Teor¡a de cohetes de agua

TEORÍA DE COHETES DE AGUA

Tomado del artículo: Soda-Bottle Water Rocketes by David Kagan, Lous Butchholtz, and Lyda Klein, THE PHYSICS TEACHER VOL.33, MARCH 1995

TEORIA DE COHETES DE AGUA

Figura 1: Cohete de agua

antes que Δm sea eyectada

m = Masa del sistemas

V= Velocidad del sistema

Fuerza neta en el sistema = El peso del sistema


Figura 2: Cohete de agua justo

después que Δm es eyectada

Δm = Masa del agua eyectada

vf = Velocidad de la masa de agua eyectada

La masa del cohete cambia en un Δm y la velocidad del mismo cambia en un ΔV


Figura 3: El agua sale del sistema Vac= Volumen da aire en

el cohete P = Presión interna Dr= Diámetro del cohete Dh= Diámetro del agujero

del cohete ρ= Densidad del agua vac= Velocidad del agua

dentro del cohete u = Velocidad del agua

fuera del cohete Patm= Presión atmosférica


Movimiento del cohete de agua durante el lanzamiento → Aplicación de la segunda ley de Newton.

∑F = Δp / Δt = pf – pi / Δt La figura 1 muestra el cohete antes que se eyecte el agua. Su

momento inicial es:pi = m*V donde m= masa total de la botella + masa

del agua V = Velocidad inicial

La figura 2 muestra el sistema después que se eyecta una masa pequeña de agua Δm = a una velocidad vf. La velocidad de la botella ha cambiado en un ΔV

El momento final del sistema espf = (m – Δm)*(V + ΔV) – Δm*vf


Como la única fuerza en el sistema es el peso de la botella mas el peso del agua, entonces la segunda ley requiere:

∑F = pf – pi / Δt

- m*g = (m – Δm)*(V + ΔV) – Δm*vf – m*V / Δt

Haciendo el álgebra y despreciando el término Δm*ΔV (Δm*ΔV = 0) por ser muy pequeño tenemos:

- m*g = m*V + m*ΔV – V*Δm – ΔV*Δm – Δm*vf – m*V / Δt

- m*g = m*ΔV – Δm*(V + vf) / Δt

Resolviendo la ecuación para el cambio de velocidad del cohete de agua ΔV, nos queda:

- m*g*Δt = m*ΔV - Δm*(V + vf) / Δt


Resolviendo la ecuación para el cambio de velocidad del cohete de agua ΔV, nos queda:

m*ΔV = (Δm)*(V + vf) – m*g*Δt

ΔV = ((Δm)*(V + vf) – m*g*Δt) / m

ΔV = - g*Δt + (Δm)*(V + vf) / m Sea u = V + vf, entonces

ΔV = -g*Δt + u*(Δm/m) dondeu = Velocidad relativa del agua eyectada con respecto al cohete

Sabemos que ρ = m / Vvolumen entonces ρ = Δm / ΔVvolumen

Notar que Δm = ρ* Δvvolumen y m = ρ*Vw + mr

ρ = Densidad del agua

Δvvolomen = Cambio en el volumen del aire en el cohete (Equivalente al cambio del volumen de agua en el cohete


Sabemos que ρ = m / Vvolumen entonces ρ = Δm / ΔVvolumen

Notar que Δm = ρ* Δvvolumen y m = ρ*Vw + mr

Vw = Volumen de agua remanente en el cohete

mr = Masa del cohete vacío. Utilizando estas cantidades en la ecuación: ΔV = -g*Δt +

u*(Δm/m) tenemos

ΔV = -g*Δt + u*(ρ* Δvvolumen / ρ*Vw + mr) (1) La velocidad del cohete se puede encontrar una vez que la

velocidad del agua eyectada con respecto al cohete (u) sea conocida.

El modelo mas simple del flujo de fluido en el cohete, se trata como si fuese un tubo por el cual fluye agua. Este flujo es descrito por la ecuación de Bernoulli:


(1/2)*ρ*v2 + P = (1/2)*ρ*u2 + Patm (Ver figura 3) donde

P = Presión absoluta del aire en el cohete, Vvolumen= Volumen de aire, en el cohete, v = velocidad del agua en el cohete, ρ = densidad

del agua, Dh= Diámetro del agujero a través del cual el agua escapa, Patm = Presión atmosférica, u = Cantidad que buscamos→Velocidad a la cual es eyectada el agua

Tanto u como v, están relacionadas a la rata a la cual el agua escapa o equivalentemente la razón a la cual el volumen del aire se incrementa. Esta relación se da por la ecuación de continuidad

ΔV / Δt = A1*V1 = A2*V2

A1= Área de la sección 1, A2= Área de la sección 2

V1= Velocidad en la sección 1, V2= Velocidad en la sección 2


ΔV / Δt = (1/4) * v * π * Dr2 = (1/4) * u * π * Dh

2 (2)

Cancelando (1/4), cancelando π, resolviendo para v en términos de u y sustituyendo en la ecuación de Bernoulli tenemos:

(1/4) * v * pi * Dr2 = (1/4) * u * pi * Dh

2

v = u * Dh2 / Dr

2

v = u * (Dh / Dr)2

Reemplazando v en:

(1/2) * ρ * v2 + P = (1/2) * ρ * u2 + Patm tenemos:

(1/2) * ρ * (u * (Dh / Dr)2 )2 + P = (1/2) * ρ * u2 + Patm

(1/2) * ρ * u2 * (Dh / Dr)4 + P = (1/2) * ρ * u2 + Patm

(1/2) * ρ * u2 * (Dh / Dr)4 - (1/2) * ρ * u2 = Patm - P


(1/2) * ρ * u2 * [(Dh / Dr)4 – 1] = Patm – P

u2 = 2 * (Patm – P) / ρ [(Dh / Dr)4 – 1]

u = √((2 * (Patm – P) / ρ [(Dh / Dr)4 – 1] ))

Multiplicando dentro del radical, tanto el numerador como el denominador por (-1), la ecuación nos queda:

u = √((2 * (P – Patm) / ρ [1 - (Dh / Dr)4 ] )) La presión en el cohete durante el lanzamiento varía con el

volumen del aire del interior. La botella, cuando regresa a tierra, frecuentemente contiene niebla de condensación de vapor H2O.


Esto significa que el aire del interior se ha enfriado tan pronto se expande. En suma los resultados indican que el gas se expande en un tiempo muy corto, lo cual permite sospechar que el calor no tiene tiempo de fluir dentro del cohete. Por consiguiente se asume que se trata de un expansión adiabática de un gas ideal:

P = P0 * (V0 / Vr)ξ donde:P0 = Presión absoluta inicial en el cohete.V0 = Volumen inicial de aire en el cohete

ξ = 1.4 Para aire, el cual puede considerarse como un gas diatómico La velocidad del agua eyectada se puede ahora re escribir como

una función del volumen de aire que permanece dentro del cohete

Reemplazando en:


u = √((2 * (P – Patm) / ρ [1 - (Dh / Dr)4 ] ))

u = √((2 * [P0 * (V0 / Vr)ξ – Patm] / ρ [1 - (Dh / Dr)4 ] ))

Sacando como factor común a P0 en el corchetes tenemos

u = √((2 * [P0 * ((V0 / Vr)ξ – Patm / P0)] / ρ [1 - (Dh / Dr)4 ] ))

Sea uc = √((2 * P0)/ ρ)

u = √((2 * P0 / ρ)) *√ ((V0 / Vr)ξ – (Patm / P0) / (1 - (Dh / Dr)4 ))


u = uc *√ ((V0 / Vr)ξ – (Patm / P0) / (1 - (Dh / Dr)4 )) (3)

uc= Velocidad característica del cohete

uc = √((2 * P0)/ ρ)

La velocidad del cohete v, como función del tiempo t, puede encontrarse al seguir procesos. Asumiendo que v = 0 en t = 0

1. Encontrar valores para: P0= Presión absoluta inicial del aire en el cohete (< 135 psi) ρ = Densidad del agua (1000 Kg. / m3) V0= Volumen inicial del aire en el cohete ( 0Litros – 2 Litros)

Pate= Presión atmosférica (≈ 14.7 psi)

Dh = Diámetro del agujero “Tobera” (≈ 2.15 cm.)



1. Encontrar valores para: Dr= Diámetro del cohete (≈ 11.0 cm.) mr= Masa del cohete, Vacío (≈ 0.048 Kg.) Vr = Volumen total del cohete (≈ 2.08 Litros)

2. Escoger un incremento pequeño del volumen de aire dentro del cohete ΔV0 para utilizarlo en las interacciones de 0.01 litros a 0.03 litros

3. Calcular el valor de u para el valor actual de V0 utilizando la ecuación (3)

4. Calcular:ΔV / Δt = (1/4) * v * π * Dr2 = (1/4) * u * π * Dh

2



5. Calcular: ΔV / Δt = (1/4) * v * π * Dr2 = (1/4) * u * π * Dh

2

ΔV / Δt = v = u (Dh / Dr)2

ΔV = u (Dh / Dr)2 * ΔtΔt = ΔV / (u (Dh / Dr)2 )→ Actualice el tiempo

6. Calcular la cantidad de agua remane en el cohete Vw, al restar el volumen del cohete Vr del volumen del aire V0

Vw= Vr – V0 7. Calcular el cambio de velocidad del cohete utilizando la

ecuación (1)ΔV = -g*Δt + u*(ρ* Δvvolumen / ρ*Vw + mr)

→ Actualice el valor de la velocidad



7. Incremente el volumen en un ΔV, actualice el valor real del volumen V0

8. Repetir los pasos del 3 al 7 Estos cálculos numéricos son mas fáciles de realizar en un

programa de computador. Este programa consiste de columnas para el volumen de aire inicial V0, la relación de cambio de volumen respecto al tiempo ΔV / Δt, el tiempo t, la velocidad de salida del H2O u, la velocidad del Cohete v; y la altura del cohete.

Para un volumen inicial de agua Vw = 0.7 litros y una presión inicial de P0= 80 psi manométrica, la gráfica de la velocidad del cohete en fución del tiempo y la altura del cohete en función del tiempo se muestra en la siguiente figura 6 y 7.


Las predicciones son escandalosas! Cuando el cohete consume toda su agua (“Burnout”) debería alcanzar una velocidad de 76.3 m / s ( 171 mph.) en el lapso de tiempo de sólo 0.070 segundos durante el cual cubrirá una distancia de 1.8 metros. Estos es una aceleración promedio de 111 gravedades terrestres ( 1 gt= 9.8 m / s2).


Se realizaron curvas de velocidad de quemado (Bornout) vs., la presión manométrica. Figura 8.

Velocidad de quemado vs. volumen inicial de agua. Figura 9


Altura de quemado vs., presión manométrica inicial. Figura 10.

Altura de quemado vs., volumen inicial de agua. Figura 11.


Estas gráficas hacen muchas predicciones interesantes: La velocidad de quemado (Bornout) con mayor altura se logra

con ≈ 0.70 litros de agua, pero es bastante intensivo a cambios de ≈ 0.20 litros.

Incrementando la presión inicial, siempre se incrementará la velocidad de quemado.

La altura de quemado no depende mucho de la presión, pero depende casi linealmente del volumen.

Estos resultados son teóricos, que sólo se comprueban experimentando.

Para experimentar se recurrió a una cámara de alta velocidad para grabar los lanzamientos.

La cámara daba 286 cuadros por segundo Cada cuadro es 3.5 milésimas de segundo.


El orden de la magnitud de las predicciones eran correctas!. La altura de quemado (Bornout) era menos de 2 metros; y el tiempo estaba por debajo de 1/10 de segundo.

La información de la posición vs. el tiempo está graficada en la figura 14. Está gráfica también tiene la información de la curva teórica y algunas datos del tiempo ajustados-

La curva teórica y la curva de los datos experimentales no se aproximan como se esperaba.

El comportamiento real se opone al teórico Se tiene varias explicaciones para esta discrepancia

Existen para conocer el tiempo exacto de ignición, debido a que durante el primer mili-segundo, le cohete se mueve lentamente, moviendo los datos hacia la derecha.

Para hacer que los dato reales se acoplen a los datos experimentales, se requiere un tiempo de ajuste de alrededor de 0.01 segundos. Como se muestra en la figura 14.


El comportamiento real se opone al teórico

Se tiene varias explicaciones para esta discrepancia

Un error de esta magnitud significa que se calculó mal el tiempo de ignición por tres o cuatro cuadros del la película, lo cual parece un pedazo demasiado grande.

Un segundo problema experimental es que el eje de la aguja ingresa 3 cm. dentro de la botella, de manera que el modelo del movimiento no comienza a aplicarse hasta que el cohete tenga una velocidad inicial que se ha ignorado.


El comportamiento real se opone al teórico Se tiene varias explicaciones para esta discrepancia

De acuerdo a este efecto podría moverse la curva teórica hacia arriba por una cantidad proporcional al tiempo transcurrido. El cálculo del tamaño de este error podría explicar una tercera parte de esta discrepancia.

Un tercer problema potencial es la consideración de una expansión adiabática del aire dentro de la botella. El hecho de que se vea niebla en la botella después del lanzamiento, significa que el vapor de agua se transforma en líquido, liberando energía que no se ha tenido en cuenta. En adición, hay muchas otras aproximaciones inherentes a la teoría que podrían ser responsables para las discrepancias experimentales.

Muchas características del modelo teórico fueron verificadas por este experimento: El agua no se esparce locamente fuera de la botella. En lugar de

esto, se parece a un tubo. Esto explica el por qué la altura de quemado (Bornout) no depende de la presión inicial sino que depende linealmente del volumen inicial del agua.


Muchas características del modelo teórico fueron verificadas por este experimento: El agua que sale, crea esencialmente un cilindro con un diámetro del

agujero de la botella. Variando el volumen de agua, cambia la altura de este cilindro de una manera lineal.

Variando la presión, cambia la razón a la cual el cilindro de agua se crea, pero no su volumen total.

Otra característica de estas fotografías es que el agua haciende de manera tal, que cuando se mira hacia arriba después de un lanzamiento, se verá agua que cae de alturas de 5 a 10 metros.

Como conclusión: La película para la cámara de alta velocidad es costosa; además de esto se tiene la discrepancia entre teoría y experimento; que conduce a buscar un método diferente de reunión de datos para estudios mas sistematizados.

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