1 Teoría de Errores 5 - Gennara · 1 1 Teoría de Errores _____ 5 1 Error absoluto y relativo _____5
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Curso 2004/2005 Dpto. Física Aplicada IIIUniversidad de Sevilla
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Teoría de errores y presentación de resultados
Fundamentos Físicos de la Ingeniería1er curso de ingeniería industrial
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Índice
• Cifras significativas• Error en la medida
– Expresión de una magnitud con su error• Regla de redondeo
– Cálculo de errores• Medida directa• Medida indirecta
• Unidades• Rectas de mejor ajuste
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Cifras significativas
• Número de cifras de un dato• Ejemplos:
Dato Cifras significativas318 kg 312.45 V 40.0321 A 323.30 J 445000 m Ambiguo
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Error en la medida
Tipos de error (según la causa)• Sistemático eliminable• Aleatorio bandas de error:
Ej: V0 = 3.2±0.3 V
Expresión del error:• Absoluto: x±Ex ¡Tiene unidades!• Relativo: εx=Ex/x Adimensional
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Expresión de la cantidad con su error
• La banda de error limita el número de cifras significativas:
U=2.32865±0.3 J– Si el resultado es incierto en su primera cifra
decimal no tiene sentido dar más
U=2.3±0.312689 J– Las primeras cifras del error nos dicen donde
está la incertidumbre
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Reglas de redondeo1. Se escriben cantidad y error con todas sus cifras:
2. Se examinan las dos primeras cifras del error: ¿Son ≤25? Si: se retienen ambas y se redondeaNo: se retiene la primera y se redondea
3. Se toman las cifras significativas que marca el error y se redondea
R=2.83256 R=2.83256 ±± 0.08621 0.08621 ΩΩ
R=2.83256 R=2.83256 ±± 0.09 0.09 ΩΩ
R=2.83 R=2.83 ±± 0.09 0.09 ΩΩ
Redondeo: afecta a la última cifra retenida
• Si la siguiente cifra es <5: se mantiene
• Si la cifra siguiente es ≥5: se incrementa una unidad
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Reglas de redondeo1. Se escriben la cantidad y su error con
todas sus cifras:
I= 2.30408415 ± 0.002156 AI= 2.30408415 ± 0.03674 AI= 2.30408415 ± 0.2036 AI= 2.30408415 ± 2.87 AI= 2.30408415 ± 234 AI= 2.30408415 ± 0.00962 AI= 2.30408415 ± 0.257 A
Reglas de redondeo2. Se examinan las dos primeras cifras del
error: ¿Son ≤25? Si: se retienen ambas y se redondeaNo: se retiene la primera y se redondea
I= 2.30408415 ± 0.002156 AI= 2.30408415 ± 0.03674 AI= 2.30408415 ± 0.2036 AI= 2.30408415 ± 2.87 AI= 2.30408415 ± 234 AI= 2.30408415 ± 0.00962 AI= 2.30408415 ± 0.257 A
0.0022 A0.0022 A0.04 A0.04 A0.20 A0.20 A3 A3 A
230 A230 A
0.3 A0.3 A0.010 A0.010 A
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I= 2.3041 ± 0.0022 AI= 2.30 ± 0.04 AI= 2.30 ± 0.20 AI= 2 ± 3 AI= 0 ± 230 AI= 2.304 ± 0.010 AI= 2.3 ± 0.3 A
I= 2.3041 ± 0.0022 AI= 2.30 ± 0.04 AI= 2.30 ± 0.20 AI= 2 ± 3 AI= 0 ± 230 AI= 2.304 ± 0.010 A
I= 2.3041 ± 0.0022 AI= 2.30 ± 0.04 AI= 2.30 ± 0.20 AI= 2 ± 3 AI= 0 ± 230 A
I= 2.3041 ± 0.0022 AI= 2.30 ± 0.04 AI= 2.30 ± 0.20 AI= 2 ± 3 A
Reglas de redondeo3. Se toman las cifras significativas que
marca el error y se redondea
I= 2.30408415 ± 0.0022 AI= 2.30408415 ± 0.04 AI= 2.30408415 ± 0.20 AI= 2.30408415 ± 3 AI= 2.30408415 ± 230 AI= 2.30408415 ± 0.010 AI= 2.30408415 ± 0.3 A
I= 2.3041 ± 0.0022 AI= 2.30 ± 0.04 AI= 2.30 ± 0.20 A
I= 2.3041 ± 0.0022 AI= 2.30 ± 0.04 AI= 2.3041 ± 0.0022 A
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Cálculo de errores
Estudiaremos diferentes casos:• Medida directa
– Una sola medida– Varias medidas
• Medida indirecta– Función de una sola variable: z=f(x)– Función de varias variables: z=f(x,y,w)
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Error de una medida directa
• El error depende de la precisión del aparato
Aparatos digitales: se toma como error la propia precisión.
Excepción en el redondeo: 0.1 en vez de 0.10
Aparatos analógicos: se toma como error la mitad de la precisión
Pueden tomarse mitades como resultadoSi ha de enrasarse por dos extremos: doble error
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Error de varias medidas directas
• Se realizan si existe una incertidumbre no achacable al aparato de medida:
1
1 n
ii
x xn =
= ∑1 2 3, , ,..., nx x x x• Medidas:
• Resultado: valor medio
• Error: desviación cuadrática media de la media de los datos
Si Ex es menor que el error del instrumento de medida, se escoge este último
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Error de varias medidas directas
• Error: cantidades relacionadas
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n nxE
n nσ σ −= =−
σn : desviación estándar de la población(xσn en las calculadoras)
σn-1 : desviación estándar de la muestra(xσn-1 en las calculadoras)
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Error de una medida indirectaFunción de una variable
• Suponemos: • Resultado:
• Error:
0 con ( )xx x E z f x= ± =
0 0( )z f x=
0
z xx
fE Ex∂
=∂
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4DS π
=Ejemplo: sección de un cable:
0
0
2s D DD
DSE E ED
π∂= =∂
DError de la medida:
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Error de una medida indirectaFunción de una variable
• Algunos casos sencillos:
y Kx=
• Una variable proporcional a otra:
• Función exponencial:
• Logaritmo:
0
y x xx
yE E KEx∂
= =∂
xy ae= xy x xE ae E yE= =
lny x= xy x
EEx
ε= =
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Error de una medida indirectaFunción de varias variables
• Suponemos:
0 00
22 22 2 2
z x y wx wy
f f fE E E Ex y w
⎛ ⎞∂ ∂ ∂⎛ ⎞ ⎛ ⎞= + +⎜ ⎟⎜ ⎟ ⎜ ⎟∂ ∂ ∂⎝ ⎠ ⎝ ⎠⎝ ⎠
0 0 0 ; ; x y wx x E y y E w w E= ± = ± = ±
0 0 0 0( , , )z f x y w=
( , , )z f x y w=
• Resultado:• Error:
Unidades• Todos los datos deben ir acompañados de sus
unidades. También resultados intermedios
• Serie de medidas consecutivas17 mm – 15 mm – 12 mm – 8 mm
17 – 15 – 12 – 8 (mm)
• Tablas:F(N) a(m/s2)1.0 2.12.0 4.33.2 6.2
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Rectas de mejor ajuste
• Estudio de la dependencia (lineal) de una variable con otra. Permite:
Verificar relación linealDeterminar alguna magnitud de forma indirecta (Ej: pendiente en V=IR)Interpolación o extrapolaciónAjustar una función no lineal en una región restringida
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Rectas de mejor ajusteV(mV) I(mA)
1.0 2.82.0 6.22.9 9.13.9 12.55.0 14.76.1 18.17 21.0
8.2 24.29.0 26.510.2 30.011.1 33.511.9 35.9
• Paso 1: gráfica de los datos– Permite verificar relación lineal.– Permite eliminar puntos erróneos.
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Recta de mejor ajusteV(mV) I(mA)
1.0 2.82.0 6.22.9 9.13.9 12.55.0 14.76.1 18.17 21.0
8.2 24.29.0 26.510.2 30.011.1 33.511.9 35.9
V frente a I
0
2
4
6
8
10
12
14
0 5 10 15 20 25 30 35 40
I(mA)
V(m
V)
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Recta de mejor ajusteV frente a I
0
2
4
6
8
10
12
14
0 5 10 15 20 25 30 35 40
I(mA)
V(m
V)
• Marcar claramente datos experimentales (aspas si se representan a mano)
• No señalar datos experimentales en los ejes
• Magnitudes y unidades en los ejes
• Debe ocupar toda la página
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Recta de mejor ajusteV frente a I
0
2
4
6
8
10
12
14
0 5 10 15 20 25 30 35 40
I(mA)
V(m
V)
2,8
6,2
9,1
12,5
14,7
18,1
21
24,2
26,5
30
33,5
35,9
2,8
6,2
9,1
12,5
14,7
18,1
21
24,2
26,5
30
33,5
35,9
V frente a I
02468
101214161820
0 10 20 30 40 50
I(mA)
V(m
V)
• Marcar claramente datos experimentales (aspas si se representan a mano)
• No señalar datos experimentales en los ejes
• Magnitudes y unidades en los ejes
• Debe ocupar toda la página
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Rectas de mejor ajuste• Paso 2: Obtención del coeficiente de correlación
(r)– Es una medida del grado de alineación– r Є (-1,1)– No tiene error– No tiene unidades– Redondeo: hasta la primera cifra distinta de 9.
Ejemplos:r = 0.999678 r = 0.9996r = -0.99128 r = -0.991r = 1.099678 r = Erróneo
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Rectas de mejor ajuste
• Paso 3: Obtención de pendiente y ordenada en el origen: y=ax+b– Tienen unidades que hay que especificar– Tienen error: hay que redondear
Para nuestro ejemplo: V = bI + a
r = 0.99934675 r = 0.9993
b = 0.3366870 Ωb = R = 0.337 ± 0.008 Ω
a = -0.05 ± 0.17 mV
Eb =0.00770058 Ωa = -0.05442597 mVEa = 0.17030002 mV
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Rectas de mejor ajuste
• Paso 4: Trazado de la recta de mejor ajustesobre la gráfica– Se realiza a partir de dos puntos– Estos puntos NO SE REPRESENTAN– Debe observarse si, efectivamente, es la recta
de mejor ajuste
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Rectas de mejor ajusteV frente a I
0
2
4
6
8
10
12
14
0 5 10 15 20 25 30 35 40
I(mA)
V(m
V)
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Rectas de mejor ajuste: ejemplosV frente a I
0
2
4
6
8
10
12
14
0 5 10 15 20 25 30 35 40
I(mA)
V(m
V)
¡Recta mal calculada o mal trazada!
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Rectas de mejor ajuste: ejemplosV frente a I
0
2
4
6
8
10
12
14
0 5 10 15 20 25 30 35 40
I(mA)
V(m
V)
¡Punto erróneo!: debe eliminarse
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Rectas de mejor ajuste: ejemplosV frente a I
0
2
4
6
8
10
12
14
0 5 10 15 20 25 30 35 40
¡Faltan etiquetas en los ejes!
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Rectas de mejor ajuste: ejemplosV frente a I
0
2
4
6
8
10
12
14
0 5 10 15 20 25 30 35 40
I(mA)
V(m
V)
¡Recta mal calculada o mal trazada!
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Rectas de mejor ajuste: ejemplosV frente a I
0
2
4
6
8
10
12
14
0 5 10 15 20 25 30 35 40
I
V
¡Faltan puntos experimentales y unidades!
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Rectas de mejor ajuste: ejemplosV frente a I
0
2
4
6
8
10
12
14
0 5 10 15 20 25 30 35 40
I(mA)
V(m
V)
Para gráficas por ordenador: incluir tramas
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Rectas de mejor ajuste: ejemplosV frente a I
0
2
4
6
8
10
12
14
0 5 10 15 20 25 30 35 40
I(mA)
V(m
V)
Datos caso 1Recta caso 1Datos caso 2Recta caso 2
Para varias curvas: distintos símbolos y colores
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Rectas de mejor ajusteResumen de pasos a seguir:• Representar los datos experimentales
• Obtener el coeficiente de correlación
• Calcular de la pendiente y la ordenada en el origen con su error
• Obtener información física
• Representar la recta de mejor ajuste