Teoría de la Probabilidad. Repaso Estructuras. -álgebra de...

Algebras y σ-algebras de sucesosσ-algebra de Borel en IR

Combinatoria

Teorıa de la Probabilidad. RepasoEstructuras. σ-algebra de Borel. Combinatoria

Facultad de Matematicas

Grado en Matematicas

Segundo Cuatrimestre

Estadıstica e Investigacion Operativa Teorıa de la Probabilidades. σ-algebra de Borel. Combinatoria.


Combinatoria

Contenidos

1 Algebras y σ-algebras de sucesosRepaso basico para clases practicas

2 σ-algebra de Borel en IRDescripcion de los conjuntos de Borel o Borelianos

3 CombinatoriaCombinatoria basica para el Calculo de Probabilidades



Combinatoria

Importante. Notaciones1 Notacion de conjunto: · · · 2 Conjunto de las partes o subconjuntos de un conjunto U:

2U , o tambien P(U)

3 Cardinal de un conjunto U: |U|, y a veces CARD(U)

4 Conjunto de los numeros naturales: IN5 Conjunto de los numeros naturales y el 0: IN∗ = IN ∪ 06 Conjunto de los numeros enteros: Z7 Conjunto de los numeros racionales: Q8 Conjunto de los numeros reales: IR9 Infinito numerable: |IN| = |Z| = |Q|

10 Potencia del continuo: |IR|



CombinatoriaRepaso basico para clases practicas

Algebra

Cerrada para operaciones finitas con sucesos.Permite formalizar situaciones en las que unicamente secontemplan operaciones finitas: uniones finitas,intersecciones finitas, etc.Usualmente se utiliza para espacios muestrales con unnumero finito de resultados.




σ-Algebra

Cerrada para operaciones numerables, finitas o infinitas,con sucesos.Permite formalizar situaciones en las que se contemplanoperaciones infinitas numerables: uniones infinitas,intersecciones infinitas, etc.Solo tiene sentido para espacios muestrales infinitos.




EjemploEn este ejemplo vemos las limitaciones de la estructura dealgebra y la necesidad de introducir la estructura de σ-algebra.Se lanza un dado equilibrado tantas veces como seanecesario, hasta obtener el SEIS. El resultado del experimentoes el numero de lanzamientos necesarios. Se tiene,

Espacio muestral.

Ω = 1,2,3,4, . . . = IN

Sea el algebra [facil de probar]

F = A ⊆ Ω | A o Ac es finito




Ejemplo. Continuacion.Sean los sucesos,

Ai = “El SEIS se obtiene en el lanzamiento pi ” = pi i ∈ IN

siendo pi el numero primo i-esimo, es decir,

A1 = 1 A2 = 2 A3 = 3 A4 = 5 · · ·

Entonces no podemos considerar el objeto,

B = “El SEIS se obtiene en un lanzamiento primo

=∞⋃

i=1

Ai = PRIMOS

ya que no es suceso pues no pertenece al algebra F .



CombinatoriaDescripcion de los conjuntos de Borel o Borelianos

σ-algebra de Borel en IR

Cuando el espacio muestral es un conjunto finito de nelementos, o infinito numerable, podemos considerar sobre elmismos el σ-algebra formado por todos sus subconjunto, conpotencias respectivas 2n o 2|IN|. No obstante, cuando el espaciomuestral es el conjunto de los numeros reales, la eleccion deP(IR) como σ-algebra suscita una serie de problemas tecnicos.A continuacion vamos a construir un σ-algebra mas reducidopero de gran interes, empleado cuando el espacio muestral esel conjunto de los numeros reales, o un subconjunto del mismo.




Definicion. σ-algebra de Borel en IR

Sea Ω = IR y S la clase de intervalos,

S = (−∞, x ] | x ∈ IR

se define el σ-algebra de Borel sobre IR como,

B(IR) = σ(S)




Los conjuntos de Borel

Los elementos de B(IR) se suelen denominar conjuntos deBorel en IR y tambien borelianos. Observemos que a B(IR)pertenecen todas las uniones, intersecciones y diferencias deelementos de S. En particular, dados x , y ∈ IR, con x < y , sonelementos de B(IR),

(x , y ] = (−∞, y ]− (−∞, x ]

x =⋂∞

n=1(x − 1/n, x ]

(x , y) = (x , y ]− y




Mas borelianos[x , y) = (x , y) ∪ x[x , y ] = (x , y ] ∪ x(x ,+∞) = (−∞, x ]c

[x ,+∞) = (x ,+∞) ∪ x(−∞, x) = (−∞, x ]− xLos subconjuntos de IR, numerables, por ejemplo, IN, Zo Q.Y, claro esta, muchos otros tipos de conjuntos.




Observaciones sobre los borelianos

Al ser S1 = (x , y) | x , y ∈ IR, x < y ⊆ B(IR) es obvio queB(IR) = σ(S1), es decir, hay varias formas de generar losconjuntos de Borel en IR.

Como todo abierto en IR, con la topologıa usual, se puedeexpresar como union numerable de intervalos abiertos, setendra que los abiertos son borelianos, es mas, si denotamospor O la clase de los abiertos en IR, es obvio que σ(O) = B(IR),es decir, podemos definir el σ-algebra de Borel como elgenerado por la clase de los abiertos en IR.

Es facil ver que esto mismo sigue siendo valido para la clase delos cerrados en IR y para la clase de los compactos en IR. Deesta forma se constata la estrecha relacion entre la estructurade los borelianos en IR y la estructura topologica de dichoconjunto.



CombinatoriaCombinatoria basica para el Calculo de Probabilidades

CombinatoriaLa Combinatoria es una rama de las matematicas que,basicamente, estudia la construccion y enumeracion deagrupaciones de elementos pertenecientes a un conjunto,siguiendo determinados criterios. No guarda ninguna relacionestructural con el Calculo de Probabilidades. Para nosotros esuna herramienta mas como lo son las integrales o lassucesiones de numeros reales.En lo que sigue denotaremos U = 1,2,3, . . . ,n, es decir, Ues un conjunto finito de |U| = n ∈ IN elementos. A continuacionexpondremos distintas formas de agrupar elementos de U.Para cada una de ellas, indicaremos el conjunto de las mismasy su cardinal.




Variaciones con repeticionDado k ∈ IN, las variaciones de los elementos de U tomadasde k en k , son los elementos del conjunto,

VRn,k = U × U × k· · · × U = Uk

es decir, son,1 Las posibles k -uplas que se pueden construir con los

elementos de U.2 Posibles agrupaciones ordenadas de k elementos que

pueden repetirse.su numero es,

|VRn,k | = V R

n,k = nk




Ejemplo. Formacion de numeros.

Con las cifras 1,2 y 3, ¿cuantos numeros distintos de cuatrocifras pueden formarse?.

V R3,4 = 34 = 81

algunos de ellos son 1111, 1121, etc.




Ejemplo. Subconjuntos de un conjunto.

¿Cuantos subconjuntos posibles tiene U?. Este problemapuede abordarse de varias formas. Una de ellas, es lasiguiente. Si consideramos una ristra o cadena de n UNOS yCEROS, podemos asociarle el subconjunto cuyos elementosse corresponden con los UNOS. Por ejemplo, si n = 4 a lacadena 0110 le corresponderıa el subconjunto 2,3. Estacorrespondencia es biunıvoca luego hay tantos subconjuntoscomo ristras. Nos preguntamos ahora ¿Cuantas ristras hay?Obviamente son variaciones con repeticion de 2 elementos, elCERO y el UNO, tomados de n en n, por consiguiente U tiene2n subconjuntos.

0011 −→ 3,4 1010 −→ 1,3




Importante. Estrategia de recuento indirecto.El ejemplo anterior, aunque trivial, presenta una estrategia decalculo muy interesante en combinatoria, y que consiste encontar los elementos de un conjunto, A, estableciendo primerouna correspondencia uno a uno entre A y otro conjunto B, ycontando los elementos de B. Por supuesto, siempre quecalcular |B| nos resulte mas facil o atractivo que calcular |A|.

A biunıvoca−→ B =⇒ |A| = |B|




Variaciones sin repeticion u ordinarias o simplemente variaciones

Dado k ∈ IN, con k ≤ n, las variaciones de los elementos de Utomadas de k en k , son los elementos del conjunto,

Vn,k = (ii , i2, . . . , ik ) ∈ Uk | ip 6= iq si p 6= q

es decir, son las posibles agrupaciones ordenadas de kelementos sin repeticiones. Su numero es,

|Vn,k | = Vn,k = n(n − 1)(n − 2) · · · (n − k + 1) =n!

(n − k)!




Ejemplo. Colocacion de elementos.¿De cuantas formas se pueden sentar 10 personas en uncoche de cinco plazas?. El enunciado de este problemasugiere, sin necesidad de indicarlo explıcitamente, que unaforma se diferencia de otra tanto en las personas como en elorden de las mismas. Ademas las repeticiones no secontemplan. Hay pues,

V10,5 = 10× 9× 8× 7× 6 = 30240

formas distintas.Notemos que si la pregunta hubiera sido ¿De cuantas formasse pueden seleccionar 5 personas de un grupo de 10 parasentarlas en un coche de cinco plazas? las agrupacionesserıan no ordenadas, y no se podrıa aplicar la variacion paracontarlas. Mas adelante veremos como hacerlo.




Permutaciones sin repeticion u ordinarias o simplementepermutaciones

Las variaciones de los elementos de U, son los elementos delconjunto,

Pn = Vn,n

es decir, son las posibles agrupaciones ordenadas de los nelementos sin repeticiones, o sea, las distintas formas deordenar los elementos de U. De ahora en adelante tambienpodremos decir permutar. Su numero es,

|Pn| = Pn = |Vn,n| = n(n − 1)(n − 2) · · · (n − n + 1) = n!




Ejemplo. Colocacion de elementos.60 alumnos de un curso van de excursion en un autobus de 60plazas ¿De cuantas formas se pueden, ocupando cada uno unasiento? Obviamente son permutaciones de 60 elementos. Hay pues,

P60 = 60! ¡¡¡¡CANTIDAD MUY GRANDE!!!!

Por ejemplo es mayor que 1050. Para afinar algo mas, podemosaplicar la famosa aproximacion de Stirling,

60! ≈√

2π 60(

60e

)60

= z siendo pues

log z =12

log(2π 60) + 60 log(60/e)

= 1′2881655 + 80′5314061 = 81′8195716

es decir, 60! es un gran numero de orden 1081 aproximadamente.




Combinaciones sin repeticion u ordinarias o simplementecombinaciones

Dado k ∈ IN, con k ≤ n, las combinaciones de los elementosde U tomadas de k en k , son los elementos del conjunto,

Cn,k = A ⊆ U | |A| = k

es decir, son todos los posibles subconjuntos con de U con kelementos, o tambien son las posibles agrupaciones de kelementos, sin repeticiones, “no ordenadas” en el sentido deque el orden no es un elemento diferenciador. Su numero sedenota,

|Cn,k | = Cn,k




Calculo del numero de combinacionesPara calcular Cn,k razonamos de la siguiente forma. Si tenemosuna combinacion con k elementos, y construimos todas suspermutaciones, obtendremos las variaciones que contienen aesos elementos. Ası, podemos construir todas las variacionesposibles de k elemento desdoblando cada combinacion en susk ! permutaciones posibles, por consiguiente,

k ! Cn,k = Vn,k de donde se deduce

Cn,k =n!

k !(n − k)!=

(nk

)abreviatura que se llama “numero combinatorio” y se lee “nsobre k ”




Importante. Principio de desdoblamiento.

Notemos que el principio que hemos empleado para el calculose basa en desdoblar cada agrupacion de un tipo en otrastantas de otro, obteniendo el numero de las agrupacionesfinales mediante un proceso multiplicativo. Lo llamaremosprincipio de desdoblamiento.




Ejemplo. Seleccion de elementos.Ya podemos responder a la pregunta de un ejemplo anteriorque quedo sin contestar ¿De cuantas formas se puedenseleccionar 5 personas de un grupo de 10 para sentarlas en uncoche de cinco plazas? Las agrupaciones son claramentecombinaciones de 10 personas tomadas de 5 en 5, es decir,hay,

C10,5 =

(105

)=

10!

5! 5!= 252




Ejemplo. Seleccion de elementos.

Con 10 personas ¿Cuantas comisiones distintas de 6 personaspueden formarse?

C10,6 =

(106

)= 210




Ejemplo. Mezclas.

Un bodeguero tiene 8 tipos distintos de vino tinto ¿Cuantasmezclas distintas de 4 vinos puede hacer? Obviamente lasmezclas son agrupaciones sin repeticion de 10 tipos de vinos,tomados de 4 en 4, donde el orden no diferencia una mezclade otro, por consiguiente hay,

C8,4 =

(84

)= 70 MEZCLAS




Expresiones utiles1 Dado k ≤ n, se verifica, [Obvio](

nk

)=

(n

n − k

)2 Dado n > 0, se verifica,(

n0

)+

(n1

)+ · · ·+

(nn

)=

n∑k=0

(nk

)= 2n

3 Dado m ≤ n, se verifica,

m∑k=0

(nk

)(n

m − k

)=

(2nm

)




Ejemplo. Expresion 3.

(30

)(32

)+

(31

)(31

)+

(32

)(30

)= 1× 3 + 3× 3 + 3× 1 = 15

siendo tambien, (62

)=

6!

2! 4!= 15




Ejemplo. Numero de subconjuntos de un conjunto.Vamos a calcular el numero de subconjuntos de U, empleandootro metodo alternativo al utilizado en otro ejemplo anterior.Bastara sumar el numero de subconjuntos de 0 elementos (elconjunto vacıo), de un elemento, de dos, etc, es decir,(

n0

)+

(n1

)+

(n2

)+ · · ·+

(nn

)= 2n




Ejemplo. Aplicacion de expresiones.Manuel le pregunta a Mari un numero entero entre 1 y 20, y Mariresponde k . Entonces, Manuel selecciona k bolas de un lote de 20bolas rojas, numeradas de 1 a 20, y selecciona otras k bolas de otrolote de 20 bolas negras numeradas de 1 a 20. Acto seguido, junta lasbolas seleccionadas, obteniendo una agrupacion de 2k bolas negrasy rojas, numeradas ¿Cuantas agrupaciones potenciales hay?.

Obviamente, hay(20

k

)formas de seleccionar k bolas rojas, y otras(20

k

)formas de seleccionar k bolas negras. Por consiguiente hay,(

20k

)2

agrupaciones posibles para un k dado.




Ejemplo. Continuacion.El numero total de configuraciones sera pues,

20∑k=1

(20k

)2

=20∑

k=1

(20k

)(20

20− k

)

=

(4020

)− 1 = 137.846.528.819

es decir, ciento treinta y siete mil ochocientos cuarenta y seismillones, quinientas veintiocho mil ochocientas diecinueveconfiguraciones.Como puede verse, hemos aplicado la expresion util numero 1. y lanumero 3. para m = n, y ademas para esta ultima, hemos tenido encuenta que nuestra suma carece del correspondiente termino parak = 0, por lo que hay que restarlo. Y dicho termino vale

(200

)(2020

)= 1.




Sobre la indistiguibilidadPodemos decir que dos elementos son indistinguibles si no esposible diferenciar uno de otro. Evidentemente, este conceptoes puramente teorico. En nuestro mundo tangible, siemprepodremos distinguir una bola roja de otro bola roja pues esmaterialmente imposible que al elaborarlas sean identicas enforma, peso, color, etc. Sin embargo, como concepto teorico esutil para representar ciertas situaciones.




Ejemplo. Distribucion de bolas en celdas.Tenemos un casillero (cajon alargado dividido en compartimentos ocasillas) con n casillas, y tenemos tambien k ≤ n bolas rojas,indistinguibles ¿De cuantas formas distintas podemos ubicar lasbolas en el casillero, sin que halla mas de una bola en ninguncasillero?Si numeramos las casillas de 1 a n, una determinada configuracionse puede representar como una serie de casillas donde hay bolas.Ası, para n = 10 y k = 4 la configuracion 2579 significa que lascuatro bolas se han ubicado en las casillas segunda, quinta, septimay novena. Como las bolas son indistinguibles, estas configuracionesson no ordenadas, pues, por ejemplo, la ubicacion 2579 serıa igualque la 7529, luego son combinaciones de n elementos tomadas de ken k , es decir, hay, (

nk

)formas




Y si las bolas fueran distinguibles...Notemos que si las bolas fueran distinguibles, por ejemplo, siestuvieran numeradas de 1 a k , las configuraciones SI serıanordenadas, y por consiguiente serıan variaciones. En tal casohabrıa Vn,k = n!/(n − k)!.




Permutaciones con repeticionSupongamos que se dispone de tres tarjetas con el numero 2impreso en cada una, cinco tarjetas con el numero 7 impresoen cada una, y cuatro tarjetas con el numero tres impreso encada uno. En total tenemos pues doce tarjetas.Las doce tarjetas se barajan y a continuacion se disponensobre una mesa, una tras otra, formando pues un numero dedoce cifras. Es claro que hay P12 = 12! = 479,001,600 formasdiferentes de disponer las tarjetas pero ¿Cuantos numerosdistintos de doce cifras hay? ¿Hay mas? ¿Hay menos?




Permutaciones con repeticionObviamente muchos menos pues varias permutaciones de lastarjetas van a proporcionar el mismo numero. Supongamosque hay N numeros distintos. Por el principio dedesdoblamiento, se tiene obviamente,

N × 3! 5! 4! = 12!

por consiguiente,

N =12!

3! 5! 4!= 27,720

Estas configuraciones se denominan permutaciones conrepeticion de 12 elementos, donde tres se repiten, cinco serepiten y cuatro se repiten.




Permutaciones con repeticionSi tenemos n elementos, n1 ≤ n de los cuales son indistinguiblesentre ellos, n2 ≤ n son indistinguibles entre ellos pero distinguibles delos anteriores, etc, y nk ≤ n son indistinguibles entre ellos perodistinguibles de los anteriores, siendo n1 + n2 + · · ·+ nk = n, elnumero de configuraciones distintas al disponer los n elementos sedenominan permutaciones con repeticion de n elementos siendon1 indistinguibles, n2 indistinguibles,..., nk indistinguibles. Sunumero es,

Pn1,n2,...,nkn =

n!

n1!n2! · · · nk !

Este tipo de agrupacion aparece en problemas de enumeracion denumeros que se pueden formar con cifras que presentanrepeticiones, como el ejemplo anterior, o palabras que se puedenformar con un conjunto de letras que presentan repeticiones, y enotro tipo de problemas.




Ejemplo. Configuraciones con repeticion.

Con dos puntos y tres rayas ¿Cuantas letras del alfabetoMorse se pueden codificar?

P2,35 =

5!

2! 3!= 10

¿Y cuales son?

..--- .---. ---.. .--.- --.-.

.-.-- -.-.- -.--. -..-- --..-




Ejemplo. Distribucion de bolas indistinguibles en un casilleroVeamos nuevamente uno de los ejemplos anteriores, sobre lacolocacion de k ≤ n bolas rojas, indistinguibles, en un casillerocon n casillas, con una bola en cada casilla como maximo,pero ahora a la luz de las permutaciones con repeticion.Si disponemos las k bolas rojas en k casillas, podemossuponer que hay n − k no bolas en el resto de las casilla. haypues k bolas indistinguibles y n − k no bolas indistinguibles. Elnumero de configuraciones es pues,

Pk ,n−kn =

n!

k ! (n − k)!=

(nk

)es decir, hemos vuelto a encontrar las combinaciones.




Ejemplo. Distribucion de bolas distinguibles un casillero.Tenemos un casillero (cajon alargado dividido en compartimentos ocasillas) con n casillas, y tenemos tambien k bolas rojas, numeradasde 1 a k , y por consiguiente distinguibles ¿De cuantas formasdistintas podemos ubicar las bolas en el casillero, pudiendo entrar encada casilla cualquier numero de bolas incluso cero?Podemos representar cada configuracion por una ristra ordenada deltipo (i1, i2, . . . , ik ) siendo ip ∈ 1,2, . . . ,n y donde ip representa lacasilla en la que esta la bola p. Esto tiene sentido porque las bolasson distinguibles. Obviamente existe una correspondencia uno a unoentre las configuraciones y las citadas ristras. Pero estas ristras sonvariaciones con repeticion de n elementos tomados de k en k por loque hay,

nk formas posibles




Ejemplo. Distribucion de bolas indistinguibles un casillero.

Tenemos un casillero (cajon alargado dividido encompartimentos o casillas) con n casillas, y tenemos tambien kbolas rojas, indistinguibles ¿De cuantas formas distintaspodemos ubicar las bolas en el casillero, pudiendo entrar encada casilla cualquier numero de bolas incluso cero?Al ser las bolas indistinguibles, la cosa cambia totalmente conrespecto al ejemplo anterior. Supongamos que en la casillai-esima hay ki bolas, siendo ki ∈ 0,1,2, . . . , k. Podemosrepresentar la correspondiente configuracion mediante lan-upla (k1, k2, · · · , kn). Se tendra pues quek1 + k2 + · · · , kn = k . Es decir, este problema es equivalente aenumerar todas las soluciones posibles de la ecuacion,

k1 + k2 + · · ·+ kn = k ki ∈ 0,1,2, · · · ,n ∀i




Ejemplo. ContinuacionSea (k1, k2, · · · , kn) una configuracion. Podemos hacerlecorresponder una ristra perteneciente al conjunto ∗, |k+n−1, donde∗ indica bola y | indica separacion de casilla. En dichas ristras hay k ∗y n − 1 |. Por ejemplo si n = 3 y k = 4, tendrıamos lascorrespondencias,

(0,0,4) −→ (| | ∗ ∗ ∗ ∗) (2,1,1) −→ (∗ ∗ | ∗ |∗)

Es obvio que esta correspondencia es uno a uno luego hay tantasformas de ubicar las bolas como ristras del tipo citado con ∗ y |. Estasristras son permutaciones con repeticion de n + k − 1 elementosdonde n − 1 se repiten y k se repiten, por consiguiente hay,

Pn−1,kn+k−1 =

(n + k − 1)!

k ! (n − 1)!=

(n + k − 1

k

)=

(n + k − 1

n − 1

)formas posibles.




Ejemplo. Famoso problema de las coincidenciasTenemos un casillero con n casillas numeradas de 1 a n, y nbolas numeradas de 1 a n. Se disponen las bolas en elcasillero, de forma que cada casilla tenga exactamente unabola ¿De cuantas formas distintas podemos ubicar las bolas enel casillero de manera que haya al menos una coincidencia delnumero de bola con el numero de casilla?




Famoso problema de las coincidencias. Continuacion.Las distintas formas de ubicar las bolas en el casillero sonpermutaciones de 1,2,3, . . . ,n. De estas permutaciones,i1, i2, . . . , in, hay que contar cuantas de ellas verifican ik = k para almenos un k . Sea A el conjunto total de las n! permutaciones, y sean,

A1 = (i1, i2, i3, . . . , in) ∈ A | i1 = 1

A2 = (i1, i2, , i3, . . . , in) ∈ A | i2 = 2

· · · · · ·

An = (i1, i2, i3, . . . , in) ∈ A | in = n

luego hay,|A1 ∪ A2 ∪ · · · ∪ An|

formas posibles. El calculo de este cardinal se deja como ejercicio.




————— FIN —————


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