PROLOGO Surge este trabajo ante una ausencia de texto alguno en espaol acerca de la Teora de la Relatividad que abarque no slo la aplicacin de las frmulas fundamentales (que es algo a lo que se limitan muchos libros de texto) sino la filosofa fundamental sobre lo que es realmente la Teora de la Relatividad, cmo se fueron desarrollando las ideas hasta llegar a ella. Resulta lamentable que muchos libros de texto sobre este tema se limitan a reproducir algunas frmulas aplicando dichas frmulas a unos cuantos ejemplos particulares, dejndole al estudiante muchas dudas e inclusive cierto grado de perplejidad ante lo que parecen ser efectos sacados de un bal de trucos de magia y paradojas aparentes que hacen dudar sobre las bases de la teora. Aunado a lo anterior se enfrenta el obstculo de que los efectos fsicos que son consecuencia directa de la Teora de la Relatividad no son apreciables en nuestra experiencia cotidiana dado que tales efectos slo salen a relucir a velocidades comparables a la velocidad de la luz, la cual es extraordinariamente alta (300 mil kilmetros por segundo). Si la velocidad de la luz fuese de unos 2 mil kilmetros por segundo, seguramente estaramos acostumbrados a sus efectos y la Teora Especial de la Relatividad sera comprendida en sus efectos hasta por un nio de primaria por la familiaridad diaria con sus consecuencias. La ausencia de un buen libro introductorio en espaol e inclusive en ingls que le permita al lector no slo comprender lo que es la relatividad sino que adems le permita llevar a cabo la resolucin de problemas numricos o inclusive problemas generalizados es notoria. As tenemos libros introductorios escritos para el pblico en general como el libro The Relativity Explosion de Martin Gardner, el cual intenta describir de manera detallada las filosofas que estn detrs de las conclusiones y descubrimientos de la Teora de la Relatividad, pero el cual por su ausencia de frmulas y nmeros aplicados sobre dichas frmulas a casos particulares deja a sus lectores funcionalmente iletrados en lo que es la relatividad. Despus de leer en su totalidad tal libro lo ms seguro es que no podrn resolver ni siquiera un solo problema as sea sencillo que involucre fenmenos relativistas. Por otro lado, tenemos libros de texto universitarios como el libroFoundations of Modern Physics de Paul A. Tipler, el cual en las 51 pginas de las que consta el primer captulo del libro ensea de manera concisa a sus lectores a resolver problemas simblicos y numricos relacionados con la Teora Especial de la Relatividad, pero no recurre para nada a los diagramas espacio-tiempo concebidos originalmente por Hermann Minkowski, tan esenciales para poder obtener una perspectiva geomtrica sobre los fenmenos relativistas. La didctica utilizada por Tipler es una didctica puramente algebraica, y al prescindir por completo de los diagramas espacio-tiempo limita las perspectivas de entendimiento de sus lectores, sobre todo en asuntos que involucran la simultaneidad, un fenmeno que se puede captar claramente en un diagrama espacio-tiempo. Por si esta deficiencia fuese poca, el libro de Tipler no d ni siquiera la ms remota pista a sus lectores acerca de lo que trata la Teora General de la Relatividad. Los diagramas espacio-tiempo s son utilizados en el libro Fsica (en su versin en Espaol) de los autores Francis W. Sears y Mark W. Zemansky, lo cual d una buena perspectiva geomtrica a los lectores sobre la interpretacin de los fenmenos relativistas, pero lo que por un lado

generosamente dn con los diagramas espacio-tiempo (a los cuales llaman diagramas Brehme) por el otro lado lo quitan al omitir (seguramente por la naturaleza introductoria del libro aunque se trate de un texto universitario) totalmente no slo la derivacin de las frmulas de transformacin Lorentz-Fitzgerald sino toda la filosofa bsica que subyace a los postulados bsicos de la Teora de la Relatividad, como tampoco hacen mencin alguna a lo ms elemental que yace detrs de la Teora General de la Relatividad. De este modo, la perspectiva filosfica y la perspectiva algebraica son sacrificadas en aras de la perspectiva geomtrica. Por otro lado, el libro Space, Time and Gravity de Robert M. Wald no lleva a cabo ni siquiera una introduccin decente a los diagramas espacio-tiempo en menos de las cinco pginas que le dedica a tal cosa, para luego saltar directamente hacia la Teora General de la Relatividad presentando un conjunto de frmulas que los lectores no tienen ni siquiera la ms remota idea de dnde pudieron haber salido. Los materiales propios requeridos para el estudio de la Teora de la Relatividad se encuentran tan dispersos que inclusive en el venerable libro Mathematical Methods for Physicists de George Arfken (tercera edicin, 1985) el importantsimo tensor de Riemann, tan fundamental para la geometra diferencial y el estudio del espacio-tiempo curvo, en vez de cubrirse en una seccin dedicada nica y exclusivamente a dicho tema, es relegado a uno de varios problemas en el captulo 3.2 del libro, sin hablarse despus ms del asunto. Y este es precisamente el libro de texto convencional usado por aos en las universidades para educar a los fsicos en el uso de las herramientas matemticas que todo fsico necesita para poder continuar adelante con estudios ms especializados! Y si no les ensean en este libro mucho sobre el tema, entonces en dnde esperan que lo puedan aprender si no es que por cuenta propia? El libro Fsica Moderna de Ronald Gautreau y William Savin (de la Serie de Compendios Schaum) podra haber sido una buena opcin, excepto que no d una gnesis coherente sobre el desarrollo de las ideas que condujeron a la Teora Especial de la Relatividad ni habla en lo absoluto acerca de los diagramas de Minkowski ni toca para nada el tema de la Teora General de la Relatividad. Y el libro Fsica para estudiantes de Ciencias e Ingeniera de Robert Resnick y David Halliday es todava peor en el sentido de que simplemente se limita a reproducir varias de las frmulas propias de la relatividad, y sin entrar en detalle sobre los orgenes filosficos de la teora y sin inclur mencin alguna acerca de la existencia de los diagramas espacio-tiempo enfatiza la aplicacin de las frmulas a los ejemplos numricos sobre los cuales se pueden aplicar directamente las frmulas sin entender realmente lo que est sucediendo, lo cual tiene la desventaja de que hay muchos problemas sencillos que se pueden postular en un curso introductorio que no pueden ser resueltos con la mera aplicacin de frmulas aprendidas como dogmas trados por un ser superior, problemas para los cuales es necesario comprender exactamente lo que est sucediendo. No se puede tratar de resolverlo todo o inclusive una nfima parte del todo simplemente multiplicando o diviendo por 1 - V/c como acostumbran hacerlo muchos principiantes. Si no se sabe cmo fue obtenida una frmula, menos se sabr como modificar la frmula para aquellos casos en los que el problema sea alterado un poco. Esta metodologa para lo nico que es buena es para memorizar, no para comprender, y ha sido la causante de que muchos estudiantes que simplemente se limitan a aplicar las frmulas terminen con la impresin equivocada de que la relatividad es algo repleto de efectos casi mgicos, posibles ilusiones pticas, o ultimadamente que se trata de una teora equivocada. Y muchos que frustrados tratan de aprender por cuenta propia lo que es la Teora de la Relatividad

frecuentemente se topan en las pocas bibliotecas tcnicas que hay en Mxico con libros sobre el tema que el asunto es tratado de una manera rigurosa e inclusive pedante en la cual se obscurecen conceptos esenciales con formalismo notacional que no ilustra mucho lo que se est estudiando. De este modo, en lugar del estilo relajado utilizado por matemticos como Henri Poincar que se explayaban en sus trabajos dando todo tipo de ejemplos ilustrativos esforzndose por hacerle entender a sus lectores las ideas que se les quera transmitir, lo que se tiene en muchos casos son textos que adoptan un rigorismo axiomtico en el cual no se proporciona un solo ejemplo ilustrativo y que slo se limitan a la derivacin de teoremas a partir de los axiomas y definiciones que se van dando, siguiendo el mtodo moderno para la publicacin de trabajos cientficos inspirado por el grupo Bourbaki con el cual se elimina todo lo que no es considerado estricta y absolutamente indispensable, eliminndose muchos pasos intermedios que se suponen obvios, aunque ello implique dejar a los lectores con muchas dudas. Si antes se tena un formalismo moderado con el cual se dificultaba captar la naturaleza esencial de las ideas transmitidas, con el formalismo axiomtico riguroso de hoy en da en muchos casos no se tiene ni siquiera la ms remota idea de las posibles aplicaciones o la posible trascendencia de aquello de lo que se est hablando. En el camino de forjar una teora generalizada en grado extremo, abstracta por excelencia, con un conjunto mnimo de axiomas y postulados, definiendo algunos trminos bsicos, derivando teoremas empleando estrictamente las reglas de la lgica simblica, obtener resultados y corolarios y continuar derivando teoremas sin un solo ejemplo ilustrativo e inclusive sin recurrir a un solo diagrama, puede quedar la impresin en muchos de que en ese largo recorrido se estn pasando por alto o se estn perdiendo ideas importantes. Los rigoristas de hoy han olvidado que si no se le puede poner nmeros a aquello de lo que se est hablando en realidad se sabe muy poco o tal vez no se sepa nada acerca de lo que se est hablando, y a ellos se les podra recordar la mxima de Lord Kelvin quien seal: Yo digo frecuentemente que cuando uno puede medir aquello de lo cual se est hablando, y expresarlo en nmeros, entonces uno sabe algo acerca de ello. Procediendo de una manera rigurosamente axiomtica, formalista, bastaran tan slo unas dos o tres pginas para decirle al lector que todo lo que tenga que ver con la Teora General de la Relatividad se puede derivar de tan slo dos ecuaciones:

lo cual es cierto. E inclusive, adentrndonos en el rigorismo, podramos comenzar postulando a la siguiente cantidad conocida como la accin (el integrando es un concepto fsico importante

conocido como el Lagrangiano) como punto de partida de la Teora General de la Relatividad:

habido el hecho de que a partir de la extremizacin de la accin (con la ayuda del clculo de variaciones que es esencialmente un refinamiento del procedimiento para obtener mximos y mnimos mediante el clculo infinitesimal) se pueden derivar axiomticamente las ecuaciones de campo de Einstein de la Relatividad General. Pero nadie en su sano juicio esperara que algn lector sin experiencia previa en el asunto empiece a resolver de buenas a primeras problemas a partir de los anteriores enunciados matemticos como lo hara alguien que haya tomado un buen curso previo sobre la materia. Se pueden tomar las ecuaciones anteriores como postulados, y con unas cuantas definiciones que se vayan agregando en el camino, se pueden ir derivando teoremas y lemmas y corolarios con los cuales se pueden seguir derivando ms teoremas y ms lemmas y ms corolarios, y as la cosa hasta el infinito. Pero... realmente se entiende aquello de lo que se est hablando? La derivacin mecnica de resultados aplicando las reglas de la lgica es algo que, estrictamente hablando, lo puede hacer cualquier mquina programada para ello. Pero hasta la fecha son pocos, inclusive los ms optimistas en el campo de la inteligencia artificial, los que esperan realmente que de una mquina aplicando a ciegas las leyes de la derivacin lgica pueda salir una idea nueva. An otro obstculo en el estudio independiente de la Teora de la Relatividad lo constituye el hecho de que un mismo smbolo es usado frecuentemente para representar conceptos totalmente diferentes, como la letra griega delta minscula que es usada para representar el smbolo delta de Kronecker ij, y es usada tambin para denotar la derivada absoluta, y es usada tambin para denotar la funcin delta de Dirac, y en el clculo de variaciones se utiliza para representar lavariacin de una integral a ser extremizada, lo cual desde luego podra ser solventado inventando una cantidad creciente de nuevos smbolos que a fin de cuentas slo reemplazaran una complejidad por otra (la primera opcin, retener un mismo smbolo para representar cosas distintas, parece ser mejor que la segunda). La contraparte son las definiciones matemticas para las cuales no hay una convencin universalmente aceptada, como el hecho de que en muchos libros los componentes de los vectores covariantes son representados con ndices subscriptos (sub-ndices) y los componentes de los vectores contravariantes son representados con ndices superscriptos (super-ndices), mientras que en muchos otros libros se lleva a cabo precisamente lo contrario representando los componentes de los vectores covariantes con ndices superscriptos y los componentes de los vectores contravariantes con ndices subscriptos; o como ocurre con los

smbolos de Christoffel que no slo son representados con la notacin usual gamma ijk y ijk sino que tambin son representados con parntesis rectangulares [ij,k] y con notacin de corchetes { }, lo cual slo aumenta la confusin en los iniciados al ir de un texto a otro. Un libro muy bueno que tal vez sea una excepcin a la regla de los libros pedantes, fanfarrones o incompletos sobre el tema de la Teora General de la Relatividad es el libro Relativity de Bernard F. Schutz, el cual tiene la enorme ventaja de que incluye al final del libro pistas y soluciones a los ejercicios de prctica propuestos en el libro, con los cuales el estudiante autodidacta puede ver por s mismo qu tan bien ha comprendido el material. Desafortunadamente, adems de que este libro es un libro en ingls que an (2009) no ha sido traducido al espaol, este libro no est disponible en la gran mayora de las bibliotecas tcnicas y universitarias de la Repblica Mexicana, y ello adems de que se trata de un libro impreso no en los Estados Unidos sino en Inglaterra o Australia o algn otro pas miembro del Commonwealth, lo que dificulta an ms obtener el libro. Otro problema en intentar comprender realmente de lo que trata la Teora de la Relatividad frecuentemente es que la tarea es complicada por maestros que no saben explicar bien aquello de lo cual saben mucho, o peor an que saben dar explicaciones perfectamente claras acerca de cosas sobre las cuales saben y entienden muy poco. Estoy convencido de que la nica razn por la cual una persona se resigna a perder miles de horas de su corta vida calentando mesabancos sin aprender mucho o inclusive nada de aquellos malos maestros de los cuales debera de estar aprendiendo muchas ideas nuevas, privndose a la vez de otras satisfacciones que podra obtener de la vida, es porque tiene que cumplir con un requisito obligatorio aplicado por igual a todos los estudiantes, aguantando a esos malos maestros como un mal necesario de la vida ante los cuales solo queda resignarse mientras los cursos acadmicos felizmente lleguen a su fin. Otro estorbo en la difusin de las ideas fundamentales que hay detrs de la Teora de la Relatividad es la formidable (e injustificada) reputacin de que se trata de una teora extremadamente complicada para la cual se necesita ser un genio para poder comprenderla. Una ancdota que viene al caso es una entrevista realizada al Profesor Arthur Stanley Eddington, en la cual el entrevistador pregunta: Profesor Eddington, es cierto que slo hay tres personas en el mundo que entienden la teora de Einstein?, a lo cual supuestamente Eddington le responde: quin es la tercera? Como si todo lo que ya se ha sealado no fuesen suficientes intimidaciones, obstculos e impedimentos para dificultarle al principiante el tratar de aprender por cuenta propia los aspectos relevantes de la Teora de la Relatividad, otro problema con el que nos topamos es que no slo hay autores que omiten pasos de desarrollo que tal vez para ellos sern muy obvios pero que no son nada obvios para quien est tratando de entender cada paso, sino que inclusive incurren en lo que parecen ser traspis sin dar justificacin alguna a la lgica empleada por ellos para asentar tales traspis dndolos como hechos ciertos e incontestables. Un ejemplo entre muchos lo podemos tomar del reverenciado libro A First Course in General Relativity del muy respetado y alabado autor Bernard F. Schutz, en donde podemos leer en la seccin 10.7 de su libro titulada

Realistic stars and gravitational collapse una derivacin del momentum de Fermi que invoca al principio de incertidumbre de Heisenberg para asentar que para un electrn encerrado en una caja de volumen V, el momentum de dicho electrn es incierto por una cantidad del orden de (ecuacin 10.71 en el libro): p = hV-1/3 que viene siendo lo mismo que: p V3= h en donde h es la constante de Planck: h = 6.62610-34 Joulesegundo h = 4.13610-15 eVsegundo Lo primero que salta a la vista es que la ecuacin dada por Schultz es dimensionalmente incorrecta. No existe forma alguna en la cual se puedan compaginar las unidades. Ello deriva del hecho de que la relacin usual de la incertidumbre de Heisenberg es una frmula unidimensional: p x h/4 El principio de incertidumbre de Heisenberg puede ser extendido rigurosamente, desde luego, de una dimensin a tres dimensiones. Pero la frmula as obtenida no se asemeja a la frmula dada por Schutz. En una ciencia en la que hasta diferencias numricas minsculas en las masas de dos elementos distintos -despus de la tercera o la cuarta cifras significativas- son importantes para calcular la enorme cantidad de energa liberada mediante el proceso de conversin de masa a energa, estas omisiones en las que con toda la naturalidad del mundo una potencia lineal es reemplazada por una potencia cbica o viceversa son francamente imperdonables. Y si el lector intenta justificar por s mismo la frmula dada por Schutz, encontrar que el 99 por ciento de los libros que pueda consultar le darn la frmula de Heisenberg en su versin unidimensional, no en su versin tridimensional, y cuando se la dan es probable que se la den como parte de un ejercicio puesto al final del libro para el cual no se d la solucin alguna dentro del libro. Complicando an ms las cosas est el hecho de que la derivacin dada por Schutz ni siquiera es la derivacin usual que se d al momentum de Fermi, ya que mientras que Schutz parte del principio de incertidumbre de Heisenberg la derivacin usual de la frmula que se d en la gran mayora de los

libros de Mecnica Cuntica para el momentum de Fermi recurre a la especificacin de niveles energticos extendidos a lo que llamamos una esfera de Fermiencerrada dentro de una superficie de Fermi: http://en.wikipedia.org/wiki/Fermi_energy Por lo que podemos ver, la derivacin dada por Schutz es una derivacin muy sui generis, partiendo de una base que para l parece estar totalmente justificada y que no requiere mayores explicaciones al lector, y si lo que Schutz omiti en su libro resulta ser muy claro para l entonces se supone que debe ser tambin muy claro para todos sus lectores y para los maestros que adopten su libro como libro de texto, aunque desafortunadamente esto no sea el caso. Otro punto de contencin que se puede formular en contra de muchos textos clsicos es el hecho de que asumen demasiadas cosas por enseadas o explicadas en otros textos considerados ms elementales. Un ejemplo lo podemos ver en la segunda edicin del libro Classical Electromagnetic Radiation de Jerry B. Marion y Mark A. Heald en el Apndice C Fundamental Constants, en donde para la carga elctrica e del electrn se proporciona un valor de 4.80310 10 statcoulombs, y debajo de dicho valor proporciona un valor de e = 1.44010-13 MeV-cm sin dar mayores explicaciones al respecto, lo cual puede dejar perplejo al lector. Pero no slo no proporciona explicacin alguna en dicho apndice sobre el por qu o la forma en la cual se llev a cabo esta conversin, tampoco dentro del libro hace mencin alguna al respecto, suponiendo que la razn para esto seguramente fue enseada en otros textos ms elementales. Pero la gran mayora de los textos considerados ms elementales no hace tampoco mencin alguna sobre el origen de esto, suponiendo que tal cosa ser cubierta en mayor detalle en textos considerados ms avanzados como el de Marion-Heald, y lo peor del caso es que en los textos considerados ms elementales el sistema de unidades utilizado es el SI del cual la unidad de carga elctrica statcoulomb no forma parte (el valor que utilizan es el de 1.610-19 coulomb, el cual est relacionado con el statcoulomb mediante la conversin 1 coulomb = 310 9 statcoulombs). Esto puede confundir y desesperar a cualquier principiante que se encuentra a s mismo perdiendo una gran parte de su tiempo enfrascado en la conversin de unidades, algo en lo que no debera haber problema alguno. Y como ste caso se pueden citar millares de ejemplos en los cuales en textos considerados autosuficientes se utiliza informacin para la cual se dn muchas cosas por conocidas previamente aunque no haya razn para suponer que necesariamente tales cosas fueron enseadas previamente en la gran mayora de los cursos considerados ms elementales. Una razn utilizada por muchos autores para no entrar en detalles aclaratorios sobre cosas que ameritan una mayor explicacin es el argumento (yo lo llamara ms bien excusa, pretexto) de la falta de espacio. Afortunadamente, en Internet no se trabaja con tales limitaciones, y es posible explayarse de un modo que muchas casas editoras no lo permitiran. Naturalmente, si muchos libros en el mercado resultan demasiado crpticos para el lector ordinario por todas aquellas cosas omitidas por la falta de espacio, siempre existe la posibilidad de que tales libros evantualmente sean desplazados y pierdan una buena parte del mercado, reemplazados por materiales de mayor extensin que se pueden encontrar en Internet inclusive de manera gratuita.

Soy de la opinin de que el nfasis en rigorismo y en invencin continua de notacin matemtica cada vez ms elaborada y compleja tiene que ver directamente con el hecho de que en la actualidad no se estn dando ya los espectaculares avances que se estaban dando a principios del siglo XX en las ciencias bsicas. A cambio de tanto rigorismo y tanto formalismo aplicado casi a ciegas lo que estamos obteniendo son teoras sumamente complejas como la teora de las supercuerdas (string theory) que no han servido para proponer ni siquiera un solo experimento con el cual se pueda descubrir algo nuevo y confirmar as la teora, en contraste con las ecuaciones originales de James Clerk Maxwell y de Albert Einstein a partir de las cuales se predijeron muchos efectos que posteriormente fueron confirmados en los laboratorios. No s si haya un libro en ingls que subsane todas las deficiencias que han sido sealadas anteriormente. Si lo hay, no tengo conocimiento del mismo. Pero ciertamente tal libro no parece estar disponible para su venta en espaol; al menos yo no he visto un libro tal en las libreras dedicadas a la venta de textos universitarios y temas de ndole tcnica. Es por ello que, aprovechando la facilidad de poder llegar a travs de Internet a un auditorio amplio, he decidido recopilar los materiales que se encuentran dispersos aqu y all para presentarlos de una manera coherente y entendible. He tratado de mantener los materiales agrupados y seleccionados de modo tal que puedan ser comprensibles con un mnimo de estudios matemticos. Pero no he tratado de inclurlo todo. Debe tomarse en cuenta que un curso completo sobre la Teora de la Relatividad requerira de un libro como el libro Gravitation de ms de 1,200 pginas:

de Charles W. Misner, Kip S. Thorne y John Archibald Wheeler (considerado por los estudiosos como la Biblia de la Relatividad General y conocido tambin entre la comunidad cientfica como el Directorio Telefnico por su grosor), siendo ste un libro que se utiliza a nivel de estudios de Doctorado en Fsica. No es el propsito de esta obra ser enciclopdica cubrindolo absolutamente todo. Sin embargo, con los materiales que he includo, al menos los que no son especialistas en el tema tendrn cierta idea sobre aquello de lo cual estn hablando estos libros de texto avanzados, y tal vez hasta podrn entender algunas cosas en dichos libros, lo cual siempre es mejor que no entender absolutamente nada y no tener la menor idea sobre aquello de lo cual trata una de las teoras ms revolucionarias de nuestros tiempos. Tal vez haya frases o comentarios dentro de este trabajo que a algunos lectores les parecern demasiados obvias e inclusive superfluas. Por ejemplo, en varias partes el lector tal vez encontrar una referencia a cierto objeto movindose todo el tiempo en la misma direccin y sentido, y al ver esto tal vez se dir a s mismo: Por qu se habla aqu de un objeto que se est moviendo en la misma direccin y sentido? Es que acaso un objeto puede moverse en cierta direccin pero en diferente sentido?. La respuesta que a veces sorprende a muchos est ejemplificada en el siguiente diagrama:

En este caso, tenemos un cuerpo A que est movindose siguiendo una direccin hacia la derecha. Pero el sentido en el que est movindose dicho cuerpo es realmente hacia donde lo est jalando el cuerpo B, que es hacia abajo. Al hablar de un cuerpo que est movindose en la misma direccin y sentido, se est hablando de un cuerpo que se est moviendo en la misma direccin y en el mismo sentido, literalmente hablando. Existen tambin otras definiciones con diferencias sutiles que desafortunadamente muchos maestros omiten sealar ya sea por olvido o por ignorancia, como el hecho de que utilizamos la palabra rea cuando nos referimos al espacio comprendido dentro de una figura geomtrica plana y utilizamos la palabra superficie cuando nos referimos al mismo espacio comprendido dentro de los bordes de una figura geomtrica tridimensional (como lo es el caso de la superficie de una pelota); o como el hecho de que no es lo mismo velocidad que rapidez, ya que para definir la velocidad de un objeto generalmente la damos sealando la direccin hacia la cual se est desplazando dicho objeto o por lo menos le asignamos un signo positivo o negativo (por ejemplo un signo positivo cuando se trata de un cuerpo movindose hacia la derecha o un signo negativo cuando se trata del mismo cuerpo movindose en sentido contrario, hacia la izquierda) pero para definir la rapidez del mismo objeto simplemente damos la magnitud de la velocidad (por ejemplo, 5 metros por segundo) sin hacer referencia alguna a la direccin hacia la cual se est moviendo el objeto. Hay an otras definiciones cuyo uso puede causar confusin en quienes adolecen de una mala enseanza en sus estudios de secundaria y bachillerato, como la diferencia entre el concepto de masay el concepto de peso (la masa es algo intrnseco, invariable, medido en kilogramos, propio de un objeto cualesquiera que ocupe un lugar en el espacio y que inclusive pueda estar flotando en el espacio, mientras que el peso es la atraccin ejercida por la gravedad sobre una masa, de forma tal que una masa de una tonelada -mil kilogramos- puede tener un peso igual a cero al estar flotando fuera del sistema solar, mientras que una masa de unos cuantos gramos puede tener un peso considerable sobre la superficie de un planeta como Jpiter). Y as como stos hay otros detalles y expresiones similares empleadas aqu que vistas a fondo no son tan superfluas. En donde lo he considerado conveniente, he metido problemas de ejercicios de prctica que el lector puede intentar resolver por s mismo antes de irse un poco ms abajo del mismo para ver su solucin. En ningn caso he includo problema o ejercicio para el que yo no d solucin alguna,

porque es mi objetivo no dejar con dudas a los lectores. Y esto aplica a toda la obra. He tratado tambin de recurrir a todo el arsenal disponible de elementos didcticos y pedaggicos para poder mantener centrada la atencin del lector sobre el tema que se est discutiendo, incluyendo numerosas figuras y diagramas as como el uso de colores en donde tal cosa sea conveniente para resaltar la importancia de algo en especfico; y del mismo modo me he permitido agregar pasos extra en la derivacin de resultados que frecuentemente son omitidos en los textos impresos. Aunque en una cadena de razonamientos hay muchas explicaciones y muchos pasos que son ms que obvios para el maestro o para el especialista, pasos que son omitidos en la publicacin de trabajos cientficos, muchas veces hay cosas que no son tan obvias para los que estn iniciando por vez primera el estudio de una rama nueva del conocimiento, y es aqu en donde cualquier explicacin adicional o comentarios extra pueden ser de gran ayuda para ayudarle al lector a comprender mejor una idea sin dejarle dudas sobre la misma, y de esto es de lo que trata a fin de cuentas todo el esfuerzo que se ha estado llevando a cabo en esta obra. La obligacin del maestro no es dar explicaciones elegantes, su obligacin es dar explicaciones entendibles, su obligacin es ensear, y en la medida en que el maestro pueda lograr esto habr cumplido (o fracasado) en su misin fundamental que consiste en la transmisin de conocimientos. Las explicaciones elegantes, concisas, abstractas, rigurosas (y de preferencia poco entendibles) se pueden dejar para la publicacin de trabajos cientficos para cuya lectura se supone que los lectores estn familiarizados e inclusive son expertos en el tema. Se ha hecho lo posible por hacer esta obra autosuficiente, proporcionando dentro de la misma las herramientas necesarias para poder avanzar sin necesidad de tener que estar buscando en las bibliotecas y en las libreras otros libros de texto de difcil obtencin que recurren incluso a notacin diferente que puede resultar confusa. Los materiales de referencia externos, cuando son citados aqu, son materiales que se pueden obtener rpidamente con una conexin a Internet. Como ser obvio conforme el lector se adentre en el estudio de la materia, Einstein no formul por cuenta propia todo lo que tiene que ver con la Teora de la Relatividad, se tuvo que apoyar en los trabajos de otros cientficos de primer nivel como Bernhard Riemann (el matemtico que asent sobre bases firmes la geometra diferencial y formaliz el estudio de las geometras noEuclideanas), James Clerk Maxwell (el padre del electromagnetismo), Gregorio Ricci y su alumno Tullio Levi-Civita (creadores del clculo tensorial) y Hermann Minkowski (descubridor de la interpretacin geomtrica de la Teora de la Relatividad a travs de los diagramas espacio-tiempo), y la labor ha tenido que ser continuada por cientficos de la talla de Stephen Hawking y Roger Penrose. Pero el mrito de haber utilizado todas las herramientas disponibles en su tiempo para consolidar una de las teoras ms brillantes del siglo XX es indiscutiblemente suyo, y ese es un mrito que nadie le va a negar. Aunque al tratar sobre el tema de la Teora Especial de la Relatividad se ha tratado de hacer el menor uso posible de las herramientas propias del clculo infinitesimal, la transicin hacia la Teora Generalde la Relatividad requiere forzosamente de algunos conocimientos bsicos del

clculo infinitesimal, y no slo del clculo infinitesimal sino de otra rama de las matemticas conocida como el clculo tensorial (cuyos fundamentos son cubiertos en esta obra). Esta es la naturaleza de la bestia. De cualquier modo, hay mucho material que puede ser entendido an por quienes no cuentan con estas herramientas matemticas, se ha hecho aqui un esfuerzo adicional por lograrlo. Como corresponde a una obra de esta extensin, se ha suministrado al final de la misma una Bibliografa que incluye textos que van desde los ms elementales hasta los que suelen considerarse ms avanzados. Tambin dentro de la Bibliografa, y reflejando el impacto que est teniendo la enciclopedia universal virtual Wikipedia como vasto repositorio de informacin suministrando una cantidad creciente de conocimientos en todas las reas del saber humano, accesibles gratuitamente y en forma instantnea a todas horas del da, se ha proporcionado la lista de enlaces en los cuales los lectores pueden encontrar otras referencias de apoyo a los materiales condensados en esta obra. Dicha lista ha sido puesta acomodando los enlaces siguiendo un orden similar al cual se van tratando los temas dentro de esta obra. En dicha lista los lectores encontrarn tanto enlaces Wikipedia en Espaol como enlaces Wikipedia en Ingls, esto en virtud de que los enlaces Wikipedia en Ingls por lo general tienen informacin ms actualizada o estn algo ms completos que los enlaces Wikipedia en Espaol sobre los mismos temas, especialmente tratndose de temas en ciencia y tecnologa, e inclusive hay ciertos temas que aparecen publicados en los enlaces Wikipedia en Ingls pero que no aparecen an en los enlaces Wikipedia en Espaol. Siendo la Wikipedia una base de datos en proceso continuo de evolucin, al igual que el mismo Internet, vale la pena tener todas las referencias y enlaces posibles de la misma tanto en Espaol como en Ingls para poder buscar as en uno algo que no se pueda encontrar en otro. La Wikipedia tiene otra ventaja adicional que la pone por encima de otros enlaces que se pudieran facilitar: persistencia. En cuantas ocasiones el lector no se lleg a encontrar con la desagradable sorpresa de que despus de encontrar un enlace interesante regres tiempo despus solo para descubrir que dicho enlace ya no exista y que posiblemente hasta el sitio en el que se encontraba alojado el enlace tampoco existe, habiendo sido borrada toda la informacin junto con todas las imgenes? Esta es la principal razn por la cual me he abstenido en esta obra de citar enlaces cuya duracin a largo plazo no est garantizada. Como una muestra de la revolucin informtica que est ocurriendo desde que Internet irrumpi en la vida del hombre del Tercer Milenio, en algunas partes de esta obra se hace referencia a un nuevo medio de diseminacin de trabajos cientficos que est adquiriendo cada da mayor renombre. Se trata de arXiv, administrado por la Universidad de Cornell y financiado en parte por la National Science Foundation. Dados los costos involucrados en el pago de la compra o descarga via Internet de papeles cientificos publicados por las organizaciones profesionales establecidas, los cuales pueden irse acumulando rapidamente poniendo en aprietos los bolsillos de los academicos e investigadores que no son precisamente gente rica (un contrasentido considerando que en su gran mayora los autores que envan sus trabajos para ser publicados en estos medios no lo hacen con fines de lucro), aunado a la lentitud con la cual puede tardar en aparecer publicado algn resultado importante mientras el trabajo es revisado por un equipo de colegas (proceso conocido

como revisin por pares conocido en ingls como peer review), todo esto est motivando a que la preferencia hacia los medios clsicos de publicacin vaya menguando y que la atencin se est trasladando cada vez con mayor frecuencia a recursos ms modernos en Internet tales como arXiv. En muchos campos de las matemticas y la fsica, casi todos los artculos cientficos de importancia se estn colocando ya en arXiv. A la fecha de septiembre de 2007, arXiv contena ms de 440.000 trabajos imprimibles, lo que supone que miles de ellos son aadidos cada mes. Su existencia fue uno de los factores que condujo a que se precipitara la actual revolucin en la forma en que se efectan las publicaciones cientficas, conocido como el movimiento de libre acceso, con la posibilidad de una eventual desaparicin de las revistas cientficas tradicionales que pueden terminar siguiendo el camino recorrido por los dinosaurios en su extincin. Los matemticos profesionales y los cientficos cargan regularmente sus artculos en arXiv.org para que haya un acceso mundial y algunas veces para que se revise antes de que sean publicadas en revistas. Aunque la falta de revisin por pares suscita alguna preocupacin, no se considera un obstculo para los usuarios de arXiv, ya que muchos autores son cuidadosos con sus contribuciones, y la mayora de los e-prints tambin se envan a revistas cientficas para que sean publicadas, pero algunos trabajos, incluidos algunos artculos influyentes, se quedan solo como e-prints y jams son publicados en una revista cientfica. Un ejemplo bien conocido de esto ltimo es una prueba de la conjetura de la geometrizacin de Thurston que resuelve finalmente la famosaconjetura de Poincar como caso particular, enviada por Grigori Grisha Perelman el 11 de noviembre de 2002 bajo el ttulo The entropy formula for the Ricci flow and its geometric applications. Perelman pareca satisfecho de renunciar a una publicacin tradicional revisada por pares, alegando que Si alguien est interesado en mi forma de resolver los problemas, est todo ah (refirindose a arXiv), dejemos que entren y lo lean. En las entradas en esta obra en donde se trata el tema de la electrodinmica relativista, en lugar de la extensin del sistema de unidades MKS hacia el rea del electromagnetismo convencionalizado conocido todo en conjunto como el sistema de unidades SI, se ha escogido al sistema Gaussiano de unidades. Aunque la gran mayora de los lectores seguramente han sido expuestos al sistema MKS de unidades de uso tan comn en la resolucin de problemas prcticos de ingeniera, cuyas unidades son de un orden de magnitud que resulta til en la discusin de efectos medibles a la escala de laboratorio (volts, amperes, webers/m, etc.), en el estudio de la interaccin de la radiacin electromagntica con los constituyenes elementales de la materia (tomos, fotones, etc.) resulta ms conveniente adoptar el sistema Gaussiano de unidades. Una consecuencia en la adopcin del sistema Gaussiano de unidades es que frmulas que le resultan familiares a muchos estudiantes como la frmula B = H en el sistema Gaussiano se tome simplemente como la igualdad B = H sin que se vea a la constante de permeabilidad magntica presente. Pero la ausencia de en esta frmula en el sistema Gaussiano de unidades se debe a la forma en la cual ha sido definido dicho sistema de unidades. An otra consecuencia es que la familiar frmula que define al vector de Poynting como el producto cruz S =ExH se convierte en la frmula S = (c/4)ExH, haciendo que entre en el panorama la constante que simboliza a la velocidad de la luz. Sin embargo, este factor multiplicativo de c/4 resulta conveniente en los desarrollos que son llevados a cabo en el estudio de la electrodinmica clsica. (De cualquier

forma, para convertir una frmula del sistema de unidades SI al sistema Gaussiano de unidades basta reemplazar la permitividad elctrica del espacio libre 0 con 1/4 y la permeabilidad magntica 0con 4.) Otra razn que justifica la adopcin del sistema Gaussiano de unidades al tratar el tpico de la electrodinmica relativista es que una gran cantidad de libros de texto a nivel universitario y a nivel postgrado adoptan el sistema Gaussiano de unidades, y el adoptar aqu el sistema MKS puede causar confusin posterior al estar consultando varios textos, y esta sea tal vez la mejor razn de todas para no tratar de desviarse de algo que se ha convertido en una costumbre extendida. Se han includo como parte de los apndices de esta obra tanto el texto completo (en ingls) del primer trabajo que le fue publicado a Einstein en 1905 con el cual di a conocer al mundo la Teora Especial de la Relatividad, as como las copias ms relevantes de su cuaderno de apuntes en el cual fue desarrollando a lo largo de dos aos en forma manuscrita sus ideas principales acerca de la Teora General de la Relatividad, la cual fue publicada en octubre de 1915. Se ha relegado tambin a los apndices material importante que complementa las ideas expuestas en el interior de la obra o que expande el material expuesto hacia nuevos horizontes pero que no es indispensable para poder dar continuidad a lo que se est leyendo cuando se est siguiendo el orden de las entradas puestas en esta obra. Parafraseando a Jimmy Wales, el fundador de Wikipedia, este trabajo es una pequea contribucin al ambicioso objetivo de un mundo en el que todas las personas y cualquier persona tengan libre acceso a la suma total de los conocimientos de la humanidad. Aprovecho la ocasin para expresar mi ms profundo agradecimiento a Roger Cortesi, quien generosamente proporcion los medios para la generacin automatizada a travs de LaTeX de la tipografa requerida para la construccin de frmulas matemticas que hasta la fecha no pueden ser generadas automticamente por ninguno de los navegadores de Internet (browsers) convencionales. IMPORTANTE: Este es un trabajo construccin, y slo se considerar terminado cuando este ltimo prrafo no aparezca aqu haciendo esta advertencia. Los huecos que aparezcan aqu y all a espera de ser llenados en esta obra son la consecuencia inevitable de ser algo que est siendo elaborado simultneamente en partes diferentes. Aunque conforme se van acumulando los materiales estn siendo sometidos a un proceso de revisin continua, es inevitable que en una obra de esta magnitud surjan equivocaciones, errores tipogrficos e inclusive fallos de lgica, por lo que agradecer cualquier observacin que se me haga llegar al respecto as como cualquier sugerencia para mejoras.

EL MOVIMIENTO ABSOLUTO

Empezamos nuestra disertacin con un viajero que se acaba de subir a un tren de pasajeros en una estacin de ferrocarriles y se acaba de acomodar en su asiento el cual est justo a un lado de una ventana que d una vista hacia afuera. Una vez que el porter se ha asegurado de que todos los pasajeros le han entregado sus boletos de viaje y que estn ya en sus lugares asignados, el tren se pone en movimiento enfilndose hacia su destino:

El viajero se d cuenta de que el vagn de ferrocarril en el que viaja est en movimiento porque la vista que recibe del exterior le muestra que todo lo que observa de afuera, casas, praderas, edificios, llanos, granjas, etc., parece crear la ilusin de estarse desplazando todo junto en una

direccin contraria a la direccin hacia la cual se est moviendo el ferrocarril. Al caer la noche, los pasajeros bajan las cortinas de las ventanas para poder dormir, y todo lo que se siente es el vaivn del ferrocarril conforme avanza sobre las vas de acero. Es aqu cuando el viajero se percata de que al estar cerradas las cortinas, al no tener una vista directa desde el vagn hacia el exterior, ha perdido su punto de referencia visual con el cual poda darse cuenta sin el menor asomo de duda que el vagn de pasajeros en el que viaja estaba en movimiento sobre las vas del tren. De cualquier manera, l sabe que el pesado tren est en movimiento porque se est meciendo de un lado a otro produciendo vibraciones sensibles no slo al odo sino al tacto, clara seal de que el tren mantiene cierto tipo de movimiento. Ahora llevaremos a cabo un experimento gedanken, un experimento realizado por completo dentro de la tranquilidad de nuestro pensamiento pero que no por ello deja de tener repercusiones completamente vlidas para el mundo real en que vivimos como las podra tener un experimento llevado a cabo con instrumentos y aparatos costosos. Vamos a suponer que todas las ventanas del tren han sido selladas hermticamente de modo tal que ser imposible tener la menor pista de que el tren est en movimiento por alguna seal visual llegada del exterior. El interior del tren se encuentra perfectamente iluminado por el sistema de energa elctrica autnomo del convoy de ferrocarriles, pero no es posible ver hacia afuera porque el vagn es en efecto una caja hermticamente sellada. Entonces cmo podremos saber que nos estamos moviendo junto con el vagn que nos transporta? Lo primero que se nos ocurre es la confirmacin que nos d el vaivn del vagn mecindose de un lado a otro. Esto nos confirma que estamos en movimiento. Pero esta confirmacin se debe a las imperfecciones de las vas del ferrocarril que no estn situadas sobre una superficie horizontal perfectamente plana. En nuestro experimento gedanken, imaginemos que las vas del ferrocarril estn colocadas sobre una superficie extensa perfectamente plana de modo tal que el vagn no tiene por qu mecerse de un lado a otro, e imaginaremos tambi que el tren se mueve siempre hacia adelante sin virar en lo ms mnimo ni hacia la derecha ni hacia la izquierda. De este modo el convoy de vagones se mueve sin mecerse de un lado a otro, y as hemos perdido otra pista que nos indicaba que estamos en movimiento. Pero an nos queda el ruido estridente que producen las ruedas de acero del ferrocarril tallando sobre las vas de acero en las que se mueve. Sin embargo esto se puede solucionar sellando acsticamente el vagn de ferrocarril de modo tal que no sea posible percibir ruido alguno llegado del exterior, con lo cual estaremos viajando en un tren perfectamente blindado en contra de ruidos (si el viajero es sordo, tal blindaje acstico no ser necesario). Tal vez se nos ocurra hacer trampa con un amigo situado en el exterior que a travs de un telfono

celular nos llame del exterior y nos confirme que el tren est en movimiento. Pero supondremos que no contamos con tal ayuda. Supngase que el tren es un tren bala de diseo ultramoderno que est viajando a una velocidad extremadamente elevada con respecto al suelo, digamos a unos 500 kilmetros por hora. Se nos podra ocurrir otra cosa; se nos podra ocurrir saltar hacia arriba dentro del vagn de ferrocarril para no tener contacto alguno con el piso del mismo por algunos segundos, en la creencia de que al estar separados del piso por ese breve lapso de tiempo suspendidos en el aire el vagn continuar con su movimiento rpido de 500 kilmetros por segundo mientras que nosotros iremos quedando atrs, y al caer tocando nuevamente el piso estaremos en una posicin ms atrs de la posicin desde la cual habamos saltado. Sin embargo, al hacer esto, descubrimos que sto no funcionar tampoco, caeremos exactamente en el mismo sitio desde el cual saltamos hacia arriba. Esto se debe a que si bien el tren se est moviendo a una rapidez elevada, a 500 kilmetros por hora, nosotros con los pies puestos firmemente sobre el piso del vagn tambin nos estaremos moviendo a los mismos 500 kilmetros por hora, y al despegarnos del piso del tren seguiremos movindonos a la misma velocidad de 500 kilmetros por hora, porque en un vagn perfectamente blindado no hay nada que nos haga perder nuestra velocidad de 500 kilmetros por hora. Esto es algo que nos garantiza una de las leyes de Newton que nos dice que todo cuerpo permanece en estado de reposo o en su movimiento rectilneo mientras no intervenga una fuerza externa que modifique dicho estado de reposo o de movimiento rectilneo, y en un vagn perfectamente sellado no hay fuerza horizontal alguna actuando en contra nuestra que nos haga perder nuestra velocidad de 500 kilmetros por hora. Si el vagn estuviera al descubierto, sin techo y sin paredes, entonces al saltar hacia arriba la fuerza del aire exterior actuando como un viento en contra de nosotros nos hara caer ms atrs, pero esto se debe a que al saltar y despegarnos del piso del vagn por breves instantes el vagn ya no nos puede seguir arrastrando con la misma velocidad al no tener nosotros ya el momentum para sobreponernos a la resistencia del aire. En un vagn perfectamente sellado, no hay corrientes de aire que nos puedan mover de un lado a otro cuando saltamos, as que un brinco hacia arriba nos har caer en el mismo punto del cual saltamos. Esta es una experiencia que tal vez muchos habrn compartido cuando al estar viajando dentro de un camin de pasajeros circulando por la carretera saltaron hacia arriba creyendo que iban a caer un poco ms atrs y cayeron en el mismo lugar del cual saltaron. Al fallar lo anterior, nuevamente, volvemos a formularnos la pregunta de antes: Entonces cmo podremos saber que nos estamos moviendo junto con el vagn que nos transporta? Si hemos sido raptados, anestesiados, y despertamos despus en un vagn de ferrocarril perfectamente sellado del exterior, lo primero que desearamos saber es si el tren en el que viajamos est en movimiento. Pero sin pista visual alguna y sin pista acstica alguna, tal cosa se antoja problemtica. Es entonces cuando tratamos de recurrir a la fsica, cuando tratamos de recurrir a cierto experimento mecnico que nos permita darnos cuenta de que estamos en

movimiento. Aqu se vale de todo. Se vale sacar balanzas, agujas colgando de hilos delgados, medidores de presin baromtrica, en fin, todos los instrumentos y aparatos que se nos pueda ocurrir. Sin embargo, conforme hacemos experimento tras experimento, encontramos que no hay absolutamente nada de ndole mecnica que nos confirme que nos estamos moviendo, por la sencilla razn de que todos nuestros instrumentos y aparatos mecnicos estn en reposo frente a nosotros movindose exactamente a la misma velocidad a la cual nos estamos desplazando en el tren. Adentro del vagn perfectamente blindado, todo se encuentra en un reposo tan perfecto como el reposo en el que nos encontraramos afuera en un laboratorio escolar. Aqu seguramente habr crticos que dirn que esta es una situacin altamente hipottica, altamente idealizada, de un experimento imposible de llevarse a cabo. Sin embargo, esto no es as, ya que para llegar a las mismas conclusiones todo lo que tenemos que hacer es subirnos a una nave espacial y salir fuera de la rbita terrestre. Estamos en la nave espacial, y de repente al asomarnos por una de las ventanas de la misma vemos pasar un asteroide a gran velocidad muy cerca de nosotros el cual casi se estrella contra nuestra nave. Aqu decimos: Qu rpido se est moviendo el asteroide. Pero un nafrago espacial varado en el asteroide muy bien nos podra decir Qu rpido se est moviendo esa nave espacial. Tanto nosotros como el nafrago espacial varado en el asteroide podramos enfrascarnos en un debate diciendo que es el otro el que se est moviendo a gran velocidad. Pero cul de los dos tiene la razn? En realidad, ninguno, no a menos de que exista un experimento mecnico que permita determinar de modo absoluto quin es el que se est moviendo. Y para que la respuesta sea vlida, tendra que existir algn punto de referencia absoluto, algo que por su misma naturaleza pudieramos clasificar en un estado de reposo absoluto, con respecto al cual tanto nosotros como el nufrago espacial podramos dirimir el asunto sobre quin es el que realmente se est moviendo, porque podra muy bien suceder que si bien nosotros y el nufrago espacial varado en el asteroide nos estamos viendo el uno al otro movindonos en direcciones opuestas a gran velocidad el uno con respecto al otro, ninguno de los dos realmente est en reposo con respecto a otro punto de referencia absoluto si es que pudiera existir una cosa as. En base a lo anterior, los siguientes tres puntos de vista para dos naves espaciales que se encuentran en el espacio viajando en direcciones opuestas producirn los mismos resultados numricos para cualquier tipo de experimento mecnico que se pueda llevar a cabo:

En el primer caso, la nave inferior se considera a s misma que est parada flotando en el espacio, mientras que ve pasar por encima de ella a otra nave espacial viajando a una velocidad de 500 metros por segundo, a la cual el tripulante de la nave inferior le dice yo estoy parado flotando en el espacio, eres t el que se est moviendo. En el segundo caso, el tripulante de la nave que pasa por arriba, le contesta: eso no es cierto, yo soy el que est detenido flotando en el espacio, eres t el que se est moviendo a una velocidad de 500 metros por segundo. Y en el tercer caso, con respecto a un tercer observador externo a ambas naves, las dos se estn moviendo en sentidos opuestos cada una con una velocidad de 250 metros por segundo. Quin tiene la razn? Todos, y a la vez ninguno. Todos tienen la razn porque al no poder detectarse el movimiento absoluto los

tres anteriores supuestos son igualmente vlidos. Y todos estn equivocados si insisten en afirmar cada uno que su punto de vista es el correcto y los dems estn en el error. Por lo pronto, y regresando a nuestro vagn blindado de ferrocarril en la tierra, tenemos que aceptar quermoslo o no que no existe experimento alguno de ndole mecnica que nos permita saber si nos estamos moviendo. Esto era algo que ya se saba desde los tiempos de Galileo y que fu formalizado tiempo despus por Newton con sus leyes con las cuales di inicio a la mecnica clsica tal y como la conocemos hoy en da. No existe ningn experimento de ndole mecnica que nos pueda indicar que estamos en moviento. Lo que acabamos de enunciar tiene alcances y repercusiones mucho ms profundas que lo muchos pudieran suponer. Regresemos al viajero que est en un vagn del ferrocarril en movimiento. Un observador estacionario situado a un lado de las vas del ferrocarril que tenga sus pies plantados firmemente sobre la Tierra podra sentirse tentado a decirle en voz alta al viajero: Indudablemente que t eres el que se est moviendo. No puedes argumentar que el ferrocarril est parado y que son las vas del ferrocarril las que se estn moviendo en sentido contrario junto con todo lo que t ests viendo moverse a travs de tu ventana de observacin, incluyendo los rboles, las casas, los edificios, las montaas, las praderas, todo incluyndome a m. Yo soy el que est parado, y t indudablemente eres el que se est moviendo. El argumento anterior podra parecer razonable a primera vista. Sin embargo, es una falacia. Supngase que hemos construdo un ferrocarril cuyas vas han sido colocadas siguiendo la ruta del ecuador de la Tierra. Supngase ahora que el ferrocarril se pone en movimiento en sentido contrario al sentido de rotacin de la Tierra. La Tierra, en virtud de su movimiento de rotacin alrededor de su eje, movimiento que d origen a los das y las noches, d un giro completo en 24 horas. Usando radianes como medida de desplazamiento angular, la velocidad angular de rotacin de la Tierra ser entonces: = 2 radianes/24 horas = 72.722 * 10-6 radianes/segundo Por otro lado, la velocidad tangencial VT en la superficie de un cuerpo en rotacin que est girando a una velocidad angular a una distancia r del eje de rotacin de dicho cuerpo est dada por: = VT / r

Suponiendo para la Tierra un radio medio en su ecuador de r = 6.37 * 106 metros, la velocidad tangencial VT en la superficie del ecuador de la Tierra con respecto a su eje de rotacin ser entonces: VT = r VT = (72.722 * 10-6 radianes/segundo)(6.37 * 106 metros) VT = 463.24 metros / segundo Si el ferrocarril se pone en marcha en sentido contrario al movimiento de rotacin de la Tierra a una velocidad de 463.24 metros por segundo, y si empieza el viaje al medioda con el Sol directamente encima, entonces el Sol parecer estacionario sin moverse un solo milmetro. Para alguien flotando en el espacio encima del ferrocarril, la bveda celeste parecer estacionaria, y todo lo dems fuera del ferrocarril parecer estarse moviendo, incluyendo las vas sobre las cuales est montado el ferrocarril, los rboles, las casas, los edificios, las montaas, las praderas, los lagos, incluyendo desde luego al observador estacionario en la Tierra que le deca al viajero que era l quien estaba en reposo absoluto. Fuera del ferrocarril, para todos, amanecer y anochecer, los das transcurrirn como siempre, mientras que para el viajero dentro del ferrocarril el Sol seguir puesto encima de l sin moverse para nada. De repente, el viajero en el ferrocarril parece haberse convertido en el observador privilegiado que se siente tentado a decir que l s est en estado de reposo absoluto. Siguiendo un impulso egocentrista, podramos sentirnos tentados a afirmar que la Tierra es el centro del cosmos, dndole a la Tierra una condicin de reposo absoluto y negando el movimiento de traslacin de la Tierra alrededor del Sol. Esta fue precisamente la cuestin por la cual el fsico italiano Galileo Galilei fue acosado por la Santa Inquisicin, en tiempos en los que por motivos religiosos se consideraba al hombre como el centro de la Creacin, el centro del cosmos, con la bveda celeste girando en torno suyo certificando su posicin privilegiada como criatura predilecta de Dios. Lo nico que pudo hacer Galileo despus de ser obligado a negar el movimiento de rotacin de la Tierra fue exclamar en voz baja: Y sin embargo se mueve. Sin embargo, ni an compensando por el movimiento de rotacin de la Tierra con un ferrocarril construdo siguiendo la ruta del ecuador le sera posible a un el viajero dentro del ferrocarril considerarse a s mismo como un observador privilegiado en reposo absoluto, en virtud de que la Tierra no slo tiene un movimiento de rotacin en torno a su eje sino que adems tiene un movimiento de traslacin alrededor del Sol, precisamente el movimiento que d origen a las estaciones del ao.

Fracasando en nuestros intentos por encontrar en la Tierra un punto de referencia absoluto con respecto al cual el movimiento absoluto se pueda medir, podramos sentirnos tentados a asignarle al Sol un papel privilegiado, considerndolo como el centro del Universo. De esto es de lo que trata la creencia en la teora heliocntrica (el Sol es el centro del cosmos) sostenida inclusive por los astrnomos Coprnico y Kepler que se encargaron de darle la puntilla a la teora geocntrica (la Tierra es el centro del cosmos). Pero esto a la postre resulta ser tambin una ilusin, por el hecho de que el Sol no es ms que una estrella ms dentro de nuestra galaxia, la Va Lctea, habiendo muchas otras estrellas albergando otros sistemas solares, todos los cuales resultan estar tambin en movimiento dentro de la Va Lctea. El anterior fracaso podra llevar a algunos a intentar proclamar a la Va Lctea, nuestra propia galaxia, como el centro del cosmos, el centro del Universo. Pero nuestra galaxia no es la nica galaxia del Universo. En nuestra mira de observacin con la ayuda de nuestros instrumentos actuales hay billones y billones de otras galaxias, a ninguna de las cuales puede asignrsele una posicin privilegiada por el hecho de que todas las galaxias se estn separando la una de la otra debido a la expansin continua del cosmos. Y esta es una expansin que tampoco tiene un centro de origen, un centro de la explosin inicial que hoy conocemos como el Big Bang. Parece que hemos agotado todas las posibilidades de poder detectar el movimiento absoluto recurriendo a referencias astronmicas adems de tratar de recurrir a experimentos de ndole mecnica. Sin embargo, a principios del siglo XX, haba una esperanza basada en un descubrimiento sobre otro tipo de fenmenos fsicos, un descubrimiento que llev a fsicos de primera lnea a postular la existencia de una substancia universal conocida como el ter, con respecto al cual debera ser posible en principio determinar el movimiento absoluto no por medios mecnicos, sino por medios pticos, usando rayos de luz.

UN DESCUBRIMIENTO SORPRENDENTE Descartada totalmente la posibilidad de poder determinar por medio de algn experimento propio de la mecnica si algo est en estado de movimiento con respecto a algn punto de referencia que pudiera considerarse absoluto, en cierto momento renaci la esperanza de que tal cosa pudiera lograrse no por medios mecnicos sino por medios pticos llevados a cabo dentro de un vagn de ferrocarril perfectamente blindado. Es aqu cuando entra en el panorama el fsico matemtico James Clerk Maxwell, el cual asent firmemente sobre bases matemticas los principios bsicos del electromagnetismo enunciados desde los tiempos de Faraday, enunciando las cuatro ecuaciones bsicas del electromagnetismo con las cuales gan para s mismo la inmortalidad en la comunidad cientfica:

Estas cuatro frmulas estn elaboradas en notacin vectorial (las cantidades D, B, E, H y J sonvectores, o mejor dicho campos vectoriales en analoga con las lneas de fuerza que representan un campo gravitacional, y como tales son cantidades que tienen direccin y sentido como el viento que sopla en las praderas), lo cual simplifica enormemente el pronunciamiento de las mismas debido a que el enunciamiento es independiente del tipo de coordenadas (Cartesianas, polares, cilndricas, esfricas, etc.) que se utilicen en el estudio de algn fenmeno electromagntico particular. La primera ecuacin nos dice esencialmente que el flujo neto (divergencia) de las lneas de fuerza elctrica que salen (o entran) de cualquier recipiente cerrado depende de la densidad de la carga elctrica que encierra dicho recipiente (para un recipiente dentro del cual no hay carga elctrica alguna almacenada en su interior, el flujo neto de las lneas de fuerza elctrica sobre toda la superficie del recipiente es cero); la segunda ecuacin nos dice que todas las lneas de fuerza de un campo magntico (como las de un imn) forman

siempre un bucle cerrado (no existen monopolos magnticos, esto es, una partcula de la cual salgan lneas de fuerza de un campo magntico correspondientes al polo Norte de un imn, y otra partcula de la cual salgan lneas de fuerza de un campo magntico correspondientes al polo Sur del imn) y por lo tanto la divergencia de las lneas del campo magntico es siempre cero (el flujo neto de las lneas de fuerza del campo magntico que entren a cualquier recipiente cerrado restado del flujo de las lneas de fuerza del campo magntico que salgan del mismo recipiente ser exactamente igual a cero en todos los casos); mientras que la tercera y la cuarta ecuacin nos dicen que todo campo elctrico que vare con el tiempo producir campos magnticos rotacionales del mismo modo que todo campo magntico que vare con el tiempo producir a su vez campos elctricos rotacionales. Se puede demostrar a partir de las ecuaciones del campo electromagntico de Maxwell, como el mismo Maxwell lo descubri por vez primera, que la velocidad de una onda electromagntica en el vaco que consta de un campo elctrico E y un campo magntico B perpendiculares el uno al otro y alternantes sinusoidalmente en el tiempo:

depende nica y exclusivamente de la permitividad elctrica del vaco 0 y de la permeabilidad magntica del vaco 0, y la velocidad para dicha onda electromagntica debe ser:

Los valores experimentales para estos parmetros ya eran conocidos en los tiempos de Maxwell, de modo tal que no fu para l ningn problema llevar a cabo una substitucin de dichos valores para poder saber cul era la velocidad de una onda electromagntica propagndose en el vaco. PROBLEMA: En el sistema de unidades SI (MKS) se aceptan generalmente como vlidos los siguientes valores experimentales para la permitividad elctrica y para la permeabilidad magntica

del vaco: 0 = 8.854 10-12 farad/metro 0 = 12.5664 10-7 henry/metro Determnese, a partir de estos valores experimentales, la velocidad de una onda electromagntica propagndose en el vaco. Puesto que las unidades SI del farad y el henry son algo crpticas para quienes no estn familiarizados con estas unidades, las pondremos en una forma ms convencional acorde con las unidades que se utilizan en la Mecnica. Empezaremos con la unidad del farad. De la teora bsica del campo elctrico, la capacitancia C de un condensador es igual a la carga elctrica Q almacenada por el condensador dividida entre el voltaje V que hay entre las terminales del condensador, segn la frmula C = Q/V. Esto significa que, dimensionalmente, un farad es igual a un coulomb de carga elctrica dividido entre un volt: 1 farad = 1 couloumb/volt Entonces la unidad de la permitividad elctrica es: 1 farad/metro = 1/(1 coulomb/volt) = 1 coulomb/voltmetro Pero el voltaje V se define como el trabajo W hecho sobre una unidad de carga Q para moverla de un punto con un potencial V1 a otro punto con un potencial V2, dividido entre el valor de la carga, o sea V = W/Q. Y el trabajo mecnico se define como el producto de la fuerza aplicada (medida en newtons) por la distancia recorrida (medida en metros). Entonces, dimensionalmente hablando, una unidad de voltaje es igual a: 1 volt = 1 newtonmetro/coulomb Entonces podemos escribir la unidad dimensional de la permitividad elctrica del modo siguiente: 1 coulomb/(1 newtonmetro/coulomb)metro

O sea: 1 farad/metro = 1 coulomb/newtonmetro De este modo: 0 = 8.854 10-12 coulomb/newtonmetro Ahora trabajaremos con la unidad del henry. El henry es la unidad utilizada para medir la inductanciaelctrica L de una bobina, de acuerdo con la frmula: = - L di/dt De modo que, dimensionalmente hablando: 1 volt = 1 henry (1 ampere/segundo) Pero un ampere de corriente elctrica es por definicin igual a un coulomb por segundo de carga elctrica Q atravesando una superficie imaginaria: 1 ampere = 1 coulomb/segundo Entonces: 1 volt = 1 henry (1 coulomb/segundo)/segundo) Despejando para la unidad del henry: 1 henry = 1 volt segundo/coulomb Entonces la unidad dimensional SI para la permeabilidad magntica 0 puede escribirse en la

siguiente forma igualmente vlida: 1 henry/metro = 1 volt segundo/coulomb metro De este modo, utilizando el equivalente mecnico del volt obtenido en el caso de la permitividad elctrica, podemos escribir la permeabilidad magntica del modo siguiente: 0 = 12.5664 10-7 newton segundo/coulomb Podemos proceder a la aplicacin de la frmula de Maxwell para la velocidad de una onda electromagntica verificando al mismo tiempo la correcta cancelacin y simplificacin de unidades: 0 0 = (12.566410-7 newtonseg/coulomb)(8.85410-12 coulomb/newtonmetro)

0 0 = 1.112610-17 segundo/metro Finalmente: v = 1/0 0 = 1/1.112610-17 segundo/metro

v = 1/(3.35610-9 segundo/metro) v = 299,795,638 metros/segundo Este resultado seguramente habr llamado de inmediato la atencin de Maxwell, porque esta es precisamente la velocidad de la luz en el vaco. Y puesto que la luz viaja en el vaco a esta velocidad, Maxwell concluy de inmediato que la luz puede ser considerada como una onda electromagntica que consta de campos elctrico y magntico alternantes. A la velocidad de la luz se le identifica comnmente en la actualidad con la letra c, de modo tal que la conclusin de Maxwell puede ser enunciada de la siguiente manera con el significado filosfico que ello conlleva:

Este descubrimiento sorprendente present casi de inmediato un problema fundamental. Siempre que hablamos de la velocidad de algo lo hacemos tomando otra cosa como referencia para medir dicha velocidad. Si decimos que algo, por ejemplo un avin, tiene una velocidad de 10 metros por segundo, entonces debe de estarse moviendo a 10 metros por segundo con respecto a otra cosa, en el caso del avin, con respecto al suelo. No tiene sentido ni lgica alguna hablar acerca de la velocidad de algo utilizando ese algo como su propia referencia del mismo modo que no tiene sentido alguno hablar acerca de una lnea paralela cuando no existe otra lnea recta con respecto a la cual se pueda compararla para decir que es paralela, del mismo modo que no podemos decir que algo se encuentra arriba cuando no hay nada abajo de ese algo. Y el resultado obtenido no es algo que podamos reinterpretar a nuestro antojo, ya que la permitividad elctrica y la permeabilidad magntica del vaco son atributos propios universales del mismo vaco que darn los mismos valores en cualquier parte del Universo en donde nos encontremos. Lo interesante de la frmula de Maxwell es que la velocidad de la luz apareca como un valor nico, constante, invariable. Pero con respecto a qu? Los fsicos clsicos entrenados en la filosofa del universo mecanstico de Newton, presionados a proponer alguna salida al dilema sobre qu exactamente significaba esa velocidad de la luz considerada como una onda electromagntica no tardaron en inventar el medio en el cual se transmita dicha onda, y la respuesta natural dada en aqul entonces fue que esa era la velocidad de la luz con respecto al ter (la palabra aqu no tiene ninguna relacin con el compuesto qumico xido de etilo del mismo nombre con frmula qumica (C2H2)2O que es utilizado como anestsico por los doctores, sino con la idea de lo que es etreo, celestial, algo llenando a la bveda celeste de confn a confn). Para formular tal proposicin se tom en cuenta que, si de acuerdo con el resultado obtenido por Maxwell, la luz es una onda electromagntica, entonces para poder propagarse de un lado a otro tena que hacerlo sobre el medio en el cual supuestamente estaba vibrando, del mismo modo en que los sonidos que escuchamos todos los das no son ms que ondas acsticas formadas por compresiones y enrarecimientos del aire sumamente rpidas (en el vaco del espacio exterior en donde no hay aire, tampoco hay sonido alguno), del mismo modo en que ocurre en una ola de gente en cuya produccin participan espontneamente miles de aficionados presentes en un partido de futbol levntandose de sus asientos por breves instantes cuando les toca ser parte de la ola. Sin la presencia de los aficionados en las gradas, esas olas no se dn, del mismo modo que sin la presencia del aire no es posible que se produzca sonido alguno. Siendo la luz una onda electromagntica, el concepto del ter pareca una suposicin lgica y natural. La postulacin de la existencia del ter no slo era deseable para suponer al ter como el medio a travs del cual se propagan las ondas magnticas luminosas, tambin era deseable desde el punto de vista filosfico e inclusive religioso, ya que permite evadir el tema delvaco total, ese vasto espacio entre los

planetas, entre los sistemas solares y entre las galaxias en el cual a nuestra vista no parece haber absolutamente nada. Desde tiempos de la antigedad, el vaco total ha sido una idea cuya sola mencin a causado angustia e inclusive espanto entre filsofos y religiosos de renombre, porque el vaco total representa la nada, la ausencia de todo. El omnipresente ter, invisible a nuestros ojos, era la solucin cientfica ideal con la cual la ciencia poda reconfortar a los preocupados por tal cuestin hacindoles saber que el vaco total, el vaco absoluto, era algo que no exista, porque las vastas regiones del cosmos en donde no pareca haber nada de materia estaban repletas de ter, as que siempre haba algo que llenaba los espacios vacos. El ter, aunque deba ser capaz de poder vibrar (para poder transmitir las ondas electromagnticas luminosas), deba permanecer completamente inmvil con respecto a todos los objetos materiales, ms bien los objetos materiales eran los que se movan a travs de l, como el movimiento de una coladera a travs del agua. Aunque el ter fuese una substancia invisible, incorprea, una substancia que no puede ser vista directamente, escuchada, tocada, olida o paladeada, el movimiento absoluto de los planetas con respecto al ter deba ser detectable recurriendo a experimentos hechos con rayos de luz. Al ter se le supona como algo completamente rgido, indeformable de confn a confn del Universo. Sus propiedades no podan ser menos que fantsticas. Tena que poseer una rigidez extraordinaria para poder dar apoyo a ondas electromagnticas de una frecuencia tan elevada como la poseda por los colores de la luz del espectro visible (en las guitarras y en todos los instrumentos de cuerda, para producir los sonidos ms agudos, los de mayor frecuencia, la tensin de la cuerda que los produce tiene que ser mayor que la tensin de la cuerda requerida para producirlos sonidos graves, en virtud de que la velocidad de las ondas en una cuerda tensa es directamente proporcional a la raz cuadrada de la tensin de la cuerda), pero pese a esta extraordinaria rigidez el ter no pareca tener efecto alguno sobre el movimiento de los planetas alrededor del Sol cuyas rbitas se podan predecir clsicamente con un buen nivel de precisin usando las frmulas de Newton para la atraccin gravitacional entre el Sol y los planetas, ignorando en dichas frmulas cualquier efecto de retardo que el ter pudiese producir en los movimientos de los planetas. A diferencia del agua en los ocanos de la Tierra, en los cuales se forman corrientes internas, en el ter csmico no haba tales corrientes de ter. El ter era uno solo, inamovible, como si fuese un bloque infinitamente grande de hielo, de modo que si algn observador privilegiado pudiera situarse en estado de reposo absoluto con respecto al ter en cualquier ciudad de la Tierra, poda tener la seguridad de que tambin estaba en reposo absoluto con respecto al ter en cualquier parte del Universo. El ter era el marco de referencia ideal con respecto al cual se poda medir el movimiento absoluto. Y aparentemente tambin era inmune a los cambios de temperatura as como qumicamente inerte, ya que no pareca haber substancia alguna conocida con la cual el ter pudiera reaccionar qumicamente. Pero no slo era el ter algo completamente rgido a travs del universo entero e inmune a los cambios de temperatura as como qumicamente inerte. Tambin era completamente poroso y permeable, estaba metido dentro de todo, inclusive dentro de las cajas fuertes de los bancos suizos o en vagones sellados de ferrocarriles en movimiento. El ter poda estar en cualquier parte en donde pudiera producirse

un rayo de luz. El mismo Maxwell determin para el ter una densidad especfica de 9.3610 -19, un coeficiente de rigidez de 842.8, y una estimacin de que la densidad del aire a una distancia infinita de la Tierra era 1.810327 veces menor que la densidad por l estimada del ter. Pero no haba cientfico alguno que se atreviera a aventurar una hiptesis sobre cul era la substancia de la cual pudiera estar constitudo el ter, ya que en la qumica de aquellos tiempos no se conoca elemento alguno que pudiera tener tan fantsticas propiedades. En realidad, la nica razn de ser del ter era servir como medio universal de conduccin para las ondas electromagnticas del mismo modo que el aire sirve como medio de conduccin para las ondas acsticas. La universalidad y absoluta rigidez del ter permiti suponer que la velocidad de la luz con respecto al ter tal vez pudiera utilizarse como el punto de referencia absoluto para la determinacin del movimiento absoluto que no se haba podido encontrar por medios puramente mecnicos hasta entonces. Aqul cuya velocidad fuera igual que la velocidad c de 300 mil kilmetros por segundo podra considerarse a s mismo en estado de reposo absoluto con respecto al ter, mientras que todo aqul cuya velocidad fuese mayor o menor que la velocidad de la luz podra considerarse a s mismo en estado de movimiento con respecto al nuevo estndard de referencia, el ter. Y de este modo habra tambin una manera de determinar quin o quines estn en estado de reposo o en estado de movimiento con respecto a este nuevo parmetro. Volviendo nuevamente a una nave espacial con forma de vagn de ferrocarril perfectamente blindado, sin necesidad de ver hacia el exterior bastara con que alguien echara mano de una linterna encendindola para enviar un rayo de luz de un extremo a otro de la nave, y si la velocidad de ese rayo de luz medida de alguna manera resultara ser igual a la velocidad de la luz obtenida mediante las ecuaciones de Maxwell, entonces el ocupante de la nave espacial podra dar por hecho el encontrarse por alguna maravillosa casualidad en un estado de reposo absoluto. Por otro lado, si para una persona exterior a la nave espacial tal como un viajero varado en un asteroide dicha nave espacial pasara a gran velocidad junto a ella, la velocidad de la luz disparada desde la linterna dentro de la nave espacial tendra que ser necesariamente diferente segn el nufrago viajando en el asteroide se moviese rpidamente con respecto a la nave espacial en la misma direccin o en direccin contraria al haz saliendo de la linterna dentro de la nave espacial. En caso de moverse con una velocidad V en direccin contraria a la direccin del haz que sale de la linterna dentro de la nave espacial con una velocidad c, el nufrago espacial en el asteroide debera ver al rayo de luz moverse con una rapidez todava mayor igual a c+V, mientras que en caso de moverse con una velocidad V en la misma direccin del haz que sale de la linterna con una velocidad c debera ver al rayo de luz moverse con una rapidez menor igual a c-v. (movindose a una velocidad V igual a c, el nufrago espacial estara avanzando a la par con el rayo de luz que le parecera esttico). Y en principio podra estarse moviendo tan rpido que inclusive hasta podra dejar atrs al rayo de luz despus de alcanzarlo. Por fin haba una forma de poder determinar experimentalmente quin se estaba moviendo y con respecto a qu se estaba moviendo, todo en base a un simple rayo de luz, todo en base a cualquier experimento ptico que pudiese utilizar rayos de luz para la determinacin del movimiento absoluto con respecto a la nueva vara de

medicin. Todo gracias al ter. El problema de la determinacin del movimiento absoluto pareca resuelto. Al menos en apariencia.

3. LA FSICA ES PARADA DE CABEZA Clsicamente, antes del advenimiento de la Teora Especial de la Relatividad, el mundo basado en los conceptos del tiempo absoluto que marcha por igual en todo el Universo, invariable, y el espacio absoluto, tambin invariable, siendo ambos conceptos completamente independientes el uno del otro, era un mundo mucho ms sencillo. En este mundo, para ubicar a un objeto puntual en el espacio tri-dimensional, utilizando coordenadas Cartesianas para ello, bastaba con especificar tres nmeros para que la posicin del objeto puntual quedara identificada de modo unvoco, como el siguiente punto Pespecificado por las coordenadas (x, y, z) = (2, 3, 5), medidas a partir de un origen de referencia con coordenadas (x, y, z) = (0, 0, 0):

Con esta convencin, si el objeto ubicado en el punto P empezaba a desplazarse a lo largo de uno de los ejes, digamos el eje y, a una velocidad constante V, digamos de unos 4 metros por segundo, su posicin nueva medida a partir de un tiempo t = 0 se poda obtener fcilmente simplemente sumando la cantidad Vt al valor original en dicha coordenada. De este modo, al haber transcurrido un tiempo de t = 3 segundos, el objeto se habra desplazado una distancia de Vt = 12 metros, y sus nuevas coordenadas seran:

x = 2 metros (permanece igual) y = y + Vt = 3 metros + (4 metros/segundo) (3 segundos) = 15 metros z = 5 metros (permanece igual) (Obsrvese cmo se cancelan las dimensiones de las unidades, puestas en color verde, para siempre dar en la respuesta final las unidades correctas. Aadir todas las unidades desde un principio en la solucin de cualquier problema matemtico, cancelndolas segn se requiera, es una buena forma de darse cuenta de que no se estn cometiendo errores; llevando la contabilidad correcta de las dimensiones. Si en la respuesta final de un problema un estudiante obtiene metros/segundo cuando esperaba obtener kilogramos por metro cbico ello le indicar que hubo un error, el cual puede ser corregido de inmediato con slo ver en dnde fue en donde las unidades se salieron fuera de control.) De este modo, considerando a dos observadores distintos movindose uno con respecto al otro a una velocidad constante V, con un observador O en reposo en su propio sistema de coordenadas rectangulares (x,y,z) al que indistintamente llamaremos tambin marco de referencia S y otro observador O en movimiento junto con su propio sistema de coordenadas rectangulares (x,y,z) al que llamaremos S, para pasar de un sistema de coordenadas al otro simplemente echbamos mano de las transformaciones de Galileo deducidas como se hizo en el ejemplo de arriba recurriendo a la lgica elemental. Si el movimiento relativo se lleva a cabo a lo largo de un eje comn entre ambos, digamos el eje-x, y si suponemos que el marco de referencia S es el que se est moviendo de izquierda a derecha:

entonces es fcil ver que las transformaciones de Galileo para pasar las coordenadas de un punto

fijo situado en el marco de referencia S a las coordenadas que le corresponden en el marco de referencia S deben ser: x = x + Vt y = y z = z Aunque nos parezca superfluo, por completitud introduciremos el tiempo universal t como un cuarto componente en el conjunto ordenado de componentes de cada sistema de coordenadas. As, para el observador O un punto cualquiera en su sistema de coordenadas estar especificado como (x,y,z,t), y para el observador O otro punto cualquiera en su sistema de coordenadas estar especificado como (x,y,z,t), y el conjunto completo de transformaciones de Galileo para llevar a cabo la conversin de un punto cualquiera en S a las coordenadas que le corresponden en S sern: x = x + Vt y = y z = z t = t Hemos supuesto que ambos observadores estn provistos de metros y relojes de forma tal que pueden medir las coordenadas de los eventos o acontecimientos que les toque presenciar. Hemos supuesto tambin que ambos ajustan sus relojes de modo tal que cuando pasen el uno frente al otro en x = x = 0 la lectura en sus relojes ser t = t = 0. El uso de las transformaciones de Galileo quedar ms claro con la resolucin de los siguientes problemas. PROBLEMA: Las coordenadas de un punto fijo en el marco de referencia mvil S son (x,y,z,t) = (4,7,2,0). Cules sern las coordenadas del mismo punto evaluadas en el marco de referencia estacionario S para un tiempo t = 3 segundos y para un tiempo t = 5 segundos si la velocidad relativa entre ambos marcos de referencia es igual a V = 4 metros/segundo? Para un tiempo de t = 3 segundos, las coordenadas en S se obtienen como: x = x + Vt = 4 metros + (4 metros/segundo)(3 segundos) = 16 metros

y = y = 7 metros z= z = 2 metros t = t = 3 segundos Las coordenadas en S sern entonces (x,y,z,t) = (16,7,2,3). Para un tiempo de t = 5 segundos, las coordenadas en S se obtienen como: x = x + Vt = 4 metros + (4 metros/segundo)(5 segundos) = 24 metros y = y = 7 metros z = z = 2 metros t = t = 5 segundos Las coordenadas en S sern entonces (x,y,z,t) = (16,7,2,3). Obviamente, conforme avanza el tiempo, la posicin del punto fijo en S se va desplazando ms y ms hacia la derecha. Las coordenadas en el eje-y y en el eje-z se mantienen iguales puesto que no hay movimiento alguno fuera del que se lleva a cabo a lo largo del eje de las equis. Hemos considerado en la resolucin del problema anterior que el marco de referencia S es el que se est moviendo de izquierda a derecha (en el sentido positivo del eje-x) a velocidad V, pero la resolucin del problema hubiera sido exactamente la misma si hubiramos considerado al observador O fijo y al marco de referencia S movindose de derecha a izquierda en el sentido del eje-y:

Para pasar del marco de referencia S al marco de referencia S, las transformaciones de Galileo sern: x = x - Vt y = y z = z t = t Obsrvese el cambio de signo que se tuvo que hacer, ya que esta es una transformacin inversa a la anterior. PROBLEMA: Las coordenadas de un punto fijo en el marco de referencia mvil S son (x,y,z,t) = (3,1,8,0). Cules sern las coordenadas del mismo punto evaluadas en el marco de referencia estacionario S para un tiempo t = 5 segundos y para un tiempo t = 10 segundos si la velocidad relativa entre ambos marcos de referencia es igual a V = 2 metros/segundo? El punto fijo se encuentra ahora en el marco de referencia S. Para un tiempo de t = 5 segundos, las coordenadas en S se obtienen como: x = x - Vt = 3 metros - (2 metros/segundo)(5 segundos) = -7 metros y = y = 1 metro z = z = 8 metros

t = t = 5 segundos Las coordenadas en S sern entonces (x,y,z,t) = (-7,1,8,5). Para un tiempo de t = 10 segundos, las coordenadas en S se obtienen como: x = x - Vt = 3 metros - (2 metros/segundo)(10 segundos) = -17 metros y = y = 1 metro z = z = 8 metros t = t = 10 segundos Las coordenadas en S sern entonces (x,y,z,t) = (-17,1,8,10). Obviamente, conforme avanza el tiempo, la posicin del punto fijo en S se va desplazando ms y mshacia la izquierda, en el sentido negativo del eje-x. PROBLEMA: Un pasajero de un tren que se mueve a 20 metros/segundo para frente a un hombre que se encuentra en la plataforma de la estacin en un tiempo que para ambos es t = t = 0. Diez segundos despus de que el tren lo pasa, el hombre de la plataforma encuentra que un pjaro que vuela a lo largo de la va y en la misma direccin del tren est a 500 metros de distancia. Cules son las coordenadas del pjaro determinadas por el pasajero? Las coordenadas asignadas al pjaro por el hombre en la plataforma de la estacin son (x, y, z , t) = (500 metros, 0, 0, 10 segundos) Pasando del sistema de referencia S al sistema de referencia S y de acuerdo con las transformaciones de Galileo, la distancia x del pjaro al pasajero, medida por ste es: x = x - Vt = 500 metros - (20 metros/segundo) (10 segundos)

x = 300 metros

Entonces las coordenadas del pjaro determinadas por el pasajero son: (x, y, z , t ) = (300 metros, 0, 0, 10 segundos) Al pasar del marco de referencia S al marco de referencia S, las transformaciones de velocidad,segn Galileo, basadas en incrementos de las coordenadas, sern: x = x - (Vt) = x - Vt x/t = x/t - Vt/t___(dividiendo entre t) x/t = x/t - V___(t = t) ux = ux - V Y del mismo modo: y/t = y/t y/t = y/t uy = uy

z/t = z/t z/t = z/t uz = uz Por otra parte, al pasar del marco de referencia S al marco de referencia S, las transformaciones de aceleracin, segn Galileo, basadas en incrementos de las velocidades con respecto a incrementos iguales de tiempo, sern (la velocidad relativa V entre ambos marcos de referencia permanece constante y no cambia con respecto al tiempo transcurrido):

ux/t = ux/t - V/t ux/t = ux/t ax = ax

ay = ay az = az El hecho de que la aceleracin de un cuerpo medida clsicamente tanto por un observador estacionario como por un observador mvil sea la misma implica que las leyes de Newton basadas en la frmula fuerza igual a masa por aceleracin (F = ma) permanecern las mismas en todos los marcos de referencia al pasar de un marco de referencia a otro, y por lo tanto los experimentos basados en las leyes de la mecnica clsica basadas a su vez en los conceptos del espacio absoluto y el tiempo absoluto no nos sirven para detectar el movimiento absoluto, confirmando lo que ya habamos visto al principio de esta obra. El movimiento absoluto no se puede detectar a travs de experimentos mecnicos. Pero se supona que se poda detectar a travs de experimentos pticos usando rayos de luz. Para eso estaba el ter, para darnos un marco de referencia universal e inmvil con respecto al cual era posible concebir el movimiento absoluto. De este modo, la velocidad de la luz, predicha tericamente mediante las frmulas del electromagnetismo de James Clerk Maxwell, pareca zanjar de una vez por todas la cuestin sobre el asunto del movimiento absoluto. PROBLEMA: Considrese una masa M atada a un resorte que se mueve sobre una superficie horizontal sin rozamiento, y la cual cuando el resorte no est estirado ni comprimido se encuentra a una distancia x0 de la pared a la que est anclado el otro extremo del resorte. Clsicamente, la fuerza de tensin F ejercida por el resorte sobre la masa M cuando es estirado a una distancia x de la pared est dada por la relacin que nos dice que dicha fuerza es directamente proporcional a la distancia x-x0: F = -k(x-x0) Esta fuerza cuando est desbalanceada produce una aceleracin sobre la masa M que est dada por la ley de Newton F = Ma (fuerza igual a masa por aceleracin). Demostrar que esta frmula es invariante bajo las transformaciones de Galileo.

Considerando el movimiento de la masa M a lo largo del eje-x, la ecuacin del movimiento de la masa determinada por un observador en reposo con respecto a la superficie es: F = Ma -k(x - x0) = Max Usando las transformaciones de Galileo para determinar la ecuacin del movimiento encontrada por un segundo observador movindose a una velocidad V con respecto al primero: x = x + Vt x0 = x0 + Vt ax = ax obtenemos la siguiente ecuacin del movimiento para el segundo observador: -k(x- x0) = Max Puesto que la ecuacin del movimiento para el segundo observador tiene la misma forma que la

ecuacin del movimiento para el primer observador, la ecuacin del movimiento es invariante bajo las transformaciones de Galileo. Esto confirma que no se puede detectar el movimiento absoluto haciendo experimentos mecnicos con resortes. En general, se dice que hay invariancia en una ecuacin cuando esta presenta la misma forma al ser determinada por dos observadores distintos movindose el uno con respecto al otro. En la teora clsica se supone que las medidas de espacio y tiempo obtenidas por dos observadores estn relacionadas por las transformaciones de Galileo. PROBLEMA: Suponiendo que los sistemas de referencia S y S adems de estarse moviendo a una velocidad relativa Vx el uno con respecto al otro en el sentido de los ejes x-x se estn moviendo tambin a una velocidad relativa Vy el uno con respecto al otro en el sentido de los ejes y-y y a una velocidad relativa Vz el uno con respecto al otro en el sentido de los ejes z-z, cules sern las transformaciones de las coordenadas? Cules sern las transformaciones de velocidad? Cules sern las transformaciones de aceleracin? Puesto que el movimiento relativo Vx es independiente de los movimientos relativos Vy y Vz del mismo modo que el movimiento relativo Vy es independiente del movimiento relativo Vz, la extensin natural de las transformaciones de Galileo hacia un espacio de tres dimensiones sern: x = x + Vx t y = y + Vy t z = z + Vz t t = t Diferenciando con respecto al tiempo las transformaciones anteriores obtenemos las transformaciones de velocidad: ux = ux + Vx uy = uy + Vy uz = uz + Vz Diferenciando con respecto al tiempo las transformaciones de velocidad obtenemos las

transformaciones de aceleracin: ax = ax ay = ay az = az PROBLEMA: Suponiendo que las coordenadas de un punto P en S son (x, y, z) = (7, 4, 9) en un tiempo t = t = 0, y que (Vx, Vy, Vz) = (3, 5, -2), cules sern las coordenadas de dicho punto en un tiempo t = 6? Las coordenadas en el sistema de referencia S de tres dimensiones sern de acuerdo con los resultados anteriores: x = x + Vx t = 7 + (3) (6) = 25 y = y + Vy t = 4 + (5) (6) = 34 z = z + Vz t = 9 + (-2) (6) = -3