TEORIA DE HIPERBOLAS:Ing. Eliezer Rojas

- Definición:

Es el lugar geométrico de un punto que se mueve en un plano de tal manera que el valor absoluto de las diferencias de sus distancias a dos puntos fijos del plano, llamados focos, es siempre igual a una cantidad constante, positiva y menor que la distancia entre los focos.

- Elementos de la hipérbola:

V, V’: VérticesF, F’: Focosl: Eje focall’: Eje normalC: centro

: Eje transverso: Eje conjugado

V(a,0) A(0,b)V’(-a,0) A’(0,-b)

Longitud del eje transverso= 2.aLongitud del eje conjugado=2.b

- 1era Ecuación ordinaria de la hiperbola:C(h,k) = C(0,0)

Y (l’)

X (l)VV’ CF’

A

A’

L

L’

- TEOREMA :

La ecuación de la hipérbola de centro en el origen, eje focal coincide con el eje X, y focos los puntos F(c,0) y F’(-c,0) es:

- Si el eje focal coincide con el eje Y, de manera que las coordenadas de los focos sean F(0,c) y F’(0,-c), entonces la ecuación es:

- NOTA:

, para cada hipérbola, la longitud de cada uno de sus lados rectos es , y la

excentricidad e esta dada por:

;

- Asintotas de la hipérbola:

Ecuación canónica de la hipérbola:; Se despeja Y:

Y = , se puede escribir de la forma:

Y= 1

La ecuación tiende a la forma:

Las rectas y ; representan asintotas oblicuas.

- TEOREMA:

La hipérbola , tiene por asintotas las rectas bX-aY =0 y bX+aY =0.

- 2da Ecuación ordinaria de la hipérbola:De centro C(h,k) y eje focal paralelo al eje X, es de la forma:

- Si el eje focal es paralelo al eje Y, su ecuación es:

- Ecuación general de una hipérbola:

- Propiedades de la hipérbola:

Muchas propiedades de la hipérbola están asociadas con sus tangentes. Como la ecuación de una hipérbola es de segundo grado, sus tangentes pueden obtenerse empleando la condición para tangencia, ya visto anteriormente.

- TEOREMA:

La ecuación de la tangente a la hipérbola: en cualquier punto P(X ,Y ) de la curva es:

- TEOREMA:

Las ecuaciones de las tangentes a la hipérbola , de pendiente m, son: