Teorema del lmite centralSi es la media de una muestra aleatoria de tamano n, tomada de una poblacin con media y varianza finita 2, entonces la forma lmite de la distribucin de

La aproximacin normal para por lo general ser buena si n 30, siempre y cuando la distribucin de la poblacin no sea muy asimtrica. Si n < 30, la aproximacin ser buena solo si la poblacin no es muy diferente de una distribucin normal y, como antes se estableci, si se sabe que la poblacin es normal, la distribucin muestral de seguir siendo una distribucin normal exacta, sin importar que tan pequeo sea el tamao de las muestras.

El tamao de la muestra n = 30 es un lineamiento para el teorema del lmite central. Sin embargo, como indica el planteamiento del teorema, la suposicin de normalidad en la distribucin de se vuelve ms precisa a medida que n se hace ms grande. De hecho, la figura 8.1 ilustra cmo funciona el teorema. La fi gura indica como la distribucin de se acerca ms a la normalidad a medida que aumenta n, empezando con la distribucin claramente asimtrica de una observacin individual (n = 1). Tambin ilustra que la media de sigue siendo para cualquier tamao de la muestra y que la varianza de se vuelve ms pequea a medida que aumenta n.

Figura 8.1: Ejemplo del teorema del lmite central (distribucin de para n = 1, n moderada y n grande).

Ejemplo 8.4: Una empresa de material elctrico fabrica bombillas que tienen una duracin que se distribuye aproximadamente en forma normal, con media de 800 horas y desviacin estndar de 40 horas. Calcule la probabilidad de que una muestra aleatoria de 16 bombillas tenga una vida promedio de menos de 775 horas.

Solucin: La distribucin muestral de ser aproximadamente normal, con = 800 y = 40/16 = 10. La probabilidad que se desea es determinada por el rea de la regin sombreada de la fi gura 8.2.

Inferencias sobre la media de la poblacinUna aplicacin muy importante del teorema del lmite central consiste en determinar valores razonables de la media de la poblacin . Temas como prueba de hiptesis, estimacin, control de calidad y muchos otros utilizan el teorema del lmite central. El siguiente ejemplo ilustra cmo se utiliza el teorema del lmite central con respecto a su relacin con , la media poblacional, aunque la aplicacin formal de los temas precedentes se deja para captulos posteriores.

En el siguiente estudio de caso proporcionamos un ejemplo en el que se hace una inferencia utilizando la distribucin muestral de . En este ejemplo sencillo se conocen y . El teorema del lmite central y el concepto general de las distribuciones muestrales a menudo se utilizan para proporcionar evidencias acerca de algn aspecto importante de una distribucin, por ejemplo uno de sus parmetros. En el caso del teorema del lmite central el parmetro que nos interesa es la media . La inferencia que se hace acerca de puede adoptar una de varias formas. Con frecuencia el analista desea que los datos (en la forma de ) respalden (o no) alguna conjetura predeterminada respecto al valor de . El uso de lo que sabemos sobre la distribucin de muestreo puede contribuir a responder este tipo de pregunta. En el siguiente estudio de caso el concepto de prueba de hiptesis conduce a un objetivo formal que destacaremos en captulos posteriores.