1

TEORÍA DE CAMPOS

El Concepto de campo

Peso

m

Felec

q

NS

¿Qué hay en esas regiones del espacio que actúa sobre lo allí colocado?

¿Podemos detectarlo con nuestros sentidos?

¿Cómo se “genera” o “llena” dichas regiones del espacio con esas particularidades?

¿La causa, está dentro o fuera de dicha región?

¿Cómo se propagan o transmiten las influencias o acciones a distancia, sin contacto material?

¿Tendrán influencia a distancias muy grandes?

¿Cómo podríamos representarlas?

El Concepto de campo

• Se dice que existe un Campo Eléctrico en una región del espacio si una carga eléctrica colocada en un punto de esa región experimenta una fuerza eléctrica.

• Se dice que existe un Campo Gravitatorio en una región del espacio, si una masa colocada en un punto de esa región experimenta una fuerza gravitatoria.

2

Analogías Entre los CamposEléctrico y Gravitatorio

• Ambos Campos son centrales, ya que están dirigidos desde o hacia el punto donde se encuentra la masa o carga que los crea.

• La magnitud de la fuerza es :a) inversamente proporcional al cuadrado de la distancia.b) directamente proporcional a la masa o carga sobre la que actúa la fuerza.c) dependiente del medio

ó2r

qF∝

2rqkF =

2rmF∝

2rmkF '=

r 2 ¿por qué?

Líneas de fuerza

M’El campo gravitatorio generado por una masa puede representarse mediante el número de líneas de fuerza que “parten” del centro de masa de la misma.

La intensidad del campo en una región del espacio queda entonces representada por cuán “apretadas” se encuentren las líneas de fuerza. (M > M’)

Encerremos a una masa M dentro de dos hipotéticas superficies esféricas A y B, tal que RB = 2 RA

Las líneas de fuerza que atraviesan ambas superficies serán iguales en número, pero se las ve más espaciadas en la superficie B que en la superficie de A, ya que la superficie esférica de B es 4 veces mayor [sup = f( r2)]

Por consiguiente la intensidad del campo en un punto de la superficie B es cuatro veces menor que otro en A.

Líneas de fuerza

M

A B

Campos producidos por cargas aisladas

Una representación muy útil de estos campos se hace mediante el empleo de líneas.Estas líneas son tangentes al vector intensidad de campo eléctrico en cada punto del espacio.Dichas líneas son las llamadas “Líneas de fuerza”(M. Faraday siglo XIX)

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛

E( )E

3

El sentido de las líneas de fuerza resulta determinado por el signo de las cargas que producen el campo.

El número de líneas tiene relación directa con la magnitud de la carga.

El significado de la constante de proporcionalidad

• Si el campo es eléctrico, k = Q / 4πε , donde ε es una constante propia de cada medio y se llama “permitividad eléctrica” (en el vacío ε0).

• Q: es la carga que genera el campo.

• q: es la carga sobre la que actúa el campo creado por Q.

rrQq

41r

rq

4Q

22

rrr

πεπε==F 2

29

0 CmN109

41 ⋅

⋅=πε

2rqF∝ 2r

qkF =

La experimentación y los modelos son coherentes entre si. La dependencia de las interacciones eléctricas con el cuadrado de la distancia puede comprobarse con balanzas de torsión como la empleada por Charles Coulomb en 1785.

Didácticas balanzas de torsión permiten hoy repetir la experiencia en el laboratorio.

4

ALGUNOS VALORES

807,1x10-10Agua

6.7800060x10-12Vidrio

1,000548,85x10-12Aire

1,000008,85x10-12Vacío

κ = ε / ε0C2N-1m-2

Constante dieléctrica

Permitividad (ε)Sustancia

Para responder:

¿Cuál es la relación entre las magnitudes de las fuerzas con que interactúan dos cargas si se encuentran en el vacío o en el agua?

El significado de la constante de proporcionalidad

• Si el campo es gravitatorio k’ = - G M donde:G: es la constante de gravitación universal cuyo valor es 6,67.10 -11 N.m2/kg2

• M: es la masa que genera el campo.

• m: es la masa sobre la que actúa el campo producido por M.

rr

MmGF 2

rr−=2r

mF∝ 2rmkF '=

5

El significado del vector r

• El vector r es un vector unitario (versor).

• Su dirección es la de la recta que une los centros de las masas o cargas que interactúan.

• Su sentido es alejándose de la masa o carga que produce el campo.

• Las fuerzas de atracción resultan negativas.

• Las fuerzas de repulsión serán positivas.

r

r

La experimentación y modelos son coherentes entre si, la dependencia con el cuadrado de la distancia puede comprobarse con balanzas de torsión como la empleada por Henry Cavendish en 1798.

Un ejercicioEl valor de g (aceleración de la gravedad) es conocido por todos. Podemos calcularlo como una prueba de validez del modelo.

mgP y r

MmGFrr

MmGF ==⇒−= 22

rr

entonces : 2rGMg =

G = 6,67 x 10-11 Nm2/kg2

M = 6 x 1024 kgr = 6,37 x 106 m

g = 9,8 m/s2 !!!

(Históricamente se conocía g y se calculó M)

6

Intensidad de Campo Eléctrico

•Se define intensidad de campo eléctricoen un punto A, como la fuerza ejercida por el campo sobre la unidad de carga colocada en ese punto.

rrQr

qrqQ

qFE

AA

rrr

r22 4

141

πεπε=

⋅

⋅== Unidades de E: N / C

Qq

rA

ErA

Intensidad de campo Gravitatorio

•Se define la intensidad del campo gravitatorio en un punto B del espacio como la fuerza ejercida por el campo sobre la unidad de masa colocada en ese punto.

rrMGr

mrmMG

mFg

BB

rrr

r

22 −=⋅⋅

−== Unidades de g: N / kg = m /s2

MrB

m

g

rB

CAMPOS ELÉCTRICOS y GRAVITATORIOSen MEDIOS MATERIALES

• G es la constante de gravitación universal. No depende del medio en el cual se determine el Campo.

• ε es la constante de permitividad eléctrica. Su valor depende del medio en el cual se trabaja. Por lo tanto la constante k es diferente para cada medio en cuestión.

•El valor de ε se obtiene multiplicando la constante de permeabilidad eléctrica en el vacío (ε0 ) por la constante dieléctrica del medio (κ).•En el caso que el medio sea el vacío κ = 1 y:

2

29

0

1094

1CmN ⋅

⋅=πε

7

Otro ejemplo:

En el átomo de hidrógeno un electrón se encuentra alrededor del protón a una distancia promedio de 0,53 x 10-10 m. ¿Cuál es la relación entre las fuerzas eléctrica y gravitatoria que actúan entre las dos partículas?

mp = 1,672 x 10-27 kg

me = 9,109 x 10-31 kg

e- = -1,6 x 10-19 C

p+= +1,6 x 10-19 C

Solución

( )N,F

m,)C,(C,

CNm

rqq

F

e

epe

8

210

1919

2

29

20

102810530

106110611094

1

−

−

−−

⋅−=

⋅

⋅−⋅⋅⋅=

⋅=

πε

N,F)m,(

kg,kg,kgNm,

rmm

GF

g

epg

47

210

3127

2

211

2

106310530

101191067110676

−

−

−−−

⋅−=

⋅⋅⋅⋅

⋅−=⋅

−=

El signo menos solo significa que las fuerzas son de atracción.

391032 ⋅= ,FF

g

e

ENERGÍA POTENCIAL(Gravitatoria y Eléctrica)

• Energía Potencial en un punto A de un campo central es el trabajo realizado por la fuerza central al trasladar su punto de aplicación desde el infinito, donde se supone que la fuerza es nula, hasta dicho punto A.

AP r

1Qq41Eπε

=

A

A

rMmG

rQq

41

−

πεEléctrica

Gravitatoria

AAAA A rrrr r

P rqQ

rdrqQ

rdrqQrdr

rqQrdFE

∞∞∞∞ ∞⎥⎦⎤

⎢⎣⎡−⋅

−=⋅

−=−⋅

=⋅⋅

=⋅= ∫∫∫ ∫1

44441

222 πεπεπεπεrrrr

escalar

Producto escalar

O∞ArA

r

dr

8

VARIACIÓN de la ENERGÍA POTENCIAL entre dos puntos A y B

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−=⎥⎦

⎤⎢⎣⎡=∆

⋅⋅⋅

=⋅=∆ ∫ ∫

AB

r

rP

r

r

r

r2P

rr Qq

r QqE

rdrr

qQrdFE

B

A

B

A

B

A

114

114

1

41

πεπε

πεrrrr

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−−=∆

ABP r

1r1GMmE

Gravitatoria

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−

πε=∆

ABP r

1r1Qq

41E

Eléctrica

Otro ejercicio: Todos conocemos la ecuación que permite calcular la energía potencial de un cuerpo de masa mque se encuentra a una distancia h sobre la superficie de la Tierra.

•

h

m

dr

F

B

A

R

M

( )hRR)h(GMm

RhRGMmEP +

−−=⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛ −

+−=∆

11

Rhsi ⇒⟨⟨

( )R

h1hgm

hRRhRgmE

2

P +=

+=∆

:como gRGM

2 =

∆Ep = mgh !!!

( )hRRh

RGMmREp

+=∆ 2

2

POTENCIAL del CAMPO

Se llama potencial en un punto del campo al trabajo realizado por la fuerza central para trasladar la unidad de carga o de masa, desde el infinito, hasta el punto en cuestión.

POTENCIAL ELÉCTRICO:

rdrrQq

qrdF

qqWV

AA rrAA

rrrr⋅=⋅== ∫∫ ∞∞+ 24

111πε

A

r

A rQ

rdrQV

A

πεπε 41

41

2 =−

= ∫∞

• Unidades: Joule /Culombio =Voltio

AA r

Q41Vπε

=

9

EL POTENCIAL GRAVITATORIO

∫∫ ∫ ∞∞ ∞

−−=

⋅−=⋅==

AA A r

2

r r

2A

A rdrM.G

rrdr

mm.M.GrdF

mmWV

rrrr1

AA r

GMV −= Unidades: J / kg

• El potencial en un punto depende de la distancia del punto al generador del campo. Todos los puntos que equidistan del mismo tendrán igual potencial.• El potencial eléctrico puede ser positivo o negativo dependiendo de la carga Q que crea el campo.• El potencial gravitatorio es siempre negativo.

CARACTERÍSTICAS DEL POTENCIAL

¿Cómo representamos a los campos producidos por más de una carga?

En un punto del espacio que estébajo la influencia de más de una carga, sólo puede haber un único vector campo eléctrico resultante; como consecuencia, las líneas de fuerza nunca se cruzan.

10

¿Cómo podemos establecer en una región del espacio un campo eléctrico homogéneo? Empleando dos placas paralelas homogéneamente cargadas con cargas iguales de distinto signo.

Situaciones como esta serán planteadas cuando desarrollemos el tema de capacitores durante los teóricos, y el tema electroforesis en los TP.

Problema :Dadas las cargas q1 = 10 µC y q2 = -5 µC separadas por una distancia de 10 cm, hallar el valor en el punto A ubicado sobre la recta que une las cargas a 4 cm de la carga q1:a) de la intensidad del campo eléctrico.b) del potencial eléctrico.

q2Aq1

4 cm 6 cm

c) ¿Dónde se anula la intensidad del campo eléctrico?

d) ¿Dónde se anula el potencial eléctrico?

Solución

( ) ( )

CN,E

mC

mC

CNm

rq

rqE

A

A

7

22

6

22

6

2

29

22

221

1

0

10886

106105

1041010109

41

⋅=

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛

⋅

⋅+

⋅

⋅⋅=⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛+=

−

−

−

−

πε

a) intensidad del campo eléctrico

q2A

E2

E1

q1

11

Soluciónb) potencial eléctrico

( )

MV ,VV,VC

Joule,VC

Nm,V

mC

mC

CNm

rq

rqV

AAAA

A

51105110511051

106105

1041010109

41

666

2

6

2

6

2

29

2

2

1

1

0

=⇒⋅=⇒⋅=⇒⋅=

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛⋅⋅−

+⋅⋅

⋅=⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛+= −

−

−

−

πε

q2Aq1

Otro problema:

c

ba

40 nm30 nm

50 nm

Hallar el campo eléctrico en C producido por q1 = 10 µC,ubicada en a y q2 = - 30 µC, ubicada en b.

Solución

Ea = 1 x 1020 N/C

Eb = 1,7 x 1020 N/C

c

ba53º 37º

12

Solución:

53º

37º

Eax = Ea cos 53º

Eay = Ea sen 53ºEbx = Eb cos 37º

Eby = Ea sen 37º

Eax = 6,0 x 1019 N/C

Eay = 8,0 x 1019 N/C

Ebx = 1,4 x 1020 N/CEby = - 1,0 x 1020 N/C

Ex = 2,0 x 1020 N/C

Ey = - 0,2 x 1020 N/C

E = 2,0 x 1020 N/C

x

y

EE

tg =ϕ

ϕ = - 6º

22yx EEE +=

EEy

Ex

Con otra carga q3 = 20 µC ubicada en d, calcular la intensidad del campo eléctrico en d

c

ba

40 nm30 nm

50 nmd

13

DIFERENCIA DE POTENCIALENTRE DOS PUNTOS

Se llama diferencia de potencial entre dos puntos, A y B, de un campo al trabajo realizado para trasladar la unidad de carga positiva o de masa desde uno al otro punto.

∫ ⋅==−=B

A

r

rAB

ABAB rdFqq

WVVVrr1

∫∫−

=⋅=B

A

B

A

r

r

r

rAB rdrQrdr

rQq

qV 22 4

1411

πεπεrr

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−

πε=−=

ABABAB r

1r1Q

41VVV ∆V eléctrico

¿Qué relación hay entre el la intensidad de campo y el potencial eléctrico ?

PP dEdV.q

qdEdV =⇒=

campo el por hechoP dWdE −=

drdVcos.Ecos.rd.ErdE dV −=⇒−=⋅−= θθ

rrrr

Campo Eléctrico = - Función Gradiente de Potencial

VE −∇=

rdE.q dV.q rdF dV.qrrrr

⋅−=⇒⋅−=

A

E1 E2

E1 >E2

A

( ) θcosAEAE AdEFlujo =⋅=⋅=Φ ∫rrrr

A

AA

E1 E1 E1

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Ley de Gauss - Aplicaciones

Sea una esfera hueca, conductora y que posee una carga Q.¿Cuál es el valor de E en el interior de la esfera?

εεQdAE y Q

=⋅=Φ=Φ ∫

Sabemos que la carga se encuentra sobre la superficie.

Entonces si Q en el centro es cero, el flujo es cero y como el área es distinta de cero resulta E = 0 en el centro de la esfera conductora.

Ley de Gauss - Aplicaciones

La esfera es hueca, conductora y posee una carga Q. ¿Cuál es el valor de EA?

ε=π⇒

ε=

⋅=Φε

=Φ

∫

∫Qr4E QdAE

dAE yQ

2A

Ax

Qr

2A rQ

41Eπε

=Es como considerar que toda la carga se encuentra a la distancia r, es decir en el centro de la esfera conductora.

Otras aplicaciones de la ley de Gauss

1.- Cálculo de la intensidad del campo eléctrico producido por un largo conductor cargado eléctricamente.

2.- Cálculo de la intensidad del campo eléctrico en las cercanías de una lámina homogéneamente cargada eléctricamente.

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Repasamos...

QJ/C = VPOTENCIAL ELÉCTRICO

1/rQ.q

ESCALARJ

ENERGÍA POTENCIAL ELÉCTRICA

QN/CINTENSIDAD DE

CAMPO ELÉCTRICO

1/r2

Q.qVECTORIAL

NFUERZA ELÉCTRICA

DISTANCIACARGA

DEPENDENCIA CON:TIPO DE

MAGNITUDUNIDAD

Aplicaciones en los laboratorios

Circuitos eléctricos ElectroforesisEspectrometría de masaRadiación electromagnéticaMembranas biológicas

CAMPO ELÉCTRICO

Capacitanciay

Dieléctricos

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CONDENSADORES

Q = C.∆VC es la “capacidad”

C sólo depende de la geometríadel condensador:

Unidades de capacidad: [C] = FaradayFaraday = culombio/voltio

VQ...

VQ

VQ

2

2

1

1

∆==

∆=

∆∆V

+Q -Q

d

A AE

dAC

dA

qqC

AqE y

dEqC

0

0

0

ε=

⋅ε

=⇒ε

=⋅

=

si el medio es el vacío

EFECTOS DE UN DIELÉCTRICO

+

+

+

+

+

-

-

-

-

-

E0 entre placasκ

+

+

+

-

-

-

Eκ inducidoE resultante

κ

κEE0=

EFECTOS DE UN DIELÉCTRICO

κ

Q0 = C0 . V0C0 ; Q0

+ -

V0

Q0 = C1 . V1

V0 > V1

Entonces cambió C

1 siendo CC

0

1 ≥κ=κ

V1

C1 ; Q0

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ENERGÍA ALMACENADA EN UN CAPACITOR

Cuando se aplica una diferencia de potencial entre las placas de un condensador, se realiza un trabajo para transferir carga de una placa a la otra.

dqCqdqVdW =⋅∆=

CQ

21dq

CqW

2Q

0⋅== ∫

2VC21WU ∆⋅==

ENERGÍA ALMACENADA EN UN CAPACITOR

Llamaremos “u” a la energíapor unidad de volumen:

dA

VC21

u volumen

u2

U⋅

∆⋅⋅=⇒=

2

02

20

200

dV

21u

dV

21u

dAdVA

21u

dAC

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ ∆κε⋅=⇒

∆⋅κε⋅=

⋅⋅∆⋅κε

⋅=⇒κε

=

20E2

1u κε⋅=

CARGA DE UN CONDENSADOR

C

R

∆V

s

( )RCte1VCq −−∆⋅=0CqR

dtdqV =−−∆

10

20

30

40

50

60

70

80

90

100

0 20 40 60 80 100 120 140 160 180 200TIEMPO

% d

e C

AR

GA

18

Cátedra de Física - FFyB - UBA 52

Carga de un condensador

0,997521250,0024787516

0,993262050,0067379515

0,981684360,0183156414

0,950212930,0497870713

0,864664720,1353352812

0,632120560,3678794411

0110

q / Q = 1 - e –t / RCq / Q = e –t / RCq = QTiempo

carga de un condensador

0

0,2

0,4

0,6

0,8

1

0 1 2 3 4 5 6 7

tiempo (seg)

carg

a / c

arga

máx

ima

RC = 1s

( )( )

RCt

RCt

RCt

eQQqe1Qq

e1VCq

−

−

−

⋅−=

−⋅=

−∆⋅=

PROBLEMA 1

En un experimento similar a los famosos experimentos de dispersión de Rutherford que dieron origen al modelo planetario del átomo, se dispararon partículas alfa con una velocidad de 2.0 x 107 m/s hacia un núcleo de oro fijo desde una distancia muy alejada. ¿A quédistancia del núcleo de oro puede llegar la partícula alfa antes de que se invierta el sentido de su movimiento?

PROBLEMA 2

Un electrón penetra en el espacio entre dos placas conductoras paralelas a la mitad de la distancia que separa las placas, moviéndose con una rapidez v0. Se establece un campo eléctrico de intensidad E = 200 N/C entre las placas. Si la longitud de las placas es L = 0.100 m y el electrón entra a 0.5 cm de las placas, ¿cuál debe ser el mínimo valor de v0 para que el electrón salga de entre las placas?

19

MAGNETISMO

RESEÑA HISTÓRICA

• IMANES NATURALES• 1300 a. C. - Chinos• 800 a. C. – Griegos (magnetita)• 1000 – Usado en la navegación• 1269 – Pierre de Maricourt• 1600 – William Gillbert• 1750 – John Mitchell• 1819 – Hans Christian Öersted• 1820 – André Ampère• 1820 – Michael Faraday – Joseph Henry - James Clerk

Maxwell

MOVIMIENTO CIRCULARvM

vN∆v

o m

n

Rva

Rv

tsa

tva

Rvsv

Rs

vv

amF

2

ccc

c

=⇒⋅∆=⇒∆=

⋅∆=∆⇒∆=∆

⋅=

M

NvN

vM

O

∆s

๏ ๏ ๏ ๏

๏ ๏ ๏ ๏

๏ ๏ ๏ ๏

๏ ๏ ๏ ๏

20

MOVIMIENTO CIRCULAR

Radián: ángulo que subtiende un arco de longitud igual al radio

θπ

=α

2º360

RR

¿Cómo se expresa un ángulo en radianes?

Rarco del long.radianes) en (áng. =θ

MOVIMIENTO CIRCULARVelocidad tangencial t

arcov =

Velocidad angular t

θ=ϖ

Rv ⋅ϖ=

PROBLEMA 3

En un experimento diseñado para medir la intensidad de un campo magnético uniforme, se aceleran electrones desde el reposo a través de un ∆V= 350 V. Si en el campo magnético describen una circunferencia de radio 7.5 cm, ¿cuál es la magnitud B del campo?