Teoría de Plasticidad_MII-DeVedia

5/23/2018 Teora de Plasticidad_MII-DeVedia

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MECANICA IIINSTITUTO DE TECNOLOGA PROF. JORGE A. SABATO(UNSAM-CNEA)Ingeniera en Materiales

TEORIA DE PLASTICIDADLuis A. de Vedia

Buenos Aires2010


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Mecnica de Materiales Elementos de Teora de Plasticidad 4-1

4. ELEMENTOS DE TEORIA DE PLASTICIDAD

4.1 Comportamiento plstico idealizado.

Sabemos que un material sometido a un dado estado de cargasexperimenta deformaciones. Si una vez retiradas las cargas, el cuerpo norecupera totalmente su configuracin original y mantiene en cambiodeformaciones permanentes, decimos que ha experimentado deformacinplstica.

Un cuerpo que sufre deformaciones bajo un dado estado de cargas, y querecupera elsticamente parte de la deformacin al retirarse las cargas yconserva el resto como deformacin permanente, se denomina elasto-plstico.Recordemos al respecto que las deformaciones elsticas son reversibles en el

sentido que las mismas dependen biunivocamente de las tensiones aplicadas.

Muchos de los aspectos bsicos de la plasticidad pueden ser introducidosmediante la consideracin del diagrama tensin-deformacin especfica (ounitaria) correspondiente a un ensayo de traccin (o de compresin) uniaxial.En este tipo de diagrama, ilustrado por la curva de la Fig. 4.1que muestra larelacin entre tensin aplicada y deformacin unitaria en un ensayo de traccinsimple en un tal material durante un ciclo de carga, s puede representar latensin nominal o ingenieril (fuerza/rea de seccin inicial), o la tensinverdadera (fuerza/seccin instantnea). Anlogamente, en abscisas se puederepresentar la deformacin convencional o ingenieril e (e = Dl/l0) o la

deformacin verdadera o natural e(e= ln(l/l0)). En lo sucesivo, salvo indicacinen contrario, nos referiremos siempre a la curva tensin verdadera-deformacinverdadera.

La curva anterior corresponde a un material elasto-plstico queexperimenta endurecimiento por deformacin. Muchas veces resultaconveniente idealizar tal comportamiento en la forma indicada por la Fig. 4.2(a), que representa entonces el comportamiento en traccin simple de unmaterial rgido-plstico ideal sin endurecimiento. La curva (b) de la mismafigura muestra en cambio un material elasto-plstico ideal sin endurecimiento,mientras que las (c) y (d) ilustran los casos de materiales rgido-plsticos yelasto-plstico ideales con ysin endurecimientorespectivamente.

s

Fig. 4. 1


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Mecnica de Materiales Elementos de Teora de Plasticidad4-2

Existen diversas expresiones que nos permiten ajustar la curva s-e,idealizada o no, de un material sometido a un estado de traccin simple. Unade ellas es la ya conocida ecuacin de Hollomon

donde A es una constante que depende del material del mismo modo que nque constituye el llamado exponente de endurecimiento por deformacin y quepuede variar entre 0 y 1.

Una expresin alternativa, muy empleada en algunas aplicaciones, talescomo Mecnica de Fractura es la de Ramberg-Osgood

(4. 1)nA =

n

e pE F

= + = + (4.2)

a)

b)

c)

d)

Fig. 4. 2


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donde E es el mdulo de Young y los parmetros F y n deben ser elegidosconvenientemente para cada curva como lo sugiere la Fig. 4.3.De manera quelas constantes n y Fpueden ser obtenidas a partir de un ensayo de traccin

simple a partir de la representacin en escala logartmica de la deformacinplstica en funcin de la tensin.

En efecto, tomando el logaritmo del segundo trmino de la (4.2), quecorresponde a la componente plstica de la deformacin total, resulta

De esta manera, nestar representada por la pendiente de la recta y logFpor la ordenada al origen de la misma. Una forma alternativa de la (4.2)es

donde s0es una tensin arbitraria de referencia (generalmente la tensin de

fluencia del material) y e0lacorrespondiente deformacin unitaria.

(4. 3)log log logP n F =

(4. 4)

n

o o o

k

= +

Fig. 4. 3

e


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Una de las expresiones ms antiguas es la de Ludwik

donde s0, my nson contantes adecuadamente elegidas.

4.2 Criterios de fluencia. Superficies de fluencia y de carga

Del anlisis del comportamiento de un material sometido a un estado detraccin simple, surgi la existencia de un punto de fluencia a partir del cual seproducen deformaciones permanentes. En el caso particular de carga uniaxial,la tensin que corresponde a este lmite de fluencia es de relativamente fcildeterminacin. Sin embargo, en muchos casos es necesario determinar cuando

se produce la fluencia de un material que est sometido a un estado complejode tensiones. Los criterios que permiten responder a esta pregunta constituyenlos criterios de fluencia que determinan el lmite entre el campo elstico y elelasto-plstico.

Si material no endureciese durante su deformacin plstica, el lmite defluencia constituira un valor constante. Sin embargo, la mayor parte de losmateriales presentan un importante endurecimiento al ser deformados, lo quehace necesario analizar la influencia de ese comportamiento en la definicin dellmite de fluencia. No obstante, en el establecimiento de criterios paradeterminar la entrada en fluencia de un material que no ha experimentado

deformacin plstica previa, este aspecto puede ser ignorado.

Considerando ahora un estado complejo de tensiones y un espacio deconfiguracin para dichas tensiones (hiperespacio de seis dimensiones), cadapunto de dicho espacio representar un estado de tensiones diferente. Losinfinitos estados de tensiones que determinan la entrada en el rango plstico deun punto de un material, constituyen una superficie cerrada en dicho espaciode configuracin denominada superficie de fluencia. Si en particular referimoslos estados de tensiones a las direcciones principales, la diagonalizacin deltensor de tensiones nos permite reducir a tres el nmero de dimensiones delespacio de configuracin necesarias para representar tales estados. Este

espacio de tensiones principales se denomina espacio de Haigh-Wetergaard, ytiene la ventaja de que es intuitivamente visualizable por ser slo de tresdimensiones. La Fig. 4.4 ilustra la traza de la superficie de fluencia para uncaso bidimensional en el espacio de tensiones principales.

En la figura se muestra como el mismo estado de fluencia P esalcanzado siguiendo dos trayectorias distintas I y II. Una trayectoria en elespacio de tensiones se denomina programa de cargas. Reservaremos elnombre de superficie de fluencia para el lugar geomtrico de los estados detensiones que producen fluencia en un material que no ha experimentadodeformacin plstica previa, designando superficie de carga a la quecorresponde a condiciones de endurecimiento por deformacin previos. Deeste modo, por definicin la superficie de fluencia ser independiente de la

(4. 5)n

o m = +


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historia de deformacin previa del material, ya que esta ser de naturalezaexclusivamente elstica.

La expresin matemtica de las superficies de fluencia ser en generaluna funcin de las variables de estado

donde kes una constante que depende de la tensin de fluencia del materialconsiderado. Matemticamente, la (4.6) representa en general una superficiede dimensin 5 en un espacio de 6 dimensiones, pero que puede reducirse auna superficie bidimensional en un espacio de tres dimensiones si nosreferimos al espacio de tensiones principales. Por otra parte, si el material esistropo, la iniciacin de la fluencia en un dado punto depender del valor delas tensiones principales en este punto, pero no puede depender de laorientacin particular de las direcciones principales relativas al cuerpoconsiderado. Esta simetra respecto de las tensiones principales que exhibe unmaterial istropo, implica que la forma funcional de la (4.6)debe ser invariantefrente a un cambio en la orientacin de los ejes seleccionados para representarel tensor de tensiones. Esta condicin queda satisfecha por los invariantes del

tensor de tensiones Ik(sij), de modo que la (4.6)debe ser de la forma

donde s es la componente hidrosttica o esfrica del tensor de tensiones,definida como

(4. 6)( )ijf k =

(4. 7)( ) ( )2 3, ,ij ijf I I k =

Fig. 4. 4


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Si ahora tenemos en cuenta que de acuerdo con los resultados de lasexperiencias de Bridgman y otros investigadores, puede aceptarse que

i) El volumen del material permanece constante durante la deformacinplstica.

ii) Un estado hidrosttico de tensiones n produce fluencia y tiene como nicaconsecuencia un cambio de volumen (elstico) del material.

iii) La componente hidrosttica de un estado complejo de tensiones nomodifica el punto en el cual se inicia la fluencia del material.

Resulta entonces que la condicin de fluencia ser independiente de lacomponente hidrosttica s, por lo que podemos escribir

donde

son la componentes del tensor desviador de tensiones y los Ik(sij) son loscorrespondientes invariantes del tensor desviador. Alternativamente,incluyendo la constante kdentro de la ecuacin anterior, resulta

donde

( ) ( )2 3,ij ijf I s I s k = (4. 9)

ij ij ijs = (4. 10)

( )11 1 1

3 3 3ij ij kk ijI = = = (4. 8)

( ) ( )2 3, 0ij ijF I s I s =

(4. 11)

( )

( )

( )

1

2

3

0

1

2

1

3

ij

ij ij ij

ij ij jk ki

I s

I s s s

I s s s s

=

=

=

(4. 12)


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4.1 Representacin grfica de las superficies de fluencia

Si llamamos eje hidrosttico en el espacio de tensiones a la recta deecuacin s1 = s2 = s3, este eje ser el lugar geomtrico de los puntos querepresentan estados esfricos o hidrostticos. Si consideramos el vector

posicin de un punto cualquiera en el espacio de tensiones principales, estevector siempre puede ser descompuesto segn una componente paralela al ejehidrosttico y otra normal al mismo. Llamando entonces plano desviador alplano perpendicular al eje hidrosttico, los puntos sobre dicho planorepresentan estados desviadores. Es fcil ver que la (4.11) representa en elespacio de tensiones principales una superficie prismtica cuyo eje de simetraes perpendicular al plano desviador, tal como lo muestra la Fig. 4.5. Esto surgeal tener en cuenta que la (4.11)es independiente de la tensin media s, ya queslo depende de los estados desviadores. De manera que a los fines delpresente anlisis, slo nos interesa la traza de dicha superficie prismtica conel plano desviador.

La curvaCque corresponde a dicha interseccin, que se muestra en laFig. 4.6, tiene la siguientes propiedades:

i) La curva C debe ser cerrada. Esta es una consecuencia inmediata deaceptar el hecho que las propiedades del material deben variar sobre elcuerpo de manera continua.

ii) La curva C no pasa por el origen Odado que el estado de fluencia slopuede alcanzarse en la mayora de los casos por aplicacin de tensionesrelativamente elevadas.

iii) La curva C es convexa. Esto significa que la misma debe encontrarsesiempre a un mismo lado de la tangente en cualquier punto (esta

Fig. 4. 5


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propiedad es una consecuencia del llamado Postulado de Drucker por loque representa esencialmente una observacin experimental).

iv) Puesto que las direcciones principales son equivalentes en el cuerpoistropo, la funcin Fdebe ser simtrica respecto de s1, s2y s3, en otraspalabras, la funcin F no puede variar frente a una permutacin de las

tensiones principales. Esto implica que los planos s1= s2, s2= s3y s3=s1, deben ser planos de simetra de la curva C.

v) Finalmente, si aceptamos que las tensiones de fluencia en traccin soniguales y de signo contrario a las tensiones de fluencia en compresin (loque implica ignorar el efecto Bauschinger), se cumple que F(s1, s2,s3) =F(-s1, -s2,-s3) y por lo tantola curva Cdebe ser simtrica respecto de losejes perpendiculares a los ejes principales proyectados sobre el planodesviador.

De los expuesto, surge que la curva de fluencia Cdebe estar constituidapor 12 arcos iguales que exhiben simetra hexagonal, por lo que es suficienteconocer slo 1/6 de la misma para predecir la entrada en fluencia del material.

4.2 Criterios de fluencia

Como resultado de sus experiencias sobre fluencia de materialesmetlicos, el ingeniero francs Tresca sugiri que tal estado es alcanzado enun tal material cuando la tensin de corte mxima adopta el valor tMx.= sy/2,

donde syes el valor de la tensin de fluencia que corresponde a un ensayo detraccin simple. Es fcil de deducir a partir de las ecuaciones de Cauchy quelas tensiones tangenciales sobre los planos que bisectan los planos principalesy que contienen a los ejes principales 1, 2 y 3, como se muestra en la Fig. 4.7,son numricamente iguales a

2 3

1

3 1

2

1 2

3

2

2

2

=

=

=

(4. 13)

Fig. 4. 6


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Estas tensiones adquieren valores extremos y se denominan tensionestangenciales principales. Teniendo esto en cuenta, Saint Venant expres el

criterio de Tresca de la siguiente forma

En el rango elstico, las relaciones (4.14) se verifican con el signo dedesigualdad. La condicin de fluencia se alcanza cuando se satisface algunade la relaciones anteriores con el signo de igualdad. Obsrvese que en lasrelaciones anteriores no se respeta necesariamente el ordenamiento habitualpara las tensiones principales: s1s2s3.

Para el caso biaxial con s3= 0 (tensin plana), la traza de la superficiede fluencia en el plano de las tensiones principales s1, s2, est dado en la Fig.4.8.

1 2 3

2 3 1

3 1 2

2

2

2

y

y

y

=

=

=

(4. 14)

Fig. 4. 7

Fig. 4. 8


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Se verifica inmediatamente que el hexgono de la Fig. 4.8 no es otracosa que la representacin grfica de las (4.14)para s3= 0, es decir

En trminos ms generales, las (4.14) definen un prisma hexagonalregular con su eje perpendicular al plano desviador. En efecto, puede verse porejemplo que la ecuacin s2- s3=sY, representa un par de planos paralelos aun plano que contiene el eje hidrosttico. La traza de este prisma sobre elplano desviador es por lo tanto un hexgono regular como lo muestra la Fig.4.9.

Dado que las caras del prisma interceptan a los ejes principales a una

distancia sY del origen y dado que el coseno del ngulo que forman lasdirecciones principales con sus respectivas proyecciones sobre el planodesviador vale (2/3)1/2, entonces el radio del crculo circunscripto al hexgonoregular es (2/3)1/2sY. Observemos que dado que la mxima tensin tangenciales la mitad de la diferencia entre las tensiones principales extremas, la tensinprincipal intermedia no afecta la condicin de fluencia.

Si bien el criterio de Tresca es conceptualmente simple y concuerdarazonablemente con los resultados experimentales, su expresin a travs dedesigualdades implica ciertas dificultades matemticas en problemastridimensionales. Esta circunstancia llev a Von Mises a sugerir que el prismafuese reemplazado por el cilindro circunscripto al hexgono de Tresca, cuyaecuacin resulta entonces

La traza de este cilindro sobre el plano desviador ser entonces el crculocircunscripto al hexgono de Tresca como puede verse en la misma Fig. 4.9.

1 2 2 1, ,Y Y Y = = =

( ) ( ) ( )2 2 2 2

1 2 2 3 3 1 2 Y + + = (4. 15)

Fig. 4. 9


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Recordando la expresin (4.12) para el segundo invariante del tensordesviador, es

Por expansin directa de esta expresin (tomando como ejescoordendados a las direcciones principales) y comparando con (4.15), secomprueba que se cumple la relacin

que constituye entonces una expresin alternativa del criterio de Von Mises.

Por otra parte, es posible demostrar que la energa elstica especfica dedistorsin es proporcional al segundo invariante del desviador de tensiones, demanera que el criterio de Von Mises equivale a decir que la fluencia en unpunto de un material comenzar cuando la energa de distorsin especficaalcance un valor crtico en dicho punto. Por este motivo, al criterio de VonMises se lo denomina muchas veces criterio de la energa crtica de distorsin.

Para el caso biaxial (s3= 0), el criterio de Von Mises adopta la forma

cuya representacin grfica est dada por la elipse circunscripta al hexgonode Tresca que puede verse en la Fig. 4.8. En general, los resultados obtenidoscon materiales metlicos se encuentran entre ambos criterios, peroacercndose ms al de Von Mises que al de Tresca, como lo muestran en laFig. 4.10los resultados clsicos de Taylor y Quinney (1931).

( )2

1

2ij ij ijI s s s=

( )2

23Y

ijI s = (4. 16)

2 2 2

1 1 2 2 Y + =

Fig. 4. 10


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4.3 Tensin efectiva. Deformacin efectiva.

Ser til aqu definir la tensin efectiva o equivalente, como

Por otras parte, si en forma anloga a lo hecho con el tensor de

tensiones, definimos las componentes del tensor desviador de deformacionescomo

donde e = e11 + e22 + e33. Procediendo por analoga con lo hecho para eltensor de tensiones, el segundo invariante del tensor desviador de

deformaciones resulta

Podemos ahora definir la deformacin especfica efectiva o equivalente,como

( ) ( ) ( )

( ) ( )

( )

2 2 211 22 22 33 33 11

1/ 22 2 2

12 23 31 2

1/ 2

22

6 3

3

2

ij

ij ij

I s

s s

= + + +

+ + + = =

=

(4. 17)

3ij ij ije

= (4. 18)

( )

( ) ( ) ( )

2

2 2 2

11 22 22 33 33 11

2 2 2

12 23 31

1

2

1

6

ij ij ijI e e e

= =

= + + +

+ + +

(4. 19)

( )

( ) ( ) ( )

( )

1/ 2

2 2 2

11 22 22 33 33 11

1/ 22 2 2

12 23 31

2

3

2

3

6

ij ije e

= =

= + + +

+ + +

(4. 20)


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4.4 Endurecimiento por deformacin. Superficies de carga.

La deformacin plstica tiene en general como consecuencia unendurecimiento que se traduce en un aumento del lmite elstico, como se

muestra en la Fig. 4.11.

Por ejemplo, si un estado M es alcanzado en traccin simple, el nuevolmite elstico ser ahora sM. Esto significa que si las tensiones varan ahoradentro de dicho lmite, slo se producirn deformaciones elsticas. Con cargassuperiores a las correspondientes al punto M, la deformacin plsticacontinuar y el lmite elstico se ir modificando de acuerdo con la deformacinplstica que se vaya produciendo. De manera que para un material que

experimenta endurecimiento por deformacin, la superficie de fluencia debecambiar continuamente durante la deformacin en el rango plstico. Siasumimos que la modificacin que se va produciendo en la superficie defluencia es independiente de la direccin en que el material se deformeplsticamente, decimos entones que el material experimenta endurecimientoisotrpico y aquella se expandir manteniendo invariable la forma. Podemosexpresar matemticamente este fenmeno generalizando la condicin defluencia inicial dada por la (4.6), de la siguiente manera

siendo j(q) una funcin montonamente creciente del parmetro escalarpositivo q. Este parmetro positivo q debe cuantificar de alguna manera elendurecimiento isotrpico que experimenta el material. En base a las mismashechas anteriormente, la forma funcional de la (4.21)debe ser del tipo

( ) ( )ijf q = (4. 21)

( ) ( )ij ijf s s q= (4. 22)

Fig. 4. 11


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Si bien la hiptesis de endurecimiento isotrpico es la ms simple desdeel punto de vista matemtico, no tiene en cuenta fenmenos que introducenanisotropa en el proceso de endurecimiento como por ejemplo el efectoBauschinger, que hacen que la superficies de fluencia evolucionen con cambiode forma. En particular el efecto Bauschinger consiste en que como resultado

de la deformacin plstica, los materiales adquieren anisotropa dedeformacin, que se manifiesta como una reduccin de la tensin de fluenciacomo consecuencia de la deformacin plstica de signo opuesto. Estoconduce por ejemplo, a una disminucin en la tensin de fluencia encompresin de una barra que ha sido previamente deformada plsticamente entraccin, como se muestra esquemticamente en la Fig. 4.12.

Para tener en cuenta este tipo de fenmenos, se introduce el concepto deendurecimiento cinemtico, en el cual el rango elstico total se mantieneconstante mediante la traslacin de la superficie de fluencia inicial en el espaciode tensiones, sin cambio de forma. Esta situacin se ilustra en la misma Fig.4.12, donde puede verse el desplazamiento de una superficie de fluencia en ladireccin OM, con lo que la nueva tensin de fluencia en dicha direccin esahora mayor que en la direccin contraria OP.

En los sucesivo, reservaremos la designacin de superficie de fluencia ala que corresponde al material que no ha experimentado ningn tipo de

endurecimiento previo, dejando el nombre de superficies de carga paraaquellas que resultan del proceso de endurecimiento. En el modelo cinemtico,la forma general de la superficie de carga ser

donde las aij son las coordenadas del centro de la superficie de carga quecambian durante la deformacin plstica, por ejemplo, asumiendo una relacindel tipo aij= Ceij

P, donde Ces una constante positiva caracterstica del material

y las eijPson las componentes del tensor de deformaciones plsticas.

( )ij ijf s a k = (4. 23)

Fig. 4. 12


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Mecnica de Materiales Elementos de Teora de Plasticidad 15

Es posible combinar ambos modelos de endurecimiento en una solaecuacin de la forma

Consideraremos ahora dos formas alternativas que se han propuesto paraestablecer una medida del endurecimiento que experimenta un materialdurante la deformacin plstica. Estas dos formas corresponden a lo que seconocen como hiptesis de endurecimiento por trabajado e hiptesis deendurecimiento por deformacin. En efecto, la primera hiptesis consiste enasumir que el endurecimiento depende nicamente del trabajo plstico total yes independiente de la trayectoria en el espacio de tensiones, es decir de lahistoria de cargas. Esto significa que la resistencia al fluencia depende en cadainstante slo del trabajo plstico (por unidad de volumen) realizado sobre el

material. De manera que de acuerdo con la (4.21), el criterio de fluencia bajoesta hiptesis, resulta

donde WPes el trabajo plstico por unidad de volumen. De manera que

siendo deijP= deij- deij

e, las componentes plsticas de los incrementos naturalesde deformacin. Las componentes elsticas corresponden a la deformacinque se recupera por la eliminacin de la tensin incremental dsij(descarga), esdecir

La integral (4.26) debe ser evaluada sobre la trayectoria seguida por elmaterial en el espacio de deformaciones desde un estado inicial de referenciahasta el estado actual o final.

Si ahora tenemos en cuenta las (4.16)y (4.17), surge inmediatamente que

el criterio de Von Mises puede expresarse como

( ) ( )ij ijf s a q = (4. 24)

( ) ( )Pijf W = (4. 25)

0

ij

P P

ij ijW d

= (4. 26)

2

ije

ij ij kk

dd d

G E

= (4. 27)


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Mecnica de Materiales Elementos de Teora de Plasticidad16

de manera que si tomamos a la tensin equivalente como funcin de fluencia,podemos escribir

La (4.29)no es entonces otra cosa que el criterio de Von Mises al que sele ha incorporado la hiptesis de endurecimiento por trabajado plstico. La

funcinFdebe ser obtenida experimentalmente, lo que puede hacerse a partirde un ensayo de traccin simple, ya que como es fcil comprobar, en talensayo resulta

y el trabajo plstico WPse calcula a partir del grfico s1vs. e1.

As como se comprueba experimentalmente que la iniciacin de lafluencia no depende de la componente esfrica de la tensin, lo mismo se

observa en general con respecto al endurecimiento por deformacin. Por lotanto es razonable aceptar que la componente esfrica de la tensin nocontribuye al trabajo plstico, lo que implica que no hay cambio de volumenirrecuperable. Matemticamente, esto se expresa como

Obsrvese que este resultado implica adems que

La hiptesis de endurecimiento por deformacin utiliza en cambio comomedida del endurecimiento la deformacin plstica equivalente o efectiva,definida de la siguiente manera

Y = (4. 28)

( )PF W = (4. 29)

1 =

0Piid = (4. 30)

P Pd = (4. 32)

P P

ij ijd de = (4. 31)


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donde

es la deformacin plstica incremental efectiva o equivalente, donde en virtudde (4.31)hemos escrito deij

Pen lugar de deijP.

Es conveniente destacar que la (4.32) adquiere un significado fsicodefinido cuando los ejes principales del tensor de deformaciones incrementalesno rota durante la deformacin con respecto al elemento de volumenconsiderado. Esta condicin se satisface cuando las componentesincrementales de deformacin plstica se encuentran en una relacin constanteentre s. De lo contrario, aun en el caso en que la integral (4.32) puedaobtenerse (como ocurrira por ejemplo si se conociesen los deij

Pen funcin dealgn parmetro tal como por ejemplo la carga durante toda la trayectoria en elespacio de deformaciones, el mismo no tendra en general significado fsico ogeomtrico alguno. Esto limita el uso del concepto de deformacin natural al

caso de direcciones principales de deformacin fijas.

Tomando como funcin de fluencia la tensin equivalente, el criterio deendurecimiento por deformacin se expresa entonces

La utilizacin en (4.34)de incrementos de deformacin plstica tiene su

justificacin en el hecho que el endurecimiento experimentado por un materialno depende exclusivamente de los estados inicial y final, dado que de locontrario un cuerpo deformado plsticamente en el que la forma inicial y finalcoincidieran, no presentara endurecimiento, lo que no se verificaexperimentalmente. De modo entonces que la deformacin plstica total debeestar medida por una serie de contribuciones incrementales positivas a lo largode la trayectoria de deformaciones. Asumiendo que la funcin H es unacaracterstica del material, la misma puede ser determinada a partir de ungrfico s1 vs. e1en una ensayo de traccin simple, dado que la deformacinplstica incremental equivalente o efectiva (4.33) est definida de modo quecoincida con la deformacin incremental de1en un ensayo de traccin simple.

Para comprobarlo, basta tener en cuenta que por la conservacin del volumenen la deformacin plstica, se cumple que de1

P+de2P+de3

P= 0, siendo en el

( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( )

( )

2 2 2

11 22 22 33 33 11

1/ 22 2 2

12 23 31

1/ 2

2

3

6 6 6

2

3

P P P P P P P

P P P

P P

ij ij

d d d d d d d

d d d

d d

= + + +

+ + + =

=

(4. 33)

( ) ( )P PH H d = = (4. 34)


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ensayo de traccin e1P, e2

P= e3Pe1

P, de manera que de2P= de3

P= - de1P/2 y

reemplazando estos valores en la (4.33)surge el resultado buscado

Puede verse fcilmente que empleando el criterio de Von Mises, bajocondiciones de endurecimiento isotrpico las hiptesis de endurecimiento por

trabajado y por deformacin, son equivalentes. En efecto, dado que comopuede verificarse por expansin directa, resulta

de modo que la (4.29)resulta

por lo que debe ser

4.5 Relaciones tensin deformacin en el rango plstico.

Ecuaciones de Prandtl -Reuss.

Sabemos que mientras que en el rango elstico las tensiones seencuentran vinculadas con las tensiones actuales a travs de la ley de Hooke,la relacin en el campo plstico es en general no lineal, como surgeinmediatamente de la curva tensin-deformacin en un ensayo de traccinsimple. Por otra parte, ya hemos mencionado que mientras en el rango elsticoel cmputo de las deformaciones puede efectuarse a partir de las tensiones sintener en cuenta la historia de cargas, en el campo plstico las deformacionesno estn en general determinadas univocamente por las tensiones actualessino que dependen de dicha historia de cargas. En este sentido, es importantedestacar que las deformaciones se independizan del camino de cargas, slo enel caso de carga proporcional, es decir cuando todas las tensiones aumentanen la misma proporcin y se cumple por lo tanto que

Una de las relaciones constitutivas en el rango elasto plstico msempleadas, es la propuesta por Prandtl (1925) y Reuss (1930). La deformacin

P P P

ij ijW d d = =

P

F d =

( ) ( )P Pf H =

31 2

1 2 3

dd d

= =


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total incremental es la suma de la deformacin elstica incremental ms laplstica incremental, es decir

donde teniendo en cuenta la (2.9), es

o bien, considerando que

resulta

Para la componente plstica de la deformacin se utiliza la relacinincremental

donde dl es un factor diferencial escalar no negativo, que puede variar a lolargo de la historia de cargas.

Por ser dlun factor escalar, la (4.38)implica la suposicin que durante ladeformacin, los ejes principales de los incrementos de deformacin plsticacoinciden con los ejes principales de las tensiones. Una forma alternativa deexpresar la (4.38), es

e P

ij ij ijd d d = + (4. 35)

1eij ij kk ijd d d

E E

+= (4. 36)

3kk

ij ij ij

dd ds

= +

1 1 2

3

e kkij ij ij

dd ds

E E

+ = + (4. 37)

P

ij ijd s d =(4. 38)

33 23 1311 22 12

11 22 33 12 23 13

P P PP P Pd d dd d dd

s s s s s s

= = = = = = (4. 39)


21/24


Las ecuaciones de Prandtl Reuss implican que los incrementos dedeformacin plstica dependen de los valores actuales de las tensionesdesviadoras y no de los incrementos de tensin requeridos para alcanzar elestado actual. Planteadas de esta manera, lo que estas ecuaciones proveen esslo la relacin entre los incrementos de formacin plstica en las distintas

direcciones.

Teniendo en cuenta la (4.8) y la (4.10), surge inmediatamente que las(4.38)y (4.39)pueden escribirse como

de modo que contando con una forma explcita para el factor dl, las (4.40)nosproveen las relaciones constitutivas tensin deformacin en el campoplstico.

La forma explcita del factor dlla podemos obtener introduciendo la (4.38)en la (4.33)y teniendo en cuenta la (4.17),de modo que queda

o bien

( )

( )

( )

2 1

3 2

2 1

3 2

2 1

3 2

P

xx xx yy zz

P

yy yy zz xx

P

zz zz xx yy

P

xy xy

P

yz yz

P

zx zx

d d

d d

d d

d d

d d

d d

= +

= +

= +

=

=

=

(4. 40)

( ) ( )

( )

1/ 2 1/ 2

1/ 2

2 2

3 3

2 2 2 2

3 3 3 3

P P P

ij ij ij ij

ij ij

d d d d s d s

d s s d d

= = =

= = =

3

2

Pdd

=(4. 41)


22/24


Las (4.40)quedan entonces

Obsrvese que dado que las Ecs. De Prandtl-Reuss utilizan el conceptode tensin equivalente, esto implica que el criterio de fluencia utilizado en estasecuaciones es el de Von Mises. En particular, para un material perfectamenteplstico, es decir que no experimenta endurecimiento por deformacin, es

de manera que para un tal material resulta

Para un material que endurece por trabajado, la tensin de flujo plsticoir aumentando por lo que es necesario hallar la relacin entre la tensinequivalente y la deformacin plstica equivalente incremental. Una forma dehacerlo es adoptando el criterio de endurecimiento por trabajado, de modo quecomo es posible comprobar por expansin directa y teniendo en cuenta (4.17)

( )

( )

( ) ( )

1

21

2

1

2

3

2

3

2

3

2

PP

xx xx yy zz

PP

yy yy zz xx

PP P P

zz zz xx yy xx yy

PP

xy xy

PP

yz yz

PP

zx zx

dd

dd

dd d d

dd

dd

dd

= +

= +

= + = +

=

=

=

(4. 42)

y =

32

PP

ij ij

y

dd s

= (4. 43)

22

3

P P

ij ij ij ij ij ijdW d d s d s s d = = = =


23/24


por lo que resulta

Las Ecs. de Prandtl-Reuss quedan entonces

Asumiendo ahora que la funcin

es independiente de la trayectoria de deformaciones, la misma puededeterminarse mediante un ensayo de traccin simple y los incremento dedeformacin plstica calcularse mediante la (4.45).

Una hiptesis alternativa es la de endurecimiento por deformacin en laque la medida del endurecimiento, segn hemos visto, est dada por

de modo que en este caso, es

donde nuevamente, esta funcin puede determinarse experimentalmente y losincrementos de deformacin plstica pueden calcularse mediante las (4.42).

Si bien en general, las (4.46) y (4.47)no conducen al mismo resultado,hemos visto que ambas son equivalentes para el caso de materiales queexperimentan endurecimiento isotrpico con el criterio de fluencia de VonMises.

En general, esta ltima hiptesis es la utilizada habitualmente por ser mas

sencilla de implementar a partir de un ensayo de traccin simple. Para ello,definiendo

2

3

2

PdWd

= (4. 44)

2

3

2

PP

ij ij

dWd s

= (4. 45)

P Pd =

( )Pf W = (4. 46)

)

PH = (4. 47)


24/24


donde H es la pendiente de la curva (4.47), la (4.43)puede escribirse como

'P

dH

d

=

3

2 '

P

ij ij

dd s

H

= (4. 48)

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