TEOREMAS DE EXISTENCIA Y UNICIDAD DE LAS ECUACIONES DIFERENCIALES

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ADRIANA BERBESI RODRIGUEZLIBARDO CARRASCAL

EDGAR MARQUEZ DE AVILADAYANA MONTERO LOZADA

DELMIDES NAVARRO RANGELMAILE NIETO MUÑOZ

SAMIA PAYARES ARDILAVICTOR PEREZ MENDEZANDREA RODRIGUEZ

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CUANDO UN PROBLEMA DE VALOR INICIAL MODELA MATEMÁTICAMENTE UNA SITUACIÓN FÍSICA, LA EXISTENCIA Y UNICIDAD DE LA SOLUCIÓN ES DE SUMA IMPORTANCIA, PUES, CON SEGURIDAD SE ESPERA TENER UNA SOLUCIÓN, DEBIDO A QUE FÍSICAMENTE ALGO DEBE SUCEDER.

POR LO TANTO, AL CONSIDERAR UN PROBLEMA DE VALOR INICIAL ES NATURAL PREGUNTARSE POR:

- EXISTENCIA: ¿EXISTIRÁ UNA SOLUCIÓN AL PROBLEMA? - UNICIDAD: ¿EN CASO DE QUE EXISTA SOLUCIÓN, SERÁ ÚNICA?

- DETERMINACIÓN: ¿EN CASO DE QUE EXISTA SOLUCIÓN, COMO LA DETERMINAMOS?

EXISTENCIA Y UNICIDAD

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EXISTENCIA Y UNICIDAD DE SOLUCIONES

Para una gran clase de problemas de valor inicial, la existencia y unicidad de una solucion puede ser demostrado.

El teorema de Picard-Lindelöf garantiza una solución única en el intervalo que contiene algunos to si ƒ y sus derivadas parciales ∂ƒ/∂y son continuas en una región que contiene to e yo.

Una prueba de la edad de Picard-Lindelöf el teorema construye una secuencia de funciones que convergen a la solución integral de la ecuación, y por lo tanto. La solucion del problema de valor inicial. Dicha construcción a veces se denomina “el método de Picard” o “el método de aproximaciones sucesivas”.

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TEOREMA DE EXISTENCIA Y UNICIDAD

Sea R una región rectangular del plano xy, definida por a≤ x ≤b, c≤ y ≤d, que contiene al punto (x0, y0). Si ƒ(x, y) y ∂ƒ/∂y son continuas en F, entonces existe un intervalo I, centrado en x0, y una función única, y(x) definida en I, que satisface el problema de valor inicial expresado por las ecuaciones.

El resultado anterior es uno de los teoremas mas comunes de existencia y unicidad para ecuaciones de primer orden, ya que es bastante fácil comprobar los criterios de continuidad de ƒ(x, y) y ∂ƒ/∂y. En la figura podemos ver la interpretación geométrica del teorema.

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EJEMPLO 1: Determine si existe una solución única para el problema de valor inicial

SOLUCIÓN: Tenemos lo siguiente:

y vemos que una complicación potencial surge para los puntos (x, y) para los cuales x2 + y2 = 9. Supongamos que estamos alejados de tales puntos al escoger por ejemplo una región R dentro del círculo x2 + y2 = 8 (ver Figura),

la cual incluye al punto (1,2) descrito por la condición inicial. Entonces, puesto que se cumplen las condiciones del teorema, podemos concluir que sí existe una solución única al problema de valor inicial. En otras palabras, existe una única curva solución C contenida en la región R que pasa por el punto (1,2) como se indica en la Figura.

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PROBLEMA 2: Use el teorema de existencia-unicidad para determinar si existe una solución única para el problema de valor inicial siguiente:

SOLUCIÓN: Tenemos lo siguiente:

Así esperamos tener complicaciones en regiones que incluyan puntos donde y = 0. Del teorema de existencia-unicidad no podemos garantizar la existencia o unicidad de una solución en tale? regiones. Probando y = 0 vemos que es una solución lo cual muestra que al menos una solución existe, pero no sabemos si es única.

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TEOREMA LOCAL DE EXISTENCIA Y UNICIDAD, CASO UNIDIMENSIONAL

A continuación analizaremos las condiciones para la existencia y unicidad del P.V.I. con la E.D. de primer orden:

TEOREMA 1 Sea f(t, x) continua para todos los valores de t y x donde la función está definida. Entonces el P.V.I. (1) es equivalente a la ecuación integral:

(Es decir, x(t) es solución de (1), x(t) es solución de (2))

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TEOREMA LOCAL DE EXISTENCIA Y UNICIDAD, CASO UNIDIMENSIONAL

Demostración:

Si x(t) satisface (1) entonces:

Si x(t) satisface (2) entonces derivando (2):

y

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TEOREMA DE PICARD

Si son continuas en D. Entonces existe una constante

tal que las funciones de Picard convergen a una solución única

y continua en

Demostración

Es consecuencia directa de los teoremas de existencia y unicidad.

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LIPSCHITZ CONTINUIDAD

Funciones continua que no son (a nivel mundial) Lipschitz continua

• La función f (x) = x 2, con dominio de todos los números reales no es Lipschitz continua. Esta función se convierte en arbitraria empinada como x se aproxima al infinito. Sin embargo, es localmente Lipschitz continua.

• La función f (x) = x 2 definida en [-3, 7] es Lipschitz continua con constante Lipschitz K = 14.

Más en general, una norma en un espacio vectorial es Lipschitz continua con respecto a las métricas asociadas, con la Lipschitz constante igual a 1.

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