Teorema Euler-Fermat
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UNIVERSIDAD DE PANAMÁFACULTAD DE CIENCIAS
NATURALESEXACTAS Y TECNOLOGÍA
ESCUELA DE MATEMÁTICA
“Teorema Euler-Fermat”
POR:
José de los Santos Sánchez Sarta
8-714-996
TRABAJO PRESENTADO EN EL SEMINARIO COMO OPCIÓN PARA LA
OBTENCIÓN DEL TÍTULO DE LICENCIADO EN MATEMÁTICA
CIUDAD UNIVERSITARIA, OCTAVIO MENDÉZ PEREIRA
PANAMÁ, 2009
Teorema Euler-Fermat Teoría de números
Dedicatoria
Dedico con todo mi amor este trabajo a mi madre Beatrice Sarta Moro, quien
en el continuo esfuerzo de cada día, me concedió una educación y con sus
consejos me inspiro a superarme.
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Teorema Euler-Fermat Teoría de números
Agradecimiento
Primeramente doy gracias a Jesucristo por haberme concedido la energía y el
conocimiento necesario para continuar los estudios y culminar con éxitos uno
de mis mayores anhelos.
Mi agradecimiento al Dr. Jaime Gutiérrez del Departamento de Matemática por
su asesoramiento y orientación para la realización de este trabajo de
graduación y haber alcanzado los objetivos trazados.
De igual forma quiero agradecer a mi hermano Gilberto A. Sánchez S. por su
gran apoyo para continuar los estudios.
Finalmente agradezco particularmente a los siguientes profesores; Prof.
Narciso Rodríguez, Prof. Guadalupe Castillo, Prof. Teresita de Ávila, que de
una u otra forma contribuyeron y me incentivaron con sus consejos y animo
dado para continuar en los estudios de matemática.
Muchas Gracias…
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Teorema Euler-Fermat Teoría de números
INDICE
Dedicatoria i
Agradecimiento ii
Índice general iii
Introducción 1
Sección 1. Connotación histórica
historia 3
Sección 2. Teoría 7
Congruencia
Función de Euler
8
10
Sección 3. Demostraciones
Demostraciones 14
Sección 4. consecuencias 20
El reciproco de teorema Euler-Fermat
Teorema de lucas
Números con la propiedad de fermat
21
22
22
Sección 5. Aplicaciones del teorema 23
Criptografía 24
Biografías 29
Pierre Fermat
Leonhard Euler
30
33
Conclusión 36
recomendaciones 37
Bibliografía 38
4
Teorema Euler-Fermat Teoría de números
INTRODUCCIÓN
La realización de este trabajo lo hago como un requisito para optar al grado de
licenciatura.
La elección del tema el teorema de Euler-Fermat se debió a su importancia que
tiene en el campo de los números.
El trabajo ha sido confeccionado a base de consultas, de bibliografía
especializada en el tema y discusiones periódicas con el profesor asesor y
compañeros de clase en exposición de charlas del mismo.
Nuestro objetivo principal de este trabajo es presentar y analizar varias
demostraciones del teorema de Euler-Fermat resaltando los aportes de Pierre
Fermat y Leonhard Euler y sus aplicaciones.
Con este trabajo se espera sirva de guía y apoyo a otros compañeros y poner
de manifiesto su importancia.
Hemos dividido el trabajo en un solo capitulo, y dentro de este 5 secciones y un
anexo.
El primero lo dedicamos a la historia, resaltando una breve cronología de
las matemáticas en función del tema elegido.
La segunda sección la dedicamos a la teoría y definiciones como
requisito a las demostraciones del teorema de Euler-Fermat.
En la tercera sección presentamos varias demostraciones del teorema
de Euler-Fermat.
En la cuarta sección presentamos algunas consecuencias del teorema
de Fermat.
En la quinta sección presentamos aplicaciones del teorema.
Como anexo presentamos las biografías de Pirre de Fermat y Leonhard
Euler.
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Teorema Euler-Fermat Teoría de números
SECCIÓN 1.
Connotación histórica
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Teorema Euler-Fermat Teoría de números
HISTORIA
Los matemáticos del siglo XX llevaron a cabo una actividad intelectual muy
sofisticada que no resulta fácil de definir, pero gran parte de lo que hoy se
conoce como matemática es el resultado de un pensamiento que originalmente
se centro en los conceptos de número, magnitud y forma.
Durante un cierto tiempo se pensó que la matemática se refería directamente al
mundo de nuestra experiencia sensible, y solo en el siglo XIX se libero la
matemática pura de las limitaciones que implican las observaciones de la
naturaleza.
Las afirmaciones que se hagan acerca de los orígenes de la matemática, ya
sea de la aritmética o de la geometría, serán necesariamente arriesgadas y
conjeturales, ya que, en cualquier caso, los orígenes de esta materia son más
antiguos que el arte de la escritura.
La Aritmética y la geometría, son ramas de las matemáticas estudiadas desde
la antigüedad, la civilización china parece que fue la primera cultura en estar
interesada en la aritmética modular. Sin embargo, hasta el momento no ha sido
superada la disparidad y pobreza de información científica fidedigna sobre los
conocimientos matemáticos de la civilización china de la antigüedad. Los
chinos desarrollaron muchos problemas aritméticos y junto a estos surgieron
los problemas teóricos numéricos. Existe una hipótesis, documentada por
Joseph Needham, según la cual los números de la forma 2p − 2 fueron
estudiados por esta civilización.
Así pues, la civilización china formulo la hipótesis de que si p es primo si y sólo
si . Es verdad que, si p es primo, entonces
(este es un caso especial del pequeño teorema de Fermat), pero el recíproco
(si , entonces p es primo) no lo es, por lo que la hipótesis es
falsa.
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Teorema Euler-Fermat Teoría de números
Aunque esta hipótesis sea parcialmente incorrecta, es notable que pueda haber
sido conocida por los matemáticos de la antigüedad.
Algunos, sin embargo, sostienen que la creencia de que esta hipótesis fuera
conocida hace tanto tiempo que es fruto de un error de comprensión, y que se
desarrolló realmente en 1872.
En el continente europeo, las matemáticas no tienen un origen tan antiguo
como en muchos países del lejano y Medio Oriente.
Durante el siglo XIII surgió la figura de Leonardo de Pisa (1180-1250) más
conocido como Fibonacci.
Hablar del siglo XVII es hablar de la cuna de, quizás, los más grandes
matemáticos de la historia. Newton, Leibniz, Descartes, Pascal, Fermat, entre
otros.
Mostrando a Descarte como uno de los grandes matemáticos de todos los
tiempos, debemos justificar la afirmación, frecuentemente hecha y rara vez
discutida, de que el más grande matemático del siglo XVII fue Pierre de
Fermat.
La ciencia de la teoría de números, que había permanecido aletargada desde
la época medieval, es un buen ejemplo de los avances conseguidos en el siglo
XVII basándose en los estudios de la antigüedad clásica. La obra Las
aritméticas de Diofante ayudó a Fermat a realizar importantes descubrimientos
en la teoría de números. Alrededor de 1636, Pierre de Fermat enunció el
teorema que aparece con el siguiente texto:
Si p es un número primo, y a es un entero, entonces p divide al número
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Teorema Euler-Fermat Teoría de números
Aunque actualmente lo conozcamos como pequeño teorema de Fermat, lo
cierto es que hasta el siglo XX fue conocido como teorema de Fermat, como
recoge por ejemplo Carl Friedrich Gauss en su libro Disquisitiones arithmeticae.
El término pequeño teorema de Fermat, tal como lo conocemos actualmente,
fue usado por primera vez por el matemático alemán Kurt Hensel en 1913 en
su libro Zahlentheorie.
Für jede endliche Gruppe besteht nun ein Fundamentalsatz, welcher der kleine
Fermatsche Satz genannt zu werden pflegt, weil ein ganz spezieller Teil
desselben zuerst von Fermat bewiesen worden ist.
He aquí el teorema fundamental que se cumple en cada grupo finito, llamado
habitualmente pequeño teorema de Fermat, porque Fermat fue el primero en
probar una parte especial de él.
Kurt Hensel
Fermat estableció tal resultado en una carta a Frénicle de Bessy, pero como
era usual en él, omitió la prueba del mismo:
Tout nombre premier mesure infailliblement une des puissances -1 de quelque
progression que ce soit, et l’exposant de la dite puissance est sous-multiple du
nombre premier donné -1. (...) Et cette proposition est généralement vraie en
toutes progressions et en tous nombres premiers; de quoi je vous envoierois la
démonstration, si je n'appréhendois d'être trop long.
Todo número primo mide una de las potencias menos uno de cualquier
progresión en la que el exponente es un múltiplo del primo dado menos uno.
(...) Y esta proposición es generalmente cierta para todas las progresiones y
todos los números primos; te enviaría la prueba, si no temiese que es
demasiado larga.
En la afirmación original de Fermat, no se hace explícita la suposición de que a
y p son primos relativos.
No fue sino hasta que Leonhard Euler probó este teorema, este matemático
del siglo XVIII, ha sido uno de los más productivos en la historia de las
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Teorema Euler-Fermat Teoría de números
matemáticas. Euler empleo su gran capacidad en mucho de los campos de la
matematica, la teoría de números no fue la excepción.
Fue Euler quien se ocupó de la teoría de números de una manera definitiva.
Comenzó estudiando los teoremas de Fermat, para desarrollar a continuación
todos los aspectos de esta teoría.
A él debemos la actual teoría de congruencias, a la que llegó tras extensos
trabajos sobre la divisibilidad y tras introducir el concepto de raíz primitiva
según el módulo m.
Estudiando los teoremas de Fermat refuto una lista en las que se pueden citar:
En 1732 refuto una conjetura de Fermat que establecía que los números
de la forma son siempre primos.
En 1736 publico una demostración de otra conjetura de Fermat: si
p es primo y a es un numero entero no divisible por p, entonces
es divisible por p.
(El cual es nuestro interés de investigación)
En 1747 prolongo la lista de los tres pares de números amigos que
conocía Fermat hasta 30 pares de ellos.
Demostró que todos los números perfectos pares son de la forma dada
por Euclides, es decir, ( ) siendo primo.
El teorema de Fermat quedó demostrado como un resultado del teorema de
Euler, pues es un corolario del teorema de Euler. En notación de congruencias,
el teorema de Fermat establece que
Si p es un número primo y a es un entero no divisible por p, entonces
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Teorema Euler-Fermat Teoría de números
Dado que si p es un número primo, todos los números son
primos relativos con p, se cumple que y por tanto el teorema de
Fermat es una consecuencia directa del teorema de Euler. Por ésta razón al
teorema de Euler se le conoce en ocasiones como teorema de Euler-Fermat.
SECCIÓN N°2
TEORIA
El objeto de estudio en esta sección son las congruencias y la función φ, las
cuales nos ayudaran a la demostración del teorema de Euler-Fermat
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Teorema Euler-Fermat Teoría de números
CONGRUENCIA
En la Teoría de Números un concepto muy importante es el de las
congruencias. Fue el gran matemático alemán Karl Friedrich Gauss (1777-
1855), en su monumental obra “Disquisitiones Arithmeticae”, quien, en analogía
con el “=” para la igualdad, introdujo el símbolo “≡” para demostrar que dos
números son “congruentes”.
La teoría de congruencias se empieza a desarrollar en el siglo XIX y nos ayuda
a trabajar con números muy grades de una manera rápida y sencilla,
actualmente tiene gran utilidad en la Teoría de Grupos y Criptografías entre
otros.
Definición: Sean , con Decimos que a es congruente a b
módulo n y escribimos si y solo si , es decir, n divide a
.
(i) Es reflexividad
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Teorema Euler-Fermat Teoría de números
, pues , es decir
(ii) Es simétrica
Si
(iii) Es transitiva
Si
Si
Sumando miembro a miembro las dos igualdades:
Teorema: Si , entonces
Demostración: Dado que , tenemos que .
como , por el lema de Euclides se tiene que .
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Teorema Euler-Fermat Teoría de números
es decir,
El teorema anterior es conocido como la “ley de cancelación” para
congruencias.
Teorema: Si y es un sistema completo de
residuos n, entonces también lo es.
Demostración: Sabemos que cualquier sistema completo de residuos modulo n
debe tener n elementos, así, para ver que los enteros , que son
n, forman un sistema completo de residuos modulo m, basta demostrar que
este conjunto no tiene elementos repetidos en el sentido de que dos elementos
estén en una misma clase de equivalencia, es decir, si .
Esto debe ser cierto ya que si , implicaría por la ley de
cancelación, que . Esto último es una contradicción ya que
es un sistema completo de residuos modulo n.
Ejemplo: el conjunto es un sistema completo de residuos modulo
6, así, es un sistema reducido de residuos modulo 6.
Ejemplo: si p es primo, el conjunto es un sistema completo de
residuos modulo p y es un sistema reducido de residuos modulo p.
Función φ de Euler
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Teorema Euler-Fermat Teoría de números
Definición: Sea se define como el numero de enteros positivos
menores o iguales que n que además son primos relativos con n.
Es decir
:
: # enteros positivos, menores que y primos con n.
En la siguiente tabla se proporcionan los valores de para n de 1 a 12:
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Teorema Euler-Fermat Teoría de números
Es muy fácil determinar si p es primo. Es efecto, observe que si p es un
numero primo, entonces todos los números son primos con p,
como estos son números, se tiene que p es primo, entonces .
Teorema: si p es un número primo positivo y si r es un entero positivo entonces
Demostración: existen enteros positivos menores o iguales que . De ellos,
hay números que son divisibles por p y los demás son primos relativos con
. De modo que =
Teorema: si n y m son numero enteros positivos tales que cualquier primo que
divida a m también divide a n, entonces
Demostración: consideremos el arreglo
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Teorema Euler-Fermat Teoría de números
Vamos a calcular . En la primera fila hay números primos relativos
con n y, como los divisores primos de m también lo son de n, entonces el
número de elementos en esa fila que son primos con mn es Por otra
parte como todos los elementos en la misma columna son congruentes modulo
n entonces todos ellos son primos con n o todos no son primos con n.
Esto significa que en cada fila hay números primos con n por lo tanto hay
números primos con Como hay m columnas entonces la cantidad de
números primos con que hay en el arreglo es
Es decir
Ejemplo: Puesto que el único divisor primo de 2 es 2 y este divide a 6 entonces
Teorema: la función φ de Euler es multiplicativa; esto es, si x, y son números
enteros positivos primos relativos entonces:
Demostración:
Arreglemos los enteros desde 1 hasta de la siguiente forma sugerida
por las clases residuales modula a:
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Teorema Euler-Fermat Teoría de números
En la primera fila hay enteros primos con x. por otra parte en cada
columna los enteros son de la forma (para ).Pero
y por lo tanto, si el entero de k tiene un divisor común con x,
entonces todos los enteros de esa columna tienen un divisor común con x. esto
significa que hay columnas de enteros que son primos relativos con x.
Además, en cada columna, enteros son primos relativos con y. puesto
que enteros en cada una de las columnas de enteros primos con x
son también primos con y, entonces el números de enteros de 1 a que son
primos a x y a y es Puesto que , entonces un numero
es primo a si y solo si es primo a ambos, por lo tanto
Teorema: sea n un entero positivo y sea la
desconposicion prima de n, entonces
Demostración: tenemos:
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Teorema Euler-Fermat Teoría de números
Siguiendo el proceso llegamos a
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Teorema Euler-Fermat Teoría de números
SECCIÓN N°3
DEMOSTRACIONES DEL TEOREMA
EULER-FERMAT
Leonhard Euler dedujo la generalización del teorema de Fermat del
siguiente teorema:
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Teorema Euler-Fermat Teoría de números
Teorema: el conjunto de elementos distintos de cero de que no son
divisores de 0 forman grupo bajo la multiplicación modulo n.
Demostración:
Se debe mostrar que es cerrado bajo la multiplicación módulo n.
Sea .
Si entonces existiría en tal que
Ahora, implica que
Como y , tenemos , por definición de . Pero, entonces
implica que , contrario a la hipótesis. Es decir se ha mostrado
que, para cualquier anillo, el conjunto de elementos que no son divisores de
cero es cerrado bajo la multiplicación.
Se debe mostrar ahora que es un grupo.
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Teorema Euler-Fermat Teoría de números
la multiplicación módulo n es asociativa y .
Ahora se debe mostrar que, para , existe tal que .
Sean
Los elementos de .
Los elementos
son todos diferentes, pues si , entonces y como
y por tanto, no es un divisor de cero, se debe tener que o .
En consecuencia, contando, encontramos que o alguna debe ser 1,
de modo que a tiene inverso multiplicativo.
Leonhard Euler dio en 1736 la primera demostración del teorema de Fermat, en
un artículo titulado Theorematum Quorundam ad Números Primos Spectantium
Demonstratio, basada en el uso del desarrollo binomial;22
Teorema Euler-Fermat Teoría de números
Se demuestra por inducción matemática sobre los números naturales.
Sea ,
sabemos que es divisible por p primo.
Supongamos ahora que se aplica para 2, entonces;
tendremos que
Si se aplica a todos los números hasta n se cumple la proposición, y se puede
demostrar que para también se cumple, entonces se cumplirá para todo
n.
Supongamos que
Utilizando el binomio de Newton para expandir la potencia
Agrupando factores y reordenando la identidad:
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Teorema Euler-Fermat Teoría de números
Dado que el número resultante del sumatorio del miembro de la derecha es
divisible por p, porque el coeficiente binomial
es divisible por p para y p primo, y es divisible por p por
hipótesis inductiva, tenemos que es divisible por p.
Repitiendo el proceso vemos que se cumple para toda n, con lo cual queda
demostrado el teorema.
La siguiente demostración es la generalización del “teorema de Fermat”,
y se conoce como el teorema de Euler-Fermat.
Teorema: (De Euler) Sin entonces,
Demostración:
Considere los enteros positivos menores que n y primos
relativos con n.
Sea a cualquier número tal que
Son los primos relativos a n y no hay dos de ellos que sean congruentes entre
sí modulo n. Por lo tanto, estos últimos deben ser congruentes, con un
reordenamiento, a los números , es decir
= ≡
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Teorema Euler-Fermat Teoría de números
Además, como el , i tenemos que mcd
y asi, podemos aplicar la ley de cancelación de congruencias, luego
Este resultado es otro de los grandes aportes de Euler a la Teoría de Numeros.
La siguiente demostración se realiza usando sistema completo de
residuo.
Teorema (De Fermat). Si p es primo, todo entero a satisface y
todo entero a no divisible por p satisface
Demostración:
Supongamos primero que Como es un sistema
completo de residuos módulos p y
es un sistema completo de residuos módulo p.
Como tenemos que es un reordenamiento, modulo
p, de . así,
Dado que pues p es primo, tenemos que es decir
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Teorema Euler-Fermat Teoría de números
de donde se obtiene el resultado.
Para completar la demostración basta multiplicar por a,
para obtener que sería cierto para , y es trivialmente
cierta en el caso que .
La siguiente demostración se realiza usando sistema reducido de restos.
Teorema de Euler: Si , entonces
Demostración:
En efecto, consideremos un sistema reducido de restos modulo m:
Entonces, como
el conjunto: , es también un sistema reducido de
restos modulo m.
Por consiguiente, a cada le corresponde un solo un tal que:
Además, a elementos diferentes de R, le corresponderán elementos diferentes
de , por tanto, , son congruentes con
modulo m (no necesariamente en ese orden).
Luego,
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Teorema Euler-Fermat Teoría de números
≡
≡
Y como , y aplicando la ley de cancelación de
congruencias, se tiene:
Conforme se quería demostrar.
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Teorema Euler-Fermat Teoría de números
SECCIÓN N°4
Consecuencia del teorema de Euler-Fermat .
El recíproco del teorema de Fermat
El teorema de Fermat establece que para todo entero a no divisible por el primo
p, se satisface la congruencia
Es natural investigar inversamente si del hecho de que sea válida una
congruencia de este tipo se desprende que el módulo es primo. En general tal
conclusión es inválida. Existen números a y n tales que, a no es congruente
con y sin que n sea primo.
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Teorema Euler-Fermat Teoría de números
Sin embargo, imponiendo restricciones adicionales en el número a de la
congruencia anterior, es posible expresar una forma recíproca del teorema de
Fermat.
Teorema de Lucas:
Cuando para algún entero a la congruencia vale, mientras
que ninguna congruencia semejante con exponentes menor
, n-1>t>0
se cumple, el modulo n es primo.
Demostración: la condición del teorema establece que a pertenece al
exponente n-1( ).mas el mayor exponente al cual puede a pertenecer es
. Debemos recordar además que donde las pi son los
distintos primos que dividen a n de modo que
lo cual muestra que podemos tener solo cuando n=p1 es primo.
El Teorema de Lucas no es practico cuando se trata de verificar, en la forma en
que el teorema esta, si un numero es primo. Pero unas observaciones lo
mejoran.
Números con la propiedad de fermat
Para ciertos números compuestos n pueden existir números a para los cuales
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Teorema Euler-Fermat Teoría de números
Pero más notable es el hecho de que se pueden hallar números n que no son
primos y tales que la congruencia de Fermat se satisface para todo entero a
primo con n. Estos números se dice que poseen la propiedad de Fermat, se les
llaman números pseudoprimo, estos números tienen la peculiaridad de que
pueden pasar el test de primalidad de Fermat algunas veces, siendo
reconocidos como falsos primos
Definición: Un pseudoprimo es un número que pasa una prueba de número
primo y sin embargo es compuesto.
Una de las pruebas más aplicadas para determinar si un número es primo es el
pequeño teorema de Fermat, la manera de comprobar esto es escogiendo un
base cualquiera y comprobar si se verifica el teorema. Sin embargo, no supone
ninguna garantía, desde luego si no lo verifica, podemos afirmar que el número
es compuesto, pero si lo verifica, no podemos afirmar con seguridad que sea
primo. Cuando el número pasa la prueba en una base al número de la base se
le llama mentiroso y se dice que ese número es pseudoprimo, si no la pasa,
testigo.
Ejemplo: Veamos si 205 es pseudoprimo en base 42.
luego 205 es compuesto.
.
30
Teorema Euler-Fermat Teoría de números
SECCIÓN N°5
Aplicaciones del teorema
31
Teorema Euler-Fermat Teoría de números
CRIPTOGRAFÍA
Definición: La criptografía es el estudio de los métodos de enviar mensajes en
forma disfrazada, de manera, que solo los que lo reciban pueden quitarle el
disfraz y leerlo.
La criptografía con clave pública corresponde a un código que se agrega para
asegurar la confidencialidad de los mensajes con la ayuda de dos claves
criptográficas. Una, que permite cifrar el mensaje, es pública. La otra, que tiene
como objetivo el descifrado, es privada.
Una importante familia de códigos asimétricos utiliza la tecnología llamada
RSA. La clave secreta está determinada por la descomposición de un número
entero grande, a menudo de varias centenas de cifras. Éste tiene dos factores
primos. Lo esencial de las técnicas industriales de principios del siglo XXI se
basa en el pequeño teorema de Fermat para generar grandes números primos
o para comprobar la primalidad de un número.
Criptosistema RSA
El primer avance en los sistemas de llave publica lo realizaron en 1977 Ron
Rivest, Adi Shamir y Leonard Adleman cuando inventaron el criptosistema
RSA. A pesar de que recientemente se ha conseguido rebatir su seguridad, se
le considera como uno de los criptosistemas más seguros. Quiza también, el
más sencillo de comprender e implementar.
Este criptosistema utiliza operaciones fundamentales sobre Zn, donde n es el
producto de dos primos p y q.
Definición
Sea , donde , números primos.
Sea : primos, , el espacio llave.
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Teorema Euler-Fermat Teoría de números
Para cada , defínanse las función de encripción
y la función de desencripción,
Donde . Entonces, a este criptosistema se le denomina RSA.
Se puede verificar fácilmente que la función de encripcion y la desencripcion
son operaciones inversas. Por definición,
tenemos que,
para algún entero Supongamos que ; entonces,
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Teorema Euler-Fermat Teoría de números
Vamos a describir como trabaja el RSA. Primeramente, cada usuario escoge
dos números primos grandes (donde y k es el numero de
usuario) y hacen . Conociendo la factorización de es fácil calcular
.
Ahora los usuarios escogen, cada uno, un numero entero aleatorio ,
que sea primo relativo con (esto lo pueden hacer con la
ayuda de algún programa generador de numero aleatorios o
pseudoaleatorios).
Por último, los usuarios calculan en secreto , un inverso de modulo
Para la función de inscripción utilizaran la llave pública y para la función
de desencripcion, la llave secreta.
Veamos un ejemplo con números relativamente pequeños. Pero, debe tenerse
en cuenta que en la práctica p y q tienen más de 100 cifras cada uno.
Ejemplo:
Supóngase que Boris escoge Entonces y
. Se utilizara un entero e para la encripcion si y
solo si e es un primo relativo con . Supongamos que Boris escoge
luego efectivamente Para la decodificacion se usaran un
34
Teorema Euler-Fermat Teoría de números
entero d que resuelva Para esto, mediante el algoritmo
euclidiano se calcula,
Así,
Esto es, , por lo tanto, el valor d, correspondiente a
es 43.
Luego, Boris publica en un directorio y, mantiene en secreto
Ahora, supóngase que Ana desea enviarle a Boris el mensaje:
C A M P O S
35
Teorema Euler-Fermat Teoría de números
Debe utilizar la llave pública e = 7 para en cifrar el texto simple
:
Obteniendo el texto en clave:
Si Boris recibe este texto y quiere descifrarlo, solamente debe aplicar su llave
privada a cada uno de los elementos. Por ejemplo, para descodificar
141, calcular
Dado que
estas potencias no son difíciles de obtener,
36
Teorema Euler-Fermat Teoría de números
entonces,
37
Teorema Euler-Fermat Teoría de números
Biografía
A continuación se presenta las biografías de Pirre de Fermat, y Leonhard Euler.
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Teorema Euler-Fermat Teoría de números
Pierre Fermat
Nació: 17 de agosto de 1601 en Beaumont-de-Lomagne, Francia, murió el 12
de enero de 1665 en Castres, Francia El padre de Pierre Fermat era un rico
comerciante y cónsul segundo de Beaumont - de - Lomagne. Pierre tuvo un
hermano y dos hermanas y casi de seguro creció en el lugar dónde nació.
Aunque hay poca evidencia respecto a su educación escolar, debe haber sido
educado en el monasterio franciscano del lugar.
Asistió a la Universidad de Toulouse antes de mudarse a Burdeos durante la
segunda mitad de la década de 1620. Fermat tuvo una carrera apacible,
caracterizada por un cuidado ejemplar de hacer bien su tarea y, en sus
momentos de ocio, supo crearse ocupaciones literarias y apasionarse por las
matemáticas, aunque Fermat disfrutaba de la literatura y escribió muchos
versos, lo que realmente amaba era las matemáticas.
En su juventud, con su amigo el científico y filósofo Blaise Pascal, realizó una
serie de investigaciones sobre las propiedades de los números, las cuales
nunca quiso publicar, incluso, llegó a escribir a Pascal:
"No quiero que aparezca mi nombre en ninguno de los trabajos considerados
dignos de exposición pública"
39
Teorema Euler-Fermat Teoría de números
En Burdeos comenzó sus primeras investigaciones científicas serias y en 1629
le dio a uno de los matemáticos de allí su restauración del Plane loci de
Apolonio.
Sin duda estuvo en contacto con Beaugrand en Burdeos y durante esa época
produjo importantes trabajos sobre máximos y mínimos que le entregó a
Étienne d'Espagnet quien compartía con Fermat sus intereses matemáticos.
Desde Burdeos, Fermat fue a Orleáns donde estudió leyes en la Universidad.
Obtuvo el grado en ley civil y compró las oficinas de consejero en el parlamento
de Toulouse. Así que para 1631, Fermat era abogado y oficial gubernamental
en Toulouse y gracias al puesto que ocupaba tuvo el derecho de cambiar su
nombre de Pierre Fermat a Pierre de Fermat.
El resto de su vida la pasó en Toulouse pero además de trabajar allí también lo
hizo en su pueblo natal, Beaumont-de-Lomagne, y en la cercana ciudad de
Castres. Desde su nombramiento el 14 de mayo de 1631, Fermat trabajó en la
cámara baja del parlamento pero el 16 de enero de 1638 fue nombrado a la
cámara alta; en 1652 fue promovido ala nivel más alto de la corte criminal. Más
promociones parecen indicar una subida casi meteórica en su profesión pero
estas se daban mayormente por antigüedad y como la peste azotó la región a
principios de la década de 1650, muchos hombres mayores murieron. Fermat
mismo sufrió la peste y en 1653 su muerte fue erróneamente anunciada y
después corregida.
Fermat, un hombre de gran erudición, tiene contacto con hombres de
conocimiento por todos lados. Fermat publicó rara vez sus descubrimientos;
apenas algunas notas como apéndice a tratados escritos por otros. Como
trabajaba para entretenerse, sus resultados más bellos aparecen en los
márgenes de estos tratados, y un gran número de sus trabajos se han perdido.
Mantuvo correspondencia con todos los científicos de su época; su reputación
de matemático competente fue inmensa, y la estima en la que se le tuvo fue
general. Pascal confesó que era “aquel a quien tengo por el gran geómetra de
toda Europa”, y este personaje tan atrayente, de un carácter constante, afable,
poco susceptible, sin orgullo, contribuyó ampliamente a la evolución las
40
Teorema Euler-Fermat Teoría de números
matemáticas en campos tan variados como la geometría analítica, el cálculo
diferencial e integral, la teoría de números y la teoría de probabilidades. Los
principales escritos de Fermat fueron publicados, después de muerte, por su
hijo Samuel en 1679, bajo el título de Varia opera mathematica.
Aunque esta publicación no encierra más que una parte de su producción,
basta por sí sola para clasificar al célebre habitante de Toulouse como el más
importante matemático Francés del siglo XVII.
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Teorema Euler-Fermat Teoría de números
Leonhar Euler
Nació el 15 de abril de 1707 en Basel, Suiza. Su padre Paul Euler había
estudiado teología en la Universidad de Basel y era un ministro protestante.
Las facultades que desde temprana edad demostró para las matemáticas
pronto le ganaron la estima del patriarca de los Bernoulli, Johann, uno de los
más eminentes matemáticos de su tiempo y profesor de Euler en la
Universidad de Basilea. Tras graduarse en dicha institución en 1723, cuatro
años más tarde fue invitado personalmente por Catalina I para convertirse en
asociado de la Academia de Ciencias de San Petersburgo, donde coincidió con
otro miembro de la familia Bernoulli, Daniel, a quien en 1733 relevó en la
cátedra de matemáticas. A causa de su extrema dedicación al trabajo, dos
años más tarde perdió la visión del ojo derecho, hecho que no afectó ni a la
calidad ni al número de sus hallazgos.
El 7 de enero de 1734, se casó con Katharina Gsell. Tuvieron trece hijos,
aunque sólo cinco sobrevivieron su infancia. Euler manifestó que muchos de
sus mayores descubrimientos los hacía mientras sostenía a un bebé en sus
brazos y los demás se encontraban jugando alrededor de sus pies.
En 1741, por invitación de Federico el Grande se trasladó a la Academia de
Berlín, donde refinó los métodos y las formas del cálculo integral (no sólo 42
Teorema Euler-Fermat Teoría de números
gracias a resultados novedosos, sino también a un cambio en los habituales
métodos de demostración geométricos, que sustituyó por métodos
algebraicos), que convirtió en una herramienta de fácil aplicación a problemas
de física.
Con ello configuró en buena parte las matemáticas aplicadas de la centuria
siguiente (a las que contribuiría luego con otros resultados destacados en el
campo de la teoría de las ecuaciones diferenciales lineales), además de
desarrollar la teoría de las funciones trigonométricas y logarítmicas
(introduciendo de paso la notación e para definir la base de los logaritmos
naturales). En 1748 publicó la obra Introductio in analysim infinitorum, en la que
expuso el concepto de función en el marco del análisis matemático, campo en
el que así mismo contribuyó de forma decisiva con resultados como el teorema
sobre las funciones homogéneas y la teoría de la convergencia. En el ámbito
de la geometría desarrolló conceptos básicos como los del ortocentro, el
circuncentro y el baricentro de un triángulo, y revolucionó el tratamiento de las
funciones trigonométricas al adoptar ratios numéricos y relacionarlos con los
números complejos mediante la denominada identidad de Euler; a él se debe la
moderna tendencia a representar cuestiones matemáticas y físicas en términos
aritméticos.
En el terreno del álgebra obtuvo así mismo resultados destacados, como el de
la reducción de una ecuación cúbica a una bicuadrada y el de la determinación
de la constante que lleva su nombre. A lo largo de sus innumerables obras,
tratados y publicaciones introdujo gran número de nuevas técnicas y contribuyó
sustancialmente a la moderna notación matemática de conceptos como
función, suma de los divisores de un número y expresión del número imaginario
raíz de menos uno. También se ocupó de la teoría de números, campo en el
cual su mayor aportación fue la ley de la reciprocidad cuadrática, enunciada en
1783. A raíz de ciertas tensiones con su patrón Federico el Grande, regresó
nuevamente a Rusia en 1766, donde al poco de llegar perdió la visión del otro
ojo. A pesar de ello, su memoria privilegiada y su prodigiosa capacidad para el
tratamiento computacional de los problemas le permitieron continuar su
actividad científica; así, entre 1768 y 1772 escribió sus Lettres à une princesse
d’Allemagne, en las que expuso concisa y claramente los principios básicos de
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Teorema Euler-Fermat Teoría de números
la mecánica, la óptica, la acústica y la astrofísica de su tiempo. De sus trabajos
sobre mecánica destacan, entre los dedicados a la mecánica de fluidos, la
formulación de las ecuaciones que rigen su movimiento y su estudio sobre la
presión de una corriente líquida, y, en relación a la mecánica celeste, el
desarrollo de una solución parcial al problema de los tres cuerpos –resultado
de su interés por perfeccionar la teoría del movimiento lunar–, así como la
determinación precisa del centro de las órbitas elípticas planetarias, que
identificó con el centro de la masa solar.
El 18 de septiembre de 1783, aproximadamente a las cinco de la tarde, sufrió
una hemorragia cerebral. Alrededor de las once de la noche pereció en San
Petersburgo, Rusia.
Tras su muerte, se inició un ambicioso proyecto para publicar la totalidad de su
obra científica, compuesta por más de ochocientos tratados, lo cual lo convierte
en el matemático más prolífico de la historia.
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Teorema Euler-Fermat Teoría de números
CONCLUSIÓN
Con este trabajo ponemos de manifiesto que en la matemática no existen
resultados triviales y que es importante reformular ideas con el fin de
proporcionar medios para la creación de nuevas teorías.
A medida de conclusiones particulares podemos señalar las siguientes:
1. El interés permanente de los matemáticos por la Teoría de Números.
2. Grandes matemáticos han dedicado esfuerzos en esta rama de la
matemática, tales como, Pierre de Fermat, Leonhard Euler, etc...
3. Una de las características de la teoría de números es la facilidad con
que surgen gran cantidad de problemas muchos de los cuales pueden
ser abordados, en principio, sin necesitar grandes requisitos.
4. Las pruebas del teorema de Euler-Fermat están basadas esencialmente
en teoremas sobre congruencias y teoría de números
5. Sobre la importancia del teorema de Euler-Fermat podemos destacar
sus amplias aplicaciones en la criptografía y los test de primalidad.
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Teorema Euler-Fermat Teoría de números
RECOMENDACIONES
Este trabajo de investigación, es realizado con la finalidad de que sirva
de motivación para otros lectores, para seguir realizando trabajos en el
campo de la investigación, y así poder dar aportes al campo de la
Matemática.
Hay que realizar más trabajos de investigación en temas de la teoría de
números.
Los estudiantes de matemáticas deben estudiar temas relacionados con
la teoría de números.
El teorema de Euler-Fermat es importantes pues nos ayuda a dar
solución a aplicaciones de la congruencias
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Teorema Euler-Fermat Teoría de números
BIBLIOGRAFIA
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