Teoría Electromagnética Murphy · Teoría Electromagnética Murphy ...

Teoría Electromagnética Murphy———————————————————————————————————————————————

—————————————————————————————————————————56—

CAPÍTULO 1 INTRODUCCIÓN

Las teorías de campo:

FuerteElectromagnéticaDébilGravitacional

Cada campo tiene una Fuerza Fundamental asociada:

Fuerte: — Magnitud relativa = 1— Cohesión nuclear— Rango de acción reducido— Partícula mediadora: Mesón


—————————————————————————————————————————57—

Electromagnética — Magnitud relativa = 1/137— Mayoría de las interacciones— Rango de acción infinito— Partícula mediadora: Fotón

Débil: — Magnitud relativa = 10-13

— Decaimiento de neutrón libre— Rango de acción reducido— Partícula mediadora: Bosón Int.

Gravitacional: — Magnitud relativa = 10-42

— Atracción de masas— Rango de acción infinito— Partícula mediadora: Gravitón


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Propiedades de la carga eléctrica:

— Positiva y negativa; en igual cantidad; se cancelan(carga neta igual a cero).

— Fuerza entre cargas del mismo signo: repulsiva, entrecargas de signo distinto: atractiva.

F ∝ q1q2

r1−22

— Está cuantizada: múltiplos enteros de una unidadfundamental de carga, e = - 1.602X10-19 Coulombs.

— La carga neta se conserva.


—————————————————————————————————————————59—

Los distintos aspectos del electromagnetismo:

Partícula fuente: Genera el campo eléctrico.Partícula de prueba: Detecta el campo eléctrico sinalterarlo.

QFUENTE >> QPRUEBA

Analogía gravitacional:

masaTierra >> masamanzana

Electrostática: Partícula fuente en reposo.Magnetostática Partícula fuente en movimiento no

acelerado (velocidad constante).Electrodinámica Partícula fuente en movimiento

acelerado (velocidad variable).


—————————————————————————————————————————60—

Sistemas de unidades:

MKSMetro-Kilogramo-Segundo

Newton (N)Kilogramo (Kg)Joule (J)Watt (W)Coulomb (C)

CGS (Gaussiano)Centímetro-Gramo-Seg.

dina (D)gramo (g)erg (e)erg/seg (e/s)statcoulomb (sC)

MKS: también conocido como el “SistemaInternacional de Unidades”


—————————————————————————————————————————57—

CAPÍTULO 2 ELECTROSTÁTICA

Introducción:

Ecuaciones de Movimiento

⇑

Suma de Fuerzas

⇑

Campos

⇑

Potenciales


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Fuerza eléctrica: Ley de Coulomb

F =

1

4πεo

q1q2

ξ122

ˆ ξ 12

εo=8.85X10-12

C2

Nm2

Ejemplo 1.- Fuerza entre protón y electrón en el átomode hidrógeno.

Fuerza eléctrica; atractiva

FE = − 1

4πεo

e2

ro2


—————————————————————————————————————————59—

FE = −1.602X10−19C( )2

4π 8.85X10−12C2 / Nm2( ) 5.29X10−11m( )2

FE = −8.25X10−8 N

Fuerza gravitacional; atractiva

FG = Gmemp

ro2

FG =6.67X10−11Nm2 / kg2( ) 9.11X10−31kg( ) 1.67X10−27 kg( )

5.29X10−11m( )2


—————————————————————————————————————————60—

FG = 3.63X10−47 N

FE

FG=

8.25X10−8 N

3.63X10 −47 N= 2.27X10 +39

Principio de Superposición:

F = Fi

i=1

n

∑

(suma vectorial: componente por componente)


—————————————————————————————————————————61—

Ejemplo 2.- Fuerza sobre Q debida a q1 y q2.

z

y

x

q1 q2

QF1HF2H

F2F2V F1V F1

α α

y=by=-b

z=d

Fi =

1

4πεo

q iQ

ξ iQ2

ˆ ξ iQ


—————————————————————————————————————————62—

ξ=(b2+ d2)1/2

ˆ ξ 1Q = cos(α)ˆ j + sen(α)ˆ k

ˆ ξ 2Q = −cos(α)ˆ j + sen(α)ˆ k

cos α( ) = b

ξ= b

b2 + d2( )1/ 2

sen α( ) = d

ξ= d

b2 + d2( )1/ 2

F1H = F1 cos α( ) = 1

4πεo

q1Q

b2 + d2( )

b

b2 + d2( )1/ 2

F1H = 1

4πεo

bq1Q

b2 +d2( )3/ 2


—————————————————————————————————————————63—

F1V = F1sen α( ) = 1

4πεo

q1Q

b2 + d2( )

d

b2 + d2( )1/ 2

F1V = 1

4πεo

dq1Q

b2 +d2( )3/ 2

F2H = − bq2Q

4πεo b2 + d2( )3/ 2

F2V = + dq2Q

4πeo b2 + d2( )3/ 2

FH = F1H + F2H = bq1Q

4πεo b2 + d2( )3/ 2− bq2Q

4πεo b2 + d2( )3/ 2


—————————————————————————————————————————64—

FH =bQ q1 − q2( )

4πεo b2 + d2( )3/ 2

FV = F1V + F2V =dq1Q

4πεo b2 + d2( )3/ 2+

dq2Q

4πεo b2 + d 2( )3/ 2

FV =dQ q1 + q2( )

4πεo b 2 + d2( )3/ 2

F = F = FH2 + FV

2


—————————————————————————————————————————65—

F = b2Q2

4πεo b2 + d2( )3/ 2

2q1 − q2( )2

+ d2Q2

4πεo b2 + d2( )3/ 2

2q1 + q2( )2

1/ 2

F =Q

4πε o b2 + d2( )3/ 2

b2 q1 − q2( )2+ d2 q 1 + q2( )2


—————————————————————————————————————————66—

Campo eléctrico:

FQ = Fi

i

n

∑ Fi =

1

4πεo

q iQ

ξ iQ2

ˆ ξ iQ

FQ = Q1

4πεo

q i

ξ iQ2

ˆ ξ iQ

i

n

∑

E =

lim

Q→ 0

FQ

Q

unidades: N/C = Volts/m

F = QE


—————————————————————————————————————————67—

E =

1

4πεo

q

ξ2ˆ ξ

Ejemplo 3.- q1, q2, y q3, en vértices triángulo equilátero,lado b.

z

y

x

q1 q3

q2

E1HE3H

E3 E1

y=b/2y=-b/2

E3V E1V

E2V

z=0.866b

Centro en (0, 0, 0.288b)


—————————————————————————————————————————68—

E i =

1

4πεo

q

ξ i2

ˆ ξ i

c =

3

6b

ξ1 = ξ2 = ξ3 =

b2

4+ c2 =

1

4b2 +

1

12b2 = b

1

3

ξ i

2 =b2

3

E i =

3

4πεo

q

b2ˆ ξ i


—————————————————————————————————————————69—

E1H = +

3

4πεo

q1

b2cos

π6

= +

3

4πεo

q1

b2

3

2

= +

3 3

8πεo

q1

b2

E1V = +

3

4πεo

q1

b2sen

π6

= +

3

4πεo

q 1

b 2

1

2

= +

3

8πεo

q1

b2

E3H = −

3

4πεo

q3

b2cos

π6

= −

3 3

8πεo

q3

b2

E3V = +

3

4πε o

q3

b2sen

π6

= +

3

8πεo

q3

b2

E2H = 0 E2V = − 3

4πεo

q2

b2


—————————————————————————————————————————70—

EH = E1H + E2H + E3H = 3 3

8πεo

q1

b2+ 0 − 3 3

8πεo

q3

b2

EH = 3 3

8πεob2q1 − q3[ ]

EV = E1V + E2V + E3V =

3

8πεo

q1

b2−

3

4πεo

q2

b2+

3

8πεo

q3

b2

EV =

3

8πεo b2q1 − 2q2 + q3[ ]

E = EH

ˆ j + EVˆ k = 3

8πεob23 q1 − q3[ ]ˆ j + q1 − 2q2 +q3[ ]ˆ k { }


—————————————————————————————————————————71—

Ejemplo 4.- (Dipolo Eléctrico)

z

y

x

q—

E+HE—H

E—

E—V E+VE+

α

z=aq+

z=-a

E

P

ξ=(a2+ y2)1/2


—————————————————————————————————————————72—

E+ =1

4πεo

q

a 2 + y2( )

E+H = + 1

4πεo

q

a2 + y2( )cos α( )ˆ j

E+V = − 1

4πεo

q

a2 + y2( )sen α( )ˆ k

E− = 1

4πεo

q

a2 + y2( )

E−H = − 1

4πεo

q

a2 + y2( )cos α( )ˆ j


—————————————————————————————————————————73—

E−V = − 1

4πεo

q

a2 + y2( )sen α( )ˆ k

E = E+V + E−V = −21

4πεo

q

a2 + y2( )sen α( )ˆ k

sen α( ) = a

a2 + y2( )1/ 2

E y( ) = − 2aq

4πεo a 2 + y2( )3/ 2ˆ k


—————————————————————————————————————————74—

Campo en el origen:

E y = 0( ) = − 2aq

4πεo a2( )3/ 2ˆ k = − 2q

4πεoa2ˆ k

Si y >> a:

1

a2 + y2( )3/ 2≈ 1

y2( )3/ 2= 1

y3

E y( ) = − 2aq

4πεoy3ˆ k = − p

4πεoy3

p=2qa Momento Dipolar Eléctrico


—————————————————————————————————————————75—

Líneas de campo:

-

+


—————————————————————————————————————————76—

Campo eléctrico para distribuciones continuas de carga:

Densidad lineal de carga:

λ ≡

lim

l→0

Q

l= carga

longitud⇒ coulomb

metro

Densidad superficial de carga:

σ ≡lim

A→0

Q

A= carg a

área⇒ coulomb

metro( )2

Densidad volumétrica de carga:

ρ ≡lim

τ→0

Q

τ= carg a

volumen⇒ coulomb

metro( )3


—————————————————————————————————————————77—

dE = 1

4πεo

dq

ξ2ˆ ξ

z

y

x

(x,y,z)

(x',y',z')ξ

r'

r

ξ vector del elemento de integración a punto deevaluación

ξ = r − r, = x − x,( )ˆ i + y − y,( )ˆ j + z − z,( ) ˆ k


—————————————————————————————————————————78—

dq =λdl

σda

ρdτ

dl = diferencial de longitud

da = diferencial de área

dτ = diferencial de volumen

E = 1

4πεo

ˆ ξ ξ2

λdl∫ E = 1

4πεo

ˆ ξ ξ2

σda∫ E = 1

4πεo

ˆ ξ ξ2

ρdτ∫

E x, y, z( ) = 1

4πεo

ρ x ' , y ' , z '( )dx 'dy 'dz'

ξ x,y, z, x ' , y ' , z'( )[ ]2ˆ ξ ∫∫∫


—————————————————————————————————————————79—

Metodología:

— Definir el sistema coordenado más apropiado y lalocalización del origen.

— Expresar ξ en términos de las coordenadas del sistemaque estemos usando, o alternativamente, expresaralgunas de las coordenadas en términos de ξ.

— Analizar la simetría del problema para evitar calcularlas componentes del campo que se anularán en laintegración.


—————————————————————————————————————————80—

Ejemplo 5.- Alambre cargado con densidad uniforme λ.

z

y

x

EH

EV

αEV

E

β

dz'

λ

ˆ ξ = sen(α)ˆ j − cos(α)ˆ k = cos(β)ˆ j − sen(β)ˆ k


—————————————————————————————————————————81—

dE = λdz,

4πεoξ2cos(β)ˆ j − sen(β)ˆ k [ ]

ξ = y

cos(β)= y sec(β) ⇒ ξ

2 = y2 sec2(β)

z’ = y tan(β) ⇒ dz, = y sec2(β)dβ

dE = λ4πεo

y sec2(β)dβ[ ]y2 sec2(β)[ ] cos(β)ˆ j − sen(β)ˆ k [ ]

= λ

4πεoycos(β)ˆ j − sen(β) ˆ k [ ]dβ


—————————————————————————————————————————82—

E(y) = 2λ

4πεoycos(β)dβˆ j

0

β

∫ = λ2πεoy

sen(β)ˆ j

E(r) = λ

2πεorsen(β)ˆ r ⇒

E(r) = λL

πεor L2 + 4r2ˆ r

Alambre infinito: β→π/2

E(r) = λ

2πεorˆ r


—————————————————————————————————————————83—

Ejemplo 7.- Disco de radio R, densidad uniforme σ. z

y

x

σ

R

EV

EH

E

ξ

da

α

rφ

dE = σ

4πεo

ˆ ξ ξ2

da


—————————————————————————————————————————84—

da=rdrdφ dE = σ

4πεo

ˆ ξ ξ2

rdrdφ

ξ2 = z2 + r2

cos(α) = z

z2 + r2( )1/ 2

dE = σ4πεo

rdrdφz2 + r2( )cos(α) = σ

4πεo

zrdrdφ

z2 + r2( )3/ 2

E = 4σ

4πεo

zdφ

z2 + r2( )3/ 2

rdr

0

π / 2

∫0

R

∫ ˆ k

= σ2εo

z

z2 + r2( )3/ 2rdrˆ k

0

R

∫


—————————————————————————————————————————85—

E = σ2εo

−z

z2 + r2( )1/ 2

R

0

ˆ k = σ

2εo− z

z2 + R2( )1/ 2+1

ˆ k

E(z) = σ2εo

1− z

z2 + R2( )1/ 2

ˆ k

Si R → ∞ :

E = σ2εo

1− z

z2 + ∞2( )1/ 2

ˆ k ≈ σ

2εo

ˆ k

¡Campo constante!


—————————————————————————————————————————86—

Ejemplo 8.- Esfera sólida de radio R; densidaduniforme ρ.

z

y

x

ξ

θ

α

ρ

dτ

EV

EH

E

R

r

z

dE = 1

4πεo

ρξ2

dτ = 1

4πεo

ρξ2

r2senθdrdθdφ


—————————————————————————————————————————87—

dEz = dEcosα = 1

4πεo

ρξ2

r2senθdrdθdφcosα

ξ2 = r2 + z2 − 2rzcosθ r

2 = ξ2 + z2 − 2ξzcosα

cosα = z − r cosθ

r2 + z2 − 2rz cosθ

dEz =ρr2senθdrdθdφ

4πεo

1

r2 + z2 − 2rzcosθ( )z − r cosθ( )

r2 + z2 − 2rzcosθ

dEz =ρr2 z − r cosθ( )senθdrdθdφ

4πεo r2 + z2 − 2rzcosθ( )3/ 2


—————————————————————————————————————————88—

Ez = dEz∫ =ρr2 z − r cosθ( )senθ

4πεo r2 + z2 − 2rzcosθ( )3/2

0

2π

∫0

π

∫0

R

∫ drdθdφ

Ez = 2π ρr2

4πεodr

z − r cosθ( )senθ

r2 + z2 − 2rzcosθ( )3/ 2

0

π

∫0

R

∫ dθ

Ez = 2π ρr2

4πεodr

r − zcosθ( )z2 r2 + z2 − 2rzcosθ( )1/ 2

π

0

0

R

∫


—————————————————————————————————————————89—

= 2π ρr2

4πεo

drr + z( )

z2 r + z( )2

1/ 2−

r − z( )z2 z − r( )2

1/2

0

R

∫AFUERA: z ≥ R; z ≥ r

−r − z( )

z2 z − r( )2

1/ 2= −

r − z( )z2 z − r( )

= + 1

z2

Ez = 2π ρr2

4πεodr

2

z2

=

0

R

∫ 4πz2

ρr2

4πεodr

0

R

∫


—————————————————————————————————————————90—

Ez = ρ

εoz2

1

3R3

EEXT(r) = ρR3

3εo

1

r2ˆ r

Q = ρ 4

3πR3

EEXT(r) = Q

4πεor2ˆ r

ADENTRO: z ≤ R

0 ≤ r ≤ z; z ≥ r

−r − z( )

z2 z − r( )2

1/ 2= −

r − z( )z2 z − r( )

= + 1

z2


—————————————————————————————————————————91—

z ≤ r ≤ R; r ≥ z

−r − z( )

z2 z − r( )2

1/ 2= −

r − z( )z2 r − z( )

= − 1

z2

Ez = 2π ρr2

4πεo

dr1

z2+ 1

z2

+ρr2

4πεo

dr1

z2− 1

z2

z

R

∫0

z

∫

= ρεoz2

r2dr =

0

z

∫ ρεoz 2

z3

3

EINT(r) = ρ

3εorˆ r

EINT(r) = Q

4πεo

r

R3

r


—————————————————————————————————————————92—

La Ley de Gauss:

Vector Desplazamiento:

D =t ε E

unidades: C/m2

Espacio libre: D=εoE

ΦE = D • da∫ = εoE • da∫ = Qenc

E • da∫ = E • daˆ n ∫ = Qenc

εo


—————————————————————————————————————————93—

Condiciones para usar la Ley de Gauss:

1) E (o D) es o normal o tangencial a la superficie encualquier punto. Esta condición implica que debemosconocer la dirección de E (o D) a priori.

2) E (o D) debe ser constante en la superficie usada. Estacondición se cumple para líneas y planos infinitos condistribución de carga constante, y para distribucionesvolumétricas donde r es constante o sólo depende de lacoordenada radial (en coordenadas esféricas).

Qenc = q i∑ ;

Qenc = λdl∫ ;

Qenc = σda∫ ;

Qenc = ρdτ∫


—————————————————————————————————————————94—

Ejemplo 9.- Línea de carga infinita con densidaduniforme λ.

Superficie gaussiana

l

λr

da

da

da

E

E • da∫ = E 2πr( )dl

0

l

∫ = E 2πrl( )

Qenc = λdl∫ = λl

E = λ

2πεorˆ r


—————————————————————————————————————————95—

Ejemplo 10.- Plano infinito con densidad uniforme σ.

Superficie gaussiana

σ

da

da

da

E

E

E • da∫ = 2E da∫

Qenc = σda∫ = σ da∫

2E da∫ = σεo

da∫ E = σ

2εoˆ n


—————————————————————————————————————————96—

Ejemplo 11.- Distribución uniforme ρ; radio R.

R

r

z

y

x

r

Superficie gaussiana para cálculo en el interior

Superficie gaussiana para cálculo en el exterior

ρ

E • da∫ = E 4πr2( )

Qenc = ρdτ∫ = ρr2senθdrdθdφ∫


—————————————————————————————————————————97—

ADENTRO: r ≤ R; r = 0 a r = r

Qenc = 4π ρr2dr

0

r

∫ = 4

3πρr3

EINT(r) = ρ

3εorˆ r

AFUERA: r ≥ R; r = 0 a r = R

Qenc = 4π ρr2dr

0

R

∫ = 4

3πρR3

EEXT(r) = ρ

3εo

R3

r2ˆ r = Q

4πεor2ˆ r


—————————————————————————————————————————98—

Ejemplo 12.- Distribución volumétrica de carga nouniforme:

ρ(r) = ρo 1− r

R

2

E • da∫ = E 4πr2( )

Qenc = ρ(r)dτ∫ = ρo 1− r

R

2

r2senθdrdθdφ∫

= 4πρo 1− r

R

2

r2dr∫


—————————————————————————————————————————99—

ADENTRO: r ≤ R

Qenc = 4πρo 1− r

R

2

r2dr

0

r

∫ = 4πρo1

3r3 − 1

5

r5

R2

EINT(r) = ρo

εo

1

3r − 1

5

r3

R2

r

AFUERA: r ≥ R

Qenc = 4πρo 1− r

R

2

r2dr

0

R

∫ = 4πρo2

15R3

EEXT(r) = 2ρoR3

15εor2ˆ r


—————————————————————————————————————————100—

La divergencia del campo eléctrico:

z

y

x

1.- Anterior2.- Posterior3.- Derecha4.- Izquierda5.- Superior6.- Inferior

da2

da1

da3

da4

da5

da6

P

Campo eléctrico en el centro (arbitrario):

E = Eo = Eox i + Eoy j + Eoz k


—————————————————————————————————————————101—

E• da∫ = E• da1∫ + E• da2∫ + E• da3∫

+ E• da4∫ + E• da5∫ + E• da6∫

E • dai∫ ≈ E • ∆A i

Para la cara anterior: Para la cara posterior:

Ex = Eox + ∆x

2

∂

∂xEox

Ex = Eox − ∆x

2

∂

∂xEox

∆A1 = ∆y∆zˆ i ∆A2 = −∆y∆zˆ i


—————————————————————————————————————————102—

E • da1∫ ≈ Eox + ∆x

2

∂

∂xEox

∆y∆z

E • da2∫ ≈ −Eox + ∆x

2

∂

∂xEox

∆y∆z

E • da1∫ + E • da2∫ ≈

2

∆x

2

∂

∂xEox

∆y∆z = ∂∂x

Eox

∆x∆y∆z


—————————————————————————————————————————103—

E • da3∫ + E • da4∫ ≈

2

∆y

2

∂

∂yEoy

∆x∆z = ∂∂y

Eoy

∆x∆y∆z

E • da5∫ + E • da6∫ ≈

2

∆z

2

∂

∂zEoz

∆x∆y = ∂∂z

Eoz

∆x∆y∆z

Flujo total:

E • da∫ ≈ ∂

∂xEox + ∂

∂yEoy + ∂

∂zEoz

∆x∆y∆z


—————————————————————————————————————————104—

E • da∫ = Qenc

εo≈ ∂

∂xEox + ∂

∂yEoy + ∂

∂zEoz

∆τ

∂∂x

Eox + ∂∂y

Eoy + ∂∂z

Eoz

=

lim

∆τ→0

Qenc

εo∆τ

Reconocemos:

ρ =

lim

∆τ→0

Qenc

∆τ ∇ • E = ∂

∂xEox + ∂

∂yEoy + ∂

∂zEoz

Divergencia del campo eléctrico:

∇ • E = ρ

εo


—————————————————————————————————————————105—

Directamente del Teorema de la Divergencia:

E • da∫ = ∇ • E( )∫ dτ

Qenc = ρdτ∫

∇ • E( )∫ dτ = ρ

εodτ∫

∇ • E = ρ

εo

Ejemplo 13.- Campo eléctrico dado por:

E(x,y,z) = 3x2y i + 2xyz j - 4y2x k

ρ(x, y, z) = εo ∇ •E( ) = 2εox(3y + z)


—————————————————————————————————————————106—

Ley de Gauss; Recapitulación:

E • da∫ = Qenc

εo

E • da∫ = 0

∇ •E = 0

∇ •E =ρεo

ρ


—————————————————————————————————————————107—

Divergencia del Campo de una Carga Puntual:

E(r) = q

4πεor2ˆ r

∇ • E(r) = 1

r2

d

drr2 q

4πεor2

=

1

r2

d

dr

q

4πεo

= 0

E • da∫ = q

4πεor2

∫ r2senθdθdφ

= q

4πεosenθdθdφ∫ = q

εo

∇ • E(ξ) = ρ

εoδ(ξ) ξ = r - ro


—————————————————————————————————————————108—

El rotacional del campo eléctrico:

Teorema de Helmholtz: Un campo vectorial que tiendea cero en el infinito está totalmente definido si seconoce su divergencia y su rotacional.

E • dl

a

b

∫ = q

4πεor2ˆ r • drˆ r

a

b

∫ = q

4πεor2dr

a

b

∫ = − q

4πεor

b

a

E • dl

a

b

∫ = − q

4πεor

1

b− 1

a

Independiente de trayectoria


—————————————————————————————————————————109—

E • dl∫ = 0

El campo electrostático es conservativo(energía potencial ⇔ energía cinética)

∇ × E( )∫ •da = E •dl∫

∇ × E( )∫ •da = 0 ⇒ ∇ × E = 0

Las líneas del campo eléctrico nunca se cruzan nigiran alrededor de ningún punto


—————————————————————————————————————————110—

El potencial escalar:

E • dl

a

b

∫ = −∇V( ) • dl

a

b

∫ = − V(b) − V(a)[ ]

V ⇒ Potencial Escalar

Unidades:

Nm

C= J

C≡ V

El potencial no es una realidad física; es un conceptomatemático que representa indirectamente al campo

eléctrico.

E = −∇V


—————————————————————————————————————————111—

El potencial está indefinido hasta una constante:

V' = V + C

E = −∇V E' = −∇(V + C) = −∇V

Referencia de potencial arbitraria: cero en el infinito;cero en “tierra”; etc.

Para una carga puntual: V(P) = q

4πεoξ

Superposición:

VTOT = Vi ξi( )i=1

n

∑


—————————————————————————————————————————112—

Ejemplo 14.- Tres cargas de igual magnitud, dosnegativas y una positiva, en tres esquinas de un cuadradode lado S.

+q -q

-q

S

S

V− = − q

4πεoS− q

4πεoS= −2

q

4πεoS V+ = q

4πεo 2S


—————————————————————————————————————————113—

VTOT = V+ + V− = q

4πεo 2S− 2

q

4πεoS

2

2− 2

= q

4πεoS

1

2− 2

Ejemplo 15.- Potencial dentro y fuera de cascarónesférico de radio R, cargado con carga total Q.

EEXT(r) = Q

4πεor2ˆ r EINT(r) = 0

Conociendo el campo, el potencial se encuentra de laintegral de línea de éste. Si el cero de referenciaestá en el infinito, hay que integrar desde allí.


—————————————————————————————————————————114—

AFUERA: r > R

VEXT(r) = − E• dl

∞

r

∫ = − EEXT • dl

∞

r

∫

= −Q

4πεor2ˆ r • drˆ r

∞

r

∫ =Q

4πεor

r

∞=

Q

4πεor

VEXT(r) = Q

4πεor

ADENTRO: r < R

VINT(r) = − E •dl

∞

r


∞

R

∫ − EINT • dl

R

r

∫


—————————————————————————————————————————115—

VINT(r) = − Q

4πεor2dr

∞

R

∫ − 0( )dr

R

r

∫ = Q

4πεor

R

∞= Q

4πεoR

VINT(r) = Q

4πεoR=constante

El potencial es continuo:

VINT(r = R) = VEXT(r = R)

El campo eléctrico es discontinuo:

EEXT − EINT = Q

4πεoR 2ˆ r − 0 =

σ 4πR2( )4πεoR 2

ˆ r = σεo

ˆ r


—————————————————————————————————————————116—

En general:

EnEXT − EnINT( )superficie

= σεo

∂∂n

VEXT − ∂∂n

VINT

superficie

= − σεo

Potencial para distribuciones continuas:

V(P) = 1

4πεo

λξ∫ dl

V(P) = 1

4πεo

σξ∫ da

V(P) = 1

4πεo

ρξ∫ dτ


—————————————————————————————————————————117—

Las ecuaciones de Poisson y Laplace:

∇ • E = ∇ • −∇V( ) = −∇2V = ρ

εo

Ecuación de Poisson: ∇2V = − ρ

εo

Ecuación de Laplace: ∇2V = 0

Ecuaciones diferenciales de segundo orden:

Solución General + Condiciones de Frontera

= Solución Particular


—————————————————————————————————————————118—

Energía y trabajo:

El campo eléctrico es conservativo

W = −Q E • dl

a

b

∫ = +Q V(b) − V(a)[ ]

Cero de potencial en el infinito:

W = −Q E • dl

∞

P

∫ = +Q V(P) − 0[ ]

U = W = QV(P)


—————————————————————————————————————————119—

Ejemplo 16.- Trabajo necesario para formar átomo de H.

W = −eVP (ro ) = −e

e

4πεoro

= − e2

4πεoro

ro = 0.529X10-10 m

VP(ro ) = e

4πεoro= 27.23V

W = −eVP (ro ) = −1.602X10−19C( ) 27.23V( )

= −4.363X10−18J = −27.23eV

1eV = 1.602X10−19J


—————————————————————————————————————————120—

Trabajo necesario para formar una distribución decarga:

Distribución discreta de 4 cargas:

W1=0

W2 = q2V(P2 ) = q2

q1

4πεor12

W3 = q3V(P3) = q3

q1

4πεor13+ q2

4πεor23

W4 = q4V(P4 ) = q4

q1

4πεor14+ q2

4πεor24+ q3

4πεor34


—————————————————————————————————————————121—

WTOT = W1 + W2 + W3 + W4 = W2 + W3 + W4

WTOT = 1

4πεo

q1q2

r12+ q1q3

r13+ q1q4

r14+ q2q3

r23+ q2q4

r24+ q3q4

r34

WTOT = 1

4πεo

q iq j

rijj> i

n

∑

i=1

n

∑

= 1

8πεo

q iq j

rijj≠ i

n

∑

i=1

n

∑

WTOT = 1

2q i

q j

4πεorijj≠ i

n

∑

i=1

n

∑

= 1

2q iV(Pi )

i=1

n

∑

W = 1

2λV∫ dl

W = 1

2σV∫ da

W = 1

2ρV∫ dτ


—————————————————————————————————————————122—

Ejemplo 17.- Trabajo necesario para formar unadistribución volumétrica de carga ρ de radio R.

AFUERA: r ≥ R

VEXT(r) = − E • dl

∞

r


∞

r

∫ = − ρR3

3εor 2ˆ r • drˆ r

∞

r

∫ = ρR3

3εor

r

∞= ρR3

3εor

ADENTRO: r ≤ R

VINT(r) = − E• dl

∞

r


∞

R

∫ − EINT •dl

R

r

∫

= − ρR3

3εor2ˆ r • drˆ r

∞

R

∫ − ρ3εo

rˆ r •drˆ r

R

r

∫


—————————————————————————————————————————123—

VINT(r) = ρR3

3εor

R

∞− ρ

6εor2

r

R

= ρ3εo

R2 − ρ6εo

r2 + ρ6εo

R 2

VINT(r) = ρ

2εoR 2 − 1

3r2

W = 1

2ρV∫ dτ = 1

2ρVINT (r)dτ∫ = 1

2ρ ρ

2εoR 2 − 1

3r2

r2senθdrdθdφ∫


—————————————————————————————————————————124—

W = πρ2

εoR2r2 − 1

3r4

dr

0

R

∫ = πρ2

εo

R 2

3r3 − 1

15r5

R

0

W = πρ2

εo

1

3R5 − 1

15R5

= 4πρ2

15εoR5 = 3Q2

20πεo

1

R

Si R → 0 (carga puntual), W → ∞

La energía se almacena en el campo eléctrico.

Las ondas electromagnéticas transportan energía.


—————————————————————————————————————————125—

Para una distribución arbitraria de carga:

ρ = εo∇• E

W = εo

2∇ •E( )V∫ dτ

∇• EV( ) = ∇ •E( )V + E • ∇V( )

∇• EV( ) = ∇ •E( )V + E • −E( ) = ∇• E( )V − E2

∇•E( )V = ∇ • EV( ) + E2

W = εo

2∇ • EV( ) + E2[ ]∫ dτ


—————————————————————————————————————————126—

W = εo

2EV •da + E2dτ∫∫

W = εo

2E2dτ

Todo elEspacio

∫

u ≡

lim

τ→0

εo

2E2dτ∫

τ= 1

2εoE2

Densidad de energía: u = 1

2εoE2 (J/m3)


—————————————————————————————————————————127—

Ejemplo 18.- El Cinescopio.

z

y

x

Acelerador

Placas de deflección

Pantalla

z1

h

vy

d

e

S

a

z2

F = −eE = (−e) −E ˆ k ( ) = eE ˆ k


—————————————————————————————————————————128—

m

d2z

dt2= eE

z(t) = eE

2m

t2

vz(t) = eE

m

t

vz(t=0) = 0 t1 = S

vy

z1 = z(t = t1) = eE

2m

t1

2 = eE

2m

S

vy

2

vz1 = vz(t = t1) = eE

m

t1 = eE

m

S

vy


—————————————————————————————————————————129—

v(y,z) = vy

ˆ j + vz1ˆ k = vy

ˆ j + eE

m

S

vy

ˆ k

h = z1 + z2

t2 = d

vy⇒

z2 = vz1t 2 = eE

m

S

vy

d

vy

=

eESd

mvy2

h = z1 + z2 = eE

2m

S

vy

2

+ eE

m

S

vy

d

vy

= eE

mvy2

1

2S2 +Sd


—————————————————————————————————————————130—

V = Ea

h = eV

amvy2

1

2S2 +Sd

Para potenciales variables:

m

d2z

dt2= eE(t) = e

V(t)

a

La energía no obedece superposición:

E1 + E2( )2= E1

2 + 2 E1 •E2( ) + E22 ≠ E1

2 + E22


—————————————————————————————————————————131—

Campo eléctrico en medios conductores:

+++++

+-----

- Distribución de carga inducida

EEXTERNO

EINDUCIDO

EINTERNO=0

En la superficie del conductor:

E = σ

εoˆ n


—————————————————————————————————————————132—

R=0

a

b

σa

σb

Va (r = a) = q

4πεoa=

σa 4πa 2( )4πεoa

= σa

εoa

Vb(r = b) = q

4πεob=

σb 4πb2( )4πεob

= σb

εob


—————————————————————————————————————————133—

Va (r = a) = σa

εoa = σb

εob = Vb(r = b)

σb

σa= a

b

Ea (r = a ) = σa

εo Eb(r = b) = σb

εo

σb

σa= Eb(r = b)

Ea (r = a )

Eb(r = b)

Ea (r = a )= a

b

Mientras más afilada la superficie, mayor es E.


—————————————————————————————————————————134—

Campo eléctrico dentro de conductores:

a) El campo eléctrico dentro de un conductor es siemprecero.

b) ρ=0 dentro de un conductor (la carga se distribuye a lasuperficie).

c) En un conductor, toda la carga libre reside en lasuperficie.

d) Un conductor es un equipotencial (está todo al mismopotencial, o el potencial es constante en el conductor).

e) El campo eléctrico evaluado en la superficie essiempre perpendicular a la misma y de magnitudE=(σ/εo).

f) El campo eléctrico en la superficie de un conductorserá más intenso mientras más pequeño sea el radio decurvatura.

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