MANGEMENT EDUCATIV PREUNIVEMANGEMENT EDUCATIV PREUNIVERSITAR PERFORMANT SERIA 2009RSITAR PERFORMANT SERIA 2009-2010 UNIVERSITATEA PITESTI-2010 UNIVERSITATEA PITESTI

11

TEOREMA LUI TEOREMA LUI PITAGORAPITAGORA

Prof. Dumitrescu LuminitaProf. Dumitrescu Luminita

22

ARIA ARIA CURRICULARĂ:CURRICULARĂ: MATEMATICĂ ŞI ŞTIINŢEMATEMATICĂ ŞI ŞTIINŢE

DISCIPLINADISCIPLINA: MATEMATICĂ: MATEMATICĂ

CLASA CLASA : A VII - A: A VII - A

TIMPUL NECESARTIMPUL NECESAR: : 3 ORE3 ORE

ACTIVITĂŢILE UNITĂŢII DE ÎNVĂŢARE:ACTIVITĂŢILE UNITĂŢII DE ÎNVĂŢARE:1.Se vor completa si consolida cunoştinţele referitoare la teoremele care

se aplica in rezolvarea triunghiului dreptunghic;

2. Se vor rezolva probleme utilizând teorema lui Pitagora si reciproca ei;

3. Rezolvarea de aplicaţii individuale si de grup;

4. Identificarea de probleme care se pot rezolva cu ajutorul teoremei lui Pitagora;

5.Găsirea de probleme din viata reala rezolvabile cu ajutorul teoremelor învăţate;

6.Utilizarea facilitaţilor TIC pentru aprofundarea cunoştinţelor .

33

TEOREMA LUI PITAGORATEOREMA LUI PITAGORA ESTE PARTE ESTE PARTE COMPONENTCOMPONENTĂ A UNITĂŢII DE ÎNVĂŢARE Ă A UNITĂŢII DE ÎNVĂŢARE RELAŢII RELAŢII METRICE ÎN TRIUNGHI DREPTUNGHICMETRICE ÎN TRIUNGHI DREPTUNGHIC. EA COMPLETEAZĂ CUNOŞTINŢELE NECESARE. EA COMPLETEAZĂ CUNOŞTINŢELE NECESAREPENTRU REZOLVAREA TRIUNGHIULUI DREPTUNGHIC ŞI ARE LA BAZĂ PENTRU REZOLVAREA TRIUNGHIULUI DREPTUNGHIC ŞI ARE LA BAZĂ TEOREMA CATETEITEOREMA CATETEI ŞI ŞI TEOREMA ÎNĂLŢIMIITEOREMA ÎNĂLŢIMII ÎNVĂŢATE ÎN LECŢIILE PRECEDENTE. ÎNVĂŢATE ÎN LECŢIILE PRECEDENTE. ACEASTĂ TEOREMĂ SE ATRIBUIE FILOZOFULUI ŞI MATEMATICIANULUI GRECACEASTĂ TEOREMĂ SE ATRIBUIE FILOZOFULUI ŞI MATEMATICIANULUI GREC PITAGORA PITAGORA..

PitagoraPitagora (c. 580 î.Hr. - c.500 î.Hr.) (c. 580 î.Hr. - c.500 î.Hr.) a a fost fost originar originar din insula Samos, întemeietorul pitagorismului,din insula Samos, întemeietorul pitagorismului, care care punea la baza punea la baza întregii întregii realităţirealităţi obiective obiective şi şi subiective teoria numerelor şi a armoniei. Tradiţia îi subiective teoria numerelor şi a armoniei. Tradiţia îi atribuie atribuie descoperirea descoperirea teoremei geometrice şi a teoremei geometrice şi a tablei tablei de înmulţire, care îi poartă de înmulţire, care îi poartă numele.numele. Din studiul Din studiul numerelor, pitagorieniinumerelor, pitagorienii au au conceput conceput numerele numerele figurative, numerelefigurative, numerele perfecte, perfecte, numerelenumerele amiabile, amiabile, au definit numere au definit numere pare şi impare, pare şi impare, au studiat au studiat media media aritmetică, geometrică şi armonică, aritmetică, geometrică şi armonică, au au descoperit descoperit iraţionalitatea – utilizând teorema iraţionalitatea – utilizând teorema ce-i poartă ce-i poartă numele, numele, cunoşteaucunoşteau cele cinci poliedre regulate, tabla cele cinci poliedre regulate, tabla înmulţirii, sistemul zecimal.înmulţirii, sistemul zecimal.

Vechii constructori egipteni foloseau pentru construcţia unghiului drept o funie cu 12 noduri echidistante, legată sub formă de inel şi fixată cu 3 ţăruşi şi obţineau un triunghi dreptunghic cu laturile de (3; 4; 5), utilizând astfel reciproca teoremei lui Pitagora.

Teorema fac parte din categoria teoremelor la care s-au înregistrat în decursul timpului recordul demonstraţiilor (se presupune peste 400).Pentru mai multe detalii despre PitagoraPentru mai multe detalii despre Pitagora: : http://ro.wikipedia.org/wiki/Pitagora

44

COMPETENŢE SPECIFICECOMPETENŢE SPECIFICE să utilizeze proprietăţi calitative si metrice ale figurilor

geometrice in rezolvarea unor probleme ; să utilizeze elemente de organizare a datelor in rezolvarea unor

probleme date ; să investigheze valoarea de adevăr a unor enunţuri; să selecteze informaţii relevante, in mulţimea datelor de care

dispune; să determine, folosind metode adecvate, lungimi de segmente ; să identifice si sa restructureze etapele unui rationament

matematic ; să prezinte in mod coerent soluţia unei probleme; sa argumenteze logic in cadrul unui grup sau individual idei si

metode matematice; să manifeste interes pentru folosirea tehnologiei informaţiei in

studiul matematicii .

55

OBIECTIVE OPERAŢIONALEOBIECTIVE OPERAŢIONALE să ştie ce este triunghiul dreptunghic ;

să identifice catetele si ipotenuza unui triunghi dreptunghic;

să identifice triunghiuri dreptunghice pe figurile geometrice învăţate şi să scrie relaţiile corespunzătoare între elementele lor ;

să cunoască şi să utilizeze corect teorema lui Pitagora şi reciproca în rezolvarea problemelor;

să identifice situaţii practice care pot fi rezolvate cu ajutorul acestei teoreme .

66

REACTUALIZAREA CUNOŞTINŢELOR ANTERIOAREREACTUALIZAREA CUNOŞTINŢELOR ANTERIOARE

TEOREMA ÎNĂLŢIMIITEOREMA ÎNĂLŢIMIIÎntr-un triunghi dreptunghic, lungimea înălţimii dusă din

vârful unghiului drept este media geometrica a lungimilor

proiecţiilor ortogonale ale catetelor pe ipotenuza.

DCBDAD 2

A B

D

C

TEOREMA CATETEI

Într-un triunghi dreptunghic, lungimea unei catete este media geometrica a lungimii ipotenuzei si a lungimii proiecţiei ei ortogonale pe ipotenuza.

DCBDAD

BDBCAB 2;BDBCAB ;DCBCAC DCBCAC 2

77

TEOREMA LUI PITAGORAÎntr-un triunghi dreptunghic, suma pătratelor lungimilor catetelor este egală cu pătratul lungimii ipotenuzei.

A B

D

C

222 ACABBC Demonstraţie: Fie triunghiul dreptunghic ABC (m(A)=90°). Construim perpendiculara din A pe latura opusă BC şi fie D piciorul

acestei perpendiculare.

Aplicăm teorema catetei, de două ori, pentru fiecare din catetele sale şi obţinem: AC2=CD·CB (1)

AB2=DB·BC (2)

Adunăm relaţiile (1) şi (2). Vom obţine: Adunăm relaţiile (1) şi (2). Vom obţine: ACAC22+AB+AB22=CD=CD··CB+DBCB+DB··BCBC

ACAC22+AB+AB22=BC=BC··(CD+DB)(CD+DB)

ACAC22+AB+AB22=BC=BC2 2

PENTRU ALTE DEMONSTRAPENTRU ALTE DEMONSTRAŢII:ŢII: http://www.ies.co.jp/math/java/geo/pythagoras.html

88

NUMERE PITAGORICENUMERE PITAGORICE

99

Dacă într-un triunghi suma pătratelor Dacă într-un triunghi suma pătratelor

lungimilor a două laturi este egală cu lungimilor a două laturi este egală cu

pătratul lungimii laturii a treia pătratul lungimii laturii a treia ,atunci ,atunci

triunghiul este triunghiul este dreptunghic.dreptunghic.

RECIPROCA TEOREMEI LUI PITAGORARECIPROCA TEOREMEI LUI PITAGORA

AA BB

CC

26262424

1010

EXEMPLU:EXEMPLU:

În triunghiul ABC avem :În triunghiul ABC avem : 222 102426

222 ACABBC ABC

esteeste

dreptunghic .dreptunghic .

1010

DESFDESFĂŞURAREA ACTIVITĂŢILORĂŞURAREA ACTIVITĂŢILOR

Elevii împărţiţi în patru grupe, vor completa fişele de lucru şi primi ca sarcina Elevii împărţiţi în patru grupe, vor completa fişele de lucru şi primi ca sarcina realizarea unei prezentări îi PowerPoint despre: viaţa şi activitatea lui Pitagora,aplicaţii realizarea unei prezentări îi PowerPoint despre: viaţa şi activitatea lui Pitagora,aplicaţii ale teoremei lui Pitagora, demonstraţii ale teoremei şi aplicaţii ale teoremei reciproce. ale teoremei lui Pitagora, demonstraţii ale teoremei şi aplicaţii ale teoremei reciproce.

În prima oră: În prima oră: Se vor reactualiza cunoştinţeleSe vor reactualiza cunoştinţele Se rezolvă rebusul tematicSe rezolvă rebusul tematic Se prezintă unitatea de învăţareSe prezintă unitatea de învăţare Se completează diagrama KWLSe completează diagrama KWL Elevii vor primi ca sarcină realizarea unei prezentări în PowerPoint, pe care o vor Elevii vor primi ca sarcină realizarea unei prezentări în PowerPoint, pe care o vor

prezenta în ultima oră a unităţii de învăţare.prezenta în ultima oră a unităţii de învăţare. Elevii se vor documenta de pe internet pentru realizarea prezentărilorElevii se vor documenta de pe internet pentru realizarea prezentărilor Elevii primesc fişe de lucru cu probleme în care trebuie să recunoască triunghiul Elevii primesc fişe de lucru cu probleme în care trebuie să recunoască triunghiul

dreptunghic şi să folosească teorema lui Pitagora.dreptunghic şi să folosească teorema lui Pitagora. Tema pentru acasă: probleme din manual şi documentare pe internetTema pentru acasă: probleme din manual şi documentare pe internet

În a doua oră:În a doua oră: Verificare temă şi cunoştinţe teoreticeVerificare temă şi cunoştinţe teoretice Testare online folosind: Testare online folosind:

http://www.calificativ.ro/trivia-quizzes/quiz-Teorema_lui_Pitagora-qid899-cid33.htmlhttp://www.calificativ.ro/trivia-quizzes/quiz-Teorema_lui_Pitagora-qid899-cid33.html Se intră pe : Se intră pe : www.www.cscs..uttutt..roro/~/~edoandesedoandes//TESTETESTE//TPitagoraTPitagora/quizmaker.html/quizmaker.html şi se rezolvă pe şi se rezolvă pe

grupe aplicaţii ale teoremei lui Pitagora. Se discută apoi rezolvările.grupe aplicaţii ale teoremei lui Pitagora. Se discută apoi rezolvările. Tema pentru acasă: probleme din culegere şi documentate prezentareTema pentru acasă: probleme din culegere şi documentate prezentare

În a treia oră:În a treia oră: Test evaluare sumativă – Test evaluare sumativă – http://www.psihoteste.ro/wp/?page_id=1612http://www.psihoteste.ro/wp/?page_id=1612 Prezentare de fiecare grupa a realizărilor în PowerPoint.Prezentare de fiecare grupa a realizărilor în PowerPoint.

1111

EVALUAREEVALUARE

EVALUARE INIŢIALĂEVALUARE INIŢIALĂ EVALUARE FORMATIVĂEVALUARE FORMATIVĂ EVALUARE FINALĂEVALUARE FINALĂ

- diagrama KWLdiagrama KWL- rebus tematicrebus tematic- ttesteste e

-- fişe de lucru fişe de lucru- test de autoevaluaretest de autoevaluare- fişe de observaţiifişe de observaţii

-rezolvarea de probleme-rezolvarea de probleme

- aplicaţia elevului- aplicaţia elevului

- tema pentru acasă- tema pentru acasă

- diagrama KWLdiagrama KWL

- verificare aplicaţie- verificare aplicaţie- test de evaluare test de evaluare

sumativăsumativă

- DIAGRAMA KWL – pentru verificarea noţiunilor asimilate de elevDIAGRAMA KWL – pentru verificarea noţiunilor asimilate de elev

- REBUS TEMATIC – pentru verificarea cunoştinţelor elevului referitoare la triunghi dreptunghicREBUS TEMATIC – pentru verificarea cunoştinţelor elevului referitoare la triunghi dreptunghic

- TESTE – pentru oferirea de feed-back către profesorTESTE – pentru oferirea de feed-back către profesor

- TEMA PENTRU ACASĂ – pentru consolidarea cunoştinţelorTEMA PENTRU ACASĂ – pentru consolidarea cunoştinţelor

- FIŞE DE OBSERVAŢII – pentru cunoaşterea modului de implicare,abilităţile şi comunicareFIŞE DE OBSERVAŢII – pentru cunoaşterea modului de implicare,abilităţile şi comunicare

- VERIFICAREA APLICAŢIEI ELVULUI – pentru autoevaluarea formativă a elevuluiVERIFICAREA APLICAŢIEI ELVULUI – pentru autoevaluarea formativă a elevului

- TEST DE EVALUARE SUMATIVĂ – confirmă dobândirea de către elev a cunoştinţelor predate,TEST DE EVALUARE SUMATIVĂ – confirmă dobândirea de către elev a cunoştinţelor predate,

pune în evidenţă lipsurile elevului.pune în evidenţă lipsurile elevului.

- APLICAŢIA ELEVULUI – pentru utilizarea abilităţilor TIC dobânditeAPLICAŢIA ELEVULUI – pentru utilizarea abilităţilor TIC dobândite

1212

PROBLEME PROPUSEPROBLEME PROPUSE11. Fie . Fie ΔΔDEFDEF dreptunghic, m( dreptunghic, m(<D<D)=90)=90°°,, DG DG înălţime în înălţime în

triunghi. Dacă triunghi. Dacă DGDG=4=4 cm, GE cm, GE==2 cm2 cm, aflaţi:, aflaţi: FG, FE, FG, FE, FD,DE.FD,DE.

2. Fie 2. Fie ΔΔMNPMNP dreptunghic, m( dreptunghic, m(<M<M)=90)=90°°, , MR MR înălţime înălţime în în triunghi. Dacă triunghi. Dacă MNMN==6 cm 6 cm , , MPMP= 8= 8 cm cm, aflaţi: , aflaţi: NPNP, , MRMR, , RNRN, , PRPR..

33.Fie triunghi ABC dreptunghic în A:.Fie triunghi ABC dreptunghic în A:

a) Dacă a) Dacă lungimilelungimile catetelor catetelor AB AB şi şi ACAC sunt sunt 1212 cm, cm, respectiv respectiv 55 cm, determinaţi cm, determinaţi lungimea ipotenuzei BC.lungimea ipotenuzei BC.

b) Dacă cateta ACb) Dacă cateta AC=15=15 cm, iar ipotenuza cm, iar ipotenuza BC= BC= 25 25 cm, cm, determinaţi lungimeadeterminaţi lungimea catetei AB.catetei AB.

1313

REBUSREBUS1) Poligonul cu trei laturi se numeşte….

2) Unghiul cu măsura egală cu 90 grade se mai numeşte şi…

3) Suma lor formează perimetrul:….

4) Laturile din triunghiul dreptunghic ce formează unghiul drept sunt se numesc….

5) Triunghiul în care se poate aplica Teorema lui Pitagora…..

6) Cea mai lungă dintre laturile triunghiului dreptunghic…..

7) Perpendiculara dusă dintr-un vârf al triunghiului pe latura opusă…

8) Adevăr matematic care se demonstrează…

9) Porţiune dintr-o dreaptă mărginită de două puncte…

10) Egalitatea a două rapoarte…

11) Puterea a doua a unui număr…

12)Mărime sinonimă cu depărtarea, ce are ca unitate de măsură metrul…

13)Drepte care formează un unghi de 90 grade…

14) Transformă concluzia în ipoteză şi invers…

Diagrama KWL Diagrama KWL : : Se completează la sfârşitul fiecărei lecţiiSe completează la sfârşitul fiecărei lecţii

Ce ştiuCe ştiu

KNOWKNOWCe aş vrea să Ce aş vrea să ştiuştiu

WONDERWONDER

Ce am învăţatCe am învăţat

LEARNLEARN

1414

FIŞĂ DE LUCRU1. Într-un triunghi dreptunghic, lungimile proiecţiilor catetelor pe ipotenuză sunt de 9 cm şi 4 cm. Calculează

lungimea înălţimii dusă din vârful unghiului drept şi lungimile catetelor.

2. Într-un triunghi dreptunghic, ipotenuza are lungimea de 30 cm şi proiecţia uneia din catete pe ipotenuză este de 6 cm. Determină lungimea înălţimii duse pe ipotenuză şi lungimile catetelor.

3. Un triunghi dreptunghic are catetele de 6 cm şi respectiv 8 cm. Calculaţi perimetrul triunghiului.

4. În triunghiul ABC, cu măsura unghiului A de 90 grade , AD perpendicular pe BC, notăm BD=x, CD=y, BC=a, AB=c, AC=b, AD=h. Cunoscând x / y = 9 / 16 şi a=25 cm, aflaţi x, y, b, c, h.

5. În triunghiul ABC dreptunghic în A, se duc înălţimea AD (D aparţine lui BC) şi mediana AM,(M aparţine lui BC). Ştiind că AM=20 cm şi m( <DAM)=30 grade , să se calculeze înălţimea AD şi laturile triunghiului ABC.

6. Un romb ABCD are AC=6 cm şi BD=8 cm.

a. Calculaţi perimetrul rombului

b. Determinaţi distanţa de la O la AB

7. În triunghiul MPQ , se ştie că MP=30 cm, MQ=40 cm, PQ=50 cm şi MN perpendicular pe PQ,

Calculează NP, NQ şi MN.

8. În trapezul dreptunghic ABCD, AB paralelă cu CD, măsura unghiului A= 90 grade , AB=25 cm iar înălţimea AD=1cm. Să se calculeze latura BC ştiind că diagonala BD este bisectoarea unghiului ABC.

9. În triunghiul ABC , m( <A)=75 grade , m( <B)=60 grade , BC=36 cm. Calculaţi perimetrul triunghiului, aria sa şi lungimile înălţimilor duse din punctele A şi B.

Notă: Fiecare elev alege trei probleme şi le rezolvă, în funcţie de gradul de dificultate, ştiind că

problemele 1, 2 şi 3 sunt pentru nota 6, problemele 4, 5, 6 şi 7 sunt pentru nota 8 iar problemele

8 şi 9 sunt pentru nota 10.

1515

TEST EVALUARETEST EVALUARE

1.Se da triunghiul dreptunghic ABC cu unghiul A de 90 grade si AD perpendiculară pe BC. 1.Se da triunghiul dreptunghic ABC cu unghiul A de 90 grade si AD perpendiculară pe BC. Sa se completeze tabelul:Sa se completeze tabelul:

BDBD 22 88 2727 0,20,2 1,51,5

DCDC 88 6363 1616 55

BCBC 1010 7070 2626 6,56,5

ADAD 44 1212 1212

2. Fie triunghiul dreptunghic MNP cu unghiul M de 90 grade si MR înălţime.2. Fie triunghiul dreptunghic MNP cu unghiul M de 90 grade si MR înălţime. Sa se completeze tabelul:Sa se completeze tabelul:

NRNR RPRP MNMN MPMP NPNP

66 1212

3,23,2 55

99 1515

27,227,2 3434

3. Fie triunghiul dreptunghic DEF cu unghiul D de 90 grade si DG înălţime.3. Fie triunghiul dreptunghic DEF cu unghiul D de 90 grade si DG înălţime.

Sa se completeze tabelul:Sa se completeze tabelul:

DEDE 1515 88 1212 2525

DFDF 2020 88 2020 11

EFEF 2929 1313 2,62,6 6464

EGEG 88

DGDG 77

1616

TEST DE EVALUARE SUMATIVTEST DE EVALUARE SUMATIVĂĂ Partea I (45 p) Completaţi :Partea I (45 p) Completaţi :1.Fie triunghiul dreptunghic din figura alăturată. 1.Fie triunghiul dreptunghic din figura alăturată. a)Sinusul unghiului B este egal cu……………………..a)Sinusul unghiului B este egal cu…………………….. b)Proiecţia catetei AB pe ipotenuză este ………………b)Proiecţia catetei AB pe ipotenuză este ……………… c)Tangenta unghiului C este egala cu……………………c)Tangenta unghiului C este egala cu…………………… d)Proiecţia catetei AC pe ipotenuză este ………………d)Proiecţia catetei AC pe ipotenuză este ……………… e)Înălţimea corespunzătoare ipotenuzei este…...............e)Înălţimea corespunzătoare ipotenuzei este…...............2. Fie ∆ABC triunghi dreptunghic cu m(<A)= 902. Fie ∆ABC triunghi dreptunghic cu m(<A)= 90 grade grade cu cu AB = AB = 6 6 cm şi AC = cm şi AC = 8 8 cm. cm. a) Lungimea ipotenuzei este…….. cma) Lungimea ipotenuzei este…….. cm b) Lungimea înălţimii corespunzătoare ipotenuzei este ……… cmb) Lungimea înălţimii corespunzătoare ipotenuzei este ……… cm c) Proiecţia catetei AB pe ipotenuză este ………………. cmc) Proiecţia catetei AB pe ipotenuză este ………………. cm d) Perimetrul triunghiului ABC este ............................cmd) Perimetrul triunghiului ABC este ............................cm e) Aria triunghiului ABC este....................e) Aria triunghiului ABC este....................

Partea a II - a (45 p) Treceţi rezolvări complete!Partea a II - a (45 p) Treceţi rezolvări complete!

3. Verificaţi dacă ∆MNP este dreptunghic şi în caz afirmativ precizaţi unghiul drept.3. Verificaţi dacă ∆MNP este dreptunghic şi în caz afirmativ precizaţi unghiul drept.

a) Fie ∆MNP cu lungimile laturilor: MN = 5 cm, MP = 13 cm, NP = 12 cm. Aflaţi aria ∆MNP a) Fie ∆MNP cu lungimile laturilor: MN = 5 cm, MP = 13 cm, NP = 12 cm. Aflaţi aria ∆MNP

b) Fie ∆MNP cu lungimile laturilor: MN = 7 cm, MP = 21 cm, NP = 16cm. Aflaţi aria ∆MNPb) Fie ∆MNP cu lungimile laturilor: MN = 7 cm, MP = 21 cm, NP = 16cm. Aflaţi aria ∆MNP

4. Rezolvaţi triunghiul dreptunghic MNP în care m(<M)=90° , m(<N)=30° şi NP=8 cm.4. Rezolvaţi triunghiul dreptunghic MNP în care m(<M)=90° , m(<N)=30° şi NP=8 cm.

5. Fie trapezul isoscel ABCD cu bazele AB= 6 cm şi CD= 14 cm iar m(<C)=455. Fie trapezul isoscel ABCD cu bazele AB= 6 cm şi CD= 14 cm iar m(<C)=45 .. a) Calculaţi lungimile înălţimii şi diagonalelor trapezului.a) Calculaţi lungimile înălţimii şi diagonalelor trapezului.

b) Calculaţi aria şi perimetrul trapezului.b) Calculaţi aria şi perimetrul trapezului.

AA BB

DD

CC

Notă: Notă: Timp efectiv de lucru 50 de minute;Timp efectiv de lucru 50 de minute;

Se acordă 10 puncte din oficiuSe acordă 10 puncte din oficiu..

SUBIECTULSUBIECTUL 11 22 33 44 55

PUNCTAJPUNCTAJ 2020 2525 1010 2525 1010

Barem de notare:Barem de notare: