Teoría de Conjuntos, Álgebra y Grandes Cardinales · Este es un tratado sobre lógica matemática...

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Teoría de Conjuntos, Álgebra y Grandes Cardinales Juan Antonio Nido Valencia Maestría en Ciencias de la Complejidad, Universidad Autónoma de la Ciudad de México Héctor Gabriel Salazar Pedroza. Departamento de Ingeniería en Minas, Metalurgia y Geología, Universidad de Guanajuato Luis Miguel Villegas Silva Departamento de Matemáticas, Universidad Autónoma Metropolitana Iztapalapa Annus

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  • Teoría de Conjuntos,

    Álgebra y Grandes Cardinales

    Juan Antonio Nido ValenciaMaestría en Ciencias de la Complejidad, Universidad Autónoma de la

    Ciudad de MéxicoHéctor Gabriel Salazar Pedroza.

    Departamento de Ingeniería en Minas, Metalurgia y Geología, Universidadde Guanajuato

    Luis Miguel Villegas SilvaDepartamento de Matemáticas, Universidad Autónoma Metropolitana

    Iztapalapa

    Annus

  • Zur Ehre unseren Elternund zulässiger Ergötzungdes Geistes

  • A Patricia

    A mi familia

    A Emilio y Nicolás

  • Este es un tratado sobre lógica matemática y teoría de conjuntos destinado a desarro-llar tanto aplicaciones de ambas disciplinas al ágebra, como su interrelación a través delos grandes cardinales y modelos internos. Disertamos a un nivel avanzado sobre diversostópicos de estas áreas teniendo siempre en mente sus aplicaciones. La idea es propiciarnuevos resultados motivado por problemas algebraicos, modelo teóricos y de grandes car-dinales.

    Los temas de estas áreas se han desarrollado cuidadosamente para incluir resultadosde frontera en forma idónea y accesible para los lectores con una formación correspon-diente.

    Es por demás importante resaltar que este libro es una obra de investigación, en la quese pone énfasis especial en el desarrollo del material necesario para elaborar aplicacionessofisticadas a diversos aspectos de la teoría de módulos, anillos, grandes cardinales y mo-delos internos. Con el ánimo de no hacer crecer aún más el tamaño de esta obra, hemospospuesto a un segundo volumen la presentación detallada de algunos trabajos recientes

    i

  • Prefaio Teoría de onjuntos, Álgebra y grandes ardinales ii

    (y algunos no tanto) de investigación tanto de los autores, como de diversos matemáti-cos activos en el área que muestran interacciones poco conocidas de estas disciplinas, asícomo un desarrollo detallado de la parte puramente algebraica. Hemos puesto particularatención en establecer los conocimientos necesarios para entender a cabalidad los trabajosmencionados.

    Pasemos a presentar el contexto general de la obra. El primer capítulo inicia conlos encajes elementales entre modelos de la teoría de conjuntos. Aquí la palabra modelopuede entenderse como un conjunto o una clase propia. Los encajes elementales son unaherramienta indispensable en la teoría moderna de conjuntos. Hemos hecho incapié en suutilidad inobjetable en la introducción de nuevas clases de grandes cardinales, pues talesencajes proporcionan una descripción natural de estos cardinales como los compacto dé-biles, medibles, inefables completos, Jónsson, y otros, que son parte primordial en algunostrabajos nuestros recientes sobre compacidad en módulos, álgebras de Jónsson y principioscombinatorios en modelos internos.

    Los encajes elementales dan lugar a la formación de ultrapotencias de modelos dela teoría de conjuntos, ya sean conjuntos o clases propias. Una generalización de estaconstrucción es la noción de levantamiento, misma que posteriormente emplearemos paraestudiar álgebras de Jónsson. El capítulo también trata diversas nociones de conjuntoestacionario, ideales, la conjetura de Chang y sus variantes.

    Para describir algunos cardinales muy grandes, como los compactos fuertes o los su-percompactos, que juegan un papel relevante en nuestros resultados sobre compacidad enmódulos, se requiere introducir ultrafiltros en subconjuntos de cierta cardinalidad de uncardinal dado.

    El siguiente apartado presenta un tratamiento muy detallado e inovador de los car-dinales Ramsey y Erdős, así como de un axioma de grandes cardinales conocido como«cero sostenido» (en inglés, «zero sharp»), 0#. Se diserta sobre los «volados» para es-tas nuevas clases de grandes cardinales y la relación de 0# con la hipótesis del cardinalsingular. Aparecen las lógicas infintarias y los números de Hanf de las mismas, que nospermitiran posteriormente investigar sobre la posible axiomatización infinitaria de diversasclases de módulos.

    En el capítulo subsecuente aparecen los cardinales Jónsson y Rowbottom. Por supuesto,relacionados con las álgebras de Jónsson y un problema asociado, el del subconjunto libre.También se estudian los cardinales inefables completos.

    Finalmente iniciamos la presentación de los cardinales medibles, proponiendo diversasaplicaciones al álgebra. Tratamos también el problema de la posible extensión de la medidade Lebesgue y un problema de G. Fodor.

    Una vez logrado lo anterior iniciamos la parte algebraica del trabajo. Se presentauna introducción a la teoría de categorías, para después desarrollar algunos resultadosrelevantes en álgebra homológica y en los así llamados módulos Jónsson.

    Muchos de los ejercicios, la mayoría, se encuentran entrelazados en series, ya sea enel mismo capítulo o en varios, la inmensa mayoría de ellos se extrajeron de la literatura.Generalmente tiene detalladas sugerencias para su solución y representan investigacionessobre temas cercanos a los tratados en el capítulo correspondiente. La sugerencia para

  • iii Prefaio

    el lector es trabajar con todo detalle algunas de estas series y en lo posible plantearse laposibilidad de generalizar los resultados, abriendo así el camino a un tema de investigación.

    Aquellos ejercicios que llevan el símbolo Ason problemas que siguen abiertos, al menoslos autores desconocen si ya se han resuelto.

    La bibliografía colecta las obras que hemos consultado para desarrollar el material,y en algunas ocasiones, trabajos que pudieran ser relevantes para los temas tratados, oque propician un tema promisorio de investigación, teniendo en cuenta que el materialnecesario se encuentra en este libro. Así, hemos señalado cuidadosamente las obras endonde se originan nuestra disertación, pero en la mayoría de las ocasiones hemos generadouna presentación completamente original.

    Los requisitos indispensables para lograr una mejor comprensión de esta obra sonconocimientos profundos de lógica matemática (lenguajes formales, compacidad, Löwen-heim-Skolem, etc.), teoría de modelos de lógica infinitaria, teoría de conjuntos avanzada(grandes cardinales, conjuntos admisibles, pr cerrados), teoría de módulos y anillos. Al-gunos resultados y ejercicios requieren conocimientos del método de Forcing o de modelosinternos. Es deseable familiaridad con las propiedades fundamentales del universo cons-truible L y L[A].

    Los autores agradecen a las instituciones: Departamento de Ingeniería en Minas, Met-alurgia y Geología, Universidad de Guanajuato, Maestría en Ciencias de la Complejidad,Universidad Autónoma de la Ciudad de México, y Departamento de Matemáticas, Univer-sidad Autónoma Metropolitana Iztapalapa, por su apoyo y paciencia durante la escriturade este libro.

  • Prefaio Teoría de onjuntos, Álgebra y grandes ardinales iv

  • Índice

    I Dialéctica y naturaleza de los encajes elementales y principios combinatorios 1I.1 Encajes elementales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3I.2 Conjuntos estacionarios y reflexión . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16I.3 Levantamientos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33I.4 Ideales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 60I.5 Singularidades de la noción de conjunto estacionario . . . . . . . . . . . . . . 65I.6 La conjetura de Chang y algunas de sus múltiples variantes . . . . . . . . . . 67I.7 Extensiones elementales cardinales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 79I.8 Ejerciciµ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 81

    II Cardinales Ramsey y Erdős, 0# 115II.1 Contribución a los fundamentos de los cardinales α-Erdős y Ramsey . . . . . 117II.2 El reino de este mundo y de los Cardinales Ramsey y α-Erdős . . . . . . . . . 123II.3 0# . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 147II.4 Volados y filtros Ramsey . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 163II.5 Los cardinales tipo Erdős en acción . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 170II.6 De los números de Hanf en Lκλ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 183II.7 Oposición entre la concepción del teorema de cubierta y 0# . . . . . . . . . . 188II.8 Ejerciciµ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 195

    III Los pasos perdidos: Cardinales Rowbottom, Jónsson y principios relaciona-dos 237III.1 Funciones de conjunto . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 238III.2 La situación de la clase de los cardinales Rowbottom . . . . . . . . . . . . . . 241III.3 La sagrada familia de los M-ultrafiltros Rowbottom . . . . . . . . . . . . . . . 257III.4 El dieciocho brumario de B. Jónsson . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 260III.5 Contribución al problema de los cardinales inefables completos . . . . . . . . 292III.6 Un fantasma recorre la teoría de modelos: cardinales Erdős . . . . . . . . . . 308III.7 Tesis sobre el problema del subconjunto libre . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 317III.8 Más sobre el buen Jónsson . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 335III.9 Ejerciciµ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 344

    v

  • Prefaio Teoría de onjuntos, Álgebra y grandes ardinales vi

    IV Con medida en la combinatoria 383IV.1 Cardinales medibles . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 384IV.2 Aplicaciones al álgebra . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 407IV.3 Extensión de la medida de Lebesgue . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 416IV.4 Variaciones sobre un teorema de Fodor . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 443IV.5 Ejerciciµ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 452

    V Introducción a las categorías 503V.1 Axiomas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 504V.2 Categorías concretas y abstractas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 507V.3 Isomorfismos, monomorfismos, epimorfismos . . . . . . . . . . . . . . . . . . 512V.4 Funtores y nuevas categorías . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 515V.5 Objetos terminales e iniciales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 521V.6 Productos y coproductos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 522V.7 Propiedades universales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 525V.8 Categorías funtoriales y funtores ∆ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 528V.9 Límites y colímites . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 534V.10 Funtores adjuntos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 545V.11 Ejerciciµ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 557

    565

    Índices 573

  • I

    Dialéctica y naturaleza de los encajes elementalesy principios combinatorios

    En este capítulo trataremos mayormente con encajes elementales j : M →֒ N entremodelos transitivos de ZFE o subteorías tales como ZF− o ZFE− , en ocasiones, incluso desubteorías más débiles. Aquí la palabra modelo puede dar la falsa impresión de que M yN son conjuntos, lo cual no será siempre el caso. Tanto M como N pueden ser términosclase (clases propias).

    El estudio de los encajes elementales ocurrirá tanto desde el punto de vista de losencajes mismos, como de principios, construcciones y nociones combinatorias asociadasestrechamente a este tipo de encajes. Es una buen oportunidad de presentar la combi-natoria en familias de subconjuntos de cierto tamaño, por ejemplo si κ, λ son cardinales,

    1

  • 40 Levantamientos I.3

    Para continuar nuestra investigación sobre la existencia del levantamiento requerimosuna versión del teorema de Łoś para ultraproductos, el cual describimos y demostramos acontinuación.

    Lema I.3.11. Sean ϕ una fórmula f ∈ M, u ∈ H, x ∈ π(u), f : u // M. Entonces

    D |=ϕ[(x1, f1), . . . , (xn, fn)]⇔(x1, . . . , xn) ∈ π({(z1, . . . , zn) : M |= ϕ[ f1(z1), . . . , fn(zn))}︸ ︷︷ ︸

    =e

    ).

    Demostración. Antes que otra cosa, note que e ∈ M, pues M |= ZFE− . Procedemospor inducción en la construcción de ϕ. Los casos ϕ primitiva o ϕ ≡ ϕ1 ∧ ϕ2, ϕ ≡ ¬ψson inmediatos de la definición de E, I y de la hipótesis de inducción. Por ejemplo, siϕ(~v) ≡ vi ∈ vj, entonces

    D |= ϕ[(x1, f1), . . . , (xn, fn)] ⇔ D |= (xi, fi)E(xj, f j)

    ⇔ (xi, xj) ∈ π({(z, w) : M |= fi(z) ∈ f j(w)})

    por definición de E⇔ (xi, xj) ∈ π({(z, u) : M |= ϕ[ f1(x1), . . . , fn(xn)]})

    En forma similar se corroboran los casos = y Ai.Ahora considere el caso ϕ(u) ≡ ∃ uψ(u, v); suponga D |= ϕ[( f1, x1), . . . , ( fn, xn)] y

    sea e = {(z1, . . . , zn) : M |= ϕ[ f1(z1), . . . , fn(zn)]}. Se afirma que (x1, . . . , xn) ∈ π(e). Porhipótesis existe (g, y) ∈ D tal que

    D |= ψ[(g, y), ( f1 , x1), . . . , ( fn, xn)];

    por hipótesis de inducción (y,~x) ∈ π(e), donde

    e = {(w,~z) : M |= ψ[g(w), ~f (~z)]}

    e ⊆ u1× · · · × un, cada uj ∈ H, |ct(uj)| < τ, |u1× · · · × un| < τ, y |e| < τ. Si (z1, . . . , zn) ∈ e,entonces zi ∈ ui, |ct((z1 , . . . , zn))| < τ, por lo que |ct(e)| < τ, de donde se sigue que e ∈ H,igualmente e ∈ H.

    H |= ∀w,~z((w, z) ∈ e→ (~z) ∈ e).

    En consecuencia,H |= ∀w,~z((w,~z) ∈ π(e)→ ~z ∈ π(e)),

    lo que da lugar a ~x ∈ π(e).⇐) Suponemos (x1, . . . , xn) ∈ π(e) y probemos

    D |= ϕ[( f1, x1), . . . , ( fn, xn)].

  • I.3 Dialéctica y naturaleza de los encajes elementales y principios combinatorios 49

    Demostración. Como Lα(a) es transitivo, es modelo de existencia, extensionalidad y re-gularidad. Si x, y ∈ Lα(a), como α es límite, x, y ∈ Lβ(a) para algún β < α, por lo que{x, y} ∈ Lβ+1(a) ⊆ Lα(a). En forma similar se comprueba unión.

    Sean ϕ(u, ~w) una Σ0-fórmula, ~z ∈ Lα(a), x ∈ Lα(a) y b = {c ∈ x : Lα(a) |= ϕ(c,~z)},digamos x,~z ∈ Lβ(a). Entonces b ∈ De f (Lβ(a)), por lo que b ∈ Lβ+1(a) ⊆ Lα(a).

    En cuanto a ∆0-colección sean ϕ(u, v, ~w) una ∆0-fórmula, y ~z ∈ Lα(a) y suponga que

    Lα(a) |= ∀ x∃ yϕ(x, y, ~w).

    Sea b ∈ Lα(a); debemos encontrar c ∈ Lα(a) tal que Lα(a) |= ∀ x ∈ b∃ y ∈ cϕ(x, y, ~w). Noteque entre los parámetros ~z pueden existir elementos de a ∈ M. Como M es admisible ytransitivo, si construimos la jerarquía Lγ(a) en M, los estratos son V −M-absolutos. Así

    Lα(a) |= ∀ x ∈ b∃ yϕ(x, y,~z).

    Definimos una función g : b // a, g(x) = el menor γ tal que ∃ y ∈ Lγ(a) con Lγ(a) |=ϕ(x, y,~z); ϕ es ∆0, así que

    M |= ϕ(x, y,~z)⇔ Lα(a) |= ϕ(x, y,~z).

    En consecuencia

    γ = g(x) ⇔ M |=x ∈ b ∧ ∃w(w = Lγ(a)∧

    ∃ y ∈ wϕ(x, y,~z) ∧ ∀ r ∈ w¬∃ y ∈ rϕ(x, y,~z).

    Se sigue que g es Σ1, por lo que de la admisibilidad de M se deduce la existencia dec ∈ M tal que g[b] = c y

    ⋃c = η ∈ M. Por definición de g

    ∀ x ∈ b∃ γ ∈ Lη(a)(Lα(a) |= ϕ(x, y,~z))

    y Lη(a) ∈ Lα(a). H

    Demostración del lema I.3.18. El lema es ahora inmediato para H = w f c(A) transitivo

    y δ = Or ∩ H, que cumplen los requisitos del lema I.3.19. H

    Corolario I.3.20. Con las hipótesis del corolario I.3.18 Lδ[B] = 〈Lδ[B], B ∩ Lδ[B]〉 es admisiblesiempre que B sea A-definible.

    Demostración. Sabemos que B es A-definible, esto es

    B = {x ∈ A : A |= ϕ(x,~a)}

    con ~a ∈ A y ϕ una fórmula del lenguaje de M.Sin perder generalidad podemos suponer que B es uno de los predicados de M, para

    los que M es admisible; obtenemos el resultado como en el lema I.3.18. H

  • II

    Algo flota sobre L: Cardinales Ramsey yα-Erdős, y su remarcable relación con 0#

    En este capítulo estudiaremos nuevas clases de cardinales, que en ciertas condicionespueden ser grandes cardinales. Cuando lo son, se encuentran en la parte media del mapade los grandes cardinales, y su existencia puede resultar incompatible con V = L. Noobstante, algunas de sus variantes sí pueden vivir en L. Al final estudiaremos la teoría de0#. A nadie le amarga el dulce, aunque tenga otro en la boca.

    Como veremos después, es incompatible la existencia de cardinales medibles conV = L. J. Silver tomó con gran decisión el estudio de esta incompatibilidad y descubrió 0#,que entre sus muchas representaciones, destaca aquella que lo concibe como un conjunto denúmero de Gödel de ciertas fórmulas «evaluadas» en indiscernibles. Silver se propuso ini-ciar con la existencia de un cardinal Ramsey o, aún mejor, de un cardinal ω1-Erdős, y logró

    115

  • II.2 Cardinales Ramsey y Erdős, 0# 135

    Queremos probar que en M, κ es inefable, así que debemos encontrar un subconjuntoS ⊆ κ estacionario tal que (Aα : α < κ) es coherente. Se afirma que

    S = {α < κ : Aκ ∩ α = Aα}

    es estacionario. Sea C un club en κ según M; mostrar C ∩ S 6= ∅ es equivalente a probarque j(C ∩ S) 6= ∅, esto es j(C) ∩ j(S) 6= ∅; ahora

    j(S) = {α < j(κ) : j(Aκ) ∩ j(α) = j(Aα)}= {α < j(κ) : Aκ ∩ j(α) = j(Aα)}

    Sabemos que κ ∈ j(C) para C un club en κ y Aκ ∩ j(κ) = Aκ ∩ κ = Aκ = j(Aκ), por loque κ ∈ j(S) y j(C) ∩ j(S) 6= ∅.

    Así, κ es inefable en M, de aquí, compacto débil. H

    W II.2.19.

    Si κ(ω) existe, entonces existe un cardinal inefable menor que κ(ω).

    Teorema

    Demostración. Considere el modelo A = 〈Vκ(ω),∈, { fϕ : ϕ ∈ Fml(L)}〉, donde las fϕ sonfunciones de Skolem para fórmulas ϕ respecto a 〈Vκ(ω),∈〉. Se sigue que el modelo tieneun conjunto de indiscernibles I de tipo ordinal ω. Sea B la cerradura de Skolem de I en A.

    Considere una aplicación no trivial de I en I que preserva el orden. Mediante fun-ciones de Skolem podemos extender esta aplicación (en forma única) a un encaje elementalde B en B. Sea M el colapso transitivo de B y j : M →֒ M el encaje no trivial correspon-diente:

    B Bg//

    M

    B

    OO

    π

    M Mj

    // M

    B

    OO

    π

    Tomamos m ∈ M, existe b ∈ B con π(b) = m, así, πg(b) = j(m).Dado que κ(ω) es inaccesible, Vκ(ω) es modelo de ZFE, por lo que M es un modelo

    transitivo de ZFE. En él se cumplen las hipótesis del lema II.2.18, pues tenemos j : M →֒ Mno trivial, tiene punto crítico, digamos κ y κ es inefable en M. Por consiguiente, en Vκ(ω). En

    efecto, supongamos que κ no es regular en Vκ(ω), entonces Vκ(ω) |= ∃ f∃ τ < κ( f : τco f

    // κ)para τ < κ, y se cumple τ ∈ M, por lo que

    M |= ∃ f ( f : τco f

    // κ)

  • III

    Los pasos perdidos: Cardinales Rowbottom,Jónsson y principios relacionados

    En esta ocasión trataremos cardinales que no pueden clasificarse, necesariamente,como grandes cardinales, pues su definición permite que algunos cardinales singulares

    237

  • IV

    Con medida en la combinatoria

    En este capítulo iniciamos el estudio de una de las clases más importantes2 de grandescardinales: la de los cardinales medibles. Más aún, brevemente trataremos algunas otrasclases de grandes cardinales cuya definición es cercana a los medibles o a los compactodébiles. Es imposible dar un estudio completo de estos cardinales en un libro de tamañorazonable, pues existen abundantes resultados al respecto en diversas direcciones. Sin

    2En cuanto al término «más importante», por supuesto que es relativo. En diferentes contextos puedenexistir clases más o menos relevantes. Por ejemplo, si trabajamos en el universo construible L, los cardinalesmedibles no existen. No obstante, ya sea históricamente o por un sin fin de razones, los cardinales mediblesestán más o menos presentes en muchos escenarios de la teoría de conjuntos moderna.

    383

  • 404 Cardinales medibles IV.1

    Para todo cardinal inaccesible κ las siguientes condiciones son equivalentes.

    1. κ es medible.

    2. Toda estructura de cardinalidad κ (sin importar la cantidad de símbolos involu-crados) tiene una Lκκ-extensión propia (módulo un isomorfismo).

    3. Para toda estructura A de cardinalidad κ existe una estructura B tal que A ⊆B, |B| 6= |A| y B ≡κκ A.

    4. Para toda estructura A en la que todo elemento es definible mediante una Lκω-fórmula sin cuantificadores existe una estructura B tal que B ≡κκ A y B ≇ A.

    4’ Para toda estructura A en la que cada elemento es Lκκ-definible, existe unaestructura B tal que B ≡κκ A y B ≇ A.

    5. Aκ tiene una Lκκ-extensión propia.

    6. Existe una estructura B ⊇ Aκ tal que B ≡κκ Aκ y |B| 6= |A|.

    7. Existe una estructura B tal que B ≡κκ Aκ y B ≇ Aκ .

    8. Aκ tiene una Lκω-extensión propia (módulo un isomorfismo).

    9. Existe una estructura B ⊇ Aκ tal que B ≡κκ Aκ y |B| 6= |Aκ |.

    10. Existe una estructura B tal que B ≡κκ Aκ y B ≇ Aκ .

    11. Para cada ordinal α > 0 existe un conjunto transitivo A y un encaje elementalf de 〈Vκ+α,∈〉 en 〈A,∈〉 con punto crítico κ.

    12. Existe un conjunto transitivo A y un encaje elemental f de la estructura〈Vκ+1,∈〉 en 〈A,∈〉 con punto crítico κ.

    Teorema

    Demostración. Observe que las implicaciones (4’)⇒(4), (2)⇒(3), (5)⇒(6), (5)⇒(8), (7)⇒(10),(11)⇒(12), (8)⇒(9), (4)⇒(7), (2)⇒(5), y (6)⇒(9) son triviales.

    (1)⇒(2) Sean U un ultrafiltro κ-completo libre en κ, f : κ // A una biyección y π :A //Aκ/U la inyeción canónica, esto es para a ∈ A, π(a) es la clase de. Probaremos que[ f ]U /∈ ran(π). Recuerde que Aκ/U consiste en las clases de equivalencia de elementos delproducto ∏i

  • 446 Variaciones sobre un teorema de Fodor IV.4

    ocurre para cualquier γ ∈ Xα. Los conjuntos A′γ ⊆ Sγ, γ < λ son casi ajenos. En efecto,suponga que γ ∈ Xα, δ ∈ Xβ, γ 6= δ, donde α, β < λ. Si α = β, es claro que A′γ ∩ A

    ′δ ∈ I

    ya que fα(γ) 6= fα(δ). Si α < β, entonces A′δ ⊆ Sβ y Sα fα(γ) ∩ Sβ ∈ I se cumple porquefα(γ) > η y β /∈

    ⋃ζ≤α Xζ (lo último es válido debido a Xβ 6= 0). Tenemos A

    ′γ ∩ A

    ′δ ∈ I, otra

    vez. En el caso λ ≤ κ, ocurre Aγ = A′γ −⋃

    δ

  • V

    Introducción a las categorías

    Las categorías aparecen por primera vez en la literatura matemática el año de 1945 enel artículo "General Theory of Natural Equivalences" de Samuel Eilenberg y Saunders MacLane quienes dieron una definición algebraica del concepto de categoría como preparaciónpara introducir dos conceptos básicos: el de funtor y el de transformación natural.

    La definición que dieron Eilenberg y Mac Lane de una categoría fue puramente ab-stracta dada de forma axiomática sin apelar a ninguna teoría de conjuntos en particular. Ladefinición de categoría ha evolucionado con el tiempo, de acuerdo con las necesidades ymetas de diferentes autores. Algunos, como Grothendieck (1957) y Freyd (1964), decidierondefinir las categorías en términos conjuntistas.

    Las categorías constan de colecciones de objetos y de flechas. En la definición originalse conocen como agregados de objetos y aplicaciones (mappings) con la intención, tal vez,de no comprometerse con la terminología conjuntista. Sin embargo, las cosas cambiaronen los siguientes diez años cuando las categorías empezaron a aplicarse en la teoría dehomología y en el álgebra homológica. Las categorías que se usaban en esos campos

    503

  • 563 Teoría de onjuntos, lógia y temas a�nes II Bibliografía

  • Bibliografía 564

  • Bibliografía

    [Abe93] Y. Abe, Weakly normal ideals on Pκλ and the singular cardinal hypothesis,Fund. Math. 143(1993), 97-106.

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  • Índice de símbolos

    [A]2

  • T(z), 141ℵλ(µ), 352△ξ

  • Índice alfabético

    adjunción, 546, 548adjunto, 546

    derecho, 547izquierdo, 547

    agregados, 503álgebra, 261

    2, 421de Jónsson, 261local finita, 266saturada, 421

    átomo, 418axioma de elección interno, 514axiomas de una categoría, 504

    cardinalλ-sutil, 29λ-Shelah, 479α-indescriptible, 196casi λ-inefable, 81casi inefable, 137, 198compacto, 24compacto débil, 438Erdős, 127, 323ω1-Erdős, 140etéreo, 474inefable, 134, 293, 296, 394inefable completo, 292, 295, 303inefable Ramsey, 211invisible, 197Jónsson, 261λ-Shelah, 97λ-inefable, 25ligeramente inefable, 97medible, 388

    medible real valuado, 388, 417ω-medible, 402pre inefable Ramsey, 211pre Ramsey, 169Ramsey, 127, 244, 309, 399Ramsey completo, 258Rowbottom, 244ν-Rowbottom, 244S-Mahlo, 431sublime, 79sutil, 136, 195

    débil, 195categoría

    balanceada, 514coma, 520completa, 535concreta, 517de índices, 534de los coconos, 536de los conos, 532delgada, 511discreta, 511dual, 512equivalencia, 518funtorial, 520grande, 508libre de objetos, 505localmente pequeña, 508opuesta, 512pequeña, 508producto, 511puntuada, 522rebanada, 512Set, 507

    577

  • clase estacionaria, 295colímite, 536conjetura

    de Chang, 241, 452débil de Chang, 71

    conjuntoadmisible, 47atractivo, 323cerrado, 16cerrado firme, 88cerrado fuerte, 26con la propiedad de Shelah, 99de indiscernibles, 117de medida

    cero, 420positiva, 420uno, 420

    dirigido, 16estacionario, 17, 65homogeneizado, 298indiscernible, 117libre, 317ligeramente inefable, 98no acotado, 17Πnm-indescriptible, 102remarcable, 123

    cono, 16, 532convergencia serie, 384coproducto, 524

    diagrama, 505finito, 534pequeño, 534producto, 522

    elementoprimo, 408unidad, 408

    elementos isomorfos, 513encaje

    cofinal, 33elemental, 3Σ0 y cofinal, 9τ-cofinal, 36

    τ-cofinal, 36epi, 513epimorfismo escindible, 514estructura dócil, 10

    familia cuasi ajena, 421filtro

    δ-saturado, 465club, 17, 19de los segmentos terminales, 87invisible, 197Jónsson, 469Rowbottom, 258, 440, 469saturado, 21sutil débil, 195

    flechaidentidad, 504inicial, 526terminal, 526universal, 526

    flechas, 504función

    I, 254álef generalizada, 352buena, 71casi acotada, 427incompresible, 427no acotada, 427ω-Jónsson, 479regresiva, 476

    funciones club ajenas, 254funtor, 515

    adjunto, 546constante, 530contravariante, 519covariante, 519diagonal, 530fiel, 516olvidadizo, 516pleno, 516seudo inverso, 518subyacente, 516

    hipótesis trasversal, 68

  • I-función, 254I-partición, 476ideal, 60

    de medida, 420distributivo, 477inefable completo, 484κ-completo, 61magro débil, 477normal, 61numerablemete completo, 61p-punto débil, 477principal, 60propio, 60q-punto débil, 477saturado en ninguna parte, 445selectivo débil, 477seminormal, 477trivial, 60WC, 480

    igualador, 541indiscernibles, 117intersección diagonal, 16, 60iso, 513isomorfismo natural, 518

    Lema de interpolación, 45levantamiento, 36liftup, 36límite, 534

    finito, 535

    M-ultrafiltro, 258, 300M-ultrafiltro normal, 258malla, 23, 99

    binaria, 23soluble, 24

    matriz de Ulam, 441medida, 385

    bivaluada, 385de Lebesgue, 416κ-aditiva, 385normal, 392numerablemente aditiva, 385

    modelo

    casi lleno, 56sólido, 47suave, 59

    módulo, 408sin torsión, 409

    mono, 513monoide, 510monomorfismo, 513

    escindible, 514morfismo, 504

    norma de una función, 255núcleo bien fundado, 47

    objetocero, 522inicial, 522nulo, 522terminal, 521

    objetos, 504operador Ramsey, 200

    pirámide, 532preorden, 511principio de Baumgartner, 108producto

    dual, 524fibrado, 537

    propiedadde Rowbottom, 257diamante, 29

    punto crítico, 6

    rango Ramsey, 202relación de satisfacción

    para Σ0-fórmulas, 9, 151para Σ1-fórmulas, 151

    retracción, 514

    sección, 514subcategoría, 516

    plena, 517sucesión casi ajena, 423

    teorema

  • de Łoś para levantamiento, 40de Erdős-Hajnal, 132de Rowbottom, 132, 133Ehrenfeucht-Mostowski, 118

    transformación natural, 517transpuesto izquierdo, 546trayectoria, 505

    ultrafiltronormal, 397Rowbottom, 258uniforme, 403

    unidad, 408, 546unión diagonal, 60

    vértice, 505volado, 292, 298