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Capítulo I – Descrição Matemática de Sistemas
Teoria de Sistemas Lineares
A. P. C. Gonçalves
Universidade Estadual de Campinas - UNICAMP
2◦ Semestre de 2012
Gonçalves, A. P. C. IA536–Teoria de Sistemas Lineares UNICAMP 1 / 46
Capítulo I – Descrição Matemática de Sistemas
NOTA AO LEITOR
Este material foi preparado como suporte às aulas e éinteiramente baseado nos livros:
C.T. Chen, Linear System Theory and Design, 3rd Edition,Oxford University Press, 1999.
J. C. Geromel, A. G. B. Palhares, Análise Linear de Sistemas
Dinâmicos: Teoria, Ensaios Práticos e Exercícios, EditoraEdgard Blücher Ltda., 2004.
onde o leitor poderá encontrar maiores informações e detalhessobre os tópicos aqui abordados.
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Capítulo I – Descrição Matemática de Sistemas
Conteúdo
1 Capítulo I – Descrição Matemática de SistemasConceito de SistemaTipos de SistemasSistemas Lineares e Invariantes no TempoLinearizaçãoSistemas a tempo discreto
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Capítulo I – Descrição Matemática de Sistemas
Conceito de Sistema
Um sistema dinâmico a tempo contínuo, definido para todot ∈ R é um dispositivo que converte um sinal de entrada u(t)(definido para todo t ∈ R) em um sinal de saída y(t) (definidopara todo t ∈ R), através da relação
y(t) = S[u(t)]
onde S[·] indica um ente matemático que associa sinais deentrada a sinais de saída.
Assumimos que, se um sinal de entrada é aplicado, uma única
saída pode ser medida nos terminais.
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Capítulo I – Descrição Matemática de Sistemas
Tipos de Sistemas
Um sistema com apenas um terminal de entrada e um terminalde saída é chamado SISO, do inglês single-input, single-output.
Um sistema com dois ou mais terminais de entrada e/ou doisou mais terminais de saída é chamado de multivariável. Maisespecificamente, se ele tem dois ou mais terminais de entradae de saída, ele é chamado MIMO, do inglês multi-input,
multi-output.
A entrada será denotada u(t) para estrada única ou u(t) paramúltiplas entradas. Para p terminais de entrada, u(t) ∈ R
p ouu = [u1 u2 · · · up]
′. De forma análoga, a saída será denotadapor y(t) ou y(t).
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Capítulo I – Descrição Matemática de Sistemas
Causalidade
Um sistema é dito sem memória se sua saída y(t0) dependeapenas da entrada aplicada em t0; ela é independente daentrada aplicada antes ou depois de t0. Por exemplo, umcircuito puramente resistivo é um sistema sem memória.
A maior parte dos sistemas tem memória. Ou seja, a saída emt0 depende de u(t) para t < t0, t = t0 e t > t0.
Um sistema é dito causal ou não antecipativo se a sua saídaatual depende apenas de entradas passadas ou presentes, masindepende de entradas futuras. Todo sistema físico é causal,caso contrário, ele teria capacidade de antecipar ou prever
valores futuras da saída.
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Capítulo I – Descrição Matemática de Sistemas
Estado
A saída presente de um sistema causal pode ser afetada porentradas passadas. Mas, quanto tempo será preciso voltar notempo para avaliar o efeito da entrada na saída?
No caso geral, pode ser necessário regressar todo o tempo atémenos infinito.
Como pode ser inconveniente, se não impossível, conheceru(t) de −∞ até o instante t, usamos o conceito de estado.
Definição (Estado)
O estado x(t0) de um sistema, no tempo t0, é a informação
necessária em t0 para, juntamente com a entrada u(t) com t ≥ t0,
determinar unicamente a saída y(t) para todo t ≥ t0.
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Capítulo I – Descrição Matemática de Sistemas
Estado
Por definição, conhecido o estado em t0, não há maisnecessidade de conhecer a entrada u(t) aplicada antes de t0para determinar a saída y(t) após t0
Em certo sentido, o estado resume o efeito da entrada passadana saída futura.
As componentes de x são chamadas variáveis de estado. Emgeral, podemos considerar o estado inicial como um conjuntode condições iniciais.
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Capítulo I – Descrição Matemática de Sistemas
Sistemas concentrados
Um sistema é dito concentrado ou a parâmetros concentrados
se o número de variáveis de estado é finito. Por exemplo, umcircuito elétrico com indutores, capacitores e resistores, cujoestado é dado pelas correntes nos indutores e tensões noscapacitores.Um sistema é dito distribuído ou a parâmetros distribuídos seo seu estado tem infinitas variáveis. Por exemplo, uma linha detransmissão.Outro sistema distribuído é aquele definido por um atrasounitário da entrada
y(t) = u(t − 1)
Para determinar {y(t), t ≥ t0} a partir de {u(t), t ≥ t0}precisamos de {u(t), t0 − 1 ≤ t < t0}, um conjunto deinfinitos pontos.
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Capítulo I – Descrição Matemática de Sistemas
Linearidade
Um sistema é dito linear se ele tem as seguintes propriedadesAditividade Se y1(t) = S[u1(t)] e y2(t) = S[u2(t)] entãoy1(t) + y2(t) = S[u1(t) + u2(t)].Homogeneidade Se y(t) = S[u(t)], então αy(t) = S[αu(t)]para todo α ∈ R.As duas propriedades acima, combinadas, recebem o nome depropriedade de Superposição.
O sistema é dito não-linear se a propriedade de superposiçãonão for verificada.
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Capítulo I – Descrição Matemática de Sistemas
Descrição entrada-saída
Vamos desenvolver uma equação matemática para representara resposta de sistemas lineares com estado inicial nulo.
Seja δ∆(t − ti) o pulso de largura ∆ e área unitária
δ∆(t − ti) =
{
1∆
ti ≤ t ≤ ti +∆0 t < ti , t > ti +∆
Uma entrada u(t) pode ser aproximada por
u(t) ≈∑
i
u(ti )δ∆(t − ti)∆
Vamos chamar g∆(t, ti) = S[δ∆(t − ti)]. TemosS[δ∆(t − ti)u(ti )∆] = g∆(t, ti )u(ti )∆ (homogeneidade)S[∑
iδ∆(t − ti )u(ti )∆] =
∑
ig∆(t, ti)u(ti )∆ (aditividade)
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Capítulo I – Descrição Matemática de Sistemas
Descrição entrada-saída
Podemos aproximar a saída y(t) por
y(t) ≈∑
i
g∆(t, ti )u(ti )∆
Quando ∆ → 0, o pulso δ∆(t − ti) se torna um impulso em ti ,denotado por δ(t − ti).
A resposta ao impulso em ti é denotada por g(t, ti).
A medida que ∆ → 0, a aproximação acima se torna umaigualdade, com o somatório substituído por uma integral e osinstantes ti se convertendo em um continuum, substituídos porτ . Além disso, ∆ se torna dτ .
y(t) =
∫
∞
−∞
g(t, τ)u(τ)dτ
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Capítulo I – Descrição Matemática de Sistemas
Descrição entrada-saída
Se o sistema for causal, nenhuma saída pode existir antes daaplicação de uma entrada. Portanto
Causal ⇔ g(t, τ) = 0, t < τ
Um sistema é dito relaxado em t0 se seu estado em t0 for 0.Assim, a saída y(t) para t ≥ t0 depende apenas da entradau(t) para t ≥ t0. Se o sistema também for causal
y(t) =
∫ t
t0
g(t, τ)u(τ)dτ
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Capítulo I – Descrição Matemática de Sistemas
Descrição entrada-saída
Se um sistema linear tem p terminais de entrada e q terminaisde saída, então a descrição entrada-saída é
y(t) =
∫ t
t0
G(t, τ)u(τ)dτ
onde
G(t, τ) =
g11(t, τ) g12(t, τ) · · · g1p(t, τ)g21(t, τ) g22(t, τ) · · · g2p(t, τ)
......
...gq1(t, τ) gq2(t, τ) · · · gqp(t, τ)
e gij(t, τ) é a resposta no tempo t, no i-ésimo terminal desaída, a um impulso aplicado no instante τ , no j -ésimoterminal de entrada, com as demais entradas nulas.
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Capítulo I – Descrição Matemática de Sistemas
Descrição no espaço de estado
Todo sistema linear concentrado pode ser descrito por umconjunto de equações na forma:
x(t) = A(t)x(t) + B(t)u(t)
y(t) = C(t)x(t) + D(t)u(t)
onde x := dx/dt.
Para um sistema com p entradas e q saídas, u ∈ Rp e y ∈ R
q.
Se o sistema tiver n variáveis de estado, x ∈ Rn.
Para sistemas distribuídos, a dimensão do estado é infinita e omodelo de estado não é usado.
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Capítulo I – Descrição Matemática de Sistemas
Sistemas Lineares e Invariantes no Tempo (LIT)
Um sistema é dito invariante no tempo se
y(t − τ) = S[u(t − τ)]
para todo τ ∈ R.
Se a entrada for a mesma, não importando em que momentoτ ela é aplicada, a forma de onda da saída será sempre igual.Podemos assumir, sem perda de generalidade, que t0 = 0.
Se o sistema é invariante no tempo, podemos escrever
g(t, τ) = g(t + T , τ + T ) = g(t − τ, 0) = g(t − τ)
para todo T ∈ R. A descrição entrada-saída se reduz a
y(t) =
∫ t
0
g(t − τ)u(τ)dτ =
∫ t
0
g(τ)u(t − τ)dτ
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Capítulo I – Descrição Matemática de Sistemas
Sistemas Lineares e Invariantes no Tempo (LIT)
A saída de um sistema LIT, com condições iniciais nulas, é aconvolução da entrada u(t) com sua resposta ao impulsog(t).A convolução entre dois sinais, também representada porg(t) ∗ u(t) é uma operação
associativa,distributiva ecomutativa.
A condição para um sistema linear e invariante no tempo sercausal é g(t) = 0 para t < 0.
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Capítulo I – Descrição Matemática de Sistemas
Transformada de Laplace
A transformada de Laplace de uma função f (t), definida paratodo t ∈ R, denotada por f (s) ou L[f (t)], é uma função devariável complexa
f (s) : D(f ) → C
onde D(f ) é o seu domínio e
f (s) :=
∫
∞
−∞
f (t)e−stdt
D(f ) := {s ∈ C : f (s) existe}
É importante ressaltar que f (s) existe indica que a integralacima converge e é finita.
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Capítulo I – Descrição Matemática de Sistemas
Transformada de Laplace
Geralmente D(f ) não coincide com C. Nestes casos, existempontos s ∈ C dais que s /∈ D(f ) e, portanto, torna-se essenciala determinação do domínio da transformada de Laplace.
Importante: O domínio D(f ) da transformada de Laplacedepende fortemente do domínio de f (t). Como verificaremosem seguida
t ∈ [0,∞) ⇒ Re(s) ∈ (α,∞)
t ∈ (−∞, 0] ⇒ Re(s) ∈ (−∞, β)
t ∈ (−∞,∞) ⇒ Re(s) ∈ (α, β)
para valores adequados de α, β ∈ R. Quanto maior o domíniode f (t), menor o domínio de f (s) e vice-versa.
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Capítulo I – Descrição Matemática de Sistemas
Transformada de Laplace
Os seguintes exemplos ilustram os domínios das transformadasde Laplace de algumas funções:
f (t) = e−at : R → C e D(f ) = ∅.f (t) = e−at : [0,∞) → C e
f (s) =1
s + a, D(f ) = {s ∈ C : Re(s) > −Re(a)}
f (t) = e−at : (−∞, 0] → C e
f (s) = −1
s + a, D(f ) = {s ∈ C : Re(s) < −Re(a)}
f (t) = e−a|t| : (−∞,∞) → C e
f (s) =−2a
s2 − a2, D(f ) = {s ∈ C : |Re(s)| < Re(a)}
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Capítulo I – Descrição Matemática de Sistemas
Transformada de Laplace
A função exponencial eλt : R → C com λ ∈ C qualquer nãoadmite a transformada de Laplace.
Para funções definidas em todo t ∈ R, a transformada deLaplace é muito restritiva
Vamos restringir nosso interesse a funções definidas parat ∈ [0,∞) e assim
f (s) :=
∫
∞
0
f (t)e−stdt
com domínio D(f ) := {s ∈ C : Re(s) > α} para algumα ∈ R a ser determinado.
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Capítulo I – Descrição Matemática de Sistemas
Transformada de Laplace
Classe importante: Definida pela existência de sf ∈ C tal queo limite
limτ→∞
∫ τ
0
|f (t)e−sf t |dt
existe e é finito.
Lema (Domínio)
Para as funções da classe acima, é válido que:
Qualquer s ∈ C satisfazendo Re(s) ≥ Re(sf ) pertence a D(f ).
Existe M finito tal que |f (s)‖ ≤ M para todo s ∈ D(f ).
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Capítulo I – Descrição Matemática de Sistemas
Transformada de Laplace
A forma geral do domínio da transformada de Laplace é
D(f ) := {s ∈ C : Re(s) > α}
Determinação do domínio usando f (t): Para a função f (t)dada, determine o menor α ∈ R tal que
limτ→∞
∫
τ
0
|f (t)e−αt |dt < ∞
Determinação do domínio usando f (s): Para a função f (s)dada, determine o menor valor de α ∈ R tal que ela permaneçaanalítica e portanto finita para todo s ∈ D(f ).
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Capítulo I – Descrição Matemática de Sistemas
Transformada de Laplace
A função f (s) = e−s
snão é analítica em s = 0. De fato, a sua
série de Laurent é
f (s) =1s− 1 +
s
2−
s2
6+ · · ·
e portantoD(f ) := {s ∈ C : Re(s) > 0}
A função f (s) = 1−e−s
sé analítica em s = 0. A sua série de
Taylor é
f (s) = 1 −s
2+
s2
6− · · ·
e portanto
D(f ) := {s ∈ C : Re(s) > −∞} = C
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Capítulo I – Descrição Matemática de Sistemas
Transformada de Laplace
O cálculo de uma transformada de Laplace fora de seu domíniopode trazer resultados errados
A função f (t) = sen(t) para t ≥ 0 tem transformada deLaplace dada por
f (s) =1
s2 + 1
É possível calcular lims→0 sf (s) = 0. Entretanto, esse limite édiferente de limt→∞ sen(t), que é indeterminado. Por quê?A função f (t) = et para t ≥ 0 tem transformada de Laplace
f (s) =1
s − 1
Embora f (0) = −1, este valor é diferente de∫∞
0etdt. Por
quê?
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Capítulo I – Descrição Matemática de Sistemas
Função de transferência
A transformada de Laplace da convolução entre duas funções é
L[f (t) ∗ h(t)] = f (s)h(s)
A transformada de Laplace da saída de uma sistema LIT, comc.i. nulas, é dada por
y(s) = g(s)u(s)
onde g(s) é chamada função de transferência do sistema.Para um sistema com p entradas e q saídas, temos
y(s) = G(s)u(s)
G(s) =
g11(s) g12(s) · · · g1p(s)g21(s) g22(s) · · · g2p(s)
......
...gq1(s) gq2(s) · · · gqp(s)
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Capítulo I – Descrição Matemática de Sistemas
Função de Transferência
Um sistema LIT concentrado pode ser descrito pelo conjuntode equações:
x(t) = Ax(t) + Bu(t)
y(t) = Cx(t) + Du(t)
Aplicando transformada de Laplace às equações acima:
s x(s)− x(0) = Ax(s) + Bu(s)
y(s) = Cx(s) + Du(s)
que implica em
y(s) = C(sI − A)−1x(0) + [C(sI − A)−1B+ D]u(s)
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Capítulo I – Descrição Matemática de Sistemas
Função de Transferência
Note que a expressão anterior explicita duas componentes daresposta: à entrada nula e ao estado nulo.
Se o estado inicial x(0) for nulo, a equação anterior se reduz a
y(s) = [C(sI − A)−1B + D]u(s)
de onde chegamos na expressão da matriz de transferênciacomo
G(s) = C(sI − A)−1B + D
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Capítulo I – Descrição Matemática de Sistemas
Função de Transferência
Sistemas LIT concentrados tem função de transferênciaracional em s ∈ C, da forma
g(s) :=N(s)
D(s)=
∑mi=0 ei s
i
∑ni=0 ai si
onde ei ∈ R para todo i = 1, · · · ,m e ai ∈ R para todoi = 1, · · · , n.
Se n ≥ m, a função g(s) é própria e g(∞) = zero ou umaconstante finita.Se n > m, a função g(s) é estritamente própria e g(∞) = 0.Se n < m, a função g(s) é imprópria e |g(∞)| = ∞.
As raízes de D(s) = 0 são os polos de g(s), onde ela deixa deser analítica. Assim, denotando os polos por pi ∈ C, temos
D(g) = {s ∈ C : Re(s) > maxi=1,··· ,n
pi}
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Capítulo I – Descrição Matemática de Sistemas
Matriz de Transferência
No caso de uma matriz G(s) é racional se cada um de seuselementos for uma função racional.
Se todos os seus elementos forem funções próprias, a matrizG(s) é própria e G(∞) é uma matriz constante ou nula.Se todos seus elementos forem funções estritamente próprias, amatriz G(s) é estritamente própria, e G(∞) = 0.
Chamamos λ ∈ C de polo de G(s) se ele for polo de algumelemento do G(s).
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Linearização
A maioria dos sistemas físicos é não-linear e variante notempo. Alguns deles podem ser descritos pela equaçãodiferencial não-linear
x(t) = h(x(t),u(t), t)
y(t) = f(x(t),u(t), t)
onde h e f são funções não-lineares.
O comportamento dessas equações pode ser muito complexo eestá fora do escopo deste curso.
Podemos, em alguns casos, trabalhar com aproximaçõeslineares.
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Capítulo I – Descrição Matemática de Sistemas
Linearização
Suponha que, para uma certa entrada u0(t) e algumacondição inicial, x0(t) é a solução da equação de estado, isto é
x0(t) = h(x0(t),u0(t), t)
Suponha que a entrada seja levemente perturbada,tornando-se u0(t) + u(t). Para algumas equações não-lineares,a solução da equação de estado também sofre uma pequenaperturbação x0(t) + x(t).
Podemos expandir a equação de estado
x0(t) + ˙x(t) = h(x0(t) + x(t),u0(t) + u(t), t)
= h(x0(t),u0(t), t) +∂h
∂xx +
∂h
∂uu+ · · ·
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Capítulo I – Descrição Matemática de Sistemas
Linearização
Introduzindo a notação
A(t) :=∂h
∂x:=
∂h1∂x1
∂h1∂x2
· · · ∂h1∂xn
∂h2∂x1
∂h2∂x2
· · · ∂h2∂xn
......
...∂hn
∂x1
∂hn
∂x2· · · ∂hn
∂xn
B(t) :=∂h
∂u:=
∂h1∂u1
∂h1∂u2
· · · ∂h1∂up
∂h2∂u1
∂h2∂u2
· · · ∂h2∂up
......
...∂hn
∂u1
∂hn
∂u2· · · ∂hn
∂up
para os Jacobianos e desprezando as potências de ordemelevada de x e u temos
˙x(t) = A(t)x + B(t)u(t)
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Capítulo I – Descrição Matemática de Sistemas
Sistemas a tempo discreto
Um sistema dinâmico a tempo discreto, definido para todok ∈ Z é um dispositivo que converte um sinal de entrada u[k ](definido para todo k ∈ Z) em um sinal de saída y [k ] (definidopara todo k ∈ Z), através da relação
y [k ] = S[u[k ]]
onde S[·] indica um ente matemático que associa sinais deentrada a sinais de saída.
Assumimos que, se um sinal de entrada é aplicado, uma única
saída pode ser medida nos terminais.
A variável independente pode ser naturalmente inteira, porexemplo para sistemas de dinâmica econômica, ou representarinstantes de tempo t = kT para T fixo.
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Capítulo I – Descrição Matemática de Sistemas
Tipos de sistema
Um sistema a tempo discreto é causal se a saída atual dependesomente de entradas presentes e passadas.
O estado no instante k0, denotado por x[k0], é a informaçãono instante k0 que, juntamente com u[k ] para k ≥ k0,determina unicamente a saída y [k ], k ≥ k0. Os elementos dex são chamados variáveis de estado.
Se o número de variáveis de estado é finito, o sistema éconcentrado; caso contrário, é distribuído.
Um sistema a tempo discreto é linear se as propriedades deaditividade e de homogeneidade são verificadas. Neste caso, aresposta pode ser decomposta como a soma da resposta ao
estado nulo com a resposta à entrada nula.
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Capítulo I – Descrição Matemática de Sistemas
Descrição entrada-saída
O impulso unitário δ[k ] é definido como
δ[k − m] =
{
1 se k = m
0 se k 6= m
onde k ∈ Z e m ∈ Z denotando dois instantes.
Qualquer entrada pode ser expressa como
u[k ] =
∞∑
m=−∞
u[m]δ[k − m]
Seja g [k ,m] = S[δ[k − m]]. Como o sistema é linear, a saídapode ser escrita como
y [k ] =
∞∑
m=−∞
g [k ,m]u[m]
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Capítulo I – Descrição Matemática de Sistemas
Descrição entrada-saída
Se o sistema for causal, nenhuma saída pode existir antes daaplicação de uma entrada. Portanto
Causal ⇔ g [k ,m] = 0, k < m
Um sistema é dito relaxado em k0 se seu estado em k0 for 0.Assim, a saída y [k ] para k ≥ k0 depende apenas da entradau[k ]) para k ≥ k0. Se o sistema também for causal
y [k ] =k
∑
m=k0
g [k ,m]u[m]
Gonçalves, A. P. C. IA536–Teoria de Sistemas Lineares UNICAMP 37 / 46
Capítulo I – Descrição Matemática de Sistemas
Descrição entrada-saída
Se o sistema for invariante no tempo, podemos assumir, semperda de generalidade, que k0 = 0.
A descrição entrada-saída se reduz a
y [k ] =k
∑
m=0
g [k − m]u[m] =k∑
m=0
g [m]u[k − m]
A saída de um sistema LIT, com condições iniciais nulas, é aconvolução discreta da entrada u[k ] com sua resposta aoimpulso g [k ].
A convolução discreta entre dois sinais, também representadapor g [k ] • u[k ] é uma operação associativa, distributiva ecomutativa.
A condição para um sistema LIT ser causal é g [k ] = 0 parak < 0.
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Capítulo I – Descrição Matemática de Sistemas
Transformada Z
A transformada Z de uma função f [k ], definida para todok ∈ Z, denotada por f (z) ou Z[f [k ]], é uma função devariável complexa
f (z) : D(f ) → C
onde D(f ) é o seu domínio e
f (z) :=∞∑
k=−∞
f [k ]z−k
D(f ) := {z ∈ C : f (z) existe}
É importante ressaltar que f (z) existe indica que o somatórioacima converge e é finito.
Gonçalves, A. P. C. IA536–Teoria de Sistemas Lineares UNICAMP 39 / 46
Capítulo I – Descrição Matemática de Sistemas
Transformada Z
Geralmente D(f ) não coincide com C. Nestes casos, existempontos z ∈ C dais que z /∈ D(f ) e, portanto, torna-se essenciala determinação do domínio da transformada Z.
Importante: O domínio D(f ) da transformada Z dependefortemente do domínio de f [k ]. Como verificaremos em seguida
k ∈ [0,∞) ⇒ |z| ∈ (α,∞)
k ∈ (−∞, 0] ⇒ |z| ∈ (0, β)
k ∈ (−∞,∞) ⇒ |z| ∈ (β, α)
para valores adequados de α, β ∈ R. Quanto maior o domíniode f (t), menor o domínio de f (z) e vice-versa.
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Capítulo I – Descrição Matemática de Sistemas
Transformada Z
A função potência µk : R → C com µ ∈ C qualquer nãoadmite a transformada Z.
Para funções definidas em todo k ∈ Z, a transformada deLaplace é muito restritiva
Vamos restringir nosso interesse a funções definidas parak ∈ N e assim
f (z) :=
∞∑
k=0
f [k ]z−k
com domínio D(f ) := {z ∈ C : |z | > α} para algum α ∈ R aser determinado.
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Capítulo I – Descrição Matemática de Sistemas
Transformada Z
Classe importante: Definida pela existência de zf ∈ C tal queo limite
limi→∞
i∑
k=0
|f [k ]z−kf |
existe e é finito.
Lema (Domínio)
Para as funções da classe acima, é válido que:
Qualquer z ∈ C satisfazendo |z | ≥ |zf | pertence a D(f ).
Existe M finito tal que |f (z)| ≤ M para todo z ∈ D(f ).
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Capítulo I – Descrição Matemática de Sistemas
Transformada Z
A forma geral do domínio da transformada Z é
D(f ) := {z ∈ C : |z | > α}
Determinação do domínio usando f [k ]: Para a função f [k ]dada, determine o menor α ∈ R tal que
limi→∞
i∑
k=0
|f [k ]α−k | < ∞
Determinação do domínio usando f (z): Para a função f (z)dada, determine o menor valor de α ∈ R tal que ela permaneçaanalítica e portanto finita para todo z ∈ D(f ).
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Capítulo I – Descrição Matemática de Sistemas
Função de transferência
A transformada Z da convolução entre dois sinais discretos é
Z[f [k ] • h[k ]] = f (z)h(z)
A transformada Z da saída de uma sistema LIT, com c.i.nulas, é dada por
y(z) = g(z)u(z)
onde g(z) é chamada função de transferência do sistema.Para um sistema com p entradas e q saídas, temos
y(z) = G(z)u(z)
G(z) =
g11(z) g12(z) · · · g1p(z)g21(z) g22(z) · · · g2p(z)
......
...gq1(z) gq2(z) · · · gqp(z)
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Capítulo I – Descrição Matemática de Sistemas
Função de Transferência
Um sistema a tempo discreto LIT concentrado pode serdescrito pelo conjunto de equações:
x[k + 1] = Ax[k ] +Bu[k ]
y[k ] = Cx[k ] + Du[k ]
Aplicando transformada Z às equações acima:
z[x(z)− x(0)] = Ax(z) + Bu(z)
y(z) = Cx(z) + Du(z)
que implica em
y(z) = Cz(zI − A)−1x(0) + [C(zI − A)−1B + D]u(z)
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Capítulo I – Descrição Matemática de Sistemas
Função de Transferência
Note que a expressão anterior explicita duas componentes daresposta: à entrada nula e ao estado nulo.
Se o estado inicial x(0) for nulo, a equação anterior se reduz a
y(z) = [C(zI − A)−1B + D]u(z)
de onde chegamos na expressão da matriz de transferênciacomo
G(z) = C(zI −A)−1B+ D
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