3
2
2
6
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SubgrafosQuantificacao
Subgrafos
Subgrafo de um grafo G(VG ,AG )
E um grafo H(VH ,AH) tal que VH VG e AH AG
Subgrafo induzido de um grafo G(VG ,AG )
E um grafo H(VH ,AH), subgrafo de G(VG ,AG ), tal queA,B VH , (A,B) AH (A,B) AG
A B
C
DE
F
G H
I
J
a b
c
d
e
f
g
h
i
j
k
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SubgrafosQuantificacao
Dimensao e Ordem
Dimensao de um grafo G
Quantidade de arestas pertencentes a G
Ordem de um grafo G
Quantidade de vertices pertencentes a G
A B
E
H
J
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Inter-relacoes e caractersticas de vertices e arestasClassificacao de grafos quanto a suas caractersticas
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Relacoes entre Arestas e verticesInter-relacoes e caractersticas de vertices
Relacoes entre arestas e vertices
Extremidades de uma aresta
Cada um dos dois vertices que pertencem a aresta.
Arestas incidentes a um vertice A VGArestas tais que A e uma de suas extremidades.
A
BC
D
EF
H
J
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Inter-relacoes e caractersticas de vertices e arestasClassificacao de grafos quanto a suas caractersticas
Representacoes matriciais de grafosReferencias
Relacoes entre Arestas e verticesInter-relacoes e caractersticas de vertices
Inter-relacoes e caractersticas de vertices
Grau ou valencia de um vertice
Quantidades de arestas incidentes a ele.
A soma dos graus dos vertices de um grafo G(VG ,AG ) com VG = {V1,V2, ...,Vn} e
dada por:n
i=1grau(Vi ) = 2dim(G).
Example
Vertices de grau 0 e 1 sao chamados, respectivamente, isolados e folha.
Example
Lema do aperto de maos
A
B
C
D
E
F
H
J
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Inter-relacoes e caractersticas de vertices e arestasClassificacao de grafos quanto a suas caractersticas
Representacoes matriciais de grafosReferencias
Relacoes entre Arestas e verticesInter-relacoes e caractersticas de vertices
Inter-relacoes e caractersticas de vertices
Vertices adjacentes
Vertices U e V tais que existe uma aresta (U,V ) ou (V ,U)
Example
O subgrafo induzido que contem todos os vertices adjacentes ao vertice V echamado Adjacencia ou Vizinhanca de V .
A
B
C
D
E
F
H
J
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Inter-relacoes e caractersticas de vertices e arestasClassificacao de grafos quanto a suas caractersticas
Representacoes matriciais de grafosReferencias
Quanto a qualidade dos caminhosQuanto a presenca de ciclosQuanto a disposicao das arestas
Tipos de Grafos
Grafo Simples
Grafo nao direcionado, sem lacos e sem arestas paralelas.
A B
C
D
E
F
H
J
Grafo Completo
Grafo simples em que ha todas as arestas possveisA B
E
H
J
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Conceitos relacionadosInter-relacoes e quantificacao de grafos
Inter-relacoes e caractersticas de vertices e arestasClassificacao de grafos quanto a suas caractersticas
Representacoes matriciais de grafosReferencias
Quanto a qualidade dos caminhosQuanto a presenca de ciclosQuanto a disposicao das arestas
Tipos de Grafos
Grafo Cclico
Def 1.: Grafo formado por, apenas, um cicloDef 2.: Grafo que possui, pelo menos, um ciclo.
A B
E
H
J
Grafo Acclico
Nao possui ciclosA B
D
E
H
J
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Conceitos relacionadosInter-relacoes e quantificacao de grafos
Inter-relacoes e caractersticas de vertices e arestasClassificacao de grafos quanto a suas caractersticas
Representacoes matriciais de grafosReferencias
Quanto a qualidade dos caminhosQuanto a presenca de ciclosQuanto a disposicao das arestas
Tipos de Grafos
Arvore
Grafo simples, acclico e conexo
A B
C
D
E
F
G
H
J
Grafo Plano
Grafo cujas arestas nao se cruzam
Example
Problema das 4 cores
A B
C
D
EE
F
H
J
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Conceitos relacionadosInter-relacoes e quantificacao de grafos
Inter-relacoes e caractersticas de vertices e arestasClassificacao de grafos quanto a suas caractersticas
Representacoes matriciais de grafosReferencias
Matriz de incidenciaMatriz de AdjacenciaO teorema das 4 cores
Matriz de incidencia
Considere um grafo G(VG ,AG ) com n vertices e m arestas.
Matriz de incidencia
Matriz n m tal que cada elemento aij indica se a j-esima aresta incide sobre o i-esimo vertice.
Example
A
B
D
C
b
c
d
a
e
f
a b c d e fA 1 1 1 0 0 0B 0 0 1 0 0 0C 0 0 0 1 1 1D 0 1 0 1 1 0
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Matriz de incidenciaMatriz de AdjacenciaO teorema das 4 cores
Matriz de Adjacencia
Considere um grafo G(VG ,AG ) com n vertices V = v1, v2, ..., vn e m arestas.
Matriz de Adjacencia
Matriz n n tal que aij = 1 se a aresta (vi , vj ) e aij = 0 caso isto nao ocorra.Obs.: No caso de grafos ponderados e sem arestas paralelas, aij pode indicar o peso da aresta existente.
Example
A
B
D
CA B C D
A 1 1 0 1B 1 0 1 0C 0 1 0 1D 1 0 1 0
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Matriz de incidenciaMatriz de AdjacenciaO teorema das 4 cores
Quantas cores, no mnimo, se usa para pintar qualquer mapa continental no mundo?
Qual o numero cromatico destegrafo?
E B
D
F
A
C
Relacao entre o numero cromatico e os autovalores da matriz deadjacencia:
1 maxmin
x 1 + max
Sua matriz de adjacencia:
0 1 0 0 1 11 0 1 0 0 10 1 0 1 0 10 0 1 0 1 11 0 0 1 0 11 1 1 1 1 0
Polinomio Caracterstico: 6 104 103 + 102 + 8 5Autovalores:1.6180,1.6180,1.4495, 0.6180, 0.6180, 3.4495max = 3.4495;min = 1.61803.1319 x 4.4495 x = 4
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Conceitos relacionadosInter-relacoes e quantificacao de grafos
Inter-relacoes e caractersticas de vertices e arestasClassificacao de grafos quanto a suas caractersticas
Representacoes matriciais de grafosReferencias
Referencias
Aderito, A. (n.d.), As pontes de konigsberg - universidade de coimbra. URLhttp://www.mat.uc.pt/~alma/escolas/, [Online; accessed 13-setembro-2014].
Malta, G. H. S. (n.d.), Grafos no ensino medio: uma insercao possvel. URLhttp://www.lume.ufrgs.br/handle/10183/14829, [Online; accessed 13-setembro-2014].
Wikipedia (2014a), Four color theorem wikipedia, the free encyclopedia. URLhttp://en.wikipedia.org/w/index.php?title=Four_color_theorem&oldid=625252562, [Online; accessed13-September-2014].
Wikipedia (2014b), Problema do caixeiro-viajante wikipedia, a enciclopedia livre. URLhttp://pt.wikipedia.org/w/index.php?title=Problema_do_caixeiro-viajante&oldid=39653933,[Online; accessed 13-setembro-2014].
Wikipedia (2014c), Teoria dos grafos wikipedia, a enciclopedia livre. URLhttp://pt.wikipedia.org/w/index.php?title=Teoria_dos_grafos&oldid=40001418, [Online; accessed13-setembro-2014].
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http://www.mat.uc.pt/~alma/escolas/http://www.lume.ufrgs.br/handle/10183/14829http://en.wikipedia.org/w/index.php?title=Four_color_theorem&oldid=625252562http://pt.wikipedia.org/w/index.php?title=Problema_do_caixeiro-viajante&oldid=39653933http://pt.wikipedia.org/w/index.php?title=Teoria_dos_grafos&oldid=40001418
DefiniesPrimeiras DefiniesExemplos
ClassificaoQuanto orientaoQuanto ao valor
Conceitos relacionadosRedundnciasCaminhos
Inter-relaes e quantificao de grafosSubgrafosQuantificao
Inter-relaes e caractersticas de vrtices e arestasRelaes entre Arestas e vrticesInter-relaes e caractersticas de vrtices
Classificao de grafos quanto a suas caractersticasQuanto qualidade dos caminhosQuanto presena de ciclosQuanto disposio das arestas
Representaes matriciais de grafosMatriz de incidnciaMatriz de AdjacnciaO teorema das 4 cores