Teora de circuitos

Referencias

Teora de circuitos. Segunda edicin. Lawrence P. Huelsman. Prentice-Hall Hispanoamericana, S.A.

Circuitos elctricos. Tercera edicin. Joseph A. Edminister. Mahmood Nahvi. Mc Graw-Hill.

Circuitos elctricos. Cuarta edicin. James W. Nilsson. Addison-Wesley Iberoamericana, Argentina 1995.

Wsewolod Warzanskyj Poliscuk. Anlisis de Circuitos. Departamento de publicaciones de E.T.S de

Telecomunicacin de Madrid, Madrid 1995

James W. Nilsson, Susan A. Riedel. Electric Circuits. Prentice-Hall, 1999

Para conocer el comportamiento de un sistema es necesario especificar un conjunto de variables que lo describan.

Algunas de las variables utilizadas se muestran en la Figura 1.

Figura 1. Variables utilizadas y sus unidades.

A cada variable se le asocia una unidad. En ingeniera electrica predomina el Sistema Internacional (MKS). Cuando

los valores que toman las variables son muy pequeos o muy grandes se utilizan factores de multiplicacin

(potencias de 10 positivas y negativas), y sus correspondientes prefijos en las unidades (ver Figura 2).

Figura 2. Factores de multiplicacin.

Variables circuitales

1. Carga

Se refiere al balance entre partculas con cargas positivas y negativas en la materia. Se representa por q(t).

Unidad MKS: Culombio (C), que es la carga con sentido positivo de 6,24 1018 electrones.

El teorema de conservacin de la carga afirma que la carga no puede crearse ni destruirse.

2. Corriente o intensidad

Es la transferencia de carga neta (teniendo en cuenta cargas negativas y positivas) por la unidad de tiempo. Se

representa por i(t).

Unidad MKS: Amperio (A) = Transferencia de 1 Culombio en 1 segundo.

3. Energa

Se define como la capacidad para crear trabajo y se representa por w(t).

Unidad MKS: Julio (J).

El principio de conservacin de energa afirma que la energa ni se crea ni se destruye, slo se transforma.

4. Voltaje o tensin

Si se consume una cantidad de energa sobre una carga, la relacin entre el trabajo realizado y la carga se denomina

VOLTAJE o TENSIN y se representa por v(t).

Unidad MKS: Voltio (V) = 1 Julio suministrado a 1 Culombio.

5. Potencia

Cantidad de trabajo que se realiza en la unidad de tiempo.

Unidad MKS: Watio (W).

Se representa por p(t) (potencia instantnea).

Si la potencia es positiva, hay absorcin de energa, si es negativa, se entrega energa.

Direcciones de referencia

1. Introduccin

Las direcciones o polaridades de referencia sirven para dar un signo a la magnitud real asociada. Normalmente no

conocemos el valor de la magnitud antes de calcularlo, as que propondremos un signo, si da negativo, el sentido

real ser el contrario.

2. Carga

Dado un par de placas conductoras separadas por un dielctrico (aire), se da el signo positivo si la placa superior est

cargada positivamente y la inferior negativamente.

3. Corriente

El flujo real de la corriente es positivo en la direccin de referencia tomada como tal, contraria al movimiento de los

electrones. Es decir, se considera positivo el movimiento de cargas positivas, porque histricamente se pensaba que

se movan estas. Por lo tanto, la corriente ser positiva si es contraria al movimiento de electrones o negativa si es en

el mismo sentido.

4. Voltaje

En una red con dos terminales, la polaridad de referencia es de la siguiente forma:

5. Elementos de dos terminales

En este grupo se engloban las resistencias, condensadores, diodos, fuentes, etc...

Normalmente existe una expresin que relaciona voltaje y corriente. Para ello deben estar referenciados ambos de

forma adecuada. Por ejemplo, en una resistencia se relacionan mediante la ley de Ohm:

6. Potencia

La potencia se ha definido como una funcin de dos variables v(t) e i(t): ,de forma que los

criterios de signo de aquellas, se aplican a sta.

De forma simplificada se podra decir que si el dipolo es un resistor, la potencia siempre ser absorbida (siempre

positiva) y si es un inductor o una bobina puede absorber potencia en algunos momentos y entregarla en otros

(puede ser positiva o negativa).

Aplicacin interactiva sobre la potencia en un resistor

Esta aplicacin visualiza la potencia en un resistor en funcin de la polaridad de referencia del voltaje en sus

terminales y del sentido de la corriente que lo atraviesa.

Clasificacin de los elementos

1. Introduccin

Antes de analizar el comportamiento de los circuitos, es necesario realizar una clasificacin de ellos atendiendo a

ciertas propiedades bsicas que stos poseen.

2. Lineales / no lineales

Aplicamos separadamente dos entradas o excitaciones (e1(t) y e2(t)) a un elemento de la red y medimos los

resultados o salidas (s1(t) y s2(t)).

Se dice que el elemento es lineal si cumple:

a) Al excitar con , siendo A una constante, produce una salida . Es decir, si se multiplica la

entrada por una constante, su salida debe quedar multiplicada por esa misma constante.

b) Al excitar con , produce una salida .

Normalmente las entradas y salidas son voltajes o corrientes. Un elemento no lineal es el que no cumple alguna de

estas condiciones anteriores. Esta propiedad servir para aplicar superposicin: en una red con varios generadores,

se puede calcular la respuesta de cada uno de ellos por separado, y luego se suman. La linealidad total no existe en el

mundo real, por lo tanto trabajaremos con la siguiente aproximacin: "Un elemento se puede tratar como lineal si las

variables lo definen se comportan como lineales en un intervalo de trabajo.

3. Variantes / Invariantes en el tiempo

Un elemento es invariante en el tiempo si sus parmetros o valores no cambian con el tiempo.

Tampoco hay elementos invariantes en el tiempo en el mundo fsico, pero se les supone esta propiedad.

4. De parmetros concentrados

En los anlisis de circuitos que se realizarn a lo largo de este tutorial, se supone que las dimensiones fsicas de los

elementos no tienen efecto en su comportamiento, es decir estan compuestos de elementos de parmetros

concentrados.

5. Pasivos / Activos

Un elemento es pasivo si el total de la energa que se le suministra es siempre no negativa, independientemente del

tipo de circuito al que est conectado.

Si w(t) puede ser negativo, el elemento ser activo.

Una bobina o un condensador pueden ceder energa en un determinado instante (p(t) < 0), pero slo la que se las ha

dado previamente (p(t) puede ser negativa, pero el total de energa, no). Son, por tanto, elementos pasivos.

Leyes de Kirchoff

1. Introduccin

La configuracin, forma o topologa de la red va a establecer una relacin entre las variables involucradas.

Definiciones:

NODO (o NUDO): punto en un circuito en el que dos o ms elementos se conectan entre s.

RAMA: cualquier elemento de la red de dos terminales (situado entre dos nodos).

LAZO: conjunto de ramas que forman una trayectoria cerrada de la red, conectando cada nodo nicamente dos ramas consecutivas.

2. Ley de Corrientes de Kirchoff (L.C.K.)

En cualquier instante de tiempo, la suma algebraica de las corrientes de rama en un nodo es cero, consideradas todas

entrantes o todas salientes. O bien, la suma de las corrientes de rama entrantes a un nodo es igual a la suma de

corrientes salientes, en cualquier instante de tiempo.

3. Ley de Voltajes de Kirchoff (L.V.K.)

La suma algebraica de los voltajes de rama alrededor de un lazo es cero en todo instante de tiempo, considerados

todos subidas o todos bajadas. O bien, en todo instante de tiempo, la suma de las subidas de voltaje alrededor de un

lazo es igual a la suma de cadas de voltaje.

Ejemplos

1. Ejemplo de aplicacin de L.C.K.

Escribir las ecuaciones de corrientes por la ley de LCK en los nodos a, b, c y d. Sumar todas las ecuaciones

obtenidas.

Sumando a, b y c:

Se observa que se obtiene la ecuacin d. Por tanto, tenemos tantas ecuaciones independientes como nodos menos 1.

2. Ejemplo de aplicacin de L.V.K.

Escribir las ecuaciones de lazos aplicando la LVK.

Si sumamos las ecuaciones primera y segunda obtenemos la tercera.

Nota: Normalmente no se toman lazos que atraviesen o incluyan alguna rama para evitar ecuaciones linealmente

dependientes (en este caso, el lazo a-b-d-c-a incluye a la rama en la que se mide v3).

El Resistor

El resistor o resistencia es un elemento de 2 terminales en el que la corriente y el voltaje de rama se relacionan por la

ley de OHM:

R: Resistencia, unidad: Ohm

G=R-1

: Conductancia, unidad: Mho

Smbolo y polaridad de referencia:

Dentro de la clasificacin de los elementos, los resistores son de parmetros concentrados, lineales e invariantes en

el tiempo. Fcilmente se comprueba que cumple las condiciones de linealidad observando la grfica que relaciona

v(t) con i(t).

La potencia del resistor viene dada por:

Como para valores positivos de R, p(t) ser siempre positivo, los resistores son elementos pasivos.

Es importante destacar que dado que los resistores se emplean para disipar energa, se debe especificar no slo su

valor nominal, sino tambin su potencia mxima disipable. Esta potencia mxima disipable afectar al tamao y

construccin de los resistores. En electrnica este parmetro se presenta como fracciones de watio.

Los valores de los resistores varan entre algunos y varios M.

Fuentes

1. Fuentes ideales

Fuentes independientes

Son aquellas cuyas caractersticas no dependen de ninguna otra variable de red, aunque pueden variar con el tiempo.

Fuente de tensin o voltaje

Aquella en la que el valor de su voltaje es independiente del valor o direccin de la corriente que lo

atraviesa.

Impone el voltaje en sus bornas, pero la corriente que lo atraviesa estar impuesta por la red o circuito al

que est conectado.

Representacin:

Cuando el voltaje es nulo, la caracterstica I-V es igual a la de una resistencia nula (CORTOCIRCUITO).

Es decir, anular un generador de voltaje ideal es sustituirlo por un cortocircuito, o bien, la resistencia

interna de un generador ideal de voltaje es nula.

Fuente de corriente

Son aquellas en las que el valor y la direccin de la corriente que circula a travs de ella es independiente

del valor y polaridad del voltaje en sus terminales.

Impone la corriente de rama, pero el voltaje en sus bornas estar impuesto por la red a la que est

conectado.

Representacin:

Cuando la corriente es nula, la caracterstica I-V es igual a la de una conductancia nula (resistencia infinita,

CIRCUITO ABIERTO). Es decir, anular un generador de corriente ideal es sustituirlo por un circuito

abierto; su resistencia interna es infinita (conductancia nula).

Las fuentes son elementos activos, aunque pueden absorber energa. EJEMPLO:

Generador 1: (entrega energa: signo negativo de la potencia)

Generador 2: (absorbe energa, se est cargando)

Resistencia: (absorbe energa, disipa calor)

La suma total de potencias es cero (la energa que cede un generador la reciben la resistencia y el otro

generador).

Fuentes dependientes o controladas

Son aquellas cuyo valor de salida es proporcional al voltaje o corriente en otra parte del circuito. La tensin o

corriente de la que dependen se llama VARIABLE DE CONTROL. La constante de proporcionalidad se denomina

GANANCIA.

Existen cuatro tipos:

Fuente de voltaje controlada por voltaje (FVCV)

Fuente de voltaje controlada por corriente (FVCC)

Fuente de corriente controlada por voltaje (FCCV)

Fuente de corriente controlada por corriente (FCCC)

2. Fuentes no ideales

Las fuentes no ideales incluyen disipacin interna, van a tener una resistencia de prdidas.

Fuente no ideal de voltaje: fuente de voltaje ideal con una resistencia en serie.

Fuente no ideal de corriente: fuente de corriente ideal con una resistencia (conductancia) en paralelo.

En realidad, ambos modelos pueden INTERCAMBIARSE en el estudio de circuitos. Para ver esto, conectamos una

red arbitraria y vemos su equivalencia:

Se trata de que en ambos casos I0 y V0 sean iguales:

Para que ambas ecuaciones sean iguales:

Se puede comprobar que en ambos casos se cumple:

1. El voltaje en circuito abierto es el mismo. 2. La corriente de cortocircuito es la misma. 3. Conectando un resistor arbitrario a sus bornas, se disipa en l la misma potencia. 4. Las fuentes son equivalentes nicamente en lo que se refiere a su comportamiento en los terminales

externos (de bornas para afuera). Vamos a ver que la disipacin interna de energa es diferente:

o CIRCUITO ABIERTO: - El modelo de fuente de voltaje no disipa. - El modelo de corriente disipa:

o CORTOCIRCUITO: - El modelo de fuente de corriente no disipa (voltaje nulo en la resistencia). - El modelo de voltaje disipa.

Conexiones de resistores

1. En serie

Queremos conseguir una resistencia equivalente que se comporte igual que el conjunto.

En los nodos de conexin de resistencias se ve:

Aplicando LVK al lazo:

La tensin en cada resistencia es:

2. En paralelo

En este caso:

Aplicando LCK:

La corriente en cada resistencia es:

Luego:

Para n resistencias:

Para 2 resistencias:

En definitiva, en serie se suman resistencias y en paralelo, conductancias.

3. Ejemplo: Red en ESCALERA

Conexiones de fuentes

1. Introduccin

A continuacin se presentan las conexiones de fuentes en serie y en paralelo, vlidas para fuentes independientes y

dependientes.

2. Fuentes ideales de voltaje en serie

El voltaje que resulta de una conexin en paralelo de fuentes ideales de voltaje no est definido, ya que no se cumple

la ley de voltajes de Kirchoff, excepto que todas las fuentes sean del mismo valor.

3. Fuentes ideales de corriente en paralelo

Analgamente, la corriente que resulta de una conexin en serie de fuentes ideales de corriente no est definida, por

no cumplir la ley de corrientes de Kirchoff, excepto que todas las fuentes sean del mismo valor.

4. Fuentes no ideales de voltaje en paralelo

Pasamos previamente a fuentes no ideales de corriente:

5. Fuentes no ideales de corriente en serie

Pasamos previamente a fuentes no ideales de voltaje:

Movilidad de generadores

1. Movilidad del generador de voltaje

Un generador ideal de voltaje conectado a un nodo que une varias ramas, se puede "mover" a cada una de ellas,

respetando el valor y la polaridad.

Se puede comprobar que las leyes de Kirchoff dan los mismos resultados en ambos casos.

Las corrientes y voltajes de todos los elementos del circuito se mantienen, excepto para el generador al que se le ha

aplicado "movilidad". De esta forma, la corriente que atraviesa al generador original es la suma de las corrientes de

los generadores equivalentes.

2. Movilidad del generador de corriente

Un generador ideal de corriente que conecte dos nodos, se puede colocar en paralelo de cada una de las ramas de

cualquier "camino" que una ambos nodos.

Por las conexiones aa' y bb' no circula corriente, por lo que pueden ser eliminados sin sufrir variaciones en el resto

del circuito.

Al igual que en el apartado anterior, las corrientes y voltajes de todos los elementos del circuito se deben mantener

excepto para el generador de corriente al que se le ha aplicado "movilidad". El voltaje en bornas del generador

original es la suma de los voltajes de los generadores equivalentes.

3. Uso de la movilidad

La movilidad se suele utilizar para evitar ramas que nicamente tengan generadores ideales, ya que en ellos no

existe una relacin entre voltaje y corriente. Conseguimos as generadores no ideales, pudiendo transformar las

fuentes de voltaje en fuentes de corriente y viceversa.

Conexin de fuentes ideales

1. En paralelo

Como la resistencia interna de la fuente ideal de voltaje es nula, toda la corriente del generador de corriente fluye a

travs del generador de voltaje (no afecta fuera).

2. En serie

El voltaje de la fuente de voltaje no afecta al exterior ya que encuentra la resistencia infinita (circuito abierto) de la

fuente de corriente.

En ambos casos las equivalencias son de bornas para afuera ya que el comportamiento interno (absorcin/entrega de

energa) es diferente.

Divisores de voltaje y corriente

1. Divisor de voltaje

El voltaje Vs(t) se divide en los voltajes que caen en las resistencias R1 y R2.

Esta frmula slo es vlida si la salida v2(t) est en circuito abierto (no circula corriente por los terminales donde se

mide v2(t)).

2. Divisor de corriente

Anlogamente, la corriente Is(t) se divide en las corrientes que atraviesan las dos conductancias.

Ecuaciones de mallas

1. Introduccin

Definicin de MALLA: Conjunto de ramas que forman una trayectoria cerrada y que tiene las siguientes

propiedades:

1. Cada nodo une solamente dos ramas. 2. El conjunto no encierra a otra rama.

Es por tanto un lazo que no encierra o atraviesa ninguna rama.

Ejemplo:

Puesto que una malla es un tipo particular de lazo, sigue cumpliendo la ley de voltajes de Kirchoff.

Se obtienen tantas ecuaciones independientes como mallas halla en el circuito (si se eligieran lazos al azar,

podramos llegar a ecuaciones dependientes).

En una red, si tenemos b ramas y n nodos, se cumple que el nmero de mallas es:

Por tanto, tenemos b-n+1 ecuaciones independientes analizando por mallas.

2. Red resistiva de dos mallas

Tomamos la misma direccin de referencia para las corrientes de ambas mallas: en el sentido de las agujas de reloj.

Aplicando la Ley de Voltajes de Kirchoff a cada malla, poniendo los voltajes de la fuente en un miembro de la

ecuacin y los de rama en otro; y sustituyendo el voltaje en cada resistencia por la expresin de la ley de Ohm:

En forma matricial:

Hay que apreciar que:

a. El signo de VS1, VS2 es positivo si es subida de tensin y negativo si es cada, segn la direccin de referencia de

la malla.

b. Los trminos de la diagonal principal (r11, r22) son la suma de todas las resistencias propias de cada malla.

c. Los trminos fuera de la diagonal principal son la suma de las resistencias de la rama comn a ambas mallas, pero

con signo negativo (esto se debe a que el sentido de referencia de la malla contigua es contrario).

Los elementos de la matriz R tienen dimensin de resistencia.

EJEMPLO:

3. Red resistiva de n mallas

Para una red resistiva plana con n mallas, suponiendo que la recorremos en el sentido de las agujas del reloj,

tendremos:

Donde:

Vi: suma de todas las fuentes de voltaje de la malla i-sima, considerando positivas las subidas de tensin y negativas las cadas (en la direccin de recorrido de la malla).

rii (diagonal de la matriz R): la suma de las resistencias propias de la malla i.

rij ( ): El negativo de la suma de los valores de las resistencias comunes a las mallas i y j. Si la red no tiene generadores dependientes la matriz es simtrica (rij=rji).

ii: Valor de la corriente de la malla i-sima (incgnitas, normalmente).

Se resuelve por CRAMER. Para que haya solucin, la condicin necesaria y suficiente es que la matriz R tenga

determinante no nulo.

Una vez conocidas las corrientes de malla, se pueden calcular las corrientes y voltajes de cada una de las ramas.

Es importante destacar que este mtodo nicamente se utiliza con fuentes de voltaje.

Ecuaciones de nodos

1. Circuito de dos nodos

En este caso las variables desconocidas son los voltajes de los nodos.

En realidad hay tres nodos pero, slo generan dos ecuaciones independientes. Esto es debido a que lo que

calculamos son diferencias de voltaje, no voltajes absolutos. Por ello se dan los voltajes respecto al nodo de

referencia (nodo del que no se escribe la ecuacin, cuyo valor de voltaje se considera cero).

Aplicando la ley de corrientes de Kirchoff en los nodos, separando corrientes de fuentes y de ramas; y sustituyendo

la corriente en cada conductancia por la expresin de la ley de Ohm:

En forma matricial:

Anlogamente al anlisis por mallas:

a. El signo de IS1, IS2 es positivo si es entrante al nodo y negativo si es saliente.

b. Los trminos de la diagonal principal (g11, g22) son las sumas de todas las conductancias conectadas a ese nodo.

c. Los trminos fuera de la diagonal principal, gij, son la conductancia que conectan los nodos i y j, con signo

negativo. Si la red no tiene generadores dependientes, la matriz es simtrica (gij = gji).

EJEMPLO:

2. Circuito de tres nodos

Matricialmente:

Se puede resolver por CRAMER.

3. Circuito de n nodos

Para el caso general con n nodos ms uno de referencia tendremos una ecuacin independiente menos que el nmero

total de nodos:

Donde:

Ii: Suma de las corrientes de fuentes conectadas al nodo i-simo (siendo positivas las corrientes entrantes y negativas las salientes).

gii (diagonal de la matriz G): Suma de los valores de conductancia de todos los resistores conectados al nodo i-simo.

gij ( ): El negativo de la suma de conductancias de los resistores conectados entre los nodos i y j. Si la red no tiene fuentes dependientes, la matriz es simtrica (gij = gji).

Es importante destacar que este mtodo nicamente se emplea con fuentes de corriente.

Redes con fuentes

1. Anlisis por mallas

Si se realiza el anlisis por mallas, es necesario convertir todas las fuentes de corriente en fuentes de voltaje.

EJEMPLO:

La conversin de las fuentes no ideales de corriente a voltaje (nodos a y b) no afecta al resto del circuito, sin

embargo la corriente y el voltaje en R0 son distintos en ambos casos.

Si las fuentes de corriente no tienen resistor en serie se aplican las propiedades de "movilidad" de generadores de

corriente.

2. Anlisis por nodos

Si se realiza el anlisis por nodos, hay que convertir todas las fuentes de voltaje en fuentes de corriente.

EJEMPLO:

Como ocurra en el anterior apartado, el comportamiento de las fuentes equivalentes es diferente, no as el externo.

Si las fuentes de voltaje no tienen resistor en serie se aplican las propiedades de "movilidad" de generadores de

voltaje.

3. Ejemplos

1.- Analizando por mallas:

A partir de aqu ya se pueden plantear las ecuaciones de mallas.

2.- Analizando por nodos:

Ya se pueden plantear las ecuaciones de los nodos a y b.

Redes con fuentes dependientes

1. Anlisis por mallas

El objetivo es obtener una fuente de voltaje cuya variable de control dependa de las corrientes de mallas, que

normalmente son las incgnitas.

EJEMPLO: Con fuente de voltaje dependiente controlada por corriente (FVCC).

Reagrupando:

La ganancia de la fuente dependiente altera la simetra de la matriz de coeficientes.

Si las fuentes son de corriente, controladas tanto por voltaje como por corriente, las transformamos en fuentes de

voltaje. Para ello, deben tener un resistor en paralelo, si no lo tienen, se aplica "movilidad".

EJEMPLO:

2. Anlisis por nodos

Anlogamente, el objetivo es conseguir una fuente de corriente cuyo valor dependa directamente de los voltajes de

los nodos (incgnitas).

a. En una fuente de corriente controlada por voltaje, nicamente se debe expresar el voltaje de control en funcin de

los voltajes de los nodos.

b. Si es una fuente de corriente controlada por corriente, se expresa sta ltima en funcin de los voltajes de los

nodos (aplicando la ley de Ohm).

c. Si son fuentes de voltaje, se transforman en fuentes de corriente, empleando movilidad si no tienen resistencia en

serie, y se aplica el apartado a o b, segn sea la variable de control.

EJEMPLO:

Dos nodos:

Teoremas de Thevenin y Norton

1. Teorema de Thevenin

Cualquier red compuesta por resistores lineales, fuentes independientes y fuentes dependientes, puede ser sustituida

en un par de nodos por un circuito equivalente formado por una sola fuente de voltaje y un resistor serie.

Por equivalente se entiende que su comportamiento ante cualquier red externa conectada a dicho par de nodos es el

mismo al de la red original (igual comportamiento externo, aunque no interno).

La resistencia se calcula anulando las fuentes independientes del circuito (pero no las dependientes) y reduciendo el

circuito resultante a su resistencia equivalente vista desde el par de nodos considerados. Anular las fuentes de voltaje

equivale a cortocircuitarlas y anular las de corriente a sustituirlas por un circuito abierto.

El valor de la fuente de voltaje es el que aparece en el par de nodos en circuito abierto.

2. Teorema de Norton

Cualquier red compuesta por resistores lineales, fuentes independientes y fuentes dependientes puede ser sustituida,

en un par de nodos, por un circuito equivalente formado por una sola fuentes de corriente y un resistor en paralelo.

La resistencia se calcula (igual que para el equivalente de Thevenin) anulando las fuentes independientes del circuito

(pero no las dependientes) y reduciendo el circuito resultante a su resistencia equivalente vista desde el par de nodos

considerados.

El valor de la fuente de corriente es igual a la corriente que circula en un cortocircuito que conecta los dos nodos.

3. Equivalencia Thevenin-Norton

Se cumple:

4. Ejemplos

Dado el circuito:

1. Hallar el equivalente de Thevenin en bornas de la resistencia R (sin incluirla).

Queremos obtener un circuito de la forma:

Quitamos la resistencia R y vemos cual es el voltaje que hay entre los nodos a y b. El valor obtenido ser el voltaje

de Thevenin.

Se puede comprobar que la rama del resistor de 4 no afecta.

Para hallar la resistencia de Thevenin anulamos las fuentes independientes y calculamos la resistencia vista desde

los nodos a y b.

El circuito equivalente de Thevenin es:

2. Clculo del equivalente Norton

Para calcular la corriente de Norton, cortocircuitamos:

Analizando aisladamente el circuito de dos mallas:

La resistencia es la misma que para el equivalente de Thevenin. El circuito equivalente es:

Como se puede observar, se cumple:

3. Ejemplo con fuentes dependientes

Calcular el equivalente de Thevenin del circuito:

Para calcular el voltaje de Thevenin se aplica movilidad:

Para el clculo de la resistencia de Thevenin se anula el generador independiente, se conecta un generador de

corriente (I) y se mide el voltaje (V):

Redes con amplificadores operacionales

1. El amplificador operacional

Un amplificador operacional es bsicamente una fuente de voltaje controlada por voltaje de ganancia infinita

(idealmente). A continuacin se representa un amplificador operacional de "entrada diferencial", que quiere decir

que la salida depende de la diferencia de voltajes en las bornas + y -: V+ - V-.

Como se puede observar en el circuito equivalente, la resistencia de entrada es infinita (conductancia nula, ya que no

hay conexin entre V+ y V- ), con lo que no circular ninguna corriente de entrada.

Por otra parte, la resistencia de salida es la de la fuente dependiente. Como es ideal (aunque dependiente) es cero.

2. Configuracin FVCV inversora

Normalmente, el amplificador operacional se utiliza realimentado, es decir existe una rama que conecta la salida del

amplificador con al menos una de las entradas. En este caso, la tensin de salida no puede ser infinito con lo que se

fuerza a que V+ = V-. Para comprobarlo, se muestra un ejemplo suponiendo finita la ganancia K y, posteriormente,

hacindola tender a infinito:

Si se calcula directamente con ganancia infinita, aplicando V- = V+ = 0 y teniendo en cuenta que la corriente de

entrada al amplificador es nula (toda la corriente que pasa por R1 pasa por R2):

La resistencia de entrada es R1 (relacin entre V1 y la corriente de entrada i) y la corriente de salida es cero (por ser

una fuente de voltaje ideal). El circuito equivalente se muestra a continuacin:

Este circuito se denomina fuente de voltaje controlada por voltaje (FVCV) inversora, ya que la ganancia es negativa.

3. Configuracin FVCV no inversora

La resistencia de entrada es infinita, ya que la corriente de entrada es nula:

Para calcular la resistencia de salida se anula V1 y se aplica una corriente Is:

Entonces, el circuito original es equivalente a :

Se comporta como un amplificador operacional de ganancia finita, por lo que se suele representar:

4. Analisis por nodos

Cuando aparezcan amplificadores operacionales en un circuito, el mejor mtodo es el anlisis por nodos.

En el nodo de salida del amplificador no se puede plantear la ecuacin, porque su resistencia de salida es cero o, lo

que es lo mismo, su conductancia es infinita. En su lugar se utiliza la ecuacin ms sencilla que relaciona el voltaje

de salida del amplificador con el de entrada.

Ejemplo:

En el nodo 3 no se puede plantear ecuacin porque la conductancia de salida del amplificador es infinita.

Las ecuaciones en los nodos sern:

Ecuacin del amplificador operacional:

Si la ganancia del operacional es finita:

Si la ganancia del operacional es infinita, se anula la diferencia de voltaje entre las bornas positiva y negativa (en

este caso, la ecuacin del amplificador es V2 = 0):

Aunque el voltaje en el nodo 2 es nulo, se utiliza la ecuacin de dicho nodo.

El Condensador

1. Introduccin

El Condensador es un elemento de dos terminales en el que el voltaje y la corriente se relacionan por:

donde C es la capacidad que se expresa en Faradios (F). Se puede observar en (1) que el voltaje depende de instantes

de tiempo pasados, es decir tiene "memoria".

Se representa por el siguiente smbolo:

La ecuacin de voltaje se puede expresar como:

donde v(0) se denomina condicin inicial.

Teniendo en cuenta la relacin entre i(t) y q(t) se puede deducir la relacin:

Por tanto, el valor de la capacidad (C) es la relacin entre la carga almacenada y el voltaje que aparece en sus

terminales.

Aunque se puede definir un capacitor de forma no lineal, todos los que se usarn en este tutorial sern lineales,

invariantes y de parmetros concentrados.

2. Potencia

En anteriores apartados se defino la potencia de un dipolo como . As que, sustituyendo:

Esta potencia puede ser positiva o negativa, ya que aunque C es siempre positiva, el trmino puede

ser positivo o negativo.

3. Energa

La energa se puede expresar mediante la siguiente expresin:

Teniendo en cuenta que:

De esta forma se comprueba que aunque la potencia instantnea pueda ser negativa, la energa siempre es positiva o

nula. El condensador, por tanto, es un elemento pasivo; en l se almacena energa que puede ser entregada al

circuito en otro momento (no es un elemento disipativo como la resistencia).

Valores tpicos son del orden de pF hasta cientos de F. Hay condensadores que requieren una determinada

polaridad (condensadores electrolticos), pero en general la mayora pueden tener ambas polaridades.

4. Condicin de continuidad

El voltaje que aparece en los terminales de un condensador lineal e invariante en el tiempo siempre debe ser una

funcin continua. Es decir, para cualquier instante de tiempo t0, se cumple:

Siendo:

(lmite por la izquierda)

(lmite por la derecha)

EJEMPLO:

Como ejemplo del efecto de la condicin de continuidad, se considera el siguiente circuito:

Supngase que el interruptor se ha conectado a la fuente de 10 V (interruptor en la posicin 1) durante un largo

tiempo antes que , permitiendo de ese modo que el circuito alcance una condicin en estado estable. Como

resultado, en se cumple:

Puesto que independientemente del voltaje , el capacitor puede tratarse como un circuito

abierto:

En el interruptor se cambia a la posicin 2. En , el voltaje del capacitor debe permanecer en 8

V, sin importar la corriente que circula por l. En consecuencia, puede ser modelado por medio de una fuente de

voltaje:

Conclusin:

Se puede observar que el voltaje en un resistor puede ser discontinuo, aun cuando el voltaje del capacitor sea

siempre ser continuo.

La bobina

1. Introduccin

La bobina o inductor es un elemento de dos terminales en el que las variables corriente y voltaje se relacionan por:

Donde L es el valor de la inductancia, cuya unidad es el Henrio (H).

Su smbolo es:

La ecuacin de la corriente se puede expresar mediante la condicin inicial i(0):

As como un condensador se mantiene cargado en circuito abierto, las bobinas (idealmente, si no tuvieran resistencia

en sus conductores) se mantienen cargadas en cortocircuito. A temperaturas cercanas al cero absoluto mantienen la

corriente durante aos.

Por la ley de Faraday: (: flujo magntico)

Se puede definir la inductancia de una bobina mediante la relacin existente entre el flujo magntico producido y la

corriente que lo atraviesa:

2. Potencia

Sabiendo que la potencia instantnea en un dipolo es , la potencia de la bobina se puede expresar

de la siguiente forma:

L siempre es positivo, pero el trmino puede ser negativo o positivo.

3. Energa

La energa total suministrada se puede expresar mediante la siguiente expresin:

Teniendo en cuenta que:

Se obtiene la energa total almacenada en el instante t como:

Esto indica que la bobina (lineal e invariante) es un elemento pasivo, es decir no puede ceder ms energa de la que

previamente ha almacenado y, aunque puede ser no lineal y variante con el tiempo, se considerar en este tutorial

que es lineal e invariante.

4. Condicin de continuidad

La corriente que circula por un inductor lineal e invariante siempre debe ser una funcin continua. Es decir, para

cualquier instante de tiempo t0:

Donde iL es la corriente que circula por la bobina.

Asociaciones serie y paralelo

1. Condensadores en paralelo

Aplicando la ley de corrientes de Kirchoff:

2. Condensadores en serie

Aplicando la ley de voltajes de Kirchoff:

3. Bobinas en serie

Aplicando la ley de voltajes de Kirchoff:

4. Bobinas en paralelo

Aplicando la ley de voltajes de Kirchoff:

El Transformador

1. Introduccin

En esta seccin se estudiar un dispositivo de terminales mltiples bastante diferente a los elementos estudiados

anteriormente, en el que las variables de voltaje y corriente se relacionan por medio de ecuaciones integro-

diferenciales: el transformador.

Cuando circula corriente por una bobina en solitario, se crea un flujo magntico a su alrededor. A este fenmeno se

le denomina autoinduccin. El flujo magntico creado viene dado por la siguiente expresin:

siendo L1 el coeficiente de autoinduccin de la bobina.

Si se coloca otra bobina cerca de la primera, algunas de las lneas de flujo producidas por la corriente en esta nueva

bobina tambin enlazarn la primera bobina. De esta forma, los enlaces de flujo 1(t) de la primera bobina estn

determinados por las corrientes i1(t) e i2(t):

donde L1 es el coeficiente de autoinduccin de la bobina 1 y M12 es el coeficiente de inductancia mutua de la bobina

1 con respecto a la bobina 2.

Considerando la segunda bobina, el flujo 2(t) se genera por las corrientes i2(t) e i1(t):

donde L2 es el coeficiente de autoinduccin de la bobina 2 y M21 es el coeficiente de inductancia mutua de la bobina

2 con respecto a la bobina 1.

Aplicando la ley de Faraday a las dos ecuaciones anteriores, y sabiendo que M12=M21=M, se pueden calcular los

voltajes que aparecen en los terminales de cada bobina (v1(t) y v2(t)):

Los coeficientes de autoinduccin y de induccin mutua se pueden expresar en funcin del nmero de espiras de las

bobinas (N1 y N2) y de una constante K llamada coeficiente de acoplamiento.

K es una medida de la cantidad de flujo que genera una corriente que circula en una bobina, la cual enlaza las

vueltas de la otra bobina. Si esta cantidad es pequea, las bobinas estn acopladas dbilmente. Por otra parte, si la

totalidad del flujo generado por una bobina enlaza las vueltas de la otra, las bobinas estn perfectamente acopladas

(K=1).

La inductancia mutua M puede ser positiva o negativa. Normalmente se emplea un par de puntos para identificar las

direcciones de devanado relativas. Si las direcciones de corriente de referencia positiva se orientan hacia adentro (o

hacia afuera) de las terminales marcadas con un punto de las dos bobinas, la inductancia mutua es positiva; en otro

caso es negativa.

2. Transformador con inductancia mutua positiva

Las relaciones para las variables de voltaje y corriente para este caso son:

Si se considera K=1:

Si la potencia de entrada es igual a la potencia de salida:

3. Transformador con inductancia mutua negativa

Las relaciones para las variables de voltaje y corriente para este caso son:

Si se considera K=1:

Si la potencia de entrada es igual a la potencia de salida:

Principio de dualidad

1. Ecuacin de malla

LVK:

2. Ecuacin de nodo

LCK:

3. Dualidad

Como vemos en las ecuaciones anteriores, y a lo largo de todo el tutorial, existe una cierta similitud o dualidad

entre las expresiones obtenidas intercambiando:

Corriente Voltaje

Resistencia (R) Conductancia (G)

Flujo () Carga (q)

Induccin (L) Capacidad (C)

Conexin en serie Conexin en paralelo

Anlisis por mallas Anlisis por nodos

Ley de voltajes de Kirchoff Ley de corrientes de Kirchoff

Corrientes entrantes/salientes Subidas/cadas de voltaje

Funciones Senoidales

1. Introduccin

A lo largo de este punto vamos a ver cmo trabajar con las funciones senoidales. Para ello se vern las distintas

formas de representacin que tienen y cmo pasar de una representacin a otra. Se vern algunas de las propiedades

de las funciones senoidales como su periodicidad y se mostrar cmo es su representacin grfica y cmo se suman

las funciones senoidales.

2. Forma rectangular o en cuadratura

La forma rectangular o en cuadratura se representa a continuacin:

A y B son constantes

es la pulsacin o frecuencia angular (en rad/s).

3. Forma polar

La forma polar es:

Fm es positivo e indica la amplitud o magnitud pico.

: es el argumento o fase (en radianes).

La relacin entre la forma rectangular y la polar se puede ver a continuacin. Como:

De esta forma nos quedan las relaciones:

4. Periodicidad

Una funcin es peridica, de periodo T, si se cumple la relacin:

5. Representacin

A continuacin veremos una representacin para aclarar las relaciones que acabamos de ver:

Eje abcisas: el coeficiente del .

Eje ordenaas: el coeficiente del cambiado de signo.

6. Suma de funciones senoidales

con

de forma que:

Consecuencia: la suma de dos funciones senoidales de igual pulsacin da como resultado otra funcin senoidal de

la misma posicin.

La Funcin exponencial. Los fasores

1. Introduccin

En esta pgina vamos a ver qu son los fasores. Su definicin y explicacin y cmo se pueden utilizar para analizar

circuitos en vez de utilizar las expresiones de las funciones senoidales directamente. Se presentar una aplicacin

interactiva en la que se puede ver cmo se puede pasar de una funcin senoidal a su representacin fasorial.

2. Definicin y explicacin

Los fasores nos van a permitir trabajar con las funciones senoidales de una forma ms fcil en algunas ocasiones

como al integrar y al derivar.

Como se puede ver el voltaje con la expresin:

con y una corriente con la expresin

con , donde

Definicin de fasor: es una cantidad compleja que se emplea para representar funciones del tiempo que varan de

forma senoidal. es un nmero complejo con:

1. mdulo: la amplitud de la magnitud que representa. 2. fase: la fase de dicha magnitud en t=0.

El fasor se relaciona con las funciones senoidales a travs de la siguiente expresin:

Para poder usarlo en las ecuaciones integro-diferenciales se necesita ver cmo responden a esas operaciones.

3. Diferenciacin con fasores

Si tenemos una funcin g(t) con su parte real x(t) y su parte imaginaria y(t), y definimos la funcin:

diferenciando f(t):

Si diferenciamos g(t) y luego tomamos la parte real:

Al final:

Las relaciones que tenemos en la diferenciacin son:

4. Integracin con fasores

Con la funcin h(t) definida como la integracin de f(t):

Las relaciones que hay en la integracin se pueden ver a continuacin:

Por lo tanto, se pueden resolver las ecuaciones integro-diferenciales que aparecen en rgimen permanente senoidal

mediante la utilizacin de fasores. Esto se debe a que las derivadas y las integrales se transforman en

multiplicaciones y divisiones por y as estas ecuaciones se convierten en algebraicas mediante fasores.

5. Ejemplo de anlisis con fasores

Si estas expresiones son el dato o incgnita de un circuito como:

Sabemos que del circuito se puede sacar la siguiente ecuacin:

utilizando fasores

Impedancias y admitancias

1. Introduccin

En este punto vamos a ver si podemos aplicar los mecanismos para obtener la impedancia y la admitancia a los

fasores. Para ello a continuacin se explican los aspectos tericos de la impedancia y de la admitancia a la hora de

trabajar con fasores. Al final se ha puesto un test por si el usuario quiere evaluar los conocimientos que haya podido

adquirir en este punto.

2. Impedancia de elementos

En el circuito:

las ecuaciones que relacionan las distintas variables se muestran a continuacin:

y definimos el fasor I de tal forma que las ecuaciones anteriores expresadas con fasores quedan:

A la expresin V/I se le llama impedancia del elemento y sus unidades son .

Definicin: impedancia es la relacin entre los fasores de voltaje y corriente de un elemento de dos terminales. La

impedancia puede ser:

Real: se la denomina resistencia.

Imaginaria: se la denomina reactancia.

Real e imaginaria: una magnitud compleja.

A continuacin se muestra la impedancia de algunos elementos:

Bobina:

Condensador:

Resistor:

3. Admitancia de elementos

En el circuito:

las ecuaciones que relacionan las variables son:

y en forma fasorial:

Definicin: admitancia es la relacin entre los fasores de corriente y voltaje de un elemento de dos terminales. La

admitancia puede ser:

Real: se la denomina conductancia.

Imaginaria: se la denomina susceptancia.

Real e imaginaria: una magnitud compleja.

Admitancia de algunos elementos:

Bobina:

Condensador:

Resistor:

4. Inmitancia de elementos

Hay un nombre genrico inmitancia que trata el concepto de la relacin entre fasores de voltaje y de corriente en un

elemento de 2 terminales, pero que no determina si es una admitancia o una impedancia.

Todo lo visto hasta ahora, cualquier anlisis de circuitos se puede hacer con estos nuevos elementos. Simplemente se

cambian corrientes y voltajes por sus fasores y las resistencias y conductancias por impedancias y admitancias

respectivamente.

Asociacin serie-paralelo

1. Introduccin

En este apartado vamos a ver cmo se pueden asociar elementos en un circuito en rgimen permanente senoidal y

utilizando fasores. Se ver cmo asociar los elementos en un circuito serie y en un circuito con elementos en

paralelo. Finalmente se completar este punto con dos ejemplos de circuitos: un divisor de voltaje y una red en

escalera.

2. Circuito en serie

Con este circuito nos quedan las ecuaciones:

Generalizando:

3. Circuito en paralelo

Las ecuaciones para estos circuito son de la forma:

de forma general:

4. Divisor de voltaje

para cualquier elemento que sea Z1 y Z2:

5. Red en escalera

se ve que la parte resistiva de Zent es:

la parte reactiva de Zent es:

y se observa cmo a la parte real (la resistiva) de Zent le afectan no slo las resistencias sino tambin el condensador

y la bobina. Es tambin dependiente de la frecuencia.

Se puede de esta forma ver cmo un elemento real depende de la frecuencia. Se le puede llamar (parte

resistiva de la impedancia). Tambin la parte reactiva es funcin de la frecuencia .

As a y esa misma Zent se puede conseguir con una R y una C en serie

y un circuito con la misma Zent es:

, un circuito con la misma Zent es:

Dependiendo del signo de la parte imaginaria, una determinada admitancia o impedancia se puede sustituir por un

circuito ms sencillo, a una determinada pulsacin, serie o paralelo de dos elementos: resistencia y condensador o

bobina.

Redes equivalentes a una pulsacin

1. Introduccin

A una determinada pulsacin cualquier circuito puede ser sustituido por otro circuito que conste slo de dos

elementos: una resistencia, y un condensador o una bobina. Dichos elementos pueden estar asociados en serie o

paralelo. A continuacin veremos dos casos: trabajando con impedancias o admitancias. Para el primer caso se ha

desarrollado una aplicacin interactiva que nos permite visualizar un ejemplo. Por ltimo se vern las equivalencias

que se dan entre admitancias e impedancias.

2. Caso A: Impedancia

Impedancia

A.1 es la reactancia de una bobina de valor .

El siguiente circuito es equivalente a a una pulsacin dada:

A.2 es la reactancia de un condensador de valor .

El circuito que se muestra a continuacin es equivalente a a una pulsacin dada.

3. Caso B: Admitancia

Admitancia .

B.1 es la susceptancia de un condensador .

La red equivalente a la pulsacin de trabajo ser:

B.2 es la susceptancia de una bobina. La red equivalente a a una pulsacin dada ser:

4. Equivalencias entre impedancias y admitancias

Si tenemos e la relacin obliga a:

igualando parte real e imaginaria:

a una pulsacin dada.

Conclusin: la conductancia no es el inverso de la resistencia. Viendo las expresiones, si y

al revs de forma que son equivalentes. Se usa una u otra segn se quiera analizar como

admitancias o impedancias.

5. Ejemplo 1

Si tenemos que implementar

a) Como impedancia:

b) Como admitancia:

Veremos la impedancia de este 2 circuito:

6. Ejemplo 2

Si implementamos:

a) Como impedancia:

b) Como admitancia:

Anlisis por mallas y nodos

1. Introduccin

A continuacin vamos a ver cmo se realizan el anlisis por mallas y por nodos al trabajar en rgimen permanente

senoidal. El anlisis es equivalente al caso de las redes resistivas pero esta vez se va a trabajar con impedancias de

rama.

2. Anlisis por mallas

Supongamos que tenemos el siguiente circuito

Las ecuaciones que tendremos al analizar por mallas son:

Donde:

Vi: es la suma de los fasores de las fuentes de voltaje (positivo si es de subida, negativo si es de bajada).

Ii: fasores de corriente.

: suma de las impedancias de la malla i.

: suma de las impedancias compartidas entre la malla i y la j con signo negativo.

3. Anlisis por nodos

Se hace de igual forma que con redes resistivas.

Donde:

Ii: es la suma de los fasores de corriente (positivo si entran, negativo si salen en el nodo i.

Vi: fasores de voltaje del nodo i.

Yii: suma de las admitancias conectadas al nodo i.

Yij: suma de las admitancias compartidas entre los nodos i y j con signo negativo.

Transformacin de generadores reales

1. Introduccin

Segn estamos viendo casi cualquier tcnica de anlisis de redes resistivas puede ser aplicada en el caso de

un anlisis fasorial de redes RLC. La tcnica de transformacin de generadores reales es una de las tcnicas

que utilizaremos tambin en los anlisis en rgimen permanente senoidal. A continuacin en esta pgina se

realizar una introduccin a esta tcnica.

2. Transformacin de generadores reales.

Tendremos una equivalencia de bornas hacia fuera de los siguientes dos circuitos:

equivale a

3. Ejemplo

A continuacin vamos a poner un ejemplo para ver cmo se pasa de un circuito con una fuente de voltaje al

circuito equivalente con una fuente de corriente.

Partimos de:

1)

2)

3)

4)

5)

6)

Equivalentes de Thevenin y Norton

1. Introduccin

Cualquier coleccin de fuentes y de elementos de dos terminales puede reemplazarse, en un par de terminales dados

y a una frecuencia determinada, por un circuito equivalente Thevenin y Norton. Los mecanismos son iguales que

para las redes resistivas.

2. Equivalente de Thevenin

Vth: voltaje en circuito abierto en el par de nodos.

Zth: impedancia vista en esos nodos.

3. Equivalente de Norton

IN: corriente en cortocircuito entre los dos nodos.

YN: admitancia vista entre esos nodos, al anular las fuentes independientes.

4. Ejemplo

Ejemplo: Partimos del circuito:

con las unidades en ohmios:

transformando y utilizando mhos:

asociando:

volvemos a transformar:

Como resultado final en el dominio temporal obtenemos:

Superposicin de fuentes de distinta ...

1. Introduccin

En esta pgina veremos cmo cuando en un circuito existen varias fuentes de diferente frecuencia a la hora de

analizarlo hay que usar superposicin. Veremos este mtodo y al final habr un pequeo test para comprobar si se

han captado los puntos base de este mtodo.

2. Mtodo

Lo que se quiere hacer es calcular la respuesa (ya sea voltaje o corriente) a cada una de las frecuencias. Para calcular

esto lo primero que hay que hacer es anular todos los generadores independientes que puedan existir en el circuito y

que no funcionen a la frecuencia a la que se est trabajando.

Una vez hecho esto la respuesta total del circuito ser la suma de las respuestas temporales a cada frecuencia. Una

cosa que no se debe hacer es anular los generadores dependientes.

Conviene recordar que a la hora de anular generadores independientes:

Los generadores de voltaje pasan a ser cortocircuitos.

Los generadores de corriente se convierten en circuitos abiertos.

Funciones de transferencia de una red

1. Introduccin

En este captulo se va a hablar de las funciones de transferencias. Posteriormente se vern unos ejemplos con unas

funciones de transferencia determinadas que sern los distintos filtros que hay. Se tratarn conceptos como el de la

frecuencia de corte y se incluye una aplicacin interactiva para facilitar la comprensin de los filtros y de las

frecuencias de corte.

2. Funciones de transferencia

Una funcin de transferencia de una red es el cociente entre un fasor de respuesta y un fasor de excitacin, que

pueden o no estar definidos en el mismo par de nodos.

Un ejemplo de funciones de transferencia es una admitancia o una impedancia: , .

Estas funciones de transferencia tienen dimensiones. La primera dimension es de y la segunda de . Hay

tambin funciones de transferencia adimensionales: funcin de transferencia de voltaje (V2/V1), de corriente (I2/I1)

Funciones de entrada Funciones de transferencia

impedancia de

entrada

admitancia de

entrada

impedancia de

transferencia transferencia de voltaje

transferencia de

corriente

3. Ejemplo - Filtro paso bajo

Si tenemos el siguiente circuito:

Si calculamos la funcin de transferencia de voltaje:

Esto representado queda:

Se ve cmo la funcin de transferencia es prcticamente 1 (v2 = v1) a frecuencias pequeas, y prcticamente 0 (v2 =

0) a frecuencias elevadas. Esto hace que lo que tengamos sea un filtro paso bajo.

Viendo la grfica de la fase se ve cmo v2 estar atrasada siempre respecto a v1, desde 0 a 90 de atraso. Es por

tanto una red de atraso.

Frecuencia a 3dB: es aquella a la que una magnitud disminuye en 0'707 (es decir se divide entre ). A esta

frecuencia la potencia se reduce a la mitad.

En la expresin:

4. Ejemplo - Filtro paso alto

En este segundo ejemplo tenemos el siguiente circuito:

La funcin de transferencia es:

Representando la funcin obtenemos que queda de la siguiente forma:

El mdulo del fasor v2 aumenta con la pulsacin y es nulo a =0, esto quiere decir que deja pasar las altas

frecuencias. Es un filtro paso alto.

En la grfica de fase se ve que vara de 90 (a =0) hasta 0 a altas frecuenciar. v2 estar adelantado a v1, tenemos

una red de adelanto (en realidad esto es slo en apariencia ya que lo que se hace es desfasar entre -270 y -360).

5. Casos generales

En general podemos encontrarnos en alguno de los siguientes casos al tener una funcin v2/v1. Si la representamos

en funcin de :

Filtro paso bajo Filtro paso alto Filtro paso banda

Ancho de banda: es el margen de frecuencias que deja pasar un circuito. En el filtro paso-alto es infinito mientras

que en el paso-bajo es 1 - 0 = 1. En el paso-banda es 2 - 1.

6. Ejemplo - Filtro activo

En el siguiente ejemplo vamos a ver cmo calcular la funcin de transferencia V2/V1 en rgimen permanente

senoidal del siguiente filtro activo:

Ya sabemos que el circuito:

es equivalente a:

As que si sustituimos el operacional en el circuito siguiendo la anterior equivalencia tendremos:

Si analizamos por nodos:

En el nodo C relacionamos el voltaje V2 con VB

Al final como resultado nos queda la funcin de transferencia:

En general se expresar la funcin de transferencia como un cociente de polinomios de la forma:

Tambin como se ha visto en el ejemplo se suele normalizar el polinomio. Es decir se suele dividir el numerador y el

denominador por D. De esta forma el coeficiente de es de 1.

Potencia

1. Introduccin

En este captulo vamos a tratar diferentes conceptos relacionados con la potencia en el rgimen permanente senoidal.

Veremos la disipacin de potencia media en distintos elementos que se ilustrar con una aplicacin interactiva que

muestra la disipacin de energa en un circuito RLC. Posteriormente se hablar sobre la potencia compleja, la

potencia activa y la reactiva.

2. Valor eficaz

El valor eficaz de una magnitud peridica es aquel valor de la magnitud continua equivalente que producira la

misma disipacin media sobre un resistor. Podemos tener dos casos:

1. Magnitud peridica.

En este caso tenemos:

2. Magnitud continua.

Aqu tenemos una potencia de:

Para comparar ambos casos debemos calcular el valor medio en un periodo, de esta manera no influir . En el caso

de una seal senoidal:

Si igualamos con el caso continuo:

Esto era para una seal senoidal, para el caso general tendremos:

3. Potencia en Rgimen Permanente Senoidal

La potencia instantnea es .Si tenemos una impedancia

a la que se le aplica un voltaje

, la corriente que atraviesa dicha impedancia es . Aqu viene dado por la fase de

.

Con y como. . El valor medio

quedar:

A partir de aqu se puede definir el factor de potencia. El factor de potencia es el cociente entre la potencia media y

el producto de los valores eficaces de voltaje y de la corriente:

Si = 0 entonces tendremos un elemento resistivo puro y la potencia media (Pmed) ser mxima en R.

Si = 90 entonces nos encontramos con una impedancia imaginaria pura y la Pmed es 0 en L C.

A continuacin veremos unos ejemplos de potencia en varios elementos: en una resistencia, en una bobina y en un

condensador.

Potencia en un resistencia.

Siempre es positiva, la resistencia siempre disipa energa.

Potencia en una bobina.

En el caso de una bobina la potencia disipada es:

como la integral en un periodo de un seno o un coseno es 0, tenemos que la potencia media disipada en la

bobina es nula.

La expresin de la energa en una bobina es:

El valor medio de la energa almacenada es:

Potencia en un condensador.

La potencia en un condensador viene dada por la expresin:

La potencia media es toma un valor nulo como en el caso de la bobina, mientras que la energa almacenada

es:

4. Potencia activa y reactiva

La potencia media es la que se disipa en las resistencias del circuito. A esto se le llamar potencia activa. Existe otra

parte de la potencia, la potencia reactiva, que representa el flujo de corriente hacia y desde la red.

Concretando, si tenemos una potencia instantnea:

Potencia activa:

Potencia reactiva:

Las unidades usadas son: el Watio (W) para la potencia activa y el voltiamperio reactivo (VAr) para la potencia

reactiva.

Para una red pasiva y segn sea el circuito

Circuito inductivo (predominan las bobinas):

Circuito capacitivo (predominan los condensadores):

5. Potencia compleja

Es un nmero complejo, donde la parte real es la potencia activa y la parte imaginaria es la reactiva. Como se puede

observar es una definicin que engloba a las anteriores:

Si trabajamos con fasores:

de forma que:

Ejemplo: Tenemos el circuito RLC serie de la siguiente figura:

Aqu tenemos que la impedancia es:

y la potencia queda:

El ltimo trmino de esta expresin se puede expresar en funcin del voltaje de un condensador:

Esta ltima expresin, la de la potencia reactiva en funcin de las energas medias almacenadas en los elementos

reactivos, se puede generalizar para cualquier red con varias bobinas y condensadores:

A esto se le llama conservacin de la potencia compleja. Si en un conjunto de redes de dos terminales Ni, la

potencia activa y reactiva son Pi y Qi respectivamente, la potencia total activa y reactiva para cualquier

interconexin de las Ni redes, es la suma de las Pi y la suma de las Qi respectivamente. De tal modo, que la potencia

total para cualquier interconexin es la suma de las potencias complejas de las redes componentes.

Adaptacin de Impedancias

1. Introduccin

A lo largo de esta pgina vamos a explicar cmo adaptar impedancias en un circuito para que la potencia entregada a

una impedancia de carga colocada a la salida del circuito sea mxima.

2. Adaptacin de impedancias

Si tenemos un circuito con una impedancia de carga como en la siguiente figura:

El valor de esa ZL que hace que la potencia que se le entrega sea mxima ser aquella que cumpla que:

Donde ZG es la impedancia Thevenin del circuito. Si ZL es puramente resistiva, hay que colocar un circuito

adaptador entre la red y la carga, que cumpla que la red vea . Adems no debe absorber energa, es decir, slo

tendr elementos que sean bobinas o condensadores.

Hay adaptacin tanto a la entrada como a la salida de la red LC.

Como los componentes de la red intermedia LC dependen de la frecuencia y las resistencias no, slo habr

adaptacin de impedancias a una nica frecuencia.

3. Aplicacin

Tenemos un circuito con dos resistencias:

y queremos que haya adaptacin de impedancias. Como RL no es variable se van a colocar 2 elementos reactivos:

con

El objetivo es que Rg = Zent, hay que disminuir el valor de RL, por eso se coloca un elemento en paralelo:

Con la Z2 en serie con la Zeq:

Para que exista adaptacin debe cumplirse que:

Al salir el resultado con diferente signo tendremos que hay una bobina y un condensador.

Si se necesitase en vez de esto aumentar la RL (con RL < Rg) se le colocara un elemento en serie como en el

siguiente esquema

El anlisis en este caso sera similar al anterior.

Resonancia

1. Introduccin

A continuacin a lo largo de este punto se va a analizar el concepto de circuito resonante (tanto serie como paralelo).

Se ver el concepto de frecuencia de resonancia as como el de factor de caliad y la relacin existente entre ambos.

2. Frecuencia de resonancia

Para explicar qu es la frecuencia de resonancia vamos a partir del filtro paso banda que se muestra en la siguiente

figura:

La funcin de transferencia de este filtro es:

sta se hace 0 para valores de , y toma el valor de la unidad cuando . Estamos ante un

filtro paso banda de segundo orden al tener dos elementos reactivos.

El efecto de tener un mximo en un valor determinado de la pulsacin se la conoce como efecto resonante y al

circuito que hemos visto se le denomina circuito resonante serie. A la frecuencia se la conoce como frecuencia de

resonancia y el ancho de banda del filtro ser la separacin entre las dos frecuencias a 3dB.

Escribiendo la funcin de transferencia de otra forma:

Esta funcin toma su valor mximo cuando el trmino imaginario es 0, esto ocurre a una frecuencia de resonancia

0.

3. Factor de calidad

El factor de calidad viene determinado por la expresin:

A partir de esta definicin se pueden sacar varias conclusiones:

A mayor factor de calidad, menor anchura de banda.

Si Q >> 1 se puede aproximar y . Frecuencias de corte simtricas.

Para averiguar cunto vale B, haremos operaciones. Sabemos que 3dB es cuando:

Luego:

como > 0

Se obtiene que:

Sustituyendo en la ecuacin del factor de calidad:

4. Circuito resonante paralelo

Es un circuito como:

, donde tambin

Las conclusiones que se pueden sacar es que un circuito en resonancia se comporta como una impedancia (o

admitancia) resistiva pura o conductiva pura.

Diagramas de Bode

1. Diagramas de Bode

Ya hemos visto las representaciones grficas del mdulo y del argumento en funcin de la pulsacin. Otro tipo de

grficas que son muy tiles son los diagramas de Bode en los que se usan escalas logartmicas en y en . Estos diagramas tienen la misma informacin, pero son ms sencillos de escribir, ya que se pueden aproximar

mediante lneas rectas.

Si tenemos la magnitud:

Tomaremos logaritmos neperianos con el fin de acabar con los exponentes de forma que tendremos:

Lo hemos convertido en una suma de una parte real (dependiente slo del mdulo y una imaginaria (funcin slo de

la fase).

La transformacin de ln a log es: dB = 8,6859 x neperios

2. Aplicacin

Si tenemos la funcin de transferencia

si tomamos ln:

a) si

b) si >> z: Tendremos una recta de pendiente 20 dB/dcada y se corta con la recta de 0 dB cuando

Las frecuencias entre el punto B y el punto A abarcan una dcada. La desviacin mxima entre la aproximacin y la

real es de 3dB.

En cuanto a la parte imaginaria de :

Se representa como dos rectas: una a 0 para > z, unidas por una recta de pendiente 45/dcada, que pasa por el punto (log z, 45).

Desarrollo de la Transformada de Laplace

1. Introduccin

El objetivo de la asignatura es analizar circuitos, obteniendo expresiones para las variables de dicho circuito. Si la

red est formada slo por fuentes y resistores, obtenemos ecuaciones algebraicas. Sin embargo, al incorporar

bobinas y condensadores, las ecuaciones resultantes son integro-diferenciales, que son ms complicadas. En el tema

anterior se vio que la solucin de dichas ecuaciones requiere de diversas tcnicas especializadas.

En este tema veremos otro enfoque para llegar a la solucin, consistente en el empleo de variables tranformadas

(sometidas a algn proceso matemtico). En concreto, estudiaremos la tranformada de Laplace, que permite

transformar las ecuaciones integro-diferenciales en ecuaciones algebraicas.

2. Definicin de la Transformada de Laplace

Nuestro propsito es "inventar" una relacin matemtica que tranforme una funcin f de una variable t, en una

funcin de alguna otra variable. Emplearemos F para la funcin transformada y s para la nueva variable. Luego la

tranformacin se puede representar simblicamente como:

Lo que queremos es transformar ecuaciones diferenciales en algebraicas, luego el objetivo ser convertir la

operacin de diferenciacin en el dominio del tiempo en una multiplicacin por la variable transformada en el

dominio s:

Este resultado es preliminar (posteriormente veremos que puede aparecer algn trmino ms).

A continuacin, debemos especificar la forma que tendr esta transformacin, para lo cual consideraremos

nicamente los valores positivos de t. Es decir, todas las funciones a considerar sern nulas para t

Para determinar h(t,s) debemos satisfacer la condicin buscada, es decir, que: . Luego:

Integrando por partes: , obtenemos:

Ignoramos el primer trmino del segundo miembro porque slo considera los valores inicial y final de t, por lo que

es probable que no afecte a la transformacin, la cual se basa en el intervalo completo. Por tanto:

Resolvemos esa ecuacin diferencial sencilla separando variables:

Por tanto, ya podemos dar la definicin de la transformada de Laplace:

En general, s es una variable compleja que puede tomar cualquier valor, aunque veremos despus que han de

aplicarse algunas restricciones. Por ltimo, comprobemos que la transformacin cumple realmente el objetivo

marcado:

Conclusin: Diferenciar en el tiempo equivale a multiplicar por s en el dominio de Laplace. La condicin inicial se

introduce explcitamente.

Propiedades de la variable s: El coeficiente de una exponencial debe ser adimensional, luego tiene que

serlo. Por tanto, tendr dimensiones de inverso del tiempo, es decir, de frecuencia. Luego es una variable de

frecuencia compleja, con .

3. Restricciones para que exista la TL. Ejemplo

Para que F(s) est acotada ( ):

Restriccin sobre f(t):

Restriccin sobre Re[s]: Para que la integral converja, se debe cumplir que .

Ejemplo: Transformada de la funcin escaln:

Si , luego no existe tranformada.

Si , indefinido.

Si , luego existe la tranformada.

Luego:

4. Conclusin

En el tema 5 ya se vio una transformacin (los fasores en rgimen permanente sinusoidal) que facilitaba el anlisis

de circuitos, cambiando las ecuaciones integro-diferenciales por ecuaciones algebraicas. Sin embargo, la ventaja que

presenta la transformada de Laplace es que se puede usar en rgimen permanente y transitorio, y con excitacin no

senoidal.

Propiedades de la Transformada de Laplace

1. Linealidad

A travs de la homogeneidad y aplicando superposicin:

2. Transformada de la derivada

Ya se ha visto que derivar equivale a multiplicar por s y restar la condicin inicial:

Luego generalizando:

3. Transformada de la integral

Integrando por partes: , obtenemos:

Como y , queda:

4. La funcin escaln

Para que haya una relacin biyectiva entre f(t) y F(s) (para que la funcin sea transformable), f(t) debe ser nula en el

eje negativo de tiempos. Luego se cumple: , siempre que .

5. Traslacin en el tiempo (retardo)

Haciendo el cambio :

Para poder aplicar esta propiedad, todas las variables del tiempo tienen que estar retardadas.

6. Traslacin en frecuencia compleja (modulacin)

Es el caso dual al anterior, teniendo en cuenta que hay un cambio de signo.

7. Escalamiento temporal

Haciendo el cambio , obtenemos:

La seal se expande o se comprime dependiendo del valor del parmetro a:

Si a1, se produce una compresin en el tiempo y una expansin en la frecuencia.

Pares transformados

1. Transformada de funciones sencillas

Vamos a descomponer cualquier funcin transformable de manera que est formada por funciones cuyas

transformaciones ya hemos visto.

1.1. Constante

1.2. Exponencial

1.3. Identidad o rampa unitaria

Si f(t) = tu(t), comprobamos que f(t) es la integral de u(t):

, pues tomamos los valores positivos del eje de

tiempos. Luego aplicando la propiedad de la integral en una transformacin:

En general:

1.4. Delta o impulso

En primer lugar, vamos a definir la funcin delta. Partimos de:

de forma que: . Si ,

obtenemos la funcin delta.

Se cumple que , luego la transformada de la delta es inmediata:

En general:

La familia de la delta y sus derivadas son conocidas como funciones generalizadas.

1.5. Seno y coseno

Como y ya conocemos la transformada de una exponencial, se puede hacer

lo siguiente:

Usando la linealidad de la transformada, podemos conocer la transformada del seno y del coseno:

2. Generalizacin: Descomposicin de funciones

2.1. Pulso

2.2. Periodo senoidal

, con

2.3. Funciones peridicas

donde:

f(t) se puede expresar como una suma infinita de f1(t), con diferentes retardos:

Haciendo la transformada de Laplace:

Se ha obtenido una progresin geomtrica de razn (con ), cuya suma es: . Por

tanto, para cualquier funcin f(t) peridica de periodo T, la transformada es:

Por ltimo, slo queda hallar F1(s).

siendo:

Su transformada:

Luego el resultado final es:

CASOS PARTICULARES:

Funcin peridica alternada.

Haciendo la transformada inversa:

Funcin f1(t) no nula fuera del periodo.

con:

Luego:

Transformada inversa

1. Concepto

La transformada inversa de Laplace se define por medio de una integral de inversin compleja que puede aplicarse a

una funcin F(s) para generar una funcin f(t):

La trayectoria de integracin (trayectoria de Bromwich) se elige de manera que se alcance la convergencia necesaria

de la integral. Sin embargo, no se usar la definicin de transformada inversa porque es muy complicada y requiere

elevados conocimientos de la teora de variable compleja.

Se utilizar, en cambio, la propiedad de unicidad de la transformada, es decir, que para una F(s) dada slo existe

una f(t) definida en :

As que lo que se va a intentar es descomponer la solucin F(s) en funciones ms sencillas de las que se conozca su

transformada.

Ejemplo:

2. Funcin racional propia

Se parte de una expresin del tipo , siendo N(s) y D(s) dos polinomios en s de diferente grado.

Polo de F(s): Es aquel valor de s que anula el denominador. Se tiene tambin un polo de orden m en

si el grado(N)=grado(D)+m.

Cero de F(s): Es aquel valor de s que anula el numerador. Se tiene tambin un cero de orden p en si el grado(D)=grado(N)+p.

Se cumple que el nmero total de polos de una funcin racional es igual al nmero total de ceros (incluyendo

siempre los de ).

Ejemplo:

Objetivo: Conseguir una funcin racional propia, que es aquella con el grado(N) menor que el grado(D). Si tenemos

el caso de grado(N)=grado(D)+m, se dividen los polinomios, obteniendo:

La transformada inversa ser:

Se ha conseguido una funcin racional propia .

3. Descomposicin en fracciones simples

Ahora el problema se ve reducido a hallar , con grado(A)

Todos los polos reales, siendo alguno mltiple.

Algn par de polos complejos conjugados.

A. Polos reales y simples

Se puede descomponer la funcin de la siguiente forma:

siendo ki el residuo del polo pi , .

Es sencillo encontrar la transformada inversa:

Ejemplo:

Hallamos las raices de D(s):

Clculo de residuos:

Luego:

Haciendo la transformada inversa:

B. Polos reales y mltiples

Tenemos un polo real mltiple de orden n, p0, y m polos reales simples pi , por lo que el grado(D) = n+m.

Residuos:

(para el clculo de los residuos de los polos simples, ki , se utilizan las frmulas del apartado A.)

Luego la transformada inversa ser:

(se han aplicado las transformaciones y )

Ejemplo:

Hallamos las raices de D(s):

Clculo de residuos:

Luego:

Haciendo la transformada inversa:

C. Polos complejos conjugados

Suponemos que slo aparece un par conjugado (teniendo en cuenta que si aparece un polo complejo, tambin est su

conjugado como polo).

Se puede comprobar que . El clculo de los residuos complejos es muy complicado. Puesto que

y , en vez de hallar los residuos directamente lo que se hace es reagrupar

F1(s) de la siguiente forma:

Luego la transformada inversa ser:

Ejemplo:

Hallamos los polos:

Clculo del residuo del polo simple:

Para el clculo de ka y kb hay que reagrupar de nuevo F(s) y comparar los numeradores:

Trmino en

Trmino en s :

Trmino independiente :

Luego:

Haciendo la transformada inversa:

Teoremas del valor inicial y del valor final

1. Introduccin

Cuando se desea conocer el valor de una funcin en el dominio temporal en los instantes 0 , se puede calcular a

partir de la funcin en el dominio de Laplace, sin necesidad de hacer la transformada inversa.

2. Teorema del valor inicial

Este teorema es vlido cuando la funcin f(t) no tiene impulsos, deltas o derivadas de delta en el origen. Es decir, la

funcin F(s) ha de ser una funcin racional propia. Si :

3. Teorema del valor final

Este teorema es vlido cuando F(s) no tiene polos en el semiplano derecho ni en el eje imaginario:

Si F(s) tiene polos en el semiplano derecho, f(t) tendr exponenciales crecientes.

Si F(s) tiene polos en el eje imaginario, f(t) tendr senos o cosenos.

Impedancias generalizadas de Laplace

1. Introduccin

Como ya se ha visto anteriormente, en un dipolo se pueden definir unas variables V e I:

Ahora haremos la descripcin en el dominio de Laplace: , .

2. Resistencia

3. Bobina

3.1. Sin condiciones iniciales (C.I. nulas, )

3.2. Con condiciones iniciales ( )

REPRESENTACIN EN SERIE:

El primer sumando corresponde a una bobina con condiciones iniciales nulas. El segundo sumando es un

trmino de voltaje constante debido a las condiciones iniciales, por lo que su transformada inversa ser una

delta. Por este motivo, sta es la representacin de las condiciones iniciales mediante impulsos.

REPRESENTACIN EN PARALELO:

El primer trmino es el que se tiene en el caso de condiciones iniciales nulas. El segundo es el trmino debido a

las condiciones iniciales, y es la transformada de un escaln, por lo que sta es la representacin de las

condiciones iniciales mediante la funcin escaln.

4. Condensador

4.1. Sin condiciones iniciales (C.I. nulas, )

4.2. Con condiciones iniciales ( )

REPRESENTACIN EN SERIE:

El primer sumando corresponde a un condensador con condiciones iniciales nulas. El segundo, que es debido a

las condiciones iniciales, es la transformada de la funcin escaln, por lo que sta es la representacin de las

condiciones iniciales mediante la funcin escaln.

REPRESENTACIN EN PARALELO:

El primer trmino es el que se tiene en el caso de condiciones iniciales nulas. El segundo, que es debido a las

condiciones iniciales, es un trmino constante. Como la transformada inversa de una constante es una delta, sta

es la representacin de las condiciones iniciales mediante impulsos.

Como puede observarse, existe una dualidad entre la bobina y el condensador.

Anlisis de redes en el dominio de Laplace

1. Procedimiento

El objetivo es transfomar todo (fuentes y elementos) al dominio de Laplace, y operar con ello hasta obtener la

solucin deseada. A continuacin se hace la transformada inversa para hallar la solucin en el dominio del tiempo.

Una vez que se han colocado los elementos y fuentes en el dominio de Laplace (los elementos con los generadores

correspondientes a las condiciones iniciales), se puede aplicar todas las propiedades vistas para redes resistivas en el

dominio del tiempo y para fasores en rgimen permanente sinusoidal:

Leyes de Kirchoff y movilidad.

Asociaciones serie/paralelo de impedancias.

Ecuaciones de mallas y de nodos.

Teoremas de Thevenin y Norton.

Funciones de transferencia.

Se debe pensar qu tipo de anlisis se va a realizar para elegir el tipo de fuente que aporte las condiciones iniciales.

Si se quiere analizar el circuito por mallas, se debe elegir las fuentes de condiciones iniciales que correspondan a

fuentes de voltaje. Si se quiere hacer el anlisis por nodos, todas las fuentes deben ser de corriente.

2. Ejemplo 1: Condiciones iniciales

En este primer ejemplo, vamos a comprobar la participacin de las condiciones iniciales en un anlisis.

Planteamiento de las ecuaciones diferenciales en :

Se aplica la transformada de Laplace en ambas ecuaciones:

Agrupando trminos:

Los trminos subrayados son debidos a las condiciones iniciales. En este sistema de ecuaciones, si hacemos la

sustitucin , obtenemos unas expresiones muy parecidas al anlisis mediante fasores en RPS. La diferencia

es que aqu aparecen reflejadas las condiciones iniciales en el primer miembro, lo cual es la gran ventaja de este tipo

de anlisis.

Si incorporamos las condiciones iniciales en el circuito en el dominio de Laplace, obtenemos estas expresiones

directamente, es decir, con las impedancias generalizadas y las fuentes transformadas:

Este sistema es exactamente igual al obtenido anteriormente.

3. Ejemplo 2: Anlisis por nodos

Vamos a analizar por nodos el siguiente circuito:

Hay que pasar la red al dominio de Laplace, poniendo las transformadas de las fuentes y las admitancias

generalizadas (incluyendo las fuentes de las condiciones iniciales de los condensadores y bobinas). Como se analiza

por nodos, pasamos a fuentes de corrientes:

Planteamos las ecuaciones del circuito:

Reagrupando:

Resolvemos, por ejemplo , por Cramer:

Para ver las diferentes contribuciones, se podra separar las aportaciones de e (las dos sin

condiciones iniciales) y de las condiciones iniciales, al igual que se haca en RPS con fuentes de diferentes

frecuencias. Sin embargo, se puede resolver todo junto por Laplace, sin aplicar superposicin (aunque podra

hacerse).

Suponemos que queremos hallar , con:

Sustituyendo esas expresiones en la ecuacin de :

Al hacer el anlisis de esa fraccin, vemos que tiene un polo simple en y un par complejo conjugado en

. Luego podemos escribir de la siguiente forma:

Clculo del residuo del polo simple:

Clculo de los residuos de los polos complejos:

Sustituyendo estos resultados y haciendo la transformada inversa, obtenemos la solucin deseada:

4. Ejemplo 3: Anlisis por mallas

Vamos a analizar por mallas el siguiente circuito:

Hay que pasar la red al dominio de Laplace, luego en primer lugar colocamos las impedancias generalizadas

(incluyendo las fuentes de las condiciones iniciales de los condensadores y bobinas). Como se analiza por mallas,

pasamos a fuentes de voltaje:

Aplicando movilidad:

Por ltimo, transformamos las fuentes:

y resolvemos por mallas:

Agrupando trminos:

A continuacin se procede como siempre: se sustituye los valores, se resuelve el sistema por Cramer y se hace la

transformada inversa para obtener la solucin en el dominio temporal.

Funcin de transferencia

De igual modo que haba funciones de transferencia en RPS y se definan como un cociente de fasores (sin pasar al

dominio temporal), aqu ser un cociente en el dominio de Laplace. Se defina la funcin de transferencia de un

circuito como la respuesta del circuito partido por la excitacin aplicada.

Para calcular la funcin de transferencia se halla la red transformada, siempre sin condiciones iniciales, es decir, no

se colocan las fuentes de las condiciones iniciales. Despus, se hace el anlisis y se calcula ese cociente.

Ejemplo

Calcular en el siguiente circuito:

Para hacer la red transformada tenemos en cuenta que vamos a analizar por nodos, luego colocamos las admitancias

generalizadas, con condiciones iniciales nulas:

Sistema de ecuaciones del circuito:

Resolvemos por Cramer:

Por ltimo, se despeja la funcin de transferencia:

Para calcular la funcin de transferencia en RPS, bastara con sustituir :

Se debe prestar especial atencin a la hora de hacer la transformada inversa en los clculos de funciones de

transferencia, ya que no se cumple que la transformada inversa del producto sea el producto de las transformadas

inversas, es decir:

Equivalentes de Thevenin y Norton

Se hace como hasta ahora: se pasa la red al dominio transformado, y se calcula:

: voltaje en circuito abierto.

: se anulan las fuentes independientes, incluyendo las fuentes de condiciones iniciales. No se puede

hacer la tranformada inversa de , ya que slo tiene sentido en el dominio de Laplace.

: corriente en cortocircuito.

Ejemplo

Calcular el equivalente de Thevenin en el siguiente circuito:

Pasamos al dominio transformado:

Transformada inversa:

Para calcular , anulamos las fuentes independientes: