Teori Graph
-
Upload
hennyazalea9434 -
Category
Documents
-
view
1.821 -
download
0
Transcript of Teori Graph
1
BAB I
PENDAHULUAN
1.1 Latar Belakang
Pelabelan graf dalam teori graf adalah pemberian nilai pada titi k, sisi atau titi k
dan sisi. Pelabelan graf sudah banyak dikaji mulai tahun 60-an. Seperti valuasi-
β yang diperkenalkan oleh Rosa pada tahun 1967 [5]. Sejak saat itu, sekitar 250
tulisan mengenai pelabelan banyak bermunculan.
Misal G graf dengan himpunan titi k V(G) dan himpunan sisi E(G). Pelabelan
graceful pada graf G merupakan pemberian nilai pada titi k-titi knya dengan bilangan
bulat positi f {0, 1, 2, 3,..., )(GE } sedemikian hingga sisinya mendapat label harga
mutlak dari selisih pelabelan kedua titi k yang menempel pada sisi tersebut. Sebuah
graf G disebut graf graceful ji ka setiap titi k dan sisi pada graf G dapat diberi label
menurut aturan pelabelan graceful. Dalam hal ini, beberapa pelabelan graceful untuk
kelas-kelas graf tertentu telah ditunjukkan seperti pada graf lintasan Pn, graf pohon Tn
dengan n≤ 16 dan graf sikel Cn dengan 4) (mod3atau0 n ≡ [4]. Karena itu
penulis tertarik untuk menginvestigasi pelabelan graceful pada kelas-kelas graf yang
lain, yaitu:
1. Graf hasil kali kartesius dari G1 dan G2 yaitu graf G = G1 x G2.
2. Graf tangga Ln, yaitu graf yang dibangun dari hasil kali kartesius graf
lintasan Pn dan lintasan P2.
3. Gabungan m buah graf tangga mLn, yaitu graf tak terhubung yang terdiri
dari m komponen dimana setiap komponennya adalah graf tangga Ln.
2
1.2 Perumusan Masalah
Permasalahan yang akan diajukan dalam penulisan skripsi adalah menyelidiki
apakah sebuah graf sederhana dan hingga terutama kelas graf tangga (ladder), graf
gabungan m buah graf tangga dan graf hasil kali kartesius G1 x G2 khususnya jika
G1=Pm dan G2=Pn adalah graf graceful.
1.3 Tujuan
Mendapatkan perumusan pelabelan graceful dari graf tangga (ladder), graf
gabungan m buah graf tangga dan graf hasil kali kartesius Pm x Pn.
1.4 Manfaat
Manfaat dari pelabelan graceful diantaranya yang berkenaan dengan masalah
pengkodean, misalnya pembacaan kode sinar-X, sistem alamat pada jaringan
komunikasi dan pendesainan sirkuit [5].
3
BAB II
TINJAUAN PUSTAKA
2.1 Pengertian Graf
Graf G didefinisikan sebagai pasangan himpunan (V(G), E(G)) dimana
V(G) adalah himpunan tak kosong dari unsur-unsur yang disebut titi k (vertex ) dan
E(G) adalah himpunan dari pasangan tak terurut (u,v) dari titi k-titi k u,v di V (G)
yang disebut sisi (edge). Selanjutnya sisi e = (u,v) pada graf G ditulis e = uv.
Sebagai contoh, Gambar 2.1 adalah graf tak berarah.
v1 v4 e4 v5
G:
e1 e3
v2 e2 v3
Gambar 2.1 Graf G dengan 5 Titik dan 4 Sisi
2.2 Konsep Dasar
Banyaknya titi k di graf G disebut order n dari graf G yaitu Vn = . Graf
dengan order hingga dinamakan graf hingga. Sebagai contoh, Gambar 2.1 adalah
graf berorder 5.
Loop dalam suatu graf terjadi apabila suatu titi k v dihubungkan dengan
dirinya sendiri atau e = vv. Jika terdapat lebih dari satu sisi yang menghubungkan
dua titi k, maka sisi tersebut dinamakan sisi rangkap (multiple edges). Gambar 2.2
menunjukkan e5 adalah loop dan e3, e4 adalah sisi rangkap. Graf G dikatakan graf
sederhana apabila tidak memuat loop dan sisi rangkap.
v1 v4 e5
e1 e4 e3
v2 e2 v3
Gambar 2.2 Graf dengan Loop dan Sisi Rangkap
4
Dua titi k u dan v di graf G dikatakan tetangga (adjacent) apabila ada sisi e
yang menghubungkan titi k u dan v. Sisi e pada graf G dikatakan menempel
(incident) dengan kedua titi k yang dihubungkan.
Derajat (degree) suatu titi k v di graf G adalah banyaknya sisi yang
menempel dengan titi k v, yang dinotasikan dengan deg (v). Jika dalam graf G
setiap titi knya mempunyai derajat yang sama, maka graf G disebut graf reguler.
Contoh pada Gambar 2.3 menunjukkan graf reguler.
v1
e1 e3
v2 e2 v3
Gambar 2.3 Graf Reguler
Jalan (walk) pada graf G dinotasikan W (G) adalah barisan hingga yang
diawali dan diakhiri dengan titi k dimana unsur-unsurnya saling bergantian antara
titi k dan sisi, sedemikian hingga vivi+1 adalah sisi di G untuk setiap i = 0, 1,
2,…,n-1, yaitu : W (G) = v0, e1, v1, e2, v2, e3,…, vn-1, en, vn dengan 0≥n
Jika dijalan W (G) berlaku v0 = vn maka W (G) disebut jalan tertutup dan
dikatakan jalan terbuka ji ka nvv ≠0 .
v1 e5 v4 e6 v5
e1 e4 e3
v2 e2 v3
Gambar 2.4 Gambar untuk Mengilustrasikan Jalan (walk)
Sebuah jalan dikatakan lintasan (path) ji ka semua titi knya berbeda sedangkan jika
setiap sisinya yang berbeda maka jalan tersebut dinamakan jejak (trail ). Sikel
(cycle) didefinisikan sebagai suatu lintasan yang tertutup.
2.3 Graf Terhubung (Connected Graph)
Graf G dikatakan terhubung (connected) ji ka setiap dua titi k u,v di G,
terdapat lintasan yang menghubungkan kedua titi k tersebut. Graf G dikatakan graf
5
tak terhubung (disconnected) ji ka ada dua titi k di G yang tidak mempunyai
lintasan.
u1 v1 v2
u2 u3 v3 v4
(a) (b)
Gambar 2.5(a) Graf Terhubung dan 2.5(b) Graf Tak Terhubung
Gambar 2.5(a) adalah graf terhubung dan Gambar 2.5(b) adalah graf tak
terhubung.
Graf K dikatakan subgraf dari graf G ji ka semua titi k di K dan semua sisi
di K adalah titi k dan sisi di G. Sebagai contoh pada Gambar 2.6, K1 adalah subgraf
dari G tetapi K2 bukan subgraf G karena ada sisi ac di E(K2) yang bukan sisi di
E(G).
a b a a b
G : K1 : K2 :
c d c d c d
Gambar 2.6 Graf dan Subgrafnya
Kompenen dari graf G adalah subgraf terhubung maksimum dari G. Jadi
graf terhubung mempunyai paling banyak satu komponen sedangkan graf tak
terhubung paling sedikit mempunyai dua komponen. Contoh, pada Gambar 2.5(a)
menunjukkan graf terhubung dan Gambar 2.5(b) menunjukkan graf tak terhubung
dengan dua komponen.
2.4 Operasi pada Graf
Operasi dalam teori graf yang diperlukan dalam penulisan skripsi ini,
diantaranya gabungan graf dan hasil kali kartesius dua graf. Misal G1 dan G2
adalah graf saling asing yang artinya V(G1) ∩ V(G2) = φ dan E(G1) ∩ E(G2) = φ.
6
2.4.1 Gabungan Graf
Gabungan dua graf G1 dan G2 yang dinotasikan G = G1�
G2 mempunyai
himpunan titi k : � )( )() ( 21 GVGVGV = dan himpunan sisi
: � )( )()( 21 GEGEGE = .
Untuk gabungan m buah graf terhubung dinotasikan sebagai graf � m
iiG
1=
.
Jika pada gabungan m buah graf memenuhi kondisi G1=G2=G3=...=Gm=G maka
graf � m
iiG
1=
akan dinotasikan dengan mG, yaitu graf tak terhubung dengan m
komponen. Contoh gabungan dua graf ditunjukkan pada Gambar 2.7.
v1 v2 u1 u2 v1 v2 u1 u2
G1: G1: G1�
G2:
v3 v4 u3 u4 v3 v4 u3 u4
Gambar 2.7 Gabungan Dua Graf
2.4.2 Hasil Kali Kar tesius Dua Graf
Hasil kali kartesius dari graf G1 dan G2 adalah graf yang dinotasikan
G1xG2 dan mempunyai himpunan titi k V={ (v1, v2) v1∈V(G1), v2∈V(G2)}
dimana titi k (u1, u2) dan (v1, v2) bertetangga di G1 x G2 jika:
[ u1 = v1 dan u2 tetangga v2 ] atau [ u2 = v2 dan u1 tetangga v1 ].
Untuk memberikan gambaran tentang hasil kali kartesius dari dua graf lintasan
G1 dan G2, yaitu G1 x G2 ditunjukkan oleh Gambar 2.8.
(u1,u2) (u1,v2)
G1: u1 v1 G1 x G2 :
G2: u2 v2
(v1,u2) ( v1,v2)
Gambar 2.8. Graf Hasil Kali Kartesius G1 x G2
7
2.5 Kelas-Kelas Graf
Kelas-kelas graf yang diperlukan dalam penulisan skripsi ini, diantaranya
adalah graf lintasan (path), graf sikel (cycel), graf tangga (ladder), graf
gabungan m buah graf tangga mLn dan graf hasil kali kartesius Pm x Pn .
2.5.1 Graf L intasan (Path)
Graf lintasan adalah graf yang terdiri dari satu lintasan. Graf lintasan yang
terdiri dari n titi k dinotasikan sebagai Pn. Contoh graf lintasan P3 dan P4 diberikan
pada Gambar 2.9.
P3 : P4 :
Gambar 2.9 Graf Lintasan P3 dan P4
2.5.2 Graf Sikel (Cycle)
Graf yang terdiri dari satu sikel disebut graf sikel, dinotasikan Cn yang
berarti graf sikel dengan n titi k. Gambar 2.10 menunjukkan graf sikel C5 dan C6.
C5 : C6 :
Gambar. 2.10 Graf Sikel C5 dan C6
2.5.3 Graf Tangga (Ladder)
Graf tangga (ladder) adalah graf yang dibangun dari hasil kali kartesius
graf lintasan P2 dan Pn, yaitu P2 x Pn. Untuk pembahasan selanjutnya graf tangga
P2 x Pn akan dinotasikan dengan Ln. Sebagai contoh, Gambar 2.11 adalah graf
tangga L4 = P2 x P4.
b d
P2 : 1 2 P4 :
a c
8
P2 x P4 : (a,1) (b,1) (c,1) (d,1)
(a,2) (b,2) (c,2) (d,2)
Gambar 2.11 Graf Tangga L4
2.5.4 Graf Gabungan m Buah Graf Tangga
Graf gabungan m buah graf tangga Ln dinotasikan mLn adalah graf tak
terhubung yang terdiri dari m buah komponen, dimana setiap komponennya
adalah graf tangga Ln. Sebagai contoh, gabungan tiga buah graf tangga L3, yaitu
3L3 ditunjukkan pada Gambar 2.12.
Gambar 2.12 Gabungan Tiga Buah Graf Tangga L3
2.5.5 Graf Hasil Kali Kar tesius Pm x Pn
Graf hasil kali kartesius Pm x Pn adalah graf yang mempunyai mn titi k , yang
terdiri dari m baris titi k. Contoh graf hasil kali kartesius P3 x P4 ditunjukkan
pada Gambar 2.13.
Gambar 2.13 Graf Hasil Kali Kartesius P3 x P4
2.6 Pemetaan
Misalkan A dan B adalah dua himpunan yang tidak kosong. Suatu cara
atau aturan yang memasangkan setiap elemen dari himpunan A dengan tepat satu
elemen di himpunan B disebut pemetaan dari himpunan A ke himpunan B.
Pemetaan dari himpunan A ke himpunan B diberi notasi f , yaitu: BAf →:
9
Selanjutnya himpunan A kita sebut sebagai daerah asal (domain) dari f dan
himpunan B disebut daerah kawan (kodomain) dari f.
Fungsi satu-satu adalah pemetaan dimana setiap elemen di daerah hasil
mempunyai prapeta tepat satu di daerah asal, dapat dituliskan secara matematika
berikut : Pemetaan .)()(,,injektif,: yxyfxfAyxBAf =⇒=∈∀⇔→
2.7 Pelabelan Graf
Pelabelan pada graf G adalah pemberian nilai pada titi k atau sisi di G.
Pada tahun 1967 Rosa menyebutkan λ adalah valuasi- β pada graf G ji ka λ
fungsi satu-satu dari himpunan titi k di G ke himpunan { 0, 1, 2,…,
)(GE } sedemikian hingga, setiap sisi uv di G mendapat label )()( vu λ−λ yang
berbeda semua. Selanjutnya tahun 1972 Golomb menamakannya pelabelan
graceful [5].
2.8 Pelabelan Graceful
Misal G graf dengan himpunan titi k V(G) dan himpunan sisi E(G).
Pelabelan Graceful adalah fungsi satu-satu : { } 3210 E(G),...,,,,� � � � � � →
sedemikian hingga ( ) � �� �uv
� � � �−=λ= berbeda semua setiap u, v )(GV∈ .
Sebuah graf G disebut graf graceful ji ka setiap titi k dan sisi di graf G
dapat diberi label menurut aturan pelabelan graceful. Pelabelan graceful untuk
graf sikel diberikan oleh Rosa. Rosa membuktikan bahwa untuk graf sikel Cn
adalah graceful ji ka dan hanya jika 4) (mod3atau0 n ≡ [5].
Golomb [1] menyebutkan bahwa graf komplit Kn adalah graceful untuk
n=2, 3 ,4 seperti yang diberikan pada Gambar 2.14.
0 0 0 6 6
1 1 3 4 1 2 5
1 1 2 3 4 3 1
Gambar 2.14 Pelabelan Graceful pada Graf K2, K3 dan K4
10
Sedangkan untuk graf komplit Kn dengan n≥ 5 tidak graceful, seperti yang
ditunjukkan pada sifat 2.3.
Sifat 2.3 Graf Komplit Kn adalah tidak graceful untuk n≥ 5 [5].
Bukti : Misal graf komplit Kn mempunyai n titi k dan q sisi
Titik-titi k dari graf Kn diberi label {0, 1, 2, 3,..., q}. Label 0 dan q dibutuhkan
untuk memberi label titi k-titi knya sehingga didapat sisi yang mendapat label q.
Sekarang kita mempunyai titi k yang mendapat label 0 dan q. Selanjutnya kita
menginginkan sisi yang terlabeli q -1. Untuk itu satu titi k dari graf Kn harus diberi
label 1 atau q-1 misal kita pili h 1 untuk melabeli titi k tersebut, sehingga diperoleh
sisi-sisi yang mendapat label q, q-1 dan 1.
Sekarang kita mempunyai titi k-titi k yang terlabeli 0, 1 dan q.
Untuk mendapatkan sisi yang terlabeli q-2, harus mempunyai titi k-titi k yang
terlabeli 0, q-2, atau 1, q-1 atau 2, q. Jika kita pili h nilai q-1 atau 2 maka akan ada
dua sisi yang mendapat label sama, sehingga kita pili h nilai q-2 dan diperoleh sisi-
sisi yang mendapat label q, q-1, q-2, q-3, 2 dan 1.
Sekarang kita mempunyai titi k-titi k yang mendapat label 0, 1, q-2 dan q.
Untuk mendapatkan sisi yang terlabeli q-4 kita harus mempunyai titi k-titi k dengan
label 0, q-4 atau 2, q-2 atau 3, q-1 atau 4, q. Setiap kita memilih pasangan label
titi k ini, kita akan selalu mendapatkan minimal dua sisi dengan label sama.
Sehingga graf Kn dengan n = 5 tidak graceful.
Hal ini membuktikan bahwa graf Kn dengan n≥ 5 tidak graceful sebab dengan
bertambahnya satu titi k maka akan ada penambahan beberapa sisi dengan label
yang sama.
Sebagai contoh, Gambar 2.15 menunjukkan graf K5 yang tidak bisa diberi label
menurut aturan pelabelan graceful karena ada beberapa sisi yang mendapat label
sama, yaitu tiga sisi mendapat label 1, dua sisi mendapat label 2, dua sisi
mendapat label 3 dan dua sisi mendapat label 4.
11
0
4 3 1 5
4 1 5
1 2 3 4
3 2 1
Gambar 2.16 Graf K5 yang Tidak Bisa Dilabeli Menurut Aturan Pelabelan Graceful
Tanpa menunjukkan hasil pelabelannya Erdos [5] menyebutkan beberapa
graf tidak graceful. Dilain pihak Rosa [5] menyebutkan tiga alasan mengapa
sebuah graf G tidak bisa dilabeli menurut aturan pelabelan graceful, yaitu:
1. G mempunyai ‘banyak titi k dan tidak cukup sisi’
5 2
6 4 3
0 1
Gambar 2.16 Graf yang Mempunyai Banyak Titi k dan Tidak Cukup Sisi
2. G mempunyai ‘ terlalu banyak sisi’ Contoh pada graf komplit K5 yang
ditunjukkan pada Gambar 2.15.
3. G mempunyai ‘keseimbangan yang salah’ . Contoh ditunjukkan oleh
Ganbar 2.17. Dimana ada dua sisi yang mempunyai label 2.
12
0
2 5
2 5
2 4
4 3 1
Gambar 2.17 Graf Sikel C5 yang Mempunyai Keseimbangan Salah
2.9 Pelabelan Komplemen
Misal graf G adalah graf graceful dengan pelabelan λ . Misal titi k-
titi knya dilabeli kembali menurut aturan )(GE –λ (v) untuk setiap titi k v di G.
Pemberian label kembali dengan aturan )(GE –λ (v) ini kita beri nama pelabelan
λ ' untuk setiap titi k di G akan berbeda dengan pelabelan λ dan
0≤ λ '(v) ≤ )(GE . Karena pelabelan λ merupakan fungsi satu-satu dari himpunan
titik di G ke {0, 1, 2,..., )(GE } maka pelabelan λ ' juga merupakan fungsi satu-
satu dari himpunan titi k di G ke {0, 1, 2,..., )(GE }.
Pelabelanλ ' untuk sisi-sisi di graf G dijelaskan sebagai berikut:
λ '(e) = λ '(uv) = )(')(' vu λ−λ = ( ) ( ))()()()( vGEuGE λλ −−−
= )()( vu λ−λ = λ (uv) = λ (e).
Jadi pelabelan λ ’ untuk setiap sisi di G sama dengan pelabelan λ . Sehingga
dapat disimpulkan bahwa pelabelan λ ’ adalah pelabelan graceful. Pelabelan λ '
ini disebut pelabelan komplemen dari pelabelan graceful .
Contoh pelabelan komplemen dari graf L3 ditunjukkan pada Gambar 2.19.
0 5 5 3 2 7 5 2 3 5
7 4 1 Pelabelan 7 4 1
Komplemen
7 6 1 2 3 0 6 6 2 4
Gambar 2.19 Pelabelan Graceful dari Graf L3 dan Pelabelan Komplemennya
13
BAB III
HASIL DAN PEMBAHASAN
Dalam bab ini akan diberikan pembuktian pelabelan graceful cara 1 dan
cara 2 pada setiap kelas yang dikaji dan pelabelan komplemen dari setiap sifat
yang ada, yang disajikan dalam bentuk gambar. Dua cara pembuktian pelabelan
graceful diberikan untuk menunjukkan ketidaktunggalan dari pelabelan graceful,
ketidaktunggalan ini dikarenakan pelabelan titi k-titi knya yang bersifat satu-satu
mempunyai beberapa kemungkinan dalam menentukan pelabelannya. Dalam
pembuktian setiap sifat akan diperlukan suatu notasi yang didefinisikan sebagai
berikut: notasi yang mempunyai arti bilangan pembulatan keatas, dan notasi
yang mempunyai arti bilangan pembulatan kebawah. Contoh
2
3=2
sedangkan
2
3=1.
3.1 Pelabelan Graceful pada Graf Tangga
Graf tangga Ln adalah graf hasil kali kartesius P2 x Pn. Misal graf tangga
Ln mempunyai himpunan titi k { }''' ,...,,,,...,,)( nnn vvvvvvLV 2121= dan himpunan sisi
{ }***''' ,...,,,,...,,,,...,, nnnn eeeeeeeee)E(L 21121121 −−= dimana
sisi ei = vivi+1 untuk i = 1, 2, 3,…, n-1,
sisi e’ i = v’ iv’ i+1 untuk i = 1, 2, 3,…, n-1 dan
sisi e* i = viv’ i untuk i = 1, 2, 3,…, n.
Sebagai il ustrasi penotasian titi k dan sisi dari graf tangga Ln, dapat kita lihat pada
Gambar 3.1.
v1 e1 v2 e2 …. e(n– 1) vn
e*1 e*2 …. e*n
v’1 e’1 v’2 e’2 …. e’ (n – 1) v’n
Gambar 3.1 Penotasian Graf Tangga Ln
14
Sifat 3.1: Graf tangga Ln adalah graf graceful untuk setiap n.
Bukti dari sifat 3.1 diberikan oleh pelabelan cara 1 dan cara 2 berikut ini.
Pelabelan Cara 1 : Beri label untuk titi k-titi k dari graf Ln sehingga memenuhi
aturan dari fungsi satu-satu sebagai berikut :
i – 1 untuk i = 1, 3, 5,…, 2
2
n-1,
λ (vi) =
3n – 2i untuk i = 2, 4, 6,…, 2
2
n,
dan
3n – 2i untuk i = 1, 3, 5,…, 2
2
n-1,
λ (v’ i) =
i – 1 untuk i = 2, 4, 6,…, 2
2
n.
Dari pelabelan titi k-titi knya akan diperoleh pelabelan sisi-sisinya yang berbeda
semua untuk setiap e∈E(Ln) sebagai berikut:
3(n – i) –1 untuk i = 1, 3, 5,…, 2
2
n–1,
λ (ei) = λ (vivi+1) =
3(n – i) untuk i = 2, 4, 6,…, 2
2
n–2,
3(n – i) untuk i = 1, 3, 5,…, 2
2
n–1,
λ (e’ i) = λ (v’ iv’ i+1) =
3(n – i) –1 untuk i = 2, 4, 6,…, 2
2
n–2,
dan
λ (e* i) =λ (viv’ i) = 3(n – i) + 1 untuk i = 1, 2, 3,..., n.
Sebagai il ustrasi, Gambar 3.2 menunjukkan pelabelan graceful graf L4
dengan menggunakan sifat 3.1 pelabelan cara 1.
15
0 8 8 6 2 2 4
10 7 4 1
10 9 1 5 6 3 3
Gambar 3.2 Pelabelan Graceful pada Graf L4
Menggunakan Sifat 3.1 Pelabelan Cara 1
Pelabelan Cara 2 : Beri label untuk titi k-titi k dari graf Ln sehingga memenuhi
aturan fungsi satu-satu sebagai berikut :
21−i
untuk i =1, 3, 5,…,2
2
n-1,
λ (vi) =
3n –1 –2i
untuk i = 2, 4, 6,…,2
2
n,
dan
2n –
+
2
1iuntuk i =1, 3, 5,…,2
2
n-1,
λ (v’ i) =
n + 2
i - 1 untuk i = 2, 4, 6,…,2
2
n.
Setelah pelabelan titi k-titi knya diperoleh maka sisi-sisinya diberi label yang
berbeda semua untuk setiap e∈E(Ln) menurut aturan sebagai berikut :
λ (ei) = λ (vivi+1) = 3n – 1– i untuk i = 1, 2, 3,..., n – 1 ,
λ (e’ i) = λ (v’ iv’ i+1) = n – i untuk i = 1, 2, 3,..., n – 1
dan
λ (e* i) = λ (viv’ i ) = 2n – i untuk i = 1, 2, 3,..., n .
Karena dari pelabelan cara 1 dan cara 2 diperoleh bahwa pelabelan titi k-
titi knya memenuhi fungsi satu-satu dan pelabelan sisi-sisinya berbeda semua
untuk setiap e∈E(Ln) maka pelabelan λ diatas adalah pelabelan graceful.
Sebagai il ustrasi, Gambar 3.3 menunjukkan pelabelan graceful graf L4
menurut sifat 3.1 pelabelan cara 2.
16
0 10 10 9 1 8 9
7 6 5 4
7 3 4 2 6 1 5
Gambar 3.3 Pelabelan Graceful pada Graf L4
Menggunakan Sifat 3.1 Pelabelan Cara 2.Menurut definisi pelabelan komplemen pada 2.9 maka pelabelan
komplemen untuk pelabelan graceful graf tangga L4 pada Gambar 3.3 dapat
dili hat pada Gambar 3.4.
10 10 0 9 9 8 1
7 6 5 4
3 3 6 2 4 1 5
Gambar 3.4 Pelabelan Komplemen dari Sifat 3.1 Pelabelan Cara 1 pada Graf L4
3.2 Pelabelan Graceful pada Graf Gabungan m Buah Graf Tangga
Graf gabungan m buah graf tangga Ln dinotasikan mLn adalah graf tak
terhubung yang terdiri dari m komponen dimana setiap komponennya adalah graf
tangga Ln. Misal graf mLn mempunyai himpunan titi k:
{ }'nj
'j
'jnjjjjmn v,...,v,v,v,...,v,vVV...VVmLV 212121 == � � � dimana )(
dan himpunan sisi : � � � ...)( ` mn EEEmLE 21= dimana
( ) ( ){ }*nj
*j
'j
'jn
'j
'jjnjjj e,...,e,e,e,...,e,e,e,...,e,eE 21121121 −−= dengan
eij = vijv(i+1)j untuk i = 1, 2, 3,…, n-1, j = 1, 2, 3,…, m,
')1(
''jiijij vve += untuk i = 1, 2, 3,…, n-1 , j = 1, 2, 3,…, m dan
'*ijijij vve = untuk i = 1, 2, 3,…, n , j = 1, 2, 3,…, m
dimana Vj dan Ej berturut-turut menyatakan himpunan titi k dan sisi dari
komponen ke-j dari graf mLn untuk setiap j = 1, 2, 3,..., m.
17
Sebagai il ustrasi penotasian titi k dan sisi dari graf gabungan m buah graf
tangga dapat kita lihat pada Gambar 3.5.
v11 e11 v21 e21 …. e(n – 1)1 vn1
e*11 e*21 …. e*n1
v’11 e'11 v’21 e'21 …. e'(n – 1)1 v’n1
v12 e12 v22 e22 …. e(n– 1)2 vn2
e*12 e*22 …. e*n2
v’12 e'12 v’22 e'22 …. e'(n – 1)2 v’n2
v1m e1m v2m e2m …. e(n– 1)m vnm
e*1m e*2m …. e*nm
v’1m e'1m v’2m e'2m …. e'(n– 1)m v’nm
Gambar 3.5 Penotasian Graf Gabungan m Buah Graf Tangga mLn
Sifat 3.2 Graf gabungan m buah graf tangga mLn adalah graf graceful untuk
setiap m dan n.
Untuk pembuktian sifat 3.2 diberikan oleh pelabelan cara 1 dan cara 2 berikut ini.
Pelabelan Cara 1 : Beri label untuk titi k-titi k dari graf gabungan m buah graf
tangga sehingga memenuhi fungsi satu-satu sebagai
berikut :
Untuk j = 1, 2, 3,..., m
18
n( j–1) + (i+ j –2) untuk i =1, 3, 5,…, 2
2
n – 1,
λ (vij) =
m(3n – 2) – 2n( j –1) –(2i –3j+1) untuk i = 2, 4, 6,…, 2
2
n,
dan
m(3n – 2) –2n( j –1) – (2i –3j+1) untuk i =1, 3, 5,…, 2
2
n – 1,
λ (v’ ij) =
n( j–1) + (i + j – 2 ) untuk i = 2, 4, 6,…, 2
2
n.
Pelabelan untuk sisi-sisinya yang berbeda semua untuk setiap e∈E(mLn) dapat
ditentukan sebagai berikut :
3n( m– j+1)–2m– (3i – 2j+1) untuk i=1, 3, 5,…,2
2
n– 1,
λ (eij)=λ (vijv(i+1)j)=
3n( m– j+1)–2m– (3i – 2j) untuk i= 2, 4, 6,…,2
2
n– 2,
3n(m– j+1)–2m– (3i– 2j) untuk i=1, 3, 5,…, 2
2
n– 1,
λ (e’ ij) =λ (v’ ijv’ (i+1)j) =
3n(m– j+1)–2m– (3i– 2j+1) untuk i= 2, 4, 6,…, 2
2
n– 2,
dan
λ (e* ij) = λ (vijv’ ij ) = 3n( m– j+1) – 2m – (3i – 2j – 1) untuk i = 1, 2, 3,..., n.
Sebagai il ustrasi, Gambar 3.6 menunjukkan pelabelan graceful pada graf
2L4 dengan menggunakan sifat 3.2 pelabelan cara 1.
0 18 18 16 2 12 14 5 8 13 6 7 2 9
20 17 14 11 10 7 4
1
20 19 1 15 16 13 3 15 9 6 5 11 3 8
Gambar 3.6 Pelabelan Graceful pada Graf 2L4
19
Menggunakan Sifat 3.2 Pelabelan Cara 1.
Pelabelan Cara 2 : Definisikan label untuk titi k-titi k dari graf mLn sehingga
memenuhi fungsi satu-satu sebagai berikut :
Untuk j = 1, 2, 3,..., m
m (3n – 2) –2n ( j –1) – (2i –3j+1) untuk i =1, 3, 5,…, 2
2
n – 1,
λ (vij) =
n ( j–1) + (i + j – 2 ) untuk i = 2, 4, 6,…, 2
2
n,
dan
n ( j–1) + (i + j –2) untuk i =1, 3, 5,…, 2
2
n – 1,
λ (v’ ij) =
m (3n – 2)– 2n( j –1) – (2i –3j+1) untuk i = 2, 4, 6,…, 2
2
n.
Aturan pelabelan untuk sisi-sisinya yang berbeda semua untuk setiap e∈E(mLn)
adalah sebagai berikut :
3n(m– j+1) –2m – (3i– 2j) untuk i=1, 3, 5,…, 2
2
n– 1,
λ (eij) =λ (vijv( i+1)j)=
3n(m– j+1)–2m– (3i– 2j+1) untuk i= 2, 4, 6,…, 2
2
n– 2,
3n(m– j+1)–2m– (3i– 2j+1) untuk i=1, 3, 5,…,2
2
n–1,
λ (e’ ij)=λ (v’ ijv’ (i+1)j)=
3n(m– j+1 –2m –(3i– 2j) untuk i= 2, 4, 6,…, 2
2
n– 2,
dan
λ (e* ij) = λ (vijv’ ij ) = 3n( m– j+1) – 2m – (3i – 2j – 1) untuk i = 1, 2, 3,..., n.
Karena dari pelabelan cara 1 dan cara 2 diperoleh bahwa pelabelan titi k-
titi knya memenuhi fungsi satu-satu dan pelabelan sisi-sisinya berbeda semua
untuk setiap e∈E(mLn) maka pelabelan λ diatas adalah pelabelan graceful.
20
Sebagai il ustrasi, Gambar 3.7menunjukkan pelabelan graceful untuk graf
2L3 menggunakan sifat 3.2 pelabelan cara 2.
14 13 1 9 10 11 6 5 2 7
14 11 8 7 4
1
0 12 12 10 2 4 5 9 3 6
Gambar 3.7 Pelabelan Graceful pada Graf 2L3
Menggunakan Sifat 3.2 Pelabelan 2.
Menurut definisi pelabelan komplemen pada 2.9 maka pelabelan
komplemen untuk pelabelan graceful graf 2L4 pada Gambar 3.6 ditunjukkan oleh
Gambar 3.8.
20 18 2 16 18 12 6 15 8 7 6 13 2 11
20 17 14 11 10 7 4
1
0 19 19 15 4 13 7 5 9 14 5 9 3 12
Gambar 3.16 Pelabelan Komplemen dari Sifat 3.2
Pelabelan Cara 1 pada Graf 2L4
21
3.3 Pelabelan Graceful pada Graf Pm x Pn
Graf hasil kali kartesius Pm x Pn mempunyai mn titi k , yang terdiri dari m
baris titi k. Himpunan titi k dari graf Pm x Pn adalah :
V ( Pm x Pn ) = { vi1, vi2, vi3,...,vim } dimana vij adalah titi k ke-i dari baris
ke-j untuk i = 1, 2, 3,…, n dan j = 1, 2, 3,…, m,
dan himpunan sisi dari graf Pm x Pn adalah :
E ( Pm x Pn ) = { ei1, ei2, ei3,..., eim, e’ i1, e’ i2, e’ i3,..., e’ i(m-1) } dengan
eij = vijv(i+1)j untuk i = 1, 2, 3,..., n–1, j = 1, 2, 3,…, m
e’ ij = vijvi(j+1) untuk i = 1, 2, 3,..., n , j = 1, 2, 3,…, m–1.
Gambar 3.17 mengilustrasikan penotasian titi k dan sisi dari graf hasil kali
kartesius Pm x Pn.
v11 e11 v21 e21 v31 ........ e(n-1)1 vn1
e’11 e’21 ...... e’n1
v12 e12 e22 ........ e(n-1)2 vn2
e’1(m-1) e’2(m-1) ...... e’n(m-1)
v1m e1m v2m ........ e(n-1)m vnm
Gambar 3.17 Penotasian Graf Hasil Kali Kartesius Pm x Pn
Sifat 3.3 Graf hasil kali kartesius Pm x Pn adalah graf graceful untuk setiap m
dan n.
Bukti dari sifat 3.3 diberikan oleh pelabelan cara 1 dan cara 2 berikut ini.
Pelabelan Cara 1 : Beri label untuk titi k-titi k dari graf Pm x Pn sehingga
memenuhi fungsi satu-satu sebagai berikut :
22
n ( j – 1) +
−
2
ji untuk i = 1, 3, 5,...,2
2
n – 1
j = 1, 3, 5,..., 2
2
m – 1,
m (2n – 1)–nj –
−−
2
1ji untuk i = 1, 3, 5,..., 2
2
n – 1
j = 2, 4, 6,..., 2
2
m,
λ (vij) =
m (2n – 1) –nj –
−−
2
1ji untuk i = 2, 4, 6,...,2
2
n
j = 1, 3, 5,..., 2
2
m – 1,
n( j – 1) +
−
2
ji untuk i = 2, 4, 6,..., 2
2
n
j = 2, 4, 6,..., 2
2
m.
Setelah pelabelan titi k-titi knya diperoleh, selanjutnya pelabelan untuk sisi-
sisinya yang berbeda semua untuk setiap e∈E(Pm x Pn) diberikan sebagai berikut
:
λ (eij ) =λ (vijv(i+1)j) = m(2n–1)–n(2j–1)–(i– j) untuk i = 1, 2, 3,..., n–1,
j = 1, 2, 3,..., m
dan
λ (e’ ij ) =λ (vijvi(j+1) = m(2n–1)–2nj–(i– j –1) untuk i = 1, 2, 3,..., n,
j = 1, 2, 3,..., m–1.
Sebagai contoh, Gambar 3.20 menunjukkan beberapa pelabelan graceful
untuk graf hasil kali P4xP4 dengan menggunakan sifat 3.3.
23
0 24 24 23 1 22 23
21 20 19 18
21 17 4 16 20 15 5
14 13 12 11
7 10 17 9 8 8 16
7 6 5 4
14 3 11 2 13 1 12
Gambar 3.20 Pelabelan Graceful pada Graf P4 xP4
Menggunakan Sifat 3.3 Pelabelan Cara 1.
Pelabelan Cara 2 : Titik-titi knya diberi label sehingga memenuhi sifat satu-satu
sebagai berikut:
m( i – 1) +
−
2
ij untuk i = 1, 3, 5,...,2
2
n – 1
j = 1, 3, 5,..., 2
2
m – 1,
n(2m – 1) –im –
−−
2
1ij untuk i = 1, 3, 5,..., 2
2
n – 1
j = 2, 4, 6,..., 2
2
m,
λ (vij) =
n(2m – 1) –im –
−−
2
1ij untuk i = 2, 4, 6,..., 2
2
n
j = 1, 3, 5,..., 2
2
m – 1,
m( i – 1) +
−
2
ij untuk i = 2, 4, 6,..., 2
2
n
j = 2, 4, 6,..., 2
2
m.
24
Pelabelan sisinya diberi label berbeda semua untuk setiap e ∈E(Pm x Pn) menurut
aturan sebagai berikut:
λ (eij ) =λ (vijv(i+1)j) = n(2m–1)–2im–( j – i –1) untuk i = 1, 2, 3,..., n–1,
j = 1, 2, 3,..., m
dan
λ (e’ ij ) =λ (vijv(i+1)j) = n(2m–1)–m(2i–1)–( j– i ) untuk i = 1, 2, 3,..., n,
j = 1, 2, 3,..., m–1.
Karena dari pelabelan cara 1 dan cara 2 diperoleh bahwa pelabelan titi k-
titi knya memenuhi fungsi satu-satu dan pelabelan sisi-sisinya berbeda semua
untuk setiap e∈E(Pm x Pn) maka pelabelan λ diatas adalah pelabelan graceful.
Sebagai contoh, Gambar 3.22 menunjukkan beberapa pelabelan graceful
untuk graf hasil kali kartesius P4xP4 menggunakan sifat 3.3 pelabelan 2.
0 21 21 14 7 7 14
24 17 10 3
24 20 4 13 17 6 11
23 16 9 2
1 19 20 12 8 5 13
22 15 8 1
23 18 5 11 16 4 12
Gambar 3.24 Pelabelan Graceful pada Graf P4 xP4
Mengunakan Sifat 3.3 Pelabelan Cara 2.
25
Menurut definisi pelabelan komplemen pada 2.9 maka pelabelan
komplemen untuk pelabelan graceful graf P4xP4 pada Gambar 3.20 ditunjukkan
oleh Gambar 3.26.
24 24 0 23 23 22 1
21 20 19 18
3 17 20 16 4 15 19
14 13 12 11
17 10 7 9 16 8 8
7 6 5 4
10 3 13 2 11 1 12
Gambar 3.26 Pelabelan Komplemen dari Sifat 3.3
Pelabelan Cara 1 pada Graf P4 xP4