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Teoria della Progettazione delle Basi di Dati Relazionali Complementi di Basi di Dati 1

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Teoria della Progettazionedelle Basi di Dati Relazionali

Angelo Montanari

Dipartimento di Matematica e InformaticaUniversita di Udine


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Introduzione

Proprieta richieste (forme normali)

Algoritmi (normalizzazione)

Concetto base: dipendenza dei dati (vincolo sull’insieme dellepossibili istanze di un dato schema di relazione)

Dato uno schema di relazione R, se un attributo A (risp., uninsieme di attributi X) determina un attributo B (risp., un insiemedi attributi Y ) diremo che vi e una dipendenza funzionale di B

da A (risp., di Y da X) o che A (risp., X) determinafunzionalmente B (risp., Y )

Si noti che la proiezione di R su A,B (risp., X,Y ) definisce unafunzione f : A → B (risp., X → Y ).


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Ridondanze e anomalie

Un esempio.

INFO FORN(NOME FORN, IND FORN, NOME PROD, PREZZO)

vs.

FORNITORI(NOME FORN, IND FORN)

FORNISCE(NOME FORN, NOME PROD, PREZZO)

Problemi con la prima soluzione (la relazione universale):

• RIDONDANZA

• ANOMALIE DI AGGIORNAMENTO, INSERIMENTO eCANCELLAZIONE

Osservazione: legame tra dipendenze e ridondanza


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Le dipendenze funzionali - 1

Definizione. Una dipendenza funzionale tra un insieme diattributi X e un insieme di attributi Y di uno schema di relazioneR(T ), con X,Y ⊆ T , denotata X → Y , e un vincolo di integritasulle istanze della relazione

Definizione. Un’istanza r ∈ R(T ) soddisfa X → Y

(equivalentemente, X → Y vale in r) se per ogni coppia di tuplet1, t2 ∈ r, se t1[X] = t2[X], allora t1[Y ] = t2[Y ]

Osservazione: in ogni istanza valida r di R(T ), ΠXY (r) e unafunzione con dominio X e codominio Y

Definizione. Dato un insieme F di dipendenze funzionali su R(T ),si dice che r e un’istanza valida di R(T ), rispetto a F , sesoddisfa tutte le dipendenze funzionali X → Y ∈ F


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Le dipendenze funzionali - 2

Significato delle dipendenze funzionali e loro legame con la nozionedi chiave

Caso 1. R rappresenti un tipo di entita

Caso 2. R rappresenti una relazione molti a uno

Validita universale delle dipendenze funzionali (per ogni istanzavalida)

Istanze che soddisfano le dipendenze funzionali (istanze valide) eistanze che violano le dipendenze funzionali


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Dipendenze derivate (semantica)

Ragionamento sulle dipendenze funzionali (un esempio,transitivita)

Implicazione logica tra dipendenze funzionali (nozione semantica)

Definizione. Dati una relazione R(T ) e un insieme di dipendenzefunzionali F (abbreviato R〈T, F 〉), diciamo che F implicalogicamente X → Y (F |= X → Y ) se ogni istanza valida r delloschema R〈T, F 〉 soddisfa X → Y

Definizione. La chiusura di un insieme di dipendenzefunzionali F (denotata F+) e l’insieme delle dipendenze funzionalilogicamente implicate da F :

F+ = {X → Y | F |= X → Y }


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Dipendenze funzionali e chiavi

La nozione di chiave puo essere riespressa in termini di dipendenzefunzionali

X ⊆ T e chiave di R〈T, F 〉 se e solo se

1. X → A1A2 . . . An, con T = {A1, A2, . . . , An}, e in F+ (ladipendenza di tutti gli attributi da X appartiene a F o elogicamente implicata da F )

2. per nessun sottoinsieme proprio Y ⊂ X, Y → A1A2 . . . An

appartiene a F+


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Un calcolo delle dipendenze funzionali

Gli assiomi di Armstrong

• Riflessivita (dipendenze banali) Se Y ⊆ X ⊆ T , allora X → Y

(in particolare, X → X)

Osservazione: tali dipendenze valgono per ogni relazione(dipendono da T , non da F )

• Aumento Se X → Y e Z ⊆ T , allora XZ → Y Z (dove XZ

abbrevia X ∪ Z)

• Transitivita Se X → Y e Y → Z, allora X → Z

Teorema. Gli assiomi di Armstrong sono corretti (se f e derivabileda F mediante gli assiomi di Armstrong, allora f e implicatologicamente da F , abbreviato F ` f implica F |= f)


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Dipendenze derivate (sintassi)

Definizione. Una derivazione di una dipendenza funzionale f daF (denotato F ` f) e una sequenza finita f1, . . . , fm di dipendenzefunzionali, dove fm = f e ogni dipendenza fi appartiene a F o eottenuta da dipendenze in {f1, . . . , fi−1} usando una regola diinferenza valida (assiomi di Armstrong o regole di inferenza da essiottenute)

Si noti che ogni sottosequenza iniziale f1, . . . , fk di f1, . . . , fm, conk ≤ m, e a sua volta una derivazione, ossia F ` fk per ognik = 1, . . . ,m

Esempio. Dati R(A,B, C, D) e F = {A → C, B → D}, dimostrareche AB e una superchiave per R, ossia che F |= AB → ABCD

(sfruttiamo la correttezza degli assiomi di Armstrong)


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Regole derivate

Alcune regole derivate di particolare interesse:

• Unione

Se X → A1, . . . , X → An, allora X → A1 . . . An

(si consideri, ad esempio, il caso n = 2)

• Pseudo-Transitivita

Se X → Y e Y W → Z, allora XW → Z

• Decomposizione

Se X → Y e Z ⊆ Y , allora X → Z


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Chiusura di un insieme di attributi

Definizione. Dato uno schema R〈T, F 〉 e un insieme di attributiX ⊆ T , la chiusura di X rispetto a F (denotata X+

F o, se non visono ambiguita, semplicemente X+) e l’insieme di attributi{A ∈ T | F ` X → A}Legame tra derivazione di dipendenze funzionali e chiusura diinsiemi di attributi

Teorema (fondamentale). F ` X → Y se e solo se Y ⊆ X+

Teorema. Gli assiomi di Armstrong sono completi (F |= f implicaF ` f)


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Determinazione delle chiusure - 1

Calcolare F+ e troppo costoso (gia le dipendenze banali...)

Un primo algoritmo (chiusura lenta) per il calcolo della chiusura diun insieme di attributi X rispetto ad F (X+)

algoritmo CHIUSURA LENTAinput R〈T, F 〉, X ⊆ T

output X+

beginX+ := X;while X+ e cambiato do

for each W → V ∈ F with W ⊆ X+ and V 6⊆ X+ doX+ := X+ ∪ V

end


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Esempio. Sia dato uno schema R〈T, F 〉, con T = {A,B,C, D,E,

G,H, I} e F = {ADG → GI,ACH → ADG,BC → AD, CE →ACH}. Inoltre, sia X+

j il valore della variabile X+ alla fine dellaj-esima iterazione del ciclo while

La chiusura di BCE viene calcolata nel seguente modo:

X+0 (= X) = BCE

X+1 = BCE ∪AD ∪ACH = ABCDEH

X+2 = ABCDEH ∪ADG = ABCDEGH

X+3 = ABCDEGH ∪GI = ABCDEGHI(= T )

L’algoritmo termina con BCE+ = T (BCE e superchiave)

Teorema. L’algoritmo chiusura lenta termina sempre ed e correttoe completo


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Un secondo algoritmo (chiusura veloce) per il calcolo della chiusuradi un insieme di attributi X rispetto ad F (X+)

algoritmo CHIUSURA VELOCE

input R〈T, F 〉, X ⊆ T

output X+

begin

# inizializzazione delle liste num(f) e L(A)

for each f = W → V ∈ F do

num(f) := |W |;for each A ∈ W do

aggiungi f a L(A);

# inizializzazione delle variabili

X+ := X;

NATT := X;


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while NATT 6= ∅ do # ciclo principale

scegli A da NATT ;

NATT := NATT \ {A};for each f = W → V ∈ L(A) do

num(f) := num(f)− 1;

if num(f) = 0 then

∆ := V \X+;

NATT := NATT ∪∆;

X+ := X+ ∪∆

end

Osservazione. Mentre ∆ in X+ := X+ ∪∆ puo essere sostituito da V , e

fondamentale non inserire in NATT attributi gia presi in esame

Teorema. L’algoritmo chiusura veloce termina sempre ed e correttoe completo


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Esempio. Sia dato uno schema R〈T, F 〉, con T = {A,B,C, D,E} eF = {f1 = DB → E, f2 = B → C, f3 = A → B}Inizializzazione:

num(f1) = 2, num(f2) = 1, num(f3) = 1

(nella tabella sottostante i valori correnti di num(f1), num(f2) e num(f3) sono

riportati nella quarta, quinta e sesta colonna, rispettivamente)

L(A) = {f3}, L(B) = {f1, f2}, L(C) = ∅, L(D) = {f1}, L(E) = ∅

X+ NAT T A L(A) f1 f2 f3 f ∆ X+ NAT T

AD AD A f3 2 1 0 f3 B ADB BD

ADB BD B f1, f2 1 0 0 f2 C ADBC CD

ADBC CD C ∅ 1 0 0 ∅ ∅ ADBC D

ADBC D D f1 0 0 0 f1 E ADBCE E

ADBCE E E ∅ 0 0 0 ∅ ∅ ADBCE ∅


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Insiemi di dipendenze equivalenti

Definizione. Due insiemi di dipendenze F e G sugli attributi T diuna relazione R sono equivalenti (F ≡ G) se e solo se F+ = G+.Diciamo che F e una copertura di G, e viceversa G e una coperturadi F , se F ≡ G

Dalla definizione segue immediatamente che F ≡ G se e solo seF+ ⊆ G+ e G+ ⊆ F+

E possibile dimostrare che F+ ⊆ G+ se e solo se F ⊆ G+ e,analogamente, che G+ ⊆ F+ se e solo se G ⊆ F+


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Coperture minimali (o canoniche) - 1

Insiemi di dipendenze minimali (coperture minimali/canoniche)

Definizione. Sia F un insieme di dipendenze funzionali.

1. Data X → Y ∈ F , X contiene un attributo estraneo (oridondante) A se e solo se (F \ {X → Y }) ∪ {X \A → Y } ≡ F ,ossia se e solo se X \A → Y ∈ F+

2. X → Y ∈ F e una dipendenza ridondante se e solo seF \ {X → Y } ≡ F , ossia se e solo se X → Y ∈ (F \ {X → Y })+


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Coperture minimali (o canoniche) - 2

3. F e una copertura canonica se e solo se:

a. ogni parte destra di una dipendenza ha un unico attributo

b. le dipendenze non contengono attributi estranei

c. non vi sono dipendenze ridondanti

Nota bene: l’ordine delle operazioni a, b e c e fondamentale

Teorema. Per ogni insieme di dipendenze F , esiste una coperturacanonica (non necessariamente unica)


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Calcolo della copertura minimale: l’algoritmo - 1

Algoritmo polinomiale per il calcolo di una coperturaminimale/canonica (si assuma che ogni dipendenza funzionaleabbia un unico attributo nella parte destra)

algoritmo CALCOLO DELLA COPERTURA CANONICA

input Insieme di dipendenze funzionali F

output G copertura canonica di F

begin

G := F ;

for each X → Y ∈ G with |X| > 1 do

begin

Z := X;

for each A ∈ X do if Y ⊆ (Z \ {A})+F then Z := Z \ {A};G := (G \ {X → Y }) ∪ {Z → Y }end;


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Calcolo della copertura minimale: l’algoritmo - 2

for each X → Y ∈ G do

if Y ⊆ X+G\{X→Y } then G := G \ {X → Y }

end

Osservazione. Un insieme di dipendenze funzionali puo avere piucoperture canoniche

Esempio. Per l’insieme F = {AB → C, A → B, B → A}, siaF = {B → C,A → B,B → A} che F = {A → C, A → B, B → A}sono coperture canoniche


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Decomposizione di schemi - 1

Definizione. Dato uno schema R〈T, F 〉, ρ = {R1(T1), . . . , Rk(Tk)} euna decomposizione di R se e solo se ∪iTi = T

Non tutte le decomposizioni conservano i dati.

Esempio. Si consideri una relazione con schema R(P, T, C), conassociato l’insieme F = {T → C,C → P} di dipendenze funzionali,che memorizza informazioni relative ai proprietari (P ) di case (C)dotate di uno o piu telefoni (T ). Sia data la seguente istanza di R

P T C

p1 t1 c1

p1 t2 c2

p1 t3 c2


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Esempio (continua). Supponiamo di decomporre lo schema nelledue relazioni R1(P, T ) e R2(P,C). Le corrispondenti istanze sonor1 = ΠP,T (R)

P T

p1 t1

p1 t2

p1 t3

e r2 = ΠP,C(R)

P C

p1 c1

p1 c2


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Esempio (continua). Per ricostruire l’istanza iniziale occorrefondere le due istanze della decomposizione attraverso un naturaljoin. Il risultato che si ottiene non coincide, pero, con l’istanzadata: ha piu tuple (e viola le dipendenze)

P T C

p1 t1 c1

p1 t1 c2

p1 t2 c1

p1 t2 c2

p1 t3 c1

p1 t3 c2


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Decomposizioni lossless join

Definizione. Una decomposizione ρ = {R1(T1), . . . , Rk(Tk)} diR〈T, F 〉 preserva i dati (e lossless join) se e solo se per ogniistanza r ∈ R che soddisfa F , r = ΠT1(r) ./ . . . ./ ΠTk

(r)

In generale, vale solo il seguente teorema:

Teorema. Sia mρ(r) = ΠT1(r) ./ . . . ./ ΠTk(r). Data una

decomposizione ρ = {R1(T1), . . . , Rk(Tk)} qualunque di R〈T, F 〉,per ogni istanza r ∈ R si ha che r ⊆ mρ(r)

Alcune (altre) proprieta interessanti (ad esempio, r ⊆ s implicamρ(r) ⊆ mρ(s))

Un punto di vista diverso: le tuple isolate (tuple che possono essererappresentate solo attraverso alcune delle relazioni componenti)


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Controllo dei lossless join: un algoritmo - 1

algoritmo CONTROLLO DEI LOSSLESS JOIN

input Uno schema relazionale R〈T, F 〉, con T = {A1, . . . , An},e una scomposizione ρ = {R1(T1), . . . , Rk(Tk)}

output ρ e/non e una scomposizione lossless join

metodo inizializzazione

costruire una tabella con n colonne e k righe, dove la colonna

j corrisponde all’attributo Aj e la riga i allo schema Ri;

porre il simbolo aj nella posizione (i, j) se Aj ∈ Ti,

altrimenti porre bij ;

elaborazione

si considerino ordinatamente e ripetutamente le dipendenze

X → Y ∈ F fino a quando esse non provocano piu variazioni

nella tabella


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Controllo dei lossless join: un algoritmo - 2

per ogni dipendenza X → Y e ogni coppia di righe, se le

due righe coincidono su X, allora renderle uguali su Y

e propagare le variazioni

(dati due simboli da uguagliare, se uno dei due e aj ,

sostituire l’altro con aj ; se sono bij e blj , sostituire blj

con bij , o viceversa, a discrezione;

quando due simboli sono uguagliati, uguagliare tutte le

occorrenze di tali simboli nella tabella)

risultato

se al termine dell’elaborazione, esiste almeno una riga

con tutte a (riga a1, . . . , an), la decomposizione e lossless

join, altrimenti non lo e


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Un esempio - 1

Esempio. Siano dati lo schema R〈T, F 〉, con T = {A,B,C, D,E} eF = {A → C, DE → C,B → C, CE → A,C → D}, e ladecomposizione ρ = {R1({A, D}), R2({A,B}), R3({B,E}),R4({C, D, E}), R5({A, E})}

A B C D E

a1 b12 b13 a4 b15

a1 a2 b23 b24 b25

b31 a2 b33 b34 a5

b41 b42 a3 a4 a5

a1 b52 b53 b54 a5


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Un esempio - 2

Esempio (continua). Con l’applicazione delle dipendenze A → C,DE → C (non produce effetti) e B → C, si ottiene la tabella:

A B C D E

a1 b12 b13 a4 b15

a1 a2 b13 b24 b25

b31 a2 b13 b34 a5

b41 b42 a3 a4 a5

a1 b52 b13 b54 a5


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Un esempio - 3

Esempio (continua). Con l’applicazione delle dipendenze CE → A

e C → D, si ottiene la tabella:

A B C D E

a1 b12 b13 a4 b15

a1 a2 b13 a4 b25

a1 a2 b13 a4 a5

b41 b42 a3 a4 a5

a1 b52 b13 a4 a5


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Un esempio - 4

Esempio (continua). All’iterazione successiva, grazie agli effettidelle dipendenze DE → C, B → C e CE → A, si ottiene la tabella:

A B C D E

a1 b12 a3 a4 b15

a1 a2 a3 a4 b25

a1 a2 a3 a4 a5

a1 b42 a3 a4 a5

a1 b52 a3 a4 a5

L’applicazione delle dipendenze funzionali non produce piu effetti.C’e una riga con tutte a: decomposizione lossless join


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Risultati - 1

Teorema. L’algoritmo proposto termina ed e corretto e completo.

La terminazione e immediata (e sufficiente osservare come ogniapplicazione di una dipendenza che produce effetti riduca il numerodi valori diversi presenti nella tabella)

E, inoltre, facile mostrare che se la tabella finale non contiene unariga di tutte a, allora la decomposizione non e lossless join (latabella finale stessa costituisce un controesempio: essa puo esserevista come un’istanza r della relazione, che soddisfa tutte ledipendenze, tale che (a1, . . . , an) 6∈ r e (a1, . . . , an) ∈ mρ(r);l’ultima appartenenza segue dalla definizione di decomposizione edalle modalita di inizializzazione ed elaborazione della tabella)


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Risultati - 2

Osservazione. L’esecuzione dell’algoritmo puo essere terminata nonappena viene prodotta una riga con tutte a (una volta generata,una tale riga non puo essere piu rimosssa)

Un caso particolare:

Teorema. Sia ρ = {R1(T1), R2(T2)} una decomposizione di R〈T, F 〉.ρ e una decomposizione lossless join se e solo se T1 ∩ T2 → T1 ∈ F+

oppure T1 ∩ T2 → T2 ∈ F+ (o entrambe)


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Decomposizioni che preservano le dipendenze - 1

(Contro)esempio. Consideriamo nuovamente la relazioneR(P, T, C), con associato l’insieme di dipendenzeF = {T → C,C → P}, che memorizza informazioni relative aiproprietari (P ) di case (C) dotate di uno o piu telefoni (T ), e larelativa istanza

P T C

p1 t1 c1

p1 t2 c2

p1 t3 c2

Sia data la decomposizione ρ = {R1({P, T}), R2({T, C})}


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Controesempio (continua). Le corrispondenti istanze sonor1 = ΠP,T (R)

P T

p1 t1

p1 t2

p1 t3

e r2 = ΠT,C(R)

T C

t1 c1

t2 c2

t3 c2


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Controesempio (continua). La decomposizione preserva i datiperche PT ∩ TC(= T ) → TC e derivabile da F (aumento di T → C

con T ) e, quindi, per la correttezza degli assiomi di Armstrong,appartiene a F+

La decomposizione non conserva, pero, la dipendenza C → P , doveC ∈ R2 e P ∈ R1.

Conseguenze della perdita di dipendenze: inserimentiinconsistenti


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Un esempio di inserimento inconsistente

Esempio. Si supponga di voler inserire nella base di dati il fatto chela casa c2 ha un nuovo telefono t4 intestato alla persona p2.

Se applicato alla relazione R, un tale inserimento verrebbe proibitoperche violerebbe la dipendenza C → P (la casa c2 e gia associataalla persona p1 e il telefono va intestato all’unico proprietario dellacasa)

Se applicato alle relazioni R1 ed R2, l’inserimento va a buon fine,perche non viola le dipendenze associate ai due schemi (ladipendenza C → P e stata persa per effetto della decomposizione)

Decomposizione alternativa che preserva dati e dipendenze:ρ = {R1({T,C}), R2({C,P})}


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Proiezione di insiemi di dipendenze

Definizione. Dati R〈T, F 〉 e Ti ⊆ T , la proiezione di F su Ti,denotata ΠTi(F ), e l’insieme di dipendenze

{X → Y ∈ F+ | X, Y ⊆ Ti}

Nota Bene: la definizione utilizza l’insieme F+ non l’insieme F

Esempio. Si consideri la relazione R〈T, F 〉, con T = {A,B, C} eF = {A → B, B → C, C → A}. Si ha che ΠAB(F ) ={A → B,B → A} (piu le dipendenze banali e dipendenzeimmediatamente derivabili, quale, ad esempio, A → AB) eΠAC(F ) = {A → C,C → A} (piu le dipendenze banali edipendenze immediatamente derivabili).


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Un algoritmo per il calcolo delle proiezioni

Un algoritmo banale (di complessita esponenziale) per il calcolodelle proiezioni di un insieme di dipendenze

algoritmo CALCOLO DELLE PROIEZIONI

input R〈T, F 〉 e Ti ⊆ T

output una copertura della proiezione di F su Ti

begin

for each Y ⊆ Ti do

begin

Z := Y +F

restituisci Y → (Z ∩ Ti)

end

end


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Conservazione delle dipendenze: formalizzazione

Definizione. Una decomposizione ρ = {R1(T1), . . . , Rk(Tk)} di unarelazione R〈T, F 〉 preserva le dipendenze se e solo se∪k

i=1ΠTi(F ) ≡ F

Esempio. Si consideri lo schema di relazione R〈T, F 〉, doveT = {A,B, C} e F = {A → B, B → C,C → A}. Dato cheAC 6⊆ AB and AC 6⊆ BC, uno potrebbe essere indotto a pensareche la decomposizione ρ = {R1({A,B}), R2({B, C})} non preservile dipendenze (la dipendenza C → A non viene proiettata ne su R1

ne su R2).

Cosı non e: da {A → B, B → A} ⊆ ΠAB(F ) e {B → C,

C → B} ⊆ ΠBC(F ), segue ΠAB(F ) ∪ΠBC(F ) ` C → A


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Proiezioni e calcolo della chiusura

Un algoritmo (di complessita polinomiale) per il calcolo dellachiusura di un insieme di attributi rispetto all’unione delleproiezioni di un insieme di dipendenze

algoritmo CALCOLO DELLA CHIUSURA

input R〈T, F 〉, X ⊆ T e ρ = {R1(T1), . . . , Rk(Tk)}output X+

G , dove G = ∪ki=1ΠTi(F )

begin

X+G := X;

while (X+G e cambiato) do

for each i := 1 to k do

X+G = X+

G ∪ ((X+G ∩ Ti)

+F ∩ Ti)

end

Nota bene: l’insieme G non viene esplicitamente determinato


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Controllo della conservazione delle dipendenze

Un algoritmo (di complessita polinomiale) per stabilire se una datascomposizione preserva o meno le dipendenze associate ad una datarelazione

algoritmo CONTROLLO DELLA CONSERVAZIONE DELLE

DIPENDENZE

input una decomposizione ρ = {R1(T1), . . . , Rk(Tk)} di R〈T, F 〉output ρ e/non e una decomposizione che preserva le dipendenze

begin

for each X → Y ∈ F do

if Y 6⊆ X+G then termina con NO

termina con SI

end

dove X+G e determinato con l’algoritmo per il calcolo della chiusura


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Un esempio - 1

Esempio. Sia data lo schema di relazione R〈T, F 〉, dove T = {A,B,

C, D} e F = {A → B,B → C, C → D, D → A}. Data la circolaritadelle dipendenze, e facile vedere come ogni attributo determinitutti gli altri.

Controlliamo se la decomposizione ρ = {R1({A,B}), R2({B, C}),R3({C, D})} preserva o meno le dipendenze utilizzando l’algoritmoproposto.

Le prime tre dipendenze sono banalmente preservate.Concentriamo la nostra attenzione sulla quarta, verificando seA ∈ D+

G, dove G = ΠAB(F ) ∪ΠBC(F ) ∪ΠCD(F )


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Un esempio - 2

Iniziamo il calcolo di D+G, ponendo D+

G = {D}. Il corpo del cicloeseguito per R1 non modifica D+

G perche {D} ∪ (({D} ∩ {A,B})+F∩{A,B}) = {D}. Lo stesso accade per R2 perche {D} ∪ (({D}∩{B, C})+F ∩{B, C}) = {D}. Per R3 si ha:

D+G = {D} ∪ (({D} ∩ {C, D})+F ∩ {C, D})

= {D} ∪ (({D})+F ∩ {C,D})= {D} ∪ ({A,B, C,D} ∩ {C, D})= {C, D}

Analogamente, nel passo successivo, eseguendo il corpo del ciclo perR2 su D+

G = {C,D} produce D+G = {B, C,D}. Infine, nel terzo

passo si ottiene D+G = {A,B, C,D}, da cui risulta vero che A ∈ D+

G.


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Conservazione di dati e dipendenze

Come confermato dagli esempi precedenti, conservazione dei dati econservazione delle dipendenze sono due proprieta indipendenti:

• vi possono essere decomposizioni lossless join che nonpreservano le dipendenze

• vi possono essere decomposizioni che preservano le dipendenze,ma non sono lossless join


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Forme normali - 1

Normalizzazione dei dati: processo attraverso il quale schemi direlazione insoddisfacenti, ossia schemi che presentano ridondanze epossono, quindi, causare anomalie di aggiornamento, sonodecomposti in schemi di relazione piu piccoli che possiedono leproprieta volute

Forme normali: strumento per la valutazione della qualita dischemi di relazione individuali. Permettono di stabilire se unoschema si trova o meno nella forma (normale) voluta. In caso diviolazione, lo schema puo essere decomposto in modo che gli schemidelle relazioni componenti rispettino la forma (normale) voluta


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Forme normali - 2

Prima forma normale (1NF), basata sulla definizione di relazione

Seconda forma normale (2NF), terza forma normale (3NF) eforma normale di Boyce-Codd (BCNF), tutte basate sulla nozionedi dipendenza funzionale

Quarta forma normale, basata sulla nozione di dipendenzamultivalore

Quinta forma normale, basata sulla nozione di join-dipendenza


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Forme normali - 3

Osservazione fondamentale

in generale non e sufficiente garantire che il processo didecomposizione generi relazioni nella forma normale voluta; occorreanche garantire che:

1. la decomposizione conservi i dati (sia lossless join)

2. la decomposizione preservi le dipendenze

Definizione. Dato uno schema di relazione R〈T, F 〉, un attributoA ∈ T si dice primo se e solo se appartiene ad almeno una chiave;altrimenti, si dice non primo

Il problema di stabilire se un attributo e primo o meno eNP-completo


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Prima forma normale - 1

Eliminazione degli attributi multivalore

Relazione non in 1NF:

DIPARTIMENTO DNUMERO DNOME MANAGER DSEDE

con dipendenze:

DNUMERO → DNOME, DNUMERO → MANAGER, DNUMERO → DSEDE(?)

Istanza di relazione:


5 Ricerca RSS.. {Roma, Bologna}4 Sviluppo VRD.. V enezia

1 Direzione BNC.. Bologna


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Relazione in 1NF (con ridondanza):


5 Ricerca RSS.. Roma

5 Ricerca RSS.. Bologna

4 Sviluppo VRD.. V enezia

1 Direzione BNC.. Bologna


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Eliminazione degli attributi strutturati

Relazione IMP PROG (Impiegato Progetto) con attributi CF(codice fiscale), INOME (nome impiegato) e PROG (progetto a cuil’impiegato dedica il maggior numero di ore, con indicazione delnumero di ore) non in 1NF:

IMP PROG CF INOME PROG(PNUMERO,ORE)

con dipendenze:

CF → INOME, CF → P ROG(?)

L’attributo strutturato PROG puo essere visto come una relazioneannidata


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RSS.. Rossi Antonio (1,18)

VRD.. Verdi Filippo (3,36)

BNC.. Bianchi Livio (3,12)

Relazione in 1NF (senza ridondanze):

IMP PROG CF INOME PNUMERO ORE

RSS.. Rossi Antonio 1 18

VRD.. Verdi Filippo 3 36

BNC.. Bianchi Livio 3 12


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Eliminazione degli attributi strutturati e multivalore

Relazione IMP PROG (Impiegato Progetto) con una relazioneannidata PROG multivalore non in 1NF:


con dipendenze:

CF → INOME, CF → P ROG(?)


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RSS.. Rossi Antonio {(1,18), (2,18)}VRD.. Verdi Filippo {(3,36)}BNC.. Bianchi Livio {(2,12),(3,12),(5,12)}

Relazione IMP PROG in 1NF

IMP PROG CF INOME PNUMERO ORE


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Seconda forma normale - 1

La nozione di dipendenza funzionale parziale e totale

Una dipendenza funzionale X → Y e una dipendenza funzionaletotale se la rimozione di un qualsiasi attributo A da X rende ladipendenza non piu valida (∀A(X \ {A} 6→ Y ))

Una dipendenza funzionale X → Y e una dipendenza funzionaleparziale se qualche attributo di X puo essere rimosso senzapregiudicare la validita della dipendenza (∃A(X \ {A} → Y ))

Definizione. Uno schema di relazione R〈T, F 〉 e in seconda formanormale (2NF) se ogni attributo non primo A ∈ T dipendetotalmente da ogni chiave di R


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Sia dato lo schema di relazione (non in 2NF):

IMP PROG CF PNUMERO ORE INOME PNOME PSEDE

con dipendenze:

CF P NUMERO → ORE

CF → INOME

P NUMERO → P NOME P SEDE


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Decomposizione in 2NF:

IP1 CF PNUMERO ORE

con dipendenze:

CF P NUMERO → ORE

IP2 CF INOME

con dipendenze:

CF → INOME

IP3 PNUMERO PNOME PSEDE

con dipendenze:

P NUMERO → P NOME P SEDE


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Terza forma normale - 1

La nozione di dipendenza funzionale transitiva e non transitiva

Una dipendenza funzionale X → Y e una dipendenza funzionaletransitiva se esiste un insieme di attributi Z che non e contenutoin alcuna chiave ed e tale che valgono sia X → Z che Z → Y

Definizione. Uno schema di relazione R〈T, F 〉 e in terza formanormale (3NF) se ogni attributo non primo A ∈ T dipendetotalmente da ogni chiave di R (R e in 2NF) e dipende in modonon transitivo da ogni chiave di R

Definizione (alternativa). Uno schema di relazione R〈T, F 〉 e interza forma normale (3NF) se e solo se, per ogni dipendenzafunzionale non banale X → A ∈ F+, X e superchiave o A e primo


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IMP DIP CF INOME DNASCITA IND DNUMERO DNOME MANAGER

con dipendenze:

CF → INOME DNASCIT A IND DNUMERO

DNUMERO → DNOME MANAGER


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ID1 CF INOME DNASCITA IND DNUMERO

con dipendenze:

CF → INOME DNASCIT A IND DNUMERO

IP2 DNUMERO DNOME MANAGER

con dipendenze:

DNUMERO → DNOME MANAGER


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Un esempio di normalizzazione - 1


APPEZZAMENTO PROP ID CONTEA APP ID AREA VALORE ALIQUOTA

con dipendenze:

P ROP ID → CONT EA AP P ID AREA V ALORE ALIQUOT A

CONT EA AP P ID → P ROP ID AREA V ALORE ALIQUOT A

CONT EA → ALIQUOT A

AREA → V ALORE


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APPEZZAMENTO1 PROP ID CONTEA APP ID AREA VALORE

con dipendenze:

P ROP ID → CONT EA AP P ID AREA V ALORE

CONT EA AP P ID → P ROP ID AREA V ALORE

AREA → V ALORE

APPEZZAMENTO2 CONTEA ALIQUOTA

con dipendenze:

CONT EA → ALIQUOT A


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APPEZZAMENTO11 PROP ID CONTEA APP ID AREA

con dipendenze:

P ROP ID → CONT EA AP P ID AREA

CONT EA AP P ID → P ROP ID AREA

APPEZZAMENTO12 AREA VALORE

con dipendenze:

AREA → V ALORE


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Controllo della 3NF - 1

Come verificare se uno schema di relazione e in 3NF senza generareF+?

Valgono il seguente teorema e l’immediato corollario

Teorema. Uno schema di relazione R〈T, F 〉 e in 3NF se e solo se,per ogni dipendenza funzionale X → A1 .. An ∈ F e per ognii ∈ {1, .., n}, Ai ∈ X oppure X e una superchiave oppure Ai eprimo

Corollario. Uno schema di relazione R〈T, F 〉, con F coperturacanonica, e in 3NF se e solo se, per ogni dipendenza funzionaleelementare X → A ∈ F , X e una superchiave oppure A e primo


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Controllo della 3NF - 2

E’ comunque necessario determinare l’insieme di attributi primi..

Proposizione. Il problema di decidere se uno schema di relazione ein 3NF e NP-completo

Esempio. Consideriamo lo schema di relazione

R〈{PREFISSO, NUMERO, LOCALITA′, NOMEABBONATO,

V IA}, {PREFISSO NUMERO → LOCALITA′, PREFISSO

NUMERO → NOMEAABONATO, PREFISSO NUMERO →V IA, LOCALITA′ → PREFISSO}〉 che descrive gli abbonati al

telefono. Le chiavi della relazione sono (PREFISSO NUMERO) e

(LOCALITA′, NUMERO)

Esiste, pero, una ridondanza: ogni volta che si inserisce un nuovo

numero telefonico di una certa localita, occorre ripetere l’informazione

sul prefisso


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La forma normale di Boyce-Codd (BCNF)

Definizione. Uno schema di relazione R〈T, F 〉 e nella formanormale di Boyce-Codd (BCNF) se e solo se per ognidipendenza funzionale non banale X → Y ∈ F+, X e unasuperchiave.

Come verificare se uno schema di relazione e in BCNF senzagenerare F+?

Valgono il seguente teorema e l’immediato corollario

Teorema. Uno schema di relazione R〈T, F 〉 e in BCNF se e solo se,per ogni dipendenza funzionale non banale X → Y ∈ F , X e unasuperchiave

Corollario. Uno schema di relazione R〈T, F 〉, con F coperturacanonica, e in BCNF se e solo se, per ogni dipendenza funzionaleelementare X → A ∈ F , X e una superchiave


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Ottimalita di BCNF

Teorema. In una relazione in BCNF, nessun valore puo esseredeterminato a partire da altri utilizzando le dipendenze funzionali

Il teorema stabilisce l’ottimalita della BCNF rispetto ai vincoliimposti dalle dipendenze funzionali


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Un secondo esempio di normalizzazione - 1

Sia dato lo schema di relazione (non in BCNF):

APPEZZAMENTO1A PROP ID CONTEA APP ID AREA

con dipendenze:

P ROP ID → CONT EA AP P ID AREA

CONT EA AP P ID → P ROP ID AREA

AREA → CONT EA


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Un secondo esempio di normalizzazione - 2

Decomposizione in BCNF:

APPEZZAMENTO1A1 PROP ID APP ID AREA

con dipendenze:

P ROP ID → AP P ID AREA

APPEZZAMENTO1A2 AREA CONTEA

con dipendenze:

AREA → CONT EA


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BCNF e conservazione delle dipendenze

Decomposizione in BCNF di uno schema di relazione econservazione delle dipendenze non sono obiettivi che possanoessere sempre raggiunti in modo congiunto

R A B C

con dipendenze:

A B → C

C → B


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Normalizzazione di schemi in BCNF - 1

Un algoritmo esponenziale che preserva i dati, ma non ledipendenze, e il seguente

algoritmo DECOMPOSIZIONE IN BCNF

input R〈T, F 〉 con F copertura canonica

output ρ = {R1, . . . , Rm} decomposizione di R in BCNF che preserva i dati

begin

ρ := {R1〈T, F 〉}; n := 1;

while esiste Ri〈Ti, Fi〉 ∈ ρ non in BCNF a causa di X → A do

begin

n := n + 1;

T ′ := X+; F ′ := ΠT ′(Fi); T′′ := Ti −A; F ′′ := ΠT ′′(Fi);

ρ := (ρ \Ri〈Ti, Fi〉) ∪ {Ri〈T ′, F ′〉, Rn〈T ′′, F ′′〉}end;

end


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Normalizzazione di schemi in BCNF - 2

La conservazione dei dati da parte dell’algoritmo precedente seguedal seguente teorema

Teorema. Sia ρ = {R1, . . . , Rm} una decomposizione di R〈T, F 〉 chepreserva i dati (rispetto a F ) e sia σ = {S1, S2} unadecomposizione di R1 che preserva i dati (rispetto a ΠT1(F )).Allora la decomposizione ρ′ = {S1, S2, R2, . . . , Rm} preserva i dati(rispetto a F )

Osservazione. Esistono anche algoritmi polinomiali didecomposizione in BCNF, ma vengono poco utilizzati percheproducono schemi poco naturali e fortemente decomposti


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Decomposizioni di schemi in 3NF - 1

Un algoritmo polinomiale che preserva i dati e le dipendenzealgoritmo DECOMPOSIZIONE IN 3NF

input una relazione R〈T, F 〉output una decomposizione ρ = {R1, . . . , Rm} in 3NF

che preserva i dati e le dipendenze

begin

Passo 1. Trova una copertura canonica G di F e poni ρ = ∅Passo 2. Sostituisci in G ogni insieme di dipendenze X → A1,

. . . , X → Ak con la dipendenza X → A1, . . . , Ak

Passo 3. Per ogni dipendenza X → Y ∈ G, inserisci uno schema

con attributi XY in ρ (X e detta chiave sintetizzata)

Passo 4. Elimina da ρ ogni schema contenuto in un altro

Passo 5. Se nessuno schema in ρ ha come insieme di attributi

una superchiave di R, aggiungi uno schema con attributi W ,

con W chiave di R, a ρ

end


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Decomposizioni di schemi in 3NF - 2

Teorema. Dato uno schema R〈T, F 〉, l’algoritmo proposto produceuna decomposizione ρ = {R1, . . . , Rm} di R che preserva i dati e ledipendenze

Teorema. Dato uno schema R〈T, F 〉, l’algoritmo proposto produceuna decomposizione ρ = {R1, . . . , Rm} di R in schemi in 3NF(rispetto alle proiezioni di F su Ti, con i = 1, . . . , m)

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