Teoria Analitica de Colas CLASE 1_campus

8/19/2019 Teoria Analitica de Colas CLASE 1_campus

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Investigación d

Operaciones IProf. Juan José Bravo, PhD

Teoría Analítica de Líneas de


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The Wallstreet Journalhttp://www.wsj.com/article_email/SB10001424052970204770404577082933921432686-lMyQjAxMTAxMDAwODEwNDgyWj.html

http://www.shmula.com/queueing-theory/


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Componentes de un Sistema de Es


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Capacidad del Sistema: Un sistema de espera se dice que tiene capacidad infinita cuando no tiene restrespecto al tamaño que pueda alcanzar la cola. Generalmente la cola se vuelve de capacidad finita porrestricciones de espacio.

Proceso de Llegada: representa la forma en que la llegada de clientes ocurre. Un datoimportante que se maneja en el proceso de llegada es el Tiempo entre Llegadas de clientes, elcual puede ser determinístico (constante), ó probabilístico (asociado a cierta distribución de

probabilidad). También se considera si las llegadas de clientes son individuales ó por grupos

(batches), en cuyo se debe tener el dato del tamaño del batch.Proceso de Atención: El proceso de atención se representa generalmente por el tiempo que tarda lacliente ó Tiempo de Servicio. Este tiempo puede ser deterministico, es decir, cualquier cliente es

tiempo exactamente igual, ó probabilistico, en cuyo caso debe definirse la distribución de probabilidaatención de un cliente. También se define si la atención se hace individual ó por batches.

Numero de Servidores: Un sistema puede tener un solo servidor ó varios en paralelo como el caso deentidades financieras.

Disciplina de Atención: aquí se considera la forma en que se seleccionan los clientes de la cola con el

atenderlos. Lo usual es que se use la disciplina FIFO ó atención en orden de llegada. Otra estrategia eenfoque de prioridad y otra aleatoria.


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Estructuras clásicas de sistemas de espera


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Preguntas habituales

En éstos estudios se hacen normalmente las siguientespreguntas

:

• Cuál es el tiempo promedio que un cliente tiene que esperar en la fila antes de seratendido?• Cuáles son el número promedio y el máximo de clientes que esperan en la fila?

Pero también se suelen hacen ciertaspreguntas relacionadas con el diseño del sistem

• Cuántos recursos o servidores deben emplearse para proporcionar un servicio ace• Los clientes deberían esperar en una fila o en varias filas?

• Qué tanto espacio (o infraestuctura) se necesita para que los clientes o productos pesperar?


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Proceso de Llegada de Clientes

Sea la variable aleatoria X igual al número de clientes que llegan al sistema de espera pode tiempo . Si esta variable discreta se distribuye Poisson, entonces:

Donde:

λ = numero medio de llegadas por unidad de tiempoλ T = numero medio de llegadas en un intervalo específico de tiempo T

Ahora, si el número de clientes que llegan se comporte Poisson, entonces se cumple que el ti

entre dos llegadas consecutivas se distribuye Exponencial con media β =1/λ


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Proceso de Llegada de Clientes

Sea la variable aleatoria Y el tiempo entre llegadas. Esta variable continua tiene entoncla siguiente función de probabilidad:

Según la gráfica, se observa que en casos filas o congestión es más probable que el

entre llegadas tienda a cero (es decir, queseguidos muchos elementos).


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Proceso de Salida de Clientes

Si el número de clientes atendidos por unidad de tiempo sedistribuye Poisson con media µ (promedio de clientes

servidos por unidad de tiempo), entonces el tiempo entre dossalidas consecutivas ó el tiempo de servicio se distribuye

exponencial con parámetro 1/µ unidades de tiempo.

De igual manera:

En sistemas “congestionados” lo

más probable es que se intente

atender rápidamente a los que esesperando.


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Pérdida de memoria de la exponencial

Sean dos segmentos de tiempo consecutivos s y r, siendo s un período detiempo pasado y r un periodo de tiempo futuro.

Segmentos deTiempo

Momento actual

Se dice que lo que ocurrirá en el tiempo r es independiente probabilísticamentede lo que haya ocurrido en s, simbolizándose esto generalmente como:

Por ejemplo, responda la siguiente pregunta: ¿Cuál es la probabilidad de que hayan llega12 clientes en 4 horas, si se conoce que en las primeras tres horas llegaron 9 clientes?

P(4 horas12 clientes / 3 horas 9 clientes) = P (1 hora


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Servidores

c = Número de servidores.

μ = Tasa de servicio ó el número promedio de elementos que seatienden por unidad de tiempo.Disciplina de atención a clientes: FIFO, LIFO, Prioridad, Aleatoria

Colocación de los servidores: en Paralelo, en Serie ó en Red. Atención: individual ó en grupos.

Clientes

n = Numero de elementos en el sistema (tanto en fila como en losservidores)

N = Numero máximo permisible de elementos en el sistema

λ = Tasa de Llegadas ó Numero promedio de llegadas de elementos

por unidad de tiempoPoblación: finita o infinita

Llegadas: individuales ó en grupos.

Indicadores

Lq = Número promedio dL = Numero promedio de

sistema (en cola y en servicTamaño de la Cola: Finita

W = Tiempo promedio deelemento en el sistema (tan

servicio)Wq = Tiempo promedio d

elemento en cola Pw = Probabilidad de que

tenga que esperar.Pn = Probabilidad de que

en el sistema.Po = Probabilidad de que

el sistema.P

N

= Probabilidad de nega

probabilidad de que un elepueda entrar al sistema deb

llena.

Otros Indicadores:U = utilización de los servidores ó número de elementos promedio

atendidos por servidor por unidad de tiempo

ρ = intensidad de tráfico del sistema

Simbología General


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¿Qué significa la probabilidad Pn?

Desde la perspectiva de Markov, los estados de

un sistema de espera se representan por n.

n = Número de elementos en el sistema (tanto en

fila como en los servidores)

Pn representa la probabilidad de estado estableasociada a la presencia de “n” elementos en el

sistema.


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Tasas de llegada y de atención

Tasa de llegada constante en Colas con capacidad FINITA:

Tasa de llegada constante en Colas con capacidad INFINITA:

Tasa de servicio igual para cada uno de los servidores:


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¿Qué significa la probabilidad Pn?

Pn representa la probabilidad de estado estableasociada a la presencia de “n” elementos en el

sistema.

En general:


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Fórmulas de Little

Una vez obtenidas las probabilidades Pn de los diferentes

estados, se pueden obtener los siguientes indicadores del sistema

de espera.LPromedio de clientes en el sistema

Número posible deestados: Infinito

Número posible

de estados: finito

Lq Promedio de

clientes en la cola

Tasa Efectiva de Llegada

W WqLey de


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Los anteriores resultados suponen el sistema de espera está en estado estable, esdecir, se desarrollaron bajo el supuesto de que los valores de λ y

µ

son tales queel sistema de hecho puede alcanzar la condición de estado estable. Realmente, elestado estable se alcanza siempre es dos situaciones:

•

En todos los sistemas de espera con capacidad finita • En los sistemas de espera con capacidad finita ó infinita cuando λ /(cµ) < 1,simbolizándose también como ρ = λ /(cµ) < 1.

Las fórmulas de Little asumen una condición de

“estado estable”

¿Argumente qué ocurriría con el sistema de espera si ρ ≥1?


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Esta notación es

aplicable a servidoresen paralelo

La simbología A/ B /C : D /E /F, como se verá a continuación, intenta caracterizar plenamensistema de espera con servidores en paralelo, donde:

Notación de

Kendall-Lee

A = Distribución probabilística de las llegadas: M (Poisson), D (deterministica), Ek(Erlang),

F = Tamaño de la población de clientes: FINITO (K), ∞

B = Distribución del tiempo de servicio: M (Exponencial), D (deterministica), Ek (Erlang), G

C = Número de servidores en paralelo: c = 1, 2, 3, ..., ∞

D = Disciplina de servicio: FIFO, LIFO, Aleatoria, Prioridad, Disciplina General-DG.

E = Número máximo admitido de clientes en todo el sistema : N, ∞


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Notación de

Kendall-Lee

A/ B /C : D /E /F

Distribución

de Tiempo deservicio

Distribuciónde llegadas

Número de

servidoresDisciplin

servicio

Capacidadmáxima de

sistema

Tla

Ejemplo: Sistema de Colas (M/ D / 15 : DG / 30 / ∞)

M significa que se tienen llegadas tipo Poisson (markovianas); D, sig

que se tienen tiempo de servicio o de salidas determinístico (constan

tienen 15 servidores en paralelo; la disciplina de servicios es general

puede alojar a un máximo de 30 clientes; ∞ es para indicar se tienen

población de clientes infinita o fuente de llegada de clientes infinita.


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A/ B /C : D /E /F

Distribución

de Tiempo deservicio

Distribuciónde llegadas

Número de

servidoresDisciplin

servicio

Capacidadmáxima de

sistema

Tla

Los modelos M/M/c, es decir con proceso de llegada yatención de clientes Poisson (ó Markoviano) con cservidores, son los que analíticamente permiten untratamiento no tan riguroso y serán estudiados acontinuación. Lo bueno de todo es que el estudioanalítico de las colas M/M/c son altamente útiles dadoque la mayoría de los sistemas de espera se comportansegún la Distribución Probabilística Poisson.


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Sistemas de Espera [M M 1 : DG ∞ ∞]

Asumamos un proceso de nacimiento-muerte con una tasa de llegada p

unidad de tiempo constante λ (nacimiento) y una tasa de servicio por ude tiempo constante µ (muerte).

Si λ > µ , la cola crecerá infinitamente. A ρ = λ / µ, se le conoce como in

de tráfico ó factor de utilización del servidor, y concluimos por tanto q

que un sistema de espera como estos tenga estabilidad y sea viable anal

porque ρ < 1.


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Para deducir las fórmulas de este tipo

de sistemas de espera deben tenerse en

cuenta los siguientes resultados:


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Por el resultado A se tiene que:

Atendiendo al resultado B, obtenemos:

y por el resultado C se tiene que:


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Cuando las probabilidades de estado estable son conocidas, las otras

características pueden ser calculadas:

Por conveniencia hacemos esta transform

Empleando ahora el resultado D, obtenemos


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Resumen de Fórmulas


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Sistemas de Espera [M/M/1 : DG ∞ ∞]

= / . Si < 1 el sistema es estable y entonces:

10 P n

n P )1( para n = 1,2,…

)(1

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q L

s L

1

W )(

qW W s

1

Serv

1 L

Tasa de servicio = Tasa de uso = Intensidad de tráfico =

=(número de clientes que pasan)/( número de clientes que podrían pasar) = / = = L


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Sistemas de Espera [M/M/1 : DG/N/∞]

= / . El sistema es siempre estable.

Tasa de llegada efectiva: λ(1) Servidor

N=5

λ λ

λ λ(1 )10 1

1

N P

0 P P

n

n para n = 1,…,NSi entonces:

Si = entonces:

)1)(1(

)1(11

1

N

N N N N

L

11 N

P n2

N L para n = 0,…,N

Para todo valor de y se tiene:

)1(1 0

N s

P P L sq L L L )1(

N P

LW

)1( N

q

q P

LW

W s 1


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Sistemas de Espera [M/M/c : DG ∞ ∞]

λ

.

.

Serv. 1 Serv. 2 = /c. Si < 1 el sistema es estable y entonces:

11

0

0 !

)(

)1(!

)(

c nc

n n

c

c

c P

0

()!

0()! −

para n = 1,2,…,c

para n = c+1,c+2,…

)1(!)(

0

c

c

P cn P

c

Probabilidad de bloqueo:

cn P Lq

1 L s

L L Lq s

c

cn P LW

q

qW s

1

W

LW W

q s Tasa de servicio: /c = =


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Sistemas de Espera [M/M/c : DG/N/∞]

Sea r = / y = /c = r/c. El sistema es siempre estable.

1 si )1(

!!

1 si 1

1

!!1

1

0

111

0

0

c N c

r

n

r

c

r

n

r

P cc

n

n

c N cn

n

n

0()!

0 ()

! −

para n = 1,2,…,c

para n = c+1,…,N

Tasa de llegada efectiva: λ(1)

1 si )1(

1 si )1(!

)1( 1

0

c N P

c

r P

cn P

c

c N c

2

))(1(

!

)(1)()1(1

!

0

2

1

0

sic N c N

c

r P

sc N c N cr P

Lc

c N c N c

q

)1( N s

P L

L L Lq s )1(

N

q

q P

LW

sq

N

W W P

LW

)1( Tasa

con 1 c

Sistemas de Espera [M/G/1 : DG ∞ ∞]


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Sea = / . Si


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Sistemas de Espera [M/M/c : DG/N/N]

con 1 c

Este es el modelo que analiza la “reparación de máquinas”, donde c es el número de

eparadores y N es el número de máquinas en el sistema.

L = número de máquinas descompuestas,Lq = número promedio de máquinas que esperan ser reparadas,

W = tiempo promedio que está descompuesta una máquina.Wq = tiempo promedio que espera una máquina antes de empezar a repararse.

= frecuencia o rapidez con que se descompone cada máquina = número de veces que unamáquina se descompone por unidad de tiempo.

= frecuencia o rapidez con que se repara cada máquina.P

n

= probabilidad de que existan n máquinas descompuestas.


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Sistemas de Espera [M/M/c : DG/N/N]

0

0 !! −

para n = 0,1,…,c

para n = c+1,…,N

L L Lq s * q

q

LW *

LW T

con 1 c

0 =0

−

+ =

!! −

−

=0

=

( )

Tasa de llegada si hay n máquinas descompu

Tasa media de llegada: *=(N - L)En estas fórmulas se tiene que

= / .

* s L

W s 1

*

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