TEOREMA DASAR KALKULUS - … · 28/03/2017 email: [email protected] 3 Contoh 1. ... Teorema...

TEOREMA DASAR KALKULUS

Muhammad Hajarul Aswad A MK: Kalkulus 2

Institut Agama Islam Negeri (IAIN) Palopo Fakultas Tarbiyah dan Ilmu Keguruan (FTIK)

Tadris Matematika

Gambar 1 memberikan ilustrasi

tentang Teorema Dasar Kalkulus

1 yang akan dibahas berikut.

Sebelumnya perhatikan Contoh 1.

28/03/2017 email: [email protected] 2

Gbr.1


Contoh 1.

Jika fungsi f ditunjukkan seperti

Gambar 2 dan

Tentukan nilai dari g(0), g(1),

g(2), g(3), g(4), dan g(5).

Gbr.2


Penyelesaian.

Perhatikan jelas

bahwa:

Selanjutnya,

diperoleh g(1), ...,

g(5) berturut-

turut sebagai

berikut:

Gbr.3

Gbr.4


Gbr.5

Gbr.7

Gbr.6

Teorema Dasar Kalkulus

Pertama

Jika f kontinu pada [a, b], maka

fungsi g yang didefenisikan

sebagai:

adalah juga kontinu di [a, b] dan

terdiferensial di (a, b),

dan

g’(x) = f(x).


Gbr.8


Bukti

Jika x dan x + h di (a, b), maka

Kedua ruas dikali dengan 1/h, untuk h ≠ 0, diperoleh

1


Asumsikan h > 0.

Karena f kontinu di [x, x+h],

maka ∃ u dan v ∋ f(u) = m dan

f(v) = M, dengan m dan M

keduanya merupakan nilai

absolut minimum dan maksimum

dari f di [x, x+h].

Sehingga:

𝑚 ≤1

ℎ 𝑓 𝑡 𝑑𝑡

𝑥+ℎ

𝑥

≤ 𝑀

𝑓(𝑢) ≤1

ℎ 𝑓 𝑡 𝑑𝑡

𝑥+ℎ

𝑥

≤ 𝑓(𝑣)

2

Gbr.9


Misalkan h → 0.

Maka u → x dan v → x, untuk u dan v terletak diantara x

dan x + h.

Sehingga:

dan

dan Pers.(2) menjadi:

Berdasarkan Pers.(3) dan Teorema Apit, maka Pers.(4)

menjadi:

limℎ→0

𝑓 𝑢 ≤ limℎ→0

𝑔 𝑥 + ℎ − 𝑔 𝑥

ℎ≤ limℎ→0

𝑓 𝑣

3

4

limℎ→0

𝑔 𝑥 + ℎ − 𝑔 𝑥

ℎ= 𝑓(𝑥) 5


Teorema Apit (Sequeeze Theorem)

Misalkan f, g, dan h adalah fungsi yang

memenuhi

f(x) ≤ g(x) ≤ h(x)

untuk semua x dekat c, terkecuali

(mungkin) pada c. Jika

Maka

lim𝑥→𝑐

𝑔 𝑥 = 𝐿

lim𝑥→𝑐

𝑓(𝑥) = lim𝑥→𝑐

𝑔 𝑥 = 𝐿


Persamaan (5) dapat ditulis kembali menjadi

limℎ→0

𝑔 𝑥 + ℎ − 𝑔 𝑥

ℎ= 𝑓(𝑥)

Perhatikan bahwa

limℎ→0

𝑔 𝑥 + ℎ − 𝑔 𝑥

ℎ= 𝑔′(𝑥)

Sehingga Persamaan (6) menjadi

𝑔′(𝑥) = limℎ→0

𝑔 𝑥 + ℎ − 𝑔 𝑥

ℎ= 𝑓(𝑥)

Sampai di sini pembuktian selesai.

6


Bentuk persamaan dasar kalkulus pertama dapat

ditulis kembali dengan menggunakan notasi

Leibniz menjadi:

Dengan f suatu fungsi yang kontinu.


Contoh 1.

Selesaikan bentuk berikut:

a.

b.


Penyelesaian.(1.a.)

Sehingga:

3 4 4 4

11

1 1 1 11

4 4 4 4

xx

t dt t x x

3 4 3

1

1 1

4 4

xd d

t dt x xdx dx

Bagian b

ditinggalkan

sebagai latihan

Teorema Dasar Kalkulus Kedua

Jika f kontinu pada [a, b], maka

dengan F adalah himpunan antiturunan

dari yang juga merupakan fungsi

sedemikian sehingga F’ = f.


Pembuktian

ditinggalkan

sebagai latihan


Contoh 2.


a.

b.

c.

Hasil:

a.

b. ln 2.

c. Tidak memiliki penyelesaian.

Integral tak-tentu

Integral tak-tentu atau indefeinite integrals atau

antideiravitf merupakan operasi pengintegralan suatu

fungsi yang menghasilkan suatu fungsi baru.

Dengan katalain, pada integral tak-tentu, belum

memiliki batas atas dan batas bawah.

Notasi:

Misal:



Sifat integral

tak-tentu


Perhatikan kembali Contoh 2.c.

Bentuk integral tak-tentu dari bentuk tsb dapat ditulis

menjadi:

Bentuk tsb valid pada interval (0, ∞) atau (- ∞, 0).

Dengan kata lain:


Contoh 3.


Hasil:

S e l e s a i ...


Latihan

1. Misalkan dengan f suatu fungsi

seperti yang ditunjukkan pada gambar berikut:

a.Hitunglah g(x) untuk x = 0, 1, 2, 3, 4, dan 6.

b.Estimasi nilai g(7).


TEOREMA DASAR KALKULUS - … · 28/03/2017 email: [email protected] 3 Contoh 1. ... Teorema...

Documents

Transcript of TEOREMA DASAR KALKULUS - … · 28/03/2017 email: [email protected] 3 Contoh 1. ... Teorema...