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TeorTeoríía de Juegosa de Juegos

M. En C. Eduardo Bustos M. En C. Eduardo Bustos FarFarííasas

InvestigaciInvestigacióón de Operacionesn de Operaciones M. En C. Eduardo Bustos FarM. En C. Eduardo Bustos Farííasas 22

¿Qué es un juego?

• Un juego es un problema de toma de decisiones en el que participan dos o más individuos

(≡ decisores, jugadores, agentes, controladores).

• Es una herramienta matemática que analiza las interrelaciones entre dos o mas individuos, y busca

un modelo de actuación óptimo.

Con un individuo el problema es un

problema de control.


¿Qué tipos de juegos hay?

• Juegos estáticos o de una tirada (one-shot games).

• Juegos repetidos.

• Juegos dinámicos. Juego diferencial

Juego diferencial estocástico

Juegos de saltos (tipo cadenas de Markov), juegos híbridos, …


Juegos cooperativosJuegos cooperativos: : •• los jugadores deciden cooperar entre ellos para los jugadores deciden cooperar entre ellos para

alcanzar un resultado que sea alcanzar un resultado que sea ““benbenééficofico”” para ellos. para ellos. ProblemaProblema: :

encontrar encontrar equilibrios cooperativosequilibrios cooperativosconocidos tambiconocidos tambiéén como n como equilibrios de Paretoequilibrios de Pareto. .

Juegos de Juegos de StackelbergStackelberg: : •• uno de los jugadores es el uno de los jugadores es el llííderder (tira primero) y (tira primero) y •• el resto de los jugadores son el resto de los jugadores son seguidoresseguidores……

…… etc, etc, etc,etc, etc, etc,……


Generalmente, en un juego hay unGeneralmente, en un juego hay un

conflicto de interesesconflicto de intereses

−− los objetivos de los jugadores pueden oponerse los objetivos de los jugadores pueden oponerse unos contra otros. unos contra otros. Por lo tanto, los jugadores tienen quePor lo tanto, los jugadores tienen que

negociarnegociar, , es decir, es decir,

ponerse de acuerdoponerse de acuerdo ccóómo mo ““jugar el juegojugar el juego””..

InvestigaciInvestigacióón de Operacionesn de Operaciones M. En C. Eduardo Bustos FarM. En C. Eduardo Bustos Farííasas

¿¿Como se juega un juego?Como se juega un juego?

JuegosJuegos no cooperativosno cooperativos: : •• los jugadores no cooperan entre ellos; los jugadores no cooperan entre ellos; •• actactúúan independientemente, an independientemente, •• cada uno tratando de satisfacer su propio objetivo.cada uno tratando de satisfacer su propio objetivo.

ProblemaProblema: : encontrar encontrar equilibrios noequilibrios no--cooperativoscooperativos

tambitambiéén conocidos como n conocidos como Equilibrios de Equilibrios de NashNash..


Elementos del juegoElementos del juego

JugadoresJugadoresNo jugadores (No jugadores (““naturalezanaturaleza””))AccionesAccionesInformaciInformacióónnEstrategiasEstrategiasResultadosResultadosEquilibrioEquilibrio


Supuestos

Los participantes en la relación:

• Son conscientes de ésta• Buscan el máximo provecho • Actúan racionalmente• Existe un costo de la relación y se obtiene un

beneficio de ella.• Se supone que el jugador escogerá la elección

óptima


JuegosJuegosUn juego es una situaciUn juego es una situacióón competitiva entre n n competitiva entre n personas o grupos, denominados jugadorespersonas o grupos, denominados jugadoresSe realiza bajo un conjunto de reglas Se realiza bajo un conjunto de reglas previamente establecidas con consecuencias previamente establecidas con consecuencias conocidasconocidasLas reglas definen las actividades elementales o Las reglas definen las actividades elementales o movimientos del juego.movimientos del juego.Pueden permitirse diferentes movimientos para Pueden permitirse diferentes movimientos para los distintos jugadores , pero cada jugador los distintos jugadores , pero cada jugador conoce los movimientos de que dispone cada conoce los movimientos de que dispone cada jugadorjugadorSi un jugador gana lo que otro jugador pierde el Si un jugador gana lo que otro jugador pierde el juego se le denomina de suma cerojuego se le denomina de suma cero


Un juego de 2 personas es un juego que tiene Un juego de 2 personas es un juego que tiene solo dos jugadoressolo dos jugadoresCada jugador tiene un nCada jugador tiene un núúmero finito de mero finito de elecciones o infinito llamadas estrategias.elecciones o infinito llamadas estrategias.Los resultados o pagos de un juego se resumen Los resultados o pagos de un juego se resumen como funciones de las diferentes estrategias para como funciones de las diferentes estrategias para cada jugadorcada jugadorUn juego con 2 jugadores, donde la ganancia de Un juego con 2 jugadores, donde la ganancia de un jugador es igual a la perdida de otro se un jugador es igual a la perdida de otro se conoce como un juego de 2 persona y de suma conoce como un juego de 2 persona y de suma ceroceroEn tal juego es suficiente expresar los resultados En tal juego es suficiente expresar los resultados en ten téérminos del pago a un jugador.rminos del pago a un jugador.Se emplea una matriz para resumir los pagos al Se emplea una matriz para resumir los pagos al jugador cuyas estrategias estjugador cuyas estrategias estáán dadas por los n dadas por los renglones de la matrizrenglones de la matriz


Una estrategia puraUna estrategia pura es un plan es un plan previamente determinado, que establece previamente determinado, que establece la secuencia de movimientos y contra la secuencia de movimientos y contra movimientos que un jugador realiza movimientos que un jugador realiza durante un juego completo.durante un juego completo.

La La matriz de consecuencias o pagosmatriz de consecuencias o pagosproporciona una caracterizaciproporciona una caracterizacióón completa n completa del juego al que corresponde. del juego al que corresponde.


Juegos en Forma NormalJuegos en Forma Normal

Un Juego en Forma Normal Un Juego en Forma Normal consiste en:consiste en:•• JugadoresJugadores•• Estrategias de acciones factibles.Estrategias de acciones factibles.•• Matriz de Pagos (Matriz de Pagos (““PayoffsPayoffs””))


Juegos de suma ceroJuegos de suma ceroSe dice que un juego es de Se dice que un juego es de ““suma cerosuma cero””cuando lo que gana un jugador lo pierde el cuando lo que gana un jugador lo pierde el otro, como en ajedrez, poquer, etc.otro, como en ajedrez, poquer, etc.

Todos los ejemplos que hemos visto de Todos los ejemplos que hemos visto de juegos son de suma cero, por eso en las juegos son de suma cero, por eso en las celdas de la matriz del juego un mismo celdas de la matriz del juego un mismo nnúúmero es la ganancia para el jugador de mero es la ganancia para el jugador de los renglones y la plos renglones y la péérdida para el de las rdida para el de las columnas.columnas.


Ejemplo 1Ejemplo 1Construya la matriz de pagos para el Construya la matriz de pagos para el siguiente juego. siguiente juego. Considere un juego de Considere un juego de ““igualarigualar”” monedas monedas en el cual cada uno de 2 jugadores A y B en el cual cada uno de 2 jugadores A y B elige sol (S) elige sol (S) óó ááguila (A).guila (A).Si son iguales los 2 resultados (S y S) Si son iguales los 2 resultados (S y S) óó (A (A y A) el jugador A gana 1 peso al jugador y A) el jugador A gana 1 peso al jugador B, de otra manera A pierde un peso que B, de otra manera A pierde un peso que paga a Bpaga a B


SoluciSolucióón n

1.1.-- Son dos jugadoresSon dos jugadores2.2.-- Lo que uno gana el otro lo pierdeLo que uno gana el otro lo pierde3.3.-- Cada jugador tiene 2 estrategias Cada jugador tiene 2 estrategias

puraspuras4.4.-- La matriz de juegos es de 2x2 La matriz de juegos es de 2x2

expresado en texpresado en téérminos del pago al rminos del pago al jugadorjugador

Jugador A A S A 1 -1

Jugador B

S -1 1


Ejemplo 2Ejemplo 2Construya la matriz de juegos para el Construya la matriz de juegos para el siguiente juegosiguiente juegoConsidere un juego en el cual 2 jugadores Considere un juego en el cual 2 jugadores muestran simultmuestran simultááneamente 1, 2 neamente 1, 2 óó 3 dedos 3 dedos uno al otro. Si la suma de dedos uno al otro. Si la suma de dedos mostrados, es par, el jugador II paga al mostrados, es par, el jugador II paga al jugador I esta suma en pesos.jugador I esta suma en pesos.Si la suma es non, el jugador I paga esa Si la suma es non, el jugador I paga esa cantidad al jugador II.cantidad al jugador II.


SoluciSolucióón n Son dos jugadoresSon dos jugadoresLo que gana 1 el otro lo pierde por lo que es de Lo que gana 1 el otro lo pierde por lo que es de suma cerosuma ceroCada jugador tiene 3 estrategias puras, mostrar 1, Cada jugador tiene 3 estrategias puras, mostrar 1, 2, 3 dedos2, 3 dedosLa matriz de juegos es de 3x3 expresada en La matriz de juegos es de 3x3 expresada en ttéérminos del pago del jugador Irminos del pago del jugador I

Jugador II 1 2 3 1 2 -3 4 2 -3 4 5

Jugador I

3 4 5 6 -

-


Ejemplo 3Ejemplo 3Construya una matriz de consecuencias para el Construya una matriz de consecuencias para el siguiente juego.siguiente juego.Dos cadenas de supermercados se proponen Dos cadenas de supermercados se proponen construir, cada una, construir, cada una, unauna tienda en una regitienda en una regióón n rural en donde se encuentran 3 pueblos.rural en donde se encuentran 3 pueblos.45% de la poblaci45% de la poblacióón vive cerca del pueblo An vive cerca del pueblo A35% de la poblaci35% de la poblacióón vive cerca del pueblo Bn vive cerca del pueblo B20% de la poblaci20% de la poblacióón vive cerca del pueblo Cn vive cerca del pueblo CDebido a que la cadena I es mDebido a que la cadena I es máás grande que la s grande que la cadena II, la cadena I controlarcadena II, la cadena I controlaráá la mayorla mayoríía de a de los negocios, siempre que sus ubicaciones sean los negocios, siempre que sus ubicaciones sean comparativas.comparativas.Ambas cadenas conocen los intereses de la otra Ambas cadenas conocen los intereses de la otra en la regien la regióón y ambas han terminado estudios de n y ambas han terminado estudios de mercado que dan proyecciones idmercado que dan proyecciones idéénticas.nticas.

AB

C

10 kms 15 kms

20 kms


Si ambas cadenas se sitSi ambas cadenas se sitúúan en el mismo pueblo o an en el mismo pueblo o los equidistantes de un pueblo, la cadena I los equidistantes de un pueblo, la cadena I controlarcontrolaráá el 65% de los negocios en ese pueblo.el 65% de los negocios en ese pueblo.Si la cadena I estSi la cadena I estáá mmáás cercana a un pueblo que s cercana a un pueblo que la cadena II, la cadena I controlarla cadena II, la cadena I controlaráá 90% de los 90% de los negocios en este pueblo.negocios en este pueblo.Si la cadena I estSi la cadena I estáá mmáás alejada de un pueblo que s alejada de un pueblo que la cadena II, atraerla cadena II, atraeráá a 40% de los negocios de a 40% de los negocios de este pueblo.este pueblo.El resto de las operaciones, bajo cualquier El resto de las operaciones, bajo cualquier circunstancia, ircircunstancia, iráán a la cadena II.n a la cadena II.AdemAdemáás ambas cadenas saben que la pols ambas cadenas saben que la políítica de tica de la cadena I es no ubicarse en pueblos que sean la cadena I es no ubicarse en pueblos que sean demasiado pequedemasiado pequeñños, y el pueblo C cae dentro de os, y el pueblo C cae dentro de esta categoresta categoríía.a.


SoluciSolucióónn

Hay 2 jugadores.Hay 2 jugadores.El jugador I tiene 2 estrategias puras El jugador I tiene 2 estrategias puras y el II tiene 3 estrategias puras.y el II tiene 3 estrategias puras.


Si I se ubica en A y II en B entonces Si I se ubica en A y II en B entonces I tendrI tendráá (0.9)(0.45) + (0.4)(0.35) + (0.9)(0.45) + (0.4)(0.35) + (0.4)(0.2) = 0.625 (0.4)(0.2) = 0.625 O sea el 62.5% de los negocios de la O sea el 62.5% de los negocios de la regiregióón.n.

AC

BI II

I


Si I se ubica en B y II en C, entonces Si I se ubica en B y II en C, entonces I tendrI tendráá (0.9)(0.45) + (0.9)(0.35) + (0.9)(0.45) + (0.9)(0.35) + (0.4)(0.2) = 0.8(0.4)(0.2) = 0.8O sea el 80% de los negocios de la O sea el 80% de los negocios de la regiregióón.n.

A IIC

BI


Si I se ubica en B y II en A entonces Si I se ubica en B y II en A entonces I tendrI tendráá (0.9)(0.35) + (0.4)(0.45) + (0.9)(0.35) + (0.4)(0.45) + (0.9)(0.2) = 0.575 (0.9)(0.2) = 0.575 O sea un 57%O sea un 57%

A

II

C

BI


Si ambas cadenas se ubican en el Si ambas cadenas se ubican en el mismo pueblo I recibirmismo pueblo I recibiráá 65% de los 65% de los negocios de toda la reginegocios de toda la regióón.n.

AC

BI

II

II

I


Tabla de pagos o consecuenciasTabla de pagos o consecuencias

Jugador II A B C A 65 62.5 80

Jugador I

B 67.5 65 80

2626

DOMINANCIADOMINANCIA


Estrategia dominanteEstrategia dominante

Se dice que una estrategia es Se dice que una estrategia es ““dominantedominante”” cuando es la mejor cuando es la mejor opciopcióón del jugador para todas las n del jugador para todas las posibles opciones del contrincante posibles opciones del contrincante (similarmente para varios (similarmente para varios contrincantes).contrincantes).


Dominancia Dominancia Algunas veces una fila o columna de la matriz de Algunas veces una fila o columna de la matriz de pagos carece de efectividad para influir sobre las pagos carece de efectividad para influir sobre las estrategias estrategias óóptimas y el valor del juegoptimas y el valor del juegoUna estrategia pura P es dominada por una Una estrategia pura P es dominada por una estrategia pura Q si, para cada estrategia pura estrategia pura Q si, para cada estrategia pura del oponente, el pago asociado con P no es mejor del oponente, el pago asociado con P no es mejor que el pago asociado con Q.que el pago asociado con Q.Ya que una estrategia pura dominada no puede Ya que una estrategia pura dominada no puede ser nunca parte de una estrategia ser nunca parte de una estrategia óóptima, el ptima, el renglrenglóón o columna correspondiente en la matriz n o columna correspondiente en la matriz del juego debe ser eliminadadel juego debe ser eliminada


Ejemplo 1. DominanciaEjemplo 1. Dominancia

II 1 2 3 4 1 4 -8 7 -2 2 3 -9 2 -3

I

3 2 6 8 2

Observe que entre las filas 1 y 2, la 2 no desempeña ningún papel de importancia en la estrategia del jugador I.4 > 3-8 > -97 > 2-2 > -3


Por lo tanto la probabilidad asociada a Por lo tanto la probabilidad asociada a ella serella seráá cero. cero. La soluciLa solucióón del juego anterior sern del juego anterior seríía la a la misma si la matriz de pago fuera:misma si la matriz de pago fuera:

II 1 2 3 4 1 4 -8 7 -2

I

3 2 6 8 2


Estrategia dEstrategia déébilmente bilmente dominantedominante

Decimos que una estrategia es Decimos que una estrategia es ““ddéébilmente dominantebilmente dominante”” cuando no es cuando no es peor que ninguna otra estrategia.peor que ninguna otra estrategia.Es lo mismo que decir que es la mejor o al Es lo mismo que decir que es la mejor o al menos igual a otra.menos igual a otra.Ojo: Una estrategia dominante es tambiOjo: Una estrategia dominante es tambiéén n ddéébilmente dominante; lo contrario no es bilmente dominante; lo contrario no es cierto.cierto.


Estrategia dominante, ejemplo (cont)

Análisis de casos para ver si B tiene estrategia dominanteSi A elige 1 (renglón sup.), la mejor opción de B es 2 (u=-2).Si A elige 2 (renglón cen.), la mejor opción de B es 2 (u=0).Si A elige 3 (renglón inf.), las mejores opciones de B son 1 y 2 (u=-5).

B tiene una estrategia débilmente dominante

b1 b2 b3 a1 0 -2 4 a2 2 0 10 a3 -5 -5 0


Ejemplo 2.Ejemplo 2. DominanciaDominancia

Determine si alguna de las estrategias Determine si alguna de las estrategias puras del problema de la ubicacipuras del problema de la ubicacióón de los n de los supermercados en los pueblos A, B y C supermercados en los pueblos A, B y C pueden descartarse por dominacipueden descartarse por dominacióón. La n. La matriz del juego era:matriz del juego era:

II A B C A 65 62.5 80

I

B 67.5 65 80


SoluciSolucióón n El jugador I puede descartar ubicarse en A, ya que El jugador I puede descartar ubicarse en A, ya que

las consecuencias de esta estrategia siempre son las consecuencias de esta estrategia siempre son menores o iguales a las consecuencias de Bmenores o iguales a las consecuencias de B67.5 > 6567.5 > 6565 > 62.565 > 62.580 = 8080 = 80

II A B C A 65 62.5 80

I

B 67.5 65 80


I A B A 35 32.5 B 37.5 35

II

C 20 20

La matriz de consecuencias se reduce al valor en que coinciden ambas tablas B. Lo que indica que el supermercado I debe ubicarse en el pueblo B y controlar el 65% de los negocios y la cadena II ubicarse en el mismo pueblo y manejar el 35% de los negocios restantes

El jugador II puede descartar A y C, ya que El jugador II puede descartar A y C, ya que son inferiores a B. La matriz es:son inferiores a B. La matriz es:

II A B C A 65 62.5 80

I

B 67.5 65 80

I A B A 35 32.5 B 37.5 35

II

C 20 20


VALOR DEL JUEGOVALOR DEL JUEGO

EL PAGO QUE SE OBTIENE PARA EL EL PAGO QUE SE OBTIENE PARA EL JUGADOR 1 CUANDO AMBOS JUGADOR 1 CUANDO AMBOS JUEGAN DE MANERA OPTIMA.JUEGAN DE MANERA OPTIMA.JUEGO JUSTO: EL VALOR DEL JUEGO JUEGO JUSTO: EL VALOR DEL JUEGO ES 0.ES 0.


CRITERIO MINIMAXCRITERIO MINIMAXJUGADOR 2

ESTRATEGIA 1 2 3

1 -3 -2 62 2 0 2JUGADOR 1

3 5 -2 -4¿QUE OPCION ESCOGE CADA JUGADOR DE MANERAQUE LA MAYOR PERDIDA POSIBLE SEA MINIMIZADA?


CRITERIO MINIMAXCRITERIO MINIMAXJUGADOR 2

ESTRATEGIA 1 2 3MÍNIMO

1 -3 -2 6 -32 2 0 2 0JUGADOR 1

3 5 -2 -4 -4MÁXIMO 5 0 6

VALOR MINIMAX

VALOR MAXIMIN

SE SELECCIONA LA OPCION 2VALOR DEL JUEGO= 0 (JUEGO JUSTO).

PUNTO SILLA


PUNTO SILLAPUNTO SILLA

MINIMAX= MAXIMINMINIMAX= MAXIMINPUNTO SILLA PUNTO SILLA -->NINGUN JUGADOR >NINGUN JUGADOR PUEDE APROVECHAR LA PUEDE APROVECHAR LA ESTRATEGIA CONOCIDA DE SU ESTRATEGIA CONOCIDA DE SU OPONENTE OPONENTE -->>SOLUCION ESTABLESOLUCION ESTABLE


SOLUCIONES SIN PUNTO SOLUCIONES SIN PUNTO SILLASILLA

JUGADOR 2

ESTRATEGIA 1 2 3MÍNIMO

1 0 -2 2 -22 5 4 -3 -3JUGADOR 1

3 2 3 -4 -4MÁXIMO 5 4 2

minimax

maximin


SoluciSolucióón n ÓÓptima de juegos de 2 ptima de juegos de 2 personas y suma ceropersonas y suma cero

-- Juegos estables (Valor de juego, Juegos estables (Valor de juego, estrategias estrategias minimaxminimax y y maximinmaximin). ). Puntos sillaPuntos silla

-- Juegos Inestables (estrategias Juegos Inestables (estrategias mixtas) mixtas)


Juegos inestables o estrategias Juegos inestables o estrategias mixtasmixtas

El objetivo en la teorEl objetivo en la teoríía de juegos es determinar a de juegos es determinar una estrategia una estrategia ““mejormejor”” para un jugador dado, para un jugador dado, bajo la consideracibajo la consideracióón de que el oponente es n de que el oponente es racional y realizarracional y realizaráá movimientos inteligentes en movimientos inteligentes en contra. contra. En consecuencia si un jugador siempre selecciona En consecuencia si un jugador siempre selecciona la misma estrategia pura o selecciona estrategias la misma estrategia pura o selecciona estrategias puras en un orden fijo, su oponente reconocerpuras en un orden fijo, su oponente reconoceráá a a tiempo el patrtiempo el patróón y tratarn y trataráá de vencerlo, si es de vencerlo, si es posible.posible.Por esto, la estrategia mPor esto, la estrategia máás efectiva es una s efectiva es una estrategia mixta, definida por una distribuciestrategia mixta, definida por una distribucióón n probabilprobabilíística sobre un conjunto de estrategias stica sobre un conjunto de estrategias puras.puras.


Ejemplo 1Ejemplo 1: Estrategias mixtas. : Estrategias mixtas.

En el juego de mostrar 1,2 En el juego de mostrar 1,2 óó 3 dados 3 dados se puede construir una estrategia se puede construir una estrategia mixta mixta X=[1/6, 1/3, X=[1/6, 1/3, ½½], ], que significa que el jugador uno, que significa que el jugador uno, planea mostrar el dedo 1 1/6 de planea mostrar el dedo 1 1/6 de veces, 2 dedos 1/3 de veces, 3 veces, 2 dedos 1/3 de veces, 3 dedos dedos ½½ de las veces.de las veces.


Ejemplo 2:Ejemplo 2: Estrategias Mixtas.Estrategias Mixtas.

Sea la siguiente matriz de pagos para un Sea la siguiente matriz de pagos para un juego de 2 jugadores de suma cerojuego de 2 jugadores de suma ceroEste juego no tiene punto de silla, ni se Este juego no tiene punto de silla, ni se puede calcular el valor de juego. Se dice puede calcular el valor de juego. Se dice que es un juego inestable.que es un juego inestable.

Jugador B 1 2 3 4 1 5 -10 9 0 2 6 7 8 1 3 8 7 15 2

Jugador A

4 3 4 -1 4


SoluciSolucióón del problema de n del problema de estrategias mixtasestrategias mixtas

Se basa en el criterio Se basa en el criterio mmíínimaxnimax. La . La úúnica nica diferencia es que A (diferencia es que A (óó jugador I) elije jugador I) elije XiXi, , la cual maximiza el pago esperado mla cual maximiza el pago esperado máás s pequepequeñño en una columna, en tanto que B o en una columna, en tanto que B ((óó jugador II) selecciona jugador II) selecciona YjYj, la cual , la cual minimiza el pago esperado en un renglminimiza el pago esperado en un renglóón.n.Igual que en estrategias puras se verifica Igual que en estrategias puras se verifica la relacila relacióón:n:

pago esperado pago esperado minimominimo < pago esperado < pago esperado maximinmaximin


Cuando Cuando XiXi y y YjYj corresponden a la solucicorresponden a la solucióón n óóptima, se cumple la igualdad y los ptima, se cumple la igualdad y los valores resultantes llegan a ser iguales al valores resultantes llegan a ser iguales al valor esperado (valor esperado (óóptimo) del juego.ptimo) del juego.Si Si XiXi* y * y YjYj* son las soluciones * son las soluciones óóptimas ptimas para ambos jugadores, cada elemento de para ambos jugadores, cada elemento de pago pago AijAij estarestaráá asociado a la probabilidad asociado a la probabilidad ((XiXi*, *, YjYj*). Por consiguiente, el valor *). Por consiguiente, el valor esperado esperado óóptimo del juego es:ptimo del juego es:

En otras palabras cualquier juego matricial En otras palabras cualquier juego matricial tiene un valortiene un valor


MMéétodos para resolver juegostodos para resolver juegos

MMéétodos para resolver juegos (2xn) todos para resolver juegos (2xn) óó(mx2) (mx2)

GrGrááficoficoDe programaciDe programacióón linealn lineal


SoluciSolucióón grn grááfica de juegos de fica de juegos de (2xN) y (Mx2)(2xN) y (Mx2)

Las soluciones grLas soluciones grááficas son ficas son úúnicamente aplicables a juegos en nicamente aplicables a juegos en los cuales, por lo menos uno de los los cuales, por lo menos uno de los jugadores, tiene solamente 2 jugadores, tiene solamente 2 estrategias.estrategias.

4949

SoluciSolucióón grn grááfica de fica de juegos (mx2)juegos (mx2)


Ejemplo 1Ejemplo 1

Considere el siguiente juego:Considere el siguiente juego:

11 22

11 22 44

22 22 33

33 33 22

44 --22 66

A

B

5151

SOLUCISOLUCIÓÓNN


El juego no tiene un punto silla. Sean y1 y El juego no tiene un punto silla. Sean y1 y y2 (=1y2 (=1-- y1) dos estrategias mixtas de B.y1) dos estrategias mixtas de B.

Estrategia Estrategia pura de Apura de A

Pagos Pagos esperados esperados para Bpara B

11 --2y1 + 42y1 + 4

22 --y1 + 3y1 + 3

33 y1 + 2y1 + 2

44 --8y1 + 68y1 + 6


El juego no tiene punto silla. El juego no tiene punto silla. Sean Y1 y Y2 (Sean Y1 y Y2 (Y2Y2 = 1= 1--Y1) dos estrategias mixtas de BY1) dos estrategias mixtas de B

Estrategias puras de A

Pagos esperados de B

Y1 = 0 Y1 = 1

1 -2Y1 + 4 4 2 2 -Y1 + 3 3 2 3 Y1 + 2 2 3 4 -8Y1 + 6 6 -2


El punto El punto minimaxminimax se determina como el se determina como el punto mas bajo de la envolvente superiorpunto mas bajo de la envolvente superior

El valor de Y1* se obtiene como el punto de El valor de Y1* se obtiene como el punto de intersecciinterseccióón de las ln de las lííneas 1 y 3neas 1 y 3--2Y1 + 4 = Y1 + 22Y1 + 4 = Y1 + 2--3Y = 3Y = --22Y = 2/3 Y = 2/3 (Esta es la estrategia (Esta es la estrategia óóptima para A)ptima para A)

Sustituyendo en 1 y en 3Sustituyendo en 1 y en 3V* = V* = --2(2/3) + 4 = 8/32(2/3) + 4 = 8/32/3 + 2 = 8/32/3 + 2 = 8/3El valor del juego es 8/3El valor del juego es 8/3


POR WINQSBPOR WINQSB

ESTRATEGIA ÓPTIMA PARAEL JUGADOR A

ESTRATEGIA ÓPTIMA PARAEL JUGADOR B


Ejemplo2: Ejemplo2: Considere el siguiente Considere el siguiente juego (2x4)juego (2x4)

1.1. Encuentre el punto mEncuentre el punto mááximoximo2.2. Calcule la estrategia optima de ACalcule la estrategia optima de A3.3. Calcule el valor del juegoCalcule el valor del juego

B 1 2 3 4 1 2 2 3 -1

A

2 4 3 2 6


SoluciSolucióón n

El juego no es estable ya que las El juego no es estable ya que las estrategias puras estrategias puras maximinmaximin = 2 es = 2 es diferente a la diferente a la mmíínimaxnimax = 3= 3Por lo que los pagos esperados de A Por lo que los pagos esperados de A corresponden a las estrategias corresponden a las estrategias puras de B son:puras de B son:


Estrategias puras de B

Pagos esperados de A

X1 = 0 X1 = 1

1 -2X1 + 4 4 2 2 X1 + 3 3 2 3 X1 +2 2 3 4 -7X1 + 6 6 -1

-

Resolviendo 2 y 3-X1 + 3 = X1 +2

-2X1 = -1X1 = ½ (maximin)

La estrategia óptima es (½ , ½)

V* = - ½ +3 = 5/2

B 1 2 3 4 1 2 2 3 -1

A

2 4 3 2 6


Ejemplo 3:Ejemplo 3: Considere el juego Considere el juego (2x4)(2x4)

Encuentre el punto Encuentre el punto maximinmaximinCalcule la estrategia Calcule la estrategia óóptimaptimaCalcule el valor de juegoCalcule el valor de juego

P2 1 2 3 4 1 19 15 17 16

P1

2 0 20 15 5


SoluciSolucióón n

El juego no es estable ya que las El juego no es estable ya que las estrategias puras estrategias puras maximinmaximin = 15 es = 15 es diferente a diferente a mmíínimaxnimax = 16= 16

Estrategias puras de P2

Pagos esperados de P1

X1 = 0 X1 = 1

1 (19-0)X1 + 0 = 19X1

0 19

2 (15-20)X1 + 20 = -5X1 + 20

20 15

3 (17-15)X1 + 15 = 2X1 +15

15 17

4 (16-5)X1 + 5 = 11X1 + 5

5 16


ResuResuéélvalo por winqsblvalo por winqsb

6666

MMéétodo simplextodo simplex


SoluciSolucióón de juegos (n de juegos (mxnmxn) por ) por programaciprogramacióón linealn lineal

Se trata de Maximizar el valor del Se trata de Maximizar el valor del juego (representado por las juego (representado por las estrategias de un jugador). Sujeto a estrategias de un jugador). Sujeto a la combinacila combinacióón lineal por rengln lineal por renglóón de n de la matriz de juego.la matriz de juego.Si el valor Si el valor maximinmaximin es positivo se es positivo se procede de este modo, si es negativo procede de este modo, si es negativo se agrega a la matriz de juego una se agrega a la matriz de juego una constante kconstante k


Ejemplo 1.Ejemplo 1.

Sea la matriz de consecuencias para el Sea la matriz de consecuencias para el juego (2x2):juego (2x2):

Jugador 2 B1 B2

A1 0 ½

Jugador 1 A2 1 0


SoluciSolucióón por programacin por programacióón n lineallineal

Como el valor Como el valor maximinmaximin = 0, se = 0, se procede a resolver:procede a resolver:

MAX Z = Y1 + Y2MAX Z = Y1 + Y2S.A.S.A.0Y1 + 0.5Y2 <= 10Y1 + 0.5Y2 <= 11Y1 + 0Y2 < = 11Y1 + 0Y2 < = 1Y1, Y2 >= 0Y1, Y2 >= 0

Jugador 2 B1 B2

A1 0 ½

Jugador 1 A2 1 0


SoluciSolucióón por Winqsb: n por Winqsb: planteamientoplanteamiento

Jugador 2 B1 B2

A1 0 ½

Jugador 1 A2 1 0


Datos importantesDatos importantes


Estrategias Estrategias óóptimasptimasEstrategias Estrategias óóptimas del jugador 2ptimas del jugador 2

V* = 1/3V* = 1/3Y1* = 1/3Y1* = 1/3Y2* = 2/3Y2* = 2/3(.3, .6) Estrategias para uno de los jugadores(.3, .6) Estrategias para uno de los jugadores

Para obtener las estrategias Para obtener las estrategias óóptimas del jugador 1 ptimas del jugador 1 resolvemos por simplex dual y se tiene:resolvemos por simplex dual y se tiene:X1* = 2/3X1* = 2/3X2* = 1/3X2* = 1/3(0.66, 0.33), v(0.66, 0.33), vééase que suman 1.ase que suman 1.

EJERCICIOS DE REPASO DEL TEMA DE TEORÍA DE JUEGOS. INVESTIGACIÓN DE OPERACIONES M. EN C. EDUARDO BUSTOS FARÍAS

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