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Teoría de Control
SISTEMAS DISCRETOS
TIPOS DE SEÑALES
TIEMPO CONTINUO
TIEMPO DISCRETO
ANALÓGICAS
CUANTIFICADAS
NO CUANTIFICADAS
DIGITALES
{
{
Teoría de Control
SISTEMAS DISCRETOS
TRANSFORMADA Z
0
)()()()(k
kzkTxkTxtxzX ZZ
0 tpara 0
0 tpara 1)(tx
ESCALÓN UNITARIO
1
321
1
1
1
1....1)(
zrzzzzX
ka
0k para 0
0k para a)(
k
kx 1
133221
1
1)(
....1)(
azzX
azrzazaazzX
1 2 3( ) (0) ( ) (2 ) (3 ) .... ( ) ....kX z x x T z x T z x T z x kT z
Teoría de Control
ate
0 tpara 0
0 tpara )(
-atetx
1
133221
1
1)(
....1)(
zezX
zerzezezezX
aT
aTaTaTaT
0 tpara 0
0 tparat )(tx
RAMPA UNITARIA
21
13211
321
1....4321
....32)(
z
TzzzzTz
TzTzTzzX
TRANSFORMADA Z
SISTEMAS DISCRETOS
Teoría de Control
TRANSFORMADA Z
PROPIEDADES
SISTEMAS DISCRETOS
( ) ( )a x t a X zZ
1
0( ) ( ) ( )
nn k
kx t nT z X z x kT zZ
( ) ( ) ( ) ( )a x t b y t a X z b Y zZ
1 ( ) ( )ka x t X a zZ
( ) ( )nx t nT z X zZ
Teorema del Valor Final
Teorema del Valor inicial
(0) lim ( )z
f F z
1( ) lim ( 1) ( )
zf z F z
Teoría de Control
RETENCIÓN DE ORDEN CERO
SISTEMAS DISCRETOS
( ) ( ) ( )
( ) escalón
y t u t u t T
u t
( ) 1 1 1ROC
( )
sTsTY s e
eR s s s s
1 1( ) ( )sTX s e G s
1
( ) 1( ) 1 ( )
( )
sTsTY s e
G s e G sR s s
1 0 1 0
0
( ) g ( ) ( )
t
x t g t g d t t T
1 1 1
0
( ) g ( )
t
x t t T g d t T
( ) respuesta al impulsoy t
Teoría de Control
RETENCIÓN DE ORDEN CERO
SISTEMAS DISCRETOS
1
1 1 1( ) ( ) ( )x t g t T z G zZ Z
1 1( ) ( )g t G zZ
1( ) ( )(1 )
( )
Y z G sz
R z sZ
1 1
( )( ) ( )
( )
sTY zG s e G s
R zZ
( ) 1( )
( )
sTY s eG s
R s s
1
1
( )(1 ) ( )
( )
Y zz G z
R z
1
1 1
( )( ) ( )
( )
Y zG z z G z
R z
Teoría de Control
MUESTREO MEDIANTE IMPULSOS
)(tx )(* tx
T
SISTEMAS DISCRETOS
*
0( ) ( ) ( )
kx t x kT t kT
* 2( ) (0) ( ) (2 ) ...sT sTX s x x T e x T e
*
0( ) ( ) ( ) con skT sT
kX s x kT e X z z e
*( ) (0) ( ) ( ) ( ) ...X s x t x T t TL L
0( ) ( )T kt kT t kT
Teoría de Control
La respuesta de y(t) es la suma de las respuestas al impulso
FUNCIÓN
TRANSFERENCIA
DE PULSO
SISTEMAS DISCRETOS
0
( ) ( ) ( ) k
ky t Y z y kT zZ
*
0( ) ( ) ( )
kx t x kT t kT
* *
0 0
( )
t t
y t g t x d x t g d
( ) (0) 0
( ) (0) ( ) ( ) T 2( )
...
( ) (0) ( ) ( ) ... ( ) ( ) ...
g t x t T
g t x g t T x T t Ty t
g t x g t T x T g t kT x kT kT t
1k T
Teoría de Control
SISTEMAS DISCRETOS
FUNCIÓN TRANSFERENCIA DE PULSO
0( ) ( ) ( )
hy t g t hT x hT
0( ) ( ) ( )
hy kT g kT hT x hT
( ) ( ) ( )*
y kT x kT g kT
0 0( ) ( ) ( ) k
k hY z g kT hT x hT z
m k h
0 0( ) ( ) ( ) m h
m hY z g mT x hT z
0( ) ( ) k
kY z y kT z
Sumatoria de Convolución
0 0( ) . -m -h
m hY z g(mT) z x(hT) z
( ) ( ). X(z)Y z G z
Teoría de Control
SISTEMAS DISCRETOS
SISTEMAS CON RETARDO
1( ) ( )(1 )
( )dsTY z G s
z eX z s
Z
1( ) ( )(1 )
( )
dT
TY z G s
z zX z s
Z
Si Td = N.T
1( ) ( )(1 )
( )
NY z G sz z
X z sZ
Teoría de Control
SISTEMAS DISCRETOS
TABLA DE TRANSFORMADA Z
Si bien la transformada Z se define en el dominio temporal existen tablas que permiten
transformar al plano Z expresiones representadas en el campo transformado de Laplace.
Teoría de Control
SISTEMAS DISCRETOS
EJEMPLO:
El siguientes diagrama representa un sistema muestreado de control. Obtenga una
expresión para la salida C(z) cuando se le aplica una entrada R(s) en forma de escalón
de amplitud unitaria.
E E*
V
C*
21212)11( **** GHCGGERGHCGERVRE
****** 2121 GHCGGERE
***** 21211 GHCRGGE
Teoría de Control
SISTEMAS DISCRETOS
EJEMPLO:E E*
V
C*
*
****
211
21
GG
GHCRE
32132132)11( **** GGHCGGGEGGHCGEC
***** 321321 GGHCGGGEC
***
*
**** 321321
211
21GGHCGGG
GG
GHCRC
***** 21211 GHCRGGE
Teoría de Control
SISTEMAS DISCRETOS
EJEMPLO:E E*
V
C*
*
*********
211
21132132121321
GG
GGGGHCGGGGHCGGGRC
********** 21132132121321211 GGGGHCGGGGHCGGGRGGC
******** 32121132132121211 GGGRGGGGHGGGGHGGC
*****
***
21132132121211
321
GGGGHGGGGHGG
GGGRC
)(211)(321)(321)(21)(211
)(321)()(
zGGzGGHzGGGzGHzGG
zGGGzRzC
Teoría de Control
2 1s
2 1s
Aliasing
Teorema del
muestreo
El teorema demuestra que la reconstrucción exacta de una
señal periódica continua en banda base a partir de sus
muestras, es matemáticamente posible si la señal está
limitada en banda y la tasa de muestreo es superior al doble
de su ancho de banda.
SISTEMAS DISCRETOS
Teoría de Control
)(1
)(
)(*
sGs
e
sU
sC sT
1( ) ( )( ) 1
( )
C z G sG z z
U z sZ
)()(1
)()(
)(
)(
zDzG
zDzG
zR
zC
SISTEMAS DISCRETOS
CONTROL DISCRETO
Teoría de Control
CORRESPONDENCIA ENTRE EL PLANO S Y EL PLANO Z
sTez js con
)2()( kTjTTjTTj eeeeez 1 Tez
SISTEMAS DISCRETOS
Teoría de Control
ANÁLISIS DE ESTABILIDAD
1( ) ( )( ) 1
( )
V z GH sGH z z
U z sZ
)(1
)(
)(
)(
zGH
zG
zR
zC
0)(1)( zGHzP
1 1
1
1)(
TH(s)
sssG
SISTEMAS DISCRETOS
1
2
1 1 1( ) (1 )
( 1)G z z
s s sZ
2
( 1)( )
( 1) ( 1) ( )T
z Tz z zG z
z z z z e
Teoría de Control
ANÁLISIS DE ESTABILIDAD
0 3679 0 7183( )
1 0 3679
, z+ ,G z
z - z - ,
2( ) 1 0 3679 0 3679 0 2642 0 6321P z z - z - , , z+ , z - z + ,
0,61820,5 0,61820,5 21 jzjz
10,7950919 21 zz ESTABLE
SISTEMAS DISCRETOS
2
2
( 1) ( 1)( 1)( )
( 1)
T T
T
z T z e z z e zzG z
z z z e
1 1( )
( 1)
T T T
T
z T e e TeG z
z z e
Teoría de Control
ANÁLISIS DE ESTABILIDAD
1 1
1)(
TH(s)
ss
KsG
0 3679 0 7183( )
1 0 3679
, K z+ ,G z
z - z - ,
K=1
K=2,39
SISTEMAS DISCRETOS
Teoría de Control
ANÁLISIS DE ESTABILIDAD
SISTEMAS DISCRETOS
1 1( )
( 1)
T T T
T
z T e e TeG z
z z e
( 1) 1 11 ( )
( 1)
T T T T
T
z z e z T e e TeG z
z z e
Si el periodo de muestreo T no es conocido
2 2 11 ( )
( 1)
T
T
z T z TeG z
z z e
Para T=3.923
2 1,923 0,92241 ( )
( 1) 0,01978
z zG z
z z
Y los ceros son z1= -0,91583 y z2= -1,00716
Teoría de Control
TRANSFORMACIÓN BILINEAL 1
12
z
z
Tw
21
21
wT
wT
z
jez 1
2cos
222
1
12
22
22
sen
Tj
ee
ee
Te
e
Tw
jj
jj
j
j
j
W
SISTEMAS DISCRETOS
Teoría de Control
www
T
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2
2 1
2
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TRANSFORMACIÓN BILINEAL
Tj
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2
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2cos
22 T
Tj
T
Tsen
Tjw
SISTEMAS DISCRETOS
1
12
z
z
Tw
0
5
10
15
20
25
30
35
0 0,2 0,4 0,6 0,8 1 1,2
w
2s
Teoría de Control
1 1
1
1)(
TH(s)
sssG
0 3679 0 7183( )
1 0 3679
, z+ ,G z
z - z - ,
0 03788 12 2 2( )
0 9242
- , w+ , w-G w
w w+ ,
SISTEMAS DISCRETOS
TRANSFORMACIÓN BILINEAL
Teoría de Control
APROXIMACIÓN DE LA RETENCIÓN DE ORDEN CERO
sj
s
s
ROC esen
TjG
)(
* 1( ) ( ) ( ) ( )ROC ROC s sG j GH j G j jn GH j jn
T
2*21
( ) ( ) ( )
2
s
sn
j T
ROC s
s
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G j GH j T GH j jnnT
e
2/* )()()( Tj
ROC ejGHjGHjG
SISTEMAS DISCRETOS