Teorema di PITAGORA - TIM e Telecom in un unico portale Tr... · MB - Ingegneria UNIUD is...
Transcript of Teorema di PITAGORA - TIM e Telecom in un unico portale Tr... · MB - Ingegneria UNIUD is...
![Page 2: Teorema di PITAGORA - TIM e Telecom in un unico portale Tr... · MB - Ingegneria UNIUD is PITAGORISMO Sono da attribuirsi inoltre ai pitagorici la distinzione dei numeri in pari e](https://reader030.fdocuments.net/reader030/viewer/2022021722/5c66dc2309d3f252168cfa6b/html5/thumbnails/2.jpg)
isMB - Ingegneria UNIUD [email protected] 2
La cartina a fianco mostra
i centri matematici
dell’antichità classica con i
relativi matematici
2
![Page 3: Teorema di PITAGORA - TIM e Telecom in un unico portale Tr... · MB - Ingegneria UNIUD is PITAGORISMO Sono da attribuirsi inoltre ai pitagorici la distinzione dei numeri in pari e](https://reader030.fdocuments.net/reader030/viewer/2022021722/5c66dc2309d3f252168cfa6b/html5/thumbnails/3.jpg)
isMB - Ingegneria UNIUD
Pitagora - VI sec. a.C. Matematico e filosofo greco. Secondo la tradizione nacque a Samo, intorno
al 580 a.C. (Magna Grecia) e fu discepolo di Anassimandro e di Ferecide.
Dopo aver viaggiato in Persia, Creta, Egitto, ritornato a Samo, ripartì per l'Italia (531), dove a Crotone, una cittadina delle coste della Calabria, fondò la scuola dei pitagorici.
Elementi leggendari circondarono ben presto la sua figura tanto che parecchie opere a lui attribuite sono di epoca posteriore.
3
![Page 4: Teorema di PITAGORA - TIM e Telecom in un unico portale Tr... · MB - Ingegneria UNIUD is PITAGORISMO Sono da attribuirsi inoltre ai pitagorici la distinzione dei numeri in pari e](https://reader030.fdocuments.net/reader030/viewer/2022021722/5c66dc2309d3f252168cfa6b/html5/thumbnails/4.jpg)
isMB - Ingegneria UNIUD
Il Teorema di Pitagora tratta dell’“equivalenza” più
classica riferita al triangolo rettangolo
4
![Page 5: Teorema di PITAGORA - TIM e Telecom in un unico portale Tr... · MB - Ingegneria UNIUD is PITAGORISMO Sono da attribuirsi inoltre ai pitagorici la distinzione dei numeri in pari e](https://reader030.fdocuments.net/reader030/viewer/2022021722/5c66dc2309d3f252168cfa6b/html5/thumbnails/5.jpg)
isMB - Ingegneria UNIUD
Enunciato e terne pitagoriche “L’area del quadrato che
ha per lato l’ipotenusa di un triangolo rettangolo è uguale alla somma delle aree dei due quadrati che hanno per lati i cateti dello stesso triangolo”.
Questa proprietà vale per qualsiasi triangolo rettangolo.
3
4 5
Analogamente vale per la terna (5,12,13) 25+144=1695
![Page 6: Teorema di PITAGORA - TIM e Telecom in un unico portale Tr... · MB - Ingegneria UNIUD is PITAGORISMO Sono da attribuirsi inoltre ai pitagorici la distinzione dei numeri in pari e](https://reader030.fdocuments.net/reader030/viewer/2022021722/5c66dc2309d3f252168cfa6b/html5/thumbnails/6.jpg)
isMB - Ingegneria UNIUD
Il teorema di Pitagora in formule...
da cui si ricavano anche:
6
![Page 7: Teorema di PITAGORA - TIM e Telecom in un unico portale Tr... · MB - Ingegneria UNIUD is PITAGORISMO Sono da attribuirsi inoltre ai pitagorici la distinzione dei numeri in pari e](https://reader030.fdocuments.net/reader030/viewer/2022021722/5c66dc2309d3f252168cfa6b/html5/thumbnails/7.jpg)
isMB - Ingegneria UNIUD
Applicazioni del teorema di Pitagora
In gran parte delle figure piane si può ricavare un triangolo rettangolo tracciando opportunamente altezze, diagonali, apotemi, raggi, ecc.
È ovvio che tutte le volte in cui ciò accade, sarà possibile applicare, al triangolo rettangolo ricavato, il teorema di Pitagora.
seguono alcuni casi fra i più rappresentativi
7
![Page 8: Teorema di PITAGORA - TIM e Telecom in un unico portale Tr... · MB - Ingegneria UNIUD is PITAGORISMO Sono da attribuirsi inoltre ai pitagorici la distinzione dei numeri in pari e](https://reader030.fdocuments.net/reader030/viewer/2022021722/5c66dc2309d3f252168cfa6b/html5/thumbnails/8.jpg)
isMB - Ingegneria UNIUD
Triangolo isoscele ed equilateroSe in un qualsiasi
triangolo si traccia l’altezza relativa ad uno dei lati, si ottengono due triangoli rettangoli a ciascuno dei quali è possibile applicare le formule relative al teorema di Pitagora.
h
l
h
l
8
![Page 9: Teorema di PITAGORA - TIM e Telecom in un unico portale Tr... · MB - Ingegneria UNIUD is PITAGORISMO Sono da attribuirsi inoltre ai pitagorici la distinzione dei numeri in pari e](https://reader030.fdocuments.net/reader030/viewer/2022021722/5c66dc2309d3f252168cfa6b/html5/thumbnails/9.jpg)
isMB - Ingegneria UNIUD
quadrato e triangolo rettangolo isoscele Se in un quadrato viene
tracciata una diagonale, si ottiene un triangolo rettangolo isoscele. Gli angoli acuti di tale triangolo misurano 45°.
Il cateto e l’ipotenusa di tale triangolo rettangolo, come del resto il lato e la diagonale del quadrato, stanno in una particolare relazione:
i
c
c
l
dl
45°
45°
A
B C
D
9
![Page 10: Teorema di PITAGORA - TIM e Telecom in un unico portale Tr... · MB - Ingegneria UNIUD is PITAGORISMO Sono da attribuirsi inoltre ai pitagorici la distinzione dei numeri in pari e](https://reader030.fdocuments.net/reader030/viewer/2022021722/5c66dc2309d3f252168cfa6b/html5/thumbnails/10.jpg)
isMB - Ingegneria UNIUD
Triangolo rett. con angoli di 30° e 60°
Applicando il teorema di Pitagora al triangolo rettangolo isoscele CHB si ricava la seguente relazione:
BA
C
H
l
h
l/2
l30°
60°
10
![Page 11: Teorema di PITAGORA - TIM e Telecom in un unico portale Tr... · MB - Ingegneria UNIUD is PITAGORISMO Sono da attribuirsi inoltre ai pitagorici la distinzione dei numeri in pari e](https://reader030.fdocuments.net/reader030/viewer/2022021722/5c66dc2309d3f252168cfa6b/html5/thumbnails/11.jpg)
isMB - Ingegneria UNIUD
Triangolo equilatero
è facile dimostrare che la superficie di un triangolo equilatero è data da: A B
C
Hb
h
Poiché risulta che
11
S(ABC ) =12b ⋅h =
12 ⋅
23 =
2
43
![Page 12: Teorema di PITAGORA - TIM e Telecom in un unico portale Tr... · MB - Ingegneria UNIUD is PITAGORISMO Sono da attribuirsi inoltre ai pitagorici la distinzione dei numeri in pari e](https://reader030.fdocuments.net/reader030/viewer/2022021722/5c66dc2309d3f252168cfa6b/html5/thumbnails/12.jpg)
isMB - Ingegneria UNIUD
Rombo
Se in un rombo vengono tracciate le due diagonali, si ottengono quattro triangoli rettangoli congruenti. Vale:
l
d12
⎛⎝⎜
⎞⎠⎟2
+d22
⎛⎝⎜
⎞⎠⎟2
= 2
12
![Page 13: Teorema di PITAGORA - TIM e Telecom in un unico portale Tr... · MB - Ingegneria UNIUD is PITAGORISMO Sono da attribuirsi inoltre ai pitagorici la distinzione dei numeri in pari e](https://reader030.fdocuments.net/reader030/viewer/2022021722/5c66dc2309d3f252168cfa6b/html5/thumbnails/13.jpg)
isMB - Ingegneria UNIUD
Trapezio rettangolo
Se in un trapezio rettangolo si traccia l’altezza, si ottiene un triangolo rettangolo.
Se in un trapezio rettangolo si traccia una diagonale, si ottiene ancora un triangolo rettangolo.
l
h
d
h
b1
13
![Page 14: Teorema di PITAGORA - TIM e Telecom in un unico portale Tr... · MB - Ingegneria UNIUD is PITAGORISMO Sono da attribuirsi inoltre ai pitagorici la distinzione dei numeri in pari e](https://reader030.fdocuments.net/reader030/viewer/2022021722/5c66dc2309d3f252168cfa6b/html5/thumbnails/14.jpg)
isMB - Ingegneria UNIUD
Trapezio isoscele Se in un trapezio isoscele
viene tracciata un’altezza, si ottiene un triangolo rettangolo.
Se in un trapezio isoscele si tracciano un’altezza ed una diagonale, si ottiene un ulteriore triangolo rettangolo.
h l
h
d
14
![Page 15: Teorema di PITAGORA - TIM e Telecom in un unico portale Tr... · MB - Ingegneria UNIUD is PITAGORISMO Sono da attribuirsi inoltre ai pitagorici la distinzione dei numeri in pari e](https://reader030.fdocuments.net/reader030/viewer/2022021722/5c66dc2309d3f252168cfa6b/html5/thumbnails/15.jpg)
isMB - Ingegneria UNIUD
Approfondimenti
1. Dimostrazione del teorema di Pitagora secondo la scuola pitagorica
2. Teoremi di Euclide 3. Dimostrazione del teorema di Pitagora alla luce
dei teoremi di Euclide4. Generalizzazione del Teorema di PITAGORA5. Varianti sull’enunciato del teorema di
PITAGORA
15
![Page 16: Teorema di PITAGORA - TIM e Telecom in un unico portale Tr... · MB - Ingegneria UNIUD is PITAGORISMO Sono da attribuirsi inoltre ai pitagorici la distinzione dei numeri in pari e](https://reader030.fdocuments.net/reader030/viewer/2022021722/5c66dc2309d3f252168cfa6b/html5/thumbnails/16.jpg)
isMB - Ingegneria UNIUD
Teorema di PITAGORA - VI° sec. a.C.
“In ogni triangolo rettangolo il quadrato costruito sull'ipotenusa é equivalente alla somma dei quadrati costruiti sui due cateti”.
Il teorema viene dimostrato nella scuola pitagorica nel VI° sec. a.C. seguendo lo schema di figura.
Segue la dimostrazione che giustifica l’equivalenza.
16
![Page 17: Teorema di PITAGORA - TIM e Telecom in un unico portale Tr... · MB - Ingegneria UNIUD is PITAGORISMO Sono da attribuirsi inoltre ai pitagorici la distinzione dei numeri in pari e](https://reader030.fdocuments.net/reader030/viewer/2022021722/5c66dc2309d3f252168cfa6b/html5/thumbnails/17.jpg)
isMB - Ingegneria UNIUD
Teorema di PITAGORA - VI° sec. a.C.
17
![Page 18: Teorema di PITAGORA - TIM e Telecom in un unico portale Tr... · MB - Ingegneria UNIUD is PITAGORISMO Sono da attribuirsi inoltre ai pitagorici la distinzione dei numeri in pari e](https://reader030.fdocuments.net/reader030/viewer/2022021722/5c66dc2309d3f252168cfa6b/html5/thumbnails/18.jpg)
isMB - Ingegneria UNIUD
Teorema di Pitagora “inverso”
18
![Page 19: Teorema di PITAGORA - TIM e Telecom in un unico portale Tr... · MB - Ingegneria UNIUD is PITAGORISMO Sono da attribuirsi inoltre ai pitagorici la distinzione dei numeri in pari e](https://reader030.fdocuments.net/reader030/viewer/2022021722/5c66dc2309d3f252168cfa6b/html5/thumbnails/19.jpg)
isMB - Ingegneria UNIUD
Teorema di Pitagora
Nella figura accanto prende corpo graficamente il teorema di Pitagora così come si è soliti enunciarlo e quindi dimostrarlo. Ossia:
a
c
b
A B
C
b2
a2
c2
19
![Page 20: Teorema di PITAGORA - TIM e Telecom in un unico portale Tr... · MB - Ingegneria UNIUD is PITAGORISMO Sono da attribuirsi inoltre ai pitagorici la distinzione dei numeri in pari e](https://reader030.fdocuments.net/reader030/viewer/2022021722/5c66dc2309d3f252168cfa6b/html5/thumbnails/20.jpg)
isMB - Ingegneria UNIUD
Variante al teor. di Pitagora
Sostituendo i quadrati con i triangoli equilateri, il teorema vale ancora. Infatti …
20
![Page 21: Teorema di PITAGORA - TIM e Telecom in un unico portale Tr... · MB - Ingegneria UNIUD is PITAGORISMO Sono da attribuirsi inoltre ai pitagorici la distinzione dei numeri in pari e](https://reader030.fdocuments.net/reader030/viewer/2022021722/5c66dc2309d3f252168cfa6b/html5/thumbnails/21.jpg)
isMB - Ingegneria UNIUD
Variante al teor. di Pitagora
Sostituendo i quadrati con i semicerchi, il teorema vale ancora.
21
![Page 22: Teorema di PITAGORA - TIM e Telecom in un unico portale Tr... · MB - Ingegneria UNIUD is PITAGORISMO Sono da attribuirsi inoltre ai pitagorici la distinzione dei numeri in pari e](https://reader030.fdocuments.net/reader030/viewer/2022021722/5c66dc2309d3f252168cfa6b/html5/thumbnails/22.jpg)
isMB - Ingegneria UNIUD
Variante al teor. di Pitagora Ma anche sostituendo i
quadrati con i semicerchi dai quali vengono sottratti i rispettivi triangoli rettangoli isosceli inscritti, il teorema vale ancora. Infatti:
22
π8a2 −
a2
4=
π8b2 −
b2
4⎛⎝⎜
⎞⎠⎟+
π8c2 −
c2
4⎛⎝⎜
⎞⎠⎟
π8−14
⎛⎝⎜
⎞⎠⎟a2 =
π8−14
⎛⎝⎜
⎞⎠⎟b2 +
π8−14
⎛⎝⎜
⎞⎠⎟c2
a2 = b2 + c2
![Page 23: Teorema di PITAGORA - TIM e Telecom in un unico portale Tr... · MB - Ingegneria UNIUD is PITAGORISMO Sono da attribuirsi inoltre ai pitagorici la distinzione dei numeri in pari e](https://reader030.fdocuments.net/reader030/viewer/2022021722/5c66dc2309d3f252168cfa6b/html5/thumbnails/23.jpg)
isMB - Ingegneria UNIUD
Tr. di Pitagora generalizzatoVI° sec. a.C.
Ma la scuola pitagorica dimostrò che il teorema vale anche per i triangoli non rettangoli!
23
![Page 24: Teorema di PITAGORA - TIM e Telecom in un unico portale Tr... · MB - Ingegneria UNIUD is PITAGORISMO Sono da attribuirsi inoltre ai pitagorici la distinzione dei numeri in pari e](https://reader030.fdocuments.net/reader030/viewer/2022021722/5c66dc2309d3f252168cfa6b/html5/thumbnails/24.jpg)
isMB - Ingegneria UNIUD
Lo stesso vale ancora nel
Tr. di Pitagora generalizzatoVI° sec. a.C.
24
![Page 25: Teorema di PITAGORA - TIM e Telecom in un unico portale Tr... · MB - Ingegneria UNIUD is PITAGORISMO Sono da attribuirsi inoltre ai pitagorici la distinzione dei numeri in pari e](https://reader030.fdocuments.net/reader030/viewer/2022021722/5c66dc2309d3f252168cfa6b/html5/thumbnails/25.jpg)
isMB - Ingegneria UNIUD
PITAGORISMO
Con il termine “Pitagorismo” si chiamano le dottrine filosofiche e scientifiche elaborate dalla scuola pitagorica e i principi etico-religiosi su cui era fondata.
Il “Pitagorismo” rappresenta anche il sodalizio etico-religioso e politico, più che filosofico, in cui prevaleva assoluta l'autorità del maestro, ossia di Pitagora.
La scuola pitagorica elevò la matematica a scienza teorica e considerò il numero, in quanto esprime il rapporto oggettivo e l'ordine dei fenomeni, essenza delle cose, dando all'universo una concezione matematica e armonica.
25
![Page 26: Teorema di PITAGORA - TIM e Telecom in un unico portale Tr... · MB - Ingegneria UNIUD is PITAGORISMO Sono da attribuirsi inoltre ai pitagorici la distinzione dei numeri in pari e](https://reader030.fdocuments.net/reader030/viewer/2022021722/5c66dc2309d3f252168cfa6b/html5/thumbnails/26.jpg)
isMB - Ingegneria UNIUD
PITAGORISMO
Sono da attribuirsi inoltre ai pitagorici la distinzione dei numeri in pari e dispari, la fondazione della geometria razionale, importanti ricerche musicali.
Nel campo etico-religiso Pitagora accolse la dottrina, d'origine orfica, della preesistenza dell'anima al corpo e della metempsicosi.
Principali rappresentanti del pitagorismo antico furono: Archippo, Liside, Filolao e Cebete.
Il “Pitagorismo” si estinse alla fine del secolo quarto a. C. per risorgere poi nel neopitagorismo.
26
![Page 27: Teorema di PITAGORA - TIM e Telecom in un unico portale Tr... · MB - Ingegneria UNIUD is PITAGORISMO Sono da attribuirsi inoltre ai pitagorici la distinzione dei numeri in pari e](https://reader030.fdocuments.net/reader030/viewer/2022021722/5c66dc2309d3f252168cfa6b/html5/thumbnails/27.jpg)
isMB - Ingegneria UNIUD
NEOPITAGORISMO
Il termine “neopitagorismo” si attribuisce al movimento filosofico-religioso sorto in Alessandria nel primo secolo avanti Cristo ad opera, forse, di Nigidio Figulo. Fu caratterizzato dalla tendenza a conciliare elementi e credenze orientali con il pensiero dei filosofi greci, soprattutto di Pitagora, cui furono attribuite in questo periodo opere apocrife (ossia attribuitegli falsamente).
Principali rappresentanti del “neopitagorismo” sono: Apollonio di Tiana, Moderato di Gades, Nicomaco di Gerasa, Numenio di Apamea e in parte anche lo Pseudo-Ermete Trismegisto.
27
![Page 28: Teorema di PITAGORA - TIM e Telecom in un unico portale Tr... · MB - Ingegneria UNIUD is PITAGORISMO Sono da attribuirsi inoltre ai pitagorici la distinzione dei numeri in pari e](https://reader030.fdocuments.net/reader030/viewer/2022021722/5c66dc2309d3f252168cfa6b/html5/thumbnails/28.jpg)
isMB - Ingegneria UNIUD
Esercizi1. Cos’è una terna pitagorica? Fare almeno un
esempio.2. Calcolare l’area del quadrato di cui una
diagonale misura 15 cm.3. .
28
![Page 29: Teorema di PITAGORA - TIM e Telecom in un unico portale Tr... · MB - Ingegneria UNIUD is PITAGORISMO Sono da attribuirsi inoltre ai pitagorici la distinzione dei numeri in pari e](https://reader030.fdocuments.net/reader030/viewer/2022021722/5c66dc2309d3f252168cfa6b/html5/thumbnails/29.jpg)
isMB - Ingegneria UNIUD
Terminologia Triangolo rettangolo, cateti, ipotenusa, altezza
relativa all’ipotenusa, proiezione di un cateto sull’ipotenusa
equivalenza area della superficie congruenza
29
![Page 30: Teorema di PITAGORA - TIM e Telecom in un unico portale Tr... · MB - Ingegneria UNIUD is PITAGORISMO Sono da attribuirsi inoltre ai pitagorici la distinzione dei numeri in pari e](https://reader030.fdocuments.net/reader030/viewer/2022021722/5c66dc2309d3f252168cfa6b/html5/thumbnails/30.jpg)
isMB - Ingegneria UNIUD
Bibliografia
Storia della Matematica di CARL B. BOYER - Isedi Enciclopedia Garzanti Scientifica tecnica Enciclopedia De Agostini, vol. 2 Il metodo della geometria 2 , Melzi -Tonolini, Minerva Italica …
30