Teoria de Colas

5/8/2018 Teoria de Colas - slidepdf.com

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INVESTIGACION OPERATIVAINVESTIGACION OPERATIVA

IIII VERANO 2011 VERANO 2011

TEORIA DE COLASTEORIA DE COLAS

Ing.Ing. M.Sc.M.Sc. Luis AlfredoLuis Alfredo RimassaRimassa M.M.

UNIVALLE

COCHABAMBA



COMPARTIR EL CONOCIMIENTO COMPARTIR EL CONOCIMIENTOES UNA ACCION DE SERES INTELIGENTES,ES UNA ACCION DE SERES INTELIGENTES,

QUE HAN COMPROBADO QUE ELQUE HAN COMPROBADO QUE EL

CONOCIMIENTO ES UN BIEN QUE CRECE ACONOCIMIENTO ES UN BIEN QUE CRECE AMEDIDA QUE SE LO COMPARTEMEDIDA QUE SE LO COMPARTE

Prof. Mario Hertor VogelProf. Mario Hertor VogelDirector Club Tablero de ComandoDirector Club Tablero de Comando

www.tablerowww.tablero--decomando.comdecomando.com



PLAN GLOBALPLAN GLOBAL PROCESOSPROCESOS POISSONPOISSON Y Y TEORIATEORIA DEDE COLASCOLAS

Introducción a los procesos aleatorios a tiempoIntroducción a los procesos aleatorios a tiempocontinuocontinuo

Generalidades sobre los modelos de colas.Generalidades sobre los modelos de colas. Procesos de nacimientos y muertes.Procesos de nacimientos y muertes.

Notación y terminología.Notación y terminología.

Ecuaciones básicasEcuaciones básicas Formulas de Little.Formulas de Little.

Modelos de PoissonModelos de Poisson Modelos con disciplina de prioridadModelos con disciplina de prioridad

Aspectos económicos en la teoría de colas Aspectos económicos en la teoría de colas

Problemas propuestos.Problemas propuestos.



BIBLIOGRAFÍABIBLIOGRAFÍA

--Introducción a la Investigación de Operaciones,Introducción a la Investigación de Operaciones,HILLIER/LIEBERMANHILLIER/LIEBERMAN

--Investigación de Operaciones, Una Introducción,Investigación de Operaciones, Una Introducción,

TAHA, HAMDY A.TAHA, HAMDY A. --Métodos y modelos de Investigación de Operaciones,Métodos y modelos de Investigación de Operaciones,PRAWDA JUAN.PRAWDA JUAN.

--Investigación de Operaciones, LLECCA, Raffo, Perú,Investigación de Operaciones, LLECCA, Raffo, Perú,1990.1990.

--Investigación de Operaciones en la Ciencia.,Investigación de Operaciones en la Ciencia.,MOSKOWITZ, HERBERT McGrawMOSKOWITZ, HERBERT McGraw --Hill, MéxicoHill, México



BIBLIOGRAFÍABIBLIOGRAFÍA

--Técnicas De Simulación En Computadoras,Técnicas De Simulación En Computadoras,NAYLOR/BALINTFY NAYLOR/BALINTFY

--Investigación de Operaciones, Un enfoqueInvestigación de Operaciones, Un enfoqueDidáctico TERRAZAS RAFAEL.Didáctico TERRAZAS RAFAEL.

--Simulación de Sistemas, TERRAZAS RAFAEL.Simulación de Sistemas, TERRAZAS RAFAEL. -- Método del Camino Critico, DianaMétodo del Camino Critico, Diana México,México,

SHAMBLIN,J. Y STEVENS, G.T.SHAMBLIN,J. Y STEVENS, G.T. -- www.investigacionwww.investigacion--operaciones.comoperaciones.com



PROCESOS ESTOCASTICOSPROCESOS ESTOCASTICOS

LosLos modelosmodelos yy procesosprocesos estocásticosestocásticos seseconstituyenconstituyen enen unauna expresiónexpresión importanteimportante yy

particularparticular dede lala modelizaciónmodelización matemáticamatemática.. LaLanaturalezanaturaleza estocásticaestocástica hacehace queque susu campocampo dedeaplicaciónaplicación seasea cadacada vezvez masmas ampliaamplia sobresobre todotodoenen loslos diferentesdiferentes dominiosdominios dede lala ingenieríaingeniería yy lalaadministraciónadministración talestales comocomo:: transmisióntransmisión dedeseñalesseñales telegráficas,telegráficas, transporte,transporte, mantenimiento,mantenimiento,fiabilidad,fiabilidad, estudiosestudios dede marketing,marketing, previsión,previsión,producción,producción, etcetc..



PROCESOS ESTOCASTICOSPROCESOS ESTOCASTICOS

EsteEste tipotipo dede problemasproblemas tienetiene queque verver sobresobre todotodoconcon elel comportamientocomportamiento aleatorioaleatorio y/oy/o

probabilísticaprobabilística dede laslas variablesvariables queque sese intervienenintervienenyy queque normalmentenormalmente bajobajo ciertosciertos supuestossupuestossiguensiguen distribucionesdistribuciones dede probabilidadprobabilidad conocidasconocidas..

LosLos modelosmodelos yy procesosprocesos estocásticosestocásticos proveenproveen dede

modelosmodelos matemáticosmatemáticos asociadosasociados aa fenómenosfenómenosaleatoriosaleatorios dondedonde lala dependenciadependencia concon elel tiempotiempo ooconcon cualquiercualquier otrootro parámetro,parámetro, juega juega unun rolrolpreponderantepreponderante..



Los Procesos Aleatorios a TiempoLos Procesos Aleatorios a Tiempo

ContinuoContinuo

EnEn muchosmuchos problemasproblemas dede loslos procesosprocesosestocásticos,estocásticos, talestales comocomo lala confiabilidadconfiabilidad

dede unun sistema,sistema, lala teoríateoría dede colascolas;; estamosestamosinteresadosinteresados enen unun modelomodelo estocásticoestocástico quequehagahaga intervenirintervenir todostodos loslos instantesinstantespertenecientespertenecientes aa unun intervalointervalo dadodado yy queque

ademásademás nosnos permitapermita poderpoder reaccionarreaccionar sinsinretrasoretraso.. EstosEstos sonson llamadosllamados procesosprocesos aatiempotiempo continuocontinuo..



Ejemplos de estos ProcesosEjemplos de estos Procesos

ElEl arriboarribo dede clientesclientes haciahacia unauna ventanillaventanilla

LaLa ocurrenciaocurrencia dede accidentesaccidentes enen unauna empresaempresa..

LaLa apariciónaparición dede fallasfallas enen unauna salasala dede maquinasmaquinas.. LaLa llegadallegada dede trabajostrabajos aa unauna centralcentral dede cómputoscómputos..

Arribo Arribo dede automóvilesautomóviles aa unauna gasolineragasolinera..

Aterrizaje Aterrizaje dede avionesaviones enen unun aeropuertoaeropuerto EtcEtc..



Concepto de un Proceso PoissonConcepto de un Proceso Poisson

UnUn procesoproceso dede PoissonPoisson responderesponde aa lala ideaideadede Arribos Arribos alal Azar Azar dede personaspersonas uu objetosobjetos

haciahacia unun lugarlugar determinadodeterminado.. EnEn términostérminosformalesformales sese hablahabla dede asociarasociar unun procesoprocesoPUNTUALPUNTUAL n(t),n(t), t t 00 alal tiempotiempo yy quequerepresentaríarepresentaría elel numeronumero dede arribosarribos enen ununperiodoperiodo oo intervalointervalo [[00,t],t]..



Introducción a la Teoría de ColasIntroducción a la Teoría de Colas

MuchasMuchas industriasindustrias dede productosproductos yy dede serviciosserviciostienentienen unun sistemasistema dede colascolas enen elel queque loslos¨̈productosproductos¨̈ (o(o clientes)clientes) lleganllegan aa unauna

¨̈estaciónestación¨̈ esperanesperan enen unauna ¨̈filafila¨̈ (o(o cola),cola),obtienenobtienen algúnalgún ¨̈servicioservicio¨̈ yy luegoluego salensalen deldelsistemasistema.. EjemplosEjemplos:: LosLos clientesclientes lleganllegan aa unun banco,banco, esperanesperan enen

unauna filafila parapara obtenerobtener unun servicioservicio dede unouno dedeloslos cajeros,cajeros, yy despuésdespués salensalen deldel bancobanco..



LasLas partespartes dede unun procesoproceso dede producciónproducción lleganllegan aaunauna estaciónestación dede trabajotrabajo particularparticular desdedesde diferentesdiferentesestaciones,estaciones, esperanesperan enen unun compartimientocompartimiento parapara serserprocesadasprocesadas porpor unauna máquina,máquina, yy luegoluego sonson enviadasenviadas

aa otraotra estaciónestación dede trabajotrabajo.. DespuésDespués dede hacerhacer sussus compras,compras, loslos clientesclientes eligeneligen

unauna filafila enen laslas cajas,cajas, esperanesperan aa queque elel cajerocajero leslescobrecobre yy luegoluego salensalen dede lala tiendatienda..

LasLas llamadasllamadas telefónicastelefónicas lleganllegan alal centrocentro dedereservacionesreservaciones dede unauna aerolínea,aerolínea, esperanesperan alal agenteagentedede ventasventas disponible,disponible, sonson atendidasatendidas porpor eseese agenteagenteyy dejandejan elel sistemasistema cuandocuando elel clientecliente cuelgacuelga..



DESARROLLODESARROLLO

LosLos problemasproblemas administrativosadministrativos relacionadosrelacionados concontalestales sistemassistemas dede colascolas sese clasificanclasifican enen dosdos

gruposgrupos básicosbásicos:: ProblemasProblemas dede análisisanálisis ProblemasProblemas dede diseñodiseño



ProblemasProblemas dede análisisanálisis.. UstedUsted podríapodría estarestarinteresadointeresado enen sabersaber sisi unun sistemasistema dadodado estáestáfuncionadofuncionado satisfactoriamentesatisfactoriamente.. NecesitaNecesita responderresponder unaunaoo másmás dede laslas siguientessiguientes preguntaspreguntas::

¿¿ CuálCuál eses elel tiempotiempo promediopromedio queque unun clientecliente tienetiene queque esperaresperarenen lala filafila antesantes dede serser atendido?atendido? ¿Qué¿Qué fracciónfracción dede tiempotiempo ocupanocupan loslos servidoresservidores enen atenderatender aa

unun clientecliente oo enen procesarprocesar unun producto?producto? ¿Cuáles¿Cuáles sonson elel númeronúmero promediopromedio yy elel máximomáximo dede clientesclientes queque

esperanesperan enen lala filafila

BasándoseBasándose enen estasestas preguntas,preguntas, loslos gerentesgerentes tomarántomarándecisionesdecisiones comocomo emplearemplear oo nono másmás gente,gente, agregaragregar unaunaestaciónestación dede trabajotrabajo adicionaladicional parapara mejorarmejorar elel nivelnivel dedeservicio,servicio, oo sisi eses necesarionecesario oo nono aumentaraumentar elel tamañotamaño deldeláreaárea dede esperaespera..



ProblemasProblemas dede diseñodiseño.. UstedUsted deseadesea diseñardiseñar laslascaracterísticascaracterísticas dede unun sistemasistema queque logrelogre unun objetivoobjetivogeneralgeneral.. EstoEsto puedepuede implicarimplicar elel planteamientoplanteamiento dedepreguntaspreguntas comocomo laslas siguientessiguientes::

¿Cuántas¿Cuántas personaspersonas oo estacionesestaciones debendeben emplearseemplearse

parapara proporcionarproporcionar unun servicioservicio aceptable?aceptable? ¿Deberán¿Deberán loslos clientesclientes esperaresperar enen unauna solasola filafila (como(como

sese hacehace enen muchosmuchos bancos)bancos) oo enen diferentesdiferentes filasfilas(como(como enen elel casocaso dede loslos supermercados)?supermercados)?

¿Deberá¿Deberá haberhaber unauna estaciónestación dede trabajotrabajo separadaseparadaqueque manejamaneja laslas cuestionescuestiones ¨̈especialesespeciales¨̈(como(como elelcasocaso deldel accesoacceso aa primeraprimera claseclase enen elel mostradormostrador dedeunauna aerolínea?aerolínea?



¿Qué¿Qué tantotanto espacioespacio sese necesitanecesita parapara queque loslos clientesclientes ooloslos productosproductos puedanpuedan esperar?esperar? PorPor ejemplo,ejemplo, enen ununsistemasistema dede reservacionesreservaciones porpor teléfono,teléfono, ¿qué¿qué tantan

grandegrande debedebe serser lala capacidadcapacidad dede retención?retención? EstoEsto es,es,¿cuántas¿cuántas llamadasllamadas telefónicastelefónicas sese debendeben mantenermantener enenesperaespera antesantes dede queque laslas siguientessiguientes obtengaobtenga lala señalseñaldede ocupado?ocupado?

EstasEstas decisionesdecisiones dede diseñodiseño sese tomantoman mediantemediante lalaevaluaciónevaluación dede loslos méritosméritos dede laslas diferentesdiferentes alternativas,alternativas,yy luegoluego seleccionandoseleccionando lala alternativaalternativa queque cumplacumpla concon loslosobjetivosobjetivos administrativosadministrativos..



ElEl análisisanálisis dede colascolas tambiéntambién sirvensirven enen elelcontextocontexto dede unun modelomodelo dede optimizaciónoptimización dede

costos,costos, dondedonde lala sumasuma dede loslos costoscostos porporofrecerofrecer elel servicioservicio yy esperaresperar sese minimizanminimizan.. ElEl problemaproblema principalprincipal concon lala puestapuesta enen

practicapractica dede loslos modelosmodelos dede costoscostos eses lala

dificultaddificultad dede estimarestimar elel costocosto unitariounitario dedeespera,espera, enen particularparticular cuandocuando elelcomportamientocomportamiento humanohumano influyeinfluye enen lalaoperaciónoperación deldel modelomodelo..



Nivel optimode servicio

C. De operaciónde instalaciones por

Unidad de tiempo

Costo de esperade los clientes

por unidadde tiempo

Nivel de servicio

COS

TO

Costo Total



La teoría de colas fue investigada por ERLANGen el año 1909. este matemático se preocupode los problemas de congestión en el trafico de

comunicación telefónica. Su interés se centroen el análisis probabilística que se presentabaen este tipo de problemas y por eso escribió ellibro solutions of some problems in the theory

of probabilities. Mas tarde , Molina (1927) yThornton (1928) enriquecieron este trabajo.



SAATY SAATY dicedice queque lala teoríateoría dede colascolas tratatrata dededesarrollardesarrollar unun modelomodelo simbólicosimbólico deldel sistemasistema

físicofísico parapara simplificarsimplificar lala soluciónsolución deldel problemaproblema yyqueque La La teoríateoría dede colascolas nono eses unauna técnicatécnica dedeoptimización,optimización, peropero sisi unauna herramientaherramienta analíticaanalíticaqueque permitepermite explorarexplorar yy conocerconocer elel

comportamientocomportamiento dede unun sistemasistema dede servicio,servicio,lograndologrando dede estaesta maneramanera indirectamenteindirectamente unaunaoptimizaciónoptimización aproximadaaproximada



DEFINICION DE TCDEFINICION DE TC EsEs unauna técnicatécnica matemática,matemática, probabilísticaprobabilística queque sese

ocupaocupa deldel análisisanálisis dede problemasproblemas caracterizadoscaracterizados porpor ununflujoflujo dede CLIENTESCLIENTES (personas,(personas, maquinas,maquinas, productos,productos,etc)etc) haciahacia unauna oo masmas ESTACDIONESESTACDIONES DEDE SERVICIOSERVICIO(bancos,(bancos, estacionesestaciones dede gasolina,gasolina, supermercados,supermercados, etc)etc)concon elel propósitopropósito dede estudiarestudiar esteeste tipotipo dedecomportamientoscomportamientos yy obtenerobtener informacióninformación relevanterelevante taltalcomocomo:: elel tiempotiempo mediomedio dede esperaespera dede unun cliente,cliente, eleltiempotiempo mediomedio dede ocio,ocio, lala longitudlongitud promediopromedio dede clientesclientesenen lala cola,cola, lala probabilidadprobabilidad dede queque hayahaya `n`n´́ clientesclientes enen

elel sistemasistema dede colas,colas, etcetc.. EstaEsta informacióninformación permitirápermitirá lalatomatoma dede decisionesdecisiones yy elel calculocalculo dede costoscostos asociadosasociadosparapara tomartomar oo nono laslas accionesacciones correctivascorrectivas necesariasnecesarias enenprocuraprocura dede lograrlograr mayormayor eficienciaeficiencia deldel sistemasistema



La teoría de colas se basa en que los procesos dellegada y tiempos de servicio, en los sistemas deespera, pueden ser descritos por apropiadas

distribuciones probabilísticas. A partir de esasdistribuciones se pueden derivar los modelos paraesos sistemas.

Los tiempos de servicio y el proceso de llegada sonindependientes en el sentido de que la duración delservicio no depende de cuando ocurra la llegada (nilos tiempos de llegada dependen de la duración delservicio), pero el proceso de servicio es dependientedel proceso de llegada, en el sentido de que no puedecomenzar hasta que la llegada haya ocurrido.



La descripción de un sistema implica analizar lossiguientes aspectos:

a) El proceso de llegada b) La configuración de la fila.

c) La disciplina en la fila,

d) La disciplina en el servicio y

e) El servicio.



ESTRUCTURA BASICA DE UN MODELOESTRUCTURA BASICA DE UN MODELO

DE COLASDE COLAS

SISTEMA DE COLAS

FUENTE DEENTRADA

CLIENTESSERVIDOS

COLA MECANISMODESERVICIO

DisciplinaEn la cola



EJEMPLOS DE LINEAS DE ESPERAEJEMPLOS DE LINEAS DE ESPERA



Fuente de entradaFuente de entrada

LosLos clientesclientes queque entranentran alal sistemasistema sese generangeneran aatravéstravés deldel tiempotiempo enen unauna fuentefuente dede entradaentrada

TambiénTambién sese denominadenomina poblaciónpoblación yy puedepuede serserfinitafinita oo infinitainfinita.. LasLas llegadasllegadas ocurrenocurrenaleatoriamentealeatoriamente peropero sese utilizautiliza unauna tasatasapromediopromedio;; generalmentegeneralmente sese suponesupone queque laslas

llegadasllegadas siguensiguen unauna distribucióndistribución PoissonPoisson..



COLACOLA

ConstituyeConstituye elel numeronumero dede clientesclientes esperandoesperando aaserser atendidosatendidos enen elel sistemasistema dede colas,colas, pudiendopudiendoserser tambiéntambién finitafinita oo infinitainfinita..

LaLa colacola nono incluyeincluye alal clientecliente queque estaesta recibiendorecibiendoelel servicio,servicio, comocomo yaya sese mencionomenciono loslos clientesclientes enenlala colacola nono necesariamentenecesariamente puedenpueden serser personas,personas,yy nono necesariamentenecesariamente debedebe haberhaber unauna colacola físicafísicasinosino queque loslos clientesclientes puedenpueden estarestar dispersosdispersos enentodatoda unauna áreaárea..



Disciplina en la ColaDisciplina en la Cola

Se refiere al orden o norma con el que losSe refiere al orden o norma con el que losclientes son atendidos, pudiendo ser:clientes son atendidos, pudiendo ser: PEPS (FIFO, First Input First Output)PEPS (FIFO, First Input First Output)

UEPS. (LIFO, Last Input First Output)UEPS. (LIFO, Last Input First Output)

Aleatorio. Aleatorio.

Con Prioridad (PR, Service With Priority)Con Prioridad (PR, Service With Priority)



MECANISMO DE SERVICIOMECANISMO DE SERVICIO

SeSe refiererefiere aa lala formaforma y/oy/o maneramanera enen lala quequesese encuentranencuentran elel oo loslos servidoresservidores parapara

atenderatender alal clientecliente queque lleganllegan alal sistemasistema.. ElEltiempotiempo dede servicioservicio generalmentegeneralmente sese ajustaajustaaa unauna distribucióndistribución dede probabilidadprobabilidad.. EnEn esteestecasocaso nono eses necesarionecesario queque elel servidorservidor seasea

unun solosolo individuo,individuo, puedepuede serser unun grupogrupo dedepersonaspersonas queque combinancombinan sussus fuerzasfuerzas paraparallevarllevar acaboacabo simultáneamentesimultáneamente elel servicioservicio..



Un solo servidorUn solo servidoruna sola faseuna sola fase

Varios servidores Varios servidoresuna sola faseuna sola fase(paralelo)(paralelo)

Un solo servidor yUn solo servidor y

varias fasesvarias fases Varios servidores y Varios servidores y

varias fases.varias fases.

S

S

S

S

S

S

S

S

S



Tiempo de servicioTiempo de servicio

EsEs elel tiempotiempo queque transcurretranscurre desdedesde elel inicioinicio deldelservicioservicio parapara unun clientecliente hastahasta susu terminaciónterminación..

UnUn modelomodelo dede sistemassistemas dede colascolas debedebe especificarespecificarlala distribucióndistribución dede probabilidadprobabilidad dede loslos tiempostiempos dedeservicioservicio parapara cadacada servidorservidor..

LaLa distribucióndistribución masmas usadausada parapara loslos tiempostiempos dedeservicioservicio eses lala exponencial,exponencial, aunqueaunque eses comúncomúnencontrarencontrar lala distribucióndistribución degeneradadegenerada oodeterministicadeterministica (tiempos(tiempos dede atenciónatención constantes)constantes)oo lala distribucióndistribución ErlangErlang (Gamma)(Gamma)



Características de una línea de esperaCaracterísticas de una línea de espera

PatrónPatrón dede llegadasllegadas:: distribucióndistribución dede probabilidadprobabilidad deldelnumeronumero dede llegadasllegadas alal sistemasistema..

PatrónPatrón dede servicioservicio:: distribucióndistribución dede probabilidadprobabilidad deldeltiempotiempo dede servicioservicio alal clientecliente..

CapacidadCapacidad deldel sistemasistema:: numeronumero máximomáximo dede clientesclientes enen elelsistemasistema queque puedenpueden permanecerpermanecer simultáneamentesimultáneamente enen laslasinstalacionesinstalaciones deldel servicioservicio..

CanalesCanales dede servicioservicio:: numeronumero dede servidoresservidores enen elel sistemasistema.. FuenteFuente oo poblaciónpoblación:: queque puedepuede serser finitafinita oo infinitainfinita..

EstadoEstado deldel sistemasistema:: eses elel numeronumero dede clientesclientes enen elelsistemasistema dede colascolas..



Estado Estacionario y EstadoEstado Estacionario y Estado

TransitorioTransitorio CuandoCuando sese analizaanaliza elel problemaproblema dede lala TC,TC,

nuestronuestro interésinterés eses estudiarestudiar lala evoluciónevolución deldel

sistemasistema oo procesoproceso enen elel tiempotiempo.. ElEl estadoestadotransitoriotransitorio oo régimenrégimen transitoriotransitorio sese refiererefierealal casocaso dondedonde laslas variablesvariables dede operaciónoperacióndeldel sistemasistema varíanvarían concon elel tiempotiempo;; estaesta

situaciónsituación sese presentapresenta enen laslas primerasprimerasetapasetapas dondedonde hayhay unauna influenciainfluencia notablenotabledede laslas condicionescondiciones inicialesiniciales..



Estado Estacionario y EstadoEstado Estacionario y Estado

TransitorioTransitorio CuandoCuando elel análisisanálisis deldel procesoproceso sese lolo realizarealiza aa Largo Largo Plazo,Plazo, eses decir,decir, cuandocuando t t tiendetiende aainfinito,infinito, elel comportamientocomportamiento deldel sistemasistema sese

estabilizaestabiliza yy hablamoshablamos dede unun régimenrégimen estableestable..

t

Variable



UnaUna condicióncondición necesarianecesaria dentrodentro desdedesde marcomarcoconceptual,conceptual, nuestronuestro trabajotrabajo consistiráconsistirá enen

calcularcalcular loslos valoresvalores esperadosesperados dede laslas variablesvariablesrelevantesrelevantes enen estadoestado estableestable (EE)(EE)..

UnaUna condicióncondición NECESARIANECESARIA parapara hablarhablar dede EE,EE,

eses queque elel tiempotiempo seasea lolo suficientementesuficientementelargolargo..



Notación y TerminologíaNotación y Terminología

ConCon elel objetoobjeto dede especificarespecificar laslas principalesprincipalescaracterísticascaracterísticas dede unun sistemasistema dede colascolas sese emplearaempleara unaunanotaciónnotación especialespecial denominadadenominada notaciónnotación dede KENDALLKENDALL--

LEELEE.. LaLa notaciónnotación dede KendallKendall descritadescrita comocomo X/Y/ZX/Y/Z eses unauna dede

laslas másmás usadasusadas parapara lala clasificaciónclasificación.. ElEl espacioespacio X X describedescribe elel procesoproceso dede llegada,llegada, Y Y describedescribe elel procesoproceso

dede servicioservicio yy ZZ elel númeronúmero dede servidoresservidores.. EnEn 19711971 lala ConferenciaConferencia dede estandarizaciónestandarización dede lala

notaciónnotación enen TeoríaTeoría dede ColasColas extendióextendió lala NotaciónNotación dedeKendallKendall agregándoleagregándole másmás términostérminos..



((aa /b/c/d/e/f) /b/c/d/e/f)

aa = Distribución de probabilidad del= Distribución de probabilidad delnumero de llegadasnumero de llegadas M = Distribución Poisson (o su equivalente laM = Distribución Poisson (o su equivalente la

distribución exponencial para tiempo entredistribución exponencial para tiempo entrellegadas).llegadas).

E = Distribución Erlang.E = Distribución Erlang. G = Distribución General.G = Distribución General.

D = Deterministica con tiempos constantesD = Deterministica con tiempos constantes



(a/(a/bb /c/d/e/f) /c/d/e/f)

bb = Distribución de probabilidad del= Distribución de probabilidad deltiempo de servicio.tiempo de servicio. M = Distribución Exponencial (o suM = Distribución Exponencial (o su

equivalente a Distribución poisson con elequivalente a Distribución poisson con elnumero de clientes servidos)numero de clientes servidos)

E = Distribución Erlang.E = Distribución Erlang. G = Distribución generalG = Distribución general

D = deterministica con tiempos constantes.D = deterministica con tiempos constantes.



(a/b/(a/b/cc / /dd / /ee / /f f ))

cc = Numero de servidores o canales de servicio= Numero de servidores o canales de servicioen paralelo.en paralelo.

dd = Magnitud de cola= Magnitud de cola Finita: N, numero de clientes en el sistemaFinita: N, numero de clientes en el sistema

Infinita (NInfinita (N>30) ; N = >30) ; N =

ee = Magnitud de la población= Magnitud de la población

Finita: N, numero de elementos potencialesFinita: N, numero de elementos potenciales Infinita (NInfinita (N>30) : N = >30) : N =

f f = disciplina de servicio ( PEPS, UEPS, etc)= disciplina de servicio ( PEPS, UEPS, etc)



(a/b/c/d/e/f)(a/b/c/d/e/f)

Por ejemplo:Por ejemplo:

(M/D/(M/D/33/N/ /N//PEPS) /PEPS) ,, significasignifica:: arriboarriboexponencialexponencial (o(o Poisson),Poisson), servicioservicioconstanteconstante (deterministico),(deterministico), 33 servidores,servidores, NNclientesclientes enen lala cola,cola, poblaciónpoblación infinita,infinita,

primeroprimero enen entrarentrar primeroprimero enen salirsalir..



PorPor otrootro ladolado sese consideraconsidera lala siguientesiguiente

terminologíaterminología:: nn (t)(t) == numeronumero dede clientesclientes enen elel sistemasistema dede

colascolas enen elel instanteinstante t t (( t>t>00))..

nn == numeronumero dede clientesclientes enen elel sistemasistema enencualquiercualquier instanteinstante..

PPnn(t)(t) == probabilidadprobabilidad dede estadoestado transitoriotransitorio dede quequeexistaexista nn clientesclientes enen elel sistemasistema enen elel tiempotiempo t t..

PPnn == probabilidadprobabilidad dede estadoestado estableestable dede quequeexistaexista nn clientesclientes enen elel sistemasistema enen cualquiercualquiertiempotiempo..



nn = tasa promedio de llegadas cuando existe n= tasa promedio de llegadas cuando existe nclientes en el sistema.clientes en el sistema.

= tasas promedio de llegadas.= tasas promedio de llegadas. == efectivaefectiva == tasatasa promediopromedio dede llegadasllegadas dede

clientesclientes dentrodentro dede laslas instalacionesinstalaciones dede servicioservicio ootasatasa efectivaefectiva dede llegadasllegadas dede clientesclientes queque vienenvienen

yy sese quedanquedan.. 11/ / == tiempotiempo promediopromedio dede llegadasllegadas entreentre

clientesclientes..



µµnn = tasa promedio de servicio cuando existen n= tasa promedio de servicio cuando existen nclientes en el sistema.clientes en el sistema.

µ = tasa promedio de servicioµ = tasa promedio de servicio

1/µ = tiempo promedio de servicio por cliente.1/µ = tiempo promedio de servicio por cliente. == /S /Sµ =µ = tasa de utilización del sistema.tasa de utilización del sistema.

L = longitud promedio de clientes en el sistemaL = longitud promedio de clientes en el sistema(en el sistema y siendo atendidos)(en el sistema y siendo atendidos)

LLqq = longitud promedio de clientes en la cola, es= longitud promedio de clientes en la cola, esdecir que esperan servicio.decir que esperan servicio.



= variable aleatoria que indica el tiempo que= variable aleatoria que indica el tiempo queun cliente permanece en el sistema (incluyeun cliente permanece en el sistema (incluyetiempo de servicio).tiempo de servicio).

W = E(W = E() = tiempo promedio de permanencia) = tiempo promedio de permanenciade un cliente en el sistema o el tiempo que elde un cliente en el sistema o el tiempo que elcliente pasa esperando por el servicio y siendocliente pasa esperando por el servicio y siendoatendido.atendido.

qq = variable aleatoria que indica el tiempo que= variable aleatoria que indica el tiempo queun cliente permanece en la cola esperando porun cliente permanece en la cola esperando porel servicio.el servicio.



WWqq = E(= E(qq) = tiempo promedio de) = tiempo promedio depermanencia de un cliente en la cola antespermanencia de un cliente en la cola antes

de recibir servicio.de recibir servicio. SSnn = numero de servidores en paralelo= numero de servidores en paralelo

cuando existen n clientes en el sistema.cuando existen n clientes en el sistema.

S = numero de servidores en paralelo.S = numero de servidores en paralelo.

== / /µ = intensidad de trafico (µ = intensidad de trafico (==S)S)



Ecuaciones BásicasEcuaciones Básicas Formulas de LITTLEFormulas de LITTLE

Las siguientes cuatro ecuaciones donde las dosLas siguientes cuatro ecuaciones donde las dosprimeras son llamadas formulas de LITTLE sonprimeras son llamadas formulas de LITTLE sonde bastante uso en la TC:de bastante uso en la TC: L =L = ee ((ee = tasa de arribo efectivo)= tasa de arribo efectivo) LLqq == ee qq

== qq ++ 11/ /µµ ==qq ++ ee / /µµ L = Lq +L = Lq +

Si la capacidad del sistema es infinita, se tieneSi la capacidad del sistema es infinita, se tienequeque ee == ; si no significa que algunos clientes; si no significa que algunos clientesdeberán marcharse sin ser servidos ydeberán marcharse sin ser servidos y ee << ..



PROCESOS DE NACIMIENTOS Y MUERTESPROCESOS DE NACIMIENTOS Y MUERTES

ElEl procesoproceso dede nacimientosnacimientos yy muertesmuertes eses ununprocesoproceso matemáticomatemático queque nosnos vava aa permitirpermitir inferirinferirlaslas principalesprincipales formulasformulas dede lala teoríateoría dede colascolas aa

partirpartir dede lala suposiciónsuposición dede unun comportamientocomportamientoexponencialexponencial enen loslos tiempostiempos dede llegadallegada yy dedeservicioservicio..

UnUn nacimientonacimiento sese identificaidentifica cuandocuando ocurreocurre unauna

llegadallegada alal sistemasistema yy unauna muertemuerte seseconceptualizaraconceptualizara cuandocuando ocurreocurre unun servicioservicio enen elelsistemasistema..



ParaPara esteeste efectoefecto existenexisten trestres hipótesishipótesis::

TodosTodos loslos nacimientosnacimientos (llegadas)(llegadas) siguensiguen lala

distribucióndistribución exponencialexponencial.. TodasTodas laslas muertesmuertes (salidas)(salidas) siguensiguen lala

distribucióndistribución exponencialexponencial..

SolamenteSolamente puedepuede ocurrirocurrir unun nacimientonacimiento oo unaunamuertemuerte aa lala vezvez..



PROCESOS DE NACIMIENTOS Y MUERTESPROCESOS DE NACIMIENTOS Y MUERTES

UnUn diagramadiagrama apropiadoapropiado parapara estaesta situaciónsituación eses eleldiagramadiagrama dede tasastasas::

ElEl objetivoobjetivo eses conocerconocer elel estadoestado deldel sistemasistema paraparann clientesclientes enen elel tiempotiempo t t..

0 1 n-12 n+1n

00 11 nn--11 nn

µµ11 µµ22 µµnn µµn+1n+1



ParaPara estadoestado estableestable sese tienetiene laslas siguientessiguientesecuaciones,ecuaciones, denominadasdenominadas Ecuaciones Ecuaciones dede

balancebalance dede estadoestado estableestable:: µµn+n+11 PPn+n+11 ++ nn--11 PPnn--11= (= (nn ++ µµnn) P) Pnn

µµnn PPnn == nn--11 PPnn--11



A A partirpartir dede estasestas ecuacionesecuaciones eses posibleposiblededucirdeducir laslas siguientessiguientes ecuacionesecuaciones::

PPnn == 00 11 22nn--11 ppoo parapara todotodo nn11

µµ11 µµ22 µµ33............µµnn

(Ver(Ver CuadroCuadro dede ecuacionesecuaciones 11))



EjemploEjemplo CiertaCierta tiendatienda dede comerciocomercio tienetiene unauna cajacaja dede

pagopago concon unauna cajeracajera dede tiempotiempo completocompleto.. LosLosclientesclientes lleganllegan aa lala tiendatienda siguiendosiguiendo unun procesoprocesoPoissonPoisson aa unauna tasatasa mediamedia dede 3030 porpor hrhr.. CuandoCuando

hayhay unun clientecliente enen caja,caja, eses atendidoatendido porpor lala cajeracajeraconcon unun tiempotiempo esperadoesperado dede servicioservicio dede 11,,55 minmin..SinSin embargo,embargo, cuandocuando hayhay masmas dede unun clientecliente enenlala cajacaja dede pagopago elel almacenistaalmacenista ayudaayuda aa lala cajeracajeraenen lala atención,atención, reduciendoreduciendo lala tasatasa promediopromedio dede

servicioservicio aa 11 minmin.. LaLa distribucióndistribución deldel tiempotiempo dedeservicioservicio siempresiempre eses exponencialexponencial.. HallarHallar PPoo,, PPnn,, L,L,Lq,Lq, ,, q,q, parapara elel sistemasistema..



SoluciónSolución

ConstruimosConstruimos elel grafografo dede transicióntransición oo diagramadiagrama dede tasastasas::

0 1 n-12 n+1n

00==30 30 30 3030 30 30 30

µµ11==40 60 60 6040 60 60 60

Ver Ver soluciónsolución enen pizarrapizarra



Modelos PoissonModelos Poisson

1.1. Modelo básico con cola infinita.Modelo básico con cola infinita.--1.1. Un servidor (S=Un servidor (S=11) (M/M/) (M/M/11/ ///PEPS)//PEPS)

2.2. Con S servidores (M/M/S/Con S servidores (M/M/S///PEPS)//PEPS)

2.2. Modelo Básico con cola Finita.Modelo Básico con cola Finita.--1.1. Un servidor (S=Un servidor (S=11) (M/M/) (M/M/11/N /N//PEPS) //PEPS)

2.2. Con S servidores (M/M/S/NCon S servidores (M/M/S/N//PEPS) //PEPS)

3.3. Modelo Básico con fuente de recursosModelo Básico con fuente de recursos

limitados.limitados.--1.1. Un servidor (S=Un servidor (S=11) (M/M/) (M/M/11/N /N/N/PEPS) /N/PEPS)

2.2. Con S servidores (M/M/S/NCon S servidores (M/M/S/N/N/PEPS) /N/PEPS)



Modelos Con PrioridadModelos Con Prioridad

EnEn esteeste modelomodelo lala disciplinadisciplina dede servicioservicio sese basabasaenen clasesclases dede prioridadprioridad dede acuerdoacuerdo aa lalaimportanciaimportancia dede loslos clientesclientes queque puedenpueden serseratendidosatendidos..

HillerHiller yy LibermanLiberman planteanplantean laslas formulasformulassiguientessiguientes parapara unun sistemasistema dede estaesta clase,clase, dondedondeexistenexisten NN clasesclases (la(la claseclase 11 eses lala masmas prioritariaprioritariayy así así sucesivamente)sucesivamente).. EnEn esteeste casocaso laslas entradasentradas

siguensiguen siendosiendo PoissonPoisson yy loslos tiempostiempos dede servicioserviciosonson exponenciales,exponenciales, parapara cadacada claseclase consideradaconsiderada.. Ver Ver cuadrocuadro dede ecuacionesecuaciones 22



Aspectos Económicos en la TC Aspectos Económicos en la TC

EnEn todotodo sistemasistema dede colascolas existeexiste unauna pugnapugnaeconómicaeconómica entreentre elel clientecliente yy lala entidadentidad quequeprestapresta servicioservicio.. PorPor unauna parteparte estaesta elel clientecliente queque

tratatrata dede minimizarminimizar elel costocosto dede esperaespera (lo(lo quequeimplicaimplica unun aumentoaumento enen elel costocosto dede servicio)servicio) yyporpor otraotra elel servidorservidor queque tratatrata dede minimizarminimizar elelcostocosto dede servicioservicio (lo(lo queque implicaimplica unun incrementoincremento

enen elel costocosto dede espera)espera);; luego,luego, elel sistemasistema debedebecontemplarcontemplar ambosambos criterioscriterios yy tratartratar dede llegarllegar aaunun equilibrioequilibrio entreentre ambosambos..




CostoCosto dede esperaespera (CE)(CE):: EsEs elel costocosto queque lele significasignificaalal clientecliente porpor elel tiempotiempo perdidoperdido.. SiSi bienbien existenexistenvariosvarios criterioscriterios parapara determinardeterminar esteeste costo,costo, elelmasmas apropiadoapropiado eses aquelaquel queque consideraconsiderasolamentesolamente elel tiempotiempo perdidoperdido enen lala colacolaesperandoesperando porpor elel servicioservicio.. PorPor tanto,tanto, sisi::

CC11 == costocosto dede esperaespera dede unun clientecliente porpor unidadunidaddede tiempotiempo..

LuegoLuego elel costocosto dede esperaespera seráserá:: CECE == CC11 ** LqLq

CECE == $$us/unidadus/unidad dede tiempotiempo




CostoCosto dede ServicioServicio (CS)(CS):: EsEs elel costocosto queque lelerepresentarepresenta aa lala entidadentidad queque prestapresta servicioservicio

aa loslos clientes,clientes, empleandoempleando S S servidoresservidores..PorPor tantotanto sisi::

CC22 = costo de servicio de un servidor por= costo de servicio de un servidor porunidad de tiempo.unidad de tiempo.

CS = CCS = C22 * S* SCS = S/unidad de tiempo.CS = S/unidad de tiempo.




EnEn realidadrealidad nono existenexisten expresionesexpresiones generalesgeneralesqueque permitanpermitan calcularcalcular E(CS)E(CS) yy E(CE)E(CE);; lolo queque

quierequiere decirdecir queque susu calculocalculo dependerádependerá deldelproblemaproblema especificoespecifico aa serser tratadotratado.. PeroPero elel costocostototaltotal deldel sistemasistema seráserá lala sumasuma dede ambosambos costos,costos,eses decirdecir::

CTCT == CECE ++ CSCS ElEl objetivoobjetivo seráserá hallarhallar parámetrosparámetros dede taltal formaforma

queque elel costocosto totaltotal deldel sistemasistema seasea elel mínimomínimo..

Teoria de Colas

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