Teoría de la Comunicación
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UNIVERSIDAD DE VALLADOLID
E.T.S. INGENIEROS DE TELECOMUNICACIÓN
TEORÍA DE LA COMUNICACIÓN
CURSO 2010/2011
PROFESORES: ROBERTO HORNERO SÁNCHEZ
MARÍA GARCÍA GADAÑÓN
TEORÍA DE LA COMUNICACIÓN
Curso 2010/2011
Profesores: Roberto Hornero Sánchez (despacho 2D087) e-mail: [email protected]
María García Gadañón (despacho 2D082) e-mail: [email protected]
DESCRIPCIÓN En esta asignatura se estudia la base de los sistemas de comunicación analógicos y digitales. En una primera parte se enseñan las diferentes modulaciones en amplitud y las modulaciones angulares, y se profundizará en el efecto del ruido sobre estas modulaciones. En una segunda parte se introducirán las modulaciones digitales y sus sistemas de transmisión banda base y paso banda. Entre ambas partes hay un tema intermedio sobre la modulación analógica y digital de pulsos. Este contenido teórico se completa con la realización de problemas de cada tema y con tres bloques de prácticas en el entorno MATLAB donde se simularán los distintos conceptos explicados en teoría, y ver cuáles son sus implicaciones prácticas. OBJETIVOS Los objetivos de esta asignatura son:
Conocer los distintos sistemas de comunicación existentes (analógicos y digitales) y comprender las ventajas e inconvenientes de cada uno de ellos.
Saber cuáles son los parámetros que se pueden modificar en cada caso, así cómo
evaluar sus prestaciones.
Identificar cuándo se debe utilizar cada una de las diferentes soluciones existentes para transmitir información a través de un medio entre dos puntos diferentes.
Simular correctamente en el entorno MATLAB los distintos conceptos explicados
en teoría, y ver cuáles son sus implicaciones prácticas.
TEORÍA TEMA 1: INTRODUCCIÓN A LOS SISTEMAS DE COMUNICACIÓN.
1.1. INTRODUCCIÓN. 1.2. CARACTERIZACIÓN TEMPORAL 1.3. CARACTERIZACIÓN ESPECTRAL
1.4. CARACTERIZACIÓN DE SISTEMAS 1.5. DENSIDAD ESPECTRAL 1.6. ANCHO DE BANDA DE UNA SEÑAL 1.7. MODELADO PASO BAJO EQUIVALENTE 1.8. RETARDOS DE FASE Y GRUPO 1.9. TRANSMISIÓN DE UNA SEÑAL ALEATORIA A TRAVÉS
DE UN SISTEMA 1.10. ANÁLISIS DE RUIDO TEMA 2: MODULACIONES DE AMPLITUD
2.1. INTRODUCCIÓN 2.2. MODULACIÓN AM 2.3. MODULACIÓN DSB-SC
2.4. MODULACIÓN QAM 2.5. FILTRADO DE BANDAS LATERALES
2.6. MODULACIÓN VSB 2.7. MODULACIÓN SSB 2.8. TRASLACIÓN EN FRECUENCIA 2.9. MULTIPLEXACIÓN POR DIVISIÓN EN FRECUENCIA (FDM)
TEMA 3: MODULACIONES ANGULARES
3.1. MODULACIÓN DE FASE (PM) Y MODULACIÓN DE FRECUENCIA (FM) 3.2. MODULACIÓN EN FRECUENCIA DE UN TONO SIMPLE
3.3. ANCHO DE BANDA DE SEÑALES FM 3.4. GENERACIÓN DE SEÑALES FM
3.5. DEMODULACIÓN DE FM 3.6. EFECTOS NO LINEALES EN SISTEMAS FM
TEMA 4: RUIDO EN MODULACIONES ANALÓGICAS
4.1. INTRODUCCIÓN: SNR y FOM 4.2. RUIDO EN MODULACIONES DE AMPLITUD
4.3. RUIDO EN MODULACIONES DE FRECUENCIA 4.4. RESUMEN
TEMA 5: MODULACIÓN ANALÓGICA Y DIGITAL DE PULSOS 5.1. INTRODUCCIÓN 5.2. TEOREMA DE MUESTREO 5.3. MODULACIÓN DE PULSOS EN AMPLITUD: PAM 5.4. MODULACIÓN DE PULSOS EN EL TIEMPO: PDM y PPM 5.5. MODULACIÓN DIGITAL DE PULSOS: PCM 5.5. CÓDIGOS DE LÍNEA
TEMA 6: TRANSMISIÓN DIGITAL EN BANDA BASE
6.1. INTRODUCCIÓN 6.2. INTERFERENCIA ENTRE SÍMBOLOS 6.3. CRITERIOS DE DECISIÓN 6.4. FILTRO ADAPTADO 6.5. DECISIÓN MEDIANTE UMBRAL. CÁLCULO DE LA PROBABILIDAD DE ERROR
TEMA 7: TRANSMISIÓN DIGITAL PASO BANDA
7.1. TIPOS BÁSICOS DE MODULACIONES DIGITALES 7.2. REPRESENTACIÓN Y ANÁLISIS VECTORIAL 7.3. RECEPTORES COHERENTES E INCOHERENTES 7.4. ANÁLISIS DE LOS TIPOS DE MODULACIÓN
LABORATORIO TUTORIAL DE MATLAB® PRÁCTICA 1: INTRODUCCIÓN A LA SIMULACIÓN DE SEÑALES Y SISTEMAS
• VISUALIZACIÓN EN TIEMPO Y FRECUENCIA DE SEÑALES CONTINUAS
• MODELADO PASO BAJO EQUIVALENTE • FILTRADO • SEÑALES ALEATORIAS Y RUIDO
PRÁCTICA 2: MODULACIÓN EN AMPLITUD. MODULACIÓN EN FRECUENCIA. RUIDO EN MODULACIONES ANALÓGICAS
• MODULACIÓN AM, SSB Y QAM. • MODULACIÓN FM DE BANDA ESTRECHA • RUIDO EN MODULACIÓN AM CONVENCIONAL
PRÁCTICA 3: MODULACIÓN ANALÓGICA DE PULSOS. CUANTIFICACIÓN. TRANSMISIÓN DIGITAL BANDA BASE Y PASO BANDA
• MODULACIÓN ANALÓGICA DE PULSOS • CUANTIFICACIÓN UNIFORME Y NO UNIFORME • INTERFERENCIA ENTRE SÍMBOLOS EN TRANSMISIÓN
DIGITAL BANDA BASE • MODULACIÓN DIGITAL PASO BANDA
BIBLIOGRAFÍA A) BIBLIOGRAFÍA BÁSICA [1] “Communication Systems”. Simon Haykin. Ed. John Wiley & Sons, 4ª
edición, 2001. [2] “Communications Systems. Analysis and Design”. Harold P..E. Stern, Samy
A. Mahmoud. Ed. Pearson, Prentice Hall, 2004. [3] “Sistemas de Comunicaciones”. Marcos Faúndez Zanuy. Ed. Marcombo
Boixareu, 2001. [4] “Modern Digital and Analog Communication Systems”. B. P. Lathi, Ed.
Oxford University Press, 3ª edición, 1998. [5] “Digital Communications”. John G. Proakis. Ed. McGraw Hill, 5ª edición,
2007. B) BIBLIOGRAFÍA AVANZADA [6] “Digital Communications: Fundamentals and Applications”. Bernard Sklar.
Ed. Prentice Hall, 2ª edición, 2001. [7] “Communication Systems Using MATLAB and Contemporary Simulink”.
John G. Proakis, Masoud Salehi, Gerhard Bauch. Ed. Thomson Engineering, 2004.
[8] “Communication Systems”. A. Bruce Carson, Paul Crilly, Janet Rutledge. Ed. McGraw Hill, 4ª edición, 2001.
[9] “Digital Communication”. John R. Barry, Edward A. Lee, David G. Messerschmitt. Ed. Kluwer Academic Pub, 3ª edición, 2003.
UNIVERSIDAD DE VALLADOLID
E.T.S. INGENIEROS DE TELECOMUNICACIÓN
TEORÍA DE LA COMUNICACIÓN
Tema 1: Introducción a los Sistemas de Comunicación
1
TEMA I : Introducción a los Sistemas de Comunicación
Teoría de la Comunicación - Curso 2010-2011
1.1.-Introducción1.2.-Caracterización temporal 1.3.-Caracterización frecuencial1.4.-Caracterización de sistemas1.5.-Densidad espectral1.6.-Ancho de banda de una señal
TEMA I : Introducción a los Sistemas de Comunicación
Teoría de la Comunicación - Curso 2010-2011
1.7.-Modelado paso bajo equivalente1.8.-Retardos de fase y grupo1.9.-Transmisión de una señal aleatoria a través de un sistema1 10 A áli i d id1.10.-Análisis de ruido
2
1.1. IntroducciónProceso de comunicación
Tema I: Introducción a los Sistemas de Comunicación
La comunicación lleva implícita la transmisión de la información de un punto a otro mediante la sucesión de los siguientes procesos:
Generación de la informaciónDescripción de la información mediante un conjunto de símbolosCodificación de los símbolos de una manera que sea apta para la transmisióntransmisiónTransmisión de los símbolos codificados al destino deseadoDecodificación y reproducción de los símbolos originalesRecreación de la información. Puede haber una degradación en la calidad debido a imperfecciones en el sistema de comunicación
1.1. Introducción
Los elementos básicos del sistema de comunicación son:
Tema I: Introducción a los Sistemas de Comunicación
Los elementos básicos del sistema de comunicación son:TransmisorCanalReceptor
Fuente de información
Tx Rx Usuario de la i f ióinformación información
Canal
3
1.1. IntroducciónSeñales banda base y paso banda
E l T b d b l b d d t i ió d l l
Tema I: Introducción a los Sistemas de Comunicación
En la Tx banda base, la banda de transmisión del canal se ajusta a la banda de frecuencia ocupada por la señal transmitida
Señal banda base: señal generada por fuente de información
En la Tx paso banda, la banda de transmisión del canal es m cho ma or q e la ma or componente frec encial de lamucho mayor que la mayor componente frecuencial de la señal
Señal paso banda: proceso de modulación (traslación en frecuencia)
1.1. Introducción
Tema I: Introducción a los Sistemas de Comunicación
Ejemplo de señal banda base
f (Hz)
Ejemplo de señal paso banda
f (Hz)
4
1.1. IntroducciónProceso de comunicación: naturaleza probabilística
I tid b l ñ l ibid
Tema I: Introducción a los Sistemas de Comunicación
Incertidumbre en la señal recibidaMayor fuente de incertidumbre: ruidoSeñales recibidas descritas en términos de sus propiedades estadísticas
TEORÍA DE LA PROBABILIDAD
1.1. IntroducciónProceso de modulación
L d l ió i d l j
Tema I: Introducción a los Sistemas de Comunicación
La modulación sirve para adecuar el mensaje original a su transmisión por el canal (Transmisor)
Se varía algún parámetro de la portadora de acuerdo con el mensaje a transmitir
En la demodulación restauramos el mensaje original a partir de la versión degradada de la señal recibida tras propagarse por el canal (Receptor)Hay varios tipos de modulación: más o menos sensibles a efectos de ruido, distorsión, etc
5
Clasificación modulación:
1.1. Introducción
Tema I: Introducción a los Sistemas de Comunicación
De onda continua (modulación analógica)Modulación de amplitud Modulación angular:
Modulación de frecuencia (FM)Modulación de fase (PM)
Modulación de pulsosAnalógicaAnalógica
Modulación de amplitud de pulsos (PAM)Modulación de duración de pulsos (PDM)Modulación de posición de pulsos (PPM)
DigitalModulación de pulsos codificados (PCM)
1.1. IntroducciónLa multiplexación va a permitirnos combinar varios mensajes para ser transmitidos simultáneamente por el
Tema I: Introducción a los Sistemas de Comunicación
mensajes para ser transmitidos simultáneamente por el mismo canal
Multiplexación por división en frecuencia (FDM)Multiplexación por división en el tiempo (TDM)Multiplexación por división en longitud de onda (WDM)
6
1.1. IntroducciónRecursos de comunicación
P i i l t d
Tema I: Introducción a los Sistemas de Comunicación
Principalmente dos:Potencia transmitidaAncho de banda del canal (B)
Debemos usar ambos eficientementeAdemás:
SNR : cuantificación del efecto del ruidoC (capacidad de información): máximo rango en que la información puede ser transmitida sin error. El teorema de la capacidad de información:
)1(log 2 SNRBC +⋅= (bits/seg)
1.2.Caracterización temporalDefinición de señal
U ñ l f ió d l ti t t ú i
Tema I: Introducción a los Sistemas de Comunicación
Una señal es una función del tiempo t que toma un único valor en cada punto y que representa una información (voz, imagen, tensión o corriente, conjunto de símbolos, etc.)
Clasificación:Continua, discreta y digital
Señal continua o analógica: puede tomar cualquier valor en cualquier instante de tiempo (continua en tiempo y amplitud)Señal discreta: definida únicamente en instantes enteros o discretos de tiempo, pero puede tomar cualquier valor en esos instantes
7
1.2.Caracterización temporalSeñal discreta en amplitud: definida en todo instante de tiempo, pero sólo puede tomar ciertos valores de amplitud prefijados
Tema I: Introducción a los Sistemas de Comunicación
(continua en tiempo - discreta en amplitud)Señal digital: señal discreta en tiempo y amplitud
2
2.5
3
3.5
4
litud
2
2.2
2.4
2.6
2.8
3
litud
Señal continua Señal discreta
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 100
0.5
1
1.5
ampl
tiempo 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 101
1.2
1.4
1.6
1.8
ampl
tiempo
1.2.Caracterización temporal
Tema I: Introducción a los Sistemas de Comunicación
0.5
1
1.5
2
2.5
3
ampl
itud
0.5
1
1.5
2
2.5
3
3.5
4
ampl
itud
Señal discreta en amplitud
Señal digital
0 2 4 6 8 10 12 14 16 18 200
tiempo 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 100
tiempo
8
1.2.Caracterización temporalPeriódicas y no periódicas
Señal periódica: Э To g(t) = g(t+ To) ∀t
Tema I: Introducción a los Sistemas de Comunicación
Señal periódica: Э To g(t) g(t+ To) ∀tSeñal no periódica: NO existe To
Deterministas y aleatoriasDeterministas: señal completamente definida en el tiempo. No hay incertidumbre de su valor pasado, presente o futuroAleatorias: hay un grado de incertidumbre sobre valores de la señal
Señales definidas en potencia y energiaSeñales definidas en potencia y energiaSistema eléctrico: v(t), R , i(t)
Potencia instantánea:2
2
)()(
)( tiRRtv
tp ⋅==
1.2.Caracterización temporalSi R=1 Ω : p(t)= |v(t)|2 = |i(t)|2 = |g(t)|2Energía total:
Tema I: Introducción a los Sistemas de Comunicación
Potencia promedio:
dttgdttgET
TT ∫∫∞
∞−−∞→
== 22 )()(lim
dttgTlimP
T
∫= 2)(21
Señal definida en energía: 0<E<∞Señal definida en potencia 0<P<∞
T TT ∫−∞→ 2
9
1.2.Caracterización temporalSon mutuamente excluyentes:
Tema I: Introducción a los Sistemas de Comunicación
yLas señales de energía tienen potencia media ceroLas señales de potencia tienen energía infinita
En general:Señales de potencia:
Señales periódicasl l iSeñales aleatorias
Señales de energía:Señales deterministasSeñales no-periódicas
1.2.Caracterización temporal Unidades logarítmicas
S i t it d d l i ti
Tema I: Introducción a los Sistemas de Comunicación
Son comparaciones entre magnitudes del mismo tipoSon relativas y adimensionalesLas respuestas de nuestros sentidos son proporcionales a los logaritmos de la excitaciónFacilitan cálculosRepresentación general: 2log gk n⋅p g
n: base del logaritmo; k: factor de proporcionalidad;
g: valores de magnitudes consideradas en puntos distintos o niveles
1
ggn
10
1.2.Caracterización temporalDecibelio (dB): dB
PPA
1
2log10=
Tema I: Introducción a los Sistemas de Comunicación
A > 0: ganancia en potenciaA < 0: atenuación en potencia
1
2
1
2
1
2
22
log20log20log10
;
II
VV
PPA
RIR
VP
===
⋅==
Si se comparan potencias en dos cargas distintas R1 , R2:
2
1
1
2
1
2 log10log20log10log101
21
2
22
RR
VV
PPA
RVRV
+===
1.2.Caracterización temporalDecibelio (dB):
Tema I: Introducción a los Sistemas de Comunicación
3 dB g=2-3 dB g=1/210 dB g=1020 dB g=100
Sistema en cascada de ganancias g1 y g2:g=g2·g1 <==> g (dB)=g2 (dB)+ g1 (dB)
11
1.2.Caracterización temporalNeper(N)
PV 22 1
Tema I: Introducción a los Sistemas de Comunicación
Relación con dB:
NPPN
VVA
1
2
1
2 ln21ln ==
dBAeV
VVVV
V
)log(20)(loglog
ln1
21
2
1
2 ==⇒=
dBNNAdBA
e VV
VV
7.81)(7.8)(
)ln(7.8)ln(log201
2
1
2
≈⇒=
≅⋅=
1.2.Caracterización temporalNiveles: valores logarítmicos que toma una magnitud en un punto
Tema I: Introducción a los Sistemas de Comunicación
p
g2: valores de una magnitud en un puntog1: valor de referencia de dicha magnitudL: nivel absoluto de g2 representado en dBx, donde x indica la unidad utilizadaLas dos unidades de referencia más utilizadas en sistemas de
dBxggkL
1
2log⋅=
Las dos unidades de referencia más utilizadas en sistemas de comunicación:
dBm: P1 = 1mw: L(dBm) = 10logP(mw)dBw: P1 = 1w: L(dBw) = 10logP(w)
L(dBm) = 10logP(mw) = 10log[103 P(w)] = L(dBw) + 30
12
1.3.Caracterización frecuencialTransformada de Fourier (T. F.)
S (t) ñ l iódi d t i i t T F
Tema I: Introducción a los Sistemas de Comunicación
Sea g(t) una señal no periódica determinista, su T. F. es:
frecuencia angular w = 2π f
La T F inversa es:
∫∞
∞−−= dtftjtgfG )2exp()()( π
La T. F. inversa es:
∫∞
∞−= dfftjfGtg )2exp()()( π
1.3.Caracterización frecuencialPara que exista T. F., es suficiente con que se cumplan las condiciones de Dirichlet
Tema I: Introducción a los Sistemas de Comunicación
Nº finito de discontinuidadesValor único para cada tNº finito de máximos y mínimosAbsolutamente integrable
Representación par transformado de Fourier
)()( fGtg ⇔[ ][ ] )()(
)()()()(
1 tgfGFfGtgF
fGtg
=
=⇔
−
13
1.3.Caracterización frecuencial
En general G(f) es una función compleja:
Tema I: Introducción a los Sistemas de Comunicación
En general, G(f) es una función compleja:
Si (t) f ió l
[ ])(exp)()( fjfGfG θ=
|G(f)|: amplitud del espectro continuo
θ ( f ): fase del espectro continuo
Si g(t) es una función real:
)()()()(
)()( *
⎩⎨⎧
−−=⇒
−=⇒−=
fffGfG
fGfGθθ
Par
Impar
1.3.Caracterización frecuencialPropiedades de la T. F.
Li lid d
Tema I: Introducción a los Sistemas de Comunicación
Linealidad
Escalado en el tiempo
)constantesson y ()()()()( 2121
bafbGfaGtbgtag +⇔+
1( ) ( )fg a t Ga a
⇔
Dualidad
( es una constan te )a
)()( )()(
fgtGentoncesfGtgSi
−⇔⇔
14
1.3.Caracterización frecuencialDesplazamiento temporal
)2()()( ftjfGtt
Tema I: Introducción a los Sistemas de Comunicación
Desplazamiento frecuencial
Área bajo g(t):
)2exp()()( oo ftjfGttg π−⇔−
)()()2exp( cc ffGtgtfj −⇔π
∫∞
= )0()( GdttgÁrea bajo G(f):
∫ ∞−= )0()( Gdttg
∫∞
∞−= dffGg )()0(
1.3.Caracterización frecuencialDerivación en el dominio del tiempo
Tema I: Introducción a los Sistemas de Comunicación
Integración en el dominio del tiempo
)(2)( ffGjtgdtd π⇔
)(2
)0()(21)( fGfG
fjdg
tδ
πττ +⇔∫ ∞−
Funciones conjugadas
)()( );()(
** fGtgentoncesfGtgSi−⇔
⇔
15
1.3.Caracterización frecuencialMultiplicación en el tiempo ⇒ convolución en frecuencia
λλλ dfGGtt )()()()( ⇔ ∫∞
Tema I: Introducción a los Sistemas de Comunicación
Convolución en el tiempo ⇒ multiplicación en frecuencia
Ejemplo (de una señal y su T.F.):
λλλ dfGGtgtg )()()()( 2121 −⇔ ∫ ∞−
)()()()( 2121 fGfGdtgg ⇔−∫∞
∞−τττ
)(i)()()( fAfXtAΠ
1/τ
Aτ
f (Hz)
A
-τ/2 τ/2 t (s)
)( fX)(sinc)()()( ττ
τfAfXtAtx =⇔Π=
1.3.Caracterización frecuencialFunción delta de Dirac
L f ió d lt d Di i l id d d fi
Tema I: Introducción a los Sistemas de Comunicación
La función delta de Dirac o impulso unidad se define como:
Propiedad de extracción:
∫∞
∞=
≠=
-dttδ
tt
1)(
,0)( 0 δ
)0()()( d∫∞
δ
)()()()(
)()()(
)0()()(
ooo
oo
tttgtttg
tgdttttg
gdtttg
−=−
=−
=
∫
∫∞
∞−
∞−
δδ
δ
δ
16
1.3.Caracterización frecuencialPropiedad de replicación:
)()()()( id tid df ióltttt ⇒∗ δδ
Tema I: Introducción a los Sistemas de Comunicación
F[δ (t)] = 1
)()()(
)()()()(
oo ttgtgt-tδluciónador convoen el oper
identidadfunciónlaesttgtgt
−=∗
⇒=∗ δδ
1.3.Caracterización frecuencialTransformada de Fourier de señales periódicas
S (t) ñ l iódi d í d T d fi
Tema I: Introducción a los Sistemas de Comunicación
Sea gp(t) una señal periódica de período To; se define:
F. T. existe energía, de Señal ,0
22 ),(
)(
⇒
⎪⎩
⎪⎨⎧ ≤≤
−=
resto
TtTtgtg
oop
Se cumple:
∑∞
−∞=
−=m
op mTtgtg )()(
17
1.3.Caracterización frecuencialSuma de Poisson (se cumple para toda función de energía):
Tema I: Introducción a los Sistemas de Comunicación
como
∑ ∑∞
−∞=
∞
−∞=
=−m no
o Tntj
TnG
TmTtg )2exp()(1)(
00
π
−⇔nfntj )()2exp( δπ
∑ ∑∞
−∞=
∞
−∞=
−⇔−=
⇔
m on ooop
oo
Tnf
TnG
TmTtgtg
Tf
T
)()(1)()(
)()exp(
δ
δ
1.3.Caracterización frecuencialEntonces, la T. F. de una señal periódica es un tren de deltas a frecuencias 0,±f , ± 2f , . . . donde f =1/ T
Tema I: Introducción a los Sistemas de Comunicación
deltas a frecuencias 0,±fo, ± 2fo, . . . donde fo 1/ To
Periodicidad (tiempo) ⇔ Discretización (frecuencia)Ejemplo (tomaremos una señal sinusoidal):
f (Hz)t (s)
18
1.4.Caracterización de sistemas
Un sistema es un dispositivo físico que proporciona
Tema I: Introducción a los Sistemas de Comunicación
Un sistema es un dispositivo físico que proporciona una señal de salida a partir de una de entrada
T[ ]x(t) y(t)
y(t)=T[x(t)]
1.4.Caracterización de sistemasPropiedades de los sistemas:
Li lid d (t) + b (t) T[ (t) + b (t)]
Tema I: Introducción a los Sistemas de Comunicación
Linealidad: ay1(t) + by2(t) = T[ax1(t) + bx2(t)]Invarianza temporal: y(t-to) = T[x(t-to)]Estabilidad: Si |x(t)| < M ⇒ y(t) = T[x(t)] < NSistema sin memoria ⇒ la salida en un instante depende de la entrada en ese instante:
» y(to) = f [x(to)]y( o) [ ( o)]Causalidad: la salida depende del pasado y del presente de la entrada:
» y(to) = f [x(τ)]; ∀τ ≤ to
19
1.4.Caracterización de sistemasRespuesta al impulso de un sistema
Si i t LTI h(t) l t l i l
Tema I: Introducción a los Sistemas de Comunicación
Si en un sistema LTI, h(t) es la respuesta al impulso (h(t) = T[δ(t)] ); entonces podemos calcular la salida convolucionando la respuesta al impulso con la señal de entrada, es decir:
∫∞
∞−∗=−= )()()()()( thtxdthxty τττ
Si el sistema es L.T.I. y causal ⇒ h(t) = 0, si t < 0
Si el sistema es L.T.I. y estable: ∫∞
∞−∞<ττ dh )(
1.4.Caracterización de sistemasRespuesta en frecuencia
L f ió d t f i t f i i
Tema I: Introducción a los Sistemas de Comunicación
La función de transferencia o respuesta en frecuencia viene dada por:
l l f i d f i d i
)()()()()()( LTI es sistema el Si
)2exp()()(
)2exp()()(
fHfXfYthtxty
dfftjfHth
dtftjthfH
=⇔∗=⇒
=
−=
∫∫∞
∞−
∞
∞−
π
π
En general, la función de transferencia de un sistema LTI, será una función compleja:
[ ]
fase enrespuesta sistemadel amplitud enrespuesta
β(f): : H(f)
fjfHfH )(exp)()( β=
20
1.4.Caracterización de sistemasFiltros
E di iti l ti d f i l
Tema I: Introducción a los Sistemas de Comunicación
Es un dispositivo selectivo de frecuencias que se emplea para limitar el espectro de una señal a unas bandas específicas de frecuenciaSu respuesta en frecuencia se caracteriza por:
Bandas de paso: frecuencias transmitidas con nula o pequeña distorsiónBandas eliminadas: frecuencias rechazadas por el sistemaBandas eliminadas: frecuencias rechazadas por el sistema
Si el filtro es ideal, en las bandas de paso la respuesta es la unidad y en las eliminadas cero
1.4.Caracterización de sistemasLos tipos de filtros ideales son:
P b j id l ú i t d j l b j f i
Tema I: Introducción a los Sistemas de Comunicación
Paso bajo ideal: únicamente deja pasar las bajas frecuenciasPaso alto ideal: únicamente deja pasar las altas frecuenciasPaso banda ideal: solo deja pasar las frecuencias entre dos intervalos dadosBanda eliminada ideal: deja pasar todas las frecuencias excepto las comprendidas dentro de un intervalo dado
21
1.4.Caracterización de sistemas1
1 . 2
1
1 . 2
Tema I: Introducción a los Sistemas de Comunicación
Paso bajo ideal Paso alto ideal-1 0 -8 -6 -4 -2 0 2 4 6 8 1 00
0 . 2
0 . 4
0 . 6
0 . 8
f (Hz)-1 0 -8 -6 -4 -2 0 2 4 6 8 1 00
0 . 2
0 . 4
0 . 6
0 . 8
f (Hz)
1 . 2 1 . 2
Paso banda ideal Banda eliminada ideal-1 0 -8 -6 -4 -2 0 2 4 6 8 1 00
0 . 2
0 . 4
0 . 6
0 . 8
1
f (Hz)-1 0 -8 -6 -4 -2 0 2 4 6 8 1 00
0 . 2
0 . 4
0 . 6
0 . 8
1
f (Hz)
1.5.Densidad espectralSeñales definidas en energía
S (t) ñ l d í G(f) T F
Tema I: Introducción a los Sistemas de Comunicación
Sea g(t) una señal de energía, y G(f) su T. F. :
dffGdttgE ∫∫∞
∞−
∞
∞−==
:(D.E.E.) energía de espectral Densidad
)()(
:Rayleigh de energía la de Teorema22
dffΨE
fGf)Ψ
- g
g
∫∞
∞=
=
)(
)(( 2
22
1.5.Densidad espectralRelación con la función de autocorrelación:
Tema I: Introducción a los Sistemas de Comunicación
)2()2()()(
); (
)2exp()()()]([
)()()(
*
*
*
dtdtfjfjt
ddthacemos
dfjdttgtgRF
dttgtgR
g
g
==+⇒
=−⎥⎦⎤
⎢⎣⎡ +=
+=
∫∫
∫ ∫
∫
∞∞
∞
∞−
∞
∞−
∞
∞−
ψτψτ
ττπττ
ττ
)()(...)()()(
)2exp()2exp()()(2*
fgREEDfGfGfG
dtdtfjfjgtg
g Ψ⇔
≡==
=−= ∫∫ ∞−∞−
τ
ψππψψ
1.5.Densidad espectralSeñales periódicas
S (t) ñ l iódi d í d T
Tema I: Introducción a los Sistemas de Comunicación
Sea gp(t) una señal periódica de período To
La potencia media es:
)(1)(1)(2
2
2
2
22 ==== ∫ ∑−
∞
−∞=
T
T n oop
o TnG
Tdttg
TtgP
o
o
Parseval de potencia de Tª
))(1 ( 2
⇒
=== ∑∞
−∞=nn
oon c
TnG
Tchacemos
23
1.5.Densidad espectralDensidad espectral de potencia: función de la frecuencia cuya área es igual a la potencia media de la señal
Tema I: Introducción a los Sistemas de Comunicación
cuya área es igual a la potencia media de la señal
La D.E.P. es una función discreta de la frecuencia debido a
∑∑
∫∞
−∞=
∞
−∞=
∞
∞−
−=−=
=
n on
on oogp
gp
Tnfc
Tnf
TnG
TfS
dffSP
)()()(1)(
)(
22
2 δδ
la periodicidad temporalRelacionado con la función de autocorrelación:
)()( fSR gpgp ⇔τ
1.5.Densidad espectralRelación entrada-salida en un LTI
D id d t l
Tema I: Introducción a los Sistemas de Comunicación
Densidad espectral:
Con módulos:
h(t) x(t) y(t)
⇒Y( f ) = H(f)X(f)222 )()()( fHfXfY =
Señales de energía:Señales de potencia: )()()(
)()()(2
2
fSfHfS
fΨfHfΨ
xy
xy
=
=
⇒La relación entre la densidad espectral a la salida y la entrada sólo depende de la respuesta en amplitud del sistema
24
1.6.Ancho de banda de una señalEs la banda en la que se encuentra la mayor parte
Tema I: Introducción a los Sistemas de Comunicación
q y pde la potencia (energía) de la señalHay varias definiciones, y por ello varias formas de cuantificar el ancho de banda de una señal:
Ancho de banda equivalenteAncho de banda a 3dBAncho de banda del 90%Ancho de banda del primer nulo
Ancho de banda equivalenteS (t) ñ l b d b d S (f) d fi
Tema I: Introducción a los Sistemas de Comunicación
1.6.Ancho de banda de una señal
Sea x(t) una señal banda base con d.e.p. Sx(f), se define ancho de banda equivalente como el que tendría una señal estrictamente limitada en banda cuya potencia fuese la de x(t) pero con d.e.p. uniforme y de valor el máximo de Sx(f)
)(2 max wfSP eqxx ⋅=
)(2
)(
)(2 maxmax
a
fS
dffS
fSPw
x
x
x
xeq
eqxx
∫∞
∞−==
25
Ejemplo: pulso rectangular (amplitud A, anchura total τ).
Tema I: Introducción a los Sistemas de Comunicación
1.6.Ancho de banda de una señal
ττ )(sinc)()()( ⇔Π fAfXtAtx
)( fxΨ
1/τ
A2τ2
f (Hz)
A
-τ/2 τ/2 t (s)
τττ
ττ
τττ
τττ
21
22
)(
2
)](max[)(sinc)(
)(sinc)()()(
22
2
22
2
22
22222
====
=Ψ⇒=Ψ
=⇔Π=
∫∞
∞−
AA
A
dttx
AEw
AffAf
fAfXAtx
xeq
xx
Ancho de banda a 3dBA ll f i l l d di i l
Tema I: Introducción a los Sistemas de Comunicación
1.6.Ancho de banda de una señal
Aquella frecuencia para la que la d.e.p. disminuye a la mitad de su valor máximo
Para el ejemplo anterior:
cdBmaxx
cx fwfSfS =⇒= 32)()(
τττ
τττ
26.21443.0443.0
21)()()(
3
2222
==⇒=
=⇒=
dBc
cx
wf
fsincfsincAfS
26
Ancho de banda del 90%C ti l 90% d l t i / í d l ñ l
Tema I: Introducción a los Sistemas de Comunicación
1.6.Ancho de banda de una señal
Contiene el 90% de la potencia/energía de la señal
τττ
25.1
:ntenuméricame oResolviend
9.0)(sin2:Ejemplo
90
0
22229.0
≈
=∫
.
w
w
AdffcA
Ancho de banda del primer nuloτ
τw 1=
Tema I: Introducción a los Sistemas de Comunicación
1.6.Ancho de banda de una señal
f (H )
Señales paso banda: los anchos son el doble que los obtenidos para la misma señal paso bajo.
f (Hz)
27
1.7.Modelado paso bajo equivalenteQueremos disponer de una herramienta que permita analizar las señales independientemente de la frecuencia
Tema I: Introducción a los Sistemas de Comunicación
analizar las señales independientemente de la frecuencia central en la que trabajemos
Transformada de Hilbert
ttgd
tgtg
πτ
ττ
π1)()(1)( ∗=
−= ∫
∞
∞−
∧
Transformada de Hilbert inversa:
1 ( ) 1( ) ( )gg t d gt tτ τ τ
π τ π
∧∧∞
−∞= − = − ∗
−∫
Como:)()()()(1 fGfjsignfGfjsign −=⇒−⇔
∧
Tema I: Introducción a los Sistemas de Comunicación
1.7.Modelado paso bajo equivalente
Introduce desfase de -90º para frecuencias positivas y 90º para frecuencias negativasLa amplitud no se modifica
Nos servirá para ciertos tipos de modulaciones y para representar ñ l b d
)()()()( ffj gffj gtπ
señales paso banda
28
La respuesta en fase de la T. H. es :
Tema I: Introducción a los Sistemas de Comunicación
1.7.Modelado paso bajo equivalente
Ejemplo de T. H. :
Tema I: Introducción a los Sistemas de Comunicación
1.7.Modelado paso bajo equivalente
)]()([1)]()([
)]()()[(2
)()()(
)]()([21)(
2)2exp()2exp()2cos()(
δδδδ
δδ
δδ
πππ
+=+−
=
=++−−=−=
++−=
−+==
∧
ffffffffj
fffffsignjfGfjsignfG
fffffG
tfjtfjtftg
cc
cc
ccc
2 de desfase )2(
2)2exp()2exp()(
)]()([2
)]()([2
ππππ
δδδδ
⇒=−−
=
+−−=+−−=
∧
tfsinj
tfjtfjtg
ffffj
ffff
ccc
cccc
29
Tema I: Introducción a los Sistemas de Comunicación
1.7.Modelado paso bajo equivalente
La transformada inversa de Hilbert retrasa otros π/2 radianes y cambia signo. Ejemplo:
)2(
)2
()2()2
cos()2cos()2
2cos()2
(
tfsin
sintfsintftftg
c
ccc
π
πππππππ
=
=+=−=−
)2cos(
)]2cos([)2
2()]([1
tf
tftfsintgH
c
cc
π
πππ
=
=−−=−−=∧
−
Propiedades de la transformada de Hilbert:Las señales g(t) y ĝ(t) tienen la misma densidad
Tema I: Introducción a los Sistemas de Comunicación
1.7.Modelado paso bajo equivalenteLas señales g(t) y ĝ(t) tienen la misma densidad espectral:
La señal g(t) está limitada en banda ⇒ ĝ(t) tambiénTanto g(t) como ĝ(t) tienen la misma energía o potencia
Las señales g(t) y ĝ(t) tienen la misma función de autocorrelaciónSi g(t) ∈ ℜ⇒ g(t) ┴ ĝ(t)
H[ H(g(t)) ] = -g(t)
0)0( ==∧ τgg
R
30
Señal analíticaD d (t) ℜ l ñ l líti iti d fi
Tema I: Introducción a los Sistemas de Comunicación
1.7.Modelado paso bajo equivalente
Dado g(t) ∈ ℜ , la señal analítica positiva, se define:
[ ] si fG si ffG
fGfjsignjfGfG
tgetgtgjtgtg
+
+
∧
+
⎪
⎪⎨
⎧=>
=−+=
ℜ=⇒+=
0)0(0)(2
)()()()(
)]([)()()()(
dfπftjfGtg
i f s
∫∞
+ =⇒
⎪⎩ <
0)2exp()(2)(
00
Señal analítica negativa:tgjtgtg
∧
)()()(
Tema I: Introducción a los Sistemas de Comunicación
1.7.Modelado paso bajo equivalente
[ ]
dfπftjfGtg
i f s
si fG si ffG
fGfjsignjfGfG
tgjtgtg
∫
−
−
=⇒
⎪⎩
⎪⎨
⎧
>=<
=−−=
−=
0)2exp()(2)(
000)0(
0)(2)()()()(
)()()(
Señal original:
ffjfg ∫ ∞−− )p()()(
)]()([21)( tgtgtg −+ +=
31
Tema I: Introducción a los Sistemas de Comunicación
1.7.Modelado paso bajo equivalente
G(f)
f (Hz)
G-(f)
f (Hz)
G+(f)
f (Hz)
Señales paso bandaS (t) ñ l b d h d b d 2
Tema I: Introducción a los Sistemas de Comunicación
1.7.Modelado paso bajo equivalente
Sea g(t) una señal paso banda, con ancho de banda 2wcentrada en ± fc . En la mayoría de los sistemas de comunicación fc >> 2w, por lo que se denominan también señales banda estrechaSe define la envolvente compleja como:
)2exp()()(~
tfjtgtg π−=
Señal analítica positiva:
)2exp()()(~
tfjtgtg cπ=+
)2exp()()( tfjtgtg cπ= +
32
La señal g+(t) está limitada en banda (fc - w) ≤ f ≤ (fc + w)~
Tema I: Introducción a los Sistemas de Comunicación
1.7.Modelado paso bajo equivalente
En general:bajo paso señal una es compleja envolvente la
en limitada está
)()()()(~
⇒≤≤⇒
+=+∗= ++
wf -w (f) G
ffGfffGfG~
ccδ
Ct)(~
bajo paso señalesson ,)()()()()(
~
t,gtgtjgtgtg
sc
sc
ℜ∈+=
Ctg ∈)(
Por definición, una señal g(t):tfjtgetgetg =ℜ=ℜ= )]2exp()([)]([)(
~π
Tema I: Introducción a los Sistemas de Comunicación
1.7.Modelado paso bajo equivalente
R il d l l t l jtura en cuadracomponentetg
en fasecomponentetg
tftgtftgtfjtgetgetg
s
c
cscc
c
≡≡
⇒−=
=ℜ=ℜ= +
)()(
señal la de canónica formaen ción Representa)2sin()()2cos()(
)]2exp()([)]([)(ππ
π
)()()(~
tjtt +Recopilando, la envolvente compleja:Es una señal paso bajoContiene toda la información relevante de g(t) salvo la frecuencia central a la que se encuentraPor tanto, es una señal paso bajo equivalente a g(t)
)()()( tjgtgtg sc +=
33
Interpretación geométrica: fasor variante en el tiempo~
Tema I: Introducción a los Sistemas de Comunicación
1.7.Modelado paso bajo equivalente
[ ]
⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡=
+=
=
+=
)()()(
natural envolvente)()()(
)(exp)()(
)()()(
1
22
tgtgtagt
tgtgta
tjtatg
tjgtgtg
c
s-
sc
~sc
φ
φ
gs
a(t)
gc
Eje realφ(t)
)2exp()()(
:Además~
tfjtgtg = π
Tema I: Introducción a los Sistemas de Comunicación
1.7.Modelado paso bajo equivalente
plano del movimiento alatención
prestar no de tratacompleja envolvente La* )]([)(*
rad/s 2 velocidaduna a rota plano El* )2exp()()(
sc
csc
c
gg
tgetgπf gg
tfjtgtg
+
+
ℜ=
= π
gs(t)
a(t)
Eje real
φ(t)
g(t)
gc(t)
2πfct
g+(t)
34
Obtención de las componentes:
Tema I: Introducción a los Sistemas de Comunicación
1.7.Modelado paso bajo equivalente
2)4cos(1)(
2)4sin()()2sin()(
2)4sin()(
2)4cos(1)()2cos()(
)2sin()()2cos()()(
tftgtftgtftg
tftgtftgtftg
tftgtftgtg
cs
ccc
cs
ccc
cscc
−−=
−+
=
−=
πππ
πππ
ππ
escaladefactor un salvo y obtenemosbajo,pasofiltramosSi )()( tgtg sc⇒
El esquema es:
(1/2) ( )
Tema I: Introducción a los Sistemas de Comunicación
1.7.Modelado paso bajo equivalente
Y además:⊗
⊗
-π/2osc.cos(2 π fct)
LPF
LPFg(t)
(1/2)gc(t)
-(1/2)gs(t)Y además:
⊗
⊗
-π/2osc.
gc(t)
gs(t)
Σ g(t)+
-
cos(2 π fct)
35
Sistemas paso bandaL i t h t h i l t i l t i
Tema I: Introducción a los Sistemas de Comunicación
1.7.Modelado paso bajo equivalente
Lo visto hasta ahora es operacionalmente incompleto si no contamos con una herramienta que nos permita manejar envolventes complejas para simular el efecto canalSiendo cierto:
h(t) x(t) y(t) Todas paso banda
Nos gustaría operar:
??? Todas paso bajo)(~
tx )(~
th
Se demuestra:~~~~~
∫∞
Tema I: Introducción a los Sistemas de Comunicación
1.7.Modelado paso bajo equivalente
Pero nos puede obligar a realizar 4 convoluciones:
bajo paso enteexclusivam señalescon trabajar Podemos)]2exp()([)(
)()()()()(2~
⇒ℜ=
∗=−= ∫∞
∞−
tfjtyety
txthdtxhty
cπ
τττ
~~~
)()()()()(2)()()()()(2
)]()()()([)]()()()([)]()([)]()([)()()(2
txthtxthtytxthtxthty
txthtxthjtxthtxthtjxtxtjhthtxthty
sccss
ssccc
csscsscc
scsc
∗+∗=∗−∗=
∗+∗+∗−∗==+∗+=∗=
36
En definitiva, para la evaluación de un sistema paso-banda se realizan los siguientes pasos:
Tema I: Introducción a los Sistemas de Comunicación
1.7.Modelado paso bajo equivalentese realizan los siguientes pasos:
( ) ( )
( ) ( )
( ) ( )por reemplazase
por reemplazase
.2
)]2exp([
;.1
~
~
thth
tfjtxetx
tx tx
c
~
πℜ=
( ) ( ) ( )
( ) ( ) )exp(calcula Se
obtiene Se
]2[4
2.3~
tfjtyety.
txthty
c
~~~
πℜ=
∗=
1.8.Retardos de fase y grupoRetardo de fase del canal: retardo de una señal sinusoidal (portadora)
Tema I: Introducción a los Sistemas de Comunicación
(portadora)Retardo de grupo: retardo de la señal de informaciónUn canal dispersivo en fase se puede modelar como:
Sea una señal banda estrecha:
[ ]frecuenciala delineal no función
constante :fβ
kfjkfH)(
:)(exp)( β=
bajo pasoseñal
c
cc
cc
fw ωffX tx
tπftxtx
<<
>=
=
20)(/)(
)2cos()()(
37
1.8.Retardos de fase y grupoRealizamos una expansión en serie de Taylor en torno a fc(aproximamos con los 2 primeros términos)
Tema I: Introducción a los Sistemas de Comunicación
( p p )
Se define:Retardo de fase:
cffcc df
fdffff=
−+≈)()()()( βββ
cp f
fβτ2
)(−=
Retado de grupo:c
p fπ2
cffg df
fd
=
−=)(
21 βπ
τ
1.8.Retardos de fase y grupoPor tanto:
Tema I: Introducción a los Sistemas de Comunicación
Envolventes complejas:
])(22exp[)(
)(22)(
gcpc
gcpc
ffjfjkfH
ffff
τπτπ
τπτπβ
−−−=
−−−≈
0 )(2)()(~
fffHffHfH cc >+=+= +
)()2exp()2exp()]()([21)(
)()(
)22exp(2)(
~~~
~
~
fXfjfjkfXfHfY
fXfX
fjfjkfH
cgpc
c
gpc
τπτπ
τπτπ
−−==
=
−−=
38
1.8.Retardos de fase y grupo
)2()()(
)()2exp()( Como~
−⇔−
fjk
fXπfτjτtx cggc
Tema I: Introducción a los Sistemas de Comunicación
Por ello, la transmisión de x(t) por un canal dispersivo tiene 2 efectos:
L ñ l d d ( d d f
)2exp()()( :Recordemos
)](2cos[)()(
)2exp()()(
⎥⎦⎤
⎢⎣⎡ℜ=
−−=
−−=
tπfjtyety
tftkxty
fjtkxty
c
~
pcgc
pcgc
τπτ
τπτ
La señal portadora se retarda τp (retardo de fase o portadora)La envolvente xc(t) se retarda τg (retardo de grupo) ⇒retardo de la señal de información
1.8.Retardos de fase y grupoSi β(f) = -2πft (fase lineal)
Tema I: Introducción a los Sistemas de Comunicación
Si β(f) 2πfto (fase lineal)
)(21
2)(
=−=
=−=
=o
ffg
oc
cp
tdf
fd
tff
c
βπ
τ
πβτ
igualesgrupodey fasedeRetardo⇒
39
1.9.Transmisión de una señal aleatoria a través de un sistema
Tema I: Introducción a los Sistemas de Comunicación
Sea un sistema LTI cuya entrada es un proceso estocástico X(t); queremos conocer las características del proceso de salida Y(t) (media, autocorrelación, d.e.p., . . .)
di
h(t) X(t) Y(t)
⎤⎡∫∞
Media
ad)probabilid de densidad de(función ...)(
)()()]([ :Nota
)()()]([)(
pdfxf
dxxfxgxgE
dtXhEtYEtm
X
X
Y
≡
=
⎥⎦⎤
⎢⎣⎡ −==
∫
∫∞
∞−
∞−τττ
1.9.Transmisión de una señal aleatoria a través de un sistema
Si l di d X( ) fi i l i bl
Tema I: Introducción a los Sistemas de Comunicación
Si la media de X(t) es finita y el sistema es estable:
Si X(t) es estacionario en sentido amplio (WSS)
)()()(
)()()]([)()(
tmthtm
dtmhdtXEhtm
XY
XY
∗=
−=−= ∫∫∞
∞−
∞
∞−ττττττ
Si X(t) es estacionario en sentido amplio (WSS) ⇒ mX = cte
XXY mHdhmtm ∫∞
∞−== )0()()( ττ
40
1.9.Transmisión de una señal aleatoria a través de un sistema
Autocorrelación
Tema I: Introducción a los Sistemas de Comunicación
Autocorrelación
Si el sistema es estable, y el valor cuadrático medio de la señal de entrada es finito ∀t:
])()()()([
)]()([),(
222111 ∫∫∞
∞−
∞
∞−−−=
==
ττττττ duXhdtXhE
uYtYEutR Y
Si X(t) es WSS ⇒ la autocorrelación depende de la diferencia de tiempos τ = t-u
(1) )()(),(),( uhthutRutR XY ∗∗=
(2) )()()()( ττττ −∗∗= hhRR XY
1.9.Transmisión de una señal aleatoria a través de un sistema
Correlación cruzada:
Tema I: Introducción a los Sistemas de Comunicación
Correlación cruzada: Suponemos sistema estable y valor cuadrático medio de la señal de entrada finito
)()()()(),(),( (1)Por
)(),(),()(),(),(
uhutRutRthutRutR
thutRutRuhutRutR
XYY
XYX
XXY
∗∗=⇒
∗=∗=
Si además X(t) es WSS, por (2):
Similares deducciones para valor cuadrático medio, covarianzas y autocovarianzas.
)(),(),( uhutRutR YXY ∗=
)()()()()()()()()()()()(
ττττττττττττ
−∗=⇒∗=∗=⇒−∗=hRRhRR
hRRhRR
YXYXYX
XYYXXY
41
1.9.Transmisión de una señal aleatoria a través de un sistema
D id d t l d t i (d )
Tema I: Introducción a los Sistemas de Comunicación
Densidad espectral de potencia (d.e.p.)Ahora trabajamos en el dominio de la frecuenciaSuponemos sistema LTI estable y X(t) proceso WSSLa densidad espectral de potencia es:
∫∞
∞−−= ττπτ dfjRfS XX )2exp()()(
Propiedades:
ormadoPar transf)2exp()()(
)2exp()()(
:Khintchine- Wienerde Relaciones .1
⇒=
−=
∫∫∞
∞−
∞
∞−
dffjSR
dfjRfS
XX
XX
τπττ
ττπτ
1.9.Transmisión de una señal aleatoria a través de un sistema
Tema I: Introducción a los Sistemas de Comunicación
Relación entrada-salida en un sistema LTI estable y con
ffSfSfS
dffSXER
dRS
X
XX
XX
XX
∀≥⇒=−
==
=
∫
∫∞
∞−
∞
∞−
0)( 5. .frecuencia la depar Función )()( 4.
)(][(0) 3.
)()0( 2.
2
ττ
Relación entrada-salida en un sistema LTI estable y con X(t) proceso WSS
∫∫∞
∞−
∞
∞−===
=
dffSfHdffSRYE
fSfHfS
XYY
XY
)()()()0(][
)()()(22
2
42
1.9.Transmisión de una señal aleatoria a través de un sistema
Tema I: Introducción a los Sistemas de Comunicación
Procesos gaussianosLa función densidad de probabilidad es conocida a priori:
Independencia ⇒ Incorrelación (siempre)
⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡ −−= 2
2
2)(exp
21)(
X
X
XX
mxxfσσπ
En gaussianos: Incorrelación ⇒ IndependenciaSe conserva el carácter gaussiano al atravesar un sistema lineal ⇒ sólo habrá que calcular medias y varianzas
1.10. Análisis de ruidoEl ruido es toda señal no deseada que aparece en los sistemas de comunicación y sobre la que no tenemos
Tema I: Introducción a los Sistemas de Comunicación
sistemas de comunicación y sobre la que no tenemos ningún control Tipos de ruido
Ruido externo al sistema: ruido atmosférico, producido por el hombre, galáctico, etcRuido interno al sistema: el más importante es debido a las fluctuaciones aleatorias de las portadoras en los dispositivos utilizados. Los más comunes son:Los más comunes son:
Ruido impulsivo o shot: ruido cuya intensidad aumenta bruscamente durante un intervalo de tiempo muy pequeño. Ruido térmico: ruido producido por el movimiento aleatorio de los electrones en los elementos integrantes de los circuitos
43
1.10. Análisis de ruidoEl análisis del ruido en los sistemas de comunicación se basa en una forma idealizada de ruido: ruido blanco
Tema I: Introducción a los Sistemas de Comunicación
Su densidad espectral de potencia es constante y no depende de la frecuencia
Autocorrelación (F-1 de la d.e.p.):
Entonces dos señales cualesquiera de ruido
2)( o
wNfS =
)(2
)( τδτ ow
NR =
Entonces, dos señales cualesquiera de ruido blanco están incorreladas (ya que la correlación es cero ∀τ excepto τ = 0 )
Si además el ruido es gaussiano ⇒ 2 señales cualesquiera son estadísticamente independientes
1.10. Análisis de ruidoRuido blanco
Tema I: Introducción a los Sistemas de Comunicación
Densidad espectral Autocorrelación
Modelo físicamente no realizable: buena aproximación cuando el ancho de banda de ruido es notablemente superior al del sistema
44
1.10. Análisis de ruidoAncho de banda equivalente de ruido o rectangular
Tema I: Introducción a los Sistemas de Comunicación
Aplicación del ancho de banda equivalenteEn un sistema paso bajo, para calcular el ancho de banda equivalente, reemplazamos dicho sistema paso-bajo por un filtro ideal paso-bajo con ancho de banda el que se desea calcular y con amplitud el valor de la función de transferencia en el origen de modo que la potencia de ruidotransferencia en el origen de modo que la potencia de ruido a la salida sea la misma cuando a la entrada hay ruido blanco
1.10. Análisis de ruidoSi la densidad espectral de ruido a la entrada es Sw(f)=No/2 ⇒ la potencia de ruido a la salida es:
Tema I: Introducción a los Sistemas de Comunicación
Si tenemos la misma fuente de ruido y un filtro ideal paso-bajo con ancho de banda ‘B’ y amplitud en el origen la misma que el sistema H(0) ⇒ la potencia de ruido a la salida es:
∫ ∫∞
∞−
∞==
0
22 )()(2
dffHNdffHNP oo
No
2)0(HBNP oNo =
La potencia de ruido de salida de un sistema paso-bajo con ancho de banda de ruido o rectangular B, cuando la entrada es ruido blanco, es proporcional a dicho ancho de banda
45
1.10. Análisis de ruido
Si igualamos ambas expresiones:
Tema I: Introducción a los Sistemas de Comunicación
Si igualamos ambas expresiones:
Si el sistema es paso banda:
2
02
( )ancho de banda equivalentede ruido
(0)
H f dfB
H
∞
= ≡∫
Si el sistema es paso banda:
20
2
'
)(
)(
cfH
dffHB
∫∞
=
1.10. Análisis de ruidoDe forma gráfica (para sistemas paso bajo):
Tema I: Introducción a los Sistemas de Comunicación
|H(f)|2
|H(0)|2
0 f (Hz)
46
1.10. Análisis de ruidoPara sistemas paso banda:
Tema I: Introducción a los Sistemas de Comunicación
|H(fc)|2
|H(f)|2
0-fc fc f (Hz)
1.10. Análisis de ruidoRuido de banda estrecha
En el receptor de los sistemas de comunicaciones que utilizan
Tema I: Introducción a los Sistemas de Comunicación
e ecep o de os s s e s de co u c c o es que uportadora:
La señal y el ruido se filtran de forma selectivaSe deja pasar sólo la banda de frecuencias que interesa, no el ruido fuera de esa bandaUn filtro de este tipo es un filtro banda estrecha (fc >> B)El ruido tras el filtrado es un ruido banda estrecha
Vamos a estudiar como cualquier ruido de banda estrecha se puede modelar como la salida de cierto sistema al que se le aplica a su entrada un ruido blanco
47
1.10. Análisis de ruidoSea n(t) el ruido a la salida de un filtro paso-banda de banda estrecha como respuesta a un ruido blanco,
Tema I: Introducción a los Sistemas de Comunicación
banda estrecha como respuesta a un ruido blanco, gaussiano, de media cero y d.e.p. unidad; ω(t)
h(t) ω(t) n(t)
unidad) la es )( de d.e.p. (la )()( 2 tfHfSN ω=
1∧T.H.[n(t)]:
Sea fc la frecuencia central de la banda de ruidoSeñal analítica positiva de ruido:
( ) ( ) ( )tnjtntn∧
+ +=
( ) )(*1 tnt
tn⋅
=∧
π
1.10. Análisis de ruidoEnvolvente compleja:
e)equivalentbajopaso(ruido)2exp()()(~
tfjtntn = π
Tema I: Introducción a los Sistemas de Comunicación
Si se desarrollan n+(t) y exp(-j2π fct), deducir:
cuadraturaen componente la es )(faseen componente la es )(
)()()(
e)equivalentbajopaso(ruido )2exp()()(~
tntn
tjntntn
tfjtntn
s
c
sc
c
+=
−= + π
)2()()2cos()()(^
tfsintntftntn ππ +=
estrecha) banda ruido del canónica (forma)2()()2cos()()(
)2()()2cos()()(
)2()()2cos()()(^
tfsintntftntntfsintntftntn
tfsintntftntn
cscc
ccs
ccc
ππππ
ππ
−=⇒−=
+=
48
1.10. Análisis de ruidoPropiedades de las componentes en fase y cuadratura:
1) Si n(t) tiene media cero n (t) y n (t) también
Tema I: Introducción a los Sistemas de Comunicación
1) Si n(t) tiene media cero, nc(t) y ns(t) también
2) Si n(t) es gaussiano ⇒ nc(t) y ns(t) son gaussianas cada una de ellas y conjuntamente gaussianas
3) Si n(t) es WSS y E[n(t)]=0 ⇒ nc(t) y ns(t) son WSS y son
0)]([
0)]([0)]([0)]([ Si
^
⎩⎨⎧
==
⇒=⇒=tnEtnE
tnEtnEs
c
conjuntamente WSS4) Las componentes nc(t) y ns(t) tienen la misma d.e.p. :
definido donde
sto re
BffBffS
BfBffSffSfSfS
ccN
cNcNNN sc
+≤≤−⎩⎨⎧ ≤≤−++−
==
)(
0)()(
)()(
1.10. Análisis de ruido5) Si n(t) tiene media cero ⇒ nc(t) y ns(t) tienen la misma varianza
que n(t)
Tema I: Introducción a los Sistemas de Comunicación
6) La densidad espectral cruzada de las componentes en fase y cuadratura son imaginarias puras y vienen dadas por:
dfjRfS
BfBffSffSjfSfS
xyxy
cNcNNNNN cssc
∫∞
∞−−=
⎩⎨⎧=
≤≤−−−+=−=
ττπτ )2exp()()( :NOTA
resto 0 )]()([
)()(
7) Si un ruido paso banda n(t) es gaussiano, de media cero y su d.e.p. SN(f) es localmente simétrica alrededor de ±fc⇒ nc(t) y ns(t) son estadísticamente independientes; por lo que su f.d.p. es :
∫ ∞
49
1.10. Análisis de ruido
)()()( nfnfnnf ==
Tema I: Introducción a los Sistemas de Comunicación
Resumen de propiedades: si n(t) es un ruido blanco banda estrecha, de media nula, WSS y gaussiano:
nc(t) y ns(t) tienen media nula
)2
exp(2
1)2
exp(21)
2exp(
21
)()(),(
2
22
22
2
2
2
)()()()(
σπσσσπσσπscsc
stNctNsctNtN
nnnn
nfnfnnfkskckskc
+−=−−=
==
c( ) y s( )Son WSS y conjuntamente estacionariosSon gaussianos y conjuntamente gaussianosSi la d.e.p. SN(f) es localmente simétrica respecto a ±fc⇒ nc(t) y ns(t) son estadísticamente independientes
1.10. Análisis de ruido– Representación de un ruido banda estrecha en función
de su envolvente y fasede su envolvente y fase• Podemos poner: n(t) = r(t)cos[2πfct + ψ (t)]; donde:
)()()(
)()()(
1
22
tntntagt
tntntr
c
s
sc
ψ ⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡=
+=
−
r
n(t)ns
)](sin[)()()](cos[)()(
ttrtnttrtn
s
c
ψψ
==
:lado otropor ψ
nc
50
1.10. Análisis de ruidoSi n(t) es gaussiano y de media cero, y SN(f) es localmente simétrica alrededor de ±f ⇒ n (t) y n (t) son
Tema I: Introducción a los Sistemas de Comunicación
localmente simétrica alrededor de ±fc ⇒ nc(t) y ns(t) son gaussianas y de media cero:
sin
cos
)2
exp(2
1),(
1
22
2
22
2, σπσ
ntagψψrn
nnrψrn
nnnnf
s
scc
scscNN sc
⎥⎤
⎢⎡
⇒
+=⇒=
+−=
−
: variablede cambio-
)()()2
exp(2
),(
sin
2
2
2, ψσπσ
ψ ψψ frfrrrf
rdrdψdn dn n
tagψψr n
RR
sc
c
ss
=−=⇒
=
⎥⎦
⎢⎣
=⇒=
1.10. Análisis de ruidoEsto sugiere:
⎧
Tema I: Introducción a los Sistemas de Comunicación
eighón de Rayldistribuci resto
r rrrf
uniforme esto r
πψ πf
R ⇒⎪⎩
⎪⎨⎧
≥−=
⇒⎪⎩
⎪⎨⎧ ≤≤
=
0
0 )2
exp()(
0
2021
)(
2
2
2 σσ
ψψ
Normalizamos: ν = r /σ
⎪⎩
⎪⎨⎧
>−==
o rest
ν νν(r)σ f(νf RV
0
0)2
exp()
2
51
1.10. Análisis de ruidoLa f.d.p. de una variable Rayleigh dada por la ecuación anterior es la que se muestra a continuación (el máximo se
Tema I: Introducción a los Sistemas de Comunicación
produce para ν = 1 , donde la función vale fV (ν ) = 0.607)
fV(ν)
ν
1.10. Análisis de ruidoEnvolvente de una señal sinusoidal con ruido de banda estrecha
Tema I: Introducción a los Sistemas de Comunicación
estrecha
Si n(t) es gaussiano, de media cero, varianza σ 2, y se cumple que SN(f) es simétrica respecto a ± fc:
Las señales n ´(t) y n (t) son gaussianas e independientes
Atntn
tftntftntntfAtx
cc
csccc
+=
−=+=
)()( donde
)2sin()()2cos()()()2cos()('
' πππ
Las señales nc (t) y ns(t) son gaussianas e independientesLas medias son E[nc´(t)] = A; E[ns(t)] = 0Las varianzas son Var[nc´(t)] = Var[ns(t)] = σ2
52
1.10. Análisis de ruidoPor ello:
)(1 22' A ⎤⎡
Tema I: Introducción a los Sistemas de Comunicación
)](sin[)()( ;)()()(
)](cos[)()( ;)()()( : variablede cambio-
2)(exp
21),(
'1
'22'
2
22
2'
,'σπσ
tψtrtntntntagt ψ
tψtrtntntntr
nAnnnf
sc
s
csc
scscNN sc
=⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡=
=+=
⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡ +−−=
−
.cos términoal debido 0) para (salvo ntesindependieson no y donde
2cos2exp
2),(
)(
2
22
2,
ψ
σψ
πσψψ
rAψR
ArArrrfR
c
=
⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡ −+−=⇒
⎦⎣
1.10. Análisis de ruidoLa f.d.p. de R vendrá dada por:
2
∫π
Tema I: Introducción a los Sistemas de Comunicación
Si hacemos x = Ar /σ 2:cero.orden y clase 1ª de modificada Bessel
defunción la es corchetes entre términoel donde
)cosexp(2
exp2
),()(
2
0 22
22
2
2
0 ,
⎥⎦⎤
⎢⎣⎡⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛ +−=
==
∫
∫ Ψ
π
π
ψψσσπσ
ψψ
dArArr
drfrf RR
Rician. de óndistribuci≡+−=
=⇒ ∫
)()2
exp()(
)cosexp(21)(
202
22
2
2
0
σσσ
ψψπ
π
ArIArrrf
dxxI
R
o
53
1.10. Análisis de ruidoNormalizamos ν = r / σ ; a = A / σ :
)()( σν rff =
Tema I: Introducción a los Sistemas de Comunicación
La f.d.p. de una variable aleatoria Rician es :
)()2
exp()(
)()(22
νννν
σν
aIaf
rff
oV
RV
+−=
=
fV(ν)a=0
2a=1
ν
a=3 a=4a=2 a=5
1.10. Análisis de ruido
Rayleighóndistribuciunatenemos0Para a =⇒
Tema I: Introducción a los Sistemas de Comunicación
ruido) al frente grandees portadora la decir, es , a respecto grande es que implica grande sea que (el gaussiana aleatoria
variableuna a aproxima seón distribuci la , degrandes valoresparay de entornoun Para
Rayleighón distribuciuna tenemos0, Para
σ
ν
Aa
aa
a=⇒
=⇒
NOTASNOTAS:Anexo con tablas de pares transformados, relaciones trigonométricas y funciones tabuladasUtilizar: http://www.gib.tel.uva.es/tc
1
ANEXO
TABLAS DE PARES TRANSFORMADOS, RELACIONES TRIGONOMÉTRICAS Y
FUNCIONES TABULADAS
Resumen de las propiedades de la transformada de Fourier Propiedad Descripción matemática
1. Linealidad ( ) ( ) ( ) ( )fGbfGatgbtga 2121 ⋅+⋅⇔⋅+⋅ , siendo a y b constantes
2. Escalado temporal ( )
⋅⇔⋅afG
atag 1 siendo a constate
3. Dualidad Si: ( ) ( )fGtg ⇔ , entonces: ( ) ( )fgtG −⇔
4. Desplazamiento en tiempo ( ) ( ) ( )00 2exp ftjfGttg π−⋅⇔− 5. Desplazamiento en frecuencia
( ) ( ) ( )cc ffGtfjtg −⇔⋅ π2exp
6. Área bajo g(t) ( ) ( )0Gdttg =∫+∞
∞−
7. Área bajo G(f) ( ) ( )∫+∞
∞−= dffGg 0
8. Diferenciación en tiempo ( ) ( )fGfjdttdg
⋅⇔ π2
9. Integración en tiempo ( ) ( ) ( ) ( )fGfGfj
dgt
δπ
ττ ⋅+⋅⇔∫ ∞− 20
21
10. Funciones conjugadas Si: ( ) ( )fGtg ⇔ , entonces: ( ) ( )fGtg −⇔ **
11. Multiplicación en tiempo ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )∫+∞
∞−−⋅=∗⇔⋅ λλλ dfGGfGfGtgtg 212121
12. Convolución en tiempo ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )fGfGdtggtgtg 212121 ⋅⇔−⋅=∗ ∫+∞
∞−τττ
2
Pares transformados de Fourier Función en tiempo Transformada de Fourier
ΠTt ( )fTcT sin⋅
( )Wtc 2sin
Π⋅Wf
W 221
( ) ( ) 0,exp >⋅− atuat fja π2
1+
( ) 0,exp >− ata ( )22 22fa
aπ+
( )2exp tπ− ( )2exp fπ−
ΛTt ( )fTcT 2sin⋅
( )tδ 1 1 ( )fδ ( )0tt −δ ( )02exp ftj π− ( )tfj cπ2exp ( )cff −δ
( )tf cπ2cos ( ) ( )[ ]cc ffff ++−⋅ δδ21
( )tf cπ2sin ( ) ( )[ ]cc ffffj
+−−⋅ δδ21
( )tsign fjπ
1
tπ1 ( )fsignj ⋅−
( )tu ( )fj
fπ
δ21
21
+⋅
( )∑+∞
−∞=
−i
iTt 0δ ∑∞+
−∞=
−⋅
n Tnf
T 00
1 δ
NOTAS: u(t): Función escalón unidad δ(t): Función delta de Dirac
≥
<=
Π
2,02,1Tt
TtTt
≥
<−=
Λ
Tt
TtTt
Tt
,0
,1
( )
<−=>
=0,1
0,00,1
ttt
tsign
3
Pares transformados de Hilbert Función en tiempo Transformada de Hilbert ( ) ( )tftm cπ2cos⋅ (1) ( ) ( )tftm cπ2sin⋅ ( ) ( )tftm cπ2sin⋅ (1) ( ) ( )tftm cπ2cos⋅− ( )tf cπ2cos ( )tf cπ2sin ( )tf cπ2sin ( )tf cπ2cos− ( )ttsin ( )
ttcos1−
ΠTt
2121
log1
+
−⋅−
t
t
π
( )tδ tπ
1
211t+
21 tt+
t1 ( )tδπ ⋅−
(1) En los dos primeros pares, se asume que m(t) es una señal limitada en banda, en el intervalo: -W ≤ f ≤ W, siendo: fc > W. NOTAS: δ(t): Función delta de Dirac
≥
<=
Π
2,02,1Tt
TtTt
log: logaritmo natural Identidades trigonométricas
( ) ( ) ( )θθθ sincosexp ⋅±=± jj
( ) ( ) ( )[ ]θθθ jj −+⋅= expexp21cos
( ) ( ) ( )[ ]θθθ jjj
−−⋅= expexp21sin
( ) ( ) 1cossin 22 =+ θθ ( ) ( ) ( )θθθ 2cossincos 22 =−
( ) ( )[ ]θθ 2cos121cos2 +⋅=
( ) ( )[ ]θθ 2cos121sin 2 −⋅=
( ) ( ) ( )θθθ 2sincossin2 =⋅⋅ ( ) ( ) ( ) ( ) ( )bababa sincoscossinsin ⋅±⋅=± ( ) ( ) ( ) ( ) ( )bababa sinsincoscoscos ⋅⋅=± m
( ) ( ) ( )( ) ( )ba
babatantan1
tantantan⋅
±=±
m
( ) ( ) ( ) ( )[ ]bababa +−−⋅=⋅ coscos21sinsin
( ) ( ) ( ) ( )[ ]bababa ++−⋅=⋅ coscos21coscos
( ) ( ) ( ) ( )[ ]bababa ++−⋅=⋅ sinsin21cossin
4
Funciones de Bessel
Jn(x) n\x 0.5 1 2 3 4 6 8 10 12 0 0.9385 0.7652 0.2239 -0.2601 -0.3971 0.1506 0.1717 -0.2459 0.0477 1 0.2423 0.4401 0.5767 0.3391 -0.0660 -0.2767 0.2346 0.0435 -0.2234 2 0.0306 0.1149 0.3528 0.4861 0.3641 -0.2429 -0.1130 0.2546 -0.0849 3 0.0026 0.0196 0.1289 0.3091 0.4302 0.1148 -0.2911 0.0584 0.1951 4 0.0002 0.0025 0.0340 0.1320 0.2811 0.3576 -0.1054 -0.2196 0.1825 5 0.0002 0.0070 0.0430 0.1321 0.3621 0.1858 -0.2341 -0.0735 6 0.0012 0.0114 0.0491 0.2458 0.3376 -0.0145 -0.2437 7 0.0002 0.0025 0.0152 0.1296 0.3206 0.2167 -0.1703 8 0.0005 0.0040 0.0565 0.2235 0.3179 0.0451 9 0.0001 0.0009 0.0212 0.1263 0.2919 0.2304 10 0.0002 0.0070 0.0608 0.2075 0.3005 11 0.0020 0.0256 0.1231 0.2704 12 0.0005 0.0096 0.0634 0.1953 13 0.0001 0.0033 0.0290 0.1201 14 0.0010 0.0120 0.0650
Función de error
u erf(u) u erf(u) 0.00 0.00000 1.10 0.88021 0.05 0.05637 1.15 0.89612 0.10 0.11246 1.20 0.91031 0.15 0.16800 1.25 0.92290 0.20 0.22270 1.30 0.93401 0.25 0.27633 1.35 0.94376 0.30 0.32863 1.40 0.95229 0.35 0.37938 1.45 0.95970 0.40 0.42839 1.50 0.96611 0.45 0.47548 1.55 0.97162 0.50 0.52050 1.60 0.97635 0.55 0.56332 1.65 0.98038 0.60 0.60386 1.70 0.98379 0.65 0.64203 1.75 0.98667 0.70 0.67780 1.80 0.98909 0.75 0.71116 1.85 0.99111 0.80 0.74210 1.90 0.99279 0.85 0.77067 1.95 0.99418 0.90 0.79691 2.00 0.99532 0.95 0.82089 2.50 0.99959 1.00 0.84270 3.00 0.99998 1.05 0.86244 3.30 0.999998
TEORÍA DE LA COMUNICACIÓN
CUESTIONES TEMA 1
INTRODUCCIÓN A LOS SISTEMAS DE COMUNICACIÓN
1.- Indicar los principales canales de comunicación utilizados en la actualidad.
2.- Tipos de señales. Explicar cada uno de ellos.
3.- ¿Cómo se define la energía o la potencia media de una señal?
4.- ¿Cómo se definen y por qué se utilizan las unidades logarítmicas?
5.- Que tenga periodicidad una señal en el dominio del tiempo, ¿qué implicación tiene en el dominio de la frecuencia?
6.- Ecuación síntesis y análisis de la transformada de Fourier. ¿Cuáles son las condiciones para que una señal tenga trasformada de Fourier?
7.- ¿Cómo se puede calcular a simple vista al área bajo g(t) o bajo G(f)?
8.- Definición y propiedades de los sistemas.
9.- En el caso de sistemas LTI, ¿qué condición debe cumplir la respuesta al impulso para que el sistema sea i) sin memoria, ii) causal, y iii) estable?
10.- ¿Cuál es la respuesta en amplitud y en fase? ¿Cómo se relacionan con la función de transferencia? ¿Cuál es la ganancia del sistema y su relación con la respuesta en amplitud?
11.- ¿Qué es un filtro? Tipos de filtros ideales.
12.- ¿Cuál es la relación entre la densidad espectral de energía y la transformada de Fourier para una señal de energía?
13.- Dar una expresión para la energía en el dominio del tiempo y en el de la frecuencia.
14.- ¿Cuál es la relación entre la densidad espectral de potencia y los coeficientes de la serie compleja de Fourier para una señal periódica?
15.- ¿Cómo se puede calcular la densidad espectral a la salida de un sistema a partir de la densidad espectral a la entrada tanto para señales de energía como de potencia?
16.- ¿Cómo se puede calcular la correlación de la señal de entrada y la señal de salida de un sistema? ¿Cómo se puede calcular la autocorrelación de la señal de salida?
17.- Dar al menos tres criterios para calcular en la práctica el ancho de banda.
18.- ¿Cuál es la ecuación análisis y síntesis para la transformada de Hilbert? La transformada de Hilbert de una señal se puede calcular haciendo pasar a ésta por un sistema LTI. ¿Cuál es la respuesta al impulso de ese sistema que recibe el nombre de
transformador de Hilbert? ¿Cuál es la respuesta en amplitud de dicho sistema? ¿Cuál es la relación entre la señal y su transformada de Hilbert en el dominio de la frecuencia?
19.- ¿Cómo se calcula la señal analítica positiva y la señal analítica negativa de una señal cualquiera en el dominio del tiempo y de la frecuencia?
20.- Para una señal paso banda, ¿cómo se calcula la envolvente compleja en el dominio del tiempo y de la frecuencia?
21.- ¿Cómo se definen las componentes en fase y en cuadratura de una señal paso banda? ¿Cuál es la forma canónica de una señal paso banda?
22.- ¿Cómo se puede calcular una señal a partir de sus componentes en fase y en cuadratura y al revés?. Poner los diagramas de bloques.
23.- Hacer un diagrama fasorial de una señal paso banda, indicando la envolvente natural, la fase, la componente en fase y la componente en cuadratura.
24.- Si se tiene la envolvente compleja de la señal a la entrada de un sistema LTI paso banda y la envolvente compleja del sistema, ¿cómo se calcula la envolvente compleja de la señal a la salida?
25.- ¿Cuál es la definición del retardo de fase y de grupo? ¿Cuál es el sentido físico de cada uno y cómo se puede aplicar al caso de señales y sistemas paso banda?
26.- ¿Cuál es la expresión, en el caso estacionario, de la media y la autocorrelación a la salida de un sistema LTI en función de la media y la autocorrelación a la entrada y la respuesta al impulso del sistema?
27.- ¿Cuál es la relación entre la densidad espectral de potencia y la autocorrelación?. ¿Cómo se define la densidad espectral cruzada?
28.- ¿Cuál es la expresión de la densidad espectral de potencia a la salida de un sistema LTI en función de la densidad espectral de potencia a la entrada y la función de transferencia del sistema?
29.- ¿Cómo es la distribución de la salida de un sistema LTI cuya entrada es gaussiana?
30.- ¿Cuál es la densidad espectral de potencia y la autocorrelación para un ruido blanco gaussiano y de media cero?
31.- ¿Cuál es la forma canónica de un ruido de banda estrecha?
32.- ¿Qué se puede decir de las componentes en fase y en cuadratura de un ruido de banda estrecha con media cero, gaussiano y estacionario?
33.- ¿Cómo se puede calcular la densidad espectral de potencia de las componentes en fase y en cuadratura de un ruido de banda estrecha a partir de la densidad espectral de potencia de ese ruido?
34.- ¿Cuál es la distribución de la envolvente natural de un ruido de banda estrecha gaussiano con media cero?
35.- ¿Cuál es la distribución de la envolvente natural de un ruido de banda estrecha gaussiano con media cero junto con una señal sinusoidal?
TEORÍA DE LA COMUNICACIÓN
PROBLEMAS TEMA 1
INTRODUCCIÓN A LOS SISTEMAS DE COMUNICACIÓN
1.- Clasifica las siguientes señales como señales de energía o de potencia. Calcula en cada caso la potencia o la energía de dichas señales: a) ∞∞π= <t<- para ) 2cos()( 0tfAtx
b) ⎩⎨⎧ =≤≤π
=restoel para 0
f/1 Tdonde ,2/T2/T- para ) 2cos()( 00000 ttfA
tx
c) ⎩⎨⎧ −
=restoel para 0
0>a y0>t para )exp()(
atAtx
d) ∞∞+= <t<- para )2cos(5)cos()( tttx 2.- a) Calcular la transformada de Fourier del pulso medio-coseno mostrado en la figura:
A
0-T/2 T/2 t
g(t)
b) Aplicar la propiedad de desplazamiento temporal para que a partir del resultado obtenido en el apartado anterior calcular la transformada de Fourier del pulso medio-seno mostrado en la figura:
A
0
g(t)
T t
c) ¿Cuál es la transformada de Fourier del pulso medio-seno de duración aT? d) ¿Cuál es la transformada de Fourier del pulso medio-seno negativo de la siguiente figura?
-A
t
g(t)
0
-T
e) Calcular el espectro del pulso seno de la siguiente figura:
A
-A
t
g(t)
0 T
-T
3.- Una señal x(t) de energía finita es aplicada a un dispositivo cuadrático cuya salida y(t) está relacionada con la entrada x(t) mediante la expresión:
y(t) = x2(t)
El espectro de x(t) está limitado al intervalo de frecuencias -W ≤ f ≤ W. Mostrar entonces que el espectro de y(t) está limitado al intervalo -2W ≤ f ≤ 2W. 4.- Considerar una función g(t) que sea un pulso formado por un número finito de segmentos de línea recta. Supongamos que dicha función g(t) es diferenciable con respecto al tiempo dos veces, de modo que puede generarse un tren de deltas ponderadas de la siguiente forma:
∑ δ=i
)t-t(kdtg(t)d
i i2
2
donde los ki están relacionados con las pendientes de los segmentos de línea recta. a) Dados los valores de ki y de ti, mostrar que la transformada de Fourier de g(t) viene dada por:
∑ π−π i
)t fj2exp(kf4
1-=G(f) i i22
b) Utilizando este procedimiento, mostrar que la transformada de Fourier del pulso trapezoidal mostrado en la figura:
A
t
g(t)
0 tb ta -ta -tb
es:
[ ] [ ])tt(f )tt(f )tt(f
A=G(f) ababab
22 +π−π−π
sinsin
5.- Calcular la densidad espectral de potencia del pulso RF de la figura:
T0/2 T0/2
1/fc
2A t
g(t)
. . . . . .
6.- Mostrar que la densidad espectral de energía del pulso:
A
0-T/2 T/2 t
g(t)
y la del pulso:
A
0
g(t)
T t
es la misma y tiene un valor:
22
2
)41((cos( 22
22
g fTf) T T4A=f)
−ππΨ
7.- Considere un sistema receptor formado por cinco secciones como se muestra en la siguiente figura:
5 4 3 2 1
Entrada Salida
sabiendo que la primera sección, la tercera y la quinta son atenuadores iguales de 5 dB y que introducen una potencia de ruido de -100 dBm, -50 dBm y -20 dBm respectivamente al final de esa sección. Sabiendo además que las secciones segunda y cuarta son amplificadores de 20 y 50 dB respectivamente que además introducen un ruido de -50 dBm y -20 dBm respectivamente al final de esa sección. Con esos datos y suponiendo que a la entrada hay una potencia de señal de -50 dBm y de ruido de -100 dBm, determinar: a) El valor de la SNR a la entrada en dB. b) La potencia de señal a la salida en dBm. c) La potencia de ruido a la salida en dBm. d) El valor de la SNR a la salida en dB. e) La relación entre el valor de la SNR a la entrada y el valor de la SNR a la salida medida en dB. 8.- Una señal periódica xp(t) de período T0 se aplica a un filtro lineal e invariante en el tiempo de respuesta al impulso h(t). Utiliza la representación en serie de Fourier Compleja de xp(t) y la integral de convolución para evaluar la respuesta del filtro a dicha entrada.
9. Respecto la señal )()( 1
0 tuektx tk−= , donde 0, 10 >kk , se pide: a) Ancho de banda a 3 dB b) Ancho de banda equivalente c) Ancho de banda del 90% d) Ancho de banda del primer nulo 10.- a) Considerar una señal g(t) limitada a la banda de frecuencias -B ≤ f ≤ B. Esta señal se aplica a un filtro paso bajo con amplitud no constante y fase lineal dado por:
⎪⎩
⎪⎨⎧
>
≤π+=B f para 0
B f para )Bf cos(aaH(f) 10
y por:
⎩⎨⎧
>≤π
=βB f para 0B f para ft 2-
f)( 0
Determinar la salida del filtro resultante. b) Supóngase ahora el caso contrario para el que la amplitud es constante y la fase no lineal:
⎩⎨⎧
>≤
=B f para 0B f para a
H(f) 0
y por:
⎪⎩
⎪⎨⎧
>
≤ππ=βB f para 0
B f para )Bf sin( b+ft 2-f)( 10
Determinar la salida del filtro resultante suponiendo que la constante b1 es lo suficientemente pequeña como para poder utilizar la aproximación:
)Bf sin( jb1)
Bf sin( jbexp 11
π+≅⎥⎦
⎤⎢⎣⎡ π
11.- Determina la señal analítica positiva g+(t) la señal analítica negativa g-(t), la envolvente compleja t)(~g , la componente en fase gc(t), la componente en cuadratura gs(t), la envolvente natural a(t) y la fase φ(t) para las siguientes señales:
a) g(t) = sinc(t). b) g(t) = [1 + k cos(2πfmt)] cos(2πfct). 12.- Una señal de banda estrecha se puede expresar de la forma:
g(t) = gc(t)cos(2πfct)-gs(t)sin(2πfct)
Utilizando G+(f) para denotar la transformada de Fourier de la señal analítica positiva de g(t), mostrar que las transformadas de Fourier de las componentes en fase gc(t) y en cuadratura gs(t) vienen dadas por:
[ ])f+(-fG+)f+(fG21=(f)G c
*+c+c
[ ])f+(-fG-)f+(fG2j1=(f)G c
*+c+s
Se ha estudiado un diagrama de bloque que ilustra el método para obtener la componente en fase gc(t) y en cuadratura gs(t) a partir de la señal g(t). Ayudados por este diagrama de bloques, y dado que el espectro de g(t) está limitado en la banda WffWf cc +≤≤− , demostrar las siguientes expresiones de las transformadas de Fourier de las componentes en fase gc(t) y en cuadratura gs(t):
⎩⎨⎧ ≤≤−++
resto0WfW)fG(f)f-G(f
=(f)G ccc
[ ]
⎩⎨⎧ ≤≤−+−
resto0WfW)fG(f)f-G(fj
=(f)G ccs
13.- Dada la siguiente señal paso banda:
T/2-T/2
1/fc
-A
A
t
g(t)
y el sistema paso banda:
⎪⎪⎪
⎩
⎪⎪⎪
⎨
⎧
≤⎥⎦⎤
⎢⎣⎡π+
≤⎥⎦⎤
⎢⎣⎡π+
restoel para 0T2f+f para
2)f+ T(fcos
21
21
T2f-f para
2)f- T(fcos
21
21
=H(f) cc
cc
a) Determinar la transformada de Fourier de la señal de entrada X(f). b) Determinar la transformada de Fourier de la envolvente compleja de la señal de entrada
(f)X~ . c) Determinar la transformada de Fourier de la envolvente compleja de la respuesta al impulso del sistema (f)H~ . d) Determinar la transformada de Fourier de la envolvente compleja de la señal de salida
(f)Y~ . e) Determinar la transformada de Fourier de la señal de salida Y(f). e) Determinar la señal de salida y(t). 14.- Si de un sistema de fase no lineal se sabe que una buena aproximación de su respuesta en fase β(f) se puede calcular desarrollando dicha respuesta en fase en serie de Taylor en torno a una frecuencia fc = 1 MHz y quedándose con los dos primeros términos de dicho desarrollo, puesto que se sabe que la no linealidad de la fase no es muy grande. Si la expresión para dicha aproximación es β(f) ≈ 7 - 10-5f, calcular: a) El valor del retardo de fase τp. b) El valor del retardo de grupo τg. 15.- Si a la entrada de un sistema lineal e invariante en el tiempo dado por:
KH(f) =
y por:
gcpc )f-(f 2f 2- = (f) τπ−τπβ
se aplica una señal de banda estrecha dada por:
x(t) = xc(t)cos(2πfct)-xs(t)sin(2πfct)
calcular la expresión de la señal de salida y(t) en función de K, xc(t), xs(t), fc, τp y τg.
16.- La densidad espectral de potencia de un proceso estocástico X(t) es la siguiente:
1
SX(f)
f 0 -f0 f0
δ(f)
Determina y dibuja la función de autocorrelación RX(τ). 17.- Un par de procesos ruidosos n1(t) y n2(t) están relacionados por:
n2(t) = n1(t) cos(2πfct + θ) - n1(t) sin(2πfct + θ)
donde fc es una constante y θ es una variable aleatoria definida por:
⎪⎩
⎪⎨⎧ π≤θ≤π=θΘ
restoel para 0
2 0 para 21
)(f
El proceso de ruido n1(t) es estacionario en sentido amplio y su densidad espectral de potencia es:
SN1(f)
f
a
-W W0
Encontrar y dibujar la densidad espectral de potencia de n2(t). 18.- Considerar un proceso de ruido blanco gaussiano de media cero y densidad espectral de potencia N0/2 que se aplica a la entrada del sistema que se muestra en la siguiente figura:
cos (2πfct)
Señal deSalidaFiltro paso
bajo H2(f)Filtro pasobanda H1(f)
RuidoBlanco
X
siendo el filtro paso banda:
2B
1.0
H f)1(
f -fc fc 0
y el filtro paso bajo:
0 f
2B
1.0
H f)2 (
a) Encontrar la densidad espectral de potencia del proceso de salida del sistema. b) ¿Cuál es la media y la varianza de este proceso de salida?
1
TEORÍA DE LA COMUNICACIÓN
SOLUCIONES DE LOS PROBLEMAS TEMA 1
INTRODUCCIÓN A LOS SISTEMAS DE COMUNICACIÓN 1.
a. Señal definida en potencia: 2
2APx =
b. Señal definida en energía: 2
02TA
Ex =
c. Señal definida en energía: a
AEx 2
2
=
d. Señal definida en potencia: 13=xP 2.
a. ( ) ⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡⎟⎠⎞
⎜⎝⎛ ++⎟
⎠⎞
⎜⎝⎛ −⋅
⋅=
21sin
21sin
2fTcfTcTAfGa
b. ( ) ( )fTjfTcfTcTAfGa π−⋅⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡⎟⎠⎞
⎜⎝⎛ ++⎟
⎠⎞
⎜⎝⎛ −⋅
⋅= exp
21sin
21sin
2
c. ( ) ( )afGafG bc ⋅=
d. ( ) ( )fTjfTcfTcTAfGa πexp21sin
21sin
2⋅⎥
⎦
⎤⎢⎣
⎡⎟⎠⎞
⎜⎝⎛ ++⎟
⎠⎞
⎜⎝⎛ −⋅
⋅−=
e. ( ) ( ) ( )fGfGfG dbe += 3. Es una demostración. 4. Son demostraciones.
5. ( )⎪⎭
⎪⎬⎫
⎪⎩
⎪⎨⎧
⎥⎥⎦
⎤
⎢⎢⎣
⎡⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛−++⎟⎟
⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛−−⋅⎟
⎠⎞
⎜⎝⎛⋅= ∑
∞+
−∞=nccg T
nffTnffncAfS
00
22
2sin
16δδ
6. Es una demostración. 7.
a. dBSNRentrada 50= b. dBmSsalida 5= c. dBmN salida 68.3−= d. dBSNRsalida 68.8=
e. ( ) dBdBSNRSNR
salida
entrada 32.41=
8. ( ) ⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛⋅= ∑
∞+
−∞= 0
2expT
ntjatyn
nπ ; ( ) ⎟⎟
⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛=⋅=⋅⎟⎟
⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛−⋅⋅= ∫
∞+
∞−00
2expTnfHcd
Tntjhca nnn τπτ
2
9.
a. π21
3k
w dB =
b. 41k
weq =
c. 1%90 005.1 kw ⋅≈ d. ∞→pnw
10.
a. ( ) ( ) ⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡⎟⎠⎞
⎜⎝⎛ −−+⎟
⎠⎞
⎜⎝⎛ +−⋅+−⋅=
Bttg
Bttg
attgaty
21
21
2 001
00
b. ( ) ( ) ⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡⎟⎠⎞
⎜⎝⎛ −−−⎟
⎠⎞
⎜⎝⎛ +−⋅
⋅+−⋅=
Bttg
Bttg
battgaty
21
21
2 0010
00
11.
a. ( ) ( ) ( ) ⎟⎠⎞
⎜⎝⎛⋅⎟
⎠⎞
⎜⎝⎛=⋅=+ tjtctfjtgtg c 2
exp2
sin2exp~ ππ
( ) ⎟⎠⎞
⎜⎝⎛−⋅⎟
⎠⎞
⎜⎝⎛=− tjtctg
2exp
2sin π
( ) ⎟⎠⎞
⎜⎝⎛=
2sin~ tctg
( ) ⎟⎠⎞
⎜⎝⎛=
2sin tctgc ; ( ) 0=tg s
( ) ⎟⎠⎞
⎜⎝⎛=
2sin tcta ; ( ) 0=tφ
b. ( ) ( )[ ] ( )tfjtfktg cm ππ 2exp2cos1 ⋅⋅+=+ ( ) ( )[ ] ( )tfjtfktg cm ππ 2exp2cos1 −⋅⋅+=− ( ) ( )tfktg mπ2cos1~ ⋅+= ( ) ( )tfktg mc π2cos1 ⋅+= ; ( ) 0=tg s
( ) ( )tfkta mπ2cos1 ⋅+= ; ( ) 0=tφ 12. Son demostraciones. 13.
a. ( ) ( )[ ] ( )[ ]{ }TffcTffcj
ATfX cc ⋅+−⋅−⋅= sinsin2
b. ( ) ( )fTcjATfX sin~ ⋅−=
c. ( )T
fT
fTfH 222
cos1~ ≤≤−⎟⎠⎞
⎜⎝⎛+=π
d. ( ) ( ) ⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡⎟⎠⎞
⎜⎝⎛ ⋅⋅+⎟
⎠⎞
⎜⎝⎛ ⋅⋅+⋅−= fTcfTcfTcjATfY
21sin
41
23sin
43sin
2~
e. ( ) ( ) ( ) ( )j
fffffTcTfTcTfTcTAfY cc
221sin
41
23sin
43sin
2+−−
∗⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡⎟⎠⎞
⎜⎝⎛ ⋅⋅⋅+⎟
⎠⎞
⎜⎝⎛ ⋅⋅⋅+⋅⋅=
δδ
3
f. ( ) ( )tfsenTt
Tt
TtAty cπ22
21
32
21
2⋅⎥
⎦
⎤⎢⎣
⎡⎟⎠⎞
⎜⎝⎛Π⋅+⎟
⎠⎞
⎜⎝⎛Π⋅+⎟
⎠⎞
⎜⎝⎛Π⋅=
14.
a. sp μπ
τ23
=
b. sg μπ
τ210
=
15. ( ) ( ) ( )[ ] ( ) ( )[ ]pcgspcgc tfsentxktftxkty τπττπτ −⋅−⋅−−⋅−⋅= 22cos
16. ( ) ( )ττ 02
0 sin1 fcfRx ⋅+=
17. ( ) ( ) ( )[ ]cNcNN ffSffSfS ++−⋅=112 2
1
18.
a. ( )⎪⎩
⎪⎨⎧ ≤=
resto
BfN
fS salida
,0
,4
0
b. 0=Media
20 BN
Varianza =
UNIVERSIDAD DE VALLADOLID
E.T.S. INGENIEROS DE TELECOMUNICACIÓN
TEORÍA DE LA COMUNICACIÓN
Tema 2: Modulaciones de Amplitud
1
TEMA II : Modulaciones de Amplitud
2 1 I t d ió
Teoría de la Comunicación - Curso 2010-2011
2.1.-Introducción2.2.-Modulación AM2.3.-Modulación DSB-SC2.4.-Modulación QAM2.5.-Filtrado de bandas laterales2 6 M d l ió VSB2.6.-Modulación VSB2.7.-Modulación SSB2.8.-Translación en frecuencia2.9.-Multiplexación por división en frecuencia (FDM)
2.1. IntroducciónEl objetivo de un sistema de comunicación es transmitir
ñ l d i f ió t é d l d
Tema II: Modulaciones de Amplitud
señales de información a través de un canal de comunicación, que separa el transmisor y el receptorEl término banda-base se utiliza para denominar las bandas de frecuencias que representa la señal original que lleva informaciónLa utilización eficiente del canal de comunicaciónLa utilización eficiente del canal de comunicación requiere desplazar las frecuencias ‘banda-base’ a otro rango de frecuencias más adecuado para la transmisión ⇒MODULACIÓN
2
2.1. IntroducciónModulación: se define como el proceso por el cual alguna de las características de una portadora se modifica de
Tema II: Modulaciones de Amplitud
de las características de una portadora se modifica de acuerdo con la señal de información:
Señal banda-base de información ⇒ señal moduladora
Señal resultante del proceso de modulación ⇒ señal modulada
En recepción, normalmente, se requiere restaurar o devolver la señal modulada a su forma original ⇒devolver la señal modulada a su forma original ⇒DEMODULACIÓN (proceso inverso a la modulación)
2.1. IntroducciónVeremos dos tipos de modulación de onda continua:
Modulación de amplitud (AM): la amplitud de la señal portadora
Tema II: Modulaciones de Amplitud
Modulación de amplitud (AM): la amplitud de la señal portadora sinusoidal varía en función de la señal moduladoraModulación angular: el ángulo de la señal portadora sinusoidal varía en función de la señal moduladora
Modulación de fase (PM): la fase de la señal portadora sinusoidal varía en función de la señal moduladoraModulación de frecuencia (FM): la frecuencia de la señal ( )portadora sinusoidal varía en función de la señal moduladora
3
2.2.Modulación AMGeneración de una señal AM
Consideremos la señal portadora c(t):
Tema II: Modulaciones de Amplitud
Consideremos la señal portadora c(t):
S ( ) l b d b i l i f ió0
::
)2cos()(
=
=
c :cero esportadora la de fasela que asumimos ciónsimplificaPor
portadorala de frecuenciaportadorala de amplitud
φ
π
c
c
cc
fA
tfAtc
Sea m(t) una señal banda-base que contiene la información (señal moduladora), con ancho de banda ω.La portadora c(t) es independiente de m(t)
2.2.Modulación AMLa modulación de amplitud (AM) se define como el proceso por el cual la amplitud de la portadora c(t) varía en
Tema II: Modulaciones de Amplitud
p p p p ( )torno a un valor medio de forma lineal con la señal moduladora m(t)La expresión de la señal modulada en AM es:
moduladordel amplituden adsensibilid denominada constante:
)2cos()](1[)(
a
cac
ktftmkAts π+=
Para que la envolvente de la señal modulada en AM siga la forma de la señal banda-base m(t) se deben satisfacer 2 condiciones:
4
2.2.Modulación AM1º) | kam(t) | < 1 ∀t
Si | kam(t) | < 1:
Tema II: Modulaciones de Amplitud
a
Aseguramos que 1+ kam(t) > 0Envolvente de la señal s(t): Ac[1+ kam(t)]Relación unívoca entre la envolvente de la señal AM y la señal moduladora
Si | kam(t) | > 1:Puede que 1+ kam(t) < 0; ⇒ la fase de la señal se invierte siempre que 1+ k m(t) cambie de signo ⇒ Distorsión en lasiempre que 1+ kam(t) cambie de signo ⇒ Distorsión en la envolvente sobremodulación
Porcentaje de modulación: el valor absoluto máximo de kam(t) multiplicado por 100 max | kam(t) | x 100
2.2.Modulación AM
Tema II: Modulaciones de Amplitud
( ) S ñ l b d b ( )(a) Señal banda base m(t)
(b) Señal AM con |kam(t)| < 1 ∀t
(c) Señal AM con |kam(t)| > 1 para algún t
5
2.2.Modulación AM2º) La frecuencia de la señal portadora fc sea mucho mayor que la componente frecuencial superior de m(t): fc >> ω (ω es el ancho
Tema II: Modulaciones de Amplitud
de banda de m(t))Calculamos la T.F. de la señal AM:
Suponiendo que la señal moduladora m(t) está limitada en un rango de frecuencias -ω ≤ f ≤ ω :
)]()([2
)]()([2
)( ccca
ccc ffMffMAkffffAfS ++−+++−= δδ
f (Hz)
2.2.Modulación AMRepresentación S ( f ) :
Tema II: Modulaciones de Amplitud
f (Hz)
6
2.2.Modulación AMDel gráfico deducimos:
La condición fc > ω asegura que las bandas laterales inferiores no se
Tema II: Modulaciones de Amplitud
La condición fc ω asegura que las bandas laterales inferiores no se solapenEn frecuencias positivas, la componente frecuencial superior es fc + ω, y la componente frecuencial inferior fc - ωEl ancho de banda de transmisión de la señal AM se define como la diferencia entre ambas:
BT = 2ω
2.2.Modulación AMModulación de un tono simple
S ñ l d l d t i l
Tema II: Modulaciones de Amplitud
Señal moduladora: tono simple
Señal modulada AM:
moduladora señal la de frecuencia:moduladora señal la de amplitud:
)2cos()(
m
m
mm
fA
tfAtm π=
aciónsobremodulevitar 1 modulación de porcentaje %en expresa se si
modulación defactor donde)2cos()]2cos(1[)(
⇒<⇒⇒⇒
⇒=+=
μ
μππμ
ma
cmc
AktftfAts
7
2.2.Modulación AMEjemplo (dominio del tiempo):
Tema II: Modulaciones de Amplitud
2.2.Modulación AMSi μ < 1 (no sobremodulación):
Tema II: Modulaciones de Amplitud
Desarrollando la señal:
minmax
minmax
c
c
min
max
AAAA
AA
AA
+−=⇒
−+= μμμ
)1()1(
)2cos()]2cos(1[)( tftfAts cmc += ππμ
])(2cos[21
])(2cos[21)2cos()(
tffA
tffAtfAts
mcc
mcccc
−+
+++=
πμ
πμπ
8
2.2.Modulación AMSu T.F. :
11
Tema II: Modulaciones de Amplitud
Diferenciamos tres componentes:Portadora: ± fc
B d l l i (USB) f f f f
mcmcc
mcmcc
mcmccccc
f, -ff, ff
ffffffA
ffffffAffffAfS
±±±⇒
−+++−+
++++−−+++−=
en deltas
)]()([41
)]()([41)]()([
21)(
δδμ
δδμδδ
Banda lateral superior (USB): + fc + fm ; - fc - fm
Banda lateral inferior (LSB): fc - fm ; - fc + fm
2.2.Modulación AMEn frecuencia:
Tema II: Modulaciones de Amplitud
f (Hz)
|M(f) |
0 fm-fm
f (Hz)
|C(f) |
0 fc-fc
f (Hz)
|S(f) |
0 fc-fc
2fm 2fm
9
2.2.Modulación AMPotencia media de una señal x(t):
∫∞
Tema II: Modulaciones de Amplitud
Potencia de la componente portadora:)(:
)()(
)(...)()(
2
txc
nffcfG
txPEDfGdffGP
n
nonx
xxx
deFourier de escoeficient
∑
∫∞
−∞=
∞
∞−
−=
≡=
δ
A
244)(
)(41)(
41)(
)]()([2
)(
222
22
ccccc
ccccc
ccc
AAAdffGP
ffAffAfG
ffffAfC
=+==
++−=
++−=
∫∞
∞−
δδ
δδ
2.2.Modulación AMPotencia de la banda lateral superior (USB):
1 1
Tema II: Modulaciones de Amplitud
Potencia de la banda lateral inferior (LSB):
2 2 2 2
2 22 2 2 2
1 1( ) ( ) ( )4 41 1( ) ( ) ( )
1 6 1 61 1
1 6 1 6 8
c c m c c m
U S B c c m c c m
cU S B c c
U S B f A f f f A f f f
G f A f f f A f f f
AP A A
μ δ μ δ
μ δ μ δ
μμ μ
= − − + + +
= − − + + +
= + =
1 1
2 2 2 2
2 2
1 1( ) ( ) ( )4 41 1( ) ( ) ( )
1 6 1 6
8
c c m c c m
L S B c c m c c m
cL S B
L S B f A f f f A f f f
G f A f f f A f f f
AP
μ δ μ δ
μ δ μ δ
μ
= − + + + −
= − + + + −
=
10
2.2.Modulación AMSe define la eficiencia en potencia:
SBP
Tema II: Modulaciones de Amplitud
Si por ejemplo se utiliza 100% porcentaje de modulación (μ = 1), es
2
2
22222
2222
2882
88
totalPotencia:laterales bandasen Potencia:
μμ
μμ
μμ
η
η
+=
++
+=
=
ccc
cc
T
SB
T
SB
AAA
AA
PP
P
Si por ejemplo se utiliza 100% porcentaje de modulación (μ 1), es
decir, se utiliza la máxima potencia en bandas laterales:La potencia utilizada en la información transmitida es sólo 1/3 de la potencia total
31
211
=+
=η
2.2.Modulación AM1
Tema II: Modulaciones de Amplitud
0.4
0.5
0.6
0.7
0.8
0.9
Portadora
0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 10
0.1
0.2
0.3
Bandas laterales
Factor de modulación
11
2.2.Modulación AMTransparencia: para μ < 0.2 la potencia en bandas laterales es menor del 1% de la potencia de la señal AM ⇒ se desperdicia gran
Tema II: Modulaciones de Amplitud
cantidad de potencia
Resumen AM:1) BT = 2ω2) ηmax = 1/3
2.2.Modulación AMModulador en cuadratura: generar señal AM
S i
Tema II: Modulaciones de Amplitud
Se requiere:Sumar portadora y señal moduladoraElemento no lineal (diodos y transistores)Filtrado paso-banda para extraer los productos de modulación deseados (circuitos simple o doblemente sintonizado)
Elemento li lno lineal
v1(t) v2(t)
m(t)
RL
Circuito sintonizado a fc
c(t)
12
2.2.Modulación AMDetector de envolvente
Tema II: Modulaciones de Amplitud
Idealmente produce una señal de salida que sigue la envolvente de la señal de entrada
Demodular señal AMSe requiere señal de entrada de banda estrecha y que no se produzca sobremodulación:
μ < 1fc >> ω
2.2.Modulación AMLas señal s(t) es:
Tema II: Modulaciones de Amplitud
Y la salida del detector de envolvente:
13
2.3. Modulación DSB-SCModulación DSB-SC (Double Side Band-Supressed Carrier)
Tema II: Modulaciones de Amplitud
Carrier)La señal portadora c(t) es independiente de la señal moduladora m(t)Transmitir la portadora significa desperdicio de potencia ⇒sólo una parte de la potencia transmitida de la señal AM lleva informaciónS l ió i i l t d l t dSolución: suprimir la componente de la portadora
⇒ DSB-SC
2.3. Modulación DSB-SCGeneración de una señal DSB-SC
Al i i l d l ñ l d l d i l
Tema II: Modulaciones de Amplitud
Al suprimir la portadora, la señal modulada es proporcional al producto de la portadora por la señal moduladora:
La señal modulada s(t) presenta cambio de fase cuando m(t) cruce por cero ⇒ ahora la envolvente de la señal DSB-
)()2cos()()()( tmtfAtmtcts cc π==
SC no sigue a la señal moduladora
Modulador producto se representa:Modulador
productom(t)
OSC c(t)
s(t) = m(t)c(t)fc > ω
14
2.3. Modulación DSB-SCEjemplo de señal DSBSC:
Tema II: Modulaciones de Amplitud
2.3. Modulación DSB-SCEn frecuencia:
)]()([1)( ffMffMAfS ++
Tema II: Modulaciones de Amplitud
)]()([2
)( ccc ffMffMAfS ++−=
f (Hz)
15
2.3. Modulación DSB-SC|S(f) |
AcM(0)/2
Tema II: Modulaciones de Amplitud
f (Hz)
2ω 2ωc ( )
DSB:1) BT = 2ω2) η = PSB/PT = (PUSB + PLSB )/(PUSB + PLSB ) = 1 ⇒ toda la potencia se consume en transmitir la señal de información
f (Hz)
2.3. Modulación DSB-SCModulación de un tono simple
S ñ l d l d i id l
Tema II: Modulaciones de Amplitud
Señal moduladora sinusoidal:
Señal modulada:
Su T F :
)2cos()( tfAtm mm π=
)])(2cos[(21)])(2cos[(
21
)2cos()2cos()()()(
tffAAtffAA
tftfAAtctmts
mcmcmcmc
mcmc
−++=
===
ππ
ππ
Su T.F. :
. ,en deltas)]()(
)()([41)(
mcmc
mcmc
mcmcmc
ffffffffff
ffffffAAfS
±±−⇒−+++−+
++++−−=
δδ
δδ
16
2.3. Modulación DSB-SCDetección coherente
Tema II: Modulaciones de Amplitud
La señal moduladora m(t) puede ser recuperada multiplicando la señal DSBSC s(t) por una señal sinusoidal generada de forma local y filtrando el resultadoAsumiendo que el oscilador local está perfectamente sincronizado en fase y frecuencia con la señal portadora c(t) ⇒ detección coherente
Moduladorproducto
Oscilador local
Filtradopaso bajo
s(t) vo(t)v(t)
A’ccos(2πfct)
2.3. Modulación DSB-SCDemodulación DSB-SC de un tono simple:
D t ió h t i i i f t
Tema II: Modulaciones de Amplitud
Detección coherente: asumimos sincronismo perfecto en fase y frecuencia entre transmisor y receptor
''
'
( ) ( ) ( ) cos[2 ( ) ]cos(2 )2
cos[2 ( ) ]cos(2 ) ; 2
c c mc m c
c c mc m c
A A Av t s t c t f f t f t
A A A f f t f t
π π
π π
= = + +
+ −
{ }
'
'
NOTA: ( ) cos(2 )
( ) cos[2 (2 ) ] cos[2 (2 ) ] cos((2 ) cos(2 )4
'c c
c c mc m c m m m
c t A πf t
A A Av t f f t f f t f t f tπ π π π
=
= − + + + +
17
2.3. Modulación DSB-SCLos términos a frecuencia 2fc± fm son eliminados mediante filtrado paso-bajo, obteniendo vo(t)
Tema II: Modulaciones de Amplitud
paso bajo, obteniendo vo(t)
Los dos términos son proporcionales a la señal de información, uno procede de la banda lateral superior y otro de la banda lateral inferior
)]2cos()2[cos(4
)('
tftfAAAtv mmmcc
o ππ +=
Como hemos visto, hemos recuperado la señal moduladora multiplicando s(t) por c’(t) y filtrando paso bajo
2.3. Modulación DSB-SCEstudiemos un caso más general: frecuencia fc y fase φ arbitraria:
)()2cos()2cos()()2cos()( '' tmtftfAAtstfAtv cccccc πφπφπ =+=+=
Tema II: Modulaciones de Amplitud
Con un filtrado paso bajo se puede recuperar la señal de información:
)()cos(21)()4cos(
21
)()()()()()(
'' tmAAtmtfAA
fff
ccccc
cccccc
φφπ
φφ
++=
)cos()(21)( ' φtmAAtv cco =
Si φ(t) es constante ⇒ vo(t) es proporcional a m(t) ⇒ versión no distorsionada de la señal moduladora
Si φ = 0 ⇒ amplitud máxima Si φ = π/2 ⇒ vo(t) = 0 ⇒ efecto nulo en cuadratura
18
2.3. Modulación DSB-SC
En la práctica el error de fase varía de forma aleatoria
Tema II: Modulaciones de Amplitud
En la práctica el error de fase varía de forma aleatoria debido a variaciones del canal de comunicación, por ello:
Se debe proveer una circuitería extra para que el oscilador local esté en perfecto sincronismo en fase y frecuencia con la señal portadora transmitidaMayor complejidad del receptor: precio a pagar por eliminar portadora para ahorrar potencia
2.3. Modulación DSB-SCBucle de Costas
é d l i i d
Tema II: Modulaciones de Amplitud
Método para mantener al receptor sincronizadoEl sistema consiste en 2 detectores coherentes alimentados con la misma señal de entrada s(t), pero con la señal procedente del oscilador local en cuadratura
La frecuencia del oscilador local se ajusta para que sea la misma fc(conocida a priori)( p )Canal superior: detector coherente en fase o canal ICanal inferior: detector coherente en cuadratura o canal Q
19
2.3. Modulación DSB-SCEsquema del bucle de Costas:
(1/2)Accos(φ)m(t)
Tema II: Modulaciones de Amplitud
Moduladorproducto
Desfasador-90º
VCO
cos(2πfct+φ)
LPF
Señal DSBSC
( ) c (φ) ( )
Comparadorde fases
s(t)=Accos(2πfct)m(t)
VCO: oscilador controlado por tensión.
Moduladorproducto LPF
sin(2πfct+φ)
(1/2)Acsin(φ)m(t)
2.3. Modulación DSB-SCComparador de fases: multiplica y filtra paso bajoSi φ = 0 (hay sincronismo):
Tema II: Modulaciones de Amplitud
Canal I: Acm(t)/2Canal Q: 0Por ello, la salida del discriminador de fase es cero ⇒ la entrada al VCO es cero ⇒ seguimos con la misma fase
Si φ > 0 (φ ≅ 0):Canal I: ≅ Acm(t)/2Canal Q: ≅ Ac φ m(t)/2. NOTA: sinφ ≅ φ cuando φ→0Por ello, la entrada al VCO es positiva ⇒ se ajusta disminuyendo la fase
Si φ < 0 (al contrario) ⇒ aumenta fase
20
2.3. Modulación DSB-SCCanal en cuadratura: para ajustar la fase
C l f d d l l ñ l
Tema II: Modulaciones de Amplitud
Canal en fase: demodular la señal
El control de fase en recepción se detiene con la modulación, y el enganche de fase debe reestablecerse cuando vuelve a aparecer la modulación ⇒ No es problema para voz, pues el proceso de sincronización es
t á id e e e ibe di t iótan rápido que no se percibe distorsión
2.4. Modulación QAMModulación o multiplexación de amplitud en cuadraturaPermite transmitir dos señales mod ladas en DSBSC de 2
Tema II: Modulaciones de Amplitud
Permite transmitir dos señales moduladas en DSBSC de 2 fuentes independientes ocupando el mismo ancho de banda de transmisión y permitiendo su separación en el receptorEs un esquema ahorrador de ancho de banda
ModuladorS l 2 d l d d t d ñ lSe emplean 2 moduladores producto para cada señal que son alimentados con la portadora a misma frecuencia pero diferenciadas en fase de 90º
21
2.4. Modulación QAMEsquema:
Tema II: Modulaciones de Amplitud
Moduladorproducto
Desfasador90º
Accos(2πfct)
Señal m1(t)
Σ s(t) señal QAM
+
+
Moduladorproducto
-90Acsin(2πfct)
Señal m2(t)
2.4. Modulación QAMLa señal QAM:
)()2()()2()( fAfA
Tema II: Modulaciones de Amplitud
Si ω es el ancho de banda de m1(t) y m2(t) ⇒ el ancho de banda de s(t) es 2ω y centrado en fc
productos smoduladore los a aplicadas diferentes señales dosson y donde
)()2()()2cos()(
21
21
(t)m(t)mtmtfsinAtmtfAts cccc ππ +=
Las componentes en fase y cuadratura de s(t) son:
)()( )()( 21 tmAtstmAts cscc −==
22
2.4. Modulación QAMDemodulador
E
Tema II: Modulaciones de Amplitud
Esquema:
Moduladorproducto
A’ccos(2πfct)
LPFSeñal
QAM
(1/2)AcA’cm1(t)
Desfasador-90º
Moduladorproducto LPF
A’csin(2πfct)
(1/2)AcA’cm2(t)
2.4. Modulación QAMPara que el sistema funcione correctamente es importante sincronizar correctamente la portadora del oscilador en
Tema II: Modulaciones de Amplitud
sincronizar correctamente la portadora del oscilador en emisión y recepción La técnica QAM se usa para la difusión de la TV en color, enviándose además un pulso de sincronismo para mantener el oscilador local del receptor a la frecuencia y fase correcta respecto a la del emisor
23
2.5. Filtrado de bandas lateralesVamos a estudiar métodos para procesar señales DSB-SC y generar modulación VSB y SSB (se explicarán en los
Tema II: Modulaciones de Amplitud
generar modulación VSB y SSB (se explicarán en los apartados siguientes)
Método discriminador de frecuenciaEsquema:
Moduladorproducto
Filtradopaso banda
H ( f )
m(t) s(t)u(t)
Accos(2πfct)
Señalmodulada
2.5. Filtrado de bandas laterales
)()]()([)()()(
:)2cos()()(
fHffMffMAfHfUfS
tftmAtu
c
cc= DSBSCseñal π
Tema II: Modulaciones de Amplitud
Donde M(f) es la T.F. de m(t)
Problema: determinar las condiciones de H( f ) para que m(t) pueda ser recuperada a partir de s(t) usando un detector coherente.
)()]()([2
)()()( fHffMffMfHfUfS ccc ++−==
Moduladorproducto
Filtradopaso bajo
vo(t)v(t)
A’ccos(2πfct)
Señaldemodulada
s(t)
Señalmodulada
24
2.5. Filtrado de bandas laterales)2cos()()(
'
'cc
A
tftsAtv = π
Tema II: Modulaciones de Amplitud
Sustituyendo en S( f ):
)]()([2
)( ccc ffSffSAfV ++−=
)]()2()()2([4
)]()()[(4
)(
'
'
cccccc
cccc
ffHffMffHffMAA
ffHffHfMAAfV
+++−−+
+++−=
Tras el filtrado paso-bajo:
)]()()[(4
)('
cccc
o ffHffHfMAAfV ++−=
2.5. Filtrado de bandas lateralesRequerimos que Vo( f ) sea una versión escalada de M( f ) (así vo(t) α m(t) ); lo que se puede cumplir si:
Tema II: Modulaciones de Amplitud
Si M( f ) está definida en -ω ≤ f ≤ ω sólo necesitamos que se cumpla lo anterior en el intervalo -ω ≤ f ≤ ωPor ejemplo, si H( fc ) = 1/2 :
)(2)()( ccc fHffHffH =++−
- 1)()( fffHffH cc ≤≤=++− ωω
condición esa satisfacer para )( deelección laen adflexibilidgran
)()(fH
fffff cc
⇒
25
2.5. Filtrado de bandas lateralesMétodo discriminador de fase
S ñ l (t) b d t ió f
Tema II: Modulaciones de Amplitud
Señal s(t) es paso banda ⇒ representación en forma canónica:
Componente en fase (problema 1.12):
cuadratura en componente fase en componente
:)(:)(
)2sin()2cos()()(
tsts
tfstftsts
Q
I
cQcI ππ −=
p (p )
)()]()([2
)( donde
resto 0f- )()(
)(
fHffMffMAfS
ffSffSfS
ccc
ccI
++−=
⎩⎨⎧ ≤≤++−
=ωω
2.5. Filtrado de bandas lateralesf- ; )(
2)]()()[(
2)( fMAffHffHfMAfS c
ccc
I ≤≤=++−=⇒ ωω
Tema II: Modulaciones de Amplitud
Componente en cuadratura (problema 1.12):)(
21)(
1)()( cuando22
tmAts
ffHffH
cI
cc
=⇒
=++−
⎩⎨⎧ ≤≤+−−
=resto0
f- )]()([)(
ωωccQ
ffSffSjfS
Se deduce:⎩ resto 0
ωω ≤≤+−−= f- )]()()[(2
)( cccQ ffHffHfMAjfS
26
2.5. Filtrado de bandas lateralesEntonces, se puede generar sQ(t), excepto por un factor de escala, pasando m(t) a través de un filtro con función de
Tema II: Modulaciones de Amplitud
escala, pasando m(t) a través de un filtro con función de transferencia:
Sea m’(t) la salida de este filtro con entrada m(t):
ωω ≤≤+−−= f- )]()([)( ccQ ffHffHjfH
)(21)( ' tmAts cq =
Representación en forma canónica:
)2()(21)2cos()(
21)( ' tfsintmAtftmAts cccc ππ −=
2.5. Filtrado de bandas lateralesCon ello, se deduce el esquema del método discriminador en fase (salvo factor de escala 1/2):
Tema II: Modulaciones de Amplitud
en fase (salvo factor de escala 1/2):
D f d
Accos(2πfct)
m(t)
Σ s(t)+
Moduladorproducto
HQ(f) OSC
Moduladorproducto
Desfasador-90º
Acsin(2πfct)
-m’(t)
27
2.5. Filtrado de bandas lateralesObservamos:
La componente en fase es independiente del filtro paso banda H( f )
Tema II: Modulaciones de Amplitud
La componente en fase es independiente del filtro paso banda H( f )H( f ) afecta sólo a la componente en cuadraturaEl papel de la componente en cuadratura es interferir con la componente en fase para reducir o eliminar potencia en una de las bandas laterales de s(t)Estos métodos se usan en la modulación VSB y SSB
2.6. Modulación VSBVestigial Side Band Modulation (Modulación en banda lateral residual)
Tema II: Modulaciones de Amplitud
lateral residual)Se transmite completamente una banda lateral (superior o inferior) y una pequeña parte de la otra banda (banda residual)Método discriminador de frecuencia
Para generar una señal modulada VSB que contenga un residuo de la banda lateral inferior (LVSB) usaremos el siguiente filtrola banda lateral inferior (LVSB) usaremos el siguiente filtro normalizado (sólo se han representado las frecuencias positivas):
28
2.6. Modulación VSB
Tema II: Modulaciones de Amplitud
|H(f)|
0.5
1
f (Hz)0
fc+ωfc+ fv fc-fv fc
2.6. Modulación VSB
La respuesta en frecuencia del filtro en torno a fc tiene que cumplir:
Tema II: Modulaciones de Amplitud
p fc q p
Como fv es el ancho de banda de la banda residual ⇒ BT = ω + fv
Método discriminador en fase:
ωω ≤≤−=++− fffHffH cc 1)()(
≤≤ fffHffHjfH )]()([)( ωω ≤≤−+−−= fffHffHjfH ccQ )]()([)(
29
2.6. Modulación VSB
H (f)/j
Tema II: Modulaciones de Amplitud
HQ(f)/j
f (Hz)
1
fv
-f
-1
-fv
2.6. Modulación VSBAplicación a la señal de televisión:
La circuiteria para demodular la señal debería ser lo más sencilla
Tema II: Modulaciones de Amplitud
La circuiteria para demodular la señal debería ser lo más sencilla posible (receptores baratos) ⇒ detector de envolvente ⇒ añadir portadora a señal VSBSe transmite la banda lateral superior (USB), el 25% de la banda lateral inferior (LSB) y la portadora (hay portadora tanto de imagen como de sonido)En la transmisión de la señal de TV, no se transmite la señal VSB debido a que la forma en región de transmisión no se controla de forma rígida, en su lugar se inserta filtro VSB en recepción (ver diapositivas siguientes)
30
2.6. Modulación VSBEspectro ideal de una señal de TV:
Tema II: Modulaciones de Amplitud
0.5
radi
ado
rela
tivo
a la
ra
de
imag
en
Portadora Portadora
0.75
1.25 4.5 (MHz) 0.25
f (Mhz)054M
áxim
o ca
mpo
po
rtado
r
56 58 60
de imagen de sonido
2.6. Modulación VSBRespuesta en amplitud de un filtro VSB en el receptor:
Tema II: Modulaciones de Amplitud
0.5norm
aliz
ada
Portadora Portadora
1
Ancho de banda del canal (6 MHz)
f (Mhz)054
resp
uest
a
56 58 60
de imagen de sonido
31
2.7. Modulación SSBSingle Side Band Modulation (banda lateral única)Sólo se transmite una banda lateral (superior o inferior)
Tema II: Modulaciones de Amplitud
Sólo se transmite una banda lateral (superior o inferior)Sea m(t) banda base con M(f) definida entre -ω ≤ f ≤ ωcomo:
f (Hz)
2.7. Modulación SSBSeñal DSBSC:
| |
Tema II: Modulaciones de Amplitud
2ω 2ω
|S(f) |
AcM(0)/2
f (Hz)
32
2.7. Modulación SSBSeñal SSB con banda lateral superior :
Tema II: Modulaciones de Amplitud
|S(f)|
AcM(0)/2
fc-fc-fc- ω fc+ ωf (Hz)
2.7. Modulación SSBSeñal SSB con banda lateral inferior:
Tema II: Modulaciones de Amplitud
|S(f)|
AcM(0)/2
f (Hz)fc-fc -fc+ ω fc- ω
33
2.7. Modulación SSBVentajas:
1) BT = ω
Tema II: Modulaciones de Amplitud
1) BT ω2) η = 1
Desventajas: mayor coste y complejidad
En la realidad, la señal M(f) debe ser nula en torno al origen ⇒ gap de energía.Este requerimiento se satisface por la señal de voz, con un gap de energía de ancho 600 Hz (-300 Hz a 300 Hz)
2.7. Modulación SSBEspectro de una señal m(t) con un gap de energía centrado en el origen
Tema II: Modulaciones de Amplitud
en el origen
|M(f)|
f (Hz)
fa fb-fa-fb 0
gap de
energía
34
2.7. Modulación SSBEspectro de una señal SSB con banda lateral superior:
Tema II: Modulaciones de Amplitud
|S(f)|
f (Hz)
fc +fafc0 fc +fb-fc-fc -fb -fc -fa
2.7. Modulación SSBRequerimientos de filtro paso-banda:
L b d l t l d d té d t d l b d d
Tema II: Modulaciones de Amplitud
La banda lateral deseada esté dentro de la banda de paso del filtroLa banda lateral a eliminar esté dentro de la banda eliminada o de rechazo del filtroEste discriminador de frecuencia puede lograrse utilizando filtros altamente selectivos en frecuencia que
d li d d d i lpueden ser realizados por resonadores de cristal
35
2.7. Modulación SSBModulación señal SSB
Tema II: Modulaciones de Amplitud
Método discriminador en frecuencias
|H(f)|
f (Hz)fc0 fc+ω-fc- ω -fc
ωω ≤≤−=++− fffHffH cc 1)()(
2.7. Modulación SSB
Método discriminador de fase:
Tema II: Modulaciones de Amplitud
Método discriminador de fase:HQ( f )=j[H( f-fc )-H( f+fc )] ; - ω ≤ f ≤ ω
f (Hz)
HQ(f)/j
)()()()(
)()(
^' tmtmtmtm
fjsignfH
'
Q
de Hilbert la T. es
Hilbertdeda transformala de
ciatransferen de función
=⇒
⇒−=
36
2.7. Modulación SSBSeñal SSB con banda lateral superior
11 ^
Tema II: Modulaciones de Amplitud
Señal SSB con banda lateral inferior: se cambia el signo ‘-’ por ‘+’El modulador para generar la señal SSB según el diagrama de bloques del método discriminador de fase se llama
)2()(21)2cos()(
21)( tfsintmAtftmAts cccc ππ −=
modulador de Hartley (ver diapositiva siguiente)
2.7. Modulación SSBModulador de Hartley:
Tema II: Modulaciones de Amplitud
s(t)D f d
Accos(2πfct)
m(t)
Σ
+
Moduladorproducto
Transformador OSC
Moduladorproducto
Desfasador-90º
Acsin(2πfct)
de Hilbert -
)(^
tm
37
2.7. Modulación SSBDemodulación señal SSB
D d l ió di t d t ió h t
Tema II: Modulaciones de Amplitud
Demodulación mediante detección coherente:
Suponiendo que se transmite la banda superior:
Moduladorproducto
Filtradopaso bajo
vo(t)v(t)
Ac’cos(2πfct)
Señaldemodulada
s(t)
Señalmodulada
Suponiendo que se transmite la banda superior:
=−=
−=
)]2()()2cos()()[2cos(21)(
)2()(21)2cos()(
21)(
^'
^
tfsintmtftmtfAAtv
tfsintmAtftmAts
ccccc
cccc
πππ
ππ
2.7. Modulación SSB)]4()()4cos()([
41)(
41 ^
'' tfsintmtftmAAtmAA cccccc −+= ππ
Tema II: Modulaciones de Amplitud
Para que sea realizable, necesitamos en recepción una señal sinusoidal sincronizada en fase y frecuencia con la
)(41)( ' tmAAtv cco =
Eliminado con filtro paso bajo
portadora transmitida. Para ello hay dos métodos:1º) Transmitimos una portadora piloto junto a la señal SSB2º) Utilizamos en recepción un oscilador muy estable en frecuencia
38
2.7. Modulación SSBCon 2º método: estudio distorsión por fase Ac’cos(2πfct+φ)
)]2()()2()()[2(1)(^
' φ fffAA
Tema II: Modulaciones de Amplitud
Su T.F. :
)]()()cos()([41)(
)4()()()()cos()()4cos()(41
)]2()()2cos()()[2cos(21)(
^'
^^'
φφ
φπφφφπ
ππφπ
sintmtmAAtv
tfsintmsintmtmtftmAA
tfsintmtftmtfAAtv
cco
cccc
ccccc
+=
⎥⎦⎤
⎢⎣⎡ +−+++=
=−+=
+= )]()()cos()([1)(^
' sinfMfMAAfV φφ
⎪⎪⎩
⎪⎪⎨
⎧
<
>−=
−=
+=
0 ; )exp()(41
0 ; )exp()(41
)(
)()()( donde
)]()()cos()([4
)(
'
'
^
fjfMAA
fjfMAAfV
fMfjsignfM
sinfMfMAAfV
cc
cc
o
cco
φ
φ
φφ
2.7. Modulación SSB
unaalugardaosciladorenfasedeError⇒
Tema II: Modulaciones de Amplitud
Este desfase no suele ser problema para la voz, ya que el oído humano es relativamente insensible a la distorsión en fase. Se corre el riesgo de producirse el llamado efecto voz del pato Donald
fase de distorsión unaalugar daoscilador en fasedeError ⇒
En el caso de la música o el vídeo, la distorsión de fase es inaceptable
39
2.8. Translación en frecuenciaCuando es necesario trasladar una señal modulada en una banda de frecuencias a otra banda de frecuencias
Tema II: Modulaciones de Amplitud
banda de frecuencias a otra banda de frecuenciasSe consigue usando un mezclador: multiplicador + filtro paso banda
Moduladorproducto
Filtradopaso banda
s2(t)v(t)Señalmodulada
s1(t)
Señalmodulada a
Señal s1(t): modulada DSB-SC a f1
Aecos(2πfet) a f2f1
)2cos()()( 11 tftmAts c π=
2.8. Translación en frecuenciaSi m(t) está limitada en banda | f | < ω⇒ s1(t) está limitada entre f1- ω < | f | < f1+ ω :
Tema II: Modulaciones de Amplitud
|S1(f) |2ω 2ω
f1 f1+ωf1-ω-f1+ω-f1-f1-ω
f (Hz)
40
2.8. Translación en frecuenciaSi queremos trasladar a una frecuencia mayor f2 > f1:
Tema II: Modulaciones de Amplitud
])(2cos[)(2
])(2cos[)(2
)2cos()2cos()()2cos()()(
11
11
1212
tfftmAAtfftmAAtftftmAAtfAtstv
ffffff
eec
eec
eecee
ee
++−=
===−=⇒+=
ππ
πππ
DSB-SC a f1-fe DSB-SC a f1+fe
Si f2 = f1 + fe es la señal buscada: filtro paso banda centrado en f2 y ancho de banda 2ω
)2cos()(2
])(2cos[)(2
)( 212 tftmAAtfftmAAts ece
ec ππ =+=
2.8. Translación en frecuencia
|V(f) |
Tema II: Modulaciones de Amplitud
2ω |V(f) |2ω 2ω 2ω
-f1-fe -f1+fe f1-fe f1+fe
f (Hz)
41
2.8. Translación en frecuencia
|S2(f) |
Tema II: Modulaciones de Amplitud
| 2(f) |
2ω 2ω
-f1-fe f1+fe
f (Hz)
2.8. Translación en frecuenciaCondición: no se solapen espectros
Tema II: Modulaciones de Amplitud
Para disminuir frecuencia: f2 = f1 - fe⇒ fe = f1 - f2
12
11
fffffff
e
ee
−<⇒<⇒−+<+−
ωωωω
⇒ condición global: ω < |f1 - f2|
42
2.9. Multiplexación por división en frecuencia (FDM)
Multiplexación: proceso por el cual varias señales
Tema II: Modulaciones de Amplitud
Multiplexación: proceso por el cual varias señales independientes de características similares se pueden combinar de algún modo para ser transmitidas de forma conjunta por el mismo canal de comunicaciónTipos de multiplexación
FDM (Multiplexación por división en frecuencia)TDM (Multiplexación por división en el tiempo) WDM (Multiplexación por división en longitud de onda)
Diagrama de bloques de un sistema FDM:
2.9. Multiplexación por división en frecuencia (FDM)
Tema II: Modulaciones de Amplitud
g qFiltros
paso bajoFiltros
paso bandaFiltros
paso bandaFiltros
paso bajoModuladores DemoduladoresEntradas Salidas
Transmisor Receptor
43
2.9. Multiplexación por división en frecuencia (FDM)
Tema II: Modulaciones de Amplitud
FDM: Aunque se suponen señales paso bajo, se emplean filtros paso bajo para eliminar componentes no deseadas a altas frecuenciasSe aplica al modulador una portadora adecuada para ocupar intervalos de frecuencia mutuamente excluyentes ⇒ generador de portadoraLos métodos de modulación que se emplean son algunos de los estudiadosestudiados.
Por ejemplo: para las señales de voz provenientes de las conversaciones telefónicas se usa SSB con ancho aproximado de 4 KHz para cada canal de entrada
Filtro paso banda (BP) para restringir la banda de cada señal modulada a su rango asignado
2.9. Multiplexación por división en frecuencia (FDM)
Tema II: Modulaciones de Amplitud
En recepción se usan los mismos filtros paso banda y se recupera la señal en demoduladores individualesEste sistema funciona sólo en un sentido ⇒ habrá que utilizar otro similar en el sentido inverso
Ejemplo: caso telefónico con conversaciones de voz.Esquema (diapositiva siguiente)Normalmente FDM suele requerir varias etapas de modulación yNormalmente FDM suele requerir varias etapas de modulación y demodulación. La primera etapa combina 12 señales de voz en un grupo básico
Banda de voz: 4 KHzValores de portadora: fc = 60 + 4n KHz; n = 1,2, . . .,12Se seleccionan mediante filtros paso banda las 12 bandas laterales inferiores ⇒ ocupando rango: 60 → 108 KHz (modulación SSB)
44
2.9. Multiplexación por división en frecuencia (FDM)
Pasos a seguir para la modulación en un sistema FDM:
Tema II: Modulaciones de Amplitud
Pasos a seguir para la modulación en un sistema FDM:frecuencias portadoras (KHz)
de las señales de vozfrecuencias portadoras (KHz)
de los grupos
Señal de vozGrupo básico de 12 señales de voz
Super-grupo de 5 grupos
2.9. Multiplexación por división en frecuencia (FDM)
Tema II: Modulaciones de Amplitud
Super-grupo: se combinan 5 grupos básicos con: fc = 372 + 48n KHz ; n = 1,2, . . .,5
Se seleccionan las 5 bandas laterales inferiores con el rango 312 KHz → 552 KHzObtenemos 60 conversaciones independientesLos super-grupos se pueden combinar y así sucesivamenteCon SSB necesitamos sincronismo de portadora entre elCon SSB necesitamos sincronismo de portadora entre el transmisor y el receptor para la detección coherente.
Se transmite una frecuencia portadora piloto. Dicha portadora piloto modula el generador de portadora y obtenemos todas las portadoras necesarias
TEORÍA DE LA COMUNICACIÓN
CUESTIONES TEMA 2
MODULACIONES DE AMPLITUD
1.- Definir modulación, señal moduladora, señal portadora y señal modulada. Tipos de modulación. ¿Qué es demodular una señal?
2.- Expresión de una señal AM. ¿Cuál es la sensibilidad en amplitud?
3.- ¿Cuándo hay sobremodulación en AM?, ¿por qué no es deseable y cómo se puede evitar?
4.- ¿Cuáles son las tres componentes en frecuencia de una señal AM?, ¿cuál es el ancho de banda de la señal modulada en función del ancho de banda de la señal moduladora?
5.- ¿Cómo se define el índice de modulación?. ¿Cuál es su rango de valores para que no tengamos sobremodulación?
6.- ¿Cuál es la eficiencia en potencia máxima en AM?
7.- ¿Cuál es la expresión de una señal DSBSC?. ¿Cuál es su ancho de banda en función del ancho de banda de la señal moduladora?. ¿Cuál es su eficiencia en potencia?
8.- Explicar el esquema de detector coherente. ¿Cuándo se dice que ocurre el efecto nulo en cuadratura?
9.- Explicar el Bucle de Costas.
10.- Esquema modulador y demodulador de QAM.
11.- Expresión de una señal SSB. ¿Qué dos tipos de SSB existen (caracterizarlos cualitativamente en frecuencia)?. Ancho de banda y eficiencia en potencia.
12.- Filtrado de bandas laterales: método discriminador de frecuencias y método discriminador de fase.
13.- Demodulador coherente de SSB. Efecto de un error de fase en la recuperación de la portadora.
14.- Expresión de una señal VSB. ¿Qué dos tipos de VSB existen (caracterizarlos cualitativamente en frecuencia)?. Ancho de banda y eficiencia en potencia.
15.- Componentes en fase y cuadratura para los diferentes tipos de modulación en amplitud.
16.- ¿Qué es un mezclador y para qué sirve?. Diagrama de bloques.
17.- Multiplexación por división en frecuencia (FDM).
TEORÍA DE LA COMUNICACIÓN
PROBLEMAS TEMA 2
MODULACIONES DE AMPLITUD 1.- Para un diodo de unión p-n, la relación entre la corriente que pasa a través de dicho diodo y la tensión aplicada en sus bornas viene dada por:
⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡−⎟⎟
⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛1
Vv-expI=i
T0
donde I0 es la corriente inversa de saturación y VT es la tensión equivalente de temperatura definida por:
ekTVT =
donde k es la constante de Bolzmann en Julios por grados Kelvin, T es la temperatura absoluta en grados Kelvin y e es la carga del electrón en C. A temperatura ambiente VT = 0.026 V. a) Realizar la expansión de i en serie de potencias de v, hasta el término de orden v3. b) Sea:
t) Voltsπf( .t)πf( .v(t)= cm 2cos0102cos010 +
donde fm = 1 KHz y fc = 100 KHz. Determina el espectro de la corriente i(t) resultante. c) Especificar las características del filtro paso banda requerido para extraer de la corriente del diodo i(t) una señal AM a la frecuencia fc. d) ¿Cuál es el tanto por ciento de modulación de esta señal AM? 2.- En este problema se va a estudiar el funcionamiento del modulador AM en cuadratura. Este modulador consta de un determinado dispositivo no-lineal seguido por un filtro paso-banda. El dispositivo no lineal está representado por la siguiente ley cuadrática:
)()()( 221 tvatvatv ii0 +=
donde 1a y 2a son constantes, )(tvi es la señal de entrada, y )(tv0 es la señal de salida. La señal de entrada )(tvi es la suma de una señal moduladora )(tm y una señal portadora
)(tc . Sea )(tm la señal moduladora limitada en frecuencia en el intervalo entre WfW ≤≤− , y )(tc la portadora a frecuencia cf y amplitud cA .
a) Evaluar la salida )(tv0 del dispositivo no-lineal b) Evaluar la salida en frecuencia )( fV0 del dispositivo no lineal en función de la transformada de Fourier de la señal moduladora )( fM , y representarla en frecuencia para un espectro de la señal moduladora de forma triangular, indicando a qué corresponde cada uno de los diferentes términos. c) Especificar las características del filtro paso-banda y las condiciones necesarias para que a la salida del filtro tengamos la señal AM deseada. ¿Qué sensibilidad en amplitud tiene la señal AM modulada? 3.- Supóngase que se dispone de dispositivos no lineales para los que la relación entre la corriente de salida io y la tensión de entrada vi es la siguiente:
3i3i1o vavai +=
donde a1 y a3 son constantes. Explicar como se puede utilizar dichos dispositivos para obtener: a) un modulador producto. b) un modulador de amplitud.
4.- Considerar una señal moduladora m(t) con ak
1m(t) ≤ de modo que 1 + kam(t) sea
mayor que cero para todo t. Suponer que el espectro de m(t) es cero para Wf > . Sea:
[ ] )2cos()(1As(t) c tftmk ca π+=
donde fc > W. a) La señal modulada s(t) se aplica a un rectificador de onda completa, cuya salida es:
s(t)=t)(v1
Determinar el espectro de v1(t). b) Si la salida del rectificador v1(t) se pasa a través de un filtro paso bajo ideal definido por la función de transferencia:
⎩⎨⎧
><
Wf para 0Wf para 1
=H(f)
mostrar que si la salida es v2(t), está relacionada con m(t) por:
[ ]m(t)k12A=t)(v ac
2 +π
5.- ¿Cómo puede recuperarse la señal de información m(t) de una señal AM que está sobremodulada? Justifica la respuesta de forma analítica y gráfica. 6.- Suponiendo que se demodula una señal DSBSC utilizando un detector coherente: a) Evaluar el efecto de un error en la frecuencia del oscilador local del detector de Δf, medido con respecto a la frecuencia portadora de la señal DSBSC. b) Para el caso de una señal moduladora sinusoidal, mostrar como por causa de este error, la señal demodulada presenta un efecto de batido a la frecuencia error Δf. Ilustrar la respuesta dibujando la señal demodulada. 7.- Considerar la señal DSBSC:
m(t) t)fcos(2A=s(t) cc π
donde Accos(2πfct) es la señal portadora y m(t) es la señal moduladora. Esta señal modulada se aplica a un detector de ley cuadrática caracterizada por:
y(t) = s2(t)
La salida y(t) se aplica a un filtro de banda estrecha con amplitud en la banda de paso unidad, centrado en la frecuencia 2fc y con ancho de banda Δf. Supongamos que Δf es suficientemente pequeño como para considerar el espectro de y(t) esencialmente constante dentro de la banda de paso del filtro. a) Determinar el espectro de la señal de salida del dispositivo con ley cuadrática y(t). b) Mostrar que la salida del filtro v(t) es aproximadamente sinusoidal, y viene dada por:
t)fcos(4 f E2
Av(t) c
2c πΔ≅
donde E es la energía de la señal m(t). 8.- Considerar un sistema QAM emisor y otro receptor. Si la señal de salida del emisor QAM s(t) se transmite por un canal de comunicaciones con función global de transferencia H(f), probar que la condición:
H(fc + f) = H*(fc - f) para f W≤
es necesaria para que las señales recuperadas en el receptor QAM sean proporcionales a m1(t) y m2(t) que son las señales originales de información del canal I y del Q respectivamente, donde fc es la frecuencia de la portadora y W es el ancho de banda de las señales que llevan información m1(t) y m2(t).
9.- Considerar la siguiente señal modulada:
t)f(t)sin(2m-t)fm(t)cos(2+t)fcos(2A=s(t) cccc πππ
que representa una señal SSB con portadora, donde m(t) es la señal moduladora y (t)m su transformada de Hilbert. Determinar bajo que condiciones la salida de un detector de envolvente ideal, si la entrada es s(t), es una buena aproximación para la señal moduladora m(t). 10.- Sea una señal moduladora sinusoidal m(t) = Am cos(2πfmt) que se utiliza para generar una señal VSB:
[ ] [ ]tff2a)cos-(1AA21tff2cosAaA
21=s(t) mccmmccm )()( −++ ππ
donde a es una constante menor que la unidad, que representa la atenuación de la banda lateral superior. a) Encontrar la componente en fase y la componente en cuadratura de la señal VSB así definida. b) Esta señal VSB junto con la portadora Ac cos(2πfct) se pasa a través de un detector de envolvente. Determinar la distorsión producida por la componente en cuadratura. c) ¿Cuál es el valor de la constante a para el cual la distorsión afecta en menor grado? 11.- Considerar un sistema múltiplex en el cual cuatro señales de entrada m1(t), m2(t), m3(t) y m4(t) son multiplicadas por las cuatro portadoras siguientes:
[ ][ ][ ][ ]) +t fcos(2+) +t fcos(2
) +t fcos(2+) +t fcos(2) +t fcos(2+) +t fcos(2
t)fcos(2+t)fcos(2
3b3a
2b2a
1b1a
ba
βπαπβπαπβπαπ
ππ
y las señales DSBSC resultantes se suman para transmitir el resultado por el mismo canal de comunicaciones. En el extremo receptor, la demodulación se hace multiplicando la señal suma transmitida por las cuatro portadoras separadamente utilizadas en el transmisor, y después filtrando para eliminar las componentes no deseadas. a) Determinar que condiciones deben satisfacer α1, α2, α3 y β1, β2, β3 de modo que la salida del demodulador k sea proporcional a mk(t) para k = 1, 2, 3, 4. b) Determinar la mínima separación de las frecuencia portadoras fa y fb en relación con el ancho de banda de las señales moduladoras mk(t) de modo que el funcionamiento del sistema sea el correcto.
1
TEORÍA DE LA COMUNICACIÓN
SOLUCIONES DE LOS PROBLEMAS TEMA 2
MODULACIONES DE AMPLITUD 1.
a. 32
0 61
21
⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛⋅−⎟⎟
⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛⋅+−≈
TTT Vv
Vv
Vv
Ii
b. ( ) ( )[ ]++⋅−≈ tftfIi
cm ππ 2cos2cos406.0074.00
( ) ( ) ( )[ ] ( )[ ]{ }−−⋅++⋅++⋅+ tfftfftftf mcmccm ππππ 2cos22cos24cos4cos037.0( ) ( )[ ]−+⋅− tftf cm ππ 6cos6cos0016.0
( )[ ] ( )[ ]{ +−++⋅− tfftff mcmc 22cos22cos0071.0 ππ ( )[ ] ( )[ ]}tfftff mcmc −+++ 22cos22cos ππ
c. KHzfc 100= ; KHzBW 2=
d. ( )[ ] ( ) %2.36:%362.02cos2cos362.01406.00
ModulacióntftfIi
cm ⇒=⇒⋅⋅−⋅−≈ μππ
2.
a. ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )[ ]tfAa
tmatftmaa
Aatmatv cc
cc ππ 4cos12
2cos2
12
222
1
2110 +⋅+⋅+⋅⎥
⎦
⎤⎢⎣
⎡⋅+⋅+⋅=
b.
c. El filtro paso-banda tiene que estar centrado en: fc, con un ancho de banda: 2w,
de forma que se cumpla: fc >3w.
La sensibilidad en amplitud es: 1
22aa
K a =
1 2 3 4
2
3. a. Señal DSB-SC b. Señal AM
4.
a. ( ) ( ) ( )[ ] ( )[ ]{ }∑+∞
=
+−+++⋅+
−⋅=
01 1212
1212
ncc
n
fnfSfnfSn
fVπ
b. Es una demostración. 5. Se puede utilizar un detector coherente, con un filtro paso-bajo de ancho de banda:
w.
( ) ( )[ ]tmKAA
tv acc +⋅= 1
2
'
0
6.
a. Tras el filtrado paso-bajo: ( ) ( ) ( )fttmAA
tv cco Δ⋅⋅= π2cos
2
'
b. ( ) ( )[ ] ( )[ ]tffAAA
tffAAA
tv mmcc
mmcc
o Δ−⋅+Δ+⋅= ππ 2cos4
2cos4
''
La señal moduladora m(t), a frecuencia fm, es modulada por una señal sinusoidal a frecuencia Δf, por lo que se produce un “efecto de batido”, como se ilustra en la figura.
Dispositivo no lineal
Filtro paso banda (fc, 2w)
( )tm
( )tfA cc πcos⋅ ( ) ( ) ( )tftmAats cc π2cos23 2
3 ⋅⋅⋅=
wfc 6>
Dispositivo no lineal
Filtro paso banda (fc, 2w)
( )tm
( )tfA cc πcos⋅
( ) ( )[ ] ( )tftmAAa
ts cc π2cos
23
0
23 ⋅+⋅=
wfc 6>
( )tfA cc πcos⋅
Filtro paso banda (fc, 2w)
Dispositivo no lineal
0A
∑+
+
3
7.
a. ( ) ( ) ( ) ( ) ( )⎢⎣⎡ ⋅−−⋅⋅+⋅−⋅⋅= ∫∫
∞+
∞−
∞+
∞−λλλλλλ dffMM
AdfMM
AfY c
cc 242
22
( ) ( ) ⎥⎦⎤⋅−+⋅+ ∫
+∞
∞−λλλ dffMM c2
b. ( ) ( ) ( ) ( )tffEA
tvEA
fYfY ccc
cc π4cos24
2222
⋅Δ⋅⋅≈⇒=−=
8. Es una demostración, planteando el esquema completo de modulación, transmisión y demodulación, para las señales QAM.
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ⎣ ⎦ wfffHffHthsiwfffHffH cccc <−=+⇒ℜ∈⇒<−=+ ,,*
9. La expresión de la envolvente natural es: ( ) ( ) ( ) ( )tmtmAtmAta cc
222 ˆ2 +⋅++=
En caso de que: ( )( ) ( ) ( )tmAtatmAtmA
cc
c +≈⇒⎩⎨⎧
>>>>
ˆ
Para llegar a este resultado se han tenido en cuenta las siguientes aproximaciones
para b << 1: 2
112
11 bbybb −≈−+≈+
10.
a. ( ) ( )tfAAts mcmc π2cos21
⋅⋅=
( ) ( ) ( )tfsenaAAts mcms π22121
⋅−⋅⋅−=
b. Distorsión: ( )( ) ( )
( )
2
2cos211
22121
1
⎥⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢⎢
⎣
⎡
⋅⋅+
⋅−⋅⋅+=
tfA
tfsenaAtd
mm
mm
π
π
c. La distorsión: d(t) es mayor cuando: a=0; mientras que esta es menor (d(t)=1) cuando: a=1/2.
4
11.
a. ( ) ( )⎩⎨⎧
===≠=
=−+− −−−− 0:,4,3,2,1,:,,0,2
coscos 001111 βαββαα ykiparakiki
ikik
b. wff ba 2>−
UNIVERSIDAD DE VALLADOLID
E.T.S. INGENIEROS DE TELECOMUNICACIÓN
TEORÍA DE LA COMUNICACIÓN
Tema 3: Modulaciones Angulares
1
TEMA III . Modulaciones angulares
3 1 M d l ió d f (PM) d l ió d
Teoría de la Comunicación - Curso 2010-2011
3.1.-Modulación de fase (PM) y modulación de frecuencia (FM)3.2.-Modulación en frecuencia de un tono simple3.3.-Ancho de banda de señales FM3.4.-Generación de señales FM3.5.-Demodulación FM3.6.-Efectos no lineales en sistemas FM
IntroducciónEstudiaremos un tipo de modulación donde el ángulo de la señal portadora se modifica siguiendo las variaciones de la
Tema III: Modulaciones Angulares
señal moduladoraUna característica muy importante de estas modulaciones angulares es que se puede discriminar más fácilmente el ruido y las interferencias que en modulaciones de amplitud ⇒ conlleva aumento del ancho de bandaEn las modulaciones angulares hay mecanismos por los que se puede intercambiar ancho de banda y prestaciones frente al ruido (no en modulaciones de amplitud)frente al ruido (no en modulaciones de amplitud)Hay 2 tipos: modulación en frecuencia (FM) y modulación en fase (PM)
Nos centraremos en FM (la más utilizada)Son similares y están relacionados
2
3.1.- Modulación de fase (PM) y modulación de frecuencia (FM)
S θ (t) l á l d t d l l ll
Tema III: Modulaciones Angulares
Sea θi(t) el ángulo de una portadora, la cual lleva información:
Una oscilación completa sucede cuando θi(t) cambia 2πradianes. Si θi(t) crece de forma monótona con el tiempo, la frecuencia promedio, en el intervalo t y t + Δt:
portadora la de amplitud ; )](cos[)( ≡= cic AtAts θ
Se define la frecuencia instantánea de la señal modulada angularmente:
tttttf ii
t Δ−Δ+
=Δ πθθ
2)()()(
dttd
ttttlimtflimtf iii
ttti)(
21
2)()()()(
00
θππ
θθ=
Δ−Δ+
==→ΔΔ→Δ
3.1.- Modulación de fase (PM) y modulación de frecuencia (FM)
S d i ( ) f d li d
Tema III: Modulaciones Angulares
Se puede interpretar s(t) como un fasor rotante de amplitud Ac, fase θi(t) y velocidad angular dθi(t)/dtEn el caso de una portadora sin modular:
0parafaselaesdondey,2 constanteangular velocidaduna a gira quefasor
2)(
=⇒
+=
tπf
tft
c
cci
φ
φπθ
Hay muchas formas de hacer que varíe θi(t) de acuerdo con m(t), vamos a considerar 2 métodos: PM y FM
0parafaselaes dondey =tcφ
3
3.1.- Modulación de fase (PM) y modulación de frecuencia (FM)
Modulación de fase (PM): el ángulo de la señal modulada
Tema III: Modulaciones Angulares
Modulación de fase (PM): el ángulo de la señal modulada θi(t) varía de forma lineal con la señal banda base m(t)
2πfct: ángulo de la portadora sin modularkp: sensibilidad en fase del modulador: si m(t) está en Voltios, kp se da en rad/VoltSupuesto φ = 0
)(2)( tmktft pci += πθ
Supuesto φc = 0Forma de la señal modulada en fase:
ambas entre linealrelación hay noy moduladaseñal la de ángulo elen aparece moduladora señal la
)](2cos[)(
⇒
+= tmktfAts pcc π
3.1.- Modulación de fase (PM) y modulación de frecuencia (FM)
Tema III: Modulaciones Angulares
Modulación de frecuencia (FM): la frecuencia instantánea de la señal modulada fi(t) varía de forma lineal con la señal banda base m(t)
fc: frecuencia de la portadora sin modularkf: sensibilidad del modulador en frecuencia: si m(t) está en Voltios, kf se da en Hz/VoltIntegrando en el tiempo y multiplicando por 2π (recordemos que f (t) = (1/2π)dθ (t)/d t )
)()( tmkftf fci +=
fi(t) = (1/2π)dθi(t)/d t )
Señal modulada en frecuencia (ahora no hay relación lineal):∫+=
t
fci dttmktft0
)(22)( ππθ
])(22cos[)(0∫+=t
fcc dttmktfAts ππ
4
3.1.- Modulación de fase (PM) y modulación de frecuencia (FM)
Diferencia de PM y FM frente a AM:
Tema III: Modulaciones Angulares
Diferencia de PM y FM frente a AM:No hay regularidad respecto a cruces por cero en FM y PMEn PM y FM, la envolvente es constante e igual a la amplitud de la portadoraLas señales PM y FM sólo se pueden distinguir cuando se conoce m(t)Ver diapositiva siguiente:
a) Portadorab) Señal moduladora sinusoidalc) Señal modulada en amplitud d) Señal modulada en fasee) Señal modulada en frecuencia
3.1.- Modulación de fase (PM) y modulación de frecuencia (FM)
Tema III: Modulaciones Angulares
5
3.1.- Modulación de fase (PM) y modulación de frecuencia (FM)
Relación entre PM y FM:S d ñ l FM i t d (t) d l d
Tema III: Modulaciones Angulares
Se puede generar una señal FM integrando m(t) y modulando en fase
Se puede generar una señal PM derivando m(t) y modulando en
IntegradorModulador
PMs(t)
Accos(2πfct)
m(t)
p g ( ) yfrecuencia
Diferenciador ModuladorFM
s(t)
Accos(2πfct)
m(t)
3.1.- Modulación de fase (PM) y modulación de frecuencia (FM)
Las propiedades para señales PM se pueden derivar directamente
Tema III: Modulaciones Angulares
Las propiedades para señales PM se pueden derivar directamente de las propiedades de FM y viceversaNos centraremos en FM por ser la más utilizada
6
3.2.- Modulación en frecuencia de un tono simple
La señal s(t) es una función no lineal de la señal moduladora
Tema III: Modulaciones Angulares
La señal s(t) es una función no lineal de la señal moduladora m(t), lo que hace que la modulación en frecuencia sea un proceso no linealA diferencia de AM, en FM el espectro de s(t) no está relacionado de forma sencilla con el espectro de m(t) En el análisis espectral consideraremos el caso más sencillo, con una señal moduladora que será un tono simple.q p
Objetivo: obtener una relación empírica entre el ancho de banda de la señal FM y el ancho de banda de la señal m(t)
Sea:)2cos()( tfAtm mm π=
La frecuencia instantánea:
Tema III: Modulaciones Angulares
3.2.- Modulación en frecuencia de un tono simple
La desviación en frecuencia es Δf = kf Am :Representa la desviación máxima de la frecuencia instantánea respecto de la portadoraNo depende de la frecuencia de la portadora, sino de la amplitud de la señal moduladora
l á l á
)2cos()2cos()( tffftfAkftf mcmmfci ππ Δ+=+=
El ángulo será:
El índice de modulación β se define como el cociente entre la desviación en frecuencia y la frecuencia de la señal moduladora.
)2sin(2)(2)(0
tffftfdttft mm
c
t
ii πππθ Δ+== ∫
7
3.2.- Modulación en frecuencia de un tono simple
[rad]fβ Δ=
Tema III: Modulaciones Angulares
Representa la máxima desviación en fase respecto a la fase de la portadora sin modular
Señal FM:
Dependiendo del valor del índice de modulación β vamos a diferenciar
)2(2)(
[rad]
i tfsintftf
mc
m
πβπθ
β
+=
=
[ ])2(2cos)( tfsintfAts mcc πβπ +=
Dependiendo del valor del índice de modulación β, vamos a diferenciar dos tipos de modulación en frecuencia:
a) FM de banda estrecha, para β pequeño ( β < 1 rad )b) FM de banda ancha, para β elevado
Para FM de banda estrecha, el ancho de banda de s(t) es aproximadamente 2 veces el de m(t). Para FM de banda ancha, excede este valor
3.2.- Modulación en frecuencia de un tono simple
Modulación en frecuencia de banda estrecha
Tema III: Modulaciones Angulares
Expandimos la expresión de la señal FM
Suponiendo β pequeño comparado con 1 radian ( β << 1 radian), se pueden hacer las siguientes aproximaciones:
[ ][ ])2()2(
)2(cos)2cos()(tfsinsintfsinA
tfsintfAts
mcc
mcc
πβππβπ
−−=
[ ] 1)2( tfiβ
Tendremos:Esta ecuación nos da la forma aproximada de señal FM de banda estrecha modulada por Amcos(2πfmt)
[ ][ ] )2()2(
1)2(costfsintfsinsin
tfsin
mm
m
πβπβπβ
≈≈
)2()2()2cos()( tfsintfsinAtfAts mcccc ππβπ −≈
8
3.2.- Modulación en frecuencia de un tono simple
Diagrama de bloques del modulador FM de banda estrecha:
Tema III: Modulaciones Angulares
IntegradorModuladorproducto s(t)
Accos(2πfct)
m(t) Σ+
-
Desfasador-90º
señal
moduladora
portadora
modulador de fase de banda estrecha
3.2.- Modulación en frecuencia de un tono simple
Idealmente, la señal FM:
Tema III: Modulaciones Angulares
Idealmente, la señal FM:Tiene envolvente constanteSi la señal moduladora es sinusoidal de frecuencia fm ⇒ el ángulo θ i(t) es también sinusoidal con la misma frecuencia
El diagrama de bloques estudiado introduce distorsión:La envolvente contiene una modulación de amplitud residualPara una señal moduladora sinusoidal ⇒ el ángulo θ i(t) contiene distorsión armónica de los armónicos de 3er orden y mayor orden dedistorsión armónica de los armónicos de 3 orden y mayor orden de la frecuencia fm
Si β ≤ 0.3 radianes ⇒ el efecto de la modulación en amplitud y la distorsión armónica de la fase están limitados a valores despreciables
9
3.2.- Modulación en frecuencia de un tono simple
La expresión de s(t) se puede expandir:
Tema III: Modulaciones Angulares
p ( ) p p
Esta expresión es parecida a la de AM:
[ ] [ ]{ }tfftffAtfAts mcmcccc )(2cos)(2cos21)2cos()( −−++= ππβπ
[ ] [ ]{ }tfftffAtfAts mcmccccAM )(2cos)(2cos21)2cos()( −+++= ππμπ
La diferencia está en el signo negativo de la banda lateral inferior ⇒ la señal FM de banda estrecha tiene un ancho de banda que es esencialmente el mismo que para AM
3.2.- Modulación en frecuencia de un tono simple
Podemos representar en diagrama fasorial la señal FM de banda
Tema III: Modulaciones Angulares
p gestrecha, utilizando el fasor de la portadora como referencia:
fm-fm
Banda lateral
Banda lateral inferior
Suma de bandas laterales
La señal suma de las bandas laterales está en cuadratura respecto la portadoraLa resultante es un fasor con aproximadamente la misma amplitud que la portadora, pero con fase diferente
Banda lateral superiorPortadora
10
3.2.- Modulación en frecuencia de un tono simple
La representación fasorial de AM:
Tema III: Modulaciones Angulares
fm
-fm
Banda lateral superior
Portadora
Banda lateral inferior
Suma de bandas laterales
La resultante está en fase con la portadora, mientras la amplitud varía
3.2.- Modulación en frecuencia de un tono simple
Modulación en frecuencia de banda ancha
Tema III: Modulaciones Angulares
Ahora determinaremos el espectro de una señal de FM modulada por un tono simple para un valor arbitrario del índice βSeñal FM:
En general, esta señal no es periódica, a menos que la frecuencia portadora fc sea un múltiplo de fm
P d ( ) ( i d f h b d ñ l FM)
[ ])2(2cos)( tfsintfAts mcc πβπ +=
Podemos poner s(t) (suponiendo fc >> ancho banda señal FM):
[ ]{ } { }[ ]
~
~
( ) exp 2 sin(2 ) ( )exp( 2 )
( ) exp sin(2 ) es la envolvente compleja de la señal FM ( )
c c m c
c m
s t e A j f t j f t e s t j f t
s t A j f ts t
π β π π
β π
= ℜ + = ℜ
=
11
3.2.- Modulación en frecuencia de un tono simple
Ahora, la envolvente compleja de la señal FM s(t) es función periódica
Tema III: Modulaciones Angulares
del tiempo con frecuencia fundamental fm, por lo que se puede expandir como una serie compleja de Fourier
Los coeficientes complejos de Fourier:
∑∞
−∞=
=n
mn tnfjcts )2exp()(~
π
∫ −=
T
dttnjtsc2 ~
)2exp()(1:Recordemos π
[ ]∫∫
∫
−−
−
−=−=m
m
m
m
f
f
mmcm
f
f
mmn
Tn
dttnfjtfjAfdttnfjtsfc
dttT
jtsT
c
21
21
21
21
~
2
2)2sin(exp)2exp()(
)2exp()(:Recordemos
ππβπ
π
3.2.- Modulación en frecuencia de un tono simple
dx
Tema III: Modulaciones Angulares
[ ]∫ −=
−=⇒−=
=⇒=
=⇒==
π
π
βπ
π
π
ππ
dxnxxjAc
xf
t
xf
t
πfdxdtdt f dxtfx
cn
m
m
mmm
)sin(exp2
21
21
22 ; 2: variablede cambio
Esta integral no se puede evaluar directamente y se conoce con el nombre de función de Bessel de primera clase, argumento β y orden ‘n’, se denota:
−π
[ ]∫−
−=π
π
βπ
β dxnxsinxjJ n )(exp21)(
12
3.2.- Modulación en frecuencia de un tono simple
Por tanto:)(βJAc
Tema III: Modulaciones Angulares
La serie de Fourier compleja queda:
Expresión s(t):
)(βncn JAc =
∑∞
−∞=
=n
mnc tnfjJAts )2exp()()(~
πβ
[ ]tnffJAtfjtsets mcncc )(2cos)()2exp()()(~
+=⎥⎦⎤
⎢⎣⎡ℜ= ∑
∞
πβπ
Esta es la representación en serie de Fourier de una señal FM modulada por un tono a frecuencia fm para un valor arbitrario de β
Su espectro (T.F.):
n⎥⎦⎢⎣ −∞=
[ ])()()(2
)( mcmcn
nc nfffnfffJAfS +++−−= ∑
∞
−∞=
δδβ
3.2.- Modulación en frecuencia de un tono simple
Funciones de Bessel:
(β)
Tema III: Modulaciones Angulares
Jn(β)
Jo(β)
J1(β)J2(β) J3(β)
J4(β)
β
13
3.2.- Modulación en frecuencia de un tono simple
Tabla de las funciones de Bessel:
Tema III: Modulaciones Angulares
3.2.- Modulación en frecuencia de un tono simple
Propiedades:Para n par: J (β) = J (β)
Tema III: Modulaciones Angulares
Para n par: Jn(β) = J-n(β) Para n impar: Jn(β) = -J-n(β)
Jn(β) = (-1)n J-n(β)Para pequeños valores de β
2)(
1)(
1 ≈
≈
J
Jo
ββ
β
Además:
1 0)( >≈ nJn β
∑∞
−∞=
=n
nJ 1)(2 β
14
3.2.- Modulación en frecuencia de un tono simple
Con estas propiedades y la forma de Jn(β) tenemos:
Tema III: Modulaciones Angulares
1. El espectro FM consiste en una componente portadora y un número infinito de bandas laterales colocadas de forma simétrica a frecuencias fm, 2fm, 3fm, . . . en torno a la portadora. Esta es una diferencia importante frente a AM, donde sólo hay 2 bandas laterales.
2. En el caso de que β sea pequeño comparado con la unidad ⇒ sólo los coeficientes Jo(β) y J1(β) son significativos ⇒ la señal modulada está formada por la componente de la portadora y 2 bandas laterales a p p p yfrecuencias fc ± fm ⇒ caso especial de FM de banda estrecha.
3. La amplitud de la portadora varía con β de acuerdo con Jo(β):Diferencia respecto AM (en FM la amplitud de portadora depende del índice de modulación)
3.2.- Modulación en frecuencia de un tono simple
Cuando la portadora se modula para generar FM la potencia de las bandas
Tema III: Modulaciones Angulares
Cuando la portadora se modula para generar FM, la potencia de las bandas laterales aparece a expensas de quitar potencia a la portadora, haciendo que la amplitud de la portadora dependa del índice de modulación β
[ ]
)(
)(2cos)()(
22
2cc
nmcnc
AJAP
tnffJAts
∑
∑∞
∞
−∞=
==
+=
β
πβ
Recuerda:
2)(
2 nnJP ∑
−∞=
== β
∑∞
−∞=
=n
nJ 1)(2 β
15
3.2.- Modulación en frecuencia de un tono simple
Ejemplos: vamos a estudiar qué ocurre con la señal
Tema III: Modulaciones Angulares
modulada FM para variaciones de la amplitud y la frecuencia de la señal moduladora
Ejemplo 1: fijamos fm, variamos la amplitud de la señal moduladora → variamos la desviación máxima en frecuencia Δf = kf Am
Fijamos fm ⇒ β = Δf / fm para β = 1,2,5. En la diapositiva siguiente (ejemplo 1) se muestra el espectro de la señal FM normalizada(ejemplo 1) se muestra el espectro de la señal FM normalizada respecto a la amplitud de la portadora
3.2.- Modulación en frecuencia de un tono simple
1.0Δf=fm
Tema III: Modulaciones Angulares
1.0Δf=2fm
f (Hz)
β=1.0
2Δf f (Hz)
1 0
β=2.0
2Δf2Δf
Ejemplo 1
1.0
β=5.0
Δf=5fm
2Δf
fc fmf (Hz)
16
3.2.- Modulación en frecuencia de un tono simple
Ejemplo 2: fijamos Am (Δf → constante) y variamos fm
β 1 2 5
Tema III: Modulaciones Angulares
⇒ β = 1,2,5.
Según aumentamos β con Δf fijo hay un mayor número de deltas en el intervalo fc - Δf < | f | < fc + Δf.
Cuando β → ∞ el ancho de banda de la señal viene limitado por 2Δf.
3.2.- Modulación en frecuencia de un tono simple
1.0 1.02Δf
Tema III: Modulaciones Angulares
β=1.0
2Δf f (Hz)
β=2.0
2Δf
f (Hz)
1 0
Ejemplo 2
1.0
β=5.0
2Δf
fc fm f (Hz)
17
3.3.- Ancho de banda de señales FM
En teoría, la señal FM tiene un número infinito de bandas laterales, con lo que el ancho de banda absoluto es infinito
Tema III: Modulaciones Angulares
lo que el ancho de banda absoluto es infinitoEn la práctica, se puede considerar un número finito de bandas laterales compatible con una cantidad fijada de distorsión, así pues, hablaremos de un ancho de banda efectivo de transmisión (BT)Consideremos una señal FM modulada por un tono fm: las bandas laterales están separadas por fm
Aquellas bandas laterales por encima de Δf decrecen rápidamente a cero. Entonces:
Ancho de banda algo mayor que 2ΔfSi β → ∞ ⇒ ancho de banda próximo a 2ΔfSi β → 0 (FM banda estrecha) ⇒ ancho de banda determinado por 2fm
Por ello, la regla práctica para el cálculo del ancho de banda es:
CARSON DEREGLA )11(222 ≡+Δ=+Δ≈β
fffB mT
3.3.- Ancho de banda de señales FM
Una definición más precisa de BT: aquel ancho de banda que contiene el máximo número significativo de bandas laterales cuya amplitud sea
Tema III: Modulaciones Angulares
el máximo número significativo de bandas laterales cuya amplitud sea mayor de un valor dado. Un valor conveniente suele ser el 1% de la amplitud de la portadora sin modularSe define el ancho de banda del 1% (ancho de banda de Tx de la señal FM) como la separación entre las 2 frecuencias fuera de las cuales ninguna banda lateral tiene una amplitud mayor que el 1% de la amplitud de la portadora sin modular
01.0)(J satisface que valor máximo:moduladora señal frecuencia:
22
max
maxmax
>
Δ==
β
β
n
m
mT
nf
fnfnB
18
3.3.- Ancho de banda de señales FM
El valor nmax depende del índice de modulación β y se puede determinar a partir de gráficos de Bessel:
Tema III: Modulaciones Angulares
p g
El BT puede calcularse utilizando este procedimiento de forma general, y normalizado respecto a Δf y dibujado respecto a β
βmax2 n
fB T =Δ
3.3.- Ancho de banda de señales FM
Se obtiene una curva universal interpolando valores de la tabla anterior:
Tema III: Modulaciones Angulares
Para β >> ⇒ BT/Δf ≅ 2 ⇒ BT≅ 2Δf
19
3.3.- Ancho de banda de señales FM
Consideremos m(t) arbitrario, con ancho de banda ωEl B d i id d l
Tema III: Modulaciones Angulares
El BT se puede estimar considerando un tono para el peor caso.Primero se determina la relación de desviación (D):
La relación de desviación D es el cociente entre la desviación en frecuencia (Δf) y su máxima componente frecuencial (ω)
Este factor D juega el mismo papel para una modulación no sinusoidal que el índice de modulación β para modulación sinusoidal
; maxf Akf fD =ΔΔ
=ω
Cambiando β por D y fm por ω en la regla de Carson o ancho de banda del 1%, se determina el ancho de banda de las señales FM
NOTA: la regla de Carson estima por debajo el ancho de banda, mientras que la del 1% da un valor mayor ⇒ en la práctica se usa un valor comprendido entre ambos (valor medio)
3.3.- Ancho de banda de señales FM
Ejemplo: en Norteamérica se fija Δf = 75 KHz para difusión de FM comercial y ω = 15 KHz la máxima frecuencia de audio de interés en
Tema III: Modulaciones Angulares
comercial, y ω = 15 KHz la máxima frecuencia de audio de interés en transmisiones FM; por ello:
Relación de desviación D = 75/15 = 5Regla de Carson: BT = 2(75 + 15) = 180 KHzRegla del 1%: BT = 2nmaxfm = 2nmax ω = 16*15 = 240 KHz
(como D = 5 ⇒ 2nmax = 16)Por ejemplo: BT = (180+240)/2 = 210 KHz
20
3.4.- Generación de señales FMHay 2 métodos para generar señales moduladas en frecuencia: FM directo y FM indirecto
Tema III: Modulaciones Angulares
En el método FM indirecto se emplea modulación FM de banda estrecha y multiplicación de frecuencia para incrementar el nivel de desviación de frecuencia hasta el valor deseadoEn el método FM directo la portadora varía directamente su frecuencia de acuerdo a la señal de entrada banda base (moduladora), esto es, la frecuencia instantánea de la portadora se varía de forma directa con la variación temporal de la señal banda base ⇒ se utiliza un dispositivo oscilador controlado por tensión: VCO (Voltage
Controller Oscilator)
m(t) VCO s(t) SEÑAL FM
3.4.- Generación de señales FMMétodo FM indirecto
Diagrama de bloques:
Tema III: Modulaciones Angulares
Diagrama de bloques:
Integrador s(t)m(t)Señal moduladora banda base
Modulador de fasebanda estrecha
Multiplicador de frecuencia
Oscilador decristal controlado
s1(t)
f1
Señal FM
La señal banda base se integra y se emplea para el modulador de fase un oscilador de cristal controlado que da estabilidad en frecuenciaPara minimizar la distorsión de fase inherente en el modulador el valor de β debe mantenerse pequeño (β ≤ 0.3)Se utiliza un multiplicador de frecuencia para dar lugar a la señal FM de banda ancha
21
3.4.- Generación de señales FM
Salida del modulador de fase de banda estrecha:
)(22)(t
dkfA ⎤⎡ ∫
Tema III: Modulaciones Angulares
Si la señal moduladora es sinusoidal: m(t) = Amcos(2πfmt)
[ ]+= tftfAts m )2sin(2cos)( 1111 πβπ
modulador)del fase en dad(sensibili constantecontroladocristal del frecuencia
::
)(22cos)(
1
0111
f
f
kf
dttmktfAts ⎥⎦⎤
⎢⎣⎡ += ∫ππ
La salida del modulador de fase es multiplicada en frecuencia por nveces con el “multiplicador de frecuencia” para dar lugar a la señal FM de banda ancha
distorsiónla evitar ⇒< rad3.01β
⎥⎦⎤
⎢⎣⎡ += ∫
t
fc dttmnktnfAts01 )(22cos)( ππ
3.4.- Generación de señales FMSi m(t) es sinusoidal:
[ ])2(2)( tfitfAt β
Tema III: Modulaciones Angulares
Por ello, eligiendo de forma apropiada el valor n se obtiene el índice de modulación deseado β y frecuencia fc
Problema: ajustamos fc y β con un único parámetro n ⇒ hay un único
[ ]11 ; donde
)2(2cos)(nffn
tfsintfAts
c
mcc
==+=
ββπβπ
cgrado de libertad ⇒Solución: usamos 2 multiplicadores de frecuencia (ver diapositiva siguiente)
22
3.4.- Generación de señales FM
Modulador de fase Multiplicador β1,
Tema III: Modulaciones Angulares
Integradorm(t)Señal moduladora banda base
Modulador de fasebanda estrecha
pde frecuencia
x n1
Oscilador decristal controlado
β1,f1
Accos(2πf1t)
Señal n β n f Multiplicadorβ f f
Mezclador
Oscilador decristal controlado
FM Banda Ancha β, fc
n1β1, n1f1
Ac’cos(2πf2t)
Multiplicador de frecuencia
x n2
n1β1, f2-n1f1
β= n1n2 β1
fc = n2(f2-n1f1)
3.5.- Demodulación de FM
La demodulación en frecuencia es el proceso que permite recuperar la
Tema III: Modulaciones Angulares
p q p pseñal moduladora de la señal FMLa salida del demodulador FM será una señal proporcional a la frecuencia instantánea de la señal de entradaHay 2 esquemas básicos de demodulación:
Discriminador de frecuenciaBucle enganchado en fase (PLL)
23
3.5.- Demodulación de FM
Discriminador de frecuenciaIdealmente es un derivador seguido de un detector de envolvente
Tema III: Modulaciones Angulares
Idealmente es un derivador seguido de un detector de envolventeConsiste en un circuito pendiente seguido de un detector de envolventeEl circuito pendiente se caracteriza por una función de transferencia que es imaginaria pura (simetría impar) y varía de forma lineal dentro del intervalo de frecuencias dado:
H1(f)/j
f (Hz)
fc+BT/2fc-BT/2
-fc+BT/2-fc-BT/2
3.5.- Demodulación de FMFunción de transferencia:
2 BffBfBffaj TTT⎪⎧
+<<⎟⎞
⎜⎛ +π
Tema III: Modulaciones Angulares
Evaluemos la salida de este sistema con entrada señal FM centrada en fc y ancho de banda BT
constante:
resto 022
2
2
22
22
)(1
a
BffB-fBffaj
fffffaj
fH Tc
Tc
Tc
ccc
⎪⎪⎪
⎩
⎪⎪⎪
⎨ +−<<−⎟⎠⎞
⎜⎝⎛ −+
+<<−⎟⎠
⎜⎝
+−
= π
π
Suponemos que el espectro de s(t) es cero fuera del intervalo fc - BT/2 < | f | < fc + BT/2
Es conveniente utilizar la representación paso bajo equivalente:
:función de transferencia del filtro paso bajo equivalente del circuito pendiente H1(f)
)( , )(~
1
~tsfH
)(1
~fH
24
3.5.- Demodulación de FM
jfH /)(~
Tema III: Modulaciones Angulares
f (Hz)
BT/2-BT/2
jfH /)(1
Pendiente:4πa
⎪⎩
⎪⎨
⎧<<−⎟
⎠⎞
⎜⎝⎛ +
=
=−
resto 022
2
4)(
)(2)(
1
~
11
~
TTT
c
BfBBfajfH
fHffH
π
3.5.- Demodulación de FMSeñal FM de entrada:
⎤⎡ + ∫t
dttmktfAts )(22cos)( ππ
Tema III: Modulaciones Angulares
Envolvente compleja:
Si es la envolvente compleja de la respuesta del circuito pendiente:
⎥⎦⎤
⎢⎣⎡ += ∫fcc dttmktfAts
0)(22cos)( ππ
⎥⎦⎤
⎢⎣⎡= ∫
t
fc dttmkjAts0
~)(2exp)( π
)(1
~ts
⎪⎨
⎧<<−⎟
⎠⎞
⎜⎝⎛ +
22 )(
22
)()(1)(
~~~~ TTT BfBfSBfaj
fSfHfSπ
Entonces : (aplicamos la propiedad de la T. F. que nos dice que multiplicar en frecuencia por j2πf equivale a derivar en el dominio del tiempo):
)(1
~ts
⎪⎩
⎪⎨
⎟⎠
⎜⎝==
resto 022
)(2)()(
2)( 11
fffjfSfHfS
25
3.5.- Demodulación de FM
⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢
⎣
⎡+= T tsBj
dttsdats
~~
1
~)()()( π
Tema III: Modulaciones Angulares
La señal paso banda de salida del circuito pendiente:
⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡+=
⎦⎣
∫t
fT
fcT dttmkj
Btmk
aABjts0
1
~)(2exp
)(21)( ππ
⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡++⎥
⎦
⎤⎢⎣
⎡+=
⎥⎦⎤
⎢⎣⎡ℜ=
∫ 2)(22cos
)(21)(
)2exp()()(
01
1
~
1
ππππ
π
t
fcT
fcT
c
dttmktfB
tmkaABts
tfjtsets se deduce por cos(a+π/2)=-sina
La señal s1(t) presenta una modulación híbrida: la amplitud y frecuencia de la señal portadora varía de acuerdo con m(t)Podemos utilizar un detector de envolvente para demodular la señal, para ello:
⎦⎣⎦⎣ 0T
aciónsobremodulevitar 1)(2
⇒∀< ttmBk
T
f
3.5.- Demodulación de FMLa salida del detector de envolvente:
)(2
1)(1
~
⎥⎤
⎢⎡+= tm
kaABts f
Tπ
Tema III: Modulaciones Angulares
El término de continua es proporcional a la pendiente de la función de transferencia del circuito
La componente de continua se puede eliminar restando a la salida del detector de envolvente la salida de un segundo detector de envolvente precedido de un circuito pendiente complementario con función de transferencia H2( f )
continuadeun términosalvomoduladoraseñallatenemos
)(1)(1
→
⎥⎦
⎢⎣+ tm
BaABts
TcTπ
fc+BT/2fc-BT/2
-fc+BT/2-fc-BT/2
H2(f)/jPendiente:-2πa
f (Hz)
26
3.5.- Demodulación de FMLas funciones de transferencia complejas están relacionadas por:
)()( 1
~
2
~fHfH −=
Tema III: Modulaciones Angulares
Si s2(t) es la respuesta del segundo circuito pendiente, cuya entrada es la señal FM s(t), la envolvente compleja de s2(t):
La diferencia de las envolventes:
)()( 12 fHfH =
⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡−= )(
21)(2
~tm
Bk
aABtsT
fcTπ
iiN
)(4)()()( 2
~
1
~tmaAktststs cfo π=−=
El discriminador de frecuencia serían dos circuitos pendiente complementarios seguidos de detector de envolvente y un sumador ⇒ discriminador de frecuencia balanceado (ver diapositiva siguiente)
continuacomponentetieneNo
3.5.- Demodulación de FMDiagrama de bloques: discriminador de frecuencias balanceado
Tema III: Modulaciones Angulares
Circuito pendiente
H1 ( f )
Detector de envolvente
Señal FM Σ
Circuito di t Detector
+
-
Señal banda base
pendienteH2( f )
Detector de envolvente
27
3.6.- Efectos no lineales en sistemas FM
Supongamos un sistema de comunicación cuya función de transferencia está definida por la relación no lineal:
Tema III: Modulaciones Angulares
está definida por la relación no lineal:
Se supone que el sistema no tiene memoria ⇒ vo(t) es una función instantánea de vi(t)
constantes:salida de señal:)(entrada de señal:)(
)()()()(
321
33
221
,a,aatvtv
tvatvatvatv
o
i
iiio ++=
Deseamos determinar el efecto de transmitir la señal FM a través de este canal: vi(t) → señal FM
[ ]
∫=
+=t
of
cci
dttmkt
ttfAtv
)(2)(
)(2cos)(
πφ
φπ
3.6.- Efectos no lineales en sistemas FM
[ ] [ ])(2cos)(2cos)( 2221 ttfAattfAatv cccco φπφπ ++++=
Tema III: Modulaciones Angulares
Expandiendo y tomando factor común:
[ ])(2cos 333 ttfAa cc φπ ++
[ ] [ ]
[ ] [ ]{ }))(24cos(1)(2cos2
))(24cos(12
)(2cos)(
33
22
1
ttfttfAa
ttfAattfAatv
ccc
cc
cco
φπφπ
φπφπ
++⋅++
+++++=
[ ] [ ]{ }
[ ]
[ ] [ ]{ })(2cos)(36cos4
)](24cos[2
)(2cos)2
(2
)(
))(()(2
33
22
33
1
22
ttfttfAattfAa
ttfAaAaAatv
ff
ccc
cc
cc
cc
o
cc
φπφπφπ
φπ
φφ
++++++
++++=
28
3.6.- Efectos no lineales en sistemas FM
[ ])(2cos)43(
2)( 3
31
22 ttfAaAaAatv ccc
co φπ ++++=
Tema III: Modulaciones Angulares
La salida tiene una componente continua y 3 componentes moduladas en frecuencia con portadoras fc, 2fc, 3fc
Para poder extraer la señal FM de la señal de salida vo(t) es necesario separar la señal FM a frecuencia fc de la señal FM a frecuencia más próxima
[ ]
[ ])(36cos4
)](24cos[21
423
322
31
ttfAattfAa cc
cc
ccco
φπφπ ++++
próximaSi Δf es la desviación en frecuencia de vi(t), y ω el ancho de banda de la señal moduladora m(t); aplicando la regla de Carson (BT ≅ 2Δf + 2fm = 2Δf + 2ω) y teniendo en cuenta que la desviación en frecuencia de la señal FM a frecuencia 2fc es 2Δf, la condición necesaria para separarlas es:
3.6.- Efectos no lineales en sistemas FM
'BB
Tema III: Modulaciones Angulares
ωωω
23)2(2
22
2
+Δ>⇒+Δ−<+Δ+
−<+
ffffff
BfBf
c
cc
Tc
Tc
fc+Δf+ωBT BT’ BT’’
|Vo(f)|
f (Hz)2fc
BT
fc 3fc
BT BT
2fc-2Δf-ω
29
3.6.- Efectos no lineales en sistemas FM
Utilizando un filtro paso banda centrado en fc , y ancho de banda 2Δf + 2ω la señal de salida es:
Tema III: Modulaciones Angulares
2Δf + 2ω , la señal de salida es:
Conclusiones:El único efecto de pasar una señal FM a través de un canal con no-linealidades en amplitud, si filtramos de un modo adecuado, es simplemente modificar la amplitud
dif i d l l l f d
[ ])(2cos)43()( 3
31' ttfAaAatv ccco φπ ++=
A diferencia de lo que ocurre con AM, la señal FM no se ve afectada por la distorsión debida a no-linealidades de la amplitud del canal
Esta es la razón por la que FM se utiliza de forma amplia en enlaces de microondas y satélites, debido a que permite el uso de amplificadores de potencia altamente no lineales
3.6.- Efectos no lineales en sistemas FM
Sin embargo, FM es muy sensible a no-linealidades de fase, y un tipo muy común de no linealidad de fase en los enlaces de microondas es la
Tema III: Modulaciones Angulares
muy común de no-linealidad de fase en los enlaces de microondas es la denominada conversión AM→PM. Esto es debido a que las características de fase de los amplificadores y repetidores empleados en los sistemas depende de la amplitud instantánea de la señal de entradaEn la práctica, esta conversión AM→PM se caracteriza por una constante K medida en [grados/dB], y debe interpretarse como el cambio de fase de pico a la salida para un cambio de 1dB en la envolvente de entradaCuando la señal FM se transmite a través de un enlace de radio, recoge variaciones aleatorias en amplitud debido al ruido e interferencias durante su propagación, y cuando dicha señal se pasa por un repetidor con conversión AM→PM, la salida tendrá modulación no deseada de fase dando lugar a la distorsión
⇒ En los repetidores FM, es muy importante mantener la conversión AM→PM a un nivel bajo, típicamente, K < 2 grados / dB
TEORÍA DE LA COMUNICACIÓN
CUESTIONES TEMA 3
MODULACIONES ANGULARES
1.- Definición de fase y frecuencia instantánea. ¿Cómo están relacionadas?. ¿Cuál es la fase y la frecuencia instantánea para PM y FM?
2.- ¿Cuál es la expresión de una señal FM y de una señal PM?. ¿Se pueden distinguir a simple vista en un osciloscopio?. ¿Se pueden distinguir de una señal AM?
3.- ¿Cómo se puede generar una señal FM con un modulador de PM y al revés?
4.- ¿Cuál es la definición de desviación en frecuencia e índice de modulación cuando la moduladora es sinusoidal?. Poner la expresión en ese caso de la señal modulada FM utilizando ambos parámetros por separado.
5.- ¿Cómo se diferencia FM de banda ancha y FM de banda estrecha?. ¿Cuál es la expresión aproximada para FM de banda estrecha?
6.- ¿Cómo se puede generar FM de banda estrecha?
7.- Hacer un diagrama fasorial de AM y otro de FM de banda estrecha. ¿Cuál es la diferencia fundamental?
8.- ¿Cuál es el procedimiento para obtener el espectro de una señal FM de banda ancha puesto que al no ser periódica no se puede calcular directamente la serie de Fourier?
9.- ¿Cuál es la expresión del espectro de una señal FM?. ¿Por qué tipo de funciones viene determinada la altura relativa de las deltas?
10.- ¿Cuál es la relación entre la potencia de la señal modulada y la de la portadora?. ¿Varía la amplitud de componente a la frecuencia portadora de la señal modulada con el índice de modulación?
11.- ¿Cuál es la separación entre las deltas en el espectro de una señal FM?
12.- ¿Cuál es el ancho de banda absoluto de una señal FM?
13.- ¿Cuales son las dos reglas para la determinación del ancho de banda de forma aproximada en el caso de que la señal moduladora sea sinusoidal?. ¿Cuál de las dos reglas da un ancho de banda menor del utilizado en la práctica y cuál uno mayor?
14.- En el caso de tener una señal moduladora arbitraria con ancho de banda W, ¿cómo se define la relación de desviación D?. ¿Cuáles son ahora las dos reglas para la determinación del ancho de banda?
15.- Explicar el método de generación de FM indirecto.
16.- Explicar el esquema del discriminador de frecuencias para demodular la señal FM.
17.- Explicar el diagrama de bloques completo del discriminador de frecuencias balanceado.
18.- Explicar los efectos no lineales en FM. ¿Cómo se recupera la señal FM original tras el sistema no lineal?
19.- ¿En qué consiste la conversión AM a PM en sistemas FM?. ¿Por qué no es deseable y cómo es posible evitarla?
TEORÍA DE LA COMUNICACIÓN
PROBLEMAS TEMA 3
MODULACIONES ANGULARES 1.- Sea una señal sinusoidal moduladora:
m(t) = Am cos (2πfmt)
que se aplica a un modulador de fase con sensibilidad de fase kp. La señal portadora tiene amplitud Ac y frecuencia fc. a) Determinar el espectro de la señal resultante modulada en fase, suponiendo que el máximo valor de la desviación de fase βp = kpAm no excede 0.3 radianes. b) Construir un diagrama fasorial para esta señal modulada en fase y compáralo con el correspondiente a una señal FM de banda estrecha. 2.- Una señal FM con índice de modulación β = 1 se transmite a través de un filtro paso banda ideal con frecuencia central fc y ancho de banda 5fm, donde fc es la frecuencia de la señal portadora y fm es la frecuencia de la señal moduladora que es sinusoidal. Determinar la amplitud del espectro a la salida de dicho filtro. 3.- Considerar la señal moduladora cuadrada de la siguiente figura:
T0/2T0/2
-1
0
+1
t
m(t)
que se utiliza para modular una señal portadora Ac cos (2πfct). Suponer que la sensibilidad en frecuencia es kf Hz por Voltio. a) Determinar la forma de la señal que define la frecuencia instantánea de la señal FM resultante. b) Determinar la forma de la señal que define la fase instantánea de la señal FM resultante. c) Evaluar la envolvente compleja de la señal FM. Mostrar entonces que la señal FM se puede expandir como sigue:
∑∞
−∞=
ππα
n 0cnc T
t n 2+tf 2cos A = s(t)
donde:
β
−+
β
=α2
n + sinc)1(2
n - sinc21 n
n
β = kf T0
siendo T0 el período de la señal cuadrada. 4.- Determinar el espectro de la siguiente señal FM multitono y explicar las diferentes componentes que forman dicho espectro:
s(t) = Accos[2πfct + β1sin(2πf1t) + β2sin(2πf2t)] 5.- Una señal portadora de frecuencia 100 MHz es modulada en frecuencia por una señal moduladora sinusoidal de amplitud 20 Volts. y frecuencia 100 KHz. La sensibilidad en frecuencia del modulador es 25 KHz por voltio. a) Determinar el ancho de banda aproximado de la señal FM resultante utilizando la regla de Carson. b) Determinar el ancho de banda en el caso de que se transmitan únicamente aquellas componentes que excedan el 1 % de la amplitud de la portadora sin modular. Utilizar la curva universal. c) Repetir los cálculos suponiendo que la amplitud de la señal moduladora es el doble. d) Repetir los cálculos suponiendo que la frecuencia de la señal moduladora es el doble.
6.- El diagrama de bloques siguiente representa el sistema FM transmisor de una señal de audio estereofónica:
Modulador enfrecuencia
Fuente deportadora
Doblador defrecuencia
Señal FMestereofónica
m(t)
l(t)
r(t)
+
+ +
+
+
+
_
∑
∑
∑
ModuladorProducto
Las señales de entrada l(t) y r(t) representan las señales procedentes del canal izquierdo y del canal derecho, respectivamente. Esas señales se han sumado y restado para obtener l(t) + r(t) y l(t) - r(t). La señal diferencia se utiliza para generar una señal DSBSC con frecuencia central 38 KHz. La señal portadora necesaria se obtiene utilizando una fuente de portadora a 19 KHz y un sistema que dobla la frecuencia. La señal DSBSC, la señal l(r) + r(t) y el piloto de 19 KHz se suman para obtener la señal m(t). El piloto de 19 KHz se transmite por razones de sincronismo. La señal moduladora m(t) se utiliza para modular en frecuencia una señal a la frecuencia fc, resultando una señal FM que es la que se transmite. a) Dibujar la amplitud del espectro de la señal compuesta m(t), suponiendo que la amplitud del espectro de las señales l(t) y r(t) es el siguiente:
f2 f
|R(f)|
f1 f2 f
|L(f)|
f1
donde f1 = 40 Hz y f2 = 15 KHz. b) Suponiendo que la desviación en frecuencia es de 75 KHz, determina el ancho de banda de transmisión de la señal. c) Desarrolla un diagrama de bloques en el receptor para recuperar los canales izquierdo y derecho de la señal FM. d) Determinar cual es la señal de salida en el caso de que el receptor sea monofónico.
7.- Una señal FM se aplica a un dispositivo con ley cuadrática cuya tensión de salida v2(t) está relacionada con la tensión de entrada v1(t) por la expresión:
t)( va = t)(v 212
donde a es una constante. Explicar cómo este dispositivo puede ser utilizado para obtener una señal FM con una desviación de frecuencia mayor que la de la señal FM de entrada. 8.- Considerar el esquema demodulador de FM mostrado en la siguiente figura:
_
+
∑ Señal desalida
SeñalFM
Detector deenvolvente
Linea deretardo
en el cual la señal FM de entrada s(t) se pasa a través de un bloque que introduce un retardo de modo que a la frecuencia portadora el desfase sea de π/2 radianes. La salida del bloque que introduce el retardo se resta de la señal FM original, y la señal resultante se pasa a través de un detector de envolvente. Este demodulador tiene aplicación en la demodulación de señales FM para microondas. Supóngase que la expresión de la señal modulada es:
s(t) = Ac cos[2πfct + β sin(2πfmt)]
Analizar el funcionamiento de este demodulador cuando el índice de modulación β es menor que la unidad y el retardo T introducido por la línea de retardo es suficientemente pequeño para justificar las aproximaciones:
cos(2πfmT) ≈ 1 y
sin(2πfmT) ≈ 2πfmT
9.- Supongamos que la señal recibida en un sistema FM contiene una modulación de amplitud residual dada por la amplitud positiva a(t), de modo que:
s(t) = a(t) cos[2πfct + φ(t)]
donde fc es la frecuencia portadora. La fase φ(t) está relacionada con la señal moduladora m(t) de la forma:
∫πφt
0f dt)t(mk 2 = (t)
donde kf es una constante. Supongamos que la señal s(t) está restringida a la banda de frecuencias centrada en fc y de ancho de banda BT, donde BT es el ancho de banda de transmisión de la señal FM en ausencia de modulación de amplitud. Suponer también que la variación de a(t) es lenta comparada con φ(t). Mostrar que la salida de un discriminador de frecuencia ideal cuya entrada es s(t) es proporcional a a(t)m(t). 10.- Si la señal s(t) del problema anterior se aplica a un limitador, cuya señal de salida z(t) está relacionada con la entrada por:
− 0 < s(t) para 1
0 > s(t) para 1+ = sgn[s(t)] = z(t)
a) Mostrar que la señal de salida del limitador puede expresarse como una serie de Fourier:
[ ]∑∞
=
φπ+
−π 0n
c
n
(t) 1)+(2n + 1)+t(2nf 2cos1n2
)1(4 = z(t)
b) Suponer que la señal de salida del limitador se aplica a un filtro paso banda cuya amplitud en la banda de paso es unidad, con ancho de banda BT y centrada en la frecuencia portadora fc, donde BT es el ancho de banda de transmisión de la señal FM en ausencia de modulación de amplitud. Suponiendo que fc es mucho mayor que BT, mostrar que la señal de salida resultante tras el filtro es:
[ ](t) +t f 2cos4 = y(t) c φππ
Comparar esta señal con s(t) a la hora de demodular la señal y comentar la utilidad del limitador en este caso.
1
TEORÍA DE LA COMUNICACIÓN
SOLUCIONES DE LOS PROBLEMAS TEMA 3
MODULACIONES ANGULARES 1.
a. ( ) ( ) ( )[ ] ( ) ( )[ ]−++−−−−++−≈ mcmccpccc ffffffAj
ffffAfS δδβδδ41
21
( ) ( )[ ]mcmccp ffffffAj
−+−+−− δδβ41
b. ⇒ Diferencia de fases
2.
3.
a. ( ) ( )tmkftf fci ⋅+=
2
b. ( ) ( )ttft ci φπϑ += 2
( ) ( )∫ ⋅⋅=t
f dttmkt0
2πφ
c. Es una demostración.
4. ( ) ( ) ( ) ( ) ( )[ ]2121212nfmfffnfmfffJJ
AfS cc
m nnm
c ++++−−−⋅⋅⋅= ∑ ∑∞
−∞=
∞
−∞=
δδββ
Se pueden distinguir cuatro componentes:
i. Portadora a frecuencia fc, de amplitud: J0(β1)⋅J0(β2) ii. Conjunto de bandas laterales a frecuencia: fc±m⋅f1 (m=1,2,3,…), y
amplitud: Jm(β1)⋅J0(β2)
3
iii. Conjunto de bandas laterales a frecuencia: fc±n⋅f2 (n=1,2,3,…), y amplitud: J0(β1)⋅Jn(β2)
iv. Términos de modulación cruzada a frecuencia: fc±m⋅f1±n⋅f2 (m=1,2,3,…; n=1,2,3,…), y amplitud: Jm(β1)⋅Jn(β2)
5. a. MHz2.1=
CARSONTB
b. MHz6.1=CARSONTB
c. MHz2.2=CARSONTB
MHz8.2%1 =TB
d. MHz4.1=CARSONTB
MHz2%1 =TB 6.
a.
b.
KHz315KHz375
KHz256
%1
≈⇒
==
MEDIATT
CARSONT BBB
c.
d.
4
7.
( ) ( )
⋅+⋅= ∫
t
fc dttmktfAtv011 1
22cos ππ
( ) ( ) ( ) ( )
⋅+⋅⋅= ∫
t
fc dttmktfAa
tv01
20 1
2222cos2
ππ
8. Salida del detector de envolvente:
( ) ( )[ ]tfTfAta mc ππ 2cos12 ⋅⋅∆⋅+⋅⋅≈
9. Salida del detector de envolvente del discriminador de frecuencias ideal:
( ) ( ) ( )tmtakts f ⋅⋅⋅⋅≈ π20
10. a. Es una demostración.
b. Término k=0, con: fc>>BT: ( ) ( )( )ttfty c φππ
+⋅= 2cos4
⇒Utilizando el limitador seguido del filtro paso banda, se elimina el efecto de la variación de amplitud en la señal modulada.
UNIVERSIDAD DE VALLADOLID
E.T.S. INGENIEROS DE TELECOMUNICACIÓN
TEORÍA DE LA COMUNICACIÓN
Tema 4: Ruido en modulaciones analógicas
Tema 4: Ruido en modulaciones analógicas Teoría de la Comunicación
1
Tema 4: Ruido en modulaciones analógicas.
4.1.- Introducción: SNR y FOM.
Se necesita una medida útil para medir la calidad de una señal en el receptor, para ello se usa la relación señal a ruido de salida:
receptordelsalidalaaruidodemediaPotenciareceptordelsalidalaauladamoddeseñallademediaPotenciaSNRo =
Es una medida intuitiva para describir la calidad para el proceso de
demodulación en el receptor en presencia de ruido. Vamos a suponer que la señal de información recuperada y el ruido deben
aparecer aditivamente a la salida del demodulador:
• Condición válida cuando se emplea recepción con detección coherente. • En caso de usar detección de envolvente, ésta condición es aproximada, siempre
y cuando el nivel de ruido sea pequeño comparado con el de la señal.
Además, el valor de la SNRo depende de varios factores: • Del tipo de modulación empleada en el transmisor. • Del tipo de demodulación empleada en el receptor.
Sería interesante comparar la SNRo para diferentes esquemas de modulación y
demodulación, pero para que sea válido se debería cumplir:
• La señal modulada: s(t), transmitida por cada sistema, tiene que tener la misma potencia media.
• El ruido del receptor: ω(t), tiene que tener la misma potencia media, medida en el ancho de banda w de la señal de información.
Se define así la SNR para el canal, como:
ormacióninfdeseñalladebandalaencanaldelruidodemediaPotenciareceptordelentradalaauladamodseñallademediaPotenciaSNRc =
Para comparar diferentes esquemas de modulación y demodulación, vamos a
normalizar la SNRo por la SNRc. Así se define la FOM (Figure Of Merit), como:
c
o
SNRSNR
FOM =
Tema 4: Ruido en modulaciones analógicas Teoría de la Comunicación
2
Otros parámetros de calidad que también se estiman en los sistemas de comunicación son los siguientes:
receptordelentradalaauladamodseñalladebandalaenruidodemediaPotenciareceptordelentradalaauladamodseñallademediaPotenciaSNRi =
La relación: i
o
SNRSNR
Y la relación portadora a ruido:
uladamodseñalladebandalaenruidodemediaPotenciaportadoralademediaPotenciaCNR =
4.2.- Ruido en modulaciones de amplitud.
Vamos a ver un caso de estudio común en los sistemas de comunicación:
• Analizaremos los efectos del ruido en el funcionamiento del receptor. • Compararemos el comportamiento de los diferentes esquemas de modulación y
demodulación frente al ruido: o Hay que definir criterios objetivos que describan cómo se comportan
estos sistemas frente al ruido. o En modulaciones analógicas se va a estimar la SNRo y FOM.
Vamos a suponer que tenemos a la entrada del receptor un ruido aditivo, blanco,
gaussiano (AWGN), y de media nula. En concreto estudiaremos las modulaciones:
• DSB-SC con detección coherente. • AM con detección de envolvente.
4.2.1.- Receptor de amplitud. Modelo funcional.
Los receptores de AM se denominan superheterodinos, y su esquema general se representa en la siguiente figura:
Sección de radiofrecuencia
(RF)
Mezclador
Sección de frecuencia
intermedia (IF)
Demodulador
Oscilador local
Señal AM +
Ruido
Señal a la salida
Figura 1. Esquema funcional de un receptor de amplitud.
Tema 4: Ruido en modulaciones analógicas Teoría de la Comunicación
3
La señal captada por las antenas se amplificaría en la sección de radiofrecuencia (RF), donde además se realiza un primer filtrado paso banda. Esta estaría sintonizada a la frecuencia de portadora (fc). A continuación el conversor de frecuencia convertiría la frecuencia de entrada, cuyo valor es variable, a una frecuencia intermedia (fIF) fija y menor.
LORFIF fff −=
La sección de frecuencia intermedia (IF) amplificaría la señal a su entrada, en un entorno de fIF, y filtraría en función del tipo de modulación de amplitud. Es de notar que este bloque es el que da la mayor parte de la ganancia y la selectividad del sistema. Por último, el demodulador recuperaría la señal de información original m(t).
El esquema simplificado del receptor de amplitud para el análisis de ruido es el siguiente:
Inicialmente la señal modulada s(t) se sumaría con ω(t), que es ruido blanco, aditivo, gaussiano (AWGN), de media cero, y densidad espectral de potencia: Sω(f)=No/2. Después pasaría por un filtro paso banda equivalente, cuya respuesta es h(t), que representa las secciones de RF e IF en cascada del modelo funcional. En el caso de modulaciones AM y DSB-SC, su respuesta normalizada en frecuencia se muestra en la Figura 3, donde: fc = fIF (frecuencia portadora a la salida del mezclador), y BT es el ancho de banda de la señal transmitida.
Sea x(t) la señal a la salida del filtro h(t), la cual se podrá descomponer en dos términos: uno referente a la señal modulada [s(t)], y otro relacionado con el ruido de banda limitada o paso banda [n(t)]. En el caso de este último, su densidad espectral de potencia vendrá dada por:
( )⎪⎩
⎪⎨⎧
0
+≤≤−=resto
BffBfNfS
Tc
Tc
N,
22,
20
O con su representación gráfica:
BPF equivalente
h(t)
Demodulador s(t)
ω(t)
Σ +
+
y(t) x(t)
Figura 2. Modelo de receptor de amplitud para análisis de ruido.
|H(f)|1
BT
f fc -fc
Figura 3. Respuesta normalizada del filtro paso banda equivalente para AM y DSB-SC.
Tema 4: Ruido en modulaciones analógicas Teoría de la Comunicación
4
Supondremos que este ruido paso banda n(t), será un ruido de banda estrecha, ya
que se cumplirá: fc >> BT.
El último bloque del modelo de receptor AM para análisis de ruido sería un demodulador, el cual obtendría la señal de información de salida y(t).
4.2.2.- Análisis de ruido para detección coherente con modulación DSB-SC.
En el caso de que la modulación empleada en el transmisor fuera DSB-SC, en el lado del receptor tendríamos el siguiente modelo simplificado para analizar el efecto del ruido:
Para simplificar el estudio, vamos a tomar las siguientes consideraciones:
• Supondremos que la señal del oscilador local tiene amplitud unitaria (normalizada).
• Además supondremos que existe sincronismo, es decir, que la señal generada por el oscilador local en el receptor está sincronizada en fase y en frecuencia con la portadora transmitida.
A continuación, vamos a ir definiendo las potencias promedio en cada bloque,
para poder calcular los parámetros definidos en el primer apartado.
Así, a la entrada del sistema tendremos la señal modulada, s(t), de la forma:
( ) ( ) ( )tmtfAts cc ⋅⋅⋅⋅⋅= π2cos
SN(f)No/2
BT
f fc -fc
Figura 4. Densidad espectral de potencia de ruido a la salida del filtro paso banda equivalente.
BPF equivalente
h(t)
LPF s(t)
ω(t)
Σ +
+
y(t) x(t)
Modulador producto
Oscilador local
v(t)
Figura 5. Modelo de receptor DSB-SC, con detección coherente, para análisis de ruido.
Tema 4: Ruido en modulaciones analógicas Teoría de la Comunicación
5
Vamos a considerar a la señal moduladora, m(t), como una función muestra de un proceso estacionario, de media cero, densidad espectral de potencia SM(f), y ancho de banda w.
El área bajo esta curva será la potencia promedio (P), y nos será útil a la hora de calcular los parámetros definidos en la introducción del tema.
( )∫− ⋅=w
w M dffSP
Además, vamos a asumir que la señal portadora es estadísticamente
independiente de la señal moduladora. Para indicar esto, se incluye en la portadora una fase aleatoria (θ), con distribución uniforme entre 0 y 2π radianes:
( ) ( ) ( )tmtfAts cc ⋅+⋅⋅⋅⋅= θπ2cos
Si hallamos la densidad espectral de potencia de s(t) (ver problema 18 del primer tema), obtendríamos:
( ) ( ) ( )[ ]cMcMc
s ffSffSA
fS ++−⋅=4
2
Observando la figura, se deduce que el ancho de banda de s(t) es BT=2w, y su
potencia promedio 2
2 PAc ⋅
Respecto al ruido, w(t), AWGN, de media nula, y densidad espectral de potencia No/2, distinguiremos dos situaciones. La primera para su valor de potencia promedio en
SM(f)
f-w w
Área: ( )∫− ⋅=w
w M dffSP
Figura 6. Densidad espectral de potencia de la señal moduladora m(t).
SS(f)
f fc -fc fc+w fc-w -fc+w -fc-w
Área: PAc ⋅4
2
Área: P
Ac ⋅4
2
Figura 7. Densidad espectral de potencia de la señal modulada s(t).
Tema 4: Ruido en modulaciones analógicas Teoría de la Comunicación
6
el ancho de banda de la señal de información m(t), y la segunda ese mismo valor, pero en el ancho de banda de la señal modulada s(t).
Con estos valores, ya podemos calcular las siguientes relaciones señal a ruido:
• o
c
o
c
SCDSBc NwPA
Nw
PA
SNR⋅⋅⋅
=⋅
⋅=− 2
22
2
,
• o
c
o
c
SCDSBi NwPA
Nw
PA
SNR⋅⋅⋅
=⋅⋅
⋅=− 42
22
2
,
Para calcular la relación señal a ruido a la salida, tendremos que deducir la señal
a la salida del receptor. Así en primer lugar, calculamos la señal x(t) a la salida del filtro paso banda equivalente:
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )tfsentntftntmtfAtntstx cscccc πππ 22cos2cos ⋅−⋅+⋅⋅=+=
A la salida del modulador producto, y teniendo en cuenta las siguientes
relaciones trigonométricas:
( ) ( )[ ]bababa −++⋅=⋅ coscos21coscos
( ) ( )[ ]basenbasenbsena −++⋅=⋅21cos
Obtenemos:
No/2
f fc -fc fc+w fc-w -fc+w -fc-w
Área: oo NwNw ⋅⋅=⋅⋅ 2
24
No/2
f
Área: oo NwNw ⋅=⋅⋅
22
w-w
Figura 8. Densidad espectral de ruido en el ancho de banda de la señal de información m(t).
Figura 9. Densidad espectral de ruido en el ancho de banda de la señal modulada s(t).
Tema 4: Ruido en modulaciones analógicas Teoría de la Comunicación
7
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )[ ] ( ) ( ) ( )tfsentntftntmAtntmAtftxtv cscccccc πππ 4214cos
21
21
212cos ⋅⋅−⋅+⋅⋅+⋅+⋅⋅=⋅=
Por último, aplicamos el filtrado paso bajo, para eliminar las componentes a alta
frecuencia (2fc):
( ) ( ) ( )tntmAty cc ⋅+⋅⋅=21
21
Esta fórmula nos indica que la señal moduladora m(t) y la componente en fase
del ruido nc(t), se suman a la salida; mientras el detector coherente rechaza la componente en cuadratura del ruido ns(t).
Una vez que deducimos a la salida la componente de señal y la componente de
ruido, vamos a estimar la potencia media de cada una, para hallar la relación señal a ruido a la salida:
• Señal de información a la salida: ( )tmAc ⋅⋅21 , con una potencia promedio
asociada de PAc ⋅4
2
, siendo P la potencia promedio de m(t).
• Ruido a la salida: ( )tnc⋅21 . En el primer tema vimos la relación entre la
densidad espectral de ruido y sus componentes en fase y en cuadratura para banda estrecha.
( ) ( ) ( ) ( ) ,,c s
N c N cN N
S f f S f f w f wS f S f
resto− + + − ≤ ≤⎧
= = ⎨ 0⎩
No/2
f fc -fc fc+w fc-w-fc+w -fc-w
SN(f)
f w-w
SNc(f)= SNs(f)No
Figura 10. Densidad espectral de ruido en el ancho de banda de la señal modulada, y de sus componentes en fase y cuadratura.
Tema 4: Ruido en modulaciones analógicas Teoría de la Comunicación
8
Así la potencia promedio de ruido a la salida, será: 2
221 2
oo
NwNw
⋅=⋅⋅⋅⎟
⎠⎞
⎜⎝⎛
Recopilando ideas, los parámetros que nos quedan por calcular, serán:
• o
c
o
c
SCDSBo NwPA
Nw
PA
SNR⋅⋅⋅
=⋅
⋅=− 2
2
42
2
,
• 1,
, ==−
−
SCDSBc
SCDSBo
SNRSNR
FOM
• 2,
, =−
−
SCDSBi
SCDSBo
SNRSNR
4.2.3.- Análisis de ruido para detección de envolvente en AM.
Ahora vamos a particularizar el modelo de análisis de ruido general para el caso de una modulación AM, donde el módulo de demodulación del receptor será un detector de envolvente. En este caso, sustituimos el bloque demodulador del esquema estudiado por un detector de envolvente.
La señal modulada en AM estará formada por dos bandas laterales y una portadora:
( ) ( )[ ] ( )tftmkAts cac π2cos1 ⋅⋅+⋅= Siendo ka la sensibilidad en amplitud, que es una constante que determina el
porcentaje de modulación. Analizando esta expresión, obtenemos la potencia promedio
de la portadora (2
2cA
), y de las bandas laterales ( PkA ac ⋅⋅2
22
), siendo P la potencia
promedio de la señal de información m(t). Sumando estos valores se calcularía la
potencia promedio de la señal: ( )PkA
ac ⋅+⋅ 22
12
El siguiente paso consiste en calcular la potencia de ruido, que en el ancho de banda de la señal moduladora m(t) será wNo,; y en el ancho de banda de la señal modulada s(t) es 2wNo.
BPF equivalente
h(t)
Detector de envolvente Señal AM
ω(t)
Σ +
+
y(t) x(t)
Figura 11. Esquema de análisis de ruido para una detección de envolvente en AM.
Tema 4: Ruido en modulaciones analógicas Teoría de la Comunicación
9
Con estos valores vamos a poder definir la relación señal a ruido en el canal, y a la entrada del receptor:
• ( ) ( )
o
ac
o
ac
AMc NwPkA
Nw
PkA
SNR⋅⋅
⋅+⋅=
⋅
⋅+⋅=
211
222
22
,
• ( ) ( )
o
ac
o
ac
AMi NwPkA
Nw
PkA
SNR⋅⋅
⋅+⋅=
⋅⋅
⋅+⋅=
41
2
12
222
2
,
En el caso de la relación señal a ruido a la salida, al igual que pasaba con DSB-
SC con detección coherente, debemos deducir la señal de salida del receptor. La señal a la salida del filtro paso banda equivalente:
( ) ( ) ( ) ( )[ ] ( ) ( ) ( ) ( ) ( )( ) ( )[ ] ( ) ( ) ( )tfsentntftntmkAA
tfsentntftntftmkAtntstx
csccacc
cscccac
πππππ
22cos22cos2cos1
⋅−⋅+⋅⋅+==⋅−⋅+⋅⋅+⋅=+=
Si hacemos la representación fasorial de esta señal, donde tomamos como
referencia la componente de la señal:
De esta forma, a la salida del detector de envolvente:
( ) ( ) ( )[ ] ( )tntntmkAAty scacc22 ++⋅⋅+=
Esta expresión es bastante compleja, por lo que vamos a simplificarla para poder extraer conclusiones. En principio, vamos a suponer que la potencia de la señal es mucho mayor que la potencia de ruido (CNR >> 1), por lo que vamos a aproximar:
( ) ( ) ( )tntmkAAty cacc +⋅⋅+≈ El primer término Ac es una componente de continua, generada por el proceso de demodulación de la portadora transmitida. Esta componente continua no tiene relación directa con la señal de interés. El segundo término ( )tmkA ac ⋅⋅ es la parte de señal que llega a la salida, y su potencia promedio será entonces: PkA ac ⋅⋅ 22 . El último término nc(t) es la componente de ruido, y su potencia media es 2wNo, ya que tendremos:
Ac+Ac.ka.m(t) nc(t)
ns(t)RESULTANTE
Figura 12. Representación fasorial de la señal AM con ruido aditivo a la salida del filtro paso banda equivalente.
Tema 4: Ruido en modulaciones analógicas Teoría de la Comunicación
10
( ) ( ) ( ) ( ) ,,c s
N c N cN N
S f f S f f w f wS f S f
resto− + + − ≤ ≤⎧
= = ⎨ 0⎩
Por tanto, ya podremos calcular el resto de parámetros que nos faltaban:
• o
acAMo Nw
PkASNR
⋅⋅⋅⋅
≈2
22
,
• ( )PkPk
SNRSNR
FOMa
a
AMc
AMoAM ⋅+
⋅== 2
2
,
,
1
• ( )PkPk
SNRSNR
a
a
AMi
AMo
⋅+⋅⋅
= 2
2
,
,
12
En relación a la SNRo,AM deducida, tenemos que destacar que será válida si y
sólo si el ruido en el receptor es pequeño comparado con la señal (CNR>>1), y si ka se ajusta para que el porcentaje de modulación sea menor o igual que 100% (así no habría sobremodulación).
Al comparar con las expresiones que se obtenían para el caso de DSB-SC, ahora se ve que la FOMAM será siempre menor que la unidad.
Ejercicio: Deducir la FOMAM cuando la señal de información es un tono
simple y calcular su valor para el máximo porcentaje de modulación.
Comparar con la FOMDSB-SC. (Solución 2
2
2 μμ+
=AMFOM )
A continuación, vamos a ver qué pasa cuando la relación portadora a ruido (CNR) es pequeña en comparación con la unidad, ya que en ese caso el ruido será predominante. En esta situación se va a dar el denominado efecto umbral, que como veremos cambiará totalmente el análisis y el funcionamiento del receptor. Vamos a cambiar la representación del ruido, ahora emplearemos su envolvente y su fase.
( ) ( ) ( )[ ]ttftrtn c ψπ +⋅= 2cos
A la salida del filtro paso banda equivalente, tendremos la contribución del ruido y de la señal modulada, filtrados:
( ) ( ) ( ) ( )[ ] ( ) ( ) ( )[ ]ttftrtftmkAtntsty ccac ψππ +⋅+⋅⋅+⋅=+= 2cos2cos1 Si dibujamos el diagrama de fase para la entrada al detector, donde utilizamos como referencia el ruido, obtenemos la siguiente figura. En ella se puede ver cómo el ruido es dominante. Al fasor n(t) le añadimos el fasor con módulo ( )[ ]tmkA ac ⋅+⋅ 1 y ángulo ψ(t).
Tema 4: Ruido en modulaciones analógicas Teoría de la Comunicación
11
Dado que la amplitud del ruido es mayor que la de la señal modulada, vamos a poder aproximar y(t) por el fasor proyectado en el eje de la referencia.
( ) ( ) ( )[ ] ( ) ( )[ ]ttmkAtAtrty acc ψψ coscos ⋅⋅⋅+⋅+≈ Analizando la expresión podemos ver cómo cuando la CNR es baja, a la salida del detector no hay ningún término directamente proporcional a m(t). Aparece m(t) multiplicado por cos[ψ(t)], y como el ruido de banda estrecha tiene una fase uniformemente distribuida entre 0 y 2π. Por tanto, hay una pérdida total de información. Esta situación se denomina efecto umbral, entendiéndose por umbral al valor de la CNR, por debajo del cual el funcionamiento del detector frente al ruido se deteriora mucho más rápido que en proporción a la CNR. Para concluir, simplemente tres ideas:
• Cualquier detector no lineal tiene efecto umbral, a diferencia del detector coherente.
• En AM con detector de envolvente con un valor de CNR > 6.6 dB podemos asegurar que se está fuera de la zona umbral.
• Por tanto, el efecto umbral no suele ser muy importante en recepción AM con detector de envolvente, ya que sólo se precisa de ese nivel de CNR > 6.6 dB para asegurar que estamos fuera de la zona umbral.
4.3.- Ruido en modulaciones de frecuencia.
4.3.1.- Modelo funcional de receptores FM.
Los receptores FM se denominan heterodinos. En primer lugar vamos a ver el esquema funcional para un receptor FM.
r(t)
Ac.[1+ka.m(t)]
Ψ(t)RESULTANTE
Figura 13. Diagrama fasorial a la entrada al detector de envolvente.
Figura 14. Modelo funcional para un receptor FM.
Señal FM +
Ruido
LPF
Sección de radiofrecuencia
(RF)
Mezclador
Sección de frecuencia
intermedia (IF)
Limitador
Oscilador local
Señal a la salida
Discriminador
Tema 4: Ruido en modulaciones analógicas Teoría de la Comunicación
12
La señal captada por las antenas se amplificaría y filtraría en la sección de radiofrecuencia (RF). A continuación, con el mezclador controlado por el oscilador local, se traslada la señal a frecuencia intermedia (IF), siendo su salida amplificada y filtrada a fIF en la sección de frecuencia intermedia. El limitador elimina la variación de envolvente, recortando la entrada al mismo, y filtrando la señal cuadrada resultante mediante un filtro paso banda, que la suaviza eliminando los armónicos de la frecuencia portadora. El siguiente bloque sería un discriminador que, como se vio en el tema anterior, consta de un circuito pendiente (genera una modulación híbrida de amplitud y frecuencia), seguido de un detector de envolvente (extrae la modulación de amplitud de la señal modulada híbrida, donde está contenida la señal moduladora). Por último, se aplica un filtro paso bajo o filtro de post-detección, que elimina el ruido fuera del ancho de banda de la señal de información original m(t). Para realizar el análisis de ruido vamos a simplificar el esquema anterior, dando lugar al siguiente diagrama de bloques: A la señal modulada FM, trasladada en frecuencia a fc y con ancho de banda BT, se le añade el ruido ω(t), que será AWGN, de media nula y densidad espectral de
potencia: ( )2
oNfS =ω . A continuación, la señal suma se filtra con el filtro paso banda
equivalente, que representa una cascada de secciones de RF e IF, las cuales permiten pasar la señal FM sin distorsión. Su respuesta ideal se ilustra a continuación. Tras el filtrado tenemos ruido de banda estrecha, ya que fc >> BT, y entonces la señal a la salida del filtro paso banda equivalente queda:
( ) ( ) ( )tntstx += El siguiente paso consiste en aplicar a esta señal el limitador y el discriminador, para su resultado pasarlo por el filtro de post-detección. Este último, consideraremos que es un filtro paso bajo ideal, con ancho de banda w. Su respuesta normalizada en frecuencia se muestra en la siguiente figura:
BPF equivalente
hIF(t)
LPF s(t)
ω(t)
Σ+
+
y(t) x(t)
Limitador
Discriminador v(t)
Figura 15. Modelo de receptor FM para análisis de ruido, con ruido aditivo.
|HIF(f)|1
BT
f fc-fc
Figura 16. Respuesta en frecuencia del filtro paso banda equivalente.
Tema 4: Ruido en modulaciones analógicas Teoría de la Comunicación
13
4.3.2.- SNR y FOM en receptores FM. En primer lugar vamos a realizar un análisis de ruido en estos receptores suponiendo que la potencia de señal es mucho mayor que la potencia de ruido (CNR >> 1). Así, a la salida del filtro IF tenemos ruido de banda estrecha, por lo que lo podremos representar de la forma:
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )[ ]ttftrtfsentntftntn ccscc ψπππ +⋅=⋅−⋅= 2cos22cos
* ( ) ( ) ( )tntntr sc22 += → Distribución Rayleigh
* ( ) ( )( )⎥⎦⎤
⎢⎣
⎡= −
tntn
tagtc
s1ψ → Distribución uniforme entre 0 y 2π
La señal FM:
( ) ( ) ( )[ ]ttfAdftmktfAts cc
t
fcc φπππ +⋅=⎥⎦⎤
⎢⎣⎡ ⋅+⋅= ∫ 2cos22cos
0
Sumando los dos términos (señal y ruido), a la salida del filtro IF equivalente
obtendríamos:
( ) ( ) ( ) ( )[ ] ( ) ( )[ ]ttftrttfAtntstx ccc ψπφπ +⋅++⋅=+= 2cos2cos La representación fasorial de esta expresión, donde se toma como referencia la componente de señal s(t):
( ) ( ) ( ) ( ) ( )[ ]( ) ( ) ( )[ ]⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡−⋅+
−⋅+= −
tttrAttsentrtagtt
c φψφψφθ
cos1
Figura 17. Respuesta normalizada en frecuencia del filtro de post-detección.
r(t)
ψ(t) – φ(t)
RESULTANTE
θ(t)φ(t)
Figura 18. Diagrama fasorial a la salida del filtro IF equivalente.
1
f-w w
|HPD(f)|
Tema 4: Ruido en modulaciones analógicas Teoría de la Comunicación
14
A diferencia que en las modulaciones en amplitud, ya no interesa la envolvente de x(t), pues sus variaciones son eliminadas por el limitador. Lo que interesa conocer es la fase θ(t), donde va la señal de información. Vamos a asumir que el discriminador es ideal, de esta manera a su salida se obtendrá:
( ) ( )dt
tdtv θπ⋅=
21
La expresión de θ(t) es compleja por lo que la simplificaremos para poder extraer conclusiones. Supondremos que la CNR >> 1, a la entrada del discriminador; y denominamos por R a la variable aleatoria obtenida observando el proceso envolvente, cuya función muestra es r(t). La mayor parte del tiempo R << Ac, por lo que podremos aproximar la fase como:
( )[ ] ( ) ( ) 0,1 →≈− tsitttag θθθ ⇓
( ) ( ) ( ) ( ) ( )[ ]ttsenAtrttc
φψφθ −⋅+≈
A la salida del discriminador:
( ) ( ) ( ) ( )tntmkdt
tdtv df +⋅≈⋅=θ
π21
Siendo ( ) ( ) ( ) ( )[ ]{ }ttsentrdtd
Atn
cd φψ
π−⋅⋅=
21
Si CNR >> 1, la salida será la señal moduladora multiplicada por kf, y una componente aditiva de ruido nd(t). Vamos a simplificar la componente ruidosa nd(t). Para ello, partimos de que ψ(t) sigue una distribución uniforme entre 0 y 2π.
• Asumiremos entonces que ψ(t)-φ(t) seguirá también una distribución uniforme entre 0 y 2π.
• Además el ruido nd(t) va a ser independiente de la señal moduladora, y dependiente de las características de la portadora y del ruido de banda estrecha.
( ) ( ) ( )[ ]{ }tsentrdtd
Atn
cd ψ
π⋅⋅≈
21
Como: ( ) ( ) ( ) ( ) ( )bsenasenbaba ⋅−⋅=+ coscoscos , entonces el ruido queda:
( ) ( ) ( )[ ] ( ) ( )[ ] ( ) ( ) ( )[ ] ( )tfsentsentrtfttrttftrtn ccc πψπψψπ 22coscos2cos ⋅⋅−⋅⋅=+⋅=
* ( ) ( ) ( )[ ]ttrtnc ψcos⋅= ⇒ Componente en fase del ruido * ( ) ( ) ( )[ ]tsentrtns ψ⋅= ⇒ Componente en cuadratura del ruido
Tema 4: Ruido en modulaciones analógicas Teoría de la Comunicación
15
Identificando términos: ( ) ( )dt
tdnA
tn s
cd ⋅≈
π21 , nd(t) depende de la amplitud de la
portadora (Ac), y de la componente en cuadratura del ruido de banda estrecha. Respecto la componente de señal ( )tmk f ⋅ , la potencia promedio de señal a la salida tras el discriminador será Pk f ⋅ . El filtro paso bajo que hay a continuación no le afectará. En cuanto a la potencia promedio de ruido a la salida, la componente de ruido a
la salida del discriminador era ( ) ( )dt
tdnA
tn s
cd ⋅≈
π21 , lo cual es equivalente al siguiente
esquema:
Siendo la transformada de Fourier de la respuesta del filtro:
( )cc A
fjfjA
fH ⋅=⋅= ππ
22
1
Y por tanto, la densidad espectral de potencia:
( ) ( )fSAffS Ns
cNd ⋅= 2
2
Si a la entrada del receptor tenemos ruido AWGN, de media cero, y densidad
espectral de potencia ( )2
oNfS =ω , y si el filtro IF equivalente tiene características
ideales, a su salida la densidad espectral de ruido será: Y su componente en cuadratura quedará:
No/2
f fc+BT/2 fc-BT/2 -fc+BT/2 -fc-BT/2
SN(f)
h(t) ns(t) nd(t)
Figura 19. Representación equivalente de la componente de ruido nd(t).
Figura 20. Densidad espectral de ruido a la salida del filtro IF equivalente.
BT
Tema 4: Ruido en modulaciones analógicas Teoría de la Comunicación
16
Propagando esta componente a la salida del discriminador, obtenemos la densidad espectral de nd(t).
( )⎪⎩
⎪⎨⎧
<⋅
=resto
BfA
fNtS
T
c
o
Nd
,02
,2
2
El siguiente bloque después del discriminador será el filtro paso bajo, con ancho de banda w, que lo que hace es recortar el ancho de banda de la densidad espectral de ruido SNd(f), ya que en los sistemas FM: w << BT/2. Así la densidad espectral de ruido a la salida no(t), quedará:
( )⎪⎩
⎪⎨⎧
<⋅
=resto
wfA
fNtS
c
o
No
,0
,2
2
Figura 23. Densidad espectral de ruido a la salida.
f BT/2-BT/2
SNs(f)
No
f w
SNo(f)
-w
Figura 21. Densidad espectral de la componente en cuadratura de ruido, a la salida del filtro IF equivalente.
f BT/2-BT/2
SNd(f)
Figura 22. Densidad espectral de ruido a la salida del discriminador.
Tema 4: Ruido en modulaciones analógicas Teoría de la Comunicación
17
Por tanto, la potencia promedio de ruido a la salida será el área bajo SNo(f):
∫− ⋅⋅⋅
=⋅⋅=w
wc
o
c
oNo A
Nwdff
AN
P 2
32
2 32
De esta expresión, podemos decir que si aumentamos la potencia de la portadora
2
2cA
, el ruido a la salida disminuye.
Una vez que ya tenemos las potencias de señal y de ruido en las diferentes partes
del sistema, podemos deducir las expresiones de las relaciones señal a ruido.
• o
fc
c
o
fFMo Nw
PkA
ANw
PkSNR
⋅⋅
⋅⋅⋅=
⋅⋅⋅
⋅= 3
22
2
3
2
, 23
32
• o
c
o
c
FMc NwA
Nw
A
SNR⋅⋅
=⋅
=2
22
2
,
• oT
c
oT
c
FMi NBA
NB
A
SNR⋅⋅
=⋅
=2
22
2
,
• 3
2
23
22
,
, 322
3w
PBkA
NBNw
PkASNRSNR Tf
c
oT
o
fc
FMi
FMo ⋅⋅⋅=
⋅⋅⋅
⋅⋅
⋅⋅⋅=
• 2
2
,
, 3w
PkSNRSNR
FOM f
FMc
FMo ⋅⋅==
En el tema 2 vimos que: Δf=kf.Amáx ⇒ Δf es proporcional a kf
• wfD Δ
= ⇒ FOM es proporcional a D2
• En FM de banda ancha: BT es proporcional a D
Como conclusión podemos decir que cuando la CNR >> 1, un incremento en el ancho de banda de transmisión (BT), da lugar a un incremento cuadrático en la SNRo o en el valor de FOM. Por tanto, en FM existe un mecanismo para intercambiar ancho de banda por una mejora frente al ruido.
Ejercicio: Deducir la FOMFM cuando la señal de información es un tono
simple. (Solución: 2
3 2β⋅=FMFOM )
Tema 4: Ruido en modulaciones analógicas Teoría de la Comunicación
18
4.3.3.-Efecto umbral en FM. La fórmula de la SNRo,FM es válida si la CNR >> 1 a la entrada del discriminador. Experimentalmente, conforme aumenta el ruido, la CNR disminuye, y el receptor FM deja de funcionar. Primero aparecen impulsos ruidosos y si la CNR decrece más, aparece un mayor número de impulsos ruidosos hasta tener finalmente una señal ruidosa. De esta manera, se define el efecto umbral como el mínimo valor de la CNR, que da lugar a una SNRo no muy diferente del valor predicho mediante la SNRo,FM, suponiendo bajo ruido.
Vamos a realizar un análisis cualitativo de este efecto, para lo cual supondremos que no existe modulación. Es decir, sólo tenemos portadora y ruido. Así, a la entrada del discriminador tendremos:
( ) ( ) ( )[ ] ( ) ( ) ( )tfsentntftnAtntfAtx csccccc πππ 22cos)(2cos ⋅−⋅+=+= La representación fasorial de esta fórmula se ilustra a continuación.
nc(t) y ns(t) son señales aleatorias, por lo que el punto P varía también de manera aleatoria alrededor del punto Q. Si la CNR tiene un valor elevado, es decir, nc(t) y ns(t) son la mayor parte del tiempo mucho menores que Ac, entonces:
• La mayor parte del tiempo la variación de P será muy cercana a Q.
• Además: ( ) ( )c
s
Atn
t ≈θ , dentro de un múltiplo de 2π radianes.
En caso de que la CNR sea pequeña, el punto P pasará ocasionalmente alrededor
del punto O. Así, θ(t) aumenta o decrece 2π radianes.
Ac nc(t)
ns(t)RESULTANTE r(t)
P
QO
θ(t)
Figura 24. Representación fasorial del efecto umbral en FM.
Tema 4: Ruido en modulaciones analógicas Teoría de la Comunicación
19
Figura 25. Componentes impulsivas en θ’(t)=d θ(t)/dt, producidas por cambios de 2π en θ(t); (a) y
(b) son los gráficos de θ(t) y θ’(t), respectivamente.
Cuando el número de impulsos ruidosos es apreciable, estamos en el umbral. Experimentalmente se demuestra que apenas hay impulsos ruidosos para una CNR ≥ 13 dB (o 20 en unidades naturales), es decir, que estaríamos fuera de la zona umbral. Por lo tanto, a la salida del discriminador no perdemos señal si:
202
2
≥⋅⋅
=oT
c
NBA
CNR ⇒ oTc NB
A⋅⋅≥ 20
2
2
Esto se puede ver en la siguiente figura.
Tema 4: Ruido en modulaciones analógicas Teoría de la Comunicación
20
Figura 26. Dependencia de la SNRo frente a la CNR. En la curva I, se calcula la potencia promedio
de ruido asumiendo una portadora sin modular. En la curva II, la potencia media de ruido a la salida se calcula asumiendo una señal FM modulada por un tono simple.
Tema 4: Ruido en modulaciones analógicas Teoría de la Comunicación
21
4.3.4.- Redes de pre-énfasis y de-énfasis. El ruido a la salida del detector FM tiene una dependencia cuadrática con la frecuencia, tal y como se ha deducido. En cuanto a la densidad espectral de potencia típica de una señal de audio o vídeo. Se puede ver como la densidad espectral de potencia cae apreciablemente a altas frecuencias. Por otra parte, la densidad espectral de potencia del ruido de salida SNo(f) crece rápidamente con la frecuencia. Cerca de ±w la potencia de ruido es elevada y la de señal es baja. Por tanto, no se está utilizando la banda de señal de forma eficiente frente al ruido. Una idea es reducir el ancho de banda del filtro de post-detección. Así se elimina la mayor cantidad posible de ruido, perdiendo a cambio una potencia pequeña de señal. Sin embargo, es una solución no satisfactoria porque la distorsión de la señal debido a la reducción del ancho de banda, aunque sea pequeña, no es tolerable. Otra solución más satisfactoria es utilizar una red de pre-énfasis en el transmisor, y otra de de-énfasis en el receptor.
• Red de pre-énfasis. a. Enfatiza artificialmente las componentes a frecuencias elevadas de la
señal, antes de la modulación y antes de que se introduzca ruido en el receptor.
b. El efecto que consigue es ecualizar la señal de información, de forma que la potencia se reparta por igual en toda la banda permitida.
• Red de de-énfasis. a. Se vuelve a repartir la potencia como estaba originalmente en la señal
original.
fw
SNo(f)
-w
Figura 27. Ruido a la salida del detector FM.
w
SM(f)
-wf
Figura 28. Densidad espectral de potencia típica de una señal de audio o vídeo.
Tema 4: Ruido en modulaciones analógicas Teoría de la Comunicación
22
b. La potencia de ruido a altas frecuencias, a la salida del discriminador, se reduce considerablemente. Así se incrementa la SNRo.
Las redes de pre-énfasis y de de-énfasis se utilizan de forma generalizada en
transmisores y receptores de FM. En el siguiente diagrama de bloques se puede ver su disposición. La señal de salida no tendrá distorsión, si los filtros de pre-énfasis y de de-énfasis son inversos:
( ) ( ) wfwfH
fHpe
de ≤≤−= ,1
Así, la densidad espectral de potencia de la señal detectada es
independientemente de estos procesos.
Deducción del factor de mejora con las redes de pre-énfasis y de-énfasis:
El factor de mejora en la SNRo viene dado por la siguiente expresión:
énfasisdeyénfasispreconsalidaderuidodemediaPotenciaénfasisdeyénfasispresalidaderuidodemediaPotencia
SNRSNR
IénfasisideyénfasispreO
énfasisideyénfasispreconO
−−−−
==−−
−− sin
sin
La densidad espectral de potencia de ruido sin pre-énfasis y de-énfasis ya se ha
deducido anteriormente, cuyo valor era 2
3
32
c
o
AwN
⋅⋅⋅
.
Por otro lado, también hemos deducido la densidad espectral de potencia de
ruido antes del filtro de post-detección para una CNR >> 1:
( )⎪⎩
⎪⎨⎧
≤⋅
=resto
BfA
fNfS
T
c
o
Nd
,02
,2
2
Por tanto, la densidad espectral de potencia de ruido a la salida del filtro de de-
énfasis será: ( ) ( )fSfH Ndde ⋅2
Como el filtro de post-detección tiene un ancho de banda w << BT/2, la potencia promedio de ruido a la salida con una red de de-énfasis será:
Filtro de pre-énfasis
Hpe(f)
Filtro de de-énfasis
Hde(f) m(t)
ω(t)
Σ+
+
Señal +
Ruido
Transmisor FM
Receptor FM
Figura 29. Esquema de comunicación usando redes de pre-énfasis y de de-énfasis.
Tema 4: Ruido en modulaciones analógicas Teoría de la Comunicación
23
( )∫− ⋅⋅⋅w
w dec
o dffHfAN 22
2
De esta forma, la mejora en la SNRo quedaría:
( )∫− ⋅⋅⋅
⋅= w
w de dffHf
wI22
3
3
2
A modo de ejemplo, para la FM comercial: fo=2.1 KHz., w=15 KHz, y las redes típicas de pre-énfasis y de-énfasis, el factor de mejora en la SNRo es de I=22 (13 dB).
4.4.- Resumen. En este apartado vamos a comparar diferentes esquemas estudiados, para lo cual vamos a suponer:
• La señal moduladora es sinusoidal. • Todos los sistemas aportan el mismo valor de SNRc. • Hay que tener en cuenta el ancho de banda de cada sistema, por lo que
definiremos un ancho de banda normalizado:
wBB T
n =
Siendo BT el ancho de banda de s(t), y w el ancho de banda de m(t).
En la siguiente figura se muestra una comparación para diferentes esquemas de modulación:
I. AM con detección de envolvente.
co SNRSNR ⋅+
= 2
2
2 μμ , siendo μ el porcentaje de modulación.
- En la curva I: μ=1, y hay efecto umbral AM - Como se transmiten dos bandas: Bn=2.
II. DSB-SC y SSB con detección coherente.
co SNRSNR = - En la curva II se puede ver como estos esquemas son superiores a AM en 4.8 dB, y no existe el efecto umbral. - Ahora los anchos de banda serían: Bn,DSB-SC=2, y: Bn,SSB=1.
III. FM con discriminador.
co SNRSNR ⋅⋅= 2
23 β , siendo β el índice de modulación.
Tema 4: Ruido en modulaciones analógicas Teoría de la Comunicación
24
• En la curva III: β=2 con efecto umbral. Se produce una mejora de 20.8 dB al comparar con SSB. Siendo el ancho de banda normalizado, según la regla del 1%: Bn=8.
• En la curva IV: β=5, con efecto umbral. Se produce una mejora de 8 dB, respecto a FM con: β=2. En cuanto al ancho de banda normalizado, según la regla del 1%, será: Bn=16.
• En ambas curvas se incluye una mejora de 13 dB, con las redes de pre-énfasis y de de-énfasis. Así se produce una mejora clara de FM de banda ancha, respecto a AM. El precio a pagar sería un aumento del ancho de banda de transmisión (mecanismo en FM de intercambiar ancho de banda frente a SNR).
Figura 30. Comparación de la mejora de la SNR de varios sistemas de modulación analógicos.
Curva I: AM, con μ=1. Curva II: DSB-SC y SSB. Curva III: FM, con β=2. Curva IV: FM, con β=5. (Las curvas III y IV incluyen una mejora de 13 dB por las redes de pre-énfasis y de-énfasis).
Tema 4: Ruido en modulaciones analógicas Teoría de la Comunicación
25
4.5.- Bibliografía. [1] Simon Haykin, Communications Systems, Ed. John Wiley & Sons, 4rd
edition, 2001. [2] Marcos Faúndez Zanuy, Sistemas de Comunicaciones,. Ed. Marcombo
Boixareu, 2001. [3] John G. Proakis, Digital Communications, Ed. McGraw Hill, 3ª edición,
1995.
TEORÍA DE LA COMUNICACIÓN
CUESTIONES TEMA 4
RUIDO EN MODULACIONES ANALÓGICAS
1.- ¿Cómo se define (SNR)o, (SNR)c, CNR, (SNR)i y FOM?
2.- Modelo funcional de un receptor de modulación de amplitud para el análisis del ruido.
3.- Si el ruido es AWGN con media cero y densidad espectral de potencia N0/2 a la entrada del receptor, ¿cómo es el ruido a la salida del filtro paso banda equivalente?
4.- Deducir el valor de FOM y (SNR)o/(SNR)i para DSBSC con detección coherente
5.- Deducir el valor de FOM para AM con detector de envolvente cuando el valor de CNR es elevado. ¿Cuál es el valor máximo en el caso de que la señal moduladora sea sinusoidal?
6.- ¿Qué se entiende por el efecto umbral en AM?. Aproximadamente, ¿para qué valor de CNR el receptor está por encima del umbral?. ¿Es necesario tener en cuenta el efecto umbral en AM?
7.- Modelo de un receptor de FM con discriminador. ¿Por qué se introduce el limitador?. ¿Cuál es la función del filtro de postdetección?
8.- Modelo de un receptor de FM para el análisis del ruido.
9.- Si el valor de CNR es elevado, deducir la expresión del término de ruido presente en la señal a la salida del discriminador. ¿Depende de la componente en fase del ruido a la salida del filtro de frecuencia intermedia?. ¿Cuál es la densidad espectral de potencia de este ruido y cuál es la del ruido a la salida del filtro de postdetección?
10.- Deducir el valor de FOM para el caso FM. En el caso de que la señal moduladora sea sinusoidal, ¿cuál es entonces el valor de FOM?
11.- ¿Qué se entiende por efecto umbral en FM?.
12.- Comparar la curva real de (SNR)o en función del valor de CNR, ρ, con la expresión calculada para CNR elevado. ¿Cuál es el valor de ρ para el que el sistema está trabajando fuera del alcance del efecto umbral?.
13.- ¿Por qué surge la necesidad de redes de pre-énfasis y de-énfasis?
14.- ¿Cuál es el diagrama de un sistema FM que utiliza redes de pre-énfasis y de-énfasis?. ¿Cuál es la relación entre las funciones de transferencia de ambas redes?
15.- ¿Cómo se define el factor de mejora debido a las redes de pre-énfasis y de-énfasis I?. Deducir su expresión en función del ancho de banda de la señal moduladora W y de Hde(f) función de transferencia del filtro de de-énfasis. ¿Cuál es un valor típico para el factor de mejora I?
16.- Dibujar y comparar las curvas de (SNR)o en función (SNR)c para AM, DSBSC y FM. Para estos tipos de modulación, ¿cuál es el valor de Bn (ancho de banda de señal modulada normalizado al ancho de banda de señal moduladora)?
TEORÍA DE LA COMUNICACIÓN
PROBLEMAS TEMA 4
RUIDO EN MODULACIONES ANALÓGICAS 1.- Realizar el análisis de ruido para la modulación SSB, donde se transmite la banda lateral inferior, y en el receptor se utiliza una detección coherente. Suponer un ruido aditivo, blanco, gaussiano con media cero y densidad espectal de potencia N0/2, y que la señal moduladora m(t) es una función muestra de un proceso estacionario de media cero y su densidad espectral de potencia tiene un ancho de banda W. Deducir la SNRc, SNRi, SNRo, y FOM. 2.- En un receptor que utiliza detección coherente, la señal sinusoidal generada por el oscilador local tiene un error de fase θ(t) con respecto a la portadora cos(2πfct). Supóngase que θ(t) es una función muestra de un proceso gaussiano de media cero y varianza σ 2
Θ , y que la mayor parte del tiempo el valor máximo de θ(t) es pequeño comparado con la unidad. Encontrar el error cuadrático medio de la salida del receptor para: a) modulación DSBSC b) modulación SSB donde se transmite la banda lateral superior El error cuadrático medio está definido como el valor esperado del cuadrado de la diferencia entre la salida del receptor y la componente moduladora de la salida del receptor. 3.- El siguiente diagrama de bloques muestra un sistema de modulación SSB con una señal piloto que está armónicamente relacionada con la portadora:
+
Divisor de frecuencia
Detector coherente
Fltro de predetección
Filtro paso banda piloto
Portadora fuente
Multiplicador de frecuencia
Modulador SSB
CanalSeñal de entrada
Señal de salida
Ruido blanco gaussiano
Señal piloto
Portadora local
+ + + ∑ ∑
En el receptor se utiliza un filtro paso banda de ancho Δf para extraer la señal piloto de la señal recibida ruidosa. A continuación se divide en frecuencia dicha señal piloto para obtener la portadora local para demodulación. Se incluye un filtro de predetección para limitar el espectro a la entrada del detector coherente a la mínima banda posible de frecuencias. El ruido blanco aditivo a la entrada del receptor tiene media cero y densidad espectral de potencia N0/2. Suponiendo que la SNR es grande, determinar la varianza del error de fase de la portadora local aplicada al detector coherente. 4.- Una señal modulada SSB se transmite por un canal ruidoso, cuya densidad espectral de potencia es:
SN(f)(W/Hz)
10-6
-400 4000 f (KHz)
El ancho de banda de la señal moduladora es 4 KHz y la frecuencia portadora es 200 KHz. Suponiendo que únicamente se transmite la banda lateral superior, que la amplitud de la portadora es 1 vol., y que la potencia media de la señal moduladora es de 10 W, determinar la SNR a la salida del receptor suponiendo que el filtro de predetección es ideal. 5.- Considerar un sistema modulador de fase (PM), que tiene la siguiente señal modulada:
s(t) = Ac cos [2πfct + kpm(t)]
donde kp es una constante y m(t) es la señal moduladora. El sistema tiene ruido aditivo a la entrada del detector de fase:
n(t) = nc(t)cos(2πfct) - ns(t)sin(2πfct)
Suponiendo que el valor de CNR es elevado comparado con la unidad a la entrada del detector, determinar: a) el valor de SNR a la salida b) el valor de FOM del sistema Comparar los resultados con los obtenidos para el caso FM con modulación sinusoidal.
6.- La señal de entrada de un receptor FM consiste en una portadora sin modular acompañada de una señal sinusoidal interferente. El nivel de la señal interferente está 20 dB por debajo del nivel de la señal portadora, siendo la separación entre ambas señales de 15 KHz. Suponiendo que el receptor utilice un discriminador ideal de frecuencias con sensibilidad de 0.2 V/KHz, determinar la tensión de salida del receptor. 7.- Suponer que el espectro de la señal moduladora ocupa el intervalo de frecuencias
21 fff ≤≤ . Para acomodar esta señal, el receptor de un sistema FM (sin pre-énfasis y de-énfasis) utiliza un filtro paso banda ideal de postdetección conectado a la salida del discriminador de frecuencia; el filtro deja pasar la banda de señales comprendidas en el intervalo de la señal moduladora, es decir, 21 fff ≤≤ . Determinar el valor de SNR a la salida y FOM del sistema en presencia de ruido aditivo, blanco, gaussiano, de media cero y densidad espectral de potencia N0/2. Suponer que el valor de CNR es elevado comparado con la unidad. 8.- Un sistema FDM utiliza modulación SSB para combinar 12 señales de voz de fuentes independientes. Luego utiliza modulación en frecuencia para transmitir la señal banda base compuesta. Cada señal de voz tiene una potencia media P y ocupa la banda de frecuencias de 300 a 3400 Hz; el sistema FDM considera que el ancho de banda es de 4 KHz. Para cada señal de voz, sólo se transmite la banda lateral inferior. Las subportadoras utilizadas para el primer nivel de modulación son (f0=4 KHz.):
ck(t) = Ak cos(2πkf0t) para 1 ≤ k ≤ 12
La señal recibida está formada por la señal FM transmitida sumada a ruido blanco gaussiano de media cero y de densidad espectral de potencia N0/2. a) Dibujar la densidad espectral de potencia de la señal a la salida del discriminador de frecuencias, mostrando por un lado la componente de señal y por otro la componente de ruido. Suponer CNR elevado comparado con la unidad. b) Encontrar el valor de las amplitudes de las subportadoras Ak de modo que las señales de voz demoduladas tengan igual valor de SNR. 9.- Sea el filtro de pre-énfasis mostrado en la siguiente figura:
R
r
C
Amplificador
Señal desalida
Señal deentrada
donde R << r y 2πfCR << 1 en la banda de interés. El parámetro de este filtro es f0=1/(2πCr), siendo su función de transferencia:
0pe f
jf+1 = f)(H
Si dicho filtro se utiliza con señales moduladoras de voz, el transmisor FM da lugar a una señal que es esencialmente modulada en frecuencia por las bajas frecuencias de la señal de voz y modulada en fase por las altas frecuencias de la señal de voz. Explicar las razones de este fenómeno. 10.- Suponer que las funciones de transferencia para el par de filtros de pre-énfasis y de-énfasis de un sistema FM se escalan como sigue:
⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛
0pe f
jf+1k = f)(H
⎟⎟⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜⎜⎜
⎝
⎛
0
de
fjf+1
1k1 = f)(H
El factor de escala k se elige de modo que la potencia media de la señal moduladora enfatizada sea la misma que la potencia media de m(t). a) Encontrar el valor de k que satisface este requisito cuando la densidad espectral de potencia de la señal moduladora m(t) sea:
⎪⎪⎩
⎪⎪⎨
⎧ ≤≤
⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛
restoel para 0
W f W- para
ff+1
S
= f)(S2
0
0
M
b) ¿Cuál es el valor I correspondiente a la mejora de prestaciones en la SNR gracias a la utilización de este par de filtros de pre-énfasis y de-énfasis? Comparar este resultado con el obtenido sin factor de escala. 11.- Un sistema de modulación de fase (PM) utiliza un par de filtros de pre-énfasis y de-énfasis definidos por las funciones de transferencia:
0pe f
jf+1 = f)(H
0
de
fjf+1
1 = f)(H
Mostrar que la mejora de prestaciones en la SNR0 debido a la utilización de estos filtros es:
⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛
0
1-
0
fWtan
fW
=I
Evaluar esta mejora cuando W = 15 KHz y f0 = 2.1 KHz y compáralo con el valor correspondiente para el caso FM. Suponer que el valor de CNR es elevado comparado con la unidad.
1
TEORÍA DE LA COMUNICACIÓN
SOLUCIONES DE LOS PROBLEMAS TEMA 4
RUIDO EN MODULACIONES ANALÓGICAS 1.
a) 0
2
,,, 4 NPASNRSNRSNR c
SSBoSSBiSSBc ⋅⋅⋅
===ω
1=SSBFOM 2. Para. ( ) ( ) ( ) ( ) ( )tfsentmAtftmAts cccc ππ 22cos 21 ⋅⋅−⋅⋅=
( ) ( )[ ] ( )[ ][ ]{ } ( )[ ] ( )[ ][ ]44
cos14
222
2
222
1
2Ncc tsenEtmEAtEtmEAt σ
θθε +⋅⋅+−⋅⋅=
a) En el caso de la modulación DSB-SC.
( ) ( )tmtm =1 ; ( ) 02 =tm ; ( )[ ]tmEP 21=
4163 242
Nc PA σσε +
⋅⋅⋅≈ Θ
b) Para la modulación SSB.
( ) ( )tmtm ⋅=21
1 ; ( ) ( )tmtm ˆ21
2 = ; ( )[ ] ( )[ ]tmEtmEP 22
21 44 ⋅=⋅=
416
222Nc PA σσ
ε +⋅⋅
≈ Θ
3. 2'202
cAnNf⋅⋅∆
=φσ
4. 21031.6 ⋅≈oSNR ⇒ ( ) dBdBSNRo 28≈
5.
a) 0
22
, 2 NPAk
SNR cpPMo ⋅⋅
⋅⋅=
ω
b) PkFOM pPM ⋅= 2 En el caso de una modulación sinusoidal:
• FM: 2
23 β⋅=FMFOM
• PM: 2
2p
PMFOMβ
=
6. ( ) ( )ttv ⋅⋅⋅⋅⋅= 30 10152cos3.0 π (Volt.)
2
7. ( )31
320
22
23
ffNPkA
SNR fco −⋅⋅
⋅⋅⋅=
( )
31
32
1223
ffffPk
FOM f
−
−⋅⋅⋅=
8. a) Densidad espectral de potencia de la señal banda base.
Densidad espectral de potencia de la componente de señal a la salida del discriminador, para frecuencias positivas (f > 0).
Densidad espectral de potencia de la componente de ruido a la salida del discriminador, para frecuencias positivas (f > 0).
b) 133 2 +⋅−⋅⋅= kkAAk , 12,2,1 K=k , A: constante
9. A bajas frecuencias: ( ) FMrRfH ⇒≈
A altas frecuencias: ( ) ( ) ( )PM
dttdv
CRtvCRfjfH io ⇒⋅⋅≈⇒⋅⋅⋅⋅⋅≈ π2
10.
a)
⋅= −
0
10
ftag
fk ω
ω
b) Con factor de escala:
−⋅
⋅
=−
−
0
1
0
0
12
0
3'
ftag
f
ftag
fI
ωω
ωω
3
Sin factor de escala:
−⋅
=−
0
1
0
3
0
3f
tagf
fI
ωω
ω
11. Es una demostración.
=
−
0
1
0
ftag
fI PM ω
ω
⇒ dBI PM 7≈
−⋅
=−
0
1
0
3
0
3f
tagf
fI FM
ωω
ω
⇒ dBI FM 13≈
UNIVERSIDAD DE VALLADOLID
E.T.S. INGENIEROS DE TELECOMUNICACIÓN
TEORÍA DE LA COMUNICACIÓN
Tema 5: Modulación Analógica y Digital de Pulsos
1
TEMA V. Modulación analógica y digital de pulsos
Teoría de la Comunicación - Curso 2010-2011
5.1.-Teorema de muestreo5.2.-Modulación de pulsos en amplitud (PAM)5.3.-Modulación de pulsos en el tiempo (PDM y PPM)5.4.-Modulación digital de pulsos (PCM)5.5.-Códigos de línea
IntroducciónHasta ahora hemos visto como una señal analógica varía de forma continua un parámetro de una portadora sinusoidal
Tema V: Modulación Analógica y Digital de Pulsos
(amplitud, fase y frecuencia)En este tema vamos a considerar un tren de pulsos que se ve modificado por las características de la señal moduladora (señal de información)Hay 2 tipos:
Modulación analógica de pulsos. Se modifica algún parámetro del tren de pulsos (amplitud, posición, duración)M d l ió di it l d l L ñ l t iti di tiModulación digital de pulsos. La señal a transmitir se discretiza en tiempo y amplitud
Se envía una secuencia de pulsos codificadosLos dos tipos de modulaciones utilizan muestras de la señal a transmitir
Teorema de muestreo
2
5.1.- Teorema de muestreo
El proceso de muestreo consiste en obtener t di t d ñ l ti ti
Tema V: Modulación Analógica y Digital de Pulsos
muestras discretas de una señal continua en tiempoPartimos de la señal de energía finita: g(t)Suponemos que muestreamos g(t) a una tasa uniforme cada TS segundosObtenemos una secuencia de números espaciados TSsegundos: { } enteroValornnTg S :][g { }
muestreodeFrecuenciaT
f
muestreodePeriodoTenteroValornnTg
SS
S
S
:1:
:][
=
E l d
Tema V: Modulación Analógica y Digital de Pulsos
5.1.- Teorema de muestreo
Este proceso lo podemos ver como:
( )tg
t( )tgδ
t
( ) ( ) ( ) ( ) ( )∑+∞
−∞=
−⋅=⋅=n
SST nTtnTgttgtgS
δδδ
( ) ( )∑+∞
−∞=
−=n
ST nTttS
δδ
×( )tg
Es de notar la dualidad:Señal periódica
en tiempo
Muestras en tiempo (tren de deltas en tiempo)
Tren de deltas en frecuencia (muestras de la TF de un
período de la señal)
Señal periódica en frecuencia⇔
⇔
3
5.1.- Teorema de muestreo
Una cuestión importante consiste en ver si a partir
Tema V: Modulación Analógica y Digital de Pulsos
Una cuestión importante consiste en ver si a partir de las muestras [gδ(t)] vamos a poder recuperar la señal original [g(t)]
Dependerá de la banda de frecuencia de la señal y de la tasa de muestreoVamos a analizar la señal en el dominio de la frecuenciaPartimos de la señal muestreada: gδ(t)=g(t) ⋅δTS(t), y hallamos su transformada de Fourier
Hallamos la T.F. del tren de deltas
Tema V: Modulación Analógica y Digital de Pulsos
5.1.- Teorema de muestreo
La T.F. de la señal muestreada
( ) ( ) ( ) ∑∑+∞
−∞=
+∞
−∞=⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛−=⇔−=
n SST
nST T
nfT
fnTttSS
δδδδ 1
( ) ( )+∞
⎟⎞
⎜⎛ n1
(Señal periódica)
( ) ( ) ∑−∞=
⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛−∗=
n SS Tnf
TfGfG δδ
1
( ) ( )∑∑+∞
−∞=
+∞
−∞=
−=⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛−=
nSS
n SS
nffGfTnfG
TfG 1
δ
(Repetición periódica del espectro de la señal original)
4
Tema V: Modulación Analógica y Digital de Pulsos
5.1.- Teorema de muestreo
A
|G(f) |
fw-w 0
A⋅fS
|Gδ(f) |
......
El proceso de muestreo uniforme de una señal en el dominio del tiempo da lugar a un espectro periódico en el dominio de la frecuencia, con periodo igual a la frecuencia de muestreo
fw-w 0-fS fS
También puede obtenerse la T.F. de gδ(t) de forma directa, a partir d t
Tema V: Modulación Analógica y Digital de Pulsos
5.1.- Teorema de muestreo
de sus muestras
Agrupando las ideas anteriores se puede concluir que sia) G(f) = 0, para | f | ≥ wb) fS ≥ 2w (fS = 2w: frecuencia de Nyquist)
( ) ( ) ( ) ( ) ( )∑∑+∞
−∞=
−+∞
−∞=
=⇔−⋅=n
fnTjS
nSS
SenTgfGnTtnTgtg πδδ δ 2
) fS (fS yq )Entonces: G(f) = (1/fS) ⋅ Gδ(f), para | f | ≤ w
Donde Gδ(f) es función exclusiva de g(nTS), es decir, de muestras de la señal original
5
5.1.- Teorema de muestreo
Teorema de muestreo
Tema V: Modulación Analógica y Digital de Pulsos
Una señal limitada en banda, de energía finita, que no tiene componentes en frecuencia mayores de w (Hz), está completamente descrita especificando los valores de la señal en instantes de tiempo separados 1/(2w) seg.Una señal limitada en banda, de energía finita, sin componentes en frecuencia mayores de w (Hz), puede co po e tes e ecue c a ayo es de w ( ), puedeser recuperada totalmente a partir de muestras tomadas a una tasa de 2w muestras por segundos
Reconstrucción de la señal
Tema V: Modulación Analógica y Digital de Pulsos
5.1.- Teorema de muestreo
( ) ( ) ( )∫∫+
−
∞+
∞−===
w
w
ftj
S
ftj dfefGf
dfefGtg 1 22 πδ
π
( ) ( )⎪⎭
⎪⎬⎫
⎪⎩
⎪⎨⎧
=
= ∑+∞
−∞=
−
wf
enTgfG
S
n
fnTjS
S
2
2πδ
( ) ( )∑∑
∑ ∫∫ ∑∞+
−∞=
∞+
−∞=
∞+
−∞=
+
−
⎟⎠⎞
⎜⎝⎛ −+
−
−∞+
−∞=
−⎟⎠⎞
⎜⎝⎛=
−−
⎟⎠⎞
⎜⎝⎛=
=⎟⎠⎞
⎜⎝⎛=⎟
⎠⎞
⎜⎝⎛=
nn
n
w
w
wntfjw
w
ftjwnfj
n
nwtwng
nwtnwtsen
wng
dfeww
ngdfeewng
w
2sinc22
22
21
2221 2
22
ππππ
ππ
π
6
Ecuación de interpolación
Tema V: Modulación Analógica y Digital de Pulsos
5.1.- Teorema de muestreo
Ecuación de interpolaciónSirve para reconstruir la señal original a partir de las
muestras de {g(n/2w)}, usando como funciones de interpolación sinc(2wt)
( ) ( )∑+∞
−∞=
−⎟⎠⎞
⎜⎝⎛=
n
nwtcwngtg 2sin
2 ⎠⎝n
Si f 2 d l i ( l ) l
Tema V: Modulación Analógica y Digital de Pulsos
5.1.- Teorema de muestreo
Si fS < 2w, se produce solapamiento (aliasing) espectralLas réplicas desplazadas en frecuencia se solapan
f
|Gδ(f) |
0
......
Para combatir el efecto del solapamientoAntes de muestrear se utiliza un filtro paso bajo anti-aliasingMuestrear la señal filtrada por encima de la frecuencia de Nyquist
fw-w 0-fS fS-2fS 2fS
7
5.2.- Modulación de pulsos en amplitud
En la modulación de pulsos en amplitud (PAM) se varía la
Tema V: Modulación Analógica y Digital de Pulsos
En la modulación de pulsos en amplitud (PAM) se varía la amplitud de unos pulsos esquiespaciados, en función de los valores muestreados de la señal continua de información, m(t) ( )tm
t
( )ts
t
Para generar las señales PAM intervienen dos procesosMuestrear la señal m(t) cada TS (TS = 1/fS) segundos, de manera que fS verifique el teorema de muestreoMantener la duración de cada pulso un tiempo T0
SAMPLE&
HOLD⇐
0T ST
5.2.- Modulación de pulsos en amplitud
En el proceso sample & hold intervienen las siguientes
Tema V: Modulación Analógica y Digital de Pulsos
En el proceso sample & hold intervienen las siguientes señales:
m(t): Señal que contiene la informaciónh(t): Pulso base
( ) ( ) ( ) 0000
0
sin
,0
,0,21
0,1fTjeTfcTfH
resto
Ttt
Tt
th π−⋅⋅⋅=⇔⎪⎩
⎪⎨
⎧
==
<<
=( )th
tT
p(t): Onda pulsada
Así podemos escribir la señal PAM:
,⎩
( ) ( ) ( )∑+∞
−∞=
−⋅=n
SS nTthnTmts
0T
( )tp
t0T ST
8
5.2.- Modulación de pulsos en amplitud
O d
Tema V: Modulación Analógica y Digital de Pulsos
Operando:
En el dominio de la frecuencia:
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )∑∑+∞
−∞=
+∞
−∞=
−⋅∗=−⋅∗=n
SSn
S nTtnTmthnTttmthts δδ
( ) ( ) ( )tmthts δ∗=Versión muestreada de m(t) ⇒ mδ(t)
( ) ( ) ( )fMfHfS δ⋅= ( ) ( )∑+∞
−∞=
−=k
SS kffMffMδ
( ) ( ) ∑+∞
−∞=⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛−⋅=
k SS T
kfMffHfS
Como:
Obtenemos:
5.2.- Modulación de pulsos en amplitud
U l t d ó l ñ l d l d
Tema V: Modulación Analógica y Digital de Pulsos
Una vez planteado cómo es la señal modulada s(t), vamos a ver cómo recuperar la señal de información m(t):
1) Interpolar la señal pulsada s(t)2) Muestrear la señal pulsada e interpolar3) Promediar la señal pulsada muestrear e interpolar3) Promediar la señal pulsada, muestrear e interpolar
9
5.2.- Modulación de pulsos en amplitud
1) Interpolar la señal modulada s(t)S (t) tá li it d b d t ±
Tema V: Modulación Analógica y Digital de Pulsos
Suponemos que m(t) está limitada en banda entre ± w y que muestreamos a una frecuencia fS ≥ 2wTenemos una versión distorsionada del espectro de m(t), ya que aparece distorsión debido a H(f)
( ) ( ) ( ) wffMfHffS S ≤⋅⋅= ,
|H(f) |
f1/T0-1/T0
( ) ( ) 000 sin fTjefTcTfH π−⋅⋅=
Si T0 << TS (1/T0 >> 1/TS), prácticamente no hay distorsiónPráctica: T0 = TS/10
00
|Mδ(f) |
2fS-2fS 1/T0-1/T0
......f1/TS-1/TS w-w
|H(f) | |M(f) |
5.2.- Modulación de pulsos en amplitud
2) Muestrear la señal pulsada e interpolar
Tema V: Modulación Analógica y Digital de Pulsos
2) Muestrear la señal pulsada e interpolarEliminamos la distorsión debida a H(f)
Habría problemas si la señal recibida está contaminada con ruido (suponemos ruido de media nula)
( )ts
t......
( p )Tenemos varios valores que muestrear: mi(nT0)+ni
Posible solución: promediar esos valores
( )ts
t......
10
5.2.- Modulación de pulsos en amplitud
3) Promediar, muestrear e interpolar
Tema V: Modulación Analógica y Digital de Pulsos
Promediando
El integrador es análogo a convolucionar con un filtro de respuesta al impulso rectangular, de anchura T0
( ) ( ) ( )[ ] ( ) ( )∫∫∫ +=+=000 000
111TST ST
dttnT
nTmdttnnTmT
dttsT
La varianza del ruido a la salida es menor que a la entrada del integrador
( )th1/T0
El filtro que utilizamos es proporcional a los pulsos que empleamos para transmitir la señal
Filtro adaptado. Se emplea un filtro que coincide con los pulsos de la señal que se envía (se estudia en el tema 6)
tT0
1/T0
5.2.- Modulación de pulsos en amplitud
Esta tercera posibilidad contiene a las dos anteriores
Tema V: Modulación Analógica y Digital de Pulsos
Esta tercera posibilidad contiene a las dos anteriores, añadiendo un filtrado inicial de la señal para minimizar el ruido
Filtro de promediado
Muestreok ⋅TS
s(t ) Interpolador ( )tm
11
5.2.- Modulación de pulsos en amplitud
Utilid d d l t d t i t
Tema V: Modulación Analógica y Digital de Pulsos
Utilidad de lo comentado anteriormente:1) Multiplexación por división en el tiempo (TDM)
Muestreamos cada TS, pero transportamos información únicamente durante T0 segundosEl resto del tiempo se puede transmitir otras señales: m1(t), m2(t), …
m1(t)
T0 TSt
0
t
m1(t)
m2(t)
…
5.2.- Modulación de pulsos en amplitud
2) Justificación del uso de arquitecturas digitales
Tema V: Modulación Analógica y Digital de Pulsos
2) Justificación del uso de arquitecturas digitalesLa señal llega contaminada con ruido
Si tuviéramos un conjunto finito de amplitudes que enviar: A1, A2, …, An, las muestras sólo podrán tomar esos valores
( ) ( )[ ]∫ +00
1T S dttnnTm
T ⇒ Cuando promediamos disminuimos el ruido, pero no lo eliminamos
m(nTS)
1, 2, , n, p
( )
( )( )
( )
( )tnA
tnA
tnAtnA
nTm n
n
S ˆ2
1
+=
⎪⎪⎭
⎪⎪⎬
⎫
⎪⎪⎩
⎪⎪⎨
⎧
+
++
=M
⇒ Si el ruido es suficientemente pequeño, se puede decidir correctamente qué símbolo An se ha transmitido, eliminando totalmente el ruido
12
H i t
Tema V: Modulación Analógica y Digital de Pulsos
5.3.- Modulación de pulsos en el tiempo (PDM y PPM)
Hemos visto:PAM (Modulación por amplitud de pulsos)
La amplitud de los pulsos se varía en función de los valores muestreados de la señal de información m(t)
Pero también podemos tener:PDM (Modulación por duración de pulsos)( p p )
La duración de los pulsos se varía en función de los valores muestreados de la señal de información m(t)
PPM (Modulación por posición de pulsos)La posición de los pulsos se varía dependiendo de los valores muestreados de m(t)
P d i
Tema V: Modulación Analógica y Digital de Pulsos
5.3.- Modulación de pulsos en el tiempo (PDM y PPM)
Podemos variar:PAM
Ti = 0; T0 = constante; A = A[m(nTS)]
PDMTi = constante; T0 = T0[m(nTS)]; A = constanteModulamos la anchura de los pulsos
t
T0
0 Ti TS
A
También se denomina modulación de anchura de pulsos o modulación de longitud de pulsos
PPMTi = Ti[m(nTS)]; T0 = constante; A = constanteModulamos el punto de inicio del pulso, es decir, su fase
13
L d l i PDM PPM ti j
Tema V: Modulación Analógica y Digital de Pulsos
5.3.- Modulación de pulsos en el tiempo (PDM y PPM)
Las modulaciones PDM y PPM tienen mejor comportamiento frente al ruido que la PAM
El ruido se superpone en amplitudSin embargo, con niveles elevados de ruido podemos perder toda la información
Ef t b lEfecto umbral
Si en un sistema de comunicación enviamos una señal de
Tema V: Modulación Analógica y Digital de Pulsos
5.4.- Modulación digital de pulsos (PCM)
Si en un sistema de comunicación enviamos una señal de variación continua, el ruido hará imposible la recuperación perfecta del mensajeSi enviamos una sucesión de estados discretos, el detector tendrá que decidir qué estado de los posibles se ha enviado
Si las perturbaciones son tales que no confunden al decisor, la información se recupera de forma perfectaInconveniente: la discretización de la información es un proceso pinherentemente ruidoso
PCM (Pulse Code Modulation)Procesos para su generación
Muestreo: discretizamos la señal en tiempoCuantificación: discretizamos la señal en amplitudCodificación: asignamos un código a cada muestra
14
Tema V: Modulación Analógica y Digital de Pulsos
5.4.- Modulación digital de pulsos (PCM)
CuantificaciónEs el proceso por el cual se transforman valores continuos de amplitud, muestreados en tiempo m(nTS), en un conjunto finito y discreto de amplitudes
Asumiremos cuantificación sin memoria: la salida en un instante depende de la entrada en ese instante
Q(x)x(t) ( )tx ⇒ Tenemos Nposibles valores
Una posible función de transferencia
Tema V: Modulación Analógica y Digital de Pulsos
5.4.- Modulación digital de pulsos (PCM)
( )
( )x 1x 2x 3
y2
y1
y3⇒ Tenemos 8 posibles salidas o niveles de cuantificación
( )tx
x-max=x-4
ymax=y4
x(t)x1 x2 x3
x-1x-2x-3
y-1
y-2
y-3
max 4
x4=xmax
y-4=y-max
15
Al tifi l ñ l di t i
Tema V: Modulación Analógica y Digital de Pulsos
5.4.- Modulación digital de pulsos (PCM)
Al cuantificar la señal se distorsionaRangos continuos transformados en un único valorLa degradación es controlable, se puede hacer que sea inapreciable (CD de audio)Trataremos que la ventaja de poder eliminar el ruido en la transmisión sea superior al inconveniente de degradar p gla señal de información
Parámetros relevantes en la cuantificación
Tema V: Modulación Analógica y Digital de Pulsos
5.4.- Modulación digital de pulsos (PCM)
Parámetros relevantes en la cuantificaciónMargen dinámico
Rango de valores de entrada del cuantificador: [xmax - (-xmax)] = 2xmax
Niveles de cuantificación (L)Número de niveles en que cuantificamos: L = 2n (n: número de bits)
Escalón de cuantificación ([xi, xi+1])Ancho de cada intervalo de cuantificación
2Si todos son iguales tenemos un “cuantificador uniforme”:
Posición de los niveles de cuantificación (yi)Valor por el que se cuantificaNormalmente se asigna el punto medio del intervalo que se cuantifica
Lxmax2
=Δ
16
Error en la cuantificación uniforme:
Tema V: Modulación Analógica y Digital de Pulsos
5.4.- Modulación digital de pulsos (PCM)
ˆx xxe ˆ−=x
x⇒En el margen dinámico del cuantificador los errores están acotados
xΔ/2
-Δ/2
e⇓ Error
Error de saturación
Error granularError de saturación
… …
⇒Fuera del margen dinámico los errores crecen sin límite
Tipos de error
Tema V: Modulación Analógica y Digital de Pulsos
5.4.- Modulación digital de pulsos (PCM)
Tipos de errorError granular:
Está acotado entre -Δ/2 y Δ/2Aparece cuando la señal está en el margen dinámico del cuantificador
Error de saturación:No tiene límiteAparece al introducir valores fuera del rangoNo lo consideraremos, ya que supondremos que las señales estarán ajustadas al rango dinámico del cuantificador
17
P t i d
Tema V: Modulación Analógica y Digital de Pulsos
5.4.- Modulación digital de pulsos (PCM)
Potencia de error
( ) ( ) ( ) +−== ∫∫−
∞− −
∞+
∞−
max 2max
22 x
xe dxxfyxdeefee
2
2
ex
PP
dorcuantificadelruidodePotenciaseñalPotenciaSNR
rc
x ===
E d t ió
( ) ( ) ( ) ( )∑ ∫∫∞+
−+−+ +
kx x
x
x xk dxxfyxdxxfyxk
k max
1 2max
2
Error de saturación
Error de saturación
Error granular
Ruido granular
Tema V: Modulación Analógica y Digital de Pulsos
5.4.- Modulación digital de pulsos (PCM)
Ruido granularSuponemos que la señal se reparte de manera más o menos homogénea por todos los niveles de cuantificación
El error granular se comporta como una variable uniforme entre ±Δ/2
Función densidad de probabilidad: ( )⎪⎩
⎪⎨⎧ Δ
≤≤Δ
−Δ=
resto
eefe,0
22,1
Consideramos la media nula y la potencia de error queda:
{ } ( )12
1 22222 2
2
2
2
Δ=
Δ=== ∫∫
Δ
Δ
Δ
Δ −−deedeefeeE eeσ
18
Ejemplo: señal aleatoria a la entrada
Tema V: Modulación Analógica y Digital de Pulsos
5.4.- Modulación digital de pulsos (PCM)
( ) ( )ϑωϑ +txx cosEjemplo: señal aleatoria a la entrada
También suele expresarse la SNR en función de n: L=2n
( )2
22max
2max
2
2max
2
2
23
1242
122
12L
Lxxxdxxfx
PPSNR x
rc
x ⋅=⋅⋅
=Δ
=Δ
== ∫+∞
∞−
( ) ( )ϑωϑ +⋅= txx 0max cos
2
2maxx
Px =Lxmax2
=Δ ⇒ Cuantificador uniforme con L niveles
También suele expresarse la SNR en función de n: L 2122 23
23 −⋅=⋅= nLSNR
( ) ( ) ( )( )dBn
ndBSNR n
⋅+≈≈⋅⋅−+⋅=⋅⋅= −
676.12log10123log1023log10 12
Tema V: Modulación Analógica y Digital de Pulsos
5.4.- Modulación digital de pulsos (PCM)
Cuantificación no-uniformeEn la cuantificación uniforme hemos tomado como hipótesis que la señal se reparte más o menos por igual en todos los niveles de cuantificación
Problema con señales que no se reparten uniformemente
La cuantificación óptima sería aquella que redujese la potencia de ruido para una señal de entrada arbitraria
( ) ( )∑∫+ −=
k
x
x xkk
k
dxxfyxe 1 22
19
E t t i i i i l
Tema V: Modulación Analógica y Digital de Pulsos
5.4.- Modulación digital de pulsos (PCM)
Estrategias para minimizar el errorVariar xk e yk en función de x para minimizar el error
⎪⎪⎩
⎪⎪⎨
⎧
∀=
∂∂
=∂∂
= k
yexe
e
k
k
yx kk
,0
0min 2
2
,
2 ⇒ Esto es bastante complejo
Analizar cómo es la señal (tipo de distribución) y redistribuir la señal para repartirla uniformemente
Técnica de compansiónSistema simple y con prestaciones aceptables
⎩ k
Caso particular para las señales de voz para transmitir por
Tema V: Modulación Analógica y Digital de Pulsos
5.4.- Modulación digital de pulsos (PCM)
Caso particular para las señales de voz para transmitir por telefonía
Los niveles de baja intensidad tienen mayor probabilidadAparecen niveles altos de intensidad con menor probabilidad
GaussianaLaplaciana
Distribución típica de señales de voz para telefonía
20
Mét d d ió
Tema V: Modulación Analógica y Digital de Pulsos
5.4.- Modulación digital de pulsos (PCM)
Método de compansión1) Preprocesar los datos para que se distribuyan de forma
aproximadamente uniforme: C(x)2) Cuantificar uniformemente: Q(x)3) Pos-procesar los datos para devolverlos a su estado
inicial: C-1(x)( )
C(x)Cuantificador
Q(x) C-1(x)…
Transmisor Receptor
Funciones de compansión
Tema V: Modulación Analógica y Digital de Pulsos
5.4.- Modulación digital de pulsos (PCM)
Funciones de compansiónCuantificación no-uniforme
C(x)
ΔC(x)
xmax
Cuantificación uniformeC(x)
ΔC(x)
xmax
⇒ Expansión de los niveles más bajos⇒ ΔC(x) >> Δx
x
Δxxmax
⇒ Todos los niveles se tratan igual⇒ ΔC(x) = Δx
xΔx xmax
21
Efecto conjunto de expandir y cuantificación uniforme:
Tema V: Modulación Analógica y Digital de Pulsos
5.4.- Modulación digital de pulsos (PCM)
Efecto conjunto de expandir y cuantificación uniforme:Aparecen más niveles para los valores bajos de la señal de entrada y menos niveles para los valores más altos
xmax( )tx
⇒Sentido vertical, Lniveles de altura:
Δ = 2⋅xmax/L
⇒Sentido horizontal,
⇒ Por tanto (L↑↑):
x(t)xmax-xmax
-xmax
,cada escalón mide: Δk, k = 1, 2, …, L
( )kdx
xdCΔΔ
≈
A áli i d id tifi ió if
Tema V: Modulación Analógica y Digital de Pulsos
5.4.- Modulación digital de pulsos (PCM)
Análisis de ruido en cuantificación no-uniformeSupondremos que el ruido granular se distribuye uniformemente en cada uno de los intervalos, ya que la señal expandida se distribuye de forma más o menos uniforme por todos los intervalos
⇒ Utilización homogénea de los intervalos de cuantificación
El error para cada intervalo será:
12
22 kke Δ
≈
22
Aglutinando todos los intervalos:
Tema V: Modulación Analógica y Digital de Pulsos
5.4.- Modulación digital de pulsos (PCM)
Aglutinando todos los intervalos:
( ) ( )∑∫∑
⎤⎡
=Δ
=∈⋅Δ
= +1
2
222
1212 k
x
x xk
kk
k dxxfIxPe k
k
( )kdx
xdCΔΔ
≈Probabilidad de caer en un intervalo u otro
( )( ) ( )
( )∫∑∫ −
⎥⎦⎤
⎢⎣⎡
⋅Δ
=⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢
⎣
⎡Δ
= + max
max
1
2
2
1212x
xx
k
x
x x dx
dxxdCxfdxxfdx
xdCk
k
Potencia de ruido para un cuantificador no-uniforme
R l ió ñ l id
Tema V: Modulación Analógica y Digital de Pulsos
5.4.- Modulación digital de pulsos (PCM)
Relación señal a ruidoPara cuantificación uniforme:
Para cuantificación no-uniforme( )
∫Δ max
22 x Pxxf
1212 22
22
Δ==⇒
Δ= x
CU
xCU
PePSNRe
CU
( )( )∫−
⎥⎦⎤
⎢⎣⎡
⋅=max
max2
1x
xx
CUCNU
dx
dxxdCxfSNRSNR
( )( ) ( )
( )∫∫
−
−
⎥⎦⎤
⎢⎣⎡
⋅Δ
=⇒
⎥⎦⎤
⎢⎣⎡
⋅Δ
=max
max
max
max
2
222
1212 x
xx
CNUxx
dx
dxxdCxf
PxSNRdx
dxxdCxfe
CNU
23
G i d ió
Tema V: Modulación Analógica y Digital de Pulsos
5.4.- Modulación digital de pulsos (PCM)
Ganancia de compansiónGanancia en la relación señal a ruido para señales de entrada con amplitud pequeña
( )( )∫−
→
⎥⎦⎤
⎢⎣⎡
=max
max2
0
2 1limx
xxxC
dx
dxdCxfG
Sólo para valores pequeños: x → 0 ⇒ fx(x) ≈ δ(x)⎥⎦⎢⎣ dx
( ) ( ) ( )0max
max
gdxxxgx
x=⋅∫−
δ
( ) ( )0
2
0
2
==
≈⇒⎥⎦⎤
⎢⎣⎡≈
xC
xC dx
xdCGdx
xdCG
Este parámetro se suele expresar en unidades
Tema V: Modulación Analógica y Digital de Pulsos
5.4.- Modulación digital de pulsos (PCM)
Este parámetro se suele expresar en unidades logarítmicas
Da una idea de la ganancia en la relación señal a ruido para señales de entrada con amplitud pequeña
( ) ( )⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡⋅=
=0
log20x
C dxxdCdBG
( )CU
xCCNU SNRGSNR ⋅≈
→0
2
( ) ( )( )
( )dBSNRGdBSNR CUx
CCNU +⋅=→0
log20
24
Di ñ d l f ió d ió C( )
Tema V: Modulación Analógica y Digital de Pulsos
5.4.- Modulación digital de pulsos (PCM)
Diseño de la función de compansión C(x)Objetivo. Queremos independizar la SNRCNU con respecto a la señal de entrada. Es decir, que la SNRCNUsea constante en un rango amplio de la señal de entrada:
( )∫−==
max
max
2x
x x dxxfxPxSNR
La condición equivale a que:
( )( )
( )( )∫∫ −−
⎥⎦⎤
⎢⎣⎡
⋅Δ
=
⎥⎦⎤
⎢⎣⎡
⋅Δ
=max
max
max
max2
2
2
2
1212x
xx
x
xx
CNU
dx
dxxdCxfdx
dxxdCxf
SNR
( ) 22
⎟⎠⎞
⎜⎝⎛=⎥⎦
⎤⎢⎣⎡
xk
dxxdC
Tema V: Modulación Analógica y Digital de Pulsos
5.4.- Modulación digital de pulsos (PCM)
Por tanto, un compansor ideal debería cumplir:
( ) ( )
( ) ( ) ( ) ⎟⎠⎞
⎜⎝⎛⋅=−⇒⋅==
⇒=⇒⎟⎠⎞
⎜⎝⎛=⎥⎦
⎤⎢⎣⎡
∫∫ xxkxCxCxkdx
xkxdC
xk
dxxdC
xk
dxxdC
x
x
x
x
x
xmax
max
22
lnln maxmaxmax
⎞⎛ x
Esto sería teóricamente, en la práctica no se usa pues:
( ) ( ) ⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛⋅+=
maxmax ln
xxkxCxC
( ) −∞→→0
lnx
x
25
Para poder usarlo en la práctica ponemos ciertas
Tema V: Modulación Analógica y Digital de Pulsos
5.4.- Modulación digital de pulsos (PCM)
Para poder usarlo en la práctica, ponemos ciertas restricciones a C(x):1) C(0) = 02)
3) Que C(x) tenga una forma logarítmica posible para que se parezca a la función teórica
( )( ) dinámicorangoelMantenemos
xxCxxC
⇒⎭⎬⎫
−=−=
maxmax
maxmax
p
Funciones prácticas:
Tema V: Modulación Analógica y Digital de Pulsos
5.4.- Modulación digital de pulsos (PCM)
Funciones prácticas:Ley A (estándar europeo)
( )
( )
( )⎪⎪
⎪⎪⎪
⎨
⎧
≤≤⋅⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛ ⋅+
⋅
≤≤⋅+
⋅
=
11ln1
10,ln1
max
max
xxsign
xxA
x
Axx
xsignA
xA
xC
La función es lineal en un tramo y logarítmica en otro. Los tramos vienen determinados por el valor de A.
( )⎪⎪⎩
≤≤⋅+
⋅ 1,ln1 max
max xAxsign
Ax
26
Función de compasión
Tema V: Modulación Analógica y Digital de Pulsos
5.4.- Modulación digital de pulsos (PCM)
Función de compasión
xmaxC(x)
A=1
A=5
A=87.5
x
⇒ Al aumentar A, aumentamos el carácter no lineal
⇒ Valor típico: A = 87.5
xmax-xmax
-xmax
x
Ganancia de compasión
Tema V: Modulación Analógica y Digital de Pulsos
5.4.- Modulación digital de pulsos (PCM)
Ganancia de compasión
Valor típico: A = 87.5
( )A
Adx
xdCGx
C ln10 +==
=
dBGAC 09.24
6.87≈
=
Ganancia de compansión para valores pequeños de la señalCon señales de amplitud grande la compansión no mejora la SNRCU, incluso es peor
27
SNR y SNR para varios valores de L con ley A
Tema V: Modulación Analógica y Digital de Pulsos
5.4.- Modulación digital de pulsos (PCM)
SNRCNU y SNRCU para varios valores de L con ley A
( ) ( )ϑωϑ +⋅= tBx 0sin
Funciones prácticas:
Tema V: Modulación Analógica y Digital de Pulsos
5.4.- Modulación digital de pulsos (PCM)
Funciones prácticas:Ley μ (estándar americano)
( ) ( ) ( )xsignx
x
xxC ⋅+
⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛⋅+
⋅=μ
μ
1ln
1lnmax
max
28
Función de compasión
Tema V: Modulación Analógica y Digital de Pulsos
5.4.- Modulación digital de pulsos (PCM)
Función de compasión
⇒ Al aumentar μ, aumentamos el carácter no lineal
⇒ Valor típico: μ = 255
xmaxC(x)
μ=5
μ=255
xxmax-xmax
-xmax
x
Ganancia de compasión
Tema V: Modulación Analógica y Digital de Pulsos
5.4.- Modulación digital de pulsos (PCM)
Ganancia de compasión
Valor típico: μ = 255
( )μμ+
=1lnCG
dBGC 25.33255
≈=μ
Ganancia de compansión para valores pequeños de la señalCon señales de amplitud grande la compansión no mejora la SNRCU, incluso es peor
29
SNR y SNR para varios valores de L con ley μ
Tema V: Modulación Analógica y Digital de Pulsos
5.4.- Modulación digital de pulsos (PCM)
SNRCNU y SNRCU para varios valores de L con ley μ
( ) ( )ϑωϑ +⋅= tBx 0sin
dBGC 53.31200
≈=μ
Tema V: Modulación Analógica y Digital de Pulsos
5.4.- Modulación digital de pulsos (PCM)
CodificaciónLos niveles cuantificados son susceptibles de ser enviados mediante un código
El número de bits del código (n) será función del número de niveles del cuantificador (L): L = 2n
x
xy3
y4
y2
y1
11
10
01
00
00 → y1
01 → y2
10 → y3
11 → y4
30
Tema V: Modulación Analógica y Digital de Pulsos
5.4.- Modulación digital de pulsos (PCM)
Modulación deltaAlternativa a la cuantificaciónAhora la cuantificación no es independiente entre muestras
Al muestrear más rápido la diferencia entre las muestras es menormenorLa señal diferencia tiene un rango dinámico menor que la señal original ⇒ menos niveles de cuantificación
( ) ( ) ( )[ ]SSS TnxnTxnTe 1−−=
d l ió d l d i l
Tema V: Modulación Analógica y Digital de Pulsos
5.4.- Modulación digital de pulsos (PCM)
Modulación delta con dos niveles
En función de si tenemos un error positivo o negativo subimos o bajamos un escalón Δ
+ Δ → Bit 1- Δ → Bit 0
+ Δ
- Δ
Así transmitimos un bit por muestra, en lugar de n bits
t
+ Δ → Bit 1- Δ → Bit 0
31
P i l d l ió
Tema V: Modulación Analógica y Digital de Pulsos
5.4.- Modulación digital de pulsos (PCM)
Para implementar esta modulaciónTransmisor:
q(x)
+
+x(nTS)e(nTS) eq(nTS)
xq[(n-1)TS] xq[(n-1)TS]
+ Δ → Bit 1- Δ → Bit 0
+
-++
( ) ( ) ( )[ ]SqSS TnxnTxnTe 1−−=
( ) ( )[ ]SSq nTeqnTe =
Retardo TSxq(nTS)
R t
Tema V: Modulación Analógica y Digital de Pulsos
5.4.- Modulación digital de pulsos (PCM)
Receptor:
( ) ( )[ ] ( )
LPF
Retardo TS
+ xq(nTS)
xq[(n-1)TS]
eq(nTS) +
+
Ventajas de la modulación deltaEn la cuantificación n bits tienen significado propioEn la modulación delta 1 bit tiene significado propio
( ) ( )[ ] ( )SSS nTeTnxnTx +−= 1
32
l d l ió d l
Tema V: Modulación Analógica y Digital de Pulsos
5.4.- Modulación digital de pulsos (PCM)
Errores en la modulación deltaError granular:
Propio de toda cuantificación: x(nTS)-xq(nTS) ó e(nTS)-eq(nTS)Error de sobrecarga de pendiente
Con señales de pendientes muy grandes, la modulación delta no puede seguir la variaciónE i li i ió l id d d i ió ( )tdxá Δ
≤Existe una limitación en su velocidad de variación: ( )STdt
tdxmáx ≤
t
5.5.- Códigos de línea
Los niveles de cuantificación se direccionan con un
Tema V: Modulación Analógica y Digital de Pulsos
Los niveles de cuantificación se direccionan con un conjunto de dígitos binariosEsta información binaria (lógica) hay que darle el soporte de una señal física para que se pueda transmitir
Códigos de línea
Estudiaremos varios tiposP l i t í tiPara compararlos se recurre a varias características:
Capacidad de mantenimiento del sincronismoExistencia de una componente continua (espectro a f = 0)Ancho de bandaPotencia de transmisión y probabilidad de error
33
Tipos de códigos de líneaCódigos NRZ (Non Return to Zero)
Tema V: Modulación Analógica y Digital de Pulsos
5.5.- Códigos de línea
Códigos NRZ (Non-Return to Zero)
TS
A“1”
“0”
UNIPOLAR
TS
A“1”
“0”
POLAR
Códigos polares más robustos frente al ruido pero se requiere mayor potencia
-A
Códigos RZ (Return to Zero)
Tema V: Modulación Analógica y Digital de Pulsos
5.5.- Códigos de línea
Códigos RZ (Return to Zero)
A“1”
“0”
UNIPOLARA
“1”
“0”
POLAR
TS/2 TS/2
Ahora el pulso no está activado todo el periodo de muestreo
TS
-A
34
Ventajas de los códigos RZ frente a los NRZ:Los códigos RZ tienen capacidad de sincronismo, ya que
Tema V: Modulación Analógica y Digital de Pulsos
5.5.- Códigos de línea
Los códigos RZ tienen capacidad de sincronismo, ya que mantienen la alineación temporalEn caso de que muchos bits sean iguales, con los códigos NRZ se puede perder el sincronismo
Con los códigos RZ forzamos las transiciones
“1”NRZ RZ
“1” “1” “1” “1” “1” “1” “1”
Inconvenientes de los códigos RZ: mayor ancho de banda
Códigos bipolares
Tema V: Modulación Analógica y Digital de Pulsos
5.5.- Códigos de línea
Códigos bipolaresSímbolo “0”: A = 0 Símbolo “1”: transición de valor ± A
A“1” “1” “0” “1” “0” “1”
No aparece componente continua
TS-A
35
Código Manchester (estándar IEEE 802 3)
Tema V: Modulación Analógica y Digital de Pulsos
5.5.- Códigos de línea
Código Manchester (estándar IEEE 802.3)Símbolo “0”: flanco de bajadaSímbolo “1”: flanco de subida
“1” “0”A A
No aparece componente continua, capacidad de sincronismo
TS
-ATS
-A
Múltiplex PCM de canales telefónicos
Tema V: Modulación Analógica y Digital de Pulsos
5.5.- Códigos de línea
Ejemplo de sistema utilizado en la prácticaRecomendación ITU-T G.732TDM de 30 canales de voz con ley de compasión A y codificados con palabras de 8 bitsCanales vocales muestreados a 8 KHz
Tasa de cada canal de 64 Kbps
Se selecciona una banda de frecuencias entre 300 y 3400 Hz, donde la voz es inteligible
300 3400f (Hz)
36
Se multiplexan los 30 canales formando la siguiente trama de 32 intervalos
Tema V: Modulación Analógica y Digital de Pulsos
5.5.- Códigos de línea
de 32 intervalos
0
8 bits
1 2 15 16 17 31
8 bits
1x 2x 15x 30x16x
Intervalo 0: información de alineación (cuándo empieza y termina la trama)Intervalo 16: información de señalización
Régimen binario total: Rs = 32 ⋅ 64 Kbps = 2048 Kbps
TEORÍA DE LA COMUNICACIÓN
CUESTIONES TEMA 5
MODULACIÓN ANALÓGICA Y DIGITAL DE PULSOS
1.- ¿Qué se entiende por muestreo? ¿Cuál es su expresión en el dominio del tiempo y en el dominio de la frecuencia?
2.- Enunciar el teorema de muestreo.
3.- ¿Qué es interpolar una señal? ¿Cómo se reconstruye la señal original a partir de sus muestras?
4.- ¿Qué se tiene que cumplir para que no haya pérdida de información en las muestras de una señal respecto a la señal original?
5.- ¿Cómo se puede ver en el dominio de la frecuencia la reconstrucción de una señal a partir de sus muestras?
6.- ¿En qué consiste el aliasing y qué dos procesos se pueden hacer para evitarlo?
7.- Deducir la señal PAM en el dominio del tiempo y la frecuencia.
8.- ¿Qué dos procesos intervienen en la generación de la señal PAM?
9.- Explicar las tres posibilidades de detectar la señal de información m(t) a partir de la señal PAM s(t).
10.- ¿En qué consiste la multiplexación por división en el tiempo (TDM)?
11.- Explicar las modulaciones de pulsos en el tiempo: PDM y PPM.
12.- ¿Cómo se comportan las modulaciones PDM y PPM frente al ruido en comparación a la modulación PAM?
13.- ¿En qué consiste el proceso de cuantificación? ¿Qué parámetros caracterizan a un cuantificador?
14.- ¿Qué tipos de errores existen en el proceso de cuantificación?
15.- ¿Por qué son necesarios los cuantificadores no uniformes? ¿En qué consisten y cómo se implementan en la práctica?
16.- Deducir la relación existente entre la SNR para cuantificadores uniformes y cuantificadores no uniformes.
17.- ¿Qué es la ganancia de compansión?
18.- Deducir la expresión que debe cumplir un compansor ideal.
19.- ¿Qué proceso realiza el codificador tras el cuantificador?
20.- Explicar la modulación delta. Indicar las ventajas de esta modulación.
21.- ¿Cómo se implementa en la práctica la modulación delta en transmisión y recepción?. Mostrar los diagramas de bloque.
22.- Explicar los tipos de errores de la modulación delta.
23.- ¿Qué son los códigos de línea?. Citar algunos ejemplos. ¿Cuáles son las características deseables de un código de línea?
24.- Explicar el sistema utilizado en la práctica: multiplex PCM de canales telefónicos (recomendación ITW-T G-732).
TEORÍA DE LA COMUNICACIÓN
PROBLEMAS TEMA 5
MODULACIÓN ANALÓGICA Y DIGITAL DE PULSOS 1.- Las señales: g1(t) = 10⋅cos(100πt), y: g2(t) = 10⋅cos(50πt), se muestrean a una tasa de 75 muestras por segundo. Demostrar que las muestras de ambas señales son iguales, y explicar la causa. 2.- La señal: g1(t) = 10⋅cos(60πt)⋅cos2(160πt), se muestrea a una tasa de 400 muestras por segundo. Determine cuál es el rango de posibles frecuencias de corte para un filtro de reconstrucción ideal. 3.- Sea E la energía de una señal estrictamente limitada en banda, g(t). Mostrar que E puede expresarse en términos de las muestras de g(t), tomadas a la frecuencia de Nyquist, según la expresión:
∑∞+
−∞=⎟⎠⎞
⎜⎝⎛⋅=
n wng
wE
2
221
donde w es el ancho de banda de g(t). 4.- Se crea un múltiplex por división en el tiempo de 24 señales vocales, muestreadas mediante pulsos de anchura 1 μs. El múltiplex incluye un pulso adicional (que se empleará para sincronización de trama) de la misma duración que los anteriores. Considere que la componente de frecuencia más elevada en la señal vocal es de 3.4 KHz
a) Considerando una frecuencia de muestreo de 8 KHz, calcule el espacio entre dos pulsos consecutivos en la señal múltiplex.
b) Repita los cálculos para una frecuencia de muestreo igual a la de Nyquist. 5.- Deducir el espectro de una señal PAM generada por una señal moduladora: m(t) = Am⋅cos(2πfmt), suponiendo un factor de modulación: μ = Ka⋅Am < 1, una frecuencia: fm = 0.25 Hz, un período de muestreo: Ts = 1 s, y una duración para el pulso base: T = 0.45 s. Tener en cuenta que la señal generada se puede representar por la siguiente expresión:
( ) ( )[ ] ( )∑ ⋅−⋅⋅⋅+=n
ssa TntgTnmKts 1
Utilizando un filtro de reconstrucción ideal, dibujar el espectro a la salida del filtro. Compare este resultado con el que se obtendría si el pulso base tuviera una duración prácticamente nula.
6.- La señal: m(t) = 6⋅sen(2πt), se transmite utilizando un esquema PCM. El cuantificador empleado es de tipo Mid-Riser, con un tamaño de escalón unidad. Dibuje la señal resultante del proceso de cuantificación para un ciclo completo de la señal de entrada. Suponga que la frecuencia de muestreo es de 4 muestras por segundo, muestreándose en los instantes: t = ± 1/8, ± 3/8, ± 5/8, … 7.- La función de densidad de probabilidad de las muestras de una señal es: fX(x) = 4⋅e-8⋅⎪x⎜. Esta señal se aplica a un cuantificador de 4 niveles cuyo margen dinámico es ± 1 voltio. Calcule el valor cuadrático medio del error, distinguiendo los términos granular y de saturación. Compare con el valor del error obtenido en el caso en que la señal sea uniforme en el margen dinámico del cuantificador. 8.- Considere la ley de compansión μ. Demuestre que para L grande se cumple:
a) μ+≈ΔΔ
1min
max
b) ( )
( )⎪⎪⎩
⎪⎪⎨
⎧
+⋅⋅
⋅⋅+⋅
≈Δ pequeñaesxsi
xxL
grandeesxsiLx
k ,1ln2
,1ln2
max μμ
μ
9.- Se dispone de un codificador PCM de 8 bits, con margen dinámico ± 1 voltio. Se aplica a dicho codificador muestras de la señal, de valores: 1.117314, 0.086726 y 0.714236. En la cuantificación uniforme de tipo MID-RISER los niveles positivos se numeran del 0 al
12−
L , con el bit más significativo a 0. Los negativos se numeran de forma equivalente,
salvo el bit más significativo, que se fija a 1. a) Indique para cada muestra su nivel de cuantificación, los errores absoluto y relativo y la palabra código correspondiente. b) Repita los cálculos en el caso de realizar una compansión con ley A (A = 87.6).
10.- Para evaluar un codificador Delta-Lineal se utiliza un tono de prueba normalizado de frecuencia fm. Si la transmisión en línea se efectúa a cuatro niveles: A, B, C y D, y al receptor llega el mensaje: ABCBBDDBACA, se pide: a) Secuencia de dígitos binarios enviada. b) Dibuje la forma de onda recuperada.
c) Obtenga la máxima frecuencia del tono para que este cuantificador pueda ser utilizado.
Considere que: Δ = 0.1 voltios, que un cero lógico equivale a una bajada de tamaño Δ, que un uno lógico equivale a una subida de tamaño Δ, A = 01, B = 00, C = 10, D = 11, y que el régimen de símbolos es RS = 50300 símbolos/s.
11.- Un múltiplex PCM tiene un caudal de 354 Kbps y está constituido por 14 canales de información, más uno de señalización. El régimen binario de este último es de 1200 bps. Cada canal PCM es la salida de un conversor analógico-digital con cuantificación uniforme de tipo Mid-Riser, y margen dinámico de entrada de ± 2 voltios. El número de niveles de cuantificación (L) es el apropiado para que la SNR de cuantificación de una sinusoide de amplitud 2 voltios sea igual a 38 dB. Los niveles positivos se numeran del 0 al 1
2−
L , con el
bit más significativo a 0. Los negativos se numeran de forma equivalente, salvo el bit más significativo que se fija a 1. Si las señales analógicas se muestrean a 1.4 veces la frecuencia de Nyquist, determine:
a) El número de niveles de cuantificación (ajuste a la potencia de 2 más cercana). b) El ancho de banda máximo aceptable de las señales analógicas.
Se incluye un compasor de ley A, cuya ganancia de compansión es igual a 23.44 dB. Se pide:
c) Calcular las palabras código correspondientes a las muestras con amplitudes: z1 = -0.0018 V y z2 = 1.325 V. d) Calcular el rango de valores de entrada correspondientes al nivel de cuantificación positivo 8.
1
TEORÍA DE LA COMUNICACIÓN
SOLUCIONES DE LOS PROBLEMAS TEMA 5
MODULACIÓN ANALÓGICA Y DIGITAL DE PULSOS 1. Es una demostración, hay que darse cuenta de que g1(t) está muestreada por debajo de
la frecuencia de Nyquist. 2. 190 Hz < fCORTE < 210 Hz 3. Es una demostración. 4.
a) ∆T = 4 µs b) ∆T = 4.88 µs
5.
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )[ ]
⋅−++⋅−−⋅+⋅−⋅⋅−⋅⋅⋅= ∑+∞
−∞=nsmsms
S
fnfffnfffnfT
fTjTfcTfS δδµ
δπ2
1expsin
El espectro a la salida del filtro quedaría:
Cuando T → 0, el espectro a la salida del filtro sería:
Cuando T → 0: ( )ST
TfcTT1
sin' ⋅⋅⋅=
T’ ≈ T (TS = 1 s)
6. Señal resultante del proceso de cuantificación.
2
7. Error de cuantificación para una señal de entrada con función densidad de
probabilidad Laplaciana: ( ) xX exf ⋅−⋅= 84
029.0102.5102.5028.0 54222 ≈⋅+⋅+=+= −−
sg eee Error de cuantificación para una señal de entrada con función densidad de probabilidad con distribución uniforme (ahora sólo hay error granular).
02.022 ≈= gee
8. Son unas demostraciones. 9.
a)
x Nivel x ErrorABS ErrorREL Palabra código 1.117314 127 0.99609 0.1212 10.85 % 01111111 0.086726 11 0.08984 0.0031 3.6 % 00001011 0.714236 91 0.71484 6⋅10-4 0.085 % 01011011
b)
x C(x) Nivel x C-1(x) ErrorABS ErrorREL Palabra código 1.117314 1 127 0.99609 0.9789 0.1384 12.38 % 01111111 0.086726 0.55324 70 0.55078 0.08556 1.16⋅10-3 1.33 % 01000110 0.714236 0.938506 120 0.941460 0.72566 0.01143 1.6 % 01111000 10.
a) A B C B B D D B A C A 01 00 10 00 00 11 11 00 01 10 01
b)
c) fmax ≈ 800.5 Hz
11. a) L = 64 b) fmax = 1500 Hz c) z1 = -0.0018 V ⇒ Palabra código: 100000
z2 = 1.325 V ⇒ Palabra código: 011101
Error granular Error de saturación
3
d) Rango de valores de entrada al nivel de cuantificación 8:
[ ]0414.0,0353.00414.00353.0
8max
8min ⇒
==
xx
UNIVERSIDAD DE VALLADOLID
E.T.S. INGENIEROS DE TELECOMUNICACIÓN
TEORÍA DE LA COMUNICACIÓN
Tema 6: Transmisión digital banda base
1
TEMA VI. Transmisión digital en banda base
Teoría de la Comunicación - Curso 2010-2011
6.1.-Interferencia entre símbolos6.2.-Criterios de decisión6.3.-Filtro adaptado6.4.-Decisión mediante umbral. Cálculo de la probabilidad de error
Introducción
En el tema anterior estudiamos técnicas para convertir información analógica en información
Tema VI: Transmisión Digital en Banda Base
convertir información analógica en información digital
Muestreo + Cuantificación + CodificaciónEn este tema estudiaremos la transmisión digital de datos a través de un canal banda baseHabrá dos fuentes principales de error
RuidoRuidoInherente al canalEn sistemas digitales puede combatirse su efecto por completoTambién puede equivocarse: hay una probabilidad de error
Interferencia entre símbolos (ISI)Debido a que un símbolo puede estar afectado por símbolos adyacentes
2
6.1.- Interferencia entre símbolos
Esq ema de n sistema digital banda base
Tema VI: Transmisión Digital en Banda Base
Esquema de un sistema digital banda base
Conversor de formato g(t)Datos
binariosDecisor kah(t) c(t)+ TS
y(t)
…s(t)
ak
…… Canal ReceptorTransmisor
( ) ( )∑ −⋅=k
Sk kTtgats
ω(t)Ruido
AWGN
Pulso que tomamos como forma básica
Filtro receptor
6.1.- Interferencia entre símbolos
Tema VI: Transmisión Digital en Banda Base
No confundir el envío de bits con el envío de símbolos ⇒ se envían símbolos
Los símbolos pueden tener tantos bits como deseamosSímbolos de 1 bit → 2 nivelesSímbolos de 2 bits → 4 nivelesSímbolos de n bits → 2n niveles
Hay que diferenciarTiempo de duración de 1 bit: Tb
Tiempo de duración del símboloSímbolos 1 bit: TS = Tb
Símbolos 2 bits: TS = 2Tb
3
Tema VI: Transmisión Digital en Banda Base
6.1.- Interferencia entre símbolos
( ) ( )∑El transmisor emite la señal:Señal a la salida del filtro receptor:
Agrupamos: ( ) ( ) ( ) ( )tcthtgtp ∗∗=
( ) ( )∑ −⋅=k
Sk kTtgats
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )tcttcthtsty ∗+∗∗= ω
Agrupamos:
Obtenemos:
( ) ( ) ( ) ( )tcthtgtp
( ) ( ) ( )tcttn ∗= ω
( ) ( ) ( )tnkTtpatyk
Sk +−⋅= ∑
M d idi é í b l ibi d
Tema VI: Transmisión Digital en Banda Base
6.1.- Interferencia entre símbolos
Muestreamos para decidir qué símbolo recibimos en cada instante iTS:
En el sumatorio reside la interferencia entre símbolos (ISI), ya que
( ) ( ) ( )
( ) ( )[ ] ( )Sik
Ski
Sk
SSkS
iTnTkipapa
iTnkTiTpaiTy
+−⋅+⋅=
=+−⋅=
∑
∑
≠
0
ISI( ), y q
si los p[(i-k)TS] no son nulos, se estarán superponiéndose al símbolo iNo tendremos ahora presente el efecto del ruido, por lo que la expresión a la entrada del decisor quedaría:
( ) ( ) ( )[ ]∑≠
−⋅+⋅=ik
SkiS TikpapaiTy 0
4
T ó i d li i l ISI i l
Tema VI: Transmisión Digital en Banda Base
6.1.- Interferencia entre símbolos
Teóricamente se puede eliminar la ISI si se cumple: cumple:
De esta manera al muestrear no tienen influencia el resto de los
( )⎩⎨⎧
≠=
=0001
mm
mTp S
símbolos
Tema VI: Transmisión Digital en Banda Base
6.1.- Interferencia entre símbolos
En el dominio de la frecuencia
Para m = 0 es la única muestra que debe tener
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )∑∑ −⋅=−⋅=⋅=m
SSm
ST mTtmTpmTttpttptpS
δδδδ
( ) ( ) ( )∑∑ −⋅=−⋅=m
mfTjS
mS
S
SemTpmffPT
fP πδ
21
Para m 0 es la única muestra que debe tener aportación
Este es el criterio para evitar la interferencia entre símbolosLos filtros que cumplan esta condición pueden eliminar la ISI
( ) ( ) 11=−⋅= ∑
+∞
−∞=mS
S
mffPT
fPδ
5
Ej l 1 fil b j id l f /2
Tema VI: Transmisión Digital en Banda Base
6.1.- Interferencia entre símbolos
Ejemplo 1: filtro paso bajo ideal, w = fS/2
En el dominio del tiempo:
( ) ( ) 11=−⋅= ∑
+∞
−∞=mS
S
mffPT
fPδ
fS/2=w
TS
-fS/2f
P(f)
( ) ( ) ( )wtftTttp SS
2sincsincsinc =⋅=⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛=
S ⎠⎝
( )⎩⎨⎧
≠=
=0001
mm
mTp S
L ñ l l t d d l d i
Tema VI: Transmisión Digital en Banda Base
6.1.- Interferencia entre símbolos
( ) ( )∑ kTttLa señal a la entrada del decisor es: ( ) ( )∑ −⋅=k
Sk kTtpaty
Si muestreamos justo cada TS segundos, en cada instante conseguimos recuperar el valor del pulso adecuado
Al muestrear en t = 0, sólo tenemos la contribución de a0
Al muestrear en t = TS sólo tenemos la contribución de a1 ...
6
Ej l 2 ñ l i l f
Tema VI: Transmisión Digital en Banda Base
6.1.- Interferencia entre símbolos
Ejemplo 2: señal triangular, w = fS
( ) ( ) 11=−⋅= ∑
+∞
−∞=mS
S
mffPT
fPδ
fS=w
TS
-fS
f
P(f)
0
Pδ(f)
En relación al ejemplo anterior el ancho de banda es el doble
fS=w
TS
-fS
f
δ(f)
0 2fS-2fS
Fil d l d ( d )
Tema VI: Transmisión Digital en Banda Base
6.1.- Interferencia entre símbolos
Filtros de coseno alzado (raised cosine)Familia paramétrica de filtros que cumplen la condición impuesta para evitar la ISI
( ) ( )⎪
⎪⎪⎪
⎨
⎧
−≤≤⎪⎭
⎪⎬⎫
⎪⎩
⎪⎨⎧
⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡ −−⋅
≤≤
= fwfffwf
sen
ffw
fP 2,22
141
0,21
11
1
π
⎪⎪⎪
⎩
⎪⎭⎪⎩⎥⎦
⎢⎣ −
restofww
,0224 1
221 S
S
RT
w == RS: Régimen o tasa de símbolos
7
A h d b d d t i ió
Tema VI: Transmisión Digital en Banda Base
6.1.- Interferencia entre símbolos
Ancho de banda de transmisión:
Parámetros de la familiaf1: frecuencia a partir de la cual comienza a caer el filtroα (‘Factor de redondeo o rolloff’): representa el exceso de ancho de banda frente a la banda mínima necesaria
( )wfwfwBT1
1 112 −=⇒+=−= αα
α = 0 ⇒ Filtro idealα ↑↑ ⇒ Se ocupa más ancho de banda
⇒ Disminuye la amplitud de los lóbulos secundarios
10 ≤≤ α
D i i d l f i filt d l d
Tema VI: Transmisión Digital en Banda Base
6.1.- Interferencia entre símbolos
Dominio de la frecuencia: filtros de coseno alzado
α = 0
α = 0.5
α = 1α 1
8
D i i d l ti
Tema VI: Transmisión Digital en Banda Base
6.1.- Interferencia entre símbolos
( ) ( ) ( )2cos2i wtπαDominio del tiempo: ( ) ( ) ( )222161
2cos2sintw
wtwtctpαπα
−⋅=
( ) ( )wtctp 2sin0 =⇒=α
0
α = 0.8
α ↑ ↑⇒Se ocupa más ancho de banda⇒Disminuye laα = 0 ⇒Disminuye la amplitud de los lóbulos secundarios⇒Menor sensibilidad frente a pequeños errores en el muestreo
6.1.- Interferencia entre símbolos
Comentarios al criterio de eliminación de la ISIL l ió t i id l l l h( ) i t l bl
Tema VI: Transmisión Digital en Banda Base
La solución anterior es ideal, ya que el canal h(t) es incontrolable
⇒p(t) no podrá ser perfecto para evitar la ISI
Solución práctica: “ecualización” o “igualación”y(t)
( ) ( ) ( ) ( )tcthtgtp ∗∗=
Se estudian las interferencias entre símbolos vecinos con una señal de referencia
Decisor kac(t)TS
…
Filtro receptor
Ecualizador
9
Di d bl d li d l ISI
Tema VI: Transmisión Digital en Banda Base
6.1.- Interferencia entre símbolos
Diagrama de bloques de un ecualizador para cancelar ISI
RetardoTS
TSa’k-2 TS TS TS
a’k-1 a’k a’k+1
a’k+2
ω1 ω2 ω3 ω4 ω5
ComparadorReferencia Salida
Error
ka
T j t d t i d
Tema VI: Transmisión Digital en Banda Base
6.1.- Interferencia entre símbolos
Tenemos un conjunto de muestras vecinas que procesamos de forma conjunta y comparamos con la referencia
Se obtiene una señal de errorEn función del error se varían los pesos (ωi) para que éste vaya disminuyendo⇒Ajustamos p(t)
Necesitamos una referenciaInformación de sincronismo que se envía con la información vocal
10
6.2.- Criterios de decisión
El i t d i ti di d
Tema VI: Transmisión Digital en Banda Base
El sistema decisor tiene que disponer de una herramienta para decidir cuál de los M símbolos posibles se ha enviado a partir de una observación ruidosa y
iDyHH
→→1
0
M
Hay que decidir cuál de las posibles hipótesis Hi ha generado la observación y: DiSe recurre a los test de hipótesis
i
MH −1
M
6.2.- Criterios de decisión
Hi ót i bi i
Tema VI: Transmisión Digital en Banda Base
Hipótesis binarias
Hipótesis múltiples
H0 → “1”
H1 → “0”A
-A
H0 → “00”
H1 → “01” A
A/2
Vamos a plantear varios criterios para tomar estas decisiones
Supondremos hipótesis binarias
H2 → “10”
H3 → “11”
-A
-A/2
11
Criterio de Bayes
Tema VI: Transmisión Digital en Banda Base
6.2.- Criterios de decisión
yTrata de tomar decisiones de forma que se minimice el riesgo medio en las decisionesConcepto de riesgo
Asociado a cada una de las hipótesis: yLos riesgos se definen a partir de los costes de las
0HR1HR
Los riesgos se definen a partir de los costes de las decisiones acertadas o falladas
Cij: Coste asociado a la decisión i cuando es cierta la hipótesis j C00H0
H1
D0
D1C11
Riesgos asociados a cada hipótesis
Tema VI: Transmisión Digital en Banda Base
6.2.- Criterios de decisión
( ) ( )
Definición de riesgo:Terminología
Probabilidad a priori
( ) ( )000 110000 HHH DpCDpCR ⋅+⋅=
( ) ( )111 111001 HHH DpCDpCR ⋅+⋅=
( ) ( )10 10HpRHpRR HH ⋅+⋅=
( )⎨⎧ 0Hp
Probabilidad a priori
Funciones de verosimilitud
Probabilidades a posteriori
( )⎩⎨
1Hp
( )( )⎪⎩
⎪⎨⎧
1
0
HY
HY
yfyf
( )( )⎩
⎨⎧
yHpyHp
1
0
12
El criterio de Bayes trata de minimizar el riesgo
Tema VI: Transmisión Digital en Banda Base
6.2.- Criterios de decisión
medioTrata de definir una frontera de decisión que minimice el riesgo medio
( )( )
( ) [ ]( ) [ ]00100
11011
0
1
0
CCHpCCHp
yf
yf
H
H
HY
HY
−⋅−⋅
<>
Es de notar que el umbral para decidir H0 aumenta:Cuanto más probable sea H1 ( ↑ p(H1))Cuanto mayor sea el coste asociado a decidir “0” cuando sea cierto “1” (↑ C01)
1H
Criterio de máximo a posteriori (MAP)
Tema VI: Transmisión Digital en Banda Base
6.2.- Criterios de decisión
p ( )Compara las probabilidades a posteriori y se selecciona la hipótesis que maximiza la probabilidad a posteriori
( ) ( )yHpyHpH
10
0
<>
H1
( )( )
( )( )0
1
1
0
1
0
HpHp
yf
yf
H
H
HY
HY
<>
( ) ( ) ( )( )yf
HpyfyHp
Y
HY 00
0⋅
=
( ) ( ) ( )( )yf
HpyfyHp
Y
HY 11
1⋅
=
Caso particular del criterio de Bayes cuando:[C01-C11] = [C10-C00]
⇒
13
Criterio de máxima verosimilitud (ML)
Tema VI: Transmisión Digital en Banda Base
6.2.- Criterios de decisión
( )Compara las funciones de verosimilitud y escoge la hipótesis que maximiza la función de verosimilitud
( ) ( )1
0
0 HY
H
HY yfyf >
Caso particular del criterio de Bayes cuando:⇒
( ) ( )1
1
0
H<
( )( ) 1
1
0
1
0
H
H
HY
HY
yf
yf
<>
( ) ( )[ ] [ ]⎩
⎨⎧
−=−=
00101101
01
CCCCHpHp
Esquema del receptor
Tema VI: Transmisión Digital en Banda Base
6.3.- Filtro adaptado
Decisor kac(t)+ k ⋅ TS
y(t)
…
ω(t)Ruido AWGN− Media nula
Filtro receptor
Canal
( ) 0NfS
s(t)
Objetivo: diseñar c(t) con un criterio de ruidoNo confundir con la cancelación de ISI, donde se diseña g(t) para que se cumplan las condiciones de eliminar ISI
( )2
0fS =− ω
( ) ( ) ( ) ( )tcthtgtp ∗∗=
14
Tema VI: Transmisión Digital en Banda Base
6.3.- Filtro adaptado
Diseño de c(t) con un criterio de ruidoIntentar maximizar la SNR a la entrada del “decisor” para facilitar la decisión
A la entrada del muestreador:
( ) ( ) ( ) ( ) ( )tcttctsty ∗+∗= ω
( ) ( ) ( )tntgty += 0gP
SNR 0A la entrada del muestreador:
A la entrada del decisor:
n
gm P
SNR 0=
( )( )
( )( )2
200
S
S
Sn
Sgd Tn
TgTPTP
SNR ==
6.3.- Filtro adaptado
Luego:
Tema VI: Transmisión Digital en Banda Base
Luego:
Hay que maximizar la SNR|d
( )( )
( )( )
( ) ( )
( )2
22
2
200
S
fTj
S
S
Sn
Sgd Tn
dfefCfS
Tn
TgTPTP
SNRS∫
+∞
∞−⋅⋅
===
π
Aplicamos la desigualdad de Schwarz:
( ) ( ) ( ) ( )∫∫∫+∞
∞−
+∞
∞−
+∞
∞−⋅≤⋅ dxxdxxdxxx 2
22
1
2
21 φφφφ
15
Tema VI: Transmisión Digital en Banda Base
6.3.- Filtro adaptado
El numerador de la SNR|d estará acotado según la expresión anterior, alcanzándose la cota cuando se produce la igualdad de factores:
Por tanto, para maximizar la SNR|d:
( ) ( )xkx *21 φφ ⋅=
( ) ( ) SfTjefSkfC π2* −⋅⋅= ( ) ( )tTsktc S −⋅= *
( ) ( )fGtg −⇔ **
⇔
F d ( )
Tema VI: Transmisión Digital en Banda Base
6.3.- Filtro adaptado
k = 1Forma de c(t)
S l i (t) ∗ (t)
TS
A
0t
s(t)
TS
A
0t
c(t) = k ⋅ s*(TS-t) = s*(TS-t)
k 1
⇒
Se convolucionan: s(t) ∗ c(t)
TS
A
0t
t
⇒ El mayor encaje (máximo valor de la convolución) se da cuando: t = TS
⇒ Se maximiza la contribución de la señalen los valores muestreados
16
E d l fil d d ( )
Tema VI: Transmisión Digital en Banda Base
6.3.- Filtro adaptado
Esquema del filtro adaptado c(t)
Es equivalente a un correlador (a la entrada del decisor)
Decisor kak ⋅ s*(TS - t)TS
y(t)
s(t)
Decisor kaT
s(t) × ∫STdt
0
El receptor puede recibir varios pulsos⇒ c(t) para estos pulsos es el mismo:⇒ El filtro está adaptado a la forma del pulso con
con independencia de su polaridad
( ) ( )tTsktc S −⋅= *
TS0
c(t)
-A
A
Tema VI: Transmisión Digital en Banda Base
6.4.- Decisión mediante umbral. Cálculo de la probabilidad de error
Esquema del receptor
Decisor kac(t)+ k ⋅ TS
y(t)
…
ω(t) Ruido AWGN− Media nula
Canal
( ) 0NfS =−
s(t) y
Decisor:Cálculo del umbral de decisión (λ)
Depende del criterio seleccionado
Hay una probabilidad de error asociada a λp(e) ≡ BER (Bit Error Rate)
( )2
fS =ω
17
6.4.- Decisión mediante umbral. Cálculo de la probabilidad de error
Cálculo del umbral de decisión
Tema VI: Transmisión Digital en Banda Base
Cálculo del umbral de decisiónSupongamos que tenemos un código polar NRZ y filtro adaptado
TS
1/TS
0t
c(t)
TS
A
0t
“1”
TS
-A
0
“0”
( ) ( )tTsktc = *( ) ( )tTsktc S −⋅=
( ) ( ) ( ) ( ) ( )[ ]STtS tcttctsTyy =∗+∗== ω
( ) ( )∫∫ ⋅+±⋅=SS T
S
T
S
dttT
dtAT
y00
11 ω
6.4.- Decisión mediante umbral. Cálculo de la probabilidad de error
R ibi
Tema VI: Transmisión Digital en Banda Base
Recibiremos:Hay que calcular un umbral de decisión (λ), de modo que amplitudessuperiores correspondan a un “1” y amplitudes inferiores a un “0”
Decidimos sobre la variable y¿qué es y…?
A
-A
¿q y
y es una variable aleatoria gaussianaω(t) es la realización de un proceso estocástico gaussiano
( )∫⋅+−= ST
SH dtt
TAy
0
10
ω ( )∫⋅++= ST
SH dtt
TAy
0
11
ω
18
6.4.- Decisión mediante umbral. Cálculo de la probabilidad de error
C t i ió d ( i bl l t i i )
Tema VI: Transmisión Digital en Banda Base
Caracterización de y (variable aleatoria gaussiana)Media:
Varianza:
{ } AYE H −=0
{ } AYE H +=1
⎫⎧( )[ ]{ } ( )
⎪⎭
⎪⎬⎫
⎪⎩
⎪⎨⎧
⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡=−−=
⎭⎬⎫
⎩⎨⎧
⎟⎠⎞⎜
⎝⎛ −= ∫
2
0
222 1
0000
S
HH
T
SHYHY
dttT
EAYEmYE ωσ
( )[ ]{ } ( )⎪⎭
⎪⎬⎫
⎪⎩
⎪⎨⎧
⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡=+−=
⎭⎬⎫
⎩⎨⎧
⎟⎠⎞⎜
⎝⎛ −= ∫
2
0
222 1
1111
S
HH
T
SHYHY
dttT
EAYEmYE ωσ
6.4.- Decisión mediante umbral. Cálculo de la probabilidad de error
Tema VI: Transmisión Digital en Banda Base
( ) ( ) ( ){ }∫ ∫∫ ⋅=⎪⎭
⎪⎬⎫
⎪⎩
⎪⎨⎧
⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡== S SS
HH
T T
S
T
SYY
dtdtttET
dttT
E0 20 1212
2
0
22 1110
ωωωσσ
( ) ( )210
21 2ttNttR −⋅=− δω
SYY TNTN
THHY 22
1 002
222 =⋅⋅=== σσσ
Luego:
SSYY TTHH 2210
( )2,0 YH ANy σ−→
( )2,1 YH ANy σ+→
19
6.4.- Decisión mediante umbral. Cálculo de la probabilidad de error
Frontera de decisión (apartado 6.2)Según el criterio bayesiano:
Tema VI: Transmisión Digital en Banda Base
Según el criterio bayesiano:
Según el criterio MAP
( )( )
( )( )
( )( )
11
0
0 HpHpyfA
H
HY =⇒>
λ
( )( )
( ) [ ]( ) [ ]
( ) [ ]( ) [ ]00100
11011
00100
11011
1
0
1
0
CCHpCCHp
CCHpCCHp
yf
yfBAYES
H
H
HY
HY
−⋅−⋅
=⇒−⋅−⋅
<>
λ
Según el criterio ML( ) ( ) ( )00
11
HpHpyf MAP
HHY
⇒<
λ
( )( ) 11
1
0
1
0 =⇒<>
ML
H
H
HY
HY
yf
yfλ
6.4.- Decisión mediante umbral. Cálculo de la probabilidad de error
O d j
Tema VI: Transmisión Digital en Banda Base
Operamos para despejar y:
T l it
( )( )
( )
( )
( )
⎪⎩
⎪⎨
⎧
<>
==
⋅
⋅=
−−+−++
−
−−
+−
ML
MAP
BAYES
i
H
HAyAyAyAyAy
Ay
Y
Ay
Y
HY
HY YY
Y
Y
ee
e
e
yf
yf
λλλ
λ
πσ
πσ σσ
σ
σ
1
022
2222
2
2
2
2
1
0
22
22
2
2
21
21
Tomamos logaritmos:
i
H
H
i
H
H
AyAy Y
Y
λσ
λσ
ln2
ln2 2
2
1
0
1
0
−><
⇒<>
−
Umbral sobre la observación ‘y’λ’ ⇒
20
6.4.- Decisión mediante umbral. Cálculo de la probabilidad de error
C ti l l it i ML (λ 1)
Tema VI: Transmisión Digital en Banda Base
Caso particular para el criterio ML (λML = 1)
( ) ( ) 01;1
0
0010
110101
H
H
yCCCCHpHp
><
⇒=−−
=
A
0 Menor que cero ⇒ “0”⇒
-AMayor que cero ⇒ “1”
⇒
6.4.- Decisión mediante umbral. Cálculo de la probabilidad de error
Tema VI: Transmisión Digital en Banda Base
Cálculo de la probabilidad de errorNos fijamos en las funciones de verosimilitud
( ) ( ) ( ) ( ) ( )01 01HpepHpepep HH ⋅+⋅=
( ) ( ) ( ) ( ) ( )''01 01 λλ >⋅+<⋅= HH ypHpypHpep
⇒ El error aparece representado como el área rayada debajo de las curvas
21
6.4.- Decisión mediante umbral. Cálculo de la probabilidad de error
E ió l l l l
Tema VI: Transmisión Digital en Banda Base
Expresión general para calcular el error
Caso particular: criterio MLSímbolos equiprobables:Costes iguales :
( ) ( )( )
( )( )
∫∫∞+
+−
∞−
−−
⋅⋅+⋅⋅='
20
' 21
2
2
2
2
21
21
λ
σλ σ
πσπσdyeHpdyeHpep YY
Ay
Y
Ay
Y
00H
y><
⇒( ) ( )
[ ] [ ]⎩⎨⎧
−=−=
00101101
01
CCCCHpHp
g1H
>
( ) ( ) pepep HH ==01
( ) ( )21
01 == HpHp⇒
( ) ( ) ( ) ( )012
121
HH epepeppppep ==⇒=⋅+⋅=
[ ] [ ]⎩ 00101101
6.4.- Decisión mediante umbral. Cálculo de la probabilidad de error
C l l
Tema VI: Transmisión Digital en Banda Base
( )( )
∫∞+
+−
2 2
2
1 dY
AyσCalculamos:
Realizamos un cambio de variable:
( ) ∫ ⋅=00 2
dyeep Y
YH πσ
2Y
dydσ
τ =
2Y
Ayσ
τ +=
( ) ∫∫∞+ −∞+ − ⋅=⋅⋅⋅=
22
22
0
122
1
YY
AA YY
H dedeepσ
τ
σ
τ τπ
τσπσ
Se suele poner esta expresión de la p(e) en función del error complementario:
22 YY Y σσ
( ) ∫∞+ −=
udeuerfc τ
πτ 22
( ) ( ) ⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛⋅=⋅⋅== ∫
∞+ −
2212
21
2
2
0
YAH
AerfcdeepepY
στ
πσ
τ
22
6.4.- Decisión mediante umbral. Cálculo de la probabilidad de error
C t i
Tema VI: Transmisión Digital en Banda Base
Comentarios:El cociente A/σY representa una relación entre la señal (A) y el ruido (σY)Cuanto mayor A/σ sea menor será el errorLa p(e) se suele expresar en función de Eb/N0
2
EATEATAE b
bb=
⎪⎫=
0002
22
2 NEA
TNT
TNP
b
Y
bY
b
bn Y
=⇒=
⇒⎪⎭
⎪⎬== σσ
σ
( ) ⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛⋅=
021
NEerfcep b ⇒ Expresión comúnmente utilizada
6.4.- Decisión mediante umbral. Cálculo de la probabilidad de error
E l ió d l ( ) E /N
Tema VI: Transmisión Digital en Banda Base
Evolución de la p(e) con Eb/N0
⇒ En relativamente pocos decibelios conseguimos reducir bastante el orden de magnitud de p(e)p( )
23
6.4.- Decisión mediante umbral. Cálculo de la probabilidad de error
Ej i i ál l d l b l d d i ió d l
Tema VI: Transmisión Digital en Banda Base
Ejercicio: cálculo del umbral de decisión y de la probabilidad de error para un código unipolar NRZ
( )20Ny σ→
( )2,1
YANy H σ+→
TS
A
0
“1”
T0
“0”
La distancia entre símbolos es ahora A, por lo tanto la p(e) será más grande, pues los símbolos están más próximos
( ),00
YNy H σ→TS0
TEORÍA DE LA COMUNICACIÓN
CUESTIONES TEMA 6
TRANSMISIÓN DIGITAL BANDA BASE
1.- Explicar el modelo de un sistema de transmisión digital banda base.
2.- ¿En qué consiste la ISI? ¿Qué condición debe cumplir p(t) para que la ISI se reduzca a cero?
3.- ¿Qué tipos de filtro P(f) se pueden utilizar para eliminar la ISI?. Ventajas e inconvenientes de cada uno.
4.- ¿Qué es el factor de redondeo (rolloff) a de un pulso de espectro con forma de coseno alzado?. Dibujar p(t) y P(f). ¿Qué ocurre en p(t) cuando a = 0?
5.- Explicar la ecualización utilizada en la práctica para reducir la ISI.
6.- Describir los diferentes criterios de decisión estudiados.
7.- ¿Para qué se utilizan los filtros adaptados? Deducir la expresión del filtro adaptado c(t) en función de los pulsos de entrada s(t) que están contaminados con un ruido AWGN.
8. ¿Qué tareas tiene el decisor? ¿Qué es la probabilidad de error?
9.- Para un código polar deducir los umbrales de decisión según los tres criterios estudiados.
10.- Deducir la probabilidad de error P(e) para un código polar según el criterio de máxima verosimilitud (ML) en función de Eb/N0.
11. Ventajas e inconvenientes de un código polar frente un código unipolar.
TEORÍA DE LA COMUNICACIÓN
PROBLEMAS TEMA 6
TRANSMISIÓN DIGITAL BANDA BASE 1.- Demuestre que, para el caso de codificación unipolar NRZ, la regla de decisión óptima en sentido MAP es:
+
<>
1
02
0
1
ln2 p
pA
A
H
H
xσ
donde x es la observación, A la amplitud del pulso ideal, 2σ la potencia de ruido a la entrada del decisor, y ip la probabilidad a priori de la hipótesis iH . Nota: Se utiliza filtro adaptado con amplitud 1/Ts y duración Ts. 2.- Un ordenador tiene una tasa binaria de salida de 56 Kbits/sg. Esta señal se transmite utilizando un sistema PAM binario en banda base que ha sido diseñado para tener el espectro de pulso con forma de coseno alzado. Determinar el ancho de banda de transmisión para los factores de redondeo del filtro a={0.25, 0.5, 0.75, 1}. 3.- Repetir el problema anterior considerando que el sistema envía símbolos formados por grupos de tres bits. 4.- Una señal binaria se transmite por un canal paso bajo con un ancho de banda de 75 KHz. La duración de cada bit es de 10 µs. Determine el espectro del canal en coseno alzado que satisface estos requerimientos. 5.- a) Se diseña1 un sistema binario polar en banda base para transmitir datos a una tasa de
4800 bps, a través de un canal paso bajo ideal cuya función de transferencia viene dada por:
≤
resto0.Khz8.4fsi 1
=f)(Hc
Se han elegido los filtros de transmisión y recepción de forma que contribuyan por igual a la formación del pulso necesario, y para minimizar la probabilidad de error media. Suponiendo que se utiliza un pulso cuyo espectro tiene forma de coseno alzado, especifique la respuesta en frecuencia de dichos filtros.
b) En el caso de que el ruido a la entrada del filtro receptor sea blanco, aditivo, gaussiano, con media cero y con densidad espectral de potencia N0/2, con N0=10-10 W/Hz., calcule la varianza del ruido resultante a la salida del filtro.
c) Utilizando el resultado del apartado anterior, calcule el valor de pico de la potencia requerida para tener un valor de probabilidad de error media de 10-5.
1 Consulte el apartado 9.3 (Optimun transmitting and receiving filters for noise immunity) entregado junto el enunciado de los problemas.
6.- Suponga un sistema banda base M-ario, es decir, que envía uno de los M símbolos posibles de su alfabeto, con símbolos, en este caso, equiprobables. Considérese que la amplitud de los símbolos recibidos es:
Ak2AAk ⋅+=
con ...,2,1,0k ±±= Considere, asimismo, que la potencia del ruido a la entrada del decisor es 2
nσ , y que los umbrales de decisión se sitúan en los puntos medios entre los símbolos. Demuestre que, en estas condiciones, la probabilidad de error del símbolo es igual a:
σ
−=
ne 22
Aerfc
M1
1P
7.- Algunos sistemas de radio sufren distorsión multitrayecto, que es debida a la existencia de más de un camino de propagación entre el transmisor y el receptor. Considerar un canal con tal distorsión, que tenga una función de transferencia dada por la siguiente expresión:
)t-s(t K + )t-s(t K = x(t) 022011
donde K1 y K2 son constantes, K1>>K2,, y t01 y t02 representan retardos de transmisión, con t01 < t02. a) Obtenga la respuesta en frecuencia de este canal. b) Para cancelar el eco se propone utilizar un filtro transversal como el de la figura 1,
donde T= t02 - t01. Obtenga los valores de wi, i={0, 1, 2} en función de los parámetros del canal.
RetardoT
RetardoT
w2w1w0
Entrada
Salida
∑
XXX
Figura 1. Filtro de cancelación de eco.
8.- En relación con la señal de la figura 2: a) Represente la respuesta al impulso de un filtro adaptado a esa señal. b) Determine la salida del filtro adaptado cuando la entrada es la señal de la figura. Indique
el instante óptimo de muestreo, así como la amplitud de salida del filtro en dicho instante.
Figura 2. Señal de soporte del símbolo 9.- Se propone realizar un filtro adaptado mediante un filtro basado en una línea de retardo con N+1 coeficientes kw , k={0, 1,..., N}. Asumiendo que la señal )t(s a la que tiene que estar adaptada el filtro tiene una duración de T segundos, encuentre el valor de los pesos
kw . Asuma que la señal se muestrea uniformemente. 10.- Dada una señal binaria, que utiliza señalización polar NRZ, siendo la amplitud de los símbolos igual a 1 voltio. Esta señal se aplica a un filtro paso bajo RC con función de transferencia:
0ff j+1
1 = H(f)
Suponer una tasa binaria de 2 f0 bits por segundo, construir el diagrama de ojos centrado en Tb y anchura Tb para la señal a la salida del filtro con las siguientes secuencias: a) Alternancia de unos y ceros. b) Una larga secuencia de unos seguida de una larga secuencia de ceros. c) Una larga secuencia de unos seguida por un único cero y después otra larga secuencia
de unos.
t T
T/2
-A/2
A/2
s(t)
1
TEORÍA DE LA COMUNICACIÓN
SOLUCIONES DE LOS PROBLEMAS TEMA 6
TRANSMISIÓN DIGITAL BANDA BASE 1. Es una demostración. 2. α = 0.25 ⇒ BT = 35 KHz
α = 0.5 ⇒ BT = 42 KHz α = 0.75 ⇒ BT = 49 KHz α = 1 ⇒ BT = 56 KHz
3. α = 0.25 ⇒ BT = 11.67 KHz α = 0.5 ⇒ BT = 14 KHz α = 0.75 ⇒ BT = 16.33 KHz α = 1 ⇒ BT = 18.67 KHz
4. α = 0.5; f1 = 25 KHz 5.
a) ( ) ( ) 02 ftjTX efPfH π⋅=
( ) ( ) 02 ftjRX efPfH π−⋅=
b) 2
102
1002
−
==N
Nσ W
c) Valor pico de potencia: A2 = 9⋅10-10 W 6. Es una demostración. 7.
a) ( ) 0201 22
21
ftjftj eKeKfH ππ −− ⋅+⋅=
b) 1
01K
=ω ; 22
11
KK
−=ω ; 31
22
1 KK
=ω
( ) ( ) ( ) ( )01010231
32
01 23 ttstttsKKttsty −≈⋅+⋅−⋅+−=
8. a) ( ) ( )tTstc −=
K1 >> K2
2
b) ( ) ( ) ( )tTststy −∗=
Instante óptimo de muestreo: t = T
Amplitud en dicho instante:
( )4
2 TATy ⋅=
9. ( ) ⎟⎠⎞
⎜⎝⎛ ⋅−=⋅−=
NTkTsTkTs Skω
10.
a) ( ) ( )⎩⎨⎧
⋅<<−⋅<<⋅−
=−−
−
bbTtf
btf
TtTeTte
tyb 2,12
0,210
0
2
2
π
π
⇒Señal periódica con período 2⋅Tb
Diagrama de ojos de anchura Tb y centrado en Tb.
b) ( )⎩⎨⎧
>−⋅<
= − 0,120,1
02 tet
ty tfπ
Diagrama de ojos de anchura Tb y centrado en Tb.
3
c) ( )( )⎪
⎩
⎪⎨
⎧
>⋅−<<−⋅
<=
−−
−
bTtf
btf
TteTte
tty
b ,210,12
0,1
0
0
2
2
π
π
Diagrama de ojos de anchura Tb y centrado en Tb.
UNIVERSIDAD DE VALLADOLID
E.T.S. INGENIEROS DE TELECOMUNICACIÓN
TEORÍA DE LA COMUNICACIÓN
Tema 7: Transmisión digital paso banda
1
TEMA VII. Transmisión digital paso banda
Teoría de la Comunicación - Curso 2010-2011
7.1.-Tipos básicos de modulaciones digitales7.2.-Representación y análisis vectorial7.3.-Receptores coherentes e incoherentes7.4.-Análisis de los tipos de modulación
IntroducciónTema VII: Transmisión Digital Paso Banda
En el tema anterior estudiamos los sistemas de transmisión digital banda baseEn este tema estudiaremos la transmisión digital de datos a través de un canal paso banda
Centramos el espectro de s(t) en torno a una frecuencia no nula (fc)
Ventajas de la transmisión paso banda
2
7.1.- Tipos básicos de modulaciones digitales
Tema VII: Transmisión Digital Paso Banda
Hay tres tipos básicos:1) ASK (Amplitude Shift Keying)2) PSK (Phase Shift Keying)3) FSK (Frequency Shift Keying)
7.1.- Tipos básicos de modulaciones digitales
Tema VII: Transmisión Digital Paso Banda
ASKA cada símbolo le asignamos una amplitud
La frecuencia fc se suele poner como múltiplo de la frecuencia del símbolo:
( ) ( ) Tttfats ci ≤≤⋅= 02cos π T: Tiempo de símbolo
Tnfc = símbolodelfrecuencia
Tf s
1=
Ejemplo:
⎩⎨⎧
=→=→
=VaVa
M2"1"1"0"
21
0
Tfc T
3
PSK
7.1.- Tipos básicos de modulaciones digitales
Tema VII: Transmisión Digital Paso Banda
PSKAsignamos a cada símbolo una fase inicial
( ) ( ) Tttfats ici ≤≤+⋅= 02cos ϑπ
( ) 1,,0,12 −=+⋅= MiiMi Kπϑ
Ejemplo:
⎪⎪⎩
⎪⎪⎨
⎧
=→=→=→=→
=
47"11"45"10"43"01"
4"00"
4
3
2
1
0
πϑπϑπϑ
πϑ
M⎩⎨⎧
=→=→
=23"1"
2"0"2
1
0
πϑπϑ
M
7.1.- Tipos básicos de modulaciones digitalesFSK
Tema VII: Transmisión Digital Paso Banda
FSKAsignamos a cada símbolo una frecuencia distinta
En FSK las frecuencias desplazadas son múltiplos enteros de fs, respecto a fc:
( ) ( ) Tttfats i ≤≤⋅= 02cos π
in + 1
Para PSK y FSK se normaliza la amplitud a
Sci fifT
inf ⋅+=+
=
⎪⎩
⎪⎨⎧
=⋅=
===⇒=ETPE
TETEaP
TEa
SS
S 22
22
2T: tiempo de símboloE: energía de símbolo
símbolodelfrecuenciaT
f s1
=
4
Ej l d f d d
7.1.- Tipos básicos de modulaciones digitales
Tema VII: Transmisión Digital Paso Banda
Ejemplos de forma de ondaASK
PSK
T0 2T 3T
FSK
T0 2T 3T
T0 2T 3T
7.2.- Representación y análisis vectorial
Carácter vectorial de las señales
Tema VII: Transmisión Digital Paso Banda
Carácter vectorial de las señalesEstudiaremos una base teórica para las señales anterioresLas señales si(t) pueden ser expresadas como:
∑=
=≤≤⋅=N
jjiji MiTttsts
1,...,1;0)()( φ
Ejemplo: PSK
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )tfsensenatfatfats ciciici πϑπϑϑπ 22coscos2cos ⋅⋅−⋅⋅=+⋅=
( )t1φ ( )t2φ
j
5
Vamos a representar el conj nto de M señales
7.2.- Representación y análisis vectorial
Tema VII: Transmisión Digital Paso Banda
Vamos a representar el conjunto de M señales {si(t)} como combinación lineal de N funciones que deben ser ortonormales para formar base ( ⇒ ortogonalización de Grand-Schmidt)
Ortogonalidad:Norma unitaria:
( ) ( ) jitt ji ≠∀= 0,φφ
( ) ( ) itt ∀=1φφNorma unitaria:Trabajamos con símbolos de duración T
Producto escalar (orto-normalidad):
( ) ( ) itt ii ∀=1,φφ
( ) ( ) ( ) ( ) [ ]⎩⎨⎧
=≠
=−=⋅= ∫ jiji
jidtttttT
jiji 10
,0
δφφφφ
L fi i t d bt
7.2.- Representación y análisis vectorial
Tema VII: Transmisión Digital Paso Banda
Los coeficientes sij se pueden obtener:
( ) ( ) ( ) ( )
( ) ( ) ij
N
k
T
jkik
T
j
N
kkik
T
ji
sdttts
dtttsdttts
=⋅⋅=
=⋅⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡⋅=⋅
∑ ∫
∫ ∑∫
=
=
10
01
0
φφ
φφφ
( ) ( )∫ ⋅=T
jiij dtttss0
φ⇒
δ [k-j]
6
Ejemplo 1: PSK ⇒ necesitamos como máximo 2
7.2.- Representación y análisis vectorial
Tema VII: Transmisión Digital Paso Banda
j pfunciones base
( ) ( )tfT
t cπφ 2cos21 ⋅=
( ) ( )tfsenT
t cπφ 222 ⋅=
Son ortonormales
( ) ( ) TttfTEts ici ≤≤+⋅= 02cos2 ϑπ
Cada símbolo si(t) podemos verlo como un vector en ℜ2
( ) ( ) ( ) ( ) ( )tfsenT
senEtfT
Ets cicii πϑπϑ 222cos2cos ⋅⋅⋅−⋅⋅⋅=⇒
( )t1φ ( )t2φ
T
])(,)cos([)( iii senEEts θθ ⋅⋅⇒
C ti l M 4
7.2.- Representación y análisis vectorial
Tema VII: Transmisión Digital Paso Banda
Caso particular: M = 4
⇒ Con estas dos funciones base podemos representar todos los símbolos que
1
φ1(t)
φ2(t)
0
1ϑ2ϑ
podamos tener en PSK2 3
7
Ej l 2 ASK i ól 1 f ió b
7.2.- Representación y análisis vectorial
Tema VII: Transmisión Digital Paso Banda
Ejemplo 2: ASK ⇒ necesitamos sólo 1 función base
Ejemplo 3: FSK ⇒ necesitamos tantas funciones base como símbolos haya
( ) ( )tfT
ats cii π2cos2 ⋅⋅= φ1(t)a1 a2 a3
base como símbolos hayaM = 3
( ) ( )tfTEts ii π2cos2 ⋅=
φ2(t)
φ3(t)E
φ1(t)
E E
í b l i d d l
7.2.- Representación y análisis vectorial
Tema VII: Transmisión Digital Paso Banda
Los símbolos enviados podemos verlos como puntos en un espacio
Generados por una base de N funciones ortonormalesTendremos vectores en ℜN
Para la detección del símbolo: x(t) = s (t) + ω(t)Para la detección del símbolo: Hay que definir regiones asociadas a cada símbolo para tomar decisionesPara ello vamos a estudiar sus coordenadas
x(t) = si(t) + ω(t)
8
Análisis de las coordenadas
7.2.- Representación y análisis vectorial
Tema VII: Transmisión Digital Paso Banda
Análisis de las coordenadasTenemos:
Siendo las coordenadas:
( ) ( ) TttstsN
jjiji ≤≤⋅= ∑
=
01
φ
( ) ( )∫ ⋅=T
jiij dtttss0
φ
Sin embargo, realmente recibimos:0
( ) ( ) ( )ttstx i ω+= ⇒ Suponemos ω(t) → AWGN− Media cero: ηω = 0
( )2
0NfS =− ω
Para obtener las coordenadas del símbolo
7.2.- Representación y análisis vectorial
Tema VII: Transmisión Digital Paso Banda
Para obtener las coordenadas del símboloAsumimos sincronismo: detección coherente
× ∫T
dt0
φ1(t)
x1 = si1 + n1
x(t) = s (t) + ω(t) × ∫T
dt0
x2 = si2 + n2x(t) si(t) + ω(t) ∫0
φ2(t)
× ∫T
dt0
φN(t)
xN = siN + nN
Coordenada i-ésima del símbolo
9
Obtenemos un vector de variables aleatorias:
7.2.- Representación y análisis vectorial
Tema VII: Transmisión Digital Paso Banda
⎥⎤
⎢⎡ x1Obtenemos un vector de variables aleatorias:
ω(t): Ruido gaussiano a la entrada ⇒ el ruido a la salida también será gaussiano
⇒ Las observaciones xj serán variables aleatorias
⎥⎥⎥⎥
⎦⎢⎢⎢⎢
⎣ Nx
xM2
jgaussianas
Para describir estas variables calcularemos su media y varianza
( )2, jjHj NXi
ση→
Media
7.2.- Representación y análisis vectorial
Tema VII: Transmisión Digital Paso Banda
{ } { } { } ijjijjijHjj snEsnsEXEi
=+=+==η
{ } ( ) ( ){ } 00
=⋅= ∫T
jj dtttEnE φω
{ } ijHj sXEi
=
⇒ Ya que el ruido a la entrada tiene media nula
Varianza (matriz de covarianzas)( ) ( ){ }kkjjjk XXEc ηη −⋅−=
{ }kjjkijj
jijj nnEcs
nsX⋅=⇒
⎭⎬⎫
=+=
η
10
Varianza (matriz de covarianzas)
7.2.- Representación y análisis vectorial
Tema VII: Transmisión Digital Paso Banda
( )
⇒ Ruido blanco de media nula
( ) ( ) ( ) ( ){ }( ) ( ){ } ( ) ( )∫ ∫
∫∫⋅⋅⋅=
=⋅⋅⋅=
T T
kj
T
k
T
jjk
dtdtttttE
dtttdtttEc
0 20 12121
0 2220 111
φφωω
φωφω
( ) ( )210
21 2ttNttR −⋅=− δω
( ) ( )⎪⎩
⎪⎨⎧
=
≠=⋅⋅= ∫ kjN
kjdtttNc
T
kjjk
2
0
2 00 1110 φφ ⇒ Matriz de
covarianzas diagonal
NjNjX ,,1
202 K==σ
7.2.- Representación y análisis vectorial
Tema VII: Transmisión Digital Paso Banda
Las observaciones son gaussianas, incorreladas, y tienen todas la misma varianza
⇒ Tenemos N observaciones independientes
⎟⎠⎞
⎜⎝⎛→⇒
2, 0NsNX ijHj i
Función de verosimilitud para cualquier hipótesis
( ) ( )∏=
=N
jHjXHX iji
xfxf1
20N
=σ( ) ( )∑⋅⎟
⎠⎞
⎜⎝⎛= =
−⋅−N
jijj
i
sxN
HX exf 1
222
1
21 σ
πσ
11
Reglas de decisión para 2 hipótesis
7.2.- Representación y análisis vectorial
Tema VII: Transmisión Digital Paso Banda
Reglas de decisión para 2 hipótesisCriterio MAP
Criterio ML
( ) ( ) ( )( )
( )( )0
110
1
0
1
0
1
0
HpHp
xf
xfxHpxHp
H
H
HX
HX
H
H
<>
⇔<>
( ) ( ) ( )( ) 1
1
0
1
0
1
1
0
0
H
H
HX
HXHX
H
H
HX xf
xfxfxf
<>
⇔<>
Reglas de decisión para M hipótesis
7.2.- Representación y análisis vectorial
Tema VII: Transmisión Digital Paso Banda
Reglas de decisión para M hipótesisCriterio MAP
Maximiza la probabilidad a posteriori
Criterio ML
( )[ ] MmxHpmáxm m ,,1argˆ K==
Maximiza la función de verosimilitud
( )[ ] MmxfmáxmmHX ,,1argˆ K==
12
Observamos: y tratamos de decidir
7.2.- Representación y análisis vectorial
Tema VII: Transmisión Digital Paso Banda
[ ]xxx 1=Observamos: , y tratamos de decidir cuál de los M símbolos es el posible
Criterio ML:
[ ]Nxxx ,,1 K
( ) ( )∑⋅⎟
⎠⎞
⎜⎝⎛= =
−⋅−N
jijj
i
sxN
HX exf 1
222
1
21 σ
πσ
( )[ ] ⎫⎧ N
( )[ ]iHX xfmáx
Lo que hacemos es calcular la distancia de la observación x a todos los símbolos en ℜN, y quedarnos con aquel que está más cerca de la observación
( )[ ] ( )⎭⎬⎫
⎩⎨⎧
−⇔ ∑=
N
jijjHX sxmínxfmáx
i1
2
Hasta ahora hemos supuesto una detección
7.3.- Receptores coherentes e incoherentes
Tema VII: Transmisión Digital Paso Banda
Hasta ahora hemos supuesto una detección coherente
La señal observada está perfectamente en fase con cada una de las señales base ⇒ están sincronizadas
( ) ( )∑ ⋅=N
jiji tsts φ ( )tjφ
Pero hay receptores que no precisan de este sincronismo
=j 1j
Sincronizadas
13
De esta manera se distinguen
7.3.- Receptores coherentes e incoherentes
Tema VII: Transmisión Digital Paso Banda
De esta manera, se distinguenSistemas coherentes
Hay un tiempo previo para engancharse en fase, sincronizare y, luego, empezar a procesarSon sistemas más complejos
Sistemas incoherentesNo necesitan sincronismo
Ejemplo: FSK con M = 2
7.3.- Receptores coherentes e incoherentes
Tema VII: Transmisión Digital Paso Banda
( ) ( )tft 2cos2 πφ ⋅=Ejemplo: FSK, con M 2
Recibimos:
( ) ( )tfT
t 11 2cos πφ =
( ) ( )tfT
t 22 2cos2 πφ ⋅=
( ) ( )ϑπ +⋅= tfTEtx 12cos2
: desconocido
(error de fase)
ϑ
φ2(t)
Queremos obtener la coordenada del símbolo asociada a f1 ⇒ E
φ1(t)ϑ
E
14
Esquema del detector incoherente a frecuencia fi
7.3.- Receptores coherentes e incoherentes
Tema VII: Transmisión Digital Paso Banda
q fi
( ) ( )
( ) ( ) ( ) ( )⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡⋅⋅−⋅⋅⋅=
=+⋅=
ϑπϑπ
ϑπ
sentfsenT
tfT
E
tfTEtx
ii
i
22cos2cos2
2cos2
× ∫T
dt0
( )22cy( )ϑcos⋅E
∫0
x(t)
× ∫T
dt0
+( )tf
T iπ2cos2 ⋅
( )tfsenT iπ22
⋅
( )
( )2
+ E
2sy
+
( )ϑsenE ⋅−
Los sistemas incoherentes son más sencillos pero
7.3.- Receptores coherentes e incoherentes
Tema VII: Transmisión Digital Paso Banda
Los sistemas incoherentes son más sencillos, pero tienen alguna desventaja frente a los sistemas coherentes:
El ruido tiene dos componentes: fase y cuadratura
( ) ( ) ( ) ( ) ( )tfsentntftntn isic ππ 22cos ⋅−⋅=
Con un sistema incoherente pasan las dos componentes, por lo que se complica el análisis de ruidoCon un sistema coherente filtramos una de las dos componentes
15
Vamos a estudiar los siguientes esquemas:
7.4.- Análisis de los tipos de modulación
Tema VII: Transmisión Digital Paso Banda
Vamos a estudiar los siguientes esquemas:Coherentes
PSK binarioFSK binarioPSK cuaternario (QPSK)
IncoherentesS bi iFSK binario
PSK diferencial (DPSK)
Para comparar los esquemas: probabilidad de error
PSK binario con detección coherente
7.4.- Análisis de los tipos de modulación
Tema VII: Transmisión Digital Paso Banda
PSK binario, con detección coherenteTenemos 2 símbolos distintos (M = 2), cada uno con su fase asociada
( ) ( ) TttfTEtsH c ≤≤⋅=≡ 02cos2
11 π
EE 22
Sólo es necesario una función base
( ) ( ) ( ) TttfTEtf
TEtsH cc ≤≤⋅−=+⋅=≡ 02cos22cos2
00 πππ
( ) ( )tfT
t cπφ 2cos2⋅=
16
En recepción tendremos:
7.4.- Análisis de los tipos de modulación
Tema VII: Transmisión Digital Paso Banda
En recepción tendremos:
Esquema del detector: criterio ML
Si aplicamos el criterio ML ⇒ El umbral será el punto medio de las distancias entre ambos
E− E2σ
φ(t)Región Z0 Región Z1
2σ
0
Esquema del detector: criterio ML
× ∫T
dt0x(t) = s(t) + ω(t)
φ(t)
x “1”
“0”λ = 0
0
Probabilidad de error
7.4.- Análisis de los tipos de modulación
Tema VII: Transmisión Digital Paso Banda
Probabilidad de errorSi usamos el criterio ML, será la misma que la de un sistema polar banda base
( ) ⎟⎠⎞
⎜⎝⎛⋅=
221
σAerfcep
A 2σ
Ahora:( )
⎟⎟⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜⎜⎜
⎝
⎛
⋅⋅=
22
21
0NEerfcep
⎪⎩
⎪⎨⎧
=
=
202 N
EAσ
2σ-A
17
Por lo que la probabilidad de error queda:
7.4.- Análisis de los tipos de modulación
Tema VII: Transmisión Digital Paso Banda
q p q
( ) ⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛⋅=
021
NEerfcep
⇒ La probabilidad de erorr disminuye cuanto mayor sea
p(e)
la energía respecto a la variabilidad introducida por el ruido
Eb/N0
FSK binario con detección coherente
7.4.- Análisis de los tipos de modulación
Tema VII: Transmisión Digital Paso Banda
FSK binario, con detección coherenteFSK:
C d í b l
( ) ( ) TttfTEts ii ≤≤⋅= 02cos2 π
Tif
Tinf ci +=+=
⎧ → 11 HfCon dos símbolos:Necesitamos dos funciones base:
⎩⎨⎧
→→
⇒=00
112HfHf
M
( ) ( )tfT
t 11 2cos2 πφ ⋅=
( ) ( )tfT
t 00 2cos2 πφ ⋅=⇒ Son ortonormales
18
En el receptor:
7.4.- Análisis de los tipos de modulación
Tema VII: Transmisión Digital Paso Banda
En el receptor:La constelación queda: criterio ML
⇒ Umbral: Bisectriz del primer y tercer
Región Z0
φ0(t)
x1 = x0
E p ycuadrante
φ1(t)
E
ERegión Z1
Esquema del detector: criterio ML
7.4.- Análisis de los tipos de modulación
Tema VII: Transmisión Digital Paso Banda
Esquema del detector: criterio ML
11 HH
× ∫T
dt0
x(t) φ1(t)
x1
× ∫T
dt0
φ0(t)x0
“1”
“0”λ = 0-+
+ L0
Criterio de decisión:
L = X1 - X0: Diferencia de variables aleatoriasX1 y X0 son gaussianas e incorreladas independientes⇒ L gaussiana
000
0101
HH
xxlxx<>
−=⇒<>
φ0( )
19
L es una v. a. gaussiana y para describirla:
7.4.- Análisis de los tipos de modulación
Tema VII: Transmisión Digital Paso Banda
g y pMedia
Varianza
{ } { } { } EExExELE HHH −=−=−= 0000 01
{ } { } { } EExExELE HHH =−=−= 0111 01
0002222
220110NNN
xxLL HH=+=+== σσσσ
Probabilidad de error
7.4.- Análisis de los tipos de modulación
Tema VII: Transmisión Digital Paso Banda
Probabilidad de errorLa regla de decisión se plantea sobre L
⇒ Estamos de nuevo en el caso polar (criterio ML), con:
2 NEA =E− E
lRegión Z0 Región Z1
0
NN
( ) ⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛⋅=⎟
⎠⎞
⎜⎝⎛⋅=
0221
221
NEerfcAerfcep
σ
02 N=σN0N0
20
Esta probabilidad de error es mayor que en PSK
7.4.- Análisis de los tipos de modulación
Tema VII: Transmisión Digital Paso Banda
p y q
Intuitivamente:
⇒ Para una misma relación: Eb/N0, la p(e) es mayor en FSK
Eb/N0
p(e)FSK
PSK
En PSK los símbolos están más separados, por lo que la probabilidad de error será menor
FSK: Símbolos ortogonalesPSK: Símbolos polares
E− E
s0 s1
0E
E
PSK cuaternario (QPSK) con detección
7.4.- Análisis de los tipos de modulación
Tema VII: Transmisión Digital Paso Banda
PSK cuaternario (QPSK), con detección coherente
Ahora tenemos cuatro símbolos: M = 4
( ) 3,2,1,0;04
122cos2=≤≤⎟
⎠⎞
⎜⎝⎛ +
+⋅= iTtitfTEts ci ππ
Harán falta 2 funciones base:
( ) ( )tfT
t cπφ 2cos21 ⋅=
( ) ( )tfsenT
t cπφ 222 ⋅=
21
La constelación quedará:
7.4.- Análisis de los tipos de modulación
Tema VII: Transmisión Digital Paso Banda
La constelación quedará:
s1
φ1(t)
φ2(t)
s0
E2
E−E−2
E
E
2E
E
Con coordenadas:
⎥⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢⎢
⎣
⎡
±
±=
2
2E
E
sij
s2 s3
E−
2E−
En el receptor: criterio ML
7.4.- Análisis de los tipos de modulación
Tema VII: Transmisión Digital Paso Banda
En el receptor: criterio MLLas regiones para cada símbolo estarán limitadas por los ejes
s1
φ2(t)
s0
Región Z0Región Z1
φ1(t)
s2
0
s3
Región Z3Región Z2
22
Esquema del detector: criterio ML
7.4.- Análisis de los tipos de modulación
Tema VII: Transmisión Digital Paso Banda
Esquema del detector: criterio ML
× ∫T
dt0
x(t) = si(t) + ω(t) φ1(t)
x1
“00”“01”“10”“11”
∫T
MUX
1/0
× ∫ dt0
φ2(t)
x2 1/0
Probabilidad de error: criterio ML
7.4.- Análisis de los tipos de modulación
Tema VII: Transmisión Digital Paso Banda
Probabilidad de error: criterio ML
Símbolos equiprobables:
Los son iguales para todos los símbolos ya que
( ) ( ) ( )∑=
⋅=3
0iiH Hpepep
i
( )41
=iHp
( )Los son iguales para todos los símbolos, ya que hay simetría total
( )iHep
( ) ( ) ( ) 3,2,1,0,441 =∀=⋅⋅= iepepep
ii HH
23
Habrá error de símbolo si:
7.4.- Análisis de los tipos de modulación
Tema VII: Transmisión Digital Paso Banda
Los ruidos son independientes en cada eje:
( ) ( ) ( ) ( ) ( )oaoaoa eepepepeepep ∩−+=∪=
Error en abscisa
Error en ordenada
( ) ( ) ( ) ( ) ( )epepepepep +=
Los ejes son iguales:
Normalmente: p(e) = 10-4, 10-5, … ⇒ p2(eo) despreciable frente a 2⋅p(eo), luego:
( ) ( ) ( ) ( ) ( )oaoa epepepepep ⋅−+=
( ) ( )oepep ⋅≅ 2
( ) ( ) ( ) ( ) ( )oooa epepepepep 22 −⋅=⇒=
Calculamos p(eo):
7.4.- Análisis de los tipos de modulación
Tema VII: Transmisión Digital Paso Banda
p( o)
⇒ Estamos de nuevo en el caso polar (criterio ML), con:
22
02 N
EA
=
=
σ
⎞⎛
20N2E
2E− 20N
Por lo tanto la probabilidad de error de símbolo queda:
( ) ⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛
⋅⋅=
222
21
0NE
erfcep o
( ) ⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛=
02NEerfcep S
24
En QPSK no hay igualdad entre símbolo y bit
7.4.- Análisis de los tipos de modulación
Tema VII: Transmisión Digital Paso Banda
Q y g y2 bits ≡ 1 símbolo
( ) ( ) ( )bbs epNEerfcepep =⎟⎟
⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛⋅⇒⋅≅
02212
( ) ( ) ( ) ( ) ( )212121 bbbbbbs eepepepeepep ∩−+=∪=
0
− E ≡ Energía de símboloE = 2 E ⇒ E = E/2 ≡ Energía de bit
En QPSK tenemos la misma BER que en PSK binario, pero ahora la tasa binaria se ha duplicado (transmitimos al doble de velocidad)
⇒ Probabilidad de error de bit (BER)
( ) ⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛⋅=
021
NEerfcep b
b
− E = 2 ⋅ Eb ⇒ Eb = E/2 ≡ Energía de bit
FSK binario con detección incoherente
7.4.- Análisis de los tipos de modulación
Tema VII: Transmisión Digital Paso Banda
FSK binario, con detección incoherenteEn los sistemas con detección incoherente el transmisor y el receptor no están sincronizados
⇒ si(t) y φi(t) no están alineados temporalmente
( ) ( )ϑπ +⋅= tfTEts ii 2cos2
Solución: Operar con las envolventes
T
( ) ( )tfT
t ii πφ 2cos2⋅=
ϑ : Desconocido (error de fase)
25
7.4.- Análisis de los tipos de modulación
Al operar con la envolvente mientras que las
Tema VII: Transmisión Digital Paso Banda
Al operar con la envolvente, mientras que las proyecciones en fase y cuadratura (x e y) dependen de θ, la envolvente es constante
( ) ( ) ϑϑϑ ∀≡=+ .22 cteEyxE( )ϑsenE ⋅=y
( )ϑcos⋅= Exφ1(t)
ϑ
En el receptor:
7.4.- Análisis de los tipos de modulación
Tema VII: Transmisión Digital Paso Banda
En el receptor:Detector de envolvente a frecuencia fi
× ∫T
dt0
x(t) = si(t) + ω(t) ( )tfiπ2cos2 ⋅
( )2
+ E
+
× ∫T
dt0
+
( )fT i
( )tfsenT iπ22
⋅
( )2
+ E
26
Si esperamos 2 símbolos posibles (M = 2)
7.4.- Análisis de los tipos de modulación
Tema VII: Transmisión Digital Paso Banda
Si esperamos 2 símbolos posibles (M 2), calculamos las envolventes a las frecuencias f1 y f2, y comprobamos cuál es mayorEsquema del detector
Suponemos que se aplica el criterio ML
rDetector de envolvente a f1
x(t) = si(t) + ω(t)
r1
Detector deenvolvente a f2 r2
“1”
“0”λ = 0-+
+
Probabilidad de error: criterio ML
7.4.- Análisis de los tipos de modulación
Tema VII: Transmisión Digital Paso Banda
Probabilidad de error: criterio MLSuponemos que se envía el símbolo H1 (f1)
El detector de envolvente a f2 sólo recibe ruido
( ) 022
22
222
22
12>⋅=→
−rerrfr
r
HRσ
σ
⇒ La envolvente de un ruido gaussiano sigue una distribución Rayleigh
El detector de envolvente a f1 recibe señal y ruido
( ) 0121
02
21
112
221
11>⎟
⎠⎞
⎜⎝⎛ ⋅
⋅⋅=→+
−rrAIerrfr
Ar
HR σσσ
⇒ La envolvente de una señal sinusoidal y un ruido gaussiano sigue una distribución Rician
⎪⎩
⎪⎨⎧
=
=
202 N
EAσ
27
Expresamos la probabilidad de error como:
7.4.- Análisis de los tipos de modulación
Tema VII: Transmisión Digital Paso Banda
p p
Los símbolos son equiprobables:
Por la simetría del problema:
( ) ( ) ( ) ( ) ( )01 01HpepHpepep HH ⋅+⋅=
( ) ( )21
10 == HpHp
( ) ( )10 HH epep =
Por lo que la probabilidad de error se simplifica en:
( ) ( ) ( )[ ] ( ) ( )10102
1HHHH epepepepep ==+⋅=
Calculamos:
7.4.- Análisis de los tipos de modulación
Tema VII: Transmisión Digital Paso Banda
( ) ( )12 HH rrpep >=( ) ( )11 12 HH rrpep >
r1
r2
H1
r1
r2 = r1
R
( ) ( ) ( ) ( )∫ ∫∞+ ∞+
===0 1221
112111
, drdrrrfRpepepr HRRHH
1r1
28
Las variables aleatorias que representan el ruido son
7.4.- Análisis de los tipos de modulación
Tema VII: Transmisión Digital Paso Banda
q pgaussianas e incorreladas
( )11 1 HR rf ( )
12 2 HR rf⇒ y independientes
⇒ El ruido en un canal es ortogonal al del otro
( ) ( ) ( )1211121 2121, HRHRHRR rfrfrrf ⋅=
( )( )+ ⎞⎛
22
221 E rEr
Y la probabilidad de error queda:
( ) ( )( )
∫ ∫∞+ ∞+ −
+−
⋅⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛ ⋅⋅⋅==⇒
0 122
22
21
02
21
1
22
21
1drdrerrEIerepep
r
rEr
Hσσ
σσσ
( ) 02
21 N
E
eep−
⋅=⇒ Expresión diferente a las anteriores, ya que tenemos otras fX(x)
⇒ Sigue siendo una función decreciente con E/N0
PSK diferencial (DPSK)
7.4.- Análisis de los tipos de modulación
Tema VII: Transmisión Digital Paso Banda
( )De forma aproximada se puede ver como un sistema PSK con detección incoherente (no es correcto)
QPSK con detección coherenteiϑInformación en la fase:
( ) ( )tfEts ϑπ +⋅= 2cos2⎧
Necesitamos dos funciones base:
( ) ( )ici tfT
ts ϑπ += 2cos
⇒ El argumento lo usamos para tener que decidir entre los posibles símbolos
( ) ( )
( ) ( )⎪⎪⎩
⎪⎪⎨
⎧
⋅=
⋅=
tfsenT
t
tfT
t
c
c
πφ
πφ
22
2cos2
2
1
φ1(t)
φ2(t)
iϑ
si
iϑ
29
QPSK con detección incoherente
7.4.- Análisis de los tipos de modulación
Tema VII: Transmisión Digital Paso Banda
QPSK con detección incoherente
Ahora los símbolos no están alineados temporalmente con las funciones base
ψ : Desconocido (error de fase)
( ) ( )ψϑπ ++⋅= ici tfTEts 2cos2
QPSK-Coherente QPSK-Incoherente
⇒ Todo está ϑ1ϑ 0ϑ ψ
Si mantenemos las decisiones como con detección coherente, la P(e) será muy elevadaEn PSK es muy importante estar sincronizado en fase
⇒ PSK con detección incoherente no tiene sentido
girado un ángulo desconocido ψ
0ϑ2ϑ
3ϑ 1ϑ 2ϑ3ϑψ
Sin embargo se puede aprovechar la diferencia
7.4.- Análisis de los tipos de modulación
Tema VII: Transmisión Digital Paso Banda
Sin embargo, se puede aprovechar la diferencia entre las fases de los símbolos consecutivos
Ejemplo: PSK, con M = 2 “0” → Fase = π
“1” → Fase = 00ϑ
1ϑBPSK-Coherente BPSK-Incoherente
“0” “1” “1”
Se mantiene la diferencia de fases
DPSK consiste en enviar la información sobre la diferencia de fases, y no sobre las fases absolutas
0ϑ 1ϑπϑϑ =− 01
0 1
πϑϑ =− 01
“0”
ψ
30
Ejemplo DPSK:
7.4.- Análisis de los tipos de modulación
Tema VII: Transmisión Digital Paso Banda
Ejemplo DPSK:Queremos enviar: {bk} = {10010011}Esta información la codificamos con una secuencia intermedia:
Caso particular:
Operación lógicakkk bdd 1−= O.L.
Si bk = 1 ⇒ dk = dk-1
Tomamos el primer valor de dk arbitrariamente a “1”
{bk} = {1 0 0 1 0 0 1 1}
{dk} = {1 1 0 1 1 0 1 1 1}
Fase = 0 0 π 0 0 π 0 0 0
1−kdk k k 1
Si bk = 0 ⇒ dk =
7.4.- Análisis de los tipos de modulación
Tema VII: Transmisión Digital Paso Banda
Codificamos {dk} como PSK ordinarioTenemos como resultado neto en {dk}:
Cambio de fase: si se ha enviado “0”Se mantiene la fase: si se ha enviado “1”
31
En recepción: criterio ML
7.4.- Análisis de los tipos de modulación
Tema VII: Transmisión Digital Paso Banda
En recepción: criterio MLSe reciben dos símbolos consecutivos y se comprueba si cambia su fase o no
Tendremos dos situaciones posiblesφ2(t)
s(i)s(i-1)
φ2(t)s(i)
φ1(t)ψ
( )
No cambia la fase ⇒ “1”
φ1(t)ψ
s(i-1)
Cambia la fase ⇒ “0”
Para decidir si hay cambio de fase habría que
7.4.- Análisis de los tipos de modulación
Tema VII: Transmisión Digital Paso Banda
Para decidir si hay cambio de fase, habría querealizar el producto escalar entre los dos símbolosconsecutivos y comprobar el signo
( ) ( ) ( ) ( ) ( )ϑcos11 ⋅−⋅=−⋅ isisisis
( ) ( ) "1"01 →>−⋅ isis
( ) ( ) "0"01 →<−⋅ isis
= 0 : No cambia la fase ⇒
= π : Cambia la fase ⇒
ϑ
ϑ
Decisión:
( ) ( ) ( ) ( ) 0110
1
H
H
sscc isisisis<>
−⋅+−⋅
( ) ( ) 001 →<isis π : Cambia la fase ⇒ϑ
32
Esquema del detector: criterio ML
7.4.- Análisis de los tipos de modulación
Tema VII: Transmisión Digital Paso Banda
Esquema del detector: criterio ML
× ∫T
dt0
x(t)
+( )tf
T cπ2cos2⋅ Retardo
T ++
×sc(i)
sc(i-1)
“1”
“0”
× ∫T
dt0
+
( )tfsenT cπ22 ⋅ Retardo
T
×ss(i)
ss(i-1)
“0”λ = 0
Probabilidad de error
7.4.- Análisis de los tipos de modulación
Tema VII: Transmisión Digital Paso Banda
Probabilidad de errorSu cálculo es más complicado que en los esquemasanteriores
Hay que tener en cuenta la correlación entre dossímbolos en las decisiones
Cualitativamente:Para un sistema incoherente: ( ) 02
21 N
E
eep−
⋅=
Ahora tenemos dos símbolos para decidir: ES = 2 ⋅ Eb
⇒ Podemos aproximar la p(e) en DPSK
2
( ) 0
21 N
Eb
eep−
⋅≅
33
No es del todo correcta
7.4.- Análisis de los tipos de modulación
Tema VII: Transmisión Digital Paso Banda
Los símbolos no son totalmente independientesLos errores en un bit se propagan durante un tiempo(propagación por ráfagas)Cada cierto tiempo se re-sincroniza para evitar queesas ráfagas se extiendan en el tiempo
Comparación entre esquemas de modulación
7.4.- Análisis de los tipos de modulación
Tema VII: Transmisión Digital Paso Banda
Comparación entre esquemas de modulación
PSK y QPSK coherentes:
FSK coherente:
( ) ⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛⋅=
021
NEerfcep b
( ) ⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛⋅=
0221
NEerfcep b
DPSK:
FSK incoherente:
⎠⎝ 0
( ) 0
21 N
Eb
eep−
⋅≈
( ) 02
21 N
Eb
eep−
⋅=
34
7.4.- Análisis de los tipos de modulación
Tema VII: Transmisión Digital Paso Banda
TEORÍA DE LA COMUNICACIÓN
CUESTIONES TEMA 7
TRANSMISIÓN DIGITAL PASO BANDA
1.- Tipos de modulación digital paso banda.
2.- Diagramas de bloques que relacionan {sij} y {si(t)} con i = 1, ..., M y j = 1, ..., N.
3.- Si X(t) = si(t) + W(t) es la entrada al banco de correladores, con W(t) un ruido blanco, gaussiano, con media cero y densidad espectral de potencia N0/2. ¿Cuánto vale Xj que es la salida de cada uno de ellos?. ¿Cuál es la distribución estadística de las variables aleatorias Xj?. Deducir la media y la varianza de esas variables aleatorias.
4.- ¿Cuál es la correlación cruzada de las variables aleatorias Xj y Xk con j≠k?. ¿Son Xj y Xk independientes?
5. Deducir la expresión de la función densidad de probabilidad de X, vector de las variables aleatorias {Xj}, condicionado a haber transmitido el símbolo mi.
6.- ¿Cuál es la regla de decisión de máxima probabilidad a posteriori?
7.- ¿Cuál es la regla final de decisión de máxima verosimilitud?
8.- ¿Qué diferencia hay entre detección coherente e incoherente?
9.- Determinar {si(t)}, {φj(t)}, {sij}, esquema del detector, y expresión de la probabilidad de error media para BPSK coherente y BFSK coherente.
10.- Diagrama de bloques para la detección incoherente en BFSK. Deducir la expresión de su probabilidad de error.
11.- Determinar {si(t)}, {φj(t)}, {sij}, espacio de señales transmitidas {Zi}, esquema del detector, y expresión de la probabilidad de error para la modulación QPSK coherente.
12.- Explicar la modulación DPSK, y mostrar el diagrama de bloques del detector.
13.- Comparar las curvas de Pe en función de E/N0 para BPSK coherente, BFSK coherente y BFSK no coherente.
TEORÍA DE LA COMUNICACIÓN
PROBLEMAS TEMA 7
TRANSMISIÓN DIGITAL PASO BANDA
1.- Un transmisor envía uno de los mensajes siguientes:
( )
( )b
c
c
TttffAts
tffAts<<
⎪⎪⎭
⎪⎪⎬
⎫
⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡⎟⎠⎞
⎜⎝⎛ Δ
−⋅=
⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡⎟⎠⎞
⎜⎝⎛ Δ
+⋅=0
22cos
22cos
1
0
π
π
de manera equiprobable. Sobre las señales enviadas se superpone un ruido gaussiano, de media cero y densidad espectral de potencia No/2. Suponga que la duración de los símbolos es de Tb segundos, así como que fc >> 1/Tb. El receptor correla las señales recibidas con las funciones φj(t) = cos(2πfjt), siendo fj igual, en cada caso, a las frecuencias asociadas a cada símbolo. Definiendo el coeficiente de correlación ρ entre s0(t) y s1(t) como
( ) ( )
( ) ( ) ⎥⎦⎤
⎢⎣⎡ ⋅⋅⎥⎦
⎤⎢⎣⎡ ⋅
⋅⋅=
∫∫
∫bb
b
TT
T
dttsdtts
dttsts
0
210
20
0 10ρ
obtenga la probabilidad de error de bit del sistema como función de los parámetros que figuran en el enunciado del problema. 2.- Una universidad desea establecer un radioenlace entre dos de sus edificios. La calidad del enlace deber ser tal que la probabilidad de error de bit no puede superar 10-4. La potencia máxima que se permite transmitir es de 30 dBW, y la atenuación del canal es de 30 dB. El ruido que se superpone a la comunicación es blanco gaussiano, con densidad espectral de potencia de nivel N0/2, con N0 = -78 dBW/Hz. Se plantean dos situaciones:
• Suponiendo que el sistema emplea QPSK bajo las condiciones del criterio ML: a) Calcule el máximo régimen binario que puede mantenerse en el enlace. b) Dibuje la constelación de la señal modulada a la entrada del receptor. c) Indique la estructura del receptor óptimo, así como las regiones de decisión
correspondientes a cada símbolo. d) Calcule la eficiencia espectral (régimen binario dividido por ancho de banda
ocupado) tomando como ancho de banda el mínimo teórico. • Suponiendo que el sistema emplea una modulación BFSK ortogonal coherente,
obtenga el umbral de decisión óptimo sabiendo que la probabilidad a priori del símbolo “0” es 0.7. Exprese el resultado en función de Eb y No.
3.- La secuencia binaria {1100100010} se aplica a un transmisor DPSK que emplea como referencia el dígito binario “1”. Esquematice en un cuadro la secuencia original, la secuencia intermedia, las fases enviadas, las componentes en fase y cuadratura y las polaridades de los productos escalares de ambas, así como la secuencia de símbolos recibida (asuma ausencia de ruido). 4.- Sea un sistema PSK coherente binario, que emite uno de los dos posibles símbolos:
bcb
bc
b
bo
bcb
bc
b
b
TttfkTE
tfkTE
ts
TttfkTE
tfkTE
ts
≤≤⋅−−⋅⋅=
≤≤⋅−+⋅⋅=
0)2cos(12
)2sin(2
)(
0)2cos(12
)2sin(2
)(
2
21
ππ
ππ
Supongamos que los símbolos se transmiten de forma equiprobables y que la señal llega contaminada al receptor con un ruido blanco, gaussiano, media nula y densidad espectral de potencia 2/)( 0NfSw = .Deduzca la probabilidad de error en función del error complementario de bE , k y 0N . Compare con la probabilidad de error del sistema convencional BPSK con detección coherente para símbolos equiprobables. Suponga
1k ≤ .
1
TEORÍA DE LA COMUNICACIÓN
SOLUCIONES DE LOS PROBLEMAS TEMA 7
TRANSMISIÓN DIGITAL PASO BANDA
1. ( ) ( ) ( )⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡
⋅−⋅
⋅=⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡ −⋅⋅⋅=
00 21
211
221
NE
erfcN
TAerfcep bb ρρ
2. Haciendo uso de una modulación QPSK: a) 10≤bR Mbps b)
CONSTELACIÓN
c) RECEPTOR ÓPTIMO
2
d) 2=η
Usando BFSK ortogonal coherente:
42.00
0
1
⋅<>
bH
H
EN
y
3. Secuencia original 1 1 0 0 1 0 0 0 1 0 Secuencia intermedia 1 1 1 0 1 1 0 1 0 0 1 Fase 0 0 0 π 0 0 π 0 π π 0 Componente en fase (xc) + + + - + + - + - - + Componente en fase retardada (xc-1) + + + - + + - + - - Componente en cuadratura (xs) + + + - + + - + - - + Componente en cuadratura retardada (xs-1) + + + - + - - - + - xc⋅xc-1 + + - - + - - - + - xs⋅xs-1 + + - - + - - - + - xc⋅xc-1+ xs⋅xs-1 + + - - + - - - + - Secuencia recibida 1 1 0 0 1 0 0 0 1 0
4.
⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛ −=
0
2 )1(21)(
NkE
erfceP b
UNIVERSIDAD DE VALLADOLID
E.T.S. INGENIEROS DE TELECOMUNICACIÓN
TEORÍA DE LA COMUNICACIÓN
PRÁCTICAS DE LABORATORIO
CURSO 2010/2011
UNIVERSIDAD DE VALLADOLID
E.T.S. INGENIEROS DE TELECOMUNICACIÓN
TEORÍA DE LA COMUNICACIÓN
Tutorial de Introducción a Matlab ®
Teoría de la Comunicación - Curso 2010-2011 Tutorial de Introducción a Matlab®
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1. OBTENCIÓN DE AYUDA Y GUÍAS DE REFERENCIA
Matlab® es un conjunto de herramientas de cálculo basadas en matrices especialmente diseñado para resolver problemas numéricos como los que se dan en aplicaciones científicas o de ingeniería.
A continuación se detallan varios sistemas de ayuda que permiten obtener información de las diferentes funcionalidades de Matlab®. Se recomienda que el alumno se familiarice con ellos y con la información que proporcionan:
• Ayuda on line de Matlab®: accesible a través de los comandos helpwin, help o lookfor.
• helpdesk nos proporciona la ayuda en su versión web. Un buen punto de partida para introducirse en Matlab® es el Enlace “getting started”.
• Demostraciones de Matlab® accesibles a través del comando demo.
Además, también serán elementos de ayuda para el desarrollo del laboratorio:
• The Mathworks, manual de usuario de Matlab® en formato “.pdf”, accesible a través de la ayuda en formato “.html”.
• Su página web: http://www.mathworks.com/
2. ACCESO A MATLAB ®
Para acceder a Matlab® basta con hacer uso del icono que encontraremos en el escritorio de cada uno de los PCs del laboratorio. También se puede iniciar una sesión accediendo al ejecutable a través del menú Programas.
Inicio de sesión
La pantalla inicial de Matlab® muestra una ventana con un aspecto similar a:
To get started, type one of these: helpwin, helpdes k, or demo. For product information, type tour or visit www.m athworks.com. »
o a:
To get started, select MATLAB Help or Demos from th e Help menu. »
El símbolo “»” indica que el programa está listo para que introduzcamos
nuestras instrucciones. Si se desea abandonar la sesión de Matlab® basta con ejecutar:
» quit o
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» exit
Configuración del path
Una vez iniciado Matlab®, conviene configurar el directorio de ejecución actual de los programas. Para ello, se accede al menú: File -> Set path -> Add folder, y se selecciona la carpeta en la que estén contenido los programas. Una vez hecho ya se podrán ejecutar los programas de nuestro directorio, tecleando su nombre en la línea de comandos. Igualmente, puede hacer que el directorio de trabajo sea el correspondiente a su cuenta de laboratorio sin más que seleccionarlo en Current Directory.
3. INTRODUCCIÓN DE MATRICES
Los elementos de trabajo fundamentales en Matlab® son las matrices. Si se pretende representar un escalar se hará a través de una matriz 1x1; las matrices con una sola fila, 1xN, o con una sola columna, Nx1, representan vectores. Además hay que tener en cuenta que los elementos de una matriz pueden ser complejos, es decir, constar de parte real y parte imaginaria.
En Matlab® se suele trabajar asignando estas matrices a variables con un
determinado nombre. Así, para introducir una matriz 3x3 y asignarla a una variable denominada A podemos hacer:
» A = [1 2 3; 4 5 6; 7 8 9] o bien:
» A = [ 1 2 3 4 5 6 7 8 9] Los elementos de una fila de la matriz se separan por espacios en blanco, aunque
también se pueden usar comas. Para separar cada una de las filas se utilizará punto y coma. Se debe ser cuidadoso con el uso de espacios en blanco.
Para identificar a cada uno de los elementos de una matriz se indicará la fila y columna correspondiente al valor deseado:
» a=A(2,2) a = 5
De esta manera se ha identificado el elemento que se encuentra en la segunda fila y segunda columna de la matriz A. Si se hubiera definido un vector bastaría con utilizar un único índice para referenciar el elemento de interés. Estos índices que identifican los elementos de una matriz deben ser siempre números enteros positivos.
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4. FUNCIONES PARA CONSTRUIR MATRICES
Para construir matrices de una forma más sencilla Matlab® dispone de muchas funciones. Algunos ejemplos con los que se recomienda experimentar son:
eye Matriz identidad zeros Matriz de ceros ones Matriz de unos diag Ver help diag triu Parte triangular superior de una matriz tril Parte triangular inferior de una matriz rand Matriz de elementos aleatorios (distribución uniforme) randn Matriz de elementos aleatorios (distribución gaussiana) hilb Matriz de Hilbert magic Matriz mágica toeplitz Ver help toeplitz
Si x es un vector, diag(x) es la matriz diagonal con x en su diagonal; si A es una
matriz cuadrada, entonces diag(A) es un vector formado por la diagonal de A.
Las matrices se pueden construir por bloques. Por ejemplo si A es una matriz 3x3:
» B=[A, zeros(3,2); zeros(2,3), eye(2)] B = 1 2 3 0 0 4 5 6 0 0 7 8 9 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 1
5. OPERACIONES CON MATRICES
Las operaciones que se pueden realizar son:
+ Suma - Resta * Multiplicación ^ Potenciación ‘ Transposición \ División izquierda / División derecha
Todas estas operaciones se pueden aplicar sobre matrices [NxM] o escalares
[1x1]. En el caso de que las dimensiones de las matrices sean incompatibles con la operación que se pretende realizar, Matlab® mostrará un mensaje de error. No obstante, determinadas operaciones se realizan de forma particular. Así, si a una matriz [NxM] se le resta o suma un escalar, esta operación se realiza sobre cada uno de los elementos de la matriz:
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» A+1 ans = 2 3 4 5 6 7 8 9 10
Es posible utilizar los operadores para realizar operaciones por coordenadas, es
decir, elemento a elemento entre las matrices involucradas en la operación. Para realizar este tipo de operaciones se usa el operador “.”. Así, si un operador aparece precedido de un punto ( .^, .*, .\, ./ ) la operación se realizará elemento a elemento, como en el siguiente ejemplo, en el que se eleva al cuadrado cada valor de la matriz:
» A.^2 ans = 1 4 9 16 25 36 49 64 81
6. EXPRESIONES, VARIABLES Y SESIONES
Matlab® es un lenguaje de expresiones. Éstas son interpretadas y evaluadas. Como se ha visto en los ejemplos previos las expresiones en Matlab® son del tipo:
» variable = expresión
o » expresión
Una expresión estará compuesta por operadores, funciones y nombres de
variables. El resultado de evaluar una expresión es una matriz, que se mostrará por pantalla y se almacenará en la variable indicada para su posterior uso. Si se omiten la variable y el signo “=” se crea una variable llamada ans a la que se le asigna el resultado de la expresión.
Una instrucción termina con un retorno de carro. Si se desea continuar con ella en la siguiente línea basta con escribir tres (o más) puntos al final, antes del retorno de carro, como se ilustra a continuación:
>> A=[1 2 3 4 5 6 7 8 9 ... 10; 11 12 13 14 15 ...
16 17 18 19 20]
A =
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20
>>
Para agrupar varias instrucciones en una línea se separarán éstas por comas o
puntos y comas; aquéllas que finalicen con “;” no muestran el resultado por pantalla.
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Es necesario indicar que Matlab® es sensible al uso de mayúsculas y minúsculas,
tanto en los nombres de variables como en los de instrucciones y funciones.
Para saber qué variables hay almacenadas en nuestro espacio de trabajo se utiliza la instrucción who:
» who Your variables are: A F G S
Si se desea eliminar una variable de la memoria se hará:
» clear variable
Para eliminar todas las variables no permanentes bastará con teclear clear .
Es posible almacenar las variables de la sesión actual de Matlab® para utilizarlas
en una sesión posterior con la instrucción save , que genera un fichero en el disco con el nombre matlab.mat guardando los datos de nuestra sesión. Para recuperar estos datos en una sesión posterior se hará uso de la instrucción load . Si se desea, es posible asignar un nombre diferente al archivo en el que se almacenan los datos de la sesión o seleccionar qué variables guardar, tal como se explica en la ayuda del comando save .
Matlab® es un lenguaje de programación interpretado, es decir, los programas no necesitan una compilación o enlazado previos a su funcionamiento y las expresiones que componen una determinada secuencia de instrucciones o programa se ejecutan de manera secuencial.
7. BUCLES. OPERADORES RELACIONALES
Matlab® tiene instrucciones para el control de flujo de los programas que actúan de forma similar al resto de los lenguajes.
for
La forma general de un bucle for es:
for contador instrucciones end
Veamos un ejemplo para un valor determinado de una variable n que actúa como
límite del bucle, en concreto generaremos un vector con cuatro elementos:
» n = 4; » x=[];for i = 1:n, x=[x,i^2], end x = 1
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x = 1 4 x = 1 4 9 x = 1 4 9 16
Lo anterior sería equivalente a escribir:
» x=[]; » for i = 1:n x=[x,i^2] end x = 1 x = 1 4 x = 1 4 9 x = 1 4 9 16
En un bucle for se puede indicar la cantidad que queremos que se incremente la
variable contador (i en este caso) en cada iteración del bucle. Por defecto i será incrementada en una unidad por iteración. Así podemos tener un bucle for como:
» for i = n:-1:1, x=[x,i^2],end x = 16 x = 16 9 x = 16 9 4 x = 16 9 4 1
Una anidación de bucles for puede usarse para construir una matriz, como en el
siguiente ejemplo, que proporciona la matriz Hilbert m x n. Puesto que se usa el “;” no se muestran los resultados intermedios. El uso de H al final muestra la variable resultado.
» m=10 m = 10 » n=5 n =
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5 » for i =1:m for j= 1:n H(i,j)=1/(i+j-1); end end » H H = 1.0000 0.5000 0.3333 0.2500 0.2000 0.5000 0.3333 0.2500 0.2000 0.1667 0.3333 0.2500 0.2000 0.1667 0.1429 0.2500 0.2000 0.1667 0.1429 0.1250 0.2000 0.1667 0.1429 0.1250 0.1111 0.1667 0.1429 0.1250 0.1111 0.1000 0.1429 0.1250 0.1111 0.1000 0.0909 0.1250 0.1111 0.1000 0.0909 0.0833 0.1111 0.1000 0.0909 0.0833 0.0769 0.1000 0.0909 0.0833 0.0769 0.0714
while
La forma general de un bucle while es:
while relacion Instrucciones end
Las instrucciones se ejecutarán mientras se cumpla la relación. Por ejemplo:
» while 2^n < a n=n+1; end » n
este bucle se repetirá hasta que la relación: 2n < a, no sea satisfecha.
if, else, elseif
La forma general de una instrucción if es:
if relación instrucciones elseif relación instrucciones else instrucciones end
De esta forma se puede alterar el flujo secuencial de un programa. Las
instrucciones dentro del bucle if sólo se ejecutarán una vez y sólo si la relación es cierta. Es posible tener ramificaciones múltiples:
» if n<0 paridad=0; elseif rem(n,2) == 0 paridad=2;
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else paridad=1; end
Relaciones en Matlab ®
Los operadores relacionales en Matlab® son:
< Menor que > Mayor que <= Menor o igual que >= Mayor o igual que == Igual ~= Distinto
Es importante tener en cuenta que el signo “=” se usa en las asignaciones de valor mientras que el “==” se usa en las relaciones.
Para conectar relaciones o cuantificar las mismas se usan operadores lógicos:
& AND | OR ~ NOT
Las relaciones entre escalares, es decir, entre matrices 1x1, devuelven un escalar, que será 1 ó 0 dependiendo de si la relación es verdadera o falsa:
» 1 > 0, 1 < 0, 1 == 0, 1 ~= 0 ans = 1 ans = 0 ans = 0 ans = 1
Si la relación se aplica a matrices del mismo orden, la evaluación de ésta da lugar a una matriz de ceros y unos, valores correspondientes a calcular la relación entre los distintos elementos de cada matriz.
Es importante observar el correcto uso de la relación entre matrices en un bucle while o una sentencia condicional if. Por ejemplo, en
» if a==b instrucciones end
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las instrucciones se ejecutarán si todos los elementos de la matriz a son iguales a los de b. Pero, si se desea ejecutar las mismas instrucciones sólo si a y b son distintas hay que recurrir a
» if any(any(a~=b)) instrucciones end
o más sencillo:
» if a==b else instrucciones end
ya que la expresión
» if a~=b instrucciones end
sólo se ejecutará si todos los elementos de a son distintos a los de b. Las funciones any y all pueden utilizarse para reducir relaciones entre matrices a relaciones entre vectores y escalares. En el ejemplo anterior se requieren dos any porque éste es un operador vectorial.
8. FUNCIONES ESCALARES
Las funciones más comunes de Matlab® que operan sobre magnitudes escalares o sobre matrices elemento a elemento son: sin asin rem abs ceil cos acos log sqrt floor tan atan exp sign round
Se puede obtener más información sobre cada una de estas funciones escalares con el comando help .
9. FUNCIONES VECTORIALES
Otras funciones operan sobre vectores fila o columna, o sobre matrices mxn (con m ≥ 2). En este último caso operan columna a columna y proporcionan como resultado un vector fila cuyos elementos son las evaluaciones de la operación sobre cada columna. El siguiente ejemplo hace uso del comando mean, que calcula la media de los elementos de un vector.
a = 0.9501 0.7621 0.6154 0.4057 0.0579 0.2311 0.4565 0.7919 0.9355 0.3529 0.6068 0.0185 0.9218 0.9169 0.8132 0.4860 0.8214 0.7382 0.4103 0.0099 0.8913 0.4447 0.1763 0.8936 0.1389 » mean(a)
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ans = 0.6331 0.5006 0.6487 0.7124 0.2745 » mean(a,1) ans = 0.6331 0.5006 0.6487 0.7124 0.2745
El resultado de los comandos mean(a) y mean(a,1) es el mismo debido a que el segundo argumento de mean se refiere a la dimensión sobre la que se efectuará la operación. En el caso de operar sobre las columnas el escalar valdrá 1, mientras que si actuamos sobre las filas su valor será 2. Si se desea aplicar la operación a las filas basta con usar la matriz traspuesta – por ejemplo mean(a')' nos proporciona un vector columna con las medias calculadas para cada fila – o el comando mean(a,2) :
» mean(a') ans = 0.5583 0.5536 0.6554 0.4931 0.5090 » mean(a')' ans = 0.5583 0.5536 0.6554 0.4931 0.5090 » mean(a,2) ans = 0.5583 0.5536 0.6554 0.4931 0.5090
Algunas de las funciones vectoriales empleadas con mayor frecuencia son:
max sum median any sort min prod mean all std
Se puede obtener más información sobre cada una de estas funciones vectoriales con el comando help .
10. FUNCIONES MATRICIALES
Matlab® dispone de multitud de funciones matriciales. Es conveniente tener en cuenta que los argumentos de salida para una función en Matlab® pueden ser simples o múltiples. Por ejemplo:
y = eig(A) , o simplemente eig(A)
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proporciona un vector columna con los autovalores de A. Mientras que [U,D] = eig(A) genera una matriz U cuyas columnas son los autovectores de A y una matriz diagonal D con los autovalores de A en su diagonal.
11. SUBMATRICES Y NOTACIÓN DE DOS PUNTOS
Los vectores y submatrices son utilizados a menudo en Matlab® para conseguir efectos de manipulación bastante complejos. La “notación de dos puntos” se utiliza para generar vectores o submatrices. El uso conjunto de esta notación con la adecuada indexación por vectores son claves para realizar cálculos en Matlab® de forma eficiente, minimizando el número de bucles, que hacen la ejecución de los programas más lenta. Además, las instrucciones parecen más sencillas y legibles. Veamos un ejemplo de “notación de dos puntos”:
» 1:5 ans = 1 2 3 4 5
Resulta que 1:5 es en realidad el vector mostrado en la variable ans . Los números pueden no ser enteros y el incremento diferente de la unidad. Por ejemplo:
» 0:0.2:1 ans = 0 0.2000 0.4000 0.6000 0.8000 1.0000
El siguiente ejemplo muestra cómo generar una función sinusoidal sin usar un
bucle for con una variable haciendo de contador:
» x=[0.0:0.1:2*pi]’ » y=sin(x) » plot(x,y)
Mediante la notación de dos puntos se puede acceder a submatrices. Por
ejemplo, A(1:4,3) es el vector columna con las cuatro primeras entradas de la tercera columna de A.
Dos puntos sin más especificación denotan una fila o columna completa. Así, A(:,3) es la tercera columna de A y A(1:4,:) serán las cuatro primeras filas. Igualmente, se pueden usar como índices vectores enteros arbitrarios. Por ejemplo, A(:,[2 4]) serán las columnas segunda y cuarta de A. Otro ejemplo más elaborado podría ser A(:, [2 4 5]) = B(:,1:3) , que reemplaza las columnas 2, 4 y 5 de A por las tres primeras de B, asignando el resultado a la matriz A.
Podemos usar esta notación para trabajar con submatrices de forma eficiente y
sin utilizar bucles. Así, la instrucción A(:,[2,4])=A(:,[2,4])*[1 2;3 4] multiplica
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las columnas 2 y 4 de A por una matriz 2x2 y el resultado se asigna de nuevo a la matriz completa.
12. ARCHIVOS .m
En Matlab® es posible ejecutar una secuencia de instrucciones almacenadas en un archivo de disco. Estos archivos se denominan “archivos .m” porque su extensión debe ser “.m”. Pueden ser de dos tipos: de funciones y de instrucciones.
Archivos de instrucciones. Scripts
Estos archivos “.m” consisten en una sucesión de instrucciones normales de Matlab®.Si tuviéramos un archivo denominado nombre.m, las instrucciones del archivo pueden ser ejecutadas sin más que escribir nombre . Las variables en un archivo de este tipo se consideran como globales y por lo tanto alterarán los valores de las variables del espacio de trabajo.
Los archivos de instrucciones se utilizan para cargas de datos en matrices de tamaño considerable, o cuando estas cargas son repetitivas, ya que es sencillo corregir errores sin tener que repetir todo el trabajo. Por ejemplo el archivo datos.m que incluye el siguiente contenido:
a=[ 1 2 3 4 5 6 7 8 ];
hará que al ejecutar datos se cargue la variable a con el valor especificado en el espacio de trabajo. Además este archivo puede hacer referencia a otros.
Resulta muy habitual emplear los archivos de instrucciones es como scripts. Los scripts no aceptan ningún tipo de argumento de entrada ni devuelven ningún argumento de salida y trabajan con datos situados en el espacio de trabajo (workspace). Los scripts son muy útiles dado que, al invocarlos, Matlab® simplemente ejecuta los comandos presentes en el fichero. Los scripts pueden trabajar con datos existentes en el espacio de trabajo o pueden crear nuevos datos con los que operar. Aunque hemos mencionado que los scripts no devuelven argumentos de salida, cualquier variable creada por ellos permanece en el espacio de trabajo, por lo que puede emplearse en cálculos posteriores. La utilidad de los scripts podrá comprobarse a lo largo de las prácticas de la asignatura.
Archivos de funciones
Mediante estos archivos Matlab® extiende sus capacidades de cálculo, creando funciones específicas para la resolución de tareas concretas. Estas funciones tendrán el mismo rango que cualquier otra de las existentes en el sistema. En este caso las variables empleadas serán locales a cada función, y si se pretende usar una variable como global habrá que declararla como tal explícitamente. Veamos un ejemplo sencillo con el archivo ental.m, cuyo contenido es
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function a = ental(m,n) %ENTAL Matriz generada aleatoriamente % ental(m,n) produce una matriz con mxn entradas % enteras entre 0 y 9 a = floor(10*rand(m,n));
Una versión más general de esta función es:
function a = ental(m,n,b,c ) %ENTAL Matriz generada aleatoriamente % ental(m,n) produce una matriz con mxn entradas % enteras entre 0 y 9 % ental(m,n,b,c) da las entradas de la matriz entre b y c if nargin < 3, b=0; c=9; end a = floor((c-b+1)*rand(m,n))+b;
La primera línea del archivo ental.m contiene el nombre de la función, así como los argumentos de entrada y de salida de la misma. Sin esta línea el archivo se consideraría como uno de instrucciones. Así la instrucción z = ental(4,5) hará que los números 4 y 5 pasen a las variables m y n en el archivo de función. El resultado se asignará a la variable z. Como las variables en un archivo de función son locales, sus nombres son independientes de los que se encuentren en el espacio de trabajo.
El uso de nargin (número de argumentos de entrada) permite asignar un valor por defecto a una variable de entrada que se omita, como b y c en el ejemplo.
Los argumentos de salida también pueden ser múltiples. Por ejemplo: function [w,ierr] = bessel(nu,z) %BESSEL Bessel functions of various kinds. % Bessel functions are solutions to Bessel's diff erential % equation of order NU: % 2 2 2 % x * y'' + x * y' + (x - nu ) * y = 0 % % There are several functions available to produc e solutions to % Bessel's equations. These are: % % BESSELJ(NU,Z) Bessel function of the fir st kind % BESSELY(NU,Z) Bessel function of the sec ond kind % BESSELI(NU,Z) Modified Bessel function o f the first kind % BESSELK(NU,Z) Modified Bessel function o f the second kind % BESSELH(NU,K,Z) Hankel function % AIRY(K,Z) Airy function % % See the help for each function for more details . % Copyright (c) 1984-98 by The MathWorks, Inc. % $Revision: 5.8 $ $Date: 1997/11/21 23:45:04 $ [w,ierr] = besselj(nu,z);
En el caso de que se usen argumentos de salida múltiples también es posible
hacer asignaciones simples al primero de los parámetros de salida.
El símbolo % indica que el resto de la línea es un comentario; así Matlab® lo ignorará durante la ejecución del código. Las primeras líneas de comentarios de un
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archivo de función pueden consultarse con la instrucción help. Es imprescindible incluir esta documentación en cada archivo para una correcta clasificación y reutilización de nuestras propias funciones.
Matlab® dispone de funciones internas, construidas en el propio código del programa, y otras que se entregan como archivos “.m”. Se recomienda la inspección de dichos archivos, que pueden servir al alumno como fuente de inspiración a la hora de crear sus propias funciones. Para ver un archivo desde la línea de comandos de Matlab® usando el editor integrado en la aplicación basta teclear edit funcion.m . Las ventajas de crear funciones propias podrán comprobarse a lo largo de las prácticas de la asignatura.
13. CADENAS DE TEXTO, MENSAJES DE ERROR, INPUT
Las cadenas de texto se introducen entre comillas simples. Por ejemplo:
s = ‘Esto es una cadena de texto de prueba’
Las cadenas de texto pueden mostrarse con la instrucción disp :
disp(‘Esto es un mensaje’)
Para el caso en el que se desee mostrar algún tipo de mensaje de error resulta más aconsejable emplear la función error :
error(‘Lo siento, esto es un mensaje de error’) La diferencia entre las dos opciones consiste en que al emplear error se finaliza la ejecución del archivo “.m”.
Para la introducción de datos de manera interactiva se usa input . Si Matlab® encuentra la instrucción input durante la ejecución de un script o de un archivo de función, mostrará la cadena de texto asociada y parará la ejecución hasta que el usuario introduzca los datos. Estos se asignarán a la variable correspondiente tras el retorno de carro, continuando inmediatamente con la ejecución del programa.
14. DEPURACIÓN DE FUNCIONES
Matlab® dispone de herramientas para depurar funciones en archivos “.m”. Algunas de éstas son:
dbstop Fija un breakpoint dbclear Elimina un breakpoint dbcont Reanuda la ejecución dbdown Cambia el contexto de ejecución local dbstack Indica desde donde se llamó a una función dbstatus Lista todos los breakpoints dbstep Ejecuta una o más líneas dbtype Lista un fichero “.m” con números de línea
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dbup Cambia el contexto de ejecución local
15. GRÁFICOS E INTERFACES GRÁFICAS
Matlab® permite dibujar gráficos planos y de malla de superficies tridimensionales.
Gráficos planos
La función plot crea gráficos en el plano XY; si x e y son vectores de la misma longitud, la orden plot(x,y) accede a la pantalla gráfica y realiza un gráfico plano de los elementos de y frente a los elementos de x. Intente dibujar de esta forma la función seno sobre el intervalo [-2*π,2*π], con un paso de 0.01, teniendo en cuenta que la función sin es vectorial.
Si realiza un nuevo gráfico, éste se dibujará sobre el anterior. Si desea mantener el primer gráfico se debe emplear la función hold ; con hold on y hold off congela y libera la pantalla gráfica actual. La instrucción grid dibujará una cuadrícula de referencia sobre el gráfico. Puede emplear el comando figure para realizar representaciones en diferentes ventanas. Como prueba, muestre un gráfico de la función
2xey −= con un paso de 0.01 sobre el intervalo [-1.5,1.5].
Para poner títulos, etiquetas y comentarios en los ejes de los gráficos se emplean los comandos title , xlabel , ylabel , gtext , text . Experimente con ellos. La escala de los ejes se ajusta automáticamente al pintar el gráfico, por lo que si desea fijar los ejes con unos valores determinados deberá usar el comando axis . La entrada de axis es un vector de 4 elementos de la forma [x min , x max, y min , y max] . El uso de axis congela el escalado para los siguientes gráficos que muestre. Para volver al escalado automático se emplea la función axis sin argumentos. Puede ver más utilidades de este comando con help axis .
En Matlab® también puede obtener gráficos de funciones múltiples formando una matriz con los valores de dichas funciones como columnas. El siguiente ejemplo representa tres funciones sinusoidales:
x=0:.01:2*pi; Y=[sin(x)’,sin(2*x)’,sin(4*x)’]; plot (x,Y)
Otra de las características de las representaciones gráficas en Matlab® es la posibilidad de realizar cambios en los tipos de línea y de punto asignados por defecto. Teclee help plot y experimente con ello.
Para finalizar, el comando subplot permite visualizar varios gráficos a la vez en
la pantalla. Este comando divide la ventana de representación de figuras en una matriz mxn. Posteriormente es necesario seleccionar la posición concreta en la que se quiere representar cada figura. La ayuda de Matlab® proporciona ejemplos ilustrativos acerca del uso combinado de plot y subplot .
Teoría de la Comunicación - Curso 2010-2011 Tutorial de Introducción a Matlab®
16
Interfaces gráficas
Es posible construir interfaces gráficas para permitir al usuario una interacción más fácil con las herramientas desarrolladas. Proporcionar las nociones básicas del manejo de elementos gráficos está fuera de los objetivos de este tutorial. No obstante, puede ser interesante para el alumno aprender a manejar esta característica de Matlab® con el fin de presentar más fácilmente los resultados obtenidos en los ejercicios y realizar una programación estructurada en la resolución de cada uno de ellos.
BIBLIOGRAFÍA
[1] The Mathworks, Manual de usuario de Matlab®.
UNIVERSIDAD DE VALLADOLID
E.T.S. INGENIEROS DE TELECOMUNICACIÓN
TEORÍA DE LA COMUNICACIÓN
Práctica 1: Introducción a la simulación de señales y sistemas
Teoría de la Comunicación - Curso 2010-2011 Práctica 1
1
1. OBJETIVOS
Con esta primera práctica se pretende que el alumno sea capaz de simular los conocimientos teóricos adquiridos sobre señales y sistemas lineales. Para ello deberá realizar una serie de programas de Matlab® que le permitirán:
1. Calcular transformadas de Fourier. 2. Ver e interpretar espectros de señales. 3. Obtener el equivalente paso bajo de señales paso banda. 4. Trabajar con procesos aleatorios.
Debido al limitado número de sesiones de laboratorio disponibles, resulta MUY
RECOMENDABLE plantearse la resolución de los ejercicios antes de la correspondiente sesión práctica. De este modo es posible sacar el máximo partido al tiempo pasado en el laboratorio.
Asimismo, con el objetivo de facilitar la comprensión de los conceptos de Teoría
de la Comunicación, complementando las explicaciones teóricas y las prácticas de laboratorio, se encuentra disponible en http://www.gib.tel.uva.es/tc un tutorial vía web. Cada tema de la asignatura tiene una serie de applets de Java que permiten simular diferentes conceptos teóricos, evaluando la importancia de los diferentes parámetros que entran en juego. Cada applet se identifica como TemaxApplety.html, siendo x el número del tema e y el número del applet. A lo largo del enunciado de las prácticas de laboratorio se mencionarán los applets que pueden resultar útiles en cada caso. Es necesario instalar JRE 1.5 para poder utilizarlo (disponible en la web de la asignatura alojada en http://www.tel.uva.es).
2. SEÑALES EN TIEMPO Y EN FRECUENCIA
En este primer apartado se pretende que el alumno sea capaz de generar y visualizar correctamente señales en el dominio del tiempo y en el de la frecuencia, haciendo uso de las funciones que proporciona Matlab®. Para ello se recomienda consultar el toolbox ‘Signal Processing’, fijándose especialmente en las funciones de las categorías ‘Waveform Generation’ y ‘ Transforms’.
Considere las siguientes señales definidas en el tiempo:
• ( ) ( )tftx cπ2cos1 = (1)
• x2(t) = sinc(at) (2) • ( )ttx Λ=)(3 (3)
• ( )
−Λ=
0
04 T
tttx (4)
• ( )
−Π⋅+
Π=
2
0
15 T
ttb
T
ttx (5)
Teoría de la Comunicación - Curso 2010-2011 Práctica 1
2
Los parámetros de las mismas vienen dados por: fc = 200 Hz, a = 0.5, t0 = 0.1 s, T0 = 0.01 s, T1 = 0.05 s, T2 = 0.025 s y b = 2 V. Además:
<−=Λ
resto
tt
t
,0
,1)( τττ
(6)
• Genere un vector de tiempos, a partir de una frecuencia de muestreo (fs) que
considere adecuada para cada señal. La opción más recomendable consiste en definir el vector de la forma t = [tinicial:1/fs:tfinal] , donde tinicial y tfinal representan los extremos del intervalo temporal de trabajo y fs es la frecuencia de muestreo1. De este modo el vector tendrá un determinado número de muestras N = length(t) que dependerá de los valores de tinicial , tfinal y fs .
• Visualice en tiempo las señales anteriores, mediante el comando plot . Para escalar convenientemente la señal puede resultar útil el comando axis .
Una vez definidas las señales en el tiempo, se va a calcular el espectro de las
mismas, para lo cual se hará uso de la transformada de Fourier. Ha de tener en cuenta que en Matlab® se trabaja con señales discretas x[n], es decir, con secuencias de N muestras, separadas TS (período de muestreo). El primer paso para obtener una señal de este tipo consiste en tomar muestras de la señal continua en instantes de tiempo separados TS:
∑∞
−∞=−=
nSS nTtnTxtx )()()( δδ (7)
Si se calcula la transformada de Fourier de la misma se obtiene:
∑∞
−∞=−=
n SS T
nfX
TfX )(
1)(δ (8)
En el caso de que se parta directamente de una secuencia discreta, x[n], como
ocurre en Matlab®, la expresión de la transformada de Fourier discreta (DFT, Discrete Fourier Transform) es:
[ ]∑∞
−∞=
−⋅=n
fnTjd
SenxfX π2)( (9)
Para reducir la carga computacional asociada, Matlab® implementa la DFT
mediante el algoritmo de la transformada rápida de Fourier (FFT, Fast Fourier Transform). El comando correspondiente es fft , que suele combinarse con la función fftshift . La frecuencia más alta con significado físico real visible mediante el comando fft es la mitad de la frecuencia de muestreo. Esto hay que tenerlo en cuenta cuando se vayan a representar los espectros. 1 Para la mayor parte de las señales que analizaremos a lo largo del curso es recomendable emplear tinicial = -tfinal para así tener un intervalo simétrico con respecto a t = 0 .
Teoría de la Comunicación - Curso 2010-2011 Práctica 1
3
• Calcule de manera analítica la transformada de Fourier de las señales x1(t),
x2(t), x3(t), x4(t) y x5(t). Visualice en el dominio de la frecuencia las expresiones obtenidas con el comando plot . Para generar el vector de frecuencias correspondiente puede resultar útil el comando linspace .
• Partiendo de las señales en el tiempo del apartado anterior (x1(t), x2(t), x3(t), x4(t) y x5(t)) y de la frecuencia de muestreo seleccionada, calcule numéricamente los espectros de las mismas. Represente el valor absoluto de los resultados, utilizando las funciones abs y plot . ¿Por qué piensa que ha de tomarse el valor absoluto de la transformada de Fourier?
• Compare los espectros obtenidos de forma analítica con los obtenidos de manera numérica. En caso de que no coincidan, indique si es necesario introducir algún factor de escala en el cálculo numérico, teniendo en cuenta si las señales están definidas en energía o en potencia. Si ha definido el vector de tiempos de la manera indicada anteriormente, su programa tan sólo dependerá de dos variables: la frecuencia de muestreo y el número de muestras del vector de tiempos.
Con el applet disponible en http://www.gib.tel.uva.es/tc/Tema1Applet1.html es
posible estudiar diferentes propiedades de la transformada de Fourier (escalado, desplazamiento en tiempo y desplazamiento en frecuencia) de una función sinc para así comprobar si los resultados previamente obtenidos con Matlab® se ajustan a lo esperado. De manera análoga en http://www.gib.tel.uva.es/tc/Tema1Applet2.html se puede calcular la transformada de Fourier de varias señales tipo (coseno, sinc y pulso rectangular) para contrastar las figuras con los resultados obtenidos con Matlab®.
Para cuantificar la distribución en frecuencia de la energía o la potencia de una señal se recurre a una magnitud denominada densidad espectral.
• Calcule analíticamente la densidad espectral de las señales anteriores. • Calcule numéricamente y represente la densidad espectral de las señales
anteriores (x1(t), x2(t), x3(t), x4(t) y x5(t)), teniendo en cuenta si están definidas en energía o en potencia antes de realizar los cálculos. Para generar la función de autocorrelación puede resultar útil el comando xcorr .
• Compare los espectros obtenidos de forma analítica con los obtenidos de manera numérica.
3. MODELADO PASO BAJO EQUIVALENTE
En este apartado se va a estudiar la representación equivalente paso bajo de una señal paso banda. Para ello, se hará uso de la transformada de Hilbert, que puede realizarse en Matlab® con el comando hilbert , si bien el mismo merece especial atención. Por ello, se recomienda consultar la ayuda de esta función antes de emplearla.
Sean )(6 tx y )(7 tx las señales definidas como:
• )t500cos(2 t)sen(105
3)(6 ⋅⋅⋅= ππ
πttx (10)
Teoría de la Comunicación - Curso 2010-2011 Práctica 1
4
• )t400cos(2 (10t)25)(7 ⋅⋅Λ⋅= πtx (11)
Suponiendo que la frecuencia de muestreo es HzfS 2000= , realice un
programa de Matlab® para calcular y representar:
• Las señales )(6 tx y )(7 tx .
• Los módulos del espectro de cada señal, es decir, )(6 fX y )(7 fX .
• La densidad de espectral de )(6 tx y )(7 tx .
• Los módulos de los espectros de las señales analíticas positivas y negativas correspondientes a cada una de las dadas.
• Los espectros de las señales equivalentes paso bajo. • Las componentes en fase y cuadratura de )(6 tx y )(7 tx .
• La envolvente natural de )(6 tx y )(7 tx .
Las funciones angle , real e imag , además de la ya mencionada hilbert ,
pueden resultarle útiles en la resolución del problema. Consulte la ayuda para saber el modo de empleo de cada una de ellas.
4. PROCESOS ALEATORIOS PASO BANDA
En este último apartado se van a analizar los procesos aleatorios, estudiando dos formas de ruido: el ruido blanco gaussiano y el ruido de banda estrecha.
El ruido blanco gaussiano se caracteriza porque su densidad espectral de
potencia es constante:
2
)( 0NfSW = (12)
)( fSW vendrá dada en W/Hz. Dado que )( fSW es constante y no depende de la
frecuencia, la función de autocorrelación del ruido blanco es una delta en el origen, cuya magnitud es la de la densidad espectral de potencia.
Para generar ruido blanco gaussiano, se puede usar la función wgn. La siguiente
línea de código permite crear un vector fila de ruido blanco gaussiano con media nula especificando la densidad espectral de potencia:
Ruido_blanco = wgn(1,N,N0/2,’linear’,’real’); Otra opción consiste en utilizar la función randn , que genera datos gaussianos
de media nula y varianza (σ2) unidad. Es posible emplearla para generar un vector fila de datos gaussianos con diferente media y varianza como sigue:
Datos_gaussianos = media+sqrt(varianza)*randn(1,N);
Teoría de la Comunicación - Curso 2010-2011 Práctica 1
5
Si se aproxima la varianza del ruido blanco gaussiano por el valor de la densidad espectral de potencia, podremos generar un vector de media nula y varianza igual a N0/2 con la siguiente línea de código:
Ruido_blanco = sqrt(N0/2)*randn(1,N); • Genere un vector de ruido blanco gaussiano de media cero, N0 = 10 W/Hz y
10000 muestras con las dos opciones especificadas anteriormente. • Visualice la función de autocorrelación (asuma que la frecuencia de
muestreo es fs = 4000 Hz) y la densidad espectral de potencia de los procesos de ruido generados. Analice los resultados.
Cuando el proceso de ruido tiene un espectro en potencia mucho mayor en las
frecuencias en torno a una central (± fc), que en el resto, se dice que el proceso es paso banda. Por ello, al igual que las señales paso banda deterministas, puede representarse en su forma canónica. Si además se cumple que su ancho de banda es suficientemente pequeño en relación a esta frecuencia central (fc >> B), podemos decir que el proceso de ruido es de banda estrecha. Una forma de generar un proceso de ruido de este tipo consiste en aplicar un filtro paso banda, de anchura B en un entorno de fc, a un proceso de ruido blanco.
• Analice la respuesta del filtro paso banda, especificado por los coeficientes a y b2. ¿Cuál es la frecuencia central del mismo (fc), así como el ancho de banda correspondiente (B), teniendo en cuenta que la frecuencia de muestreo es: fs = 4000 Hz? Para ello se recomienda consultar la función fvtool .
• Genere un ruido de banda estrecha centrado en fc con ancho de banda B, a partir del proceso de ruido blanco generado anteriormente. Calcule y visualice su densidad espectral de potencia. Para filtrar el ruido blanco emplee la función de Matlab® filter(b,a,n) , siendo a y b los vectores de coeficientes del punto anterior y n el vector que contiene las muestras de la señal ruidosa.
Otra forma alternativa para generar ruido de banda estrecha consiste en emplear
procesos ruidosos paso bajo. Al igual que en el caso de las señales deterministas, un proceso aleatorio paso banda puede representarse como: )2()()2cos()()( 00 tfsentXtftXtX SC ππ −= , (13)
donde )(tXC y )(tXS son las componentes en fase y en cuadratura de )(tX . Los
procesos aleatorios )(tXC y )(tXS son paso bajo.
BIBLIOGRAFÍA
[1] S. Haykin, Communication Systems, John Wiley & Sons, 4rd edition, 2001.
2 Los vectores de coeficientes, están disponibles en la página web de la asignatura (alojada dentro del dominio www.tel.uva.es), en el archivo coeficientes.mat . Para cargarlos en el espacio de trabajo debe emplear el comando load .
Teoría de la Comunicación - Curso 2010-2011 Práctica 1
6
[2] A.V. Oppenheim and R.W. Schafer, Discrete-Time Signal Processing, Englewood Cliffs, NJ: Prentice-Hall, 1989.
[3] The Mathworks, Manual de usuario de Matlab®.
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TEORÍA DE LA COMUNICACIÓN
Práctica 2: Modulación en amplitud. Modulación en frecuencia. Ruido en
modulaciones analógicas
Teoría de la Comunicación - Curso 2010-2011 Práctica 2
1
1. OBJETIVOS
Con esta segunda práctica se pretende que el alumno comprenda los conceptos teóricos fundamentales de las modulaciones analógicas. Para ello se simularán la modulación AM convencional, la modulación SSB, la influencia del sincronismo en la modulación DSB-SC y la distorsión en FM de banda estrecha. Asimismo, también se estudiará la influencia del ruido en la modulación AM convencional.
Antes de comenzar la realización de la práctica se recomienda consultar el
toolbox ‘Signal Processing’, fijándose especialmente en las funciones de la categoría ‘Specialized Operations’. Debido al limitado número de sesiones de laboratorio disponibles, resulta MUY RECOMENDABLE plantearse la resolución de los ejercicios antes de la correspondiente sesión práctica. De este modo es posible sacar el máximo partido al tiempo pasado en el laboratorio.
2. MODULACIÓN EN AMPLITUD
2.1. Modulación AM convencional
Sea m(t) la señal de datos que se quiere transmitir y c(t) una señal portadora, es decir, )2cos()( tfAtc cc π= . Si modulamos la señal de datos m(t) con AM convencional
con sensibilidad ka, la señal modulada s(t) vendrá dada por la expresión: [ ] ( )tftmkAts cac π2cos)(1)( += (1)
La envolvente de la señal s(t) tiene la misma forma que m(t) siempre que
1)( <tmka . En caso contrario se produce sobremodulación.
La transformada de Fourier de la señal s(t) es:
( ) ( )[ ] ( ) ( )[ ]ccca
ccc ffMffM
Akffff
AfS ++−+++−=
22)( δδ (2)
La potencia de la señal modulada es:
[ ]PkA
P ac
s2
2
12
+= (3)
En la expresión (3), P es la potencia de la señal moduladora. La eficiencia en
potencia de la modulación se obtiene como el cociente entre la potencia empleada para transmitir el mensaje de datos y la potencia total en la señal modulada. Para el caso de una señal modulada con AM convencional:
Pk
Pk
a
a2
2
1+=η (4)
Teoría de la Comunicación - Curso 2010-2011 Práctica 2
2
Sea la señal:
( )tfAtm mm π2cos)( = (5)
Considere que 85.0=ak , Am = 1 V, fm = 100 Hz y que la frecuencia de la portadora c(t)
es de 250Hz. Suponiendo que no hay ruido en el canal de comunicaciones, realice las siguientes tareas con Matlab®:
• Obtenga la señal s(t) con la fórmula (1) a partir de m(t), c(t) y ka. Tenga en cuenta que VAc 1= . ¿Hay sobremodulación?
• Represente m(t) y s(t) en el intervalo st 15.00 ≤≤ 1.
• Calcule las transformadas de Fourier de m(t) y s(t) y represéntelas. Para ello, tenga en cuenta todas las consideraciones respecto al cálculo de los espectros y a la visualización de señales de la práctica anterior.
• Determine la potencia de m(t) y s(t). Para ello puede resultarle útil la función xcorr.
• Calcule la eficiencia de la modulación. • Recupere la señal m(t) a partir de s(t) con un detector de envolvente. Utilice las
líneas de código del programa que crease en la práctica 1 para el cálculo de la envolvente natural de señales. Tenga en cuenta que, una vez obtenida la envolvente de s(t), su expresión será similar a [ ])(1)( tmkAtv ac += . Si Ac = 1,
puede eliminar la componente de continua y recuperar la señal moduladora con la siguiente expresión, en la que env hace referencia a la envolvente previamente calculada: dem1=(env-1)/k_a;
• ¿Qué sucedería si la señal moduladora fuera )(3)(2 tmtm = ?
• Repita los pasos anteriores empleando adecuadamente las funciones modulate y demod de Matlab®. ¿Qué método ha de seleccionar para realizar la modulación AM con el comando modulate? ¿Es posible realizar la demodulación con un detector de envolvente empleando el comando demod?
En http://www.gib.tel.uva.es/tc/Tema2Applet1.html es posible estudiar la
modulación AM con dos señales moduladoras diferentes (coseno y sinc) y así comprobar si los resultados previamente obtenidos con Matlab® se ajustan a lo esperado.
2.2. Modulación SSB
En la modulación SSB sólo se transmite una banda lateral de las dos que componen la modulación DSB-SC, introducida de manera implícita en el segundo ejercicio de la práctica anterior. Así se consigue ocupar un menor ancho de banda en la transmisión de la señal. La expresión general de la señal SSB es:
1 Se recomienda emplear un intervalo temporal de mayor duración para definir las señales y, posteriormente, ajustar la representación con axis.
Teoría de la Comunicación - Curso 2010-2011 Práctica 2
3
( ) ( )tftmAtftmAts cccc ππ 2sin)(2
12cos)(
2
1)(
^
±= (6)
Cuando en (6) se emplea el signo menos, la banda transmitida es la superior. De manera análoga, cuando se utiliza el signo más, lo que se transmite es la banda inferior. Considere la señal: )2cos()( tfAtm mm π= , (7)
con Am = 4 V y Hzfm 100= .
• Obtenga la señal s(t) para modulación SSB con banda lateral superior y con
banda lateral inferior a partir de (7). Considere que VAc 1= y Hzf c 200= .
• Represente m(t) y s(t) (para los dos tipos de modulación SSB) en el intervalo st 11 ≤≤− .
• Calcule las transformadas de Fourier de m(t) y s(t) y represéntelas correctamente (es decir, tenga en cuenta que todo lo visto en la primera práctica acerca del cálculo y visualización de transformadas de Fourier con Matlab® sigue siendo aplicable aquí). Compruebe que se está transmitiendo la banda adecuada en cada caso.
• Repita los pasos anteriores empleando adecuadamente la función modulate de Matlab®.¿Qué método ha de seleccionar para realizar la modulación AM con el comando modulate? ¿Es posible simular la transmisión de la banda lateral inferior con este comando? ¿Y la transmisión de la banda lateral superior?
2.3. Modulación QAM
En este apartado simularemos la modulación QAM, que permite transmitir dos señales de información diferentes, de ancho de banda W, ocupando un ancho de banda total de 2W. La señal transmitida viene dada por la expresión:
( ) ( )tftmAtftmAts cccc ππ 2sin)(2cos)()( 21 += (8)
Considere las señales m(t) y m’( t), que van a ser las moduladoras que
empleemos, con Am = 1V, fm = 50Hz, VAm 2' = y Hzfm 100' = :
( ) ( )tfAtm mm π2cos= (9)
( ) ( )tfAtm mm''' 2sin π= (10)
Suponga que la frecuencia portadora es fc = 800 Hz y que Ac = 1V. Con estos parámetros:
Teoría de la Comunicación - Curso 2010-2011 Práctica 2
4
• Genere la señal s(t) a partir de la ecuación (8). Considere como componente en fase m(t), y como componente en cuadratura m’( t).
• Represente s(t) en el intervalo st 05.00 ≤≤ .
• Calcule la transformada de Fourier de s(t) y represéntela para el intervalo de frecuencias [-1000, 1000] Hz. Para ello, tenga en cuenta todas las consideraciones respecto al cálculo de los espectros y a la visualización de señales de la práctica anterior.
• Compare los resultados con los que se obtendrían empleando el comando de Matlab® modulate a la hora de generar s(t).
• Recupere las señales de información m(t) y m’(t), a partir de la señal modulada anteriormente, haciendo uso del comando demod.
• Represente m(t) y m’(t) en el intervalo st 1.00 ≤≤ .Visualice también en frecuencia las señales demoduladas en el intervalo [-500, 500] Hz.
3. MODULACIÓN EN FRECUENCIA
3.1. Modulación FM de banda estrecha
La modulación en frecuencia FM es no lineal. En este caso la amplitud de la señal es constante y la señal de datos m(t) se emplea para modificar la fase de la portadora. La expresión general de la señal modulada FM es:
+= ∫
t
fcc dttmktfAts0
)(22cos)( ππ (11)
El término kf representa la sensibilidad en frecuencia del modulador. La frecuencia instantánea es: )()( tmkftf fci += (12)
Cuando la señal moduladora es un tono ( )2cos()( tfAtm mm π= ), la ecuación (12)
se transforma en: )2cos()2cos()( tffftfAkftf mcmmfci ππ ∆+=+= (13)
La fase )(tiθ será:
)2(2)2(2)(22)(0
tfsentftfsenf
ftfdttmktft mcm
mc
t
fci πβπππππθ +=∆+=+= ∫ (14)
β es el índice de modulación:
m
mf
m f
Ak
f
f =∆=β (15)
Teoría de la Comunicación - Curso 2010-2011 Práctica 2
5
Por lo tanto, la señal FM modulada por un tono puede expresarse como: [ ])2(2cos)( tfsentfAts mcc πβπ ⋅+= (16a)
En http://www.gib.tel.uva.es/tc/Tema3Applet1.html se puede simular la
modulación FM cuando se emplea un tono como señal moduladora, siendo posible visualizar la señal en el dominio del tiempo y en el de la frecuencia.
Empleando fórmulas trigonométricas, la ecuación (16a) se transforma en:
[ ] [ ])2()2()2(cos)2cos()( tfsensentfsenAtfsentfAts mccmcc πβππβπ ⋅−⋅= (16b)
Si consideramos que el índice de modulación es pequeño con respecto a un radián, pueden realizarse varias aproximaciones en la ecuación (16b): [ ] 1)2(cos ≈⋅ tfsen mπβ y
[ ] )2()2( tfsentfsensen mm πβπβ ⋅≈⋅ ⇒ FM de banda estrecha. Entonces,
)2()2()2cos()( tfsentfsenAtfAts mcccc πβππ ⋅−≈ (17)
Esta aproximación presenta dos problemas:
1. La envolvente contiene una modulación en amplitud residual, por lo que no es
constante. 2. La fase presenta distorsión armónica.
Es posible desarrollar la ecuación (17) con fórmulas trigonométricas:
[ ] [ ]tffA
tffA
tfAts mcc
mcc
cc )(2cos2
)(2cos2
)2cos()( −−++≈ πβπβπ (18)
Para poder ilustrar la distorsión que aparece en FM de banda estrecha, suponga
los siguientes parámetros:
• Frecuencia de muestreo kHzf s 200= .
• Frecuencia de la portadora Hzfc 5000= .
• Frecuencia de la moduladora Hzfm 1000= .
• Amplitud de la portadora VAc 7= .
• Amplitud de la moduladora VAm 3= .
• Índice de modulación rad2=β .
• Número de muestras 10001. • Intervalo temporal [0, 0.05] s.
Deberá realizar un programa de Matlab® que haga lo siguiente:
Teoría de la Comunicación - Curso 2010-2011 Práctica 2
6
• Mostrar la señal moduladora y la señal FM (obtenida con el comando de Matlab modulate
2) en el intervalo temporal [0.001, 0.005] s (emplee el comando axis para ajustar la representación).
• Mostrar el módulo de la transformada de Fourier de la señal moduladora y de la señal FM anteriores (emplee el comando axis para ajustar su representación a un intervalo que muestre claramente el espectro de ambas señales).
• Demodular la señal FM con el comando de Matlab demod y representar la señal obtenida en el intervalo [0.001, 0.005] s.
• Representar el módulo de la transformada de Fourier de la señal demodulada. • Generar la señal modulada con la expresión (17) (aproximación de FM de banda
estrecha) y representarla en el intervalo [0.001, 0.005] s. • Mostrar el módulo de la transformada de Fourier de la señal modulada obtenida
con la aproximación de FM de banda estrecha. • Demodular con el comando de Matlab demod la señal modulada (FM de banda
estrecha) y representarla en el intervalo [0.001, 0.005] s. ¿Aparece distorsión? • Representar la transformada de Fourier de la señal demodulada en el punto
anterior para el intervalo de frecuencias [-10000, 10000] Hz. ¿Qué armónicos de la señal moduladora están presentes?
• Repita los pasos anteriores variando el índice de modulación.
Con el objetivo de complementar esta práctica sobre la modulación FM de banda estrecha, en http://www.gib.tel.uva.es/tc/Tema3Applet2.html se puede simular vía web dicho tipo de modulación paso a paso. El applet permite observar, tanto en tiempo como en frecuencia, la señal moduladora, la señal resultante antes y después del modulador producto y, finalmente, la señal modulada.
4. ESTUDIO DEL RUIDO
4.1. Ruido en modulación AM convencional
Como se ha visto en la parte teórica de la asignatura, la relación señal a ruido a la salida de un receptor AM que emplea detector de envolvente es, aproximadamente,
0
22
, 2)(
WN
PkASNR ac
AMO ≈ (19)
Se asume que la señal transmitida está contaminada con ruido aditivo, blanco, gaussiano y de media nula, con densidad espectral de potencia N0/2 y que W es el ancho de banda de m(t). La ecuación (19) es válida si la potencia de ruido es pequeña con respecto a la potencia media de la portadora a la entrada del detector de envolvente y si no hay sobremodulación. Teniendo esto en cuenta, vamos a simular el efecto del ruido en la modulación AM convencional. Supondremos que dBSNR AMO 20)( , = y que m(t) es la
señal moduladora del primer ejercicio de esta práctica (ecuación (5)). 2 El parámetro OPT de la función modulate para el caso que estamos considerando de modulación de un
tono viene dado por la expresión: ms
m
Af
fk
πβ2=
Teoría de la Comunicación - Curso 2010-2011 Práctica 2
7
• Obtenga la relación señal a ruido en unidades naturales. Como ya ha calculado
anteriormente la potencia P, puede determinar 2WN0 sin más que despejar en (19). En este caso3, coincide con 2
Nσ , la varianza del ruido.
• Calcule la desviación típica del ruido a partir de 2Nσ y construya un vector que
represente el ruido blanco, gaussiano, aditivo y de media nula que estamos considerando.
• Sume el ruido a la señal modulada, dando lugar a un vector que represente a )()()( twtstr += .
• Represente r(t). • Recupere la señal m(t) a partir de r(t) con un detector de envolvente. Utilice las
mismas líneas de código que en el caso anterior en el que no había ruido. • Repita los pasos anteriores con distintos valores de la relación señal a ruido con
el objetivo de ver la variación de la señal demodulada.
Se puede complementar los conocimientos adquiridos con esta práctica sobre ruido en modulación AM convencional ejecutando el applet disponible en http://www.gib.tel.uva.es/tc/Tema4Applet2.html. En dicho applet se puede simular vía web dicho tipo de modulación paso a paso en presencia de ruido blanco gaussiano, aditivo y de media nula. El applet permite observar, tanto en tiempo como en frecuencia, la señal modulada, la señal modulada con ruido, la señal a la salidad del filtro IF y, finalmente, la señal a la salida del demodulador.
BIBLIOGRAFÍA
[1] S. Haykin, Communication Systems, John Wiley & Sons, 4rd edition, 2001. [2] The Mathworks, Manual de usuario de MATLAB.
3 Recuerde que estamos trabajando con ruido blanco gaussiano, aditivo y de media nula.
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TEORÍA DE LA COMUNICACIÓN
Práctica 3: Modulación analógica de pulsos. Cuantificación. Transmisión digital banda
base y paso banda
Teoría de la Comunicación - Curso 2010-2011 Práctica 3
1
1. OBJETIVOS
Con esta última práctica de laboratorio de Teoría de la Comunicación se pretende que el alumno sea capaz de simular los conocimientos teóricos adquiridos sobre modulaciones analógicas y digitales de pulsos, así como algunos fundamentos básicos de la transmisión digital banda base y paso banda. Para ello deberá realizar una serie de programas de Matlab® que le permitirán:
1. Estudiar cómo puede simularse la modulación de pulsos en el tiempo. 2. Entender el concepto de cuantificación y aprender en qué situaciones hay que
aplicar la cuantificación uniforme o la no uniforme. 3. Estudiar el concepto de interferencia entre símbolos en la transmisión digital y
analizar las maneras de eliminarla. 4. Simular distintos esquemas de modulación digital paso banda.
Debido al limitado número de sesiones de laboratorio disponibles, resulta MUY
RECOMENDABLE plantearse la resolución de los ejercicios antes de la correspondiente sesión práctica. De este modo es posible sacar el máximo partido al tiempo pasado en el laboratorio.
2. MODULACIÓN ANALÓGICA DE PULSOS
En este primer apartado se pretende que el alumno sea capaz de simular la modulación analógica de pulsos, según dos esquemas vistos en clase. Para ello se recomienda consultar el toolbox ‘Signal Processing’, fijándose especialmente en las funciones de la categoría ‘Specialized Operations’.
La modulación analógica de pulsos consiste en variar las características de un
pulso en función de la señal moduladora. El esquema de modulación analógica de pulsos más sencillo es PAM o modulación de pulsos en amplitud. Consiste en hacer variar la amplitud de los pulsos en función de la señal de información m(t). En http://www.gib.tel.uva.es/tc/Tema5Applet2.html puede simular dicho esquema de modulación. Sin embargo, en un sistema de modulación por pulsos es posible emplear el ancho de banda extra consumido por los pulsos para mejorar el comportamiento frente al ruido de PAM. Esto puede conseguirse representando los valores muestreados de las señales con alguna propiedad del pulso distinta de su amplitud. Simularemos dos esquemas de modulación diferentes:
• Modulación por duración de pulsos (PDM). • Modulación por posición de pulsos (PPM).
2.1. Modulación por duración de pulsos (PDM)
En la modulación por duración de pulsos (PDM), en ocasiones denominada modulación por anchura de pulsos (PWM o pulse-width modulation), las muestras de la señal de información se emplean para variar la duración de los pulsos en la portadora. La función de Matlab® que permite simular este tipo de modulación es modulate , ya
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estudiada en la práctica anterior. El método que implementa la modulación PDM es ‘pwm’ .
Suponga que la frecuencia de muestreo es Hzf s 5000= , la frecuencia portadora
Hzf c 200= y que st 33 ≤≤− . Con el objetivo de ilustrar el funcionamiento de la
modulación PDM, deberá realizar un programa de Matlab® que haga lo siguiente:
• Genere una señal moduladora m1(t) formada por datos comprendidos entre 0 y 1 para el vector temporal mencionado anteriormente. La función rand puede resultarle útil a la hora de definir m1(t).
• Genere una señal modulada PDM a partir de la señal m1(t). • Represente los cinco primeros pulsos de la señal PDM. Tenga presente que el
vector que contenga las muestras de la señal PDM tiene una longitud igual a length(x)*fs/fc .
• Repita los pasos anteriores empleando la opción ‘centered’ en la modulación PDM.
2.2. Modulación por posición de pulsos (PPM)
En la modulación por posición de pulsos (PPM) se varía la posición de un pulso con respecto a su posición original en función de la señal de información m(t). Al igual que sucede con la modulación PDM, la función de Matlab® que permite simular PPM es modulate . En esta ocasión, el método que implementa la modulación PPM es ‘ppm’ .
Suponga que la frecuencia de muestreo, la frecuencia portadora y el intervalo
temporal de trabajo son los mismos que en el apartado anterior. Para ilustrar el funcionamiento de la modulación PPM, deberá realizar un programa de Matlab® que haga lo siguiente:
• Genere una señal moduladora m2(t) = 0.2 m1(t). • Genere una señal modulada PPM a partir de la señal m2(t). Los valores de la
señal moduladora determinan la posición de los pulsos en cada periodo. • Represente los cinco primeros pulsos de la señal PPM. Tenga presente que el
vector que contenga las muestras de la señal PPM tiene una longitud igual a length(x)*fs/fc .
• Repita los pasos anteriores variando opt con el objetivo de modificar la longitud de los pulsos empleados en la modulación PPM.
• Repita también el ejercicio empleando m1(t) como señal moduladora.
3. CUANTIFICACIÓN UNIFORME Y NO UNIFORME
En este apartado se pretende que el alumno sea capaz de generar una señal cuantificada, según los distintos esquemas vistos en clase. Para ello se recomienda consultar el toolbox ‘Communications Toolbox’, fijándose especialmente en las funciones de la categoría ‘Source Coding’.
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Es posible distinguir dos tipos de cuantificación de señales: uniforme y no uniforme. La primera funciona adecuadamente cuando la señal de entrada se reparte uniformemente por todos los niveles de cuantificación. Sin embargo, hay aplicaciones en las que es preferible emplear cuantificación no uniforme por las características de la señal de entrada.
Considere las siguientes señales, definidas en el intervalo 11 ≤≤− t : ( )tsentx π2)(1 = (1)
ttx =)(2 (2)
¿Cuál sería el rango dinámico de un cuantificador uniforme adecuado para las señales anteriores? Empleando la función de Matlab® quantiz diseñe un cuantificador uniforme de 2, 4, 8, 16 y 32 niveles para )(1 tx y )(2 tx . Considere Hzf s 1000= .
Para utilizar quantiz necesitará definir dos vectores: partition y codebook. El
primero se usa para dividir el rango de la señal de entrada en N regiones. Tendrá, por lo tanto, N–1 elementos. El segundo asigna un valor de cuantificación a cada región definida con partition. La relación general entre ambos vectores es: )()1()2()1()1( NcodebookNpartitioncodebookpartitioncodebook ≤−≤≤≤≤ K (3)
Si mmax es el valor máximo de la señal de entrada al cuantificador, la anchura de cada intervalo de cuantificación será:
nivelesdeN
m
º
2 max=∆ (4)
Puede definir los vectores partition y codebook en función de ∆ y mmax como:
partition = [-mmax+delta:delta:mmax-delta]; codebook = [-mmax+(delta/2):delta:mmax-(delta/2)];
Una vez diseñado el cuantificador uniforme:
• Represente la señal )(1 tx y su versión cuantificada en la misma figura.
• Represente el error de cuantificación, definido como la diferencia entre el valor real de la señal )(1 tx y su valor cuantificado, y determine la distorsión.
• Represente la señal )(2 tx y su versión cuantificada en la misma figura.
• Represente el error de cuantificación, definido como la diferencia entre el valor real de la señal )(2 tx y su valor cuantificado, y determine la distorsión.
• ¿Cómo varían los resultados al aumentar el número de niveles de cuantificación?
Hemos comentado que el rango dinámico del cuantificador ha de adecuarse a los valores de entrada de las señales. Con el objetivo de ilustrar la importancia de este aspecto, repita los apartados anteriores – sin modificar ninguna característica en el cuantificador uniforme – con )(2)( 13 txtx ⋅= y )(2)( 24 txtx ⋅= . ¿Qué cambios hay en
el error de cuantificación y la distorsión?
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En http://www.gib.tel.uva.es/tc/Tema5Applet3.html se encuentra disponible un
applet que permite simular la cuantificación uniforme de varias señales (coseno, sinc y pulso rectangular). Puede emplearlo para ver la importancia que tiene la adecuación del rango dinámico del cuantificador a la señal que se pretende cuantificar y para comprobar si los resultados previamente obtenidos con Matlab® son correctos.
El uso de un cuantificador uniforme no es adecuado cuando la señal original no
se reparte uniformemente por todos los niveles de cuantificación. En estos casos se emplea cuantificación no uniforme. Para comprobar la utilidad de esta técnica considere la señal )(5 tx definida en el intervalo 40 ≤≤ t :
( )tetx t π8sin78,0)( 2
5⋅−⋅= (5)
Emplee el cuantificador uniforme diseñado antes y represente la señal )(5 tx y su
versión cuantificada en la misma figura. ¿Se aprovechan adecuadamente los intervalos de cuantificación? ¿Cuál es la distorsión? Represente también el error de cuantificación.
La función de Matlab® compand permite realizar la compresión y expansión de la señal con las leyes A y µ. Para ver cómo cambia el número de intervalos de cuantificación con ellas, realice la compresión de la señal )(5 tx con los valores
6,87=A y 255=µ . Tras ello utilice el cuantificador uniforme. Represente la señal comprimida con cada ley y su versión cuantificada en la misma figura. ¿Qué diferencias observa con respecto a emplear únicamente cuantificación uniforme?
4. INTERFERENCIA ENTRE SÍMBOLOS EN TRANSMISIÓN
DIGITAL EN BANDA BASE
A continuación se va a analizar el efecto de la interferencia entre símbolos (ISI) en los sistemas de comunicación digital banda base. Para ello se recomienda consultar el toolbox ‘Communications Toolbox’.
Cuando se transmiten datos digitales a través de un canal banda base hay que
considerar dos fuentes principales de error:
a) El ruido introducido por el canal. b) La interferencia entre símbolos, que se debe a que un pulso (símbolo) puede
verse afectado por los adyacentes.
Si suponemos que ak son los símbolos (con valores +1 ó –1) transmitidos cada Tb y g(t) el pulso que se toma como forma básica, la señal a la salida del transmisor es: ( )∑ −=
kbk kTtgats )( (6)
Si h(t) representa el canal, w(t) el ruido y c(t) el filtro receptor, la señal recibida
vendrá dada por la siguiente expresión:
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( ) )()( tnkTtpaty
kbk +−= ∑µ (7)
donde: )()()()( tcthtgtp ∗∗=µ (8) )()()( tctwtn ∗= (9)
La señal y(t) es la que se muestrea para decidir el símbolo que se recibe en cada
instante iTb: [ ] )()()0()()()( b
ikbkib
kbbkb iTnTkipapaiTnkTiTpaiTy +−+=+−= ∑∑
≠
µµµ (10)
Para evitar la ISI (representada por el término [ ]∑
≠
−ik
bk Tkipa )(µ ) ha de
cumplirse que:
≠=
=0,0
0,1)(
m
mmTp b (11)
Empleando filtros de coseno alzado se puede eliminar la ISI. En frecuencia:
( )
−≤≤
−−
−
≤≤
=
resto
fWfffW
Wfsen
W
ffW
fP
,0
2,22
14
1
0,2
1
)( 111
1
π (12)
En el dominio del tiempo:
( )
222161
2cos)(
tW
Wttp
απα
−= sinc(2Wt) (13)
El parámetro α se denomina factor de redondeo y está comprendido entre 0 y 1.
W está relacionado con el régimen o tasa de símbolos Rb según la expresión:
22
1 b
b
R
TW == (14)
El ancho de banda es:
( )α+= 1WBT (15)
Realice las siguientes tareas con Matlab®:
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• Considere que sTb 200
1= y que Hzf s 2000= .Represente en el dominio del
tiempo el filtro de coseno alzado (emplee la ecuación (13) para ello) con 0=α , 3.0=α , 6.0=α y 1=α . Ajuste el eje x para poder ver los datos en el intervalo
temporal [–0.02, 0.02]. • Represente los filtros calculados anteriormente en el dominio de la frecuencia,
ajustando el eje x al intervalo comprendido entre TB5.1− y TB5.1 .
En el applet disponible en http://www.gib.tel.uva.es/tc/Tema6Applet1.html se puede estudiar cómo cambia un filtro de coseno alzado, tanto en el dominio temporal como en el de la frecuencia, cuando se varían W y α. De este modo se puede comprobar si los resultados previamente obtenidos con Matlab® se ajustan a lo esperado.
Suponga que se transmiten cuatro símbolos ( 10 =a , 11 −=a , 12 =a y 13 =a )
con la tasa Rb especificada anteriormente, que se emplea un filtro de coseno alzado y que, además, 1=µ . Asumiendo nulo el ruido:
• Represente la señal recibida. Tendrá que multiplicar cada símbolo por el filtro de coseno alzado ( )(tp en el caso del primer símbolo transmitido, )( bTtp − para el
segundo, y así sucesivamente) y realizar la suma de las distintas contribuciones. Emplee el comando axis para ajustar los ejes de la manera que crea más conveniente. Compruebe si existe interferencia entre símbolos representando en una misma figura la señal recibida y la componente correspondiente a cada uno de los símbolos.
• Repita el proceso anterior con un filtro p(t)=sinc(bT
t
2). ¿Existe en esta ocasión
interferencia entre símbolos? • Repita los dos puntos anteriores variando los símbolos transmitidos.
5. MODULACIÓN DIGITAL PASO BANDA
En este último apartado simularemos conceptos relacionados con algunos esquemas de modulación digital paso banda explicados en clase. Para ello se recomienda consultar el toolbox ‘Communications Toolbox’, fijándose especialmente en las funciones de la categoría ‘Digital Modulation/Demodulation’.
5.1. Modulación BPSK y QPSK sin ruido
Con este ejercicio se pretende ilustrar cómo es posible implementar las modulaciones BPSK y QPSK con Matlab®. La función que permite simular estas modulaciones es pskmod(x,m) , donde x es la señal de información y m el número de símbolos a emplear. Teniendo esto en cuenta, realice las siguientes tareas con Matlab®:
• Genere una secuencia de 5000 símbolos que formarán la señal de datos. Para ello es aconsejable utilizar la función randint , con el campo RANGE ajustado al número de símbolos del alfabeto empleado en BPSK.
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• Obtenga la señal BPSK con el comando pskmod . • Represente la constelación BPSK. Puede emplear para ello el comando
scatterplot . • Recupere la señal de datos original con el comando pskdemod . • Obtenga la probabilidad de error de bit con la función biterr . • Repita los pasos anteriores para la modulación QPSK.
El applet disponible en http://www.gib.tel.uva.es/tc/Tema7Applet2.html permite
simular la modulación PSK y puede resultar útil para visualizar en el tiempo cómo cambia la fase de la portadora en función del símbolo transmitido.
5.2. Modulación BPSK y QPSK en presencia de ruido A WGN
Con este ejercicio se pretende mostrar el efecto que tiene el ruido en la transmisión de señales BPSK y QPSK. Para añadir ruido blanco, gaussiano y aditivo a la señal transmitida deberá emplear la función awgn. Teniendo esto en cuenta, realice las siguientes tareas con Matlab®:
• Genere una secuencia de 5000 símbolos que formarán la señal de datos. Para ello es aconsejable utilizar la función randint , con las mismas consideraciones acerca del campo RANGE que en el apartado anterior.
• Obtenga la señal BPSK con el comando pskmod . • Transmita la señal a través de un canal que añade ruido blanco gaussiano.
Emplee para ello la siguiente línea de código yruidosa = awgn(y,SNR);
Suponga que la SNR es de 15dB por muestra.
• Represente la constelación BPSK. • Recupere la señal de datos original con el comando pskdemod . • Obtenga la probabilidad de error de bit con la función biterr . • Repita los pasos anteriores para distintos valores de SNR • Vuelva a realizar el ejercicio para la modulación QPSK.
BIBLIOGRAFÍA
[1] S. Haykin, Communication Systems, John Wiley & Sons, 4rd edition, 2001.
[2] The Mathworks, Manual de usuario de MATLAB.