Tensoes em-vigas (1)
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Flexão em vigas
Tensões internas
Sx
y
z
F∆A∆
•Tensão média em : A∆
:
A
Ftm ∆
∆=→
•Tensão no ponto P: dA
Fd
A
Ft
A
→
→∆
→=
∆∆=
0lim
Sx
y
z
F∆A∆Decomposição segundo o referencial:
→→→→++= zyx tttt
As tensões passam a ser conhecidas pelos valores algébricos:
xxt σ=→
tensão normal, tração (+) compressão (-)
xzz
xyy
t
t
τ
τ
=
=→
→ tensões tangenciais ou de cisalhamento (de corte)Quando não houver confusão os índices podem ser abandonados.
Unidades de tensão:
Tensão é força por unidade de área (FL-2)
No sistema técnico: (mkfs): kgf/cm2
No SI: 1Pa=1N/m2
1kPa=103 Pa
1MPa=106 Pa
1GPa =109 Pa
1 kgf/cm2=0,0981 MPa e 1MPa = 10,2 kgf/cm2
L
ΔLε
A
F ==σ
FF
L
L + ∆L
A área seção transversal
Ensaio de tração
Lei de Hooke
Eε=σ
Flexão em vigas
P P
a ab
P P
+ -
P P
P P
0,0
// _ (Q)
P⋅a P⋅a(M)
A B C D
Flexão em vigas
• Mecanismo de deformação
L
M
M Comprimento < L
Comprimento > L
Flexão em vigas
M
M Comprimento < L
Comprimento > L
b
hσx
ε x
σmax
(compressão)
σmax (tração)
Os traços longitudinais dão uma idéia da deformação das fibras longitudinais e do eixo. Como eles assumem um aspecto curvo, o mesmo acontece com as fibras longitudinais e com o eixo.
Flexão em vigas
M
M Comprimento < L
Comprimento > L
Os traços transversais dão uma idéia da deformação das seções transversais. Como eles permanecem retos e perpendiculares aos longitudinais, admite-se que as seções permanecem planas e perpendiculares ao eixo. Elas sofrem rotações em torno de um eixo perpendicular ao eixo de solicitação
A tensão normal σx e a deformação específica εx variam ao longo da altura h da seção, sendo máximas nos bordos. Ao longo da dimensão b, σx e εx são constantes. Observa-se que existe uma camada de fibras que mantêm o comprimento L. Não são alongadas nem comprimidas, pois σx e εx são nulos. No estado neutro estas fibras estão em um mesmo plano horizontal conhecido como superfície neutra. A interseção da superfície com uma seção é a linha neutra (LN).
Superficie neutra
b
h
Superficie neutra
b
h
Eixo de solicitação (ES): é a interseção do plano das cargas com a seção transversal
ES
M
Flexão em vigas
M
M Comprimento < L
Comprimento > L
Hipóteses básicas:• Pequenas deformações• É válida a Lei de Hooke – comportamento elástico linear (deformações proporcionais às tensões) σ=Eε•Os traços transversais dão uma idéia da deformação das seções transversais. Como eles permanecem retos e perpendiculares aos longitudinais, admite-se que as seções permanecem planas e perpendiculares ao eixo. Elas sofrem rotações em torno de um eixo perpendicular ao plano de solicitação.
x
Posição dos eixos
b
y
h z y
J
Mσ
z
⋅=
Exercícios
3 cm 3 cm 3cm
A C D B
P P
2 cm
4 cmx z
y
1 - Calcular as tensões máximas de tração e compressão da viga, cuja seção transversal está representada ao lado. Dado P=700 kgf.
50 cm 50 cm 50 cm
Exercícios
4 tf 10 tf 10 tf 4 tf
A B C D E F
200 200 400 200 200 (cm)
a
9a
3,6a3,6a
0,8a
2 - Dimensionar a viga abaixoDados:
2
2
/600
/1000
cmkgf
cmkgf
c
t
=
=
σ
σ
3
Exercícios
Exercícios
4
Exercícios
5
Várias formas de seção transversal
• Maior eficiência• Maior economia
σσ =max
diJ
M
dsJ
M
i
s
=
=
max
max
σ
σ
di
ds
i
s =σσ
• Caso 1 forma assimétrica da distribuição das tensões em relação a LN LN mais próxima a fibra de menor
is σσ ≠
σExemplo
5,05,0
0
=⇒=
>
di
ds
M
t
C
σσ
• Caso 2 forma simétrica da distribuição das tensões em relação a LN ds=di=h/2
is σσ =
Seções simétricas a LN seções I
D
4
125,0832
2
3
DA
ADADD
w
π
π
=
===
bhA
Ahbhw
=
==66
2
b
h
Seções retangulares de mesma área maior eficiência = maior h
L
ADAL
w
DLD
LA
148,06
886,04
22
==
=→== π
3