Teora cuntica de campos

Dispersin de neutrones. La dispersin inelstica de neutrones en un cristal es el resultado de la interaccin de un neutrn lanzado contra los tomos en vibracin de la red cristalina. En teora cuntica de campos, el proceso se modeliza de manera ms sencilla al introducir los cuantos de las ondas sonoras del cristal, los fonones, entendindolo como la absorcin o emisin de un fonn por el neutrn.

Partculas y campos, clsicos y cunticos. Las nociones clsicas de partcula y campo comparadas con su contrapartida cuntica. Una partcula cuntica est deslocalizada: su posicin se reparte en una distribucin de probabilidad. Un campo cuntico es equivalente a un colectivo de partculas cunticas.La teora cuntica de campos es una disciplina de la fsica que aplica los principios de la mecnica cuntica a los sistemas clsicos de campos continuos, como por ejemplo el campo electromagntico. Una consecuencia inmediata de esta teora es que el comportamiento cuntico de un campo continuo es equivalente al de un sistema de partculasn 1 cuyo nmero no es constante, es decir, que pueden crearse o destruirse.1 Tambin se la denomina teora de campos cunticos, TCCn 2 o QFT, sigla en ingls de quantum field theory.Su principal aplicacin es la fsica de altas energas, donde se combina con los postulados de la relatividad especial. En este rgimen se usa para estudiar las partculas subatmicas y sus interacciones, y permite explicar fenmenos como la relacin entre espn y estadstica, la simetra CPT, la existencia de antimateria, etc.2Tambin es una herramienta habitual en el campo de la fsica de la materia condensada, donde se utiliza para describir las excitaciones colectivas de sistemas de muchas partculas y entender efectos fsicos tales como la superconductividad, la superfluidez o el efecto Hall cuntico.3En particular, la teora cuntica del campo electromagntico, conocida como electrodinmica cuntica, fue el primer ejemplo de teora cuntica de campos que se estudi y es la teora fsica probada experimentalmente con mayor precisin.4 Los fundamentos de la teora de campos cuntica fueron desarrollados entre las dcadas de 1920 y 1950 por Dirac, Fock, Pauli, Tomonaga, Schwinger, Feynman y Dyson, entre otros.ndice 1 Historia 2 Principios bsicos 2.1 Motivaciones y definicin 2.1.1 Limitaciones en la mecnica cuntica 2.1.2 Definicin 2.2 Segunda cuantizacin 2.2.1 Lmite continuo 2.2.2 Osciladores cunticos 2.2.3 Campo cuntico 2.3 Dinmica del campo cuntico 2.3.1 Campo cuntico libre 2.3.2 Fermiones 2.3.3 Espn y estadstica 2.3.4 Campo cuntico en interaccin 2.4 Enfoques alternativos 3 Aspectos clave 3.1 Diagramas de Feynman 3.2 Mtodos funcionales. Soluciones no perturbativas 3.3 Renormalizacin 3.4 Teoras gauge 3.5 Simetras. Ruptura espontnea y anomalas 3.5.1 Simetras discretas. CPT 4 Aplicaciones 4.1 Fsica de altas energas 4.2 Fsica de la materia condensada 5 Vase tambin 6 Notas y referencias 6.1 Notas 6.2 Referencias 7 Bibliografa 7.1 Bibliografa adicional en espaol 8 Enlaces externosHistoriaArtculo principal: Historia de la teora cuntica de campos

Richard Feynman, Shin'ichir Tomonaga y Julian Schwinger recibieron el premio Nobel de fsica en 1965 por el desarrollo de la electrodinmica cuntica.El desarrollo de la teora cuntica de campos ocurri simultneamente con el de la mecnica cuntica ordinaria, en un intento de explicar los fenmenos atmicos tomando tambin en cuenta las leyes de la teora de la relatividad.5 Entre 1926 y 1928 se desarrollaron los primeros intentos de encontrar una ecuacin de onda relativista que describiera el movimiento de una partcula cuntica, debidos a Erwin Schrdinger y a Paul Dirac. Sin embargo, dichas ecuaciones mostraban ciertas inconsistencias.Por otro lado, en 1926 Werner Heisenberg, Pascual Jordan y Max Born profundizaron en el estudio del problema del cuerpo negro: el comportamiento de la radiacin electromagntica dentro de una cavidad, en ausencia de partculas cargadas. Esto constituy el primer ejemplo de una teora cuntica de campos, en este caso aplicando las reglas de cuantizacin al campo electromagntico. En sus resultados, la radiacin se comportaba como un conjunto de partculas los fotones, en consonancia con la hiptesis de los cuantos de luz, formulada por Einstein en 1905. Tras este ejemplo, las mencionadas ecuaciones de onda relativistas se estudiaron de nuevo desde otro punto de vista. En lugar de interpretarlas como funciones de onda, se usaron las reglas de cuantizacin de un campo clsico para manipularlas. De este modo se obtuvieron ecuaciones para partculas cunticas respetando las leyes de la relatividad que s eran consistentes. Esta reinterpretacin, conocida como segunda cuantizacin, fue llevada a cabo por Heisenberg, Wolfgang Pauli, Vladimir Fock, Wendell Furry, Robert Oppenheimer y Victor Weisskopf.A pesar de sus xitos iniciales, la teora cuntica de campos tena problemas tericos muy serios. El clculo de muchas cantidades fsicas en apariencia ordinarias resultaba en un valor infinito, un resultado sin sentido. Un ejemplo de esto eran las pequeas diferencias entre algunos niveles de energa en el tomo de hidrgeno, la llamada estructura fina. Este problema de las divergencias fue resuelto durante las dcadas de 1930 y 1940 por Julian Schwinger, Freeman Dyson, Richard Feynman y Shin'ichiro Tomonaga entre otros, mediante una tcnica conocida como renormalizacin. Esta etapa culmin con el desarrollo de la moderna electrodinmica cuntica QED, por Quantum Electrodynamics. La tcnica de los diagramas de Feynman, un procedimiento grfico de clculo desarrollado por Richard Feynman, se convirti en una de las herramientas bsicas de la teora cuntica de campos.En la dcada de 1950 QED fue generalizada a una clase ms general de teoras conocidas como teoras gauge, comenzando con el trabajo de Chen Ning Yang y Robert Mills.6 A finales de la dcada de 1960, Sheldon Glashow, Abdus Salam y Steven Weinberg unificaron las interacciones electromagntica y dbil en la teora electrodbil una teora gauge mediante el concepto de ruptura espontnea de simetra, introducido originariamente para explicar la superconductividad.7Sin embargo, no fue hasta la dcada de 1970 que qued establecido el modelo estndar de la fsica de partculas. El modelo de unificacin electrodbil no recibi especial atencin hasta que, en 1971, Gerardus 't Hooft y Martinus Veltman demostraron que las teoras con simetras rotas espontneamente podan ser renormalizadas.8 Por otro lado, la intensidad de las interacciones fuertes entre hadrones fue un desafo para los tericos de campos hasta el desarrollo del concepto de la libertad asinttica por Frank Wilczek, David Gross y Hugh David Politzer en 1973.9Tambin durante la dcada de 1970, la teora cuntica de campos rompi los grilletes de los diagramas de Feynman, al descubrirse que las soluciones no perturbativas de las ecuaciones de los campos clsicos juegan un papel crucial a nivel cuntico.10 Adems, la actitud hacia la tcnica de la renormalizacin y hacia la teora cuntica de campos en general fue cambiando progresivamente, gracias a los avances de entre otros Kenneth Wilson en fsica de la materia condensada. La aparicin de los infinitos pas de ser considerada una patologa a simplemente un recordatorio de una limitacin prctica: no conocemos qu ocurre a distancias mucho ms pequeas que aquellas que podemos observar directamente.11Principios bsicosMotivaciones y definicinLimitaciones en la mecnica cunticaEn mecnica cuntica ordinaria, un conjunto de partculas se describe mediante una funcin de onda (r1, ..., rn), que recoge la probabilidad de encontrar a cada una de estas en un punto dado.n 3 Adems, la evolucin en el tiempo de esta funcin de onda est dictada por la ecuacin de Schrdinger:n 4 12(1)Sin embargo, este esquema no describe correctamente algunos aspectos presentes en ciertos sistemas fsicos:Creacin y destruccinDurante la evolucin de este sistema, el nmero de partculas se mantiene finito e invariable a saber, n. Sin embargo, en experimentos de altas energas es corriente que el nmero de partculas vare por ejemplo en la desintegracin de un neutrn, o la aniquilacin de un electrn y un positrn en fotones, como consecuencia de la famosa relacin masa-energa de la relatividad. Adems, en el contexto de fsica del estado slido, las excitaciones de un colectivo de tomos se reinterpretan como cuasipartculas, como el fonn,n 5 cuyo nmero es tambin variable.1 13Invariancia relativistaEsta ecuacin no refleja las propiedades de la cinemtica relativista. Su lmite clsico describe el movimiento de una partcula bajo las leyes de la mecnica galileana, en lugar de la mecnica relativista: el primer trmino de la izquierda en (1) se corresponde con la energa cintica no relativista p2/2m,14 en lugar de la expresin relativista (p2 + m2)1/2, donde p es el momento de la partcula.15Campo clsicoLas interacciones entre las n partculas del sistema tienen lugar mediante fuerzas a distancia, dadas por el potencial V. Sin embargo, en la fsica clsica existen sistemas ms generales, que no pueden entenderse mediante este esquema. Es por ejemplo el caso de un conjunto de cargas elctricas en movimiento: para describir su evolucin es necesario tener en cuenta de forma independiente tanto las partculas cargadas como el campo electromagntico que generan.14Es posible modificar la ecuacin de Schrdinger para obtener una versin consistente con los principios de la relatividad especial, como la ecuacin de Klein-Gordon o la ecuacin de Dirac. Sin embargo, estas tienen muchas propiedades insatisfactorias: por ejemplo, predicen la existencia de partculas con energa negativa, de modo que el sistema resulta ser inestable.16 Estos defectos son debidos a que dichas ecuaciones tampoco contemplan la posibilidad de que las partculas puedan crearse o destruirse y, como se menciona en el primer epgrafe, es inconsistente suponer una teora relativista con un nmero constante de partculas en interaccin.1 13DefinicinUna teora cuntica de campos es el resultado de aplicar las reglas de cuantizacin al sistema de una teora clsica de campos.17 Esto permite estudiar los aspectos cunticos de los campos continuos, como el campo electromagntico. Adems, la cuantizacin de un campo presenta aspectos singulares: las reglas de cuantizacin aplicadas a un campo continuo revelan que sus posibles estados se corresponden con los de un colectivo de partculas idnticas que pueden crearse y destruirse. Por ltimo, en el caso particular de que la ecuacin del campo clsico respete la teora de la relatividad, el sistema cuntico obtenido hereda esta propiedad. De este modo, la cuantizacin de un campo clsico sirve para cubrir los diversos aspectos que una teora cuntica ordinaria no describe correctamete.Segunda cuantizacinArtculo principal: Segunda cuantizacin

Lmite continuo. En la aproximacin de lmite continuo, una cadena de tomos en vibracin se modeliza mediante un campo continuo (x).

Modos normales. Los modos normales de un sistema fsico son sus vibraciones colectivas ms simples, como las de esta membrana elstica.

Segunda cuantizacin. Un sistema de dos osciladores cunticos es equivalente a un sistema con un nmero variable de partculas de dos clases. (Ms informacin)El proceso de aplicar las reglas de cuantizacin a un campo e identificar sus posibles estados cunticos con los de un colectivo de partculas se denomina segunda cuantizacin.n 6 18Lmite continuoVase tambin: Mecnica de medios continuosEn mecnica clsica, un campo continuo es equivalente a un conjunto de mltiples osciladores acoplados entre si. El ejemplo habitual para entender esta equivalencia es un slido elstico. Este sistema puede describirse macroscpicamente mediante, por ejemplo, la densidad o la tensin en cada punto del mismo; cantidades que se representan mediante campos continuos. Por otro lado, tambin es posible describir el slido como una red de partculas que ejercen fuerzas elsticas entre s como si estuvieran unidas por muelles imaginarios, lo que conforma un sistema de osciladores acoplados. La primera descripcin el campo y sus ecuaciones es una aproximacin de la segunda los osciladores cuando se considera la separacin media entre partculas muy pequea, o dicho de otro modo, en el lmite continuo.19Esta equivalencia tambin se refleja en la evolucin en el tiempo de estos sistemas. Visto como un conjunto de osciladores acoplados, las vibraciones (clsicas) de los tomos en el slido son una superposicin de sus modos normales: sus vibraciones colectivas elementales, o armnicos. Visto como un continuo de materia, las ondas de por ejemplo la densidad del slido son una superposicin de ondas planas, las ondas ms simples. Cada modo normal o armnico del conjunto de osciladores se corresponde con una cierta onda plana del campo en el lmite continuo.Osciladores acopladosLmite continuoCampo continuo

Dinmica entrminos de:Dinmica entrminos de:

Modos normalesLmite continuoOndas planas

Existen campos clsicos que no se corresponden con el lmite clsico de ningn sistema mecnico, como por ejemplo el campo electromagntico. Sin embargo, la analoga matemtica de sus ecuaciones con las de un sistema de osciladores abstractos sigue siendo vlida.20Osciladores cunticosVase tambin: Oscilador armnico cunticoLa energa de un oscilador armnico cuntico est cuantizada, de modo que slo puede ser un mltiplo de su frecuencia :n 7

donde es la constante reducida de Planck y N = 0, 1, 2, ... es un nmero entero no negativo. En un sistema de osciladores cunticos acoplados la energa tambin es discreta, y es la suma de la energa de cada modo normal, visto como un oscilador independiente:(2)donde cada modo i es la frecuencia de un modo normal y cada Nmodo i = 0, 1, 2, ... el nivel de excitacin de dicho modo.Sin embargo, estos valores son muy parecidos a los de un sistema de mltiples partculas repartidas por diversos niveles de energa E1, E2, etc. En este caso:

Estas dos expresiones para la energa son equivalentes, cuando se identifica cada nivel de energa con un modo normal y su frecuencia, modo i = Enivel i; y la cantidad de partculas en un cierto nivel con el nivel de excitacin del correspondiente modo normal, Nnivel i = Nmodo i. Por ejemplo, si Nmodo 5 = 2, el oscilador correspondiente al modo 5 est en su 2 nivel de excitacin, y tiene la misma energa que un sistema de dos partculas, cada una de ellas con energa Enivel 5 = modo 5. Esta igualdad no se limita a una coincidencia en el valor de la energa: el comportamiento de ambos sistemas es muy parecido. Por lo tanto las propiedades fsicas de un conjunto de osciladores cunticos acoplados son iguales a las de un sistema de partculas cunticas de nmero variable.Campo cunticoUn campo cuntico puede entenderse como el lmite continuo de un conjunto de osciladores cunticos acoplados. La energa de estos est dada por la ecuacin (2), por lo que la energa del campo tiene una forma anloga, haciendo referencia a las ondas planas del campo en lugar de a los modos normales. Por lo tanto, un campo cuntico constituye un sistema equivalente al de un conjunto de partculas de nmero variable.21Osciladores acopladosLmite continuoCampo continuo

se cuantiza en

se cuantiza en

Osc. cunticos acopladosLmite continuoCampo cuntico

Dinmica del campo cunticoCampo cuntico libreVase tambin: Espacio de FockLa analoga entre osciladores y campo de la segunda cuantizacin se aplica directamente en el proceso de cuantizacin de un campo libre, aquel cuyas ecuaciones de campo son lineales. La equivalencia con un sistema de osciladores armnicos acoplados es exacta, y la energa del campo viene dada por la ecuacin (2): es la suma de la energa de cada partcula individual. Puesto que no hay contribuciones adicionales, las partculas son libres y no interaccionan entre s, de ah el nombre de campo libre.22 Como consecuencia de la ausencia de interaccin, el nmero de dichas partculas permanece constante.23 n 8El estado de un campo cuntico se describe de manera habitual utilizando nmeros de ocupacin: el nmero de partculas en cada nivel de energa posible.24 Por ejemplo: una partcula en el 1.er nivel, cero en el 2., dos en el 3., etc. Al estado sin ninguna partcula, en el que todos los niveles de energa estn desocupados, se le denomina el vaco.25Un aspecto importante de estas partculas es que son indistinguibles. Por ejemplo, si el estado del sistema consiste en una partcula en el 1.er nivel de energa y otra en el 2., intercambiarlas entre s no da lugar a un estado distinto: se sigue teniendo una partcula en el nivel 1 y otra en el 2. Adems, la analoga entre osciladores y campo conlleva que el nmero de ocupacin de un cierto nivel de energa puede ser arbitrariamente alto, en particular mayor que 1. Esto significa que las partculas que surgen de la cuantizacin del campo son bosones.26 La cuantizacin de un campo libre para obtener fermiones (u otros tipos de campos ms complicados) requiere ciertas modificaciones en el mtodo de segunda cuantizacin, pero el proceso y los resultados bsicos son los mismos.n 9FermionesExisten multitud de partculas llamadas fermiones como el electrn y el protn que respetan el principio de exclusin de Pauli, de modo que sus nmeros de ocupacin solo pueden valer 0 o 1. El formalismo de segunda cuantizacin basado en la analoga bsica entre osciladores y campo no impone este lmite y no es capaz de describir un conjunto de fermiones.24El origen de la estadstica bosnica de las excitaciones del campo puede rastrearse hasta las reglas de cuantizacin utilizadas para este. Existen unas leyes de conmutacin cannicas propias de todo sistema cuntico, que especifican el comportamiento del operador campo y su momento conjugado (r). Estas implican que sus estados cunticos son simtricos y corresponden a bosones. Puesto que los estados de mltiples fermiones deberan ser antisimtricos, para obtener un sistema de fermiones cuantizando un campo , se imponen reglas con el signo incorrecto, es decir, de anti-conmutacin. La eleccin de este signo y con l, la estadstica de las partculas resultantes no es arbitraria, sino que existe una relacin entre el espn y la estadstica.Espn y estadsticaVase tambin: Teorema espn-estadsticaLa teora de campos concreta que es cuantizada determina las propiedades de las partculas que aparecen como sus modos normales. En particular, el tipo de campo determina el espn de las mismas. Algunos ejemplos son:27 Un campo escalar que obedece la ecuacin de Klein-Gordon resulta en una teora de bosones de espn 0, como ciertos mesones. Un campo espinorial que obedece la ecuacin de Dirac resulta en una teora de fermiones de espn 1/2, como los electrones o los protones. Las ecuaciones del campo electromagntico un campo vectorial producen una teora de bosones de espn 1, los fotones.Estas teoras de campos son relativistas: sus ecuaciones correspondientes respetan la simetra Lorentz. Las partculas que aparecen en la versin cuntica de dichas teoras tambin lo son: se rigen por la cinemtica relativista. De este modo, una teora cuntica de campos es capaz de describir la dinmica de partculas cunticas de acuerdo con la relatividad especial. Una teora cuntica de campos tambin puede ser no relativista: es el caso por ejemplo de la ecuacin del campo sonoro, que resulta en la teora de los fonones.Estos ejemplos respetan la relacin emprica que existe entre el espn y la estadstica de las partculas: el espn de un bosn fermin toma siempre valores enteros semienteros. Si se intenta la cuantizacin de un campo escogiendo la estadstica contraria por ejemplo cuantizando el campo escalar con reglas de anticonmutacin, intentando obtener fermiones; o viceversa para el campo espinorial se obtienen resultados fsicamente inconsistentes.28 Puede probarse que esto es general: en teora cuntica de campos esta relacin entre espn y estadstica se demuestra como consecuencia directa de la unin entre mecnica cuntica y relatividad especial, el llamado teorema espn-estadstica.29Algunas de estas teoras de campos fueron investigadas inicialmente como ecuaciones de Schrdinger relativistas para un cuerpo, sin xito. Esto motiv el nombre de segunda cuantizacin: los campos a los que se aplicaban las reglas de cuantizacin eran funciones de onda, obtenidas a su vez de aplicar esas reglas a una partcula puntual.30Campo cuntico en interaccinSi la teora de campos que se cuantiza es no lineal, las partculas que se obtienen interaccionan entre s. En estas teoras las ecuaciones del campo son no lineales, involucrando productos de campos. De otro modo, la energa del sistema, representada por el operador hamiltoniano,n 10 presenta un trmino de interaccin similar a un potencial V no cuadrtico: involucra productos de tres o ms campos.31 La gran mayora de las teoras con inters para la fsica incluyen trminos de interaccin. La expresin siguiente para Hint (el potencial o hamiltoniano de interaccin) proporciona diversos ejemplos:

La interaccin de Yukawa describe las fuerzas entre nucleones neutrones y protones, campo mediadas por mesones (piones de hecho, campo ).32 El trmino de interaccin es proporcional a . El campo de Higgs media entre todas las partculas elementales masivas del modelo estndar. Viene representado por y un bosn de espn 0 asociado. Los propios bosones de Higgs interaccionan entre s, con un trmino dado por 4. La electrodinmica cuntica es la teora cuntica que describe la interaccin entre radiacin fotones, campo A y fermiones cargados como electrones o quarks, descritos por un campo espinorial . El trmino de interaccin es de la forma A.Acompaando a cada producto de campos, hay una constante numrica, llamada constante de acoplo, que calibra lo intensa que es la interaccin.33 Por ejemplo, en el tercer trmino, e es la carga elctrica del electrn.32 En general no se conoce como calcular cantidades fsicas como probabilidades de colisin en un experimento de altas energas de manera exacta en presencia de estos trminos de interaccin, lo que requiere aproximar el resultado de manera perturbativa.34En una teora de campos en interaccin el nmero de partculas puede variar, lo que permite describir sistemas en los que el nmero de partculas presentes no es constante. Esto es debido a la presencia de los trminos no cuadrticos: necesariamente contienen productos de operadores destruccin y creacin en un nmero descompensado.35 Otra consecuencia de la interaccin entre campos cunticos es la existencia de las antipartculas: si las partculas de un cierto sistema interaccionan entre s y poseen alguna carga cuyo valor se conserva como la carga elctrica o la carga de color, para poder describirlo mediante una teora cuntica de campos relativista es necesario asumir la presencia de una copia para cada partcula, con idntica masa pero carga opuesta.36Enfoques alternativosVanse tambin: Teora cuntica de campos axiomtica y Teora cuntica de campos en espacio-tiempo curvo.La descripcin de la teora cuntica de campos como la cuantizacin cannica de un campo y la subsecuente asociacin a un sistema de partculas de nmero indeterminado es uno de los enfoques mayoritarios para definirla. Sin embargo existen otras maneras de presentar y estudiar la teora. El formalismo de la integral de caminos es equivalente a la cuantizacin cannica, y puede tomarse como postulado inicial.37 Otra posibilidad, en el contexto de la fsica de altas energas, es derivar las leyes ms generales posibles que anen mecnica cuntica y relatividad especial, para describir el comportamiento de las partculas subatmicas. Estas leyes necesariamente toman la forma de una teora cuntica de campos.38 Ambas posibilidades son complementarias en cuanto a lo que consideran inicialmente ms fundamental: el campo o las partculas.Desde un punto de vista matemtico, la teora cuntica de campos no posee el mismo nivel de rigor que la mecnica cuntica ms elemental. Esto ha motivado el inters de estudiarla con un enfoque formal o axiomtico, intentando encontrar estructuras matemticas completamente rigurosas que capturen sus caractersticas principales.39 El caso particular del campo de Yang-Mills constituye el enunciado de uno de los problemas del milenio.Existen tambin generalizaciones de la teora cuntica de campos en distintos contextos. La teora de campos a temperatura finita describe procesos termodinmicos con creacin y destruccin de partculas, e incorpora modificaciones similares a las de la fsica estadstica cuntica. La teora cuntica de campos en espacio-tiempo curvo es el formalismo necesario para describir el campo cuntico en presencia de gravedad.Aspectos claveDiagramas de FeynmanArtculo principal: Diagramas de FeynmanLos experimentos de fsica de altas energas involucran habitualmente colisiones de partculas a altas velocidades.40 La teora cuntica de campos permite calcular los detalles de dichas colisiones, a partir de la probabilidadn 11 M de que estas ocurran:

Esta expresin relaciona la probabilidad de encontrar las partculas tras la colisin, partiendo de las partculas ,n 12 en trminos de S, la llamada matriz de scattering: un operador que recoge la evolucin del sistema durante el experimento. Este operador puede obtenerse mediante un desarrollo perturbativo, en trminos del hamiltoniano de interaccin:41,donde se ha escrito explcitamente la constante de acoplo g. Este desarrollo supone que la interaccin es dbil o pequea, frente a la probabilidad de no interaccin.Los diagramas o reglas de Feynman son una tcnica para calcular dicha probabilidad de manera grfica. Estos diagramas representan todos las posibles versiones subyacentes a un proceso dado: las partculas en interaccin emiten o absorben un cierto nmero de partculas virtuales, que median las fuerzas entre ellas. Estos procesos virtuales ocurren debido a la incertidumbre inherente a una teora cuntica. La energa necesaria para la aparicin de estas partculas virtuales proviene de la relacin de incertidumbre entre energa y tiempo:,de modo que estas existen por muy poco tiempo. En realidad, las partculas virtuales son slo una abstraccin y no pueden detectarse. El proceso fsico real la colisin se entiende como una suma de todos estos procesos virtuales.42 Por ejemplo, en el estudio de la dispersin Compton de un electrn por un fotn en electrodinmica cuntica QED, la amplitud cuntica viene dada por:(3)En estos diagramas, las lneas curvadas son fotones y las lneas rectas, electrones. El estado inicial y final son las lneas externas, iguales en todos los diagramas, puesto que todos corresponden al mismo experimento. La propagacin de partculas se representa mediante lneas internas, y la emisin o absorcin de un fotn por un electrn mediante vrtices. Utilizando estos elementos, pueden escribirse todos los infinitos diagramas que contribuyen a este experimento.La exactitud del clculo aumenta con el nmero de vrtices, que es igual a la potencia de la constante de acoplo en el desarrollo perturbativo. As, los dos primeros diagramas del miembro derecho son proporcionales a e2 y el siguiente, a e4, donde e, la carga del electrn, es la constante de acoplo en QED. Las distintas versiones de la dispersin Compton pueden leerse cronolgicamente en cada diagrama del miembro derecho de izquierda a derecha: en el primer diagrama, el electrn absorbe el fotn incidente y ms tarde emite el fotn saliente; en el segundo, el electrn emite el fotn final y ms tarde absorbe el fotn inicial; etc.Los diagramas de Feynman son ms que una tcnica de clculo, sino que constituyen la piedra angular de la fsica de partculas.43 Se consideran tan o ms relevantes incluso que la propia teora cuntica de campos de la que surgen, pues en ellos se reflejan los principios fsicos subyacentes ms importantes, y son la herramienta bsica para analizar las colisiones relativistas.44 Sin embargo, existen numerosos fenmenos en teora cuntica de campos que no pueden ser analizados como una perturbacin, como el confinamiento en QCD, o las soluciones no perturbativas.Mtodos funcionales. Soluciones no perturbativasVase tambin: Integral de caminos (mecnica cuntica)El formalismo de integral de caminos de la mecnica cuntica es un conjunto de reglas de cuantizacin alternativo que ofrece los mismos resultados que la cuantizacin cannica ordinaria. En este formalismo, todas las posibles trayectorias clsicas contribuyen a las amplitudes cunticas:(4)En esta expresin, x t|x' t' es la probabilidadn 11 de que la partcula se propague de x a x' entre los instantes t y t'; es una posible trayectoria entre dichos puntos del espacio-tiempo; y S[] es la accin de la partcula, un funcional de la trayectoria que determina las ecuaciones de movimiento clsicas.45 En teora cuntica de campos en particular, el formalismo de integral de caminos se usa habitualmente, permitiendo calcular la probabilidad de un proceso como una suma de las contribuciones de cada posible configuracin del campo clsico.n 13 La integral de caminos ofrece una serie de ventajas a la hora de obtener las reglas de Feynman y analizar las simetras del sistema de forma directa, as como para aprovechar las analogas de la teora cuntica de campos con la fsica estadstica. Adems, resulta indispensable para el anlisis de las soluciones no perturbativas de la misma.46El desarrollo perturbativo utilizado en las teoras de campos en interaccin por ejemplo, a la hora de calcular diagramas de Feynman se basa en corregir las soluciones ms triviales, las ondas planas de un campo libre, considerando los trminos de interaccin como una perturbacin pequea comparada con estas. Sin embargo, en algunas teoras existen soluciones no perturbativas: soluciones de las ecuaciones de campo en las que las correcciones de la interaccin no son pequeas, y que no pueden ser aproximadas a travs del citado desarrollo perturbativo. Todas las configuraciones clsicas del campo contribuyen a las amplitudes cunticas, como se deduce de (7), luego dichas soluciones se han de tener en consideracin.46 Existen muchas clases de soluciones no perturbativas con diferentes efectos fsicos:47 Los solitones u ondas solitarias son soluciones de ecuaciones de ondas no lineales que se propagan sin alterar su forma. Una teora de campos con soluciones solitnicas presenta dos tipos de partculas al ser cuantizada: aquellas asociadas con sus modos normales las mencionadas soluciones triviales corregidas; y aquellas asociadas a las soluciones solitnicas, cuyas masas en general dependen de manera no analtica de las masas y constantes de acoplo del campo, como por ejemplo MS = m / g.48 Esto implica en particular que en el rgimen de interaccin dbil g pequeo la masa del solitn es grande comparada con la de las partculas ordinarias ya que 1 / g es grande. Los instantones son soluciones de la versin eucldea de unas ecuaciones de campo dadas en las que la variable tiempo se sustituye por una coordenada espacial adicional localizadas alrededor de un punto. Vistas desde el punto de vista de la teora original dichas soluciones estn concentradas alrededor de un evento un punto del espacio-tiempo, de ah su nombre. Los instantones son responsables de multitud de efectos como ciertas anomalas axiales, confinamiento en algunos modelos sencillos o la (ausente) violacin de CP en la cromodinmica cuntica.

Polarizacin del vaco. La presencia de una carga elctrica desnuda (divergente) polariza el vaco, con lo que los pares virtuales partcula-antipartcula la apantallan, resultando en una carga fsica finita.49

Modelo de Ising. La renormalizacin permite examinar sistemas fsicos a distintas escalas de energa. En la imagen, los distintos dipolos en el modelo de Ising pueden agruparse de manera efectiva en bloques, que interaccionan entre s en una versin renormalizada del sistema inicial.Otros ejemplos incluyen monopolos magnticos, vortex lines, domain walls, skyrmiones, etc.RenormalizacinArtculo principal: RenormalizacinEn las aplicaciones tempranas de la teora cuntica de campos se constat que al utilizarla para calcular ciertas cantidades arroja un valor infinito. Este resultado aparece a menudo al aumentar la precisin de un clculo cualquiera, ms all del orden ms bajo de aproximacin en la serie perturbativa.50 Por ejemplo, el tercer diagrama de la dispersin Compton, mostrado en (3), es divergente: su valor es infinito.51La renormalizacin es un mtodo que se desarroll para extraer de estas divergencias las cantidades finitas susceptibles de medirse experimentalmente. La solucin del problema pasa por reconocer que en los clculos perturbativos se extrapola la teora a distancias arbitrariamente cortas o equivalentemente, a energas arbitrariamente altas,n 14 de ah el nombre de divergencias ultravioletas. Por ejemplo, el tercer diagrama de la dispersin Compton en (3) contiene una parte denominada la auto-energa del electrn , dada por:

en la que un fotn virtual es emitido y reabsorbido por un electrn. Sumar sobre todas las versiones virtuales de la dispersin Compton implica sumar la contribucin de cada diagrama pero adems, en este en particular, sumar sobre todos los posibles valores de energa y momento del fotn virtual, mediante la expresin:(5),que es divergente.51 Al identificar dicha extrapolacin como la fuente del resultado infinito, se puede examinar qu parte del mismo corresponde verdaderamente a la cantidad fsica, cuyo valor es necesariamente finito. En particular los infinitos desaparecen al considerar que deben absorberse en los parmetros de la teora.En el ejemplo de la auto-energa , el proceso es el siguiente. Primero, se pasa a utilizar una teora regularizada, una versin inexacta de la teora original pero libre de divergencias, cuyos resultados solo pueden ser una aproximacin. En esta teora regularizada se hace patente que las constantes m0 y e0 de la ecuacin (5), la masa y la carga del campo, no se corresponden con la masa y la carga del electrn. Es decir, la presencia de la interaccin establece una diferencia entre los parmetros fsicos de las partculas y los parmetros del campo denominados desnudos utilizados en los clculos. Establecida la relacin entre ellos, puede reescribirse la frmula (5) en trminos de los verdaderos parmetros fsicos, y se comprueba entonces que es finita.52Este proceso posee adems cierta ambigedad. La sustraccin de dos cantidades divergentes para obtener una diferencia finita no determina por completo esta ltima, sino que depende de la definicin de los parmetros fsicos que se adopte. Para ello existe ms de un criterio posible, como por ejemplo expresar los resultados en funcin no de la carga elctrica e, sino de la carga efectiva a una energa dada, e(E). Estos parmetros alternativos son constantes mviles,n 15 es decir que varan con la energa y ofrecen ciertas ventajas a la hora de realizar clculos en distintas escalas de energa.Esta tcnica, llamada grupo de renormalizacin,n 16 no slo es de utilidad prctica, sino que aporta una visin nueva del papel de las divergencias y de la teora de campos en general. As, la renormalizacin puede ser entendida como el proceso de aislar los grados de libertad relevantes para un proceso fsico, ignorando contribuciones demasiado remotas en energa.53El proceso de absober los infinitos en los parmetros de una teora no puede llevarse a cabo siempre. Las teoras para las que esto s es posible son llamadas renormalizables, como por ejemplo las interacciones del modelo estndar. La interaccin gravitatoria, sin embargo, es un ejemplo de teora no renormalizable: para reabsorber todos sus infinitos hace falta considerar un nmero infinito de parmetros. Las teoras no renormalizables tienen menos poder de prediccin, pero aun as se utilizan a menudo como teoras efectivas.54Teoras gauge

Cromodinmica cuntica como teora gauge. Cada tipo de quark (u o d en la imagen) posee tres copias de distinto color. Los gluones actan como bosn intermediario entre partculas con color (como un fotn entre partculas con carga elctrica).Artculo principal: Teora gaugeUna teora gauge es una teora cuntica de campos con una cierta estructura que mimetiza la de la electrodinmica cuntica (o QED). QED es la versin cuntica de la electrodinmica clsica, que describe la interaccin entre cargas elctricas y radiacin. En QED, las cargas elctricas interaccionan mediante el intercambio de fotones, los cuantos del campo electromagntico.Las ecuaciones clsicas de la electrodinmica poseen una propiedad denominada invariancia gauge,n 17 de forma que de cada solucin para el potencial electromagntico A se puede obtener otra, A + , sin ms que aadir el gradiente de una funcin arbitraria del espacio y el tiempo, (t,x). Sin embargo todos estos potenciales distintos corresponden a un nico campo electromagntico. A esta propiedad se la denomina simetra local, ya que la transformacin de las soluciones vara segn el punto del espacio-tiempo, es decir, segn el valor de , y es indispensable a la hora de aplicar las reglas de cuantizacin de forma consistente y obtener QED.55Una teora gauge no abeliana es una versin ms general de QED. En ellas, las partculas poseen mltiples cargas que, como la carga elctrica, se mantienen constantes. Estas partculas cargadas interaccionan entre s mediante el intercambio de varios bosones gauge intermediarios parecidos al fotn. Sin embargo, en el caso no abeliano, los bosones intermediarios tambin poseen carga e interaccionan entre s, a diferencia del caso de QED, donde el fotn no est cargado elctricamente y no interacciona consigo mismo. Los bosones gauge son no masivos en general, aunque el fenmeno de ruptura espontnea de simetra puede dotarlos de masa. Las teoras gauge no abelianas se obtienen cuantizando las ecuaciones de un campo de Yang-Mills Aa.n 18 Estas son similares a las del campo electromagntico, aunque ms complejas son no lineales, y tambin tienen una propiedad de invariancia gauge parecida a la de las ecuaciones de Maxwell. Un ejemplo de teora gauge no abeliana es la cromodinmica cuntica (vase imagen).Las teoras gauge son una parte esencial de la formulacin del modelo estndar de las partculas fundamentales, que es precisamente una teora gauge basada en tres grupos de simetra. A nivel cuntico poseen rasgos nicos que las hacen interesantes, como el confinamiento y la libertad asinttica en algunos casos, o la ausencia de bosones de Goldstone en una ruptura espontnea de simetra. La relatividad general puede ser entendida tambin como una teora gauge, asociada a la conservacin de la energa y el momento.Simetras. Ruptura espontnea y anomalas

Simetras aproximadas. Suponiendo que las masas de los tres quarks u, d y s son iguales, existe una simetra de sabor que clasifica (entre otros) los bariones ligeros el protn, el neutrn y otros, como el de acuerdo al diagrama superior. Dichos quarks tienen masas diferentes, luego la simetra no es perfecta: estos bariones respetan dicha clasificacin pero presentan tambin diferencias de masa.

Anomalas. La simetra aproximada mencionada arriba impide la desintegracin de un pion en fotones. Como es slo aproximada, se esperaba que la desintegracin de hecho tuviera lugar, aunque lentamente; y sin embargo en los aos 60 se constat que ocurra 1000 veces ms rpido de lo previsto. Esto condujo al descubrimiento de las anomalas, pues la simetra aproximada que prohbe este proceso en realidad no existe a nivel cuntico.56Artculos principales: Ruptura espontnea de simetra y Anomala (fsica).Las simetras tienen un papel fundamental en la fsica. Si las ecuaciones de movimiento de un sistema son invariantes bajo un cierto grupo de transformaciones, una consecuencia general es la existencia de cantidades conservadas. En teora cuntica de campos las simetras son tambin una herramienta crucial. En una teora relativista, la invariancia Lorentz determina las posibles especies de partculas en funcin de su masa y espn. Las simetras bajo transformaciones internas tales como un cambio de fase o una transformacin unitaria de los campos, implican la conservacin de cantidades como la carga elctrica, el isoespn, la carga de color, etc. Incluso cuando una simetra no es exacta las ecuaciones s cambian bajo sus transformaciones, puede ser til asumirla como cierta dentro de cierto rango de aproximacin adecuado, si con eso se consigue un entendimiento cualitativo de algn fenmeno.57 Es el caso por ejemplo de la conservacin del sabor en las colisiones a altas energas. Adems de simetras exactas y aproximadas, pueden darse otras dos posibilidades de inters: ruptura espontnea de simetra y anomalas.El fenmeno de la ruptura espontnea de simetran 19 es comn a todos los sistemas cunticos con infinitos grados de libertad, como la teora cuntica de campos.58 Una simetra espontneamente rota es aquella que, siendo exacta, no muestra efectos evidentes, puesto que los estados de mnima energa del sistema no son invariantes bajo dicha simetra. Su presencia se manifiesta indirectamente por la aparicin de unas partculas conocidas como bosones de Goldstone; o por la presencia de bosones gauge masivos, si la simetra involucrada es una simetra local, es decir, asociada con una teora gauge. Un ejemplo comn de ruptura espontnea de simetra se da en un material ferromagntico: por debajo de cierta temperatura, el vector de magnetizacin del material apunta en una determinada direccin en el espacio. Aunque las leyes fsicas involucradas son invariantes bajo rotaciones, en el estado de mnima energa la magnetizacin de cada dominio magntico apunta en una misma direccin. En este sistema se producen excitaciones colectivas conocidas como magnones u ondas de espn, que se corresponden con los bosones de Goldstone de la simetra espontneamente rota.59 La ruptura espontnea de simetra tiene un papel crucial en el modelo estndar de la fsica de partculas, a travs del mecanismo de Higgs, un elemento de dicho modelo. La fuerza electrodbil parece explicarse con facilidad mediante una teora gauge, cuya simetra correspondiente prohbe que las partculas con carga dbil posean masa, cuando de hecho la tienen. Estas masas no nulas son anlogas a la direccin de la magnetizacin de un material ferromagntico en cuanto a que corresponden al valor del campo de Higgs a baja energa. En particular, los bosones W y Z0, intermediarios de la interaccin dbil, son tambin masivos.Las anomalas son violaciones de una simetra en un sistema cuntico obtenido a partir de un sistema clsico que s posea esta simetra. Son muy frecuentes en las teoras cunticas de campos pues, como parte del proceso de renormalizacin, estas han de ser regularizadas para lidiar con sus resultados infinitos. Este paso intermedio en general viola las simetras de la teora, y no siempre es posible restablecerlas en la teora renormalizada.60 La llamada anomala conforme ocurre de forma habitual,61 en teoras que clsicamente son invariantes bajo dilataciones; es decir, cuyo comportamiento es el mismo independientemente de las distancias fsicas involucradas, o de las energas.n 14 En general esta simetra no permanece en la teora cuntica, donde la intensidad de las fuerzas vara con la energa. La anomala denominada axial est relacionada con los nmeros cunticos conservados en el sistema. Por ejemplo, en la versin clsica del modelo estndar, tanto el nmero leptnico como el nmero barinico son cargas conservadas.n 20 Sin embargo, se demuestra que existen fenmenos no perturbativos que permiten una variacin de ambos nmeros.62Las anomalas pueden representar una inconsistencia en la teora si afectan a una simetra gauge, dado que estas son fundamentales para eliminar grados de libertad no fsicos del sistema.60Simetras discretas. CPTArtculo principal: Simetra CPTAlgunas simetras discretas tienen un papel especial en teora cuntica de campos, en particular en el contexto de la fsica de partculas, debido al descubrimiento de que algunas interacciones fundamentales no respetan la paridad ni la conjugacin de carga. Esto significa que se comportan de manera diferente si se aplica una transformacin especular, que resulta equivalente a visualizarlas en un espejo o cambiar cada partcula por su antipartcula correspondiente. Estas simetras est relacionadas con la simetra de inversin temporal, determinante del comportamiento de las interacciones al cambiar la direccin del tiempo, a travs del denominado teorema CPT, que asegura que la combinacin de las tres operaciones deja inalterado cualquier sistema relativista cuntico.63AplicacionesFsica de altas energasArtculos principales: Fsica de partculas y Modelo estndar.

Evento del quark top en CDF. El quark top es la ltima partcula del modelo estndar descubierta hasta la fecha (en Tevatrn en 1995).

Superconductor. Levitacin magntica de un imn sobre un superconductor.En el mbito de la fsica de altas energas se estudian los componentes elementales de la materia y sus interacciones. Para ello es necesario utilizar una gran cantidad de energa en relacin al nmero de partculas involucradas y as descomponer la materia. En este rgimen, es inevitable el uso de una teora cuntica de campos para dar cuenta de la cinemtica relativista de las partculas.En la actualidad, la teora denominada modelo estndar recoge los fenmenos conocidos a escala subatmica. Esta teora clasifica todos los constituyentes fundamentales de la materia en tres familias de quarks, componentes de los hadrones como el protn y el neutrn; y de leptones: el electrn y partculas similares, junto con los neutrinos. Todas estas partculas son fermiones de espn 1/2 y, a excepcin de los neutrinos, estn cargadas elctricamente. Adems todas tienen masa, aunque el descubrimiento de las masas (extremadamente pequeas) de los neutrinos es reciente an, y no se incluye en el modelo estndar.64El modelo estndar es una teora gauge: las interacciones entre estas partculas ocurren mediante el intercambio de bosones gauge de espn 1. Todas salvo los neutrinos interaccionan electromagnticamente a travs del fotn. Los quarks poseen carga de color, y pueden intercambiarse gluones. Adems, todos estos fermiones poseen una carga denominada isoespn dbil, que hace que interaccionen entre s a travs de los bosones dbiles Z0 y W los cuales, a diferencia de los fotones y gluones, tienen masa. Estas tres interacciones se conocen como la interaccin electromagntica, la interaccin fuerte y la interaccin dbil.El modelo estndar incluye una partcula de espn 0 y sin carga denomidada bosn de Higgs cuya existencia est parcialmente confirmada,n 21 y que interaccionara con todas las que tienen masa, incluida ella misma.n 22 Su presencia explica precisamente las masas no nulas de las partculas, que en apariencia contradicen la conservacin del isoespn dbil.El modelo estndar ha alcanzado un alto grado de precisin en sus predicciones, aunque existen mltiples fenmenos que no explica, como el origen de la masa de los neutrinos, la naturaleza de la materia oscura, la interaccin gravitatoria, etc.65 Tampoco existe una explicacin terica satisfactoria del comportamiento de los quarks dentro de los hadrones que forman a baja energa, ms all de clculos aproximados utilizando una versin discretizada de la teora de campos.66Fsica de la materia condensadaArtculo principal: Fsica de la materia condensadaEl ejemplo bsico del formalismo de segunda cuantizacin pertenece a la disciplina de la fsica del estado slido: la descripcin de las oscilaciones de los tomos en un slido como cuasipartculas llamadas fonones. En fsica de la materia condensada existen muchos sistemas que se analizan trminos similares, aprovechando la comodidad de las tcnicas de many body (muchos cuerpos), an cuando la creacin y destruccin de partculas no necesariamente se d en realidad. La teora de campos permite describir de manera efectiva las excitaciones colectivas de un sistema de muchas partculas en una fase dada.67Algunos ejemplos de problemas en los que se aplica son la teora BCS de la superconductividad, el efecto Hall cuntico o el ferromagnetismo y antiferromagnetismo. Muchos de los aspectos caractersticos de la teora cuntica de campos estn involucrados en estos fenmenos: ruptura espontnea de simetra, invariancia gauge, modelos sigma no lineales, etc.68Parte de estas propiedades de la teora cuntica de campos se descubrieron o plantearon inicialmente en el contexto de la fsica de la materia condensada. El concepto de ruptura espontnea de simetra fue desarrollado para explicar la superconductividad antes de ser adaptado al mecanismo de Higgs. La tcnica del grupo de renormalizacin, donde se examina el cambio en los parmetros de una teora dependiendo de la escala a la que se la examine, aparece de manera natural en materia condensada al analizar, por ejemplo, el modelo de Ising.7Vase tambin Segunda cuantizacin Teora cuntica de campos en espacio-tiempo curvo Teora de campo de gauge Topologa cunticaNotas y referenciasNotas1. La palabra partcula se utiliza en mecnica cuntica a nivel introductorio para enfatizar al comportamiento clsico de un punto material, frente al comportamiento ondulatorio de la luz. Las partculas microscpicas, como los tomos o los fotones, presentan un comportamiento intermedio, caracterizado por la dualidad onda-corpsculo. Mientras no se diga lo contrario, en este artculo la palabra partcula y sin excepcin, partcula cuntica se refiere a este segundo significado.2. No confundir con teora clsica de campos.3. Esta interpretacin no es la nica posible, pero s la ms extendida. Vase Interpretaciones de la mcanica cuntica.4. Esta evolucin es determinista mientras no el sistema no se vea alterado por una medida cuyo resultado es no determinista. Vase Yndurin, 2003, 2.2.5. El nombre viene del griego , voz, por la relacin de estos cuantos con las ondas sonoras.6. Para el origen de este nombre, vase Espn y estadstica.7. Se ignora en este prrafo la constante aditiva /2. La frmula correcta puede encontrarse en Yndurin, 2003, 7.2 o Sakurai, 1994, 2.3.8. Esta conservacin del nmero de partculas es consecuencia de las ecuaciones de movimiento concretas del campo libre (para el campo en interaccin no ocurre). Esto contrasta con la mecnica cuntica ordinaria, donde la conservacin es un requerimiento intrnseco de cualesquiera ecuaciones de movimiento se planteen.9. La cuantizacin de los campos libres, escalar, espinorial o vectorial, puede encontrarse en multitud de referencias, como Nair, 2005, Peskin y Schroeder, 1995 o Sterman, 1993.10. O, de forma equivalente, el lagrangiano.11. En realidad, se trata de una amplitud de probabilidad: un nmero complejo z cuyo mdulo al cuadrado es la probabilidad propiamente dicha, P = |z|2.12. y describen una coleccin de diversas partculas, no necesariamente las mismas al principio y al final, en distintos estados de movimiento. Se obvian en el texto los detalles de la frmula correcta. Vase Weinberg, 1995, 3.2.13. Para utilizar esta tcnica en el caso de campos fermionicos, es necesario considerar unos nmeros anticonmutativos que cumplen = dados y nmeros cualesquiera, denominados nmeros de Grassmann.14. Tngase en cuenta que la energa de una partcula proporciona una escala de longitud: su longitud de onda de De Broglie .15. Running coupling constants.16. A pesar del nombre, no guarda ninguna relacin con la teora de grupos. Vase Weinberg, 1996, p.111.17. Pronunciado [ed], calibre en ingls.18. La cuantizacin del campo de Yang-Mills resulta en una teora de bosones gauge en interaccin. Pueden aadirse otras partculas cargadas, como fermiones, cuantizando otros campos acoplados a este.19. El nombre es engaoso, ya que a fin de cuentas la simetra es exacta. Vase Coleman, 1985, 116.20. Es decir, dichas simetras son respetadas en el lagrangiano del modelo estndar.21. El 13 de marzo de 2013 el CERN confirm provisionalmente la existencia de una partcula muy similar al Higgs. Vase O'Luanaigh, C. (14-03-2013). New results indicate that new particle is a Higgs boson. CERN. Consultado el 04-12-2013.22. Para la masa de los neutrinos se consideran otras posibilidades, como una mezcla de masa ordinaria masa de Dirac, proveniente de su interaccin con el Higgs con masa de Majorana, responsable de una hipottica violacin del nmero leptnico. Vase Langacker, 2010, 7.7.Referencias1. Nair, 2005, p.7.2. Itzykson y Zuber, 1980, p.107.3. Nair, 2005, p.VII.4. Ver Peskin y Schroeder, 1995, p.198.5. Esta primera parte hasta 1950 est basada en Weinberg, 1995, 1.6. Cao, 1997, 9.2.7. Vase Zee, 2003, VI.8 y Steven Weinberg. From BCS to the LHC (en ingls). Archivado desde el original el 12-03-2012. Consultado el 12-03-2012.8. Cao, 1997, p.323.9. Weinberg, 1996, 18.7.10. Zee, 2003, V.6.11. La cita aparece en Kuhlmann, 2009, 3.4. Vase tambin Zee, 2003, VIII.312. Yndurin, 2003, 4.713. Vase Zee, 2003, p.3 y la Introduccin de Yndurin, 1989.14. Sakurai, 1967, 1-1.15. Itzykson y Zuber, 1987, p.47.16. Ver Weinberg, 1995, p.11.17. Peskin y Schroeder, 1995, 2.1.18. Peskin y Schroeder, 1995, 2.3.19. Esta parte est referida a sistemas sencillos con ecuaciones de movimiento lineales. Vase Goldstein, 1998, 12.1.20. Bogoliubov, Nikolay; Shirkov, Dmitry (1982). Quantum fields (en ingls). Benjamin-Cummings Pub. Co. p.8. ISBN0-8053-0983-7.21. En el caso del campo, al tomar el lmite continuo, los modos normales pueden ser continuos a su vez. Vase Yndurin, 2003, 7.5.3 y 19 para esta parte.22. Weinberg, 1995, 3.123. Weinberg, 1995, p.3124. Abrikosov, A.A. (1965). I, 3. Second quantisation. Methods of quantum field theory in statistical physics (en ingls). Pergamon Press. OCLC222056583..25. Sakurai, 1967, p.27.26. Peskin y Schroeder, 1995, p.22.27. Nair, 2005, p.8.28. Como estados de energa negativa o probabilidades negativas. Vase Nair, 2005, p.31.29. Vase Weinberg, 1995, 5.7 y una de las primeras demostraciones en Pauli, Wolfgang (1940), The connection between spin and statistics (en ingls), Physical Review 58, pp. 716-722, consultado el 19-6-2011.30. Vase Peskin y Schroeder, 1995, p.19. Esta denominacin, de uso estndar en fsica, puede resultar confusa (vase Weinberg, 1995, pp.19,28).31. Zee, 2003, I.7.32. Peskin y Schroeder, 1995, 4.133. Nair, 2005, p.55.34. Yndurin, 1989, 8.1.35. Vase Srednicki, Mark Allen (2007). Quantum field theory (en ingls). Cambridge University Press. p.12. ISBN9780521864497. Esto implica que el hamiltoniano y el operador nmero de partculas no conmuten en el caso no cuadrtico. De ah que el nmero de partculas no se mantenga constante, ya que las leyes de conservacin cunticas requieren la conmutacin con el hamiltoniano. Vase Cohen-Tannoudji, Claude; Diu, Bernard; Laloe, Frank (1991). Chapter III: The postulates of quantum mechanics. Quantum mechanics (en ingls). Wiley-Interscience. ISBN0-471-16433-X, D-2-c.36. Weinberg, 1995, p.199.37. Vase Peskin y Schroeder, 1995, p.283 y Weinberg, 1995, p.384.38. Vase el Preface de Weinberg, 1995.39. Kuhlmann, 2009, 4.1.40. Vase la introduccin de Weinberg, 1995, 3 y el comienzo de Peskin y Schroeder, 1995, 4.5.41. Se obvian en el texto los detalles de la frmula de la serie de Dyson. Vase Peskin y Schroeder, 1995, p.85.42. Peskin y Schroeder, 1995, p.191.43. La cita aparece en Martin, Brian Robert; Shaw, Graham (2008). 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En particular, una parte de esta simetra asegura la conservacin del nmero ferminico axial U(1)A, que se violara en dicho proceso. La anomala no afecta a toda la simetra no empeora las diferencias de masa de los bariones ligeros comentadas previamente, slo a esta corriente axial. Vase Weinberg, 1996, 22.1 para los detalles de este proceso.57. Donoghue, John; Golowich, Eugene; Holstein, Barry (1992). Dynamics of the Standard Model (en ingls). Cambridge University Press. p.13. ISBN0521476526.58. Itzykson y Zuber, 1980, p.525.59. Vase para este ejemplo Zee, 2003, p.199 y Coleman, 1985, 2.1.60. Nair, 2005, 13.1.61. Vase la introduccin en Collins, John C. (1984). 13. Anomalies. Renormalization (en ingls). Cambridge University Press. ISBN0-521-24261-4.62. Dicha variacin no perturbativa es tal que ambos incrementos siempre se compensan entre s: ni el nmero de bariones B ni el de leptones L son conservados aunque por muy poco, pero s lo es su diferencia B L. Vase Weinberg, 1996, p.454.63. Weinberg, 1995, 5.8.64. Vase la introduccin de Langacker, 2010, 7.7.65. Vase el Preface de Langacker, 2010.66. Peskin y Schroeder, 1995, 22.167. Vase el Preface de Altland, Alexander; Simons, Benjamin D. (2010). Condensed matter field theory (en ingls). Cambridge University Press. ISBN9780521769754.68. Puede encontrarse una exposicin completa en Zee, 2003, V y VI.Bibliografa Cao, Tian Yu (1997). Conceptual developments of 20th century field theories (en ingls). Cambridge University Press. ISBN0521431786. Coleman, Sidney (1985). Aspects of symmetry (en ingls). Cambridge University Press. ISBN0521318270. Goldstein, Herbert (1998). Mecnica clsica. Editorial Revert. ISBN978-84-291-4306-5. Itzykson, Claude; Zuber, Jean-Bernard (1980). Quantum field theory (en ingls). McGraw-Hill International Book Co. ISBN0-07-032071-3. Langacker, Paul (2010). The Standard Model and beyond (en ingls). CRC Press. ISBN978-1-4200-7906-7. Kuhlmann, Meinard. Edward N. Zalta (ed.): Quantum field theory. 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