TEORÍA DE CONTROL - fi.mdp.edu.ar 2-2.pdf · Ejercicio Ascensor El diagrama ... El diagrama de la...
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TEORÍA DE CONTROL
Modelo de EstadoEjercicio Ascensor
Teoría de Control
Ejercicio Ascensor
El diagrama representa esquemáticamente el funcionamiento de un control de velocidad deun ascensor. El mismo es accionado por un motor de corriente continua cuyos parámetrosasociados son :
Tensión de alimentación Va=440 V.Potencia nominal Pn = 12.5 Kw.Velocidad nominal ωn = 1500 rpm.Constante de cupla Kt = 2.5 Nw.m/Amp.Constante de velocidad Kw = 2.38 Volt/(rad/seg).Resistencia de armadura Ra = 1,96 W.Inductancia de dispersión de armadura La = 0,01 Hy.
+
kw
ω
VrI=cte
r
En el eje de salida de la reducción se encuentra colocada la polea de radio r = 0,3 m ymomento de inercia J = 5,4 Nw.m s2 . Sobre esta polea se aloja, sin deslizamiento el cable deizado de la cabina, este cable se considera elástico con una constante K=49000 N/m. .Finalmente en el extremo del cable se ubica la camina del ascensor de masa Ma = 500 Kg. .Se considera despreciable el rozamiento de la cabina sobre las guías.
El eje del motor se encuentra acoplado mecánicamente a una cajareductora cuya relación es N2/N1 = 50, el conjunto formado por el motor yla reducción presenta un rozamiento equivalente B = 1275 Nw.m.s. ubicadoa la salida del mismo.
Se desea encontrar un modelo de estado que lo represente con salidas : ω ( velocidad del motor), Vm (Velocidad de la cabina) y X ( estiramiento del cable).
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Ejercicio Ascensor
Se desea encontrar un modelo de estado para el sistema planteado. Existen distintasformas de llegar al modelo de estado, en este caso en particular se va a optar por hallar lasecuaciones de estado a partir del diagrama en bloques.
PARTE ELÉCTRICA
El diagrama de la parte eléctrica, tiene en cuenta al amplificador de potencia quealimenta el motor, la impedancia eléctrica propia del motor y la realimentación de la FEMinducida debido al movimiento del eje. Además, se considera el par en el eje del motorgenerado a partir de la corriente de armadura.
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Ejercicio Ascensor
PARTE MECÁNICA
22
1M
NT TN
= 12
2
NN
ω ω=
( )2 2RT T sJ Bω− = +
RT F r= ⋅
( )1 2F K x x K x= − = ⋅
2 2F M a M s V= ⋅ = ⋅ ⋅
La parte mecánica de rotación esta compuesta por lareducción a engranajes, la polea de inercia J y elrozamiento B.
Sobre la polea aparece un torque resistente debidoal cable y la cabina
La velocidad angular de la polea se puede determinaa partir de la siguiente ecuación:
La fuerza lineal ejercida sobre la polea es:
Esta misma fuera se aplica a la masa de la cabina:
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Ejercicio Ascensor
PARTE MECÁNICA
Se puede construir un circuito eléctrico equivalente de la carga mecánica.
DIAGRAMA EN BLOQUES
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Ejercicio Ascensor
VARIABLES DE ESTADO
ELECCIÓN DE LAS VARIABLES DE ESTADO
En el diagrama en bloques se pueden definir variables de estado a las señales que seencuentran a la salida de un bloque integrador
Cada uno de los bloques representa una función de transferencia, por lo tanto se suponencondiciones iniciales nulas para las variables representadas.En consecuencia, se va a asumir que:
{ } ( )dxx x s X sdt
= → = ⋅ L
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Ejercicio Ascensor
VARIABLES DE ESTADO
( ) ( )( ) ( ) ( ) ( ) ( )ss sR W Ws s s s sA A A R
AV K KRa AI I I VsLa Ra La La La
ω ω−= → = − − +
+
Se elijen como variables de estado . La entrada del modelo es .2, , y AI V xω RV
2 ( ) ( ) 212 2 2( ) ( ) ( ) ( ) ( )
1 1 1
s
s sT ATs s s s sA
N K I K r xNN N K NB K rI x
N sJ B N J J N Jω ω ω
− = → = − − +
1 ( ) ( )22 1( ) ( ) ( ) ( )2
2
s s s
s s s s
Nr VN NX X r V
s N
ωω
− = → = −
( )( ) ( ) ( )2 2
s M M
ss s s
a a
K X KV V Xs
= → =
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Ejercicio Ascensor
VARIABLES DE ESTADO
Pasando las ecuaciones transformadas al dominio temporal, considerando condicionesiniciales nulas:
( ) ( ) ( ) ( )W
t t t tA A RKRa AI I V
La La Laω= − − +
2
2 2( ) ( ) ( ) ( )
1 1
Tt t t tAN K NB K rI xN J J N J
ω ω
= − −
1( ) ( ) ( )22
t t tNx r VN
ω
= −
( ) ( )2
Mt t
a
KV x=
Se plantean como salidas : la velocidad de la cabina , La velocidad angular y elestiramiento del cable .
2Vx
ω
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Ejercicio Ascensor
VARIABLES DE ESTADORepresentando las variables en forma vectorial resulta:
2( )( ) 2 2
( )( ) 1 1
( )( )1
( )( ) 22 2
0 0
0000 0 10
0 0 0M
W
tt T AA
tt
tt
tt
a
KRaLa La
AN K NB K r IILaN J J N J
xx Nr VV NK
A
ωω
− −
− − = ⋅ + −
( )tRV
B
⋅
( )( )2
( )( ) ( )
( )( )
( )2
0 0 0 1 00 1 0 0 00 0 1 0 0
tAt
tt tR
tt
t
IV
Vx
xV
DC
ωω
= ⋅ + ⋅
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VARIABLES DE ESTADOReemplazando las constantes por su valor numérico queda:
( )( )
5( )( )
( )( )( )
( )( ) 22
196 238 0 0 10001157.4 236.11 1.361 10 0 0
0 0.006 0 1 00 0 98 0 0
tt AA
tttR
tt
tt
II
Vxx
VVA B
ωω− −
− − × = ⋅ + ⋅ −
( )( )2
( )( )
( )( )
( )2
0 0 0 10 1 0 00 0 1 0
tAt
tt
tt
t
IV
xx
VC
ωω
= ⋅
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VARIABLES DE ESTADO
CONTROLABILIDAD Y OBSERVABILIDAD
Para determinar si el sistema es controlable se debe calcular la matriz controlabilidad:
2 2 1 | | | ...| | n nU B AB A B A B A B− − = Si el rango de esta matriz es igual al número de variables de estado el sistema resultacontrolable.En este caso como el modelo tiene una sola entrada resulta una matriz cuadrada por lotanto para que resulte de rango completo se debe cumplir que .( )det 0U ≠
8 11
6 8 11
6
5
1000 196000 2.37 10 1.655 100 1.157 10 5.001 10 1.572 100 0 6944.44 3.001 100 0 0 6.806 10
U
− − × × × − × − × = − ×
×
[ ] 18det 5.47 10 U = ×
El sistema es CONTROLABLE desde la entrada VR
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Ejercicio Ascensor
=
−1
2
...nCA
CACAC
V
Para determinar si el sistema es observable se debe calcular la matriz observabilidad:
Si el rango de esta matriz es igual al número de variables de estado el sistema resultacontrolable.
En este caso el modelo tiene tres salidas por lo tanto resulta una matriz no cuadradaentonces se debe analizar el rango aplicando el método de Gauss-Jordan (Matriz triangularo diagonal).
Otro método puede ser encontrar el determinante de mayor orden no nulo.
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Ejercicio Ascensor
5
3
5 5 7 5
4
8 8 10 7
0 0 0 10 1 0 00 0 1 00 0 98 0
1157.4 236.11 1.361 10 00 6 10 0 10 0.588 0 98
5.0013 10 2.2053 10 3.2137 10 1.361 106.9444 1.41667 914.66667 0
680.556 138.833 8.9637 10 01.5722 10 1.7129 10 3.003 10 3.2137 10
V−
− − ×× −
=−
− × − × × ×− −− − ×
× × × − ×53000.77 1323.7750 1.9282 10 914.667
− − ×
Se puede armar un determinante no nulo con las filas resaltadas
El sistema es OBSERVABLE desde el conjunto de salidas.
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Ejercicio Ascensor
Se puede analizar la observabilidad individual para cada una de las salidas.Para la salida , velocidad de la cabina, la ecuación de salida tiene la siguiente forma:
2V
[ ]
( )
( )( )2
( )
( )2
0 0 0 1
tA
tt
t
t
I
Vx
C V
ω = ⋅
La matriz observabilidad para esta salida es:
5
0 0 0 10 0 98 0
0 0.588 0 98
680.556 138,833 8.963733 10 4 0
V
= − − − ×
[ ] 4det 3.921633 10 V = ×
El sistema es OBSERVABLE desde la SALIDA V2., por lo tanto cualquier conjunto desalidas que incluya a esta, dará como resultado un sistema observable.