Teorema de Factorizaci on de Weierstrassrepository.udistrital.edu.co/bitstream/11349/12998/1/... ·...

Teorema de Factorizacion deWeierstrass

Jeisson David Bustos Rivera

Universidad Distrital Francisco Jose de Caldas

Facultad de Ciencias y Educacion

Bogota, Colombia

2018

Teorema de Factorizacion deWeierstrass

Jeisson David Bustos Rivera

Monografıa o trabajo de grado presentada(o) como requisito parcial para optar al tıtulo de:

Matematico

Director(a):

Milton del Castillo Lesmes Acosta

Universidad Distrital Francisco Jose de Caldas

Facultad de Ciencias y Educacion

Bogota, Colombia

2018

Dedicado a

Salome.

Te has convertido en un angel, y como lo fuiste

en vida, seguiras iluminando el camino de todos

hacia lo mejor que nos espera en la vida, nuestra

propia felicidad.

Espero que podamos reencontrarnos algun dıa y

contarte cuanto bien nos dejaste.

Agradecimientos

Agradezco principalmente a mi Director de tesis, el Doctor Milton del Castillo Lesmes Acos-

ta, por confiar en mi, por asesorarme en la eleccion, elaboracion y desarrollo del presente

trabajo.

Agradezco tambien a mis padres por cada dıa brindarme su confianza y apoyo, ası como

tambien las herramientas necesarias para realizar este trabajo. A mis hermanos, por estar

pendientes de mi en todo momento y brindarme cosas invaluables en mi vida, asi como tam-

bien la motivacion de estudiar y realizar este trabajo de grado. A mi padrino, por ser un

amigo en mi vida y aconsejarme a tal punto de ser la persona que soy.

Por ulimo pero no menos importante agradezco a mis companeros, en especial a Milena por

apoyarme, darme siempre los mejores consejos y motivacion.

ix

Resumen

En este trabajo se definira principalmente una funcion entera ası como tambien los ceros

que esta posee, esto con el fin de a traves del Teorema Fundamental del Algebra generali-

zar la teoria de polinomios a una funcion entera y pensar si esta puede ser factorizada. La

respuesta a esa pregunta es el Teorema de Factorizacion de Weierstrass que nos permetira

factorizar dicha funcion ubicando los ceros. Por ultimo veremos este hecho aplicado a una

funcion entera dada.

Palabras Clave: Funcion Entera, Ceros de una Funcion, Producto Infinito.

Abstract

In this paper, we will mainly define an entire function as well as the zeros that it allows,

this with the purpose of using the Fundamental Theorem of Algebra to generalize the theory

of polynomials to an entire function and to think if it can be factored. The answer to that

question is the Weierstrass factorization theorem that will allow us to factor the location

function of zeros. Finally, this fact applies to a given whole function.

Keywords: Entire Function, Zeros of a Function, Infinite Product.

x

Introduccion

Tal como se vera en el Teorema 2 del capıtulo 1, Una funcion analıtica o mas aun entera

puede ser considerada como un polinomio de grado infinito. Por lo tanto surge la siguiente

pregunta Puede la teorıa de polinomios ser generalizada a una funcion entera?. Por ejemplo,

una funcion entera puede ser factorizada?. La idea de este trabajo es dar respuesta a esas

preguntas usando y generalizando resultados del curso de variable compleja.

Los productos infinitos, como su nombre sugiere, deben entenderse en paralelo a las series

numericas, pero cambiando sumas por productos parciales. Constituyen una herramienta fun-

damental en en analisis complejo, donde el celebre Teorema de Factorizacion de Weierstrass,

permite representar toda funcion entera como producto infinito identificando claramente sus

ceros.

Iniciaremos este estudio en el capitulo 1, donde se recordaran algunas definiciones para ası

entrar en contexto con las funciones analıticas y enteras. Una vez definidas estas se pre-

sentaran teoremas de suma importancia que seran utilizados en capitulos posteriores. Por

ultimo en este capitulo veremos los ceros y polos de una funcion analıtica para ası tener ya

las herramientas necesarias para abordar nuestra tematica principal.

En el capitulo 2 se observaran primero productos infinitos de numeros complejos, princi-

palmente su convergencia y como obtener esta mediante la relacion que tiene con las series

numericas. Una vez se este familiarizado con el concepto de producto infinito para numeros

complejos el siguiente paso es hacer productos infinitos de funciones, esto se vera en la sec-

cion 2.2.

Por ultimo en el capitulo 3 definiremos los factores elementales de Weierstrass, que nos ser-

viran para escribir el producto de los infinitos ceros de una funcion de manera que dicho

producto sea uniformemente convergente. El Teorema de factorizacion de Weierstrass sera

precisamente el que nos permita construir, a partir de los ceros de una funcion entera y

usando los factores elementales de Weierstrass, un producto infinito que convergera unifor-

memente hacia la funcion original y que nos servira como representacion de la misma. Su

utilidad esta en hacer explıcitos los ceros de la funcion y precisamente veremos este hecho

aplicando el Teorema de factorizacion de Weierstrass a la funcion sin(πz).

xi

Objetivo General

Extender el Teorema Fundamental del Algebra a funciones enteras, de tal manera que dichas

funciones puedan ser representadas mediante un producto infinito localizando sus ceros.

Objetivos Especificos

1. Observar la convergencia uniforme de productos infinitos de funciones analıticas.

2. Determinar bajo que condiciones la representacion mediante un producto infinito de

una funcion entera sera valida.

3. Hallar la representacion (mediante el Teorema de Factorizacion de Weierstrass) de una

funcion entera dada localizando sus ceros.

Contenido

Agradecimientos VII

Resumen X

1 Preliminares 2

1.1 Definiciones Previas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2

1.2 Funcion Analıtica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5

1.3 Ceros y Polos de una Funcion Analıtica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13

2 Productos Infinitos 17

2.1 Productos Infinitos de Numeros Complejos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17

2.2 Productos Infinitos de Funciones . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23

3 Teorema de Factorizacion de Weierstrass 26

3.1 Teorema de Factorizacion de Weierstrass . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26

3.2 Ejemplos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32

3.2.1 Factorizacion de la Funcion Sin(πz) . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32

3.2.2 Formula de Wallis . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37

Bibliografıa 40

1 Preliminares

En este capitulo se estudiaran algunos resultados importantes de variable compleja que se

usaran en el transcurso de esta monografia. Entre dichos resultados veremos la convergencia

uniforme de una sucesion de funciones analıticas, su representacion en serie de potencias y

por ultimo todo lo relacionado respecto a los ceros de dicha funcion.

Las referencias principales para el desarrollo de este capıtulo son [1], capıtulo 5-pag 173-177,

pag 186. [2], capıtulos 2-pag 35-55, 5-pag 181-189 y 6-pag 249-256. [3], capıtulos 3-pag 30-43

y 4-pag 68-79.

1.1. Definiciones Previas

Definicion 1. Sea S un conjunto de numeros complejos. Una funcion f definida sobre S es

una regla que asigna a cada z ∈ S un numero complejo w. El numero w se llama el valor de

f en z y se denota por f(z); esto es w = f(z). El conjunto S se llama dominio de definicion

de f .

Definicion 2. Sea f una funcion definida en todos los puntos z de un entorno abierto de

z0. La afirmacion de que el limite de f(z), cuando z tiende a z0, es un numero w0, es decir

lımz→z0

f(z) = w0

significa que el punto w = f(z) puede hacerse tan proximo como se quiera al w0 si escogemos

el punto z suficientemente cercano al z0, pero distinto de el.

Lo anterior significa que, para cada numero positivo ε, existe un numero positivo δ tal que

|f(z)− w0| < ε siempre que 0 < |z − z0| < δ

Proposicion 1. Suponga que

f(z) = u(x, y) + iv(x, y) con z = x+ iy

y

z0 = x0 + iy0 , w0 = u0 + iv0

1.1 Definiciones Previas 3

Entonces

lımz→z0

f(z) = w0

si y solo si

lım(x,y)→(x0,y0)

u(x, y) = u0 y lım(x,y)→(x0,y0)

v(x, y) = v0

Demostracion. Ver [2], pagina 48.

Proposicion 2. Suponga que

lımz→z0

f(z) = w0 y lımz→z0

F (z) = W0

entonces

lımz→z0 [f(z) + F (z)] = w0 +W0

lımz→z0 [f(z)F (z)] = w0W0

Si W0 6= 0, lımz→z0f(z)F (z)

= w0

W0

Demostracion. Ver [2], Pagina 50.

Definicion 3. Sea S ⊂ C un conjunto y fn una sucesion de funciones fn : S → C y sea

tambien f una funcion de S en C. Decimos que la sucesion fn converge puntualmente a f

en S si, para todo s ∈ S, la sucesion fn(s) converge a f(s):

f(s) = lımn→∞

fn(s)

Y entonces ecribiremos fn → f (puntualmente). Esto en detalle nos dice que, para cada

s ∈ S y cada ε > 0 existe N ∈ N tal que

|fn(s)− f(s)| < ε siempre que n ≥ N

Es fundamental observar que la seleccion de N se hace luego de conocer s y ε de modo que

N depende de ambos.

Definicion 4. Sea S ⊂ C un conjunto y fn una sucesion de funciones. Sea S ⊂ C un

conjunto y fn una sucesion de funciones de S en C y f : S → C. Decimos que la sucesion

fn converge uniformemente a f en S si para cada ε > 0 existe N ∈ N tal que

|fn(s)− f(s)| < ε si n > N y s ∈ S

Decimos que f es el lımite uniforme de fn y que fn → f uniformemente en S. Es importante

observar que en este caso el valor de N es el mismo para todo s ∈ S.

4 1 Preliminares

Definicion 5. Una funcion f es continua en un punto z0 si

lımz→z0

f(z) = f(z0)

Es decir, para cada numero positivo ε existe un numero positivo δ tal que

|f(z)− f(z0)| < ε si |z − z0| < δ

Una funcion de una variable compleja se dice que es continua en una region R si lo es en

todos sus puntos.

Proposicion 3. La funcion lımite de una sucesion uniformemente convergente de funciones

continuas es continua.

Demostracion. Supongamos que las funciones fn(x) son funciones continuas y tienden uni-

formemente a f(x) en E.

Sea x0 ∈ E y elijamos ε > 0. Por la convergencia uniforme existe n ∈ N tal que |fn(x) −f(x)| < ε

3en E. Ademas puesto que fn(x) es continua, podemos hallar δ > 0 tal que

|fn(x)− f(x0)| < ε3

siempre que x ∈ E y |x− x0| < δ. Entonces

|f(x)− f(x0)| ≤ |f(x)− fn(x)|+ |fn(x)− fn(x0)|+ |fn(x0)− f(x0)|

<ε

3+ε

3+ε

3= ε

Definicion 6. Si G es un subconjunto abierto de C y f : G → C, diremos que f es

diferenciable en el punto a ∈ G si existe

lımh→0

f(a+ h)− f(a)

h

El valor de este limite es denotado por f ′(a) y es llamado la derivada de f en a.

Si f es diferenciable en cada punto de G diremos que f es diferenciable sobre G. Note que

si f es diferenciable en G, entonces f ′(a) define una funcion f ′ : G → C, si f ′ es continua

diremos que f es continuamente diferenciable.

Proposicion 4. Si f ′ : G→ C es diferenciable en el punto z0 ∈ G, entonces f es continua

en z0.

1.2 Funcion Analıtica 5

Demostracion.

lımz→z0|f(z)− f(z0)| =

[lımz→z0

|f(z)−f(z0)||z−z0|

]lımz→z0 |z − z0|

= |f ′(z0)| ∗ 0

= 0

Note que la continuidad de una funcion en un punto no implica la existencia de la derivada

en ese punto.

1.2. Funcion Analıtica

Definicion 7. Una funcion compleja f : G→ C es analıtica en un punto x0 de su dominio

si existe una serie de potencias centrada en x0

∞∑n=0

an(x− x0)n

que converge en un entorno U ⊂ C de x0 y que coincide con la funcion en dicho entorno

f(z) =∞∑n=0

an(x− x0)n para cada x ∈ U

Otra forma de definir una funcion analıtica es la siguiente, una funcion f : G→ C es analıti-

ca si f es continuamente diferenciable en G.

Se sigue como en el calculo que la suma y el producto de dos funciones analıticas son

analıticas, ademas si f y g son analıticas sobre G y G1 es el conjunto de puntos de G donde

g no sea nula, entonces f/g es analıtica en G.

Proposicion 5. (Regla de la Cadena) Sean f y g funciones analıticas en G y V respec-

tivamente, supongamos que f(G) ⊂ V entonces g f es analıtica en G y ademas

(g f)′(z) = g′(f(z))f ′(z); ∀z ∈ G

Demostracion. Ver [3], pagina 34

Proposicion 6. Supongamos que fn(z) es analıtica en la region Ωn y que la sucesion fn(z)converge a una funcion lımite f(z) en una region Ω, uniformemente en todo subconjunto

compacto de Ω. Entonces f(z) es analıtica en Ω.

Demostracion. Ver [1], Pagina 174.

6 1 Preliminares

Definicion 8. Una sucesion infinita z1, z2, ..., zn, ... de numeros complejos tiene limite z si,

para cada numero positivo ε, existe un entero positivo n0 tal que

|zn − z| < ε siempre que n > n0

Proposicion 7. Suponga que zn = xn + iyn (n = 1, 2, ...) y z = x+ iy. Entonces

lımn→∞

zn = z (1-1)

si y solo si

lımn→∞

xn = x y lımn→∞

yn = y (1-2)

Demostracion. Asumiendo primero (1-2). Para cada ε > 0 existen enteros n1 y n2 tales que

|xn − x| <ε

2siempre que n > n1

|yn − y| <ε

2siempre que n > n2

Tomando n0 = maxn1, n2 entonces

|(xn + iyn)− (x+ iy)| = |(xn − x) + i(yn − y)|≤ |xn − x|+ |yn − y|=

ε

2+ε

2= ε

Siempre que n > n0.

Asumamos ahora (1-1). Para cada ε > 0 existe un entero positivo n0 tal que

|(xn + iyn)− x+ iy)| < ε siempre que n > n0

Pero

|xn − x| ≤ |(xn − x) + i(yn − y)| = |(xn + iyn)− x+ iy)|

y

|yn − y| ≤ |(xn − x) + i(yn − y)| = |(xn + iyn)− x+ iy)|

Luego |xn − x| < ε y |yn − y| < ε siempre que n > n0.


Definicion 9. Una serie infinita∑∞

n=1 zn de numeros complejos converge a la suma S si la

sucesion sN =∑N

n=1 zn de sumas parciales converge a S, entonces escribiremos∑∞

n=1 zn = S.

Es decir, para cada ε > 0 existe un numero natural N tal que |∑m

n=1 zn − S| < ε siempre

que m ≥ N .

Proposicion 8. Suponga que zn = xn + iyn (n=1,2,...) y S = X + iY . Entonces

∞∑n=1

zn = S

si y solo si

∞∑n=1

xn = X y∞∑n=1

yn = Y


Definicion 10. La serie∑∞

n=1 zn converge absolutamente si∑∞

n=1 |zn| converge.

Proposicion 9. Si∑∞

n=1 zn converge absolutamente entonces∑∞

n=1 zn converge.


Definicion 11. Sea an∞n=0 una sucesion en C, la serie de potencias de coeficientes an∞n=0

y centro z0 es la serie funcional

∞∑n=1

an(z − z0)n

Proposicion 10. Dada una serie de potencias∑∞

n=1 an(z − z0)n se define el numero R,

0 ≤ R ≤ ∞, por

1

R= limsup |an|1/n

El cual cumple:

1. Si |z − z0| < R, la serie converge absolutamente.

2. Si |z − z0| > R, los terminos de la serie dejan de ser acotadas y la serie diverge.

3. Si 0 < r < R entonces la serie converge uniformemente en z : |z| ≤ r

8 1 Preliminares

El numero R es el unico numero con las propiedades 1. y 2. El numero R es llamado radio

de convergencia de la serie de potencias.


Teorema 1. (Formula Integral de Cauchy) Sea f analıtica en una region que contiene

a una curva simple cerrada c y a su interior, entonces para cada punto z0 encerrado por c

f(z0) =1

2πi

∫c

f(z)

z − z0dz

Demostracion. La funcion f(z)z−z0 es analıtica en todos los puntos del interior de la curva c

excepto z0, por lo tanto si cr es un circulo de radio r centrado en z0 entonces

∫c

f(z)

z − z0dz =

∫cr

f(z)

z − z0dz

Ahora basta probar que

∫cr

f(z)

z − z0dz =

∫cr

f(z0)

z − z0dz

Debido a que

f(z0)

∫cr

1

z − z0dz = 2πif(z0)

Veamos entonces que

∫cr

f(z)

z − z0dz −

∫cr

f(z0)

z − z0dz =

∫cr

f(z)− f(z0)

z − z0dz

= 0

Dado que f(z) es continua en z0, para cada ε > 0 existe δ > 0 tal que |f(z) − f(z0)| < ε

siempre que |z − z0| < δ, ası que si r < δ entonces

|∫cr

f(z)− f(z0)

z − z0dz| ≤

∫cr

|f(z)− f(z0)

z − z0dz|

=

∫cr

|f(z)− f(z0)||z − z0|

dz

≤ 2πrε

r= 2πε


Escogiendo ε lo suficientemente pequeno, 2πε→ 0. Luego

∫cr

f(z)

z − z0dz =

∫cr

f(z0)

z − z0dz

= f(z0)2πi

Si cr := |z − z0| = r

Teorema 2. Sea f analıtica en B(z0;R); entonces f(z) =∑∞

n=1 an(z−z0)n para |z−z0| < R

donde

an =1

n!f (n)(z0)

y la serie tiene radio de convergencia mayor igual que R.

El teorema anterior nos dice que funciones analıticas se pueden considerar como polinomios

de grado infinito.

Corolario 1. Si f : G→ C es analıtica y z0 ∈ G entonces

f(z) =∞∑n=1

an(z − z0)n

para |z − z0| < R, donde R = d(z0, δG).

Ejemplo.

Sea exp(z), la funcion exponencial. Es claro que si f(z) = exp(z), todas sus derivadas valen

1 en z0 = 0. De este modo por la proposicion anterior

exp(z) =∞∑n=0

zn

n!; |z| <∞

Ejemplo.

Tomemos la funcion f(z) = sin(z), de este modo las derivadas de la funcion son sin(z),

cos(z), −sin(z), −cos(z), sin(z), ..., evaluadas en z0 = 0 toman los valores 0,1,0,-1,0,..., por

lo tanto la representacion de la funcion en serie de potencias tendra solo potencias impares,

ası

sin(z) =∞∑n=0

(−1)n

(2n+ 1)!z2n+1; |z| <∞

10 1 Preliminares

Ejemplo.

Tomemos ahora la funcion log(z), se desarrollara alrededor de z0 = 1, al desarrollar las

derivadas de la funcion, evaluandolas en z0 = 1 y por ultimo haciendo el cociente con su

espectivo n-esimo factorial los respectivos valores son 0,1,-1/2,1/3,-1/4,1/5,...

por lo tanto la representacion en serie de potencias esta dada por

log(z) =∞∑n=1

(−1)n−1

n(z − 1)n

Ahora bien si sustituimos z por 1 + z obtenemos la siguiente expresion

log(1 + z) =∞∑n=1

(−1)n−1

nzn

y es convergente en el disco |z| < 1.

Corolario 2. Si f : G→ C es analıtica entonces f es infinitamente diferenciable.

Corolario 3. Si f : G→ C es analıtica y D(z0; r) ⊂ G entonces

f (n)(z0) =n!

2πi

∫γ

f(z)

(z − z0)n+1dz; n = 0, 1, 2, ...

donde γ(t) = a+ reit, 0 ≤ t ≤ 2π

Teorema 3. (Desigualdad o Estimativa de Cauchy) Si f es analıtica dentro y sobre

un circulo CR orientado positivamente con centro en z0 y radio R. Si MR es el maximo valor

de |f(z)| sobre CR entonces

|f (n)(z0)| <n!MR

Rn; n = 1, 2, ...

Demostracion.

|f (n)(z0)| = | n!

2πi

∫CR

f(z)

(z − z0)n+1dz|

=n!

2πi|∫CR

f(z)

(z − z0)n+1dz|

≤ n!

2πi

∫CR

| f(z)

(z − z0)n+1|dz


Ahora bien

| f(z)

(z − z0)n+1| =

|f(z)||(z − z0)n+1|

≤ MR

Rn+1

De donde

n!

2πi

∫CR

| f(z)

(z − z0)n+1|dz ≤ n!

2πi

∫CR

MR

Rn+1dz

=n!

2πi

MR

Rn+1

∫CR

dz

=n!

2πi

MR

Rn+12πR

=n!MR

Rn

Notese que∫CRdz = 2πR debido a que corresponde a la longitud de arco.

Definicion 12. Una funcion entera es una funcion definida y analıtica en todo el plano

complejo C.

Teorema 4. (Teorema de Liouville) Si f es una funcion entera y acotada en el plano

entonces f es constante en el plano.

Demostracion. Como f es entera y acotada podemos aplicar la estimativa de Cauchy para

el caso n = 1. Esto es para un circulo con centro en z0 y radio R se tiene

|f ′(0)| ≤ MR

R

Donde MR es el maximo valor de f(z) para todo z ∈ CR.

El sentido de ser acotada en todo el plano nos indica que existe M > 0 tal que |f(z)| ≤ M

para todo z del plano pero por otro lado como MR es el mayor valor de f(z) sobre CR se

tiene |f(z)| ≤MR, MR ≤M . Ası

|f ′(z0)| ≤MR

R≤ M

R

12 1 Preliminares

Haciendo tender R→∞ se tiene:

lımR→∞

|f ′(z0)| ≤ lımR→∞

M

R

Con lo que |f ′(z0)| = 0, luego f es constante.

Teorema 5. (Teorema Fundamental del Algebra) Si p(z) es un polinomio no constante

entonces existe un numero complejo z0 tal que p(z0) = 0.

Demostracion. Supongamos que p(z) 6= 0 para cualquier z del plano, entonces f(z) = 1p(z)

es entera y acotada.

Veamos que f(z) es acotada.

1. En el exterior de |z| ≤ R

Si p(z) = a0 + a1z + · · ·+ anzn, diviendo por zn tenemos

p(z)

zn=a0zn

+a1zn−1

+ · · ·+ an

llamando

w =p(z)

zn=a0zn

+a1zn−1

+ · · ·+ an−1z

(1-3)

entonces p(z) = (an + w)zn. Podemos encontrar un numero R > 0 suficientemente

grande para que el modulo de cada uno de los cocientes de (1.3) sea menor que |an|2n

para |z| ≥ R, ası

|w| = |p(z)

zn=a0zn

+a1zn−1

+ · · ·+ an−1z|

≤ |a0zn|+ | a1

zn−1|+ · · ·+ |an−1

z|

<|an|2n

+|an|2n

+ · · ·+ |an|2n

=|an|2

1.3 Ceros y Polos de una Funcion Analıtica 13

Por consiguiente, cuando |z| ≥ R

|an + w| ≥ ||an| − |w|| >|an|2

nos permite escribir

|p(z)| = |an + w||z|n

>|an|2|z|n

≥ |an|2Rn

De lo anterior claramente |f(z)| = 1|p(z)| = 2

|an|Rn , siempre que |z| ≥ R. Ası pues f es

acotada en la region exterior al disco |z| ≤ R.

2. Como f es continua en el disco cerrado |z| ≤ R, tambien es acotada en el, es decir que

existe una constante M > 0 tal que |f(z)| ≤M .

Por tanto f es acotada en todo el plano, de esto por el teorema de Liouville f(z) es

constante y en consecuencia p(z), contradiciendo lo que hemos asumido.

Corolario 4. Todo polinomio p(z) complejo se factoriza como un producto de factores li-

neales.

Demostracion. Si p(z) tiene grado n ≥ 1, tendra una raiz z1, ası que p(z) = (z−z1)p1(z) para

un polinomio p1(z) de grado n-1. Ahora p1(z) tiene una raiz z2, por tanto p1(z) = (z−z2)p2(z)

donde p2(z) es un polinomio de grado n-2. Continuando inductivamente

p(z) = k(z − z1)(z − z2) · · · (z − zn)

donde k es una constante.

1.3. Ceros y Polos de una Funcion Analıtica

Definicion 13. Si f es una funcion analıtica en un punto z0, todas las derivadas f (n)(z0)

(n=1,2,...) existen en z0. Si f(z0) = 0 y existe un entero positivo m tal que f (m)(z0) 6= 0 y

todas la derivadas de orden menor que m son nulas en z0, se dice que f tiene un cero de

orden m en z0.

Notaremos tambien como L(f) al conjunto de todos los ceros de f .

14 1 Preliminares

Proposicion 11. Si una funcion f analıtica en z0 tiene un cero de orden m en z0 entonces

existe una funcion g analıtica y no nula en z0, tal que

f(z) = (z − z0)mg(z)

Demostracion. Supongamos que f tiene en z0 un cero de orden m, ademas por ser f analıtica

en algun entorno |z − z0| < ε de z0, f tiene una representacion en serie de potencias, ası

f(z) =∞∑n=m

f (n)(z0)

n!(z − z0)n

=f (m)(z0)

m!(z − z0)m +

f (m+1)(z0)

(m+ 1)!(z − z0)m+1 + · · ·

= (z − z0)m[f (m)(z0)

m!+f (m+1)(z0)

(m+ 1)!(z − z0) + · · ·

]Llamando g(z) = f (m)(z0)

m!+ f (m+1)(z0)

(m+1)!(z − z0) + · · · , entonces f toma la forma

f(z) = (z − z0)mg(z)

La convergencia de la serie garantiza que g es analıtica y ademas

g(z0) =f (m)(z0)

m!6= 0

ya que f (m) 6= 0 por tener f un cero de orden m en z0.

Definicion 14. Sea G ⊂ C abierto, definimos H(G) como el conjunto de todas las funciones

analıticas sobre G.

Proposicion 12. Sea G un subconjunto abierto y conexo de C. Entonces las siguientes

afirmaciones son equivalentes

1. G es simplemente conexo.

2. Dada f ∈ H(G) tal que f(z) 6= 0 para todo z ∈ G, existe una funcion g ∈ G tal que

f(z) = exp[g(z)].


1.3 Ceros y Polos de una Funcion Analıtica 15

Proposicion 13. Sea G ⊂ C un abierto y f ∈ H(G) no identicamente nula, entonces el

conjunto de sus ceros L(f) cumple:

1. Es un conjunto de puntos aislados

2. No tiene puntos de acumulacion en G, es decir L(f) ∩G = ∅

Demostracion. 1. Sea z0 un cero de f , como f no es identicamente nula se tiene que existe

k ≥ 1 tal que f (k)(z0) 6= 0. Sea n = mink ∈ N; f (k)(z0) 6= 0 como la funcion f es

analıtica, se puede expresar en serie de potencias, es decir

f(z) =∞∑k=n

f (k)(z0)

k!(z − z0)k

= (z − z0)kg(z)

donde g es continua en un cierto disco D(z0, r) con r > 0 y tal que g(z0) 6= 0.

Por la continuidad de g existe ε > 0 tal que 0 < ε < r y g 6= 0 en D(z0; ε) por tanto

D(z0; ε) ∩ L(f) = z0 de donde L(f) es un conjunto de puntos aislados.

2. Supongamos que existe z0 ∈ L(f)′ ∩ G, entonces existe ak tal que ak → z0 y por la

continuidad de f se tiene que f(ak)→ f(z0) luego f(z0) = 0 y por tanto z0 ∈ L(f).

Por otro lado para todo ε > 0 existe k0 ∈ N tal que ak ∈ D(z0; ε) para todo k ≥ k0, lo

cual es una contradiccion pues los ceros de f son aislados.

Proposicion 14. Sean dos funciones f, g ∈ H(G) con G ⊂ C tales que tienen los mismos

ceros con las mismas multiplicidades, entonces el cociente fg∈ H(G).

Demostracion. Basta ver que fg

es analıtica en un entorno de cada cero de g. Sea z0 ∈ L(g) =

L(f) entonces f y g se pueden reescribir como

f(z) = f(z − z0)m

g(z) = g(z − z0)m

donde f y g son analıticas en G, no nulas en D(z0; ε) para algun entorno de z0. Entonces

f

g=f

g

de donde el cociente resulta ser analıtica en D(z0; ε). Por tanto z0 es una singularidad remo-

vible de fg.

16 1 Preliminares

Definicion 15. Sea G ⊂ C abierto, sea z0 ∈ G y f : G− a → C una funcion analıtica en

G− z0. Si existe una funcion analıtica g : G→ C en G y un numero natural n tal que

f(z) =g(z)

(z − z0)n

para todo z0 ∈ G− z0, entonces llamamos a z0 polo de f .

Proposicion 15. Sea bn una sucesion de numeros complejos con lımn→∞ bn =∞, y sean

Pn(ζ) polinomios sin termino constante. Existen entonces funciones enteras con polos en los

puntos bn y partes singulares correspondientes Pn[1/(z− bn)]. Ademas la funcion entera mas

general de esta clase puede escribirse en la forma

f(z) =∞∑n=1

[Pn

(1

z − bn

)− pn(z)

]+ g(z)

Donde los puntos pn(z) son polinomios fijos escogidos adecuadamente y g(z) es una funcion

entera.


2 Productos Infinitos

En este capıtulo se presentaran los productos infinitos de numeros complejos, principalmente

se estudiara la relacion que estos tienen con la series numericas, esto con el fin de dar una

nocion de convergencia ası como tambien condiciones necesarias y suficientes para que se

de la convergencia de estos. Una vez se haya tratado todo lo relacionado con los productos

infinitos de numeros complejos usaremos esta teorıa para tratar los productos infinitos de

funciones, nos interesaran aqui funciones continuas y analıticas para ver ası la convergencia

de estas en un producto infinito.

Las principales referencias para abordar este capıtulo son [1], capıtulo 4-pagina 194-196. [3],

capıtulo 7-pagina 164-167. [4], capıtulo 2-pagina 490-492.

2.1. Productos Infinitos de Numeros Complejos

Definicion 16. Si zn es una sucesion de numeros complejos y si z =∏n

k=1 zk existe, en-

tonces z es el producto infinito de los numeros zn y este es denotado por z =∏∞

k=1 zk.

Dicho producto se calcula tomando el lımite de los productos parciales pk = z1z2 · · · zk, se

dice que converge al valor z = lımk→∞ pk si este lımite existe y es diferente de cero.

Existe una razon para excluir al cero. Si se admitiese el valor cero para z, cualquier producto

infinito con un factor cero seria convergente y la convergencia no dependeria de toda la

sucesion de factores. Por otro lado se desea expresar una funcion como producto infinito y

eso tiene que ser posible aun cuando la funcion tenga ceros. Esto nos lleva a la siguiente

definicion.

Definicion 17. Se dice que el producto∏∞

n=1 zn converge si y solo si a lo sumo son cero

un numero finito de factores y si los productos parciales formados por los factores que no se

anulan tienden a un lımite finito diferente de cero.

Proposicion 16. Si un producto∏∞

n=1 zn es convergente, entonces lımn→∞ zn = 1.

Demostracion. Sea pn =∏n

k=1 zk para n ≥ 1, como∏∞

n=1 zn es convergente digamos al valor

z, pn sera distinto de cero.

18 2 Productos Infinitos

Ahora bien es claro que

pnpn−1

= zn

de donde, haciendo tender n hacia infinito a ambos lados de la ecuacion

1 = lımn→∞

zn

Notese que lımn→∞pnpn−1

= lımn→∞zz

= 1, ademas en vista de la definicion 17, la proposicion

16 a su vez es una condicion necesaria pero no suficiente de la convergencia de∏∞

n=1 zn.

Proposicion 17. Si Re(zn) > 0 para todo n ≥ 1 entonces el producto infinito∏∞

n=1 znconverge si y solo si la serie infinita

∑∞n=1 Log(zn) converge, en ese caso

∞∏n=1

zn = exp

(∞∑n=1

Log(zn)

)(2-1)

Demostracion. Sea pn = z1z2 · · · zn y sn = Log(z1) + Log(z2) · · ·+ Log(zn) entonces

exp(sn) = exp(Log(z1) + Log(z2) · · ·+ Log(zn))

= exp(Log(z1))exp(Log(z2)) · · · exp(Log(zn))

= z1z2 · · · zn= pn

Supongamos primero que la serie∑∞

n=1 Log(zn) converge, digamos al a s, entonces

pn = exp(sn)→ exp(s) cuando n→∞, es decir∏∞

n=1 zn converge y (2-1) se cumple.

Para mostrar lo contrario, supongamos ahora que el producto infinito∏∞

n=1 zn converge,

digamos a p. Por definicion p ≥ 0. Para los fines de la prueba supongamos que p no es un

punto del eje real negativo.

NOTA Si p esta en el intervalo (−∞, 0), consideramos en lugar de zn una nueva sucesion

wn; nombrando w1 = −z1 y wn = zn, para n 6= 2. Entonces∏∞

n=1wn = −p no pertenece

a (−∞, 0).

Las dos series∑∞

n=1 Log(zn) y∑∞

n=1 Log(wn) difieren solo en su primer termino, por tanto

convergen o divergen juntas.

2.1 Productos Infinitos de Numeros Complejos 19

Por lo tanto podemos asumir que la funcion logaritmo principal es continua en p. Ahora ya

que pn → p, se concluye que log(pn)→ Log(p).

La relacion exp(sn) = pn caracteriza sn como un logaritmo de pn, es decir sn = Log(pn).

Desafortunadamente, sn no necesita ser el logaritmo principal de pn. Podemos, sin embargo,

expresar este numero de la forma sn = Log(pn) + 2knπi para algun entero kn.

La convergencia de∏∞

n=1 zn implica que zn → 1 cuando n→∞ debido a la proposicion 16.

Ahora de la expresion dada para sn, vemos que kn = sn−Log(pn)2πi

en consecuencia

lımn→∞

(kn+1 − kn) = lımn→∞

(sn+1 − Log(pn+1)

2πi− sn − Log(pn)

2πi

)=

1

2πilımn→∞

(sn+1 − Log(pn+1)− sn + Log(pn))

=1

2πilımn→∞

(Log(zn+1)− Log(pn+1) + Log(pn))

=1

2πi

[lımn→∞

Log(zn+1)− lımn→∞

Log(pn+1) + lımn→∞

Log(pn)]

=1

2πi(Log(1)− Log(p) + Log(p))

= 0

Ya que cada kn es un entero, existe n0 y k tales que km = kn = k para m,n ≥ n0. Con esto

que sn = Log(pn) + 2knπi→ Log(p) + 2kπi cuando n→∞, para algun entero k.

En otras palabras la serie∑∞

n=1 Log(zn) converge y su suma es Log(p) + 2kπi para algun

entero k. observando ası que la convergencia de∑∞

n=1 Log(zn) garantiza (2-1).

En la proposicion 16 se vio que en un producto convergente el factor general zn tiende a 1

omitiendo los factores nulos. Como consecuencia de este hecho nace la siguiente definicion

para productos infinitos.

Definicion 18. Suponga que zn es una sucesion de numeros complejos

pn = (1 + z1)(1 + z2) · · · (1 + zn)

y p = lımn→∞ pn existe.


Entonces escribiremos

p =∞∏n=1

(1 + zn)

De manera que zn → 0 cuando n → ∞ sea una condicion necesaria pero no suficiente para

la convergencia. Vemos este hecho mediante un simple ejemplo.

Ejemplo

Sea zn = 1, 1/2, 1/3, ..., es claro que zn → 0 cuando n → ∞ pero el producto infinito∏∞n=1

(1 + 1

n

)= 2 ∗ 3/2 ∗ 4/3 ∗ · · · diverge a +∞

Proposicion 18. Si la serie∑∞

n=1 |Log(1 + zn)| converge entonces el producto∏∞

n=1(1 + zn)

es convergente.

Demostracion. Dado que∑∞

n=1 |Log(1 + zn)| converge, se tiene por la proposicion 9 que∑∞n=1 Log(1 + zn) converge tambien, de este modo haciendo uso de la proposicion 17, el

producto∏∞

n=1(1 + zn) sera convergente.

Se mostrara ahora un resultado importante que sera utilizado en un proposicion posterior.

Para |z| < 1 como se vio en el capitulo 1, tenemos

Log(1 + z) =∞∑n=1

(−1)n−1

nzn = z − z2

2+z3

3− · · ·

Ahora bien

lımn→∞

Log(1 + zn)

zn= lım

z→0

Log(1 + z)

z

llamando f(z) = Log(1 + z) y g(z) = z, vemos que f ′(z) = 11+z

y g′(z) = 1, con lo que

aplicando la regla de L’Hopital

lımz→0

Log(1 + z)

z= lım

z→0

11+z

1= 1

2.1 Productos Infinitos de Numeros Complejos 21

Entonces

|1− Log(1 + z)

z| = |1− z

z+z2

2z− · · · |

= |12z − 1

3z2 + · · · |

≤ 1

2(|z|+ |z|2 + · · · )

=1

2

|z|1− |z|

Si ademas |z| < 12

entonces

|1− Log(1 + z)

z| ≤ 1

2

Resolviendo este valor absoluto tendremos

−1

2≤ 1− Log(1 + z)

z≤ 1

21

2≤ −Log(1 + z)

z≤ 3

2

1

2|z| ≤ |Log(1 + z)| ≤ 3

2|z| (2-2)

Proposicion 19. Si Re(zn) > −1 entonces la serie∑∞

n=1 Log(1+z) converge absolutamente

si y solo si la serie∑∞

n=1 zn converge absolutamente.

Demostracion. Si∑∞

n=1 |zn| converge entonces zn → 0; ası eventualmente |z| < 12.

Por (2-2)∑∞

n=1 |Log(1 + zn)| es dominada por una serie convergente, y esta debe converger

tambien.

Por otro lado si∑∞

n=1 |Log(1 + zn)| converge, entonces zn → 0, de esto se sigue que para un

n lo suficientemente grande |z| < 12

y nuevamente haciendo uso de (2-2) la serie∑∞

n=1 |zn|es dominada por una serie convergente y debe converger tambien.

Proposicion 20. La serie∑∞

n=1 zn converge absolutamente si y solo si el producto∏∞n=1(1 + |zn|) es convergente.


Demostracion. Puesto que lımn→∞ zn = 0 se tiene que lımn→∞ |zn| = 0 y usando (2-2)

nuevamente tenemos

1

2|zn| ≤ |Log(1 + |zn|)| = Log(1 + |zn|) ≤

3

2|zn|

Por lo tanto la convergencia de la serie∑∞

n=1 |Log(1 + |zn|)| equivale a la convergencia de la

serie∑∞

n=1 = Log(1 + |zn|). Ası por la proposicion 17 el producto infinito∏∞

n=1(1 + |zn|) es

convergente.

Ejemplo

Veamos un producto infinito∏∞

n=1(1 + zn) que converge pero no converge absolutamente.

Tomemos la sucesion zn = 1/2,−1/2, 1/3,−1/3, .... El producto no converge absoluta-

mente ya que

∑n6=0,1

|zn| =∑n6=0,1

| 1n|

= 2∞∑n=2

| 1n|

= ∞

Sin embargo, si converge pues

∏n6=0,1

(1 + zn) =∏n 6=0,1

(1 +1

n)

=

(1 +

1

2

)(1− 1

2

)(1 +

1

3

)(1− 1

3

)· · ·

=

(1− 1

4

)(1− 1

9

)· · ·

=∞∏n=2

(1− 1

n2

)=

∞∏n=1

(1− 1

(n+ 1)2

)Ya que

∑∞n=1 |

1(n+1)2

| =∑∞

n=11

(n+1)2< ∞ juntando las proposiciones 18 y 19 se deduce que

el producto∏∞

n=1

(1− 1

(n+1)2

)converge.

Como en las series, no podemos decir que si un producto infinito converge absolutamente

entonces este converge. Se ilustrara este hecho mediante el siguiente ejemplo.

2.2 Productos Infinitos de Funciones 23

Ejemplo

Si zn = −1 para todo n; entonces |zn| = 1 para todo n de donde∏∞

n=1 |zn| = 1. Sin embar-

go∏∞

n=1 zn = ±1 dependiendo si n es par o impar, de donde se sigue que∏∞

n=1 zn no converge.

El hecho ilustrado en el anterior ejemplo nos conlleva a la siguiente definicion

Definicion 19. Si Re zn > 0 para todo n entonces el producto infinito∏∞

n=1 zn s dice que

converge absolutamente si la serie∑∞

n=1 Log(zn) converge absolutamente.

2.2. Productos Infinitos de Funciones

Ahora aplicaremos los resultados obtenidos en la seccion anterior a la convergencia de pro-

ductos de funciones. Una pregunta fundamental a responder es la siguiente. Suponga que

fn es una sucesion de funciones en un conjunto X y fn(x) → f(x) uniformemente pa-

ra x ∈ X; cuando exp(fn(x)) → exp(f(x)) uniformemente para x ∈ X. A continuacion

mostraremos una respuesta parcial.

Proposicion 21. Sea X un conjunto y sea f1, f2, ... funciones de X en C tales que

fn(x) → f(x) uniformemente para x ∈ X. Si existe una constante a tal que Re(f(x)) ≤ a

para todo x ∈ X entonces exp(fn(x))→ exp(f(x)) uniformemente para x ∈ X.

Demostracion. Dado que fn(x)→ f(x) uniformemente, para δ > 0 existe n0 ∈ N tal que

|fn(x)→ f(x)|

para todo x ∈ X y para n ≥ n0. Ahora bien el hecho que que fn → f equivale a decir que

fn − f → 0.

Por otro lado si |z| < δ entonces lımz→0 ez = 1 por tanto, |ez − 1| < εe−a para un ε dado.

De aqui que

εe−a > |exp[fn(x)− f(x)]− 1|

= |exp[fn(x)]

exp[f(x)]− 1|

= |exp[fn(x)]− exp[f(x)]

exp[f(x)]|

=|exp[fn(x)]− exp[f(x)]|

|exp[f(x)]|


De donde

|exp[fn(x)]− exp[f(x)]| < εe−a|exp[f(x)]|< ε

Proposicion 22. Sea (X, d) un espacio metrico compacto y sea gn una sucesion de fun-

ciones continuas de X en C tales que∑∞

n=1 gn converge absoluta y uniformemente para

x ∈ X.

Entonces el producto

f(x) =∞∏n=1

(1 + gn(x))

converge absoluta y uniformemente para x ∈ X. Ademas existe un entero n0 tal que f(x) = 0

si y solo si gn = −1 para algun n, 1 ≤ n ≤ n0.

Demostracion. Ya que∑∞

n=1 gn converge absolutamente, en vista del argumento usado en

la proposicion 18, existe un entero n0 tal que |gn(x)| < 12

para todo x ∈ X y n > n0. Esto

implica por (2-2) que |log(1 + gn(x))| ≤ 32|gn(x)| para todo x ∈ X y n > n0.

Ası la serie∑∞

n=1 log(1 + gn(x)) converge uniformemente digamos a la funcion h(x),para

x ∈ X y n > n0, es decir

h(x) =∞∑

n=n0+1

log(1 + gn(x))

Dado que log(1 + gn(x)) es continuo para todo n > n0 y x ∈ X se sigue que h(x) es continua

en X, ademas como X es compacto por el Teorema de Heine-Borel existe una constante a

tal que Re(h(x)) < a para todo x ∈ X. Ahora haciendo uso de la proposicion 21 tenemos

exp[h(x)] = exp

[∞∑

n=n0+1

log(1 + gn(x))

]= exp[log(1 + gn0+1(x))]exp[log(1 + gn0+2(x))] · · ·= (1 + gn0+1(x))(1 + gn0+2(x)) · · ·

=∞∏

n=n0+1

(1 + gn(x))

Converge uniformemente para x ∈ X.

2.2 Productos Infinitos de Funciones 25

Finalmente

f(x) =∞∏n=1

(1 + gn(x))

= [(1 + g1(x))(1 + g2(x)) · · · (1 + gn(x))]exp[h(x)]

Ya que exp[h(x)] 6= 0 para todo x ∈ X, si f(x) = 0 entonces gn(x) = −1 para algun n con

1 ≤ n ≤ n0.

Proposicion 23. Si G es un abierto conexo en C y sea fn una sucesion en H(G) tal que

fn no es identicamente nula para todo n ∈ N, si

∞∑n=1

[fn(z)− 1]

converge absoluta y uniformemente sobre conjuntos compactos de G, entonces

∞∏n=1

fn(z)

converge en H(G) a una funcion analıtica f(z). Si a es un cero de f , entonces a es un cero

de solamente un numero finito de funciones fn y la multiplicidad de a en f es la suma de

las multiplicidades de los ceros de las funciones fn en a.

Demostracion. Ya que∑∞

n=1[fn(z)− 1] converge uniforme y absolutamente en subconjuntos

compactos de G, se sigue por la proposicion 22 que f(z) =∏∞

n=1 fn(z) converge uniforme

y absolutamente en subconjuntos compactos de G. Ademas por la proposicion 6, f(z) es

analıtica, es decir, el producto infinito converge en H(G).

Supongamos ahora que a es un cero de f , es decir, f(a) = 0 y sea r > 0 tal que D(a; r) ⊂ G.

Por hipotesis∑∞

n=1[fn(z)− 1] converge uniformemente en D(a; r). Luego por la proposicion

11, existe n ∈ N tal que

f(z) = f1(z)f2(z) · · · fn(z)g(z)

Donde g(z) no se anula en D(a; r), ası bien si f(a) = 0 entonces fi(a) = 0 para algun

1 ≤ i ≤ n, es decir a es un cero de un numero finito de de funciones fn y la multiplicidad de

a en f sera la suma de las multiplicidades de fn en a.

3 Teorema de Factorizacion de

Weierstrass

Este capıtulo se inicia definiendo los factores elementales de Weierstrass, los cuales nos per-

metiran el producto de los infinitos ceros de una funcion de tal manera que dicho producto

sea absoluta y uniformemente convergente. El Teorema de Factorizacion de Weierstrass sera

el que nos permita junto con los factores elementales de Weierstrass y los ceros de una fun-

cion entera construir un producto infinito que converge uniformemente a la funcion entera

dada y que ademas servira de representacion de la misma.

Ilustraremos los resultados presentados mediante una aplicacion, es decir tomaremos como

ejemplo la funcion sin(πz) y hallaremos su debida factorizacion usando el Teorema de Facto-

rizacion de Weierstrass. Para dicho ejemplo se puede observar en las referencias [1], capıtulo

4-pagina 195. [3], capıtulo 7-pagina 175. [4], capıtulo 2-pagina 497-498. Por ultimo y apro-

vechando la factorizacion obtenida mostraremos que se satisface la Formula de Wallis y se

analizara la convergencia de esta.

Las principal referencia para el desarrollo de este capıtulo es [3], capıtulo 7-pagina 168-170.

3.1. Teorema de Factorizacion de Weierstrass

Si an es una sucesion en una region G sin puntos lımite (pero posiblemente algunos puntos

pueden ser repetidos un numero finito de veces), consideremos la funcion (z−an), de acuerdo

a la proposicion 23 si podemos encontrar funciones gn(z) analıticas sin ceros en G, tal que

∞∑n=1

|(z − an)gn(z)− 1|

converge uniformemente sobre conjuntos compactos de G, entonces la siguiente funcion

f(z) =∞∏n=1

(z − an)gn(z)

3.1 Teorema de Factorizacion de Weierstrass 27

es analıtica y tiene ceros solamente en los puntos z = an, el camino para asegurar que gn(z)

nunca sea nula es expresarla como

gn(z) = exp[hn(z)]

para alguna funcion analıtica hn(z). Estas funciones gn(z) fueron estudiadas e introducidas

por Weierstrass y seran el centro de atencion en este capitulo.

Definicion 20. Un factor elemental de Weierstrass es una de las siguientes funciones Ep(z)

para p = 1, 2, ...

E0(z) = 1− z

Ep(z) = (1− z)exp

[z +

z2

2+ · · · z

p

p

]; p ≥ 1

Ademas

Si a ∈ C y a 6= 0, entonces Ep(za) es analıtica y tiene un unico cero simple en z = a

para p ≥ 1.

Si G ⊂ C y b ∈ C−G, entonces Ep(a−bz−b

)tiene un cero simple en z = a y es analıtica

en G.

Proposicion 24. Si |z| ≤ 1 y p ≥ 0 entonces |1− Ep(z)| ≤ |z|p+1.

Demostracion. Si p = 0 se sigue de inmediato el teorema, veamos

|1− Ep(z)| = |1− (1− z)|= |z|

Analicemos ahora el caso que p ≥ 1. Para p fijo sea

Ep(z) =∞∑k=0

akzk; donde ak =

E(k)p (0)

k!(3-1)

La representacion de Ep(z) en serie de potencias alrededor de z0 = 0, ya que Ep(z) es analıtica

para a = 1.

Notese que Ep(0) = 1, de esta manera (3-1) se transforma en

Ep(z) = 1 +∞∑k=1

akzk (3-2)

28 3 Teorema de Factorizacion de Weierstrass

Derivando (3-2) obtenemos:

E ′p(z) =∞∑k=1

kakzk−1

Por otro lado derivando Ep(z) = (1− z)exp[z + z2

2+ · · · zp

p

]computacionalmente se obtiene

que E ′p(z) = −zpexp[z + z2

2+ · · · zp

p

]. de donde juntando ambos resultados vemos que

−zpexp[z +

z2

2+ · · · z

p

p

]=∞∑k=1

kakzk−1

De lo anterior se observa que para 1 ≤ k ≤ p, ak = 0, en otras palabras E ′p(z) tiene en z = 0

un cero de multiplicidad p.

Veamos ahora que ocurre con los demas coeficientes. Llamando p(z) = z+ z2

2+· · · zp

pentonces

E ′p(z)

zp= −exp[p(z)]

Ya que los coeficientes de exp[p(z)] son todos positivos se sigue que ak ≤ 0 para k ≥ p + 1,

esto es |ak| = −ak para k ≥ p+ 1. Sabiendo esto tenemos que

0 = Ep(1)

= 1 +∞∑

k=p+1

ak

= 1−∞∑

k=p+1

|ak|


Por lo tanto para |z| ≤ 1,

|1− Ep(z)| = |1−

(1 +

∞∑k=p+1

akzk

)|

= |∞∑

k=p+1

akzk|

= |∞∑

k=p+1

akzk−p−1zp+1|

= |z|p+1|∞∑

k=p+1

akzk−p−1|

≤ |z|p+1

∞∑k=p+1

|ak|

= |z|p+1

Proposicion 25. Sea an una sucesion en C tal que lımn→∞ |an| =∞ y an 6= 0 para todo

n ≥ 1. (Esta no es una sucesion de puntos distintos, pero por hipotesis no se repiten un

nuero infinito de veces). Si pn es cualquier sucesion de enteros tal que

∞∑n=1

(r

|an|

)pn+1

<∞ (3-3)

para todo r > 0 entonces

f(z) =∞∏n=1

Epn

(z

an

)

Converge en H(C). La funcion f es una funcion entera la cual solo tiene ceros en los puntos

an. Si z0 ocurre en la sucesion an exactamente m veces entonces f tiene un cero en z = z0de multiplicidad m. Ademas, si pn = n− 1 entonces (3-3) se cumple.

NOTA: La expresion∏∞

n=1Epn

(zan

)recibe el nombre de producto canonico asociado a la

sucesion an. Se buscara hallar siempre que se pueda una sucesion constante de numeros

pn.


Demostracion. Supongamos que existen enteros pn tales que (3-3) se satisface. Entonces

haciendo uso de la proposicion 24

|1− Epn(z/an)| ≤ | zan|pn+1

=

(|z||an|

)pn+1

≤(

r

|an|

)pn+1

Cuando |z| ≤ r y r ≤ |an|.

Para r > 0 fijo, existe un entero N tal que |an| ≥ r para todo n ≥ N ya que lımn→∞ |an| =∞.

Ası para cada r > 0 la serie∑∞

n=1 |1−Epn(z/an)| es dominada por una serie convergente en

el disco D(0; r), es decir

∞∑n=1

|1− Epn(z/an)| ≤∞∑n=1

(r

|an|

)pn+1

<∞

En otras palabras∑∞

n=1[1− Epn(z/an)] converge absolutamente en D(0; r) ⊂ C.

De donde aplicando la proposicion 23, el producto infinito∏∞

n=1Epn(z/an) converge en H(C).

Para la otra parte de la prueba, para cualquier r existe un entero N tal que |an| > 2r para

todo n ≥ N ya que lımn→∞ |an| =∞. Entonces reescribiendo |an| > 2r tenemos

r

|an|<

1

2para todo n ≥ N

Ası si pn = n− 1 (3-3) se reescribe como

∞∑n=1

(r

|an|

)n<

∞∑n=1

(1

2

)nNotese que

∞∑n=1

(1

2

)n=

∞∑n=0

(1

2

)n− 1

=1

1− 12

− 1

= 2− 1

= 1


De donde∑∞

n=1

(r|an|

)nesta dominada por una serie convergente, cumpliendo ası (3-3).

Hay por supuesto, una gran libertad para elegir los enteros pn, si pn fuera mas grande que

n − 1 tendriamos el mismo resultado, sin embargo, hay una ventaja al elegir el pn lo mas

pequeno posible. Despues de todo, cuanto menor es el entero pn mas elemental es el factor

elemental Epn(z/an).

Teorema 6. (Teorema de Factorizacion de Weierstrass) Sea f una funcion entera

y sea an los ceros no nulos de f repetidos de acuerdo a su multiplicidad; supongamos que

f tiene un cero en z0 = 0 de orden m ≥ 0 (un cero de orden m ≥ 0 en z0 = 0 significa que

f (m)(0) 6= 0). Entonces existe una funcion entera g y una sucesion de enteros pn tal que

f(z) = zmexp[g(z)]∞∏n=1

Epn

(z

an

)Demostracion. Dado que f es una funcion entera, haciendo uso de la proposicion 13, los

ceros de f no pueden acumularse, de este modo

lımn→∞

|an| → ∞

Por la proposicion 25, existe una sucesion de numeros enteros pn tal que

∞∑n=1

(r

|an|

)pn+1

<∞

y ademas la funcion

h(z) = zm∞∏n=1

Epn

(z

an

)tiene los mismos ceros que f con las mismas multiplicidades (dado que la funcion eg(z) 6= 0),

Ası bien haciendo uso de la proposicion 14, el cociente f(z)/h(z) es analıtica en D(z0; ε)

para algun entorno de z0 donde z0 es un cero de f , es decir el cociente f(z)/h(z) presenta

singularidades removibles en z = 0, a1, a2, ... ası f(z)/h(z) es una funcion entera y por lo

tanto no tiene ceros.


Por otro lado ya que C es simplemente conexo, haciendo uso de la proposicion 12, existe una

funcion analıtica g : C→ C tal que

f(z)

h(z)= exp[g(z)]

es decir

f(z) = h(z)exp[g(z)]

= zmexp[g(z)]∞∏n=1

Epn

(z

an

)

3.2. Ejemplos

3.2.1. Factorizacion de la Funcion Sin(πz)

En primera instancia debemos localizar los ceros de la funcion Sin(πz), veamos el compor-

tamiento de esta funcion

- 4 - 2 2 4

- 1.0

- 0.5

0.5

1.0

Ası pues los ceros de la funcion Sin(πz) = ±n. Veamos ahora el orden que tiene cada uno

de estos ceros, si f(z) = Sin(πz) entonces tomando cualquier entero m como representante

de L(f) tenemos:

f(m) = sin(πm) = 0

f ′(m) = πcos(πm) 6= 0 para todo m ∈ N

3.2 Ejemplos 33

por tanto los ceros de sin(πz) son simples.

NOTA: Abusando de la notacion la serie o el producto infinito notado de la siguiente manera

∞∑n=−∞

an o

∞∏n=−∞

an

incluira todos los indices excepto cuando n = 0.

Dicho lo anterior, entonces debemos encontrar el valor de pn de tal forma que (3-3) se cumpla,

es decir

∞∑n=1

(r

|an|

)pn+1

<∞

Si pn = 0, la ecuacion (3-3) no se cumple dado que la serie∑∞

n=1

(1n

)diverge.

veamos que ocurre si pn = 1.

∞∑n=−∞

( rn

)2=

−1∑n=−∞

( rn

)2+∞∑n=1

( rn

)2= r2

−1∑n=−∞

(1

n

)2

+ r2∞∑n=1

(1

n

)2

de lo anterior debemos analizar la convergencia de la serie∑∞

n=1

(1n

)2.

Dado que para n ≥ 2 se tiene 0 ≤ 1n2 ≤ 1

n2−n entonces si vemos que la serie∑∞

n=21

n2−nconverge, por el criterio de comparaciıon la serie

∑∞n=2

1n2 convergera tambien.

N∑n=2

1

n2 − n=

N∑n=2

(1

n− 1− 1

n

)=

(1

1− 1

2

)+

(1

2− 1

3

)+ · · ·+

(1

N − 1− 1

N

)= 1− 1

N


Haciendo tender N →∞ tenemos

lımN→∞

N∑n=2

(1

n− 1− 1

n

)= lım

N→∞

(1− 1

N

)= 1

Ası la serie∑∞

n=11n2 <∞

De esta manera si escogemos pn = 1 se satisface que

∞∑n=−∞

( rn

)2<∞

Para todo r > 0 y por el Teorema de Factorizacion de Weierstrass

sin(πz) = zexp[g(z)]∞∏

n=−∞

E1

( zn

)= zexp[g(z)]

∞∏n=−∞

(1− z

n

)exp

[ zn

]Para alguna funcion entera g(z). Por otro lado notese que

∞∏n=−∞

(1− z

n

)= · · ·

(1 +

z

2

)(1 + z)(1− z)

(1− z

2

)· · ·

= (1− z2)(

1− z2

4

)(1− z2

9

)· · ·

=∞∏n=1

(1− z2

n2

)y ademas

∞∏n=−∞

exp[ zn

]= · · · exp

[−z2

]exp[−z]exp[z]exp

[z2

]· · ·

= · · · exp[z

2− z

2

]exp[z − z] · · ·

= · · · exp[0]exp[0] · · ·= 1

3.2 Ejemplos 35

Reemplazando lo anterior en la expresion de sin(πz) tenemos

sin(πz) = zexp[g(z)]∞∏n=1

(1− z2

n2

)Para alguna funcion entera g(z).

Por otro lado si f(z) = sin(πz) y aplicamos derivadas logaritmicas vemos que

πcot(πz) =πcos(πz)

sin(πz)

=f ′(z)

f(z)

= g′(z) +1

z+∞∑n=1

2z

z2 − n2

En vista de la proposicion 15, expresando πcot(πz) como fracciones simples. Hallaremos en-

tonces la funcion g(z).

La funcion π2

sin2(πz)tiene polos dobles en z = n para n ∈ N, la parte singular en el origen sera

1z2

y ya que sin2(πz) = sin2(π(z − n)) la parte singular en z = n es 1(z−n)2 .

La serie∑∞−∞

1(z−n)2 < ∞ para z 6= n viendola en comparacion con la serie

∑∞n=1

1n2 es

uniformemente convergente para cualquier conjunto compacto despues de prescindir de los

terminos que se hacen infinitos en el conjunto, por esta razon

π2

sin2(πz)= g(z) +

∞∑n=−∞

1

(z − n)2(3-4)

siendo g(z) una funcion entera. Para hallar g(z), observemos que ambos miembros de (3-4)

tienen periodo 1, por consiguiente, la funcion g(z) tiene el mismo periodo.

Para z = x+ iy usando identidades tenemos que

|sin(πz)|2 =1

2(cosh(2πy)− cos(2πx))

De esta manera cuando |y| → ∞, |sin(πz)|2 →∞ y por tanto π2

sin2(πz)→ 0. En la sumatoria

de igual manera si |y| → ∞, esta tiende a cero.


Por ultimo |g(z)| esta acotada en un periodo real, de lo contrario no se cumpliria lo anterior,

aplicando el Teorema de Liouville, g(z) es constante y puesto que el lımite es cero, esta

constante tiene que anularse. Ası

π2

sin2(πz)=∞∑−∞

1

(z − n)2

Analizando esta expresion vemos que

ddz

(− 1z−n

)= 1

(z−n)2

ddz

(−πcot(πz)) = π2

sin2(πz)

La serie ddz

(− 1z−n

)diverge y debe restarse de todos los terminos con n 6= 0, ası

∞∑n=−∞

(1

z − n+

1

n

)=

∞∑n=−∞

z

zn− n2

es comparable con la serie∑∞

n=11n2 y por tanto convergente.

Por esta razon esta permitida la derivacion termino a termino y se obtiene

πcot(πz) =1

z+

∞∑n=−∞

(− 1

z − n+

1

n

)

=1

z+∞∑n=1

2z

z2 − n2∀z 6∈ Z

De donde se sigue que g(z) es constante, digamos g(z) = a para todo z.

Reemplazando g(z) y dividiendo (3-4) por πz tenemos:

sin(πz)

πz=exp[a]

π

∞∏n=1

(1− z2

n2

)Haciendo tender z → 0 a ambos lados de la ecuacion tenemos

lımz→0

sin(πz)

πz=πcos(πz)

π=π

π= 1

lımz→0

exp[a]

π

∞∏n=1

(1− z2

n2

)=exp[a]

π

3.2 Ejemplos 37

Por lo tanto exp[a] = π. De donde se sigue que

sin(πz) = πz∞∏n=1

(1− z2

n2

)Es la factorizacion deseada y la convergencia se da bajo subconjuntos compactos de C.

Veamos ahora como converge la factorizacion obtenida a la funcion sin(πz).

(a) n=1 (b) n=2

Figura 3-1: Representacion de la funcion para n = 1, 2

(a) n=5 (b) n=8

Figura 3-2: Representacion de la funcion para n = 5, 8

3.2.2. Formula de Wallis

Probemos que se satisface la identidad

π

2=

2

1

2

3

4

3

4

5

6

5· · ·

En la seccion anterior se observo que la funcion sin(πz) esta factorizada de la siguiente

manera:


sin(πz) = πz∞∏n=1

(1− z2

n2

)(3-5)

Evaluando (3-5) en z = 12

tenemos

1 = sin(π

2

)=

π

2

∞∏n=1

(1− 1

2n2

)=

π

2

∞∏n=1

4n2 − 1

4n2

De donde

π

2=

∞∏n=1

4n2

4n2 − 1

=∞∏n=1

(2n

2n− 1

2n

2n+ 1

)=

2

1

2

3

4

3

4

5

6

5· · ·

Veamos ahora si la convergencia es absoluta. El producto

∞∏n=1

2n

2n+ 1=∞∏n=1

1− 1

2n+ 1

Diverge, ya que la serie∑∞

n=1 |−1

2n+1| =

∑∞n=1

12n+1

diverge. En efecto, usando el criterio de

comparacion llamando an = 12n+1

, bn = 1n

sabemos que la serie∑∞

n=11n

entonces

lımn→∞

(anbn

)= lım

n→∞

12n+1

1n

= lımn→∞

n

2n+ 1

= lımn→∞

1

2 + 1n

=1

2

Por tanto la serie∑∞

n=11

2n+1diverge tambien.

Analogamente se muestra que el producto infinito∏∞

n=12n

2n−1 diverge. Por tanto la conver-

gencia obtenida en la formula de Wallis no es absoluta.

Conclusiones

1. Toda representacion es valida si el producto infinito converge uniformemente en un

conjunto compacto.

2. La funcion representada es una funcion entera la cual solo tiene ceros en los mismos

puntos de la sucesion an (salvo en el origen) y con las mismas multiplicidades.

3. La sucesion adaptada pn se tratara de buscar constante (cuando sea posible) para

hacer mas simple la funcion analıtica Epn y garantizar con mayor facilidad la conver-

gencia de la serie∑∞

n=1

(r|an|

)pn+1

.

Bibliografıa

[1] Ahlfors, Lars V.: Complex Analysis. New York : McGraw-Hill, Segunda Edicion, 1966

[2] Brown, James W. ; Churchill, Ruel V.: Complex Variables and Applications. New

York : McGraw-Hill, Octava Edicion

[3] Conway, John B. (Ed.): Functions of One Complex Variable. New York : Springer-

Verlag, Segunda Edicion, 1978

[4] Palka, Bruce P.: An Introduction to Complex Function Theory. New York : Springer-

Verlag, 1991

Teorema de Factorizaci on de Weierstrassrepository.udistrital.edu.co/bitstream/11349/12998/1/... ·...

Documents

Transcript of Teorema de Factorizaci on de Weierstrassrepository.udistrital.edu.co/bitstream/11349/12998/1/... ·...