1Tento výukový materiál vznikl v rámci Operačního programu Vzdělávání pro konkurenceschopnost

1. KŠPA Kladno, s. r. o., Holandská 2531, 272 01 Kladno, www.1kspa.cz

Číslo projektu: CZ.1.07/1.5.00/34.0292

Číslo materiálu: VY_42_INOVACE_MAT-FUNKCE-23

Tematický celek (sada): FunkceTéma (název) materiálu: Jednotková kružnicePředmět: Matematika

Ročník / Obor studia: 3. a 4. ročník/ Ekonomika a podnikání, Cestovní ruch, Informační technologie

Autor / datum vytvoření: Ing. Bc. Jaroslava Horová/10.09.2013

Anotace: Žáci se seznámí s jednotkovou kružnicí.

Metodický pokyn: Určeno k prezentaci nebo samostudiu.

2

OBLOUKOVÁ MÍRA

velikost úhlu měříme ve stupních nebo v obloukové míře

jednotkou obloukové míry je RADIÁN je nutné zavést tzv. orientovaný úhel

3

ORIENTOVANÝ ÚHEL

každá uspořádaná dvojice polopřímek, které mají společný počátek

jedna polopřímka – počáteční rameno

druhá polopřímka – koncové ramenoB

A

V

-

B

A

V+

záporně orientovaný úhel

kladně orientovaný úhel

VA – počáteční ramenoVB – koncové rameno

4

ORIENTOVANÝ ÚHEL

při otáčení může polopřímka vykonat libovolný počet otáček

5

RADIÁN

středový úhel, který přísluší na jednotkové kružnici oblouku o délce jedné jednotky

délka jednotkové kružnice - 2π 2π rad = 360°

6

JEDNOTKOVÁ KRUŽNICE

0;2, 1

I. kvadrantII. kvadrant

III. kvadrant IV. kvadrant

7

JEDNOTKOVÁ KRUŽNICE – DEFINICE GONIOMETRICKÝCH FUNKCÍ

Funkce sin x je definována jako yová souřadnice průsečíku P koncového ramene orientovaného úhlu x s jednotkovou kružnicí. Funkce cos x je definována jako xová souřadnice průsečíku P koncového ramene orientovaného úhlu x s jednotkovou kružnicí.Funkce tg x je definována jako podíl funkce sin x a cos x.

Funkce cotg x je definována jako podíl funkce cos x a sin x.Číslo x se nazývá

argumentem funkce.

0;2

sin x

P

cos x

x

8

JEDNOTKOVÁ KRUŽNICE

Obr. 1

9

TABULKA ZNAMÉNKOVÝCH HODNOT V JEDNOTLIVÝCH KVADRANTECH

Kvadrant sin cos tg cotg

I. kvadrant + + + +

II. kvadrant + - - -

III. kvadrant - - + +

IV. kvadrant - + - -

2;0

;2

2

3;

2;2

3

10

PŘÍKLAD

Určete hodnoty goniometrických funkcí argumentu α = 120°.Řešíme ve II. kvadrantu.

x

y

α = 120°sinα = 120°

cos α = 120°

60°

11

URČENÍ GONIOMETRICKÝCH FUNKCÍ ZÁKLADNÍHO ÚHLU POMOCÍ FUNKCÍ OSTRÉHO ÚHLU

označíme si ostrý úhel , označíme si základní úhel ,

v I. Kvadrantu jsou všechny goniometrické funkce základního úhlu rovny goniometrickým funkcím ostrého úhlu

20

20

12

II. kvadrant

2

0;2, 1

sin)sin(sin

cos)cos(cos

tgtgtg )(

ggg cot)(cotcot

13

III. kvadrant

2

3

0;2, 1

sin)sin(sin

cos)cos(cos

tgtgtg )(

ggg cot)(cotcot

14

IV. kvadrant

2

2

3

0;2, 1

22

sin)2sin(sin

cos)2cos(cos

tgtgtg )2(

ggg cot)2(cotcot

15

PŘÍKLADY

Určete:

3

2sin

225cot g 300cos

Úhel leží ve II. kvadrantu.3

2sin

2

3

3sin

3

2sin

3

2sin

16

Úhel leží ve III. kvadrantu.

225cot g

145cot180225cot225cot ggg

Úhel leží ve IV. kvadrantu.

300cos

2

160cos300360cos300cos

17

PŘÍKLADY NA PROCVIČENÍ

1. Určete hodnoty goniometrických funkcí argumentu α = 330°.

2. Určete hodnoty goniometrických funkcí argumentu α = 300°.

3. Určete hodnoty goniometrických funkcí argumentu α = 225°.

18

PŘÍKLADY NA PROCVIČENÍ - ŘEŠENÍ

1.

2.

3. řešíme ve III. kvadrantu

řešíme ve IV. kvadrantu

řešíme ve IV. kvadrantu

19

Materiály jsou určeny pro bezplatné používání pro potřeby výuky a vzdělávání na všech typech škol a školských zařízení. Jakékoli další využití podléhá autorskému zákonu.

POUŽITÉ ZDROJE

RNDr. ČERMÁK, Pavel; Mgr. ČERVINKOVÁ, Petra. Odmaturuj z matematiky. Brno: DIDAKTIS spol. s.r.o., 2002, ISBN 80-86285-38-3.

PaedDr. KUBEŠOVÁ, Naděžda; Mgr. CIBULKOVÁ, Eva. Matematika - přehled středoškolského učiva. Třebíč: Petra Velanová, 2006, ISBN 80-86873-03-X.

PhDr. ŘÍDKÁ CSc, Eva; RNDr. BLAHUNKOVÁ, Dana; Mgr. CHÁRA, Petr. Maturitní otázky - matematika. Praha: Fragment, s.r.o., 2007, ISBN 978-80-253-0497-6.

RNDr. KLODNER, Jaroslav. Matematika pro obchodní akademie II. díl. Svitavy: neuvedeno, 2000, ISBN NEUVEDENO.

Pokud není uvedeno jinak jsou obrázky vlastní tvorby Obr. 1 GUSTAVB. http://cs.wikipedia.org/wiki/Soubor:Unit_circle_angles.svg [online].

[cit. 10.9.2013]. Dostupný pod licencí GNU