Tempusprojekt: 516678 TEMPUS-1-2011-1-DE-TEMPUS- JPCR...
154
Tempusprojekt: 516678 TEMPUS-1-2011-1-DE-TEMPUS- JPCR: ANPASSUNG DES LEHRBETRIEBS AN DEN BOLOGNA PROZESSIM INGENIEURSTUDIUM FÜR ASERBAIDSCHAN Vorlesungsskript: Mathematik fur Ingenieure Für Studiengang: Bachelor- Automatisierunmgstechnik und Elektrische Energietechnik Bakalavr təhsili üçün- Proseslərin avtomatlaşdırılması və Elektroenergetika ixtisasları üzrə Mühəndis riyaziyyatı Prof. Dr. Ing. Rustamov Gazanfar (AzTU) Dr. Ing.Säbzäliyev Mahir (ASEA) Dr. Ing. Säfärli Ilgar (SUS) Baku 2015
Transcript of Tempusprojekt: 516678 TEMPUS-1-2011-1-DE-TEMPUS- JPCR...
Tempusprojekt: 516678 TEMPUS-1-2011-1-DE-TEMPUS-JPCR: ANPASSUNG DES LEHRBETRIEBS AN DEN BOLOGNA PROZESSIM INGENIEURSTUDIUM FÜR ASERBAIDSCHAN
Vorlesungsskript: Mathematik fur Ingenieure
Für Studiengang: Bachelor-Automatisierunmgstechnik und Elektrische
Energietechnik
Bakalavr təhsili üçün- Proseslərin avtomatlaşdırılması və Elektroenergetika
ixtisasları üzrə
Mühəndis riyaziyyatı
Prof. Dr. Ing. Rustamov Gazanfar (AzTU) Dr. Ing.Säbzäliyev Mahir (ASEA)
Dr. Ing. Säfärli Ilgar (SUS)
Baku 2015
1
Mündəricat
Giriş ………………………………………………......... 11
Fəsil 1. Matlab sisteminin xüsusiyyətləri və əsas işləmə qaydaları.............................................. 12
1.1. .
1.3.
Matlab sisteminin pəncərələri...... Matlab sisteminin baş menyüsi..... Matlab sisteminin ümumi strukturu.....
12 14 15
1.4. Həqiqi ədədlər və double tipli ədədlərin təqdin olunma formatı..... 1.4.1.Hesablama dəqiqliyinin idarə olunması.
15 16
1.5. Riyazi ifadələrin hesablanması..... 17 1.6. Münasibət operatorları............ 19 1.7. Məntiqi operatorlar.............. 20
1.7.1. Matlabda modelləşdirmə...... 24 Çalışmalar 1.1................ 25
1.8. Say sistemləri. Bit əməliyyatlarını yerinə yetirən funksiyalar...................... Çalışmalar 1.2...........................
25 31
Fəsil 2. Funksiyaların hesablanması, cədvəlləşdirilməsi və vizuallaşdırılması............. 32
2.1. Funksiyanın qiymətinin hesablanması və cədvəlləşdirilməsi............................................ 32
2.1.1.Massivin elementlərinin cəminin və hasilinin Hesablanması........................ 33
2.2. Funksiyaların vizuallaşdırılması......... 35 2.2.1. İkiölçülü qrafika................... 35 2.2.2. Üçölçülü qrafiklərin qurulması.... 43 2.2.3. İşıqlandırılmış səthin qurulması...... 44 2.2.4. Qrafiklər ailəsinin qurulması. Dövr operatoru....................... 46
Fəsil 3. Riyazi funksiyaların hesablanması.................... 47
2
3.1. Elementar funksiyalar........................... 47 3.1.1. Cəbri və arifmetik funksiyalar...... 47 3.1.2. Hiperbolik funksiyalar........... 49
Fəsil 4. Xüsusi hesablamalar ...................................... 51 4.1. Həddlərin hesablanması................. 51 4.2. Funksiyanın sıraya ayrılması........... 53
4.2.1. Teylor sırası.......................... 53 4.2.2. Sıranın cəminin hesablanması........ 55 4.2.3. Furye sırası................... 57 Çalışmalar 4.1.............................. Çalışmalar 4.2.....................................
61 61
Fəsil 5. Xüsusi riyazi funksiyalar....................... 63
5.2. İnteqral sinusu və cosinusu................... 63 5.3. Qamma-funksiya.................................... 64 5.4. Betta-funksiya.................................... 66 5.5. Üstlü inteqral funksiyası......................... 67 5.6. Lejandr funksiyası.................................... 67 5.7. Bessel funksiyası......................................... 68
Fəsil 6. Vektor və matris cəbri............................... 71 6.1. Vektor və matris anlayışı................... 71 6.2. Vektor və matrisin daxil edilməsi................ 72 6.3. Matrislərin əsas növləri............................... 73 6.4. Vektor və matrislər üzərində riyazi
əməliyyatlar.... 80 6.5. Matrisin əsas göstəriciləri.........................
Çalışmalar 6.1........................................ 88 94
Fəsil 7. Cəbri və transendent tənliklərin həlli................ 95 7.1. funksiyasının köməyi ilə tənliklərin
həlli.. 95 7.2. funksiyasının köməyi ilə tənliklərin
həqiqi köklərinin tapılması....................... 96 7.3. funksiyasının köməyi ilə coxhədlinin
köklərinin tapılması............................... 98
)solve(
)fzero(
)roots(
3
Çalışmalar 7.1......................................
98
Fəsil 8. Xətti və qeyri-xətti tənliklər sisteminin həlli...... 101 8.1. Xətti cəbri tənliklər sisteminin həlli........ 101
8.1.1. solve(∙) funksiyasının köməyi ilə xətti tənliklər sisteminin həlli ............................
101
8.2. Matlab mühitində qeyri-xətti tənliklər sisteminin həlli........................................ 103
Çalıışmalar 8.1.............................................. 104
Fəsil 9. Törəmə və inteqralların hesablanması............ 105 9.1. Törəmənin analitik (simvollu) hesablanması.. 105
9.1.1. Parametrik şəkildə verilmiş funksiyanın törəməsi............................................................ 109
9.1.2. Mürəkkəb funksiyanın törəməsi ........ 111 9.2. Müəyyən inteqralların ədədi üsullarla
hesablanması............................ 111 9.2.1. Trapesiyalar üsulu........................... 113 9.2.2. Simpson üsulu............................... 114 9.3.1. Parametrdən asılı olan inteqralların hesablanması.............................................. 117
9.3.2. Yuxarı həddi dəyişən olan inteqrallar........... 118
9.4. Matlab mühitində müəyyən inteqralların analitik (simvollu) heablanması................ 119
Tapşırıq 9.1........................................... Çalışmalar 9.2...................................
123 123
Fəsil 10.
Adi diferensial tənliklər həlli.................. 125
10.1.
Dinamik sistemlərin diferensial tənliklərlə yazılışı...........................................
125 10.2. Diferensial tənliklərin həlli .......... 126
10.2.1. Xətti diferensial tənliklər sisteminin analitik həlli........................................... 128
4
10.3. Matlab mühitində adi diferensial tənliklərin və tənliklər sisteminin həlli..................... 130
10.3.1. Simvol (analitik) həlli.................. 130 10.3.2. Ədədi həll.................................... 133
10.4. Differensial tənliklərin yazılış formaları...... 138 Calışmalar-10.1...................................... 140 Calışmalar-10.2 .............................. 143 Calışmalar-10.3....................................... 144
Ədəbiyyat ………………………………………... 146
Inhaltverzeichnis
Eintrag ………………………………………………… 11
5
Kapitel 1. Die wichtigsten Merkmale des Systems und die Verwendung von Matlab.......................... 12
1.1. Erste Konzepte............................ 12 1.2. Reelle Zahlen und das Doppel-Typ Daten... 20 1.3. Sonderzeichen.............................................. 20 1.4. Die attitude Operatoren..................... 26 1.7. Logische Operatoren............................ 27
1.7.1. Matlab Realisierung..................... 24 1.8. Durchführende Funktionen der Bit-
Operationen.............................. Aufgabe 1.2...............................
25 31
Kapitel 2. 2. Die Berechnung der Funktionen im
Matlab –System......................................... 32
2.1. Berechnung des Value-Funktion und die Planierung................................................ 32
2.2. Visualisierung Funktionen .............. 35 2.2.1. Zweidimensionalen Grafik..... 35 2.2.2.Einrichtung einer dreidimensionalen Grafik............................................. 43
2.2.3. Installation von beleuchteten Oberfläche... 44
2.2.4. Installation der Grafif-Familien. Period- Operator........................................... 46
Kapitel 3.
Berechnung der Mathematische Funktionen.. 47
3.1. Elementare Funktionen.......................... 47
3.1.1Algebrische und arithmetische Funktionen................................................. 47
3.1.2. Hyperbolische Funktionen............... 49 Kapitel 4.
Eigene Berechnungen ........................ 51
4.1. Berechnung der Grenzwerte................. 51
6
4.2. Trennung von Reihenfolge der Funktionen 53 4.2.1. Taylor-Reihe ................................ 53 4.2.2. Die Berechnung der Summe der
Reihe.... 55 4.2.3. Fourier-Reihe............................. 57 Übungen 4.1..................................... Übungen 4.2......................................
61 61
Kapitel 5. Besondere mathematische
Funktionen.......... 63 5.2. İntegral Sinus und Cosinus................... 63 5.3. Gamma-Funktion.................................. 64 5.4. Beta-Funktion.................................. 66 5.5. Exponential Integralfunktion..................... 67 5.6. Lejandr Funktion ............................. 67 5.7. Bessel Funktion.................................. 68
Kapitel 6. Vektor-und Matrix-Algebra................... 71 6.1. Das Konzept von Vektor-und Matrix.......... 71 6.2. Einbeziehung von Vektor-und Matrix 72 6.3. Die wichtigsten Arten von Matrixen......... 73 6.4. Anwendung an Matrix-Elementen........... 80 6.5. Mathematische Operationen auf Vektor-
und Matrixen.......................................... 88 Übung 6.1............................................ 94
Kapitel 7. Lösung der algebrischen und transendenten Matlab Gleichungen.....95
11 47
7.1. Lösung der Gleichungen mit Hilfe Solve()- Funktion……............................ 95
7.2. Das Finden der wirklichen Wurzeln von
Gleichungen mit Hilfe Fsero () -Funktion. 96
7.3. Das Finden der Wurzeln des Polynoms mit Hilfe Roots ()- Funktion.....................
Übung 7.1..............................................
98 98
Kapitel 8. Lösung von linearen und nicht- 101
7
inearen Gleichungssystem in der Matlab-Umgebung ....................
8.1. Lüsung von linearen und algebrischen Gleihungssystemen................ 101
8.2. Lösung des Systems von nichtlinearen Gleichungen in der Matlab-mgebung. 103
Übung 8.1........................................ 104
Kapitel 9. Berechnung der Ableitungen und Integrale in der Matlab-Umgebung................................ 105
9.1. Analytische Berechnung der Ableitung (symbolisch)............................................ 105
9.1.1.Ableitung der parametrischen Funktion..................................................... 109
9.1.2. Ableitung der komlexen Funktion..... 111 9.2. Berechnung der bestimmten Integralen
nach den numerischen Methoden............... 111 9.2.1. Trapezium-Methode...................... 113 9.2.2. Sympson -Methode.......................... 114 9.3.1. Berechnung abhängigen Integralen von Parameter....................................... 117
9.3.2. Integrale mit oben Variablen........ 118 9.4. Analytische Berechnung bestimmten
Integralen in der Matlab-Umgebung (symvolisch)............ 119
Übungen 9.1........................................... 123 Aufgabe 9.2 .............................................
123
Kapitel 10.
Lösung der gewöhnlichen diferensialen Gleichungen............................................. 125
10.1. Modellierung von dynamischen Systemen mit Differentialgleichungen.......................... 125
10.2. Beispiele für die Herstellung der Differentialgleichungen............................ 126
10.2.1. Generalisierung................ 128
8
10.3. Lösung der gewöhnlichen Differentialgleichungen und die Gleichungssystems in der Matlab.Umgebung............................... 130
10.4. Shreibformen der Differentialgleichungen... Übungen 10.1......................................... Übungen 10.2............................................ Übungen 10.3............................................
130 140 143 144
Literatur ………………………………………………. 146
9
GIRIŞ
Mühəndis - latın sözü ingenium olub, baş verən prosesləri müşahidə edib orada məna axtaran, ideyanın gəlməsinə hazır olub onu ixtiraçılıq (patent) sahəsinə tətbiq edən-texniki savadı olan ixtisasçı. Riyaziyyat - qədim yuan sözü olub, öyrənmək,
elm deməkdir. Riyaziyyatda bütün obyektlər və əməliyyatlar real həyatın formal və ideallaşdırılmış yazılışından ibarətdir. Bu səbəbdən riyaziyyatı çox vaxt formal riyaziyyat da adlandırılır.Riyaziyyat – real dünyanın miqdar münasibətləri və fəza formaları haqqında elimdir. Riyaziyyatın tədrisini elementar və ali riyaziyyata ayırmaq olar. Elementar riyaziyyat orta məktədə tədris olunur. Ali riyaziyyat ali məktəblərdə tədris olunur. Mühəndis riyaziyyatı fənni tətbiqi riyaziyyat sahəsinə aiddir.Tətbiqi riyaziyyatda- riyazi üsulların və alqoritmlərin elm və praktikanın başqa sahələrinə tətbiqi məsələlərinə baxılır. Mühəndis riyaziyyatının predmeti elementar riyaziyyatdan başlamış ali riyaziyyatın xüsusu bolmələrinə qədər geniş bir spektri əhatə edir. Dərs vəsaiti abstrakt riyyaziyyat deyil məhs mühəndisin elm və texnikanın müxtəlif sahələrində rast gəldiyi praktiki riyazi məsələlərin kompyüterdə modelləşdirilməsi və tədqiqinə yönəlmişdir. Bu zaman dərin riyazi bilik və araşdırmalar tələb olunmadığından mühəndisin əsas vaxtı yalnız praktiki məsələlərin həllinə və onların istehsalatda və texnikada tətbiqinə yönəlmiş olur.
Dərsliyin məqsədi müasir informasiya texnologiyaların-dan istifadə etməklə istifadəçiyə sadə hesablama və təhlil usullarını öyrətməkdir. Bunun üçün hal-hazırda kompyuter
riyaziyyatı sistemlərindən daha münasib olanları MatLAB/Simulink paketindən istifadə edilmişdir.
10
Matlab (qısa- Matrix Labaratory-matris laboratoriyası) mühəndis və elmi hesablamaları yerinə yetirmək üçün nəzərdə tutulmuş interaktiv kompyüter sistemidir. Matlabı elmi kalkulyator adlandırmaq olar. Burada proqramla vizual vasitələrin vəhdəti tədqiqatçılar üçün əvəzolunmaz imkanlar yaradır. Matlabın tərkibində olan və dinamik sistemlərin modelləşdirilməsi üçün nəzərdə tutulmuş “vizual-bloklu imitasiya modelləşdirmə paketi” Simulink xüsusi yer tutur. Simulinkdə avtomatik tənzimləmə sisteminin tipik element və blokları, funksional və vizuallaşdırma vasitələri kitabxanada olan hazır bloklar şəklində təqdim olunur. Proqram təminatı isə üzə çıxmayaraq arxa planda qalır. Blokların parametrlərini dəyişmək üçün parametrlər pəncərəsindən istifadə olunur. Simulinkdə müxtəlif modellər şəklində verilmiş idarəetmə obyektlərini modelləşdirmək mümkündür. Bunlardan ötürmə funksiyalarını və vəziyyət modellərini göstərmək olar. Bloklu imitasiya modelləşdirməsinə olduqca az vaxt sərf olunduğundan bir dərs saatı ərzində nəticələri almaq və daha çox məlumat toplamaq mümkündür. Matlabda hesablama elementi matris olduğundan modeli matris şəklində verilmiş sistemləri modelləşdirdikdə qurulmuş vektor Simulink sxemində matris və vektorları daxil etmək kifayyətdir. Tədqiqatların virtual xarakter daşımasına baxmayaraq praktiki tədbiqlərdə çox vacib olan biliklər qazanmaq mümkündür.
Kitabda Matlabın aşağıdakı bölmələrindən istifadı olunmuşdur:
Symbolic Math Toolbox;
Signal Processing Toolbox;
Control System Toolbox;
Statistics Toolbox;
System Identification Toolbox;
Optimization Toolbox;
12
FƏSİL 1
MATLAB SİSTEMİNİN XÜSUSİYYƏTLƏRİ VƏ ƏSAS İŞLƏMƏ QAYDALARI __________________________________________________
1.1. Matlab sisteminin pəncərələri MatLAB sistemi MathWork Inc. firması tərəfindən (ABŞ,
Neytik şəh., Massaçusets ştatı) yaradılmışdır. Bu sistemdən keçən əsrin 70-ci illərin axırlarından istifadə edilməyə başlanılsa da, onun tətbiq edilməsi 80-cı illərin axırlarından sonra daha da artmağa başlamışdır. MatLAB sisteminin axırıncı versiyaları – son dərəcə inkişaf etmiş sistemlərdir.
MatLAB mühitində sistem ilə əlaqə matlab.exe proqramını işə buraxandan sonra ekranda görünən pəncərələrin (Window) vasitəsi ilə həyata keçirilir.
13
Matlab sisteminin əsas pəncərələri
Kitabda əsasən şəkildə göstərilən üç pəncərədən istifadə edilmişdir:
1.Command Window- əmrlər pəncərəsi; 2. Workspace- işçi sahə; 3. Command History- əmrlərin tarixi. 1. Command Window pəncərəsi. Bu pəncərə əsas
pəncərə olub onun köməyi ilə riyazi ifadələr və əmrlər daxil edilir, hesablamaların nəticələri alınır, habelə sistemin göndərdiyi məlumatlar təqdim olunur.
Daxiletmə sətri >> işarəsi ilə nişanlanmışdır. Əmrlər pəncərəsində klaviaturadan daxil olunan ədədlər, dəyişənlər, həm də hesablamaların nəticələri göstərilir. Dəyişənlərin adları hərflə başlamalıdır. = işarəsi mənimsətmə operatoruna uyğundur. Enter klavişininin basılması sistemi ifadəni
hesablamağa və nəticəni göstərməyə məcbur edir. Məsələn, daxiletmə sətrində klaviaturadan >> a=2+3 daxil etsək və Enter klavişini bassaq, ekranda
hesablamanın nəticəsi görünəcək: a =5. Hər hansı ədədi və ya simvolu dəyişmək (düzəliş etmək)
istəsək heç nə alənmayacaq. Bu MatLABın xarakterik (bəlkə də çatışmayan) xüsusiyyətidir. Düzəliş etmək üçün ↑ və ↓ klavişlərindən istifadə olunur. Bu klavişlər əvvəldə daxil olunmuş bütün ifadələri vərəqləməyə (yuxarı və aşağıya doğru) imkan verir. Lazımi sətirdə dayanaraq düzəliş edilir. Daxil edilən ifadənin davamını növbəti sətrə keçirmək üçün üç nöqtödən ” . . . ” istifadə olunur.
Əmirlər pəncərəsini təmizləmək (silmək) üçün clc əmrindən istifadə edilir. Lakin bu zaman əvvəlki simvollar, əmirlər, açılmış fayıllar və nəticələr yadda saxlanılır. Bu
pəncərəni bağlamaq üçün sağ küncdə yerləşən düyməsini basmaq lazımdır.
14
2. Workspace pəncərəsi. İş prosesində müxtəlif tipli dəyişənlərdən istifadə olunur.Yaradılmlş dəyişənlər və cari seans ərzində hesablanmış cavablar kompyüterin yaddaşının xüsusi ayrılmış sahəsində yadda saxlanılır. Dəyişənlərin qiymətlərinin çap etmək və ya qrafikini qurmaq olar.Məsələn, əmirlər pəncərəsinə [t,x1] və ya plot(t,x1) yazmaqla qiymətləri çap etrmək və ya qrafikini qurmaq olar.
who ямри иля бу анда системин ишчи сащясиня дахил олан бцтцн дяйишянлярин сийащысыны чыхармаг олар. Системин ишчи сащясинин истянилян дяйишянинин гиймятиня бахмаг цчцн щямин дяйишянин адыны йыьмаг вя бундан сонра Enter клавишини
басмаг кифайятдир. MатLAB системи иля иш сеансы гуртардыгдан сонра яввял
щесабланмыш дяйишянляр итирилир. Компйутердя MатLAB системинин ишчи сащясиндя оланлары файл шяклиндя сахламаг цчцн
File / Save Workspace As … менйусунун ямрини йериня йетирмяк лазымдыр. Файлын адынын эенишлянмяси mat олур, она эюря дя беля файллары МАТ-файлар адландырмаг гябул олунмушдур. Бу файллары ишя салмаг цчцн
File / Load Workspace … менйусунун ямрини йериня йетирмяк лазымдыр. 3.Command History pəncərəsi.Əmirlər pəncərəsinə yazılan bütün ifadələr avtomatik olaraq yadda saxlanılır və Command History pəncərəsinə çıxarılır. Bu siyahının xeyri nədir? Əgər haçansa yerinə yetirilmiş əmri təkrar etmək tələb olunarsa, onu siyahıda tapıb iki dəfə sol klik etməklə yenidən yerinə yetirmək olar. Və ya bu pəncərədə olan ifadələri tək-tək və ya qrup şəkilndə fərqləndirib (əvvəlki şəkildə x=2+3 sətri) sol klikin köməyi ilə əmirlər pəncərəsinə gətirməklə təkrarlamaq olar. Command History pəncərəsinin tərkibi
sistemdən çıxdıqda , hətta kompyüteri söndürdükdə belə itmir.Siyahını yalnız menyünün köməyi ilə silmək (pozmaq olar). Digər pəncərələri ekrana gətirmək üşün View (вид, ru.)menyusindən istifadə edilir.
15
1.2. Matlab sisteminin baş menyusi Menyuların köməyi ilə MatLABın ən ümumi funksiyaları yerinə yetirilir.Əvvəldə göstərilmiş şəkildəki Matlab 7.6.0(R2008a) versiyasında menyu 7 maddədən ibarıtdir:
1. File- fayıllarla işləmə. 2. Edit -redaksiya etmə. 3.View-pəncərələrin idarə olunması. 4.Web-işi görən firma ilə İnternet vasitəsi ilə əlaqə. 5. Desktop-pəncərələrin ekranda yerləşdirilməsi 6. Window- pəncərələr ilə əlaqə. 7. Help- Matlabun məlumat sistimi ilə əlaqə.
1.3. Matlab sisteminin ümumi strukturu
Ümumi təyyinatlı hesablama alqoritmlərinin reallaşdıran nüvədən başqa MATLABda müxtəlif praktiki məsələləri həll etmək üçün onlarla Toolboxlar (xüsusi altproqramlar kitabxanası) realizə olunmuşdur. Məsələn, SYMBOLİC toolbox - simvolik hesablamaları, Toolbox CONTROL isə avtomatik idarəetmə sistemlərini modelləşdirmək və hesablamaq üçün nəzərdə tutulub.
MATLAB paketi ilə yanaşı dinamik sistemləri vizual-bloklu-imitasiya modelləşdirilməsini yerinə yetirən SİMULİNK nəzərdə tutulmuşdur.Bu paketi işə buraxmaq üçün əvvəlki şəkildə göstərilmiş düyməni basmaq və ya əmirlər pəncərəsində >>simulink əmrini daxil etmək lazımdır.
1.4. Həqiqi ədədlər və double tipli ədədlərin təqdim olunma formatı MatLABda ədədlərin təqdim olunma diapazonu:10-308-
10+308.
MатLAB системи бцтцн щягиги ядядляри мантисса вя гцввятин дяряъяляри иля ифадя едир, мясялян, 2.85093Е+11,
16
бурада Е гцввятин ясасыны эюстярир вя 10-дур. 2.85093Е+11
2.850931011 . Верилянлярин бу ясас типи double адланыр. MатLAB системи сусма принсипиня эюря щягиги дяйишянляри
хариъ етмяк (эюстярмяк) цчцн short форматындан истифадя едир вя бурада верэцлдян сонра йалныз дюрд рягям эюстярилир. Мясялян, клавиатурадан
>> a=5.345*2.868/3.14-99.455+1.274
дахил етмякля,
a =-93.2990
алаъагсыныз. Яэяр res щягиги ядядинин там тясвири тяляб олунарса, онда клавиатурадан
>> format long
ямрини вя сонра да дяйишянин адыны йыьын:
>> a
Enter клавишини басмагла
a =-93.29900636942675
алаъагсыныз. Бундан сонра бцтцн щесабламаларын нятиъяляри бу иш сеансы ярзиндя беля йцксяк дягигликля эюстяриляъякдир. Яэяр ъари иш сеансы гуртарана гядяр щягиги ядядлярин яввялки дягигликля эюстярилмясиня кечмяк лазым эялярся,
>> format short ямрини йыьмаг вя Enter клавишини басмаг лазымдыр.
Там ядядляр системдя ямрляр пянъярясиндя там ядядляр шяклиндя эюстярилир.
MатLAB системиндя бир нечя систем дяйишянляри мювъцддур, бунлардан ашаьыдакылары эюстярмяк олар:
pi ;
ans ахырынъы ямялиййатын нятиъясини йадда сахлайан дяйишян. format long əmrindən istifadə etsək vergüldən sonra on iki rəqəm almaq olar.
17
1.4.1. Hesablama dəqiqliyinin idarə olunması
Hesablamaların dəqiqliyi (vergüldən sonra olan rəqəmlərin sayı ) digits əmri ilə verilir.Verilmiş dəqiqlikli hesablamaları vpa əmri yerinə yetirir.
1.5. Riyazi ifadələrin hesablanması Riyazi ifadələri hesablamaq üçün aşağıdakı sinvollardan istifadə olunur.
1. Xüsusi simvollar Matlab dilində aşağıdakı xüsusi simvollar mövcuddur:
( ) - dairəvi (kiçik) mötərizə; arqument və ifadələrin ayrılması və s. sin(x), (x-1)/(x+1)
[ ] - kvadrat (orta) mötərizə; vektor və matrisləri formalaşdırır:
[1;5;7], [1 3 5; -2 5 3] .
{ }- fiqurlu (böyük) mötərizə; massiv yuvalarını formalaşdırır.
. - onluq nöqtə; 3.2; x.^2+x./cos(x)
; - nöqtə-vergül; operatorun sonunda informasiyanın ekrana verilməsinin qarşısını almaq,
18
həmçinin kiçik mötərizələrin içərisində matrisin sətirlərini ayırmaq üçün istifadə olunur.
: - iki nöqtə; i:k→[i,i+1,i+2,…,k]→1:5→[1 2 3 4 5]
, ayırıcı (vergül);
.. – ana kataloq; bir səviyyə yuxarı budağa keçmə.
... – sətrin davamı;
% - komentari; komentari (açiqlama) vermək üçün istifadə olunur.
! - operiasion sistemin əmrinin çağırılması; !-dən sonra operasion sistemin əmrinin gələcəyini göstərir.
= - mənimsətmə; məsələn, x= [2 1 7] , x=sin(a), x=1:0.5:10;
' dırnaq.riyazi ifadədə simvol dəyişəninin
olduğunu göstərir:məsələn, '.01)exp(' axy
2. Hesabi əməliyyatlar simvolları
Щесаби ифадялярдя ашаьыдакы ямялиййат ишаряляпиндян истифадя олунур:
топлама;
чыхма;
* вурма;
/ солдан саьа бюлмя;
\ саьдан сола бюлмя;
^ гцввятя йцксялтмя. abs(a) – ədədin mütləq qiyməti.
3. Elementar riyazi funksiyalar (Elementary math functions)
3.1. Тригонометрик функсийалар (Trigonometric)
19
1. sin Синус
2. sinh Щиперболик синус
3. asin Тярс синус ( arcsin )
4. asinh Щиперболик тярс синус
5. cos Косинус
6. cosh Щиперболик косинус
7. acos Тярс синус ( arccos )
8. acosh Щиперболик тярс косинус
9. tan Танэенс
10. tanh Щиперболик танэенс
11. atan Тярс танэенс (arctg )
12. atan2 4 рцблц arctg
13. atanh Щиперболик тярс танэенс
14. sec Секанс
15. sech Щиперболик секанс
16. asec Тярс секанс
17. asech Щиперболик тярс секанс
18. csc Косеканс
19. csch Щиперболик косеканс
20. acsc Тярс косеканс
21. acsch Щиперболик тярс косеканс
22. cot Котанэенс
23. coth Щиперболик котанэенс
24. acot Тярс котангенс
25. acoth Щиперболик тярс котанэенс
3.2. Експоненсиал функсийалар (Exponential)
26. еxp Експоненсиал функсийа
27. log Натурал логарифм
28. log10 Онлуг логарифм
29. log2 Икилик логарифм
30. pow2 2 ясасына эюря експонента
20
31. sqrt Квадрат кюк
32. nextpow2 2 ясасына эюря ян йахын гцввят
Matlabın əmirlər pəncərəsinin təmizlənməsi clc əmrinin köməyi ilə yerinə yetirilir.
1.6. Münasibət operatorları
Münasibət operatorları iki operantın müqayisə edilməsi
üçün nəzərdə tutulub. Operantlar eynidirsə proqram 1(True), əks halda 0(False) verir.
Operendların yazılış qaydaları aşağida verilmişdir. Funksiyalar Operatorun adı İşarəsi
Misal eq Bərabərdir ==
a=b ne Bərabər deyil ˜=
a˜=b lt Kiçikdir <
a<b gt Böyükdür >
a>b
le Kiçik və ya bərabər <=
a<=b ge Böyük və ya bərabər >=
a>=b Operatorlar = və ˜= həqiqi və kompleks dəyişənləri
müqayisə edə bilir. Bu zaman həm həqiqi, həm də xəyali hissələr müqayisə olunur.
Operatorlar <, <=, >, >= kmpleks ədədləri müqayisə etdikdə yalnız həqiqi hissələri müqayisə edir.
21
Misallar.
İfadələr Funksiyalar Nəticə >>5==5 >>eq (5, 5) ans=1 >>3˜=3 >>ne(3, 3) ans=0 >>2+3i==2+i >> eq(2+3i, 2+i) ans=0 >>2+3i==2+3i >>eq(2+3i, 2+3i) ans=1 >>2+3i˜=2+3i >>ne(2+3i, 2+3i) ans=0 >>3.2<3.21 >>lt(3.2, 3.21) ans=1 >>2.3+8i<2.4+i >>lt(2.3+8i, 2.4+i) ans=1 >>3.8-3i>5+i >> gt(3.8-3i, 5+i) ans=0 >>3<2.999 >>le(3, 2.999) ans=0 >>3>=2.999 >>ge(3, 2.9999) ans=1
1.7. Məntiqi operatorlar
Mühəndis praktikasında məntiqi əməliyyatlardan iqtisadiyyatda, idarəetmə sistemlərində, ümumiyyətlə insan fəaliyyətinin bir-çox sahələrində geniş istifadə olunur. Matlabda aşağıdakı elementar məntiqi operatorların yerinə yeturilməsi nəzərdə tutulub:
inversiya (inkar) –YOX;
konyuksiya (məntiqi vurma) – VƏ;
dezyunksiya (məntiqi cəmləmə) -VƏ YA;
VƏ YA-nın kənar edilməsi (исключение ИЛИ). Operatorların yazilma qaydaları aşağıda göstərilmişdir. Funksiya Adı not YOX and VƏ or VƏ YA xor Və ya-nın kənarlaşdırılması xor əməliyyatı belə işləyir: operandlar müxtəlifdirsə- 1,
eynidirsə- 0. xor-un inkarı ekvivalensiya (adətən ∼ simvolu ilə işarə olunur) adlanır.
22
Göstərilən elementar məntiqi əməliyyatlar Simulink paketində də mövcuddur.
Daha mürəkkəb əməliyyallar yxarıda adı çəkilən elementar əməliyyatların kombinasiyasından təşkil olunur. Əməliyyatların yerinə yetrilmə ardıcıllığı aşağıdakı kimidir:
1. konyuksiya (məntiqi vurma) – AND; 2. dezyunksiya (məntiqi cəmləmə) –OR ; 3. inversiya (inkar) –NOT əməliyyatı ardıcıllığa görə aparılır.
Məntiqi əməliyyatları iki x1 və x2 operantları üçün cədvəl şəklində göstərək.
1. NOT- inkar: y= x . Bu əməliyyatında yalnız bir operant
iştirak etdiyindən inkar unar əməliyyatdır (cədvəl 1.1). Cədvəl 1.1
x xy
0 1
1 0
2. AND-məntiqi vurma y=x1 x2, (&, ).Bu əməliyyatda iki operand iştirak etdiyindən məntiqi vurma əməliyyatı binar əməliyyatdır (cədvəl 1.2).
Cədvəl 1.2
x1 x2 y=x1x2
0 0 0
0 1 0
1 0 0
1 1 1
3.NAND-and-ın inkarı: ANDy və ya .21 xxy
Cədvəl 1.3
x1 x2 y
0 0 1
0 1 1
23
4. OR- məntiqi cəmləmə : y=x1+x2, (|, V). Doğruluq
cədvəli 1.4-də göstərilmişdir. Cədvəl 1.4
x1 x2 y=x1+x2
0 0 0
0 1 1
1 0 1
1 1 1
5. NOR -VƏ YA-nın inkarı: .ORy .21 xxy
Doğruluq cədvəli 1.5-də göstərilmişdir. Cədvəl 1.5
x1 x2 21 xxy
0 0 1
0 1 0
1 0 0
1 1 0
NOR əməliyyatının yoxlanılmasının Simulink sxemi şəkil
1.2-də gösərilmişdir.
Şək.1.2. NOR əməliyyatının yoxlanılmasının Simulink
sxemi
x1
x2
y
Logical
Operator
NOR
Display
1
0
0
0
Constant 1
[0 1 0 1 ]
Constant
[0 0 1 1 ]
1 0 1
1 1 0
24
4. XOR- OR-yn kənarlaşdırılması. Doğruluq cədvəli: Cədvəl 1.4
Məntiqi əməliyyat:
.2121 xxxxy
Matlab proqramı:
5. Məntiqi nəticə (implikasiya):x1→ x2, (→).
Cədvəl 1.5
x 1 x2 x1→ x2
0 0 1
0 1 1
1 0 0
1 1 1
Nəticə yalnsz və yalnsz o vaxt yalan (falş), yəni 0 olur ki, x1 həqiqi, x2 isə yalan olsun.
1.7.1. Matlabda modelləşdirmə Misal 1.1.
x1 x2 y
0 0 0
0 1 1
1 0 1
1 1 0
25
Mürəkkəb məntiqi əməliyyatlar. 2121 xxxxy məntiqi
əməliyyatı yerinə yetirək. Burada, ∙ (nöqtə) məntiqi vurma (and), + məntiqi cəmləmə (or), (düz xətt) inkar (not) kimi istifadə olunmuşdur.
26
Sadəlik üçün ifadə iki hissəyə parçalanmışdır:
));(,( 21211 xnotxandxxy )).(( 21212 xxandnotxxy Yekunda
)( 21yyory .
Qeyd etmək vacibdir ki, giriş x1, x2,... dəyişənlərinin sayı 2-dən böyük ola bilər.
Çalışmalar - 1.1
Aşağıdakı məntiqi əməliyyatları proqlaşdırma yolu ilə yerinə yetirin.
1. V=x∙y+z 2. V= zyx 3. zxyV
4. V= zyx 5. V= zyx 6. V= ,zyx
7.V=x+y+z, 8.V= ,zyx 9.V=
,zyx
10.V= ,zyx 11.V= ,zyx 12.
,zxyxV 13. .zyxxV 14.V= .zxyx 15.
V= .zzyx
1.8. Say sistemləri. Bit əməliyyatlarını yerinə yetirən
funksiyalar Burada rəqəm texnikasında istifadə olunan müxtəlif say
sistemlərinin biri-birinə şevrilməsi qaydalarına baxacağıq.Mühəndis praktikasında adıtən 2,8,10,16-lıq say sistemlərindən istifadə olunur.
27
Bit və bayt (1 bayt=8 bit) rəqəm informasiyasının ölçü vavidi olub ikilik say sistemin (rəqəm kodu) təşkil edən 1 və ya 0 deməkdir. Buradan, hər-bir bit bir mərtəbədir (разряд).Məsələn, 10010 -5 mərtəbəli, 0010 isə4 mərtəbəli ədəddir. Onluq say sistemində təklik (0,1,2,...,9)-1 mərtəbəli, onluq ədədlər (10-99) -2 mərtəbəli və s. Məsələn, 6324-4 mərtəbəli ədəddir. Sadə dildə desək,mərtəbə ədədi təşkil edən rəqəmlərin sayına bərabərdir.
Daha böyük ülçü vahidləri: 1kilobayt=103bayt, 1meqabayt=106 bayt, 1giqabayt=109 bayt, 1petabayt=1012bayt və s.
1. İkilik say sistemindən onluq say sisteminə keçid (2→10).Bu keçidin əsasında onluq ədədin aşağıdakı təsviri dayanır:
,... 011
21
10 papapapaA nn
nn (1.1)
Burada a0...an – nn aaaaA 110 ... ədədini təşkil edən 0-9
qədər rəqəmlər; p- say sisteminin əsası (adətən, p=2,8,10,və ya 16), n- A ədədinin mərtəbəsidir (A=14526 olarsa n=5).
Çevirmə bilavasitə (1.1) düsturunun əsasında aparılır.Bu halda p=2.
Misal 1.3. 1100101012 ədədini onluq say sisteminə şevirək. Bu halda n=9 olduğundan, yazmaq olar:
.40514
161282561120418016132064012812561
122021202120202121110010101
10
0123456782
Beləliklə 1100101012=40510. Matlabda realizasiya 2 → 10 keçidının matlab fuksiyası bin2dec( ).
2. Onluq say sistemindən ikilik say sisteminə keçid
(10→2). Bu əməlliyyatı yerinə yetirmək üçün xüsusi bölmə
28
qaydasından istifadə olunur:
hər dəfə alınmış qismət ( bölmə nəticəsində alınmış nəticə ) yenidən 2-yə bölünür. 2-yə bölmədə qalıq 1və ya 0-a bərabər ola bilər;
bölmə o vaxta qədər davam etdirilir ki, qismət 2-dən kiçik olsun.
alınmış qalıqlar axırdan əvvələ doğru yazılır. Misal 1.4. A=56710 onluq ədədini ikilik say sisteminə
keçirək. Bölmə qaydası aşağıda göstərilmişdir.
Bölmə nəticəsində alınmış qalıqlar: 1,1,1,0,1,1,0,0,0,1. Bu
rəqəmləri axirdan əvvələ dəğru düzsək nəticəni alarıq: 10001101112. Beləliklə56710 =10001101112.
Matlabda realizasiya. Müvafiq Matlab funksiyası dec2bin(). Misal 1.5.
29
3. Onluq say sistemindən səkkizlik say sisteminə keçid
(10→ 8). Bu halda da 10→2 uyğun olaraq sütunlu bölmədən istifadə olunur:
ilkin tam ədəd 8-ə o vaxta qədər sütunlu bölünür ki, qismət (nəticə) 8-dən kiçik alınsın. 8-ə bölmədə qaliq 0,1,...,7 ola bilər.
Alınmış qalıqlar axırdan əvvələ doğru yazılır. Misal.56710 ədədini səkkizlik say sisteminə çevirək. Bölmə
aşağıda göstərilmişdir.
Bölmə nəticəsində alınmış qalıqlar: 7,6,1,0. Bu rərəmləri
axırdan əvvələ yazaq: 1067. Beləliklə 56710=10678 . 4. Onluq say sistemindən onaltılıq say sisteminə keçid
(10→ 16). Bu keçid də yuxarıda istifadə olunan sütunlu bölmə qaydasəna əsaslanır.
Misal 1.6. 56710 onluq ədədini 16-lıq say sisteminə çevirək. Aşağıda mqvafiq bölmə göstərilmişdir.
30
Bölmə nəticəsində alınmış qalıq: 0,12,1. 12-ədədini C ilə
əvəz edib qalıqlarıaxırdan əvvoğru yazsaq alarıq: 44810 =1C016.
Matlab fuksiyası dec2hex().
Əks (16→10) keçid hex2dec() fuksiyasinin vasitəsi ilə yerinə yetirilir.
Qeyd edək ki, onaltılıq say sistemində ikirəqəmli
ədədlərdən ibarət olan oaln 10,11,12,13,14,15 qalıqları uyğun olaraq A,B,C,D,E,F hərifləri ilə işarə olunur.
Ümumi hal 1. Onluq say sistemindən digər say sistemlərə keçid
(10→...). Matlab funksiyası dec2base(d,p). Burada d-onluq say sistemində olan ədəd (və ya sətir
şəklində olan ədıdlər [a,b,c,...,p), p- keçid olunası say sisteminin əsası.
Misal 1.7.
31
Kompyüterdə 2+1=3 əməliyyatı bu rəqəmlər ikilik say
sisteminə çevrildikdən sonra 110010+(OR) 110001=110011, yənı məntiqi cəmləmə kimi yerinə yetirilir.
Əks çevirmə 2. p əsaslı say sistemindən onluq say sisteminə keçid
(...→10). Matlab funksiyası base2dec(S,p). Burada S- əsası p olan ədəd (və ya sətir şəklində olan bir-
neçə ədədlər [a,b,c,...,p]. Misal 1.8.
Burada baxılmayan keçidləri İnternetdən götürmək olar.
32
Çalışmalar-1.2
MatLAB системиндя parametrlərin уйьун гиймятлярини дахил етмякля рийази ифадяляри щесабламалы.
Тапшырыг вариантлары
1. 31,a ; 910,b ; 750,c ; 322,x ; 8k
ax
bc
tg
kxcos
b
kxa
c
xasiny
3210
2
3
24
2. 2k ; 320,x ; 251,d ; 4n ; 750,b ; 22,c
510
3 22
223
sin
kxcos
cdbx
)bx)(dx(kntgy
3. 5i ; 2k ; 10,x ; 225,a ; 352,b
32
253
2
3 1010
)ba(
xke
)ba(
baxintgy
4. 251,a ; 050,c ; 52,d ; 5i ; 351,x
3 2
23
2
102 )ca(
adce
isin
)ca(dcy ix
5. 2k ; 52,x ; 310,c ; 930,a ; 615,b
xcaxkxcos
ba
sin
kxlny 33 2
410
7
6. 2k ; 53,a ; 350,b ; 5231,x
xebax
ln
kx
ba
b
axy kx
3 22
4 310
7. 71,a ; 251,b ; 30,c ; 52,x ; 3k
kx
abkxcos
sin
abc,
,
abcy
5410
7
70
42
33
FƏSİL 2 FUNKSİYALARIN HESABLANMASI, CƏDVƏLLƏŞDİRİLMƏSİ VƏ VİZUALLAŞDIRILMASI __________________________________________
Информасийаны график тясвир етмяк цчцн MatLAB системинин
зянэин имканлары вар. О, аналитик шякилдя, вектор вя матрис шяк-линдя верилмиш функсийаларын икиюлчцлц, цчюлчцлц графикини гурмаьа имкан верир; бир графикдя бир нечя функсийанын графикини гурмаьа имкан верир; графикляри мцхтялиф рянэлярля, мцхтялиф тип нюгтя вя хятлярля вя мцхтялиф координат системляриндя гурмаьа имкан верир.
2.1. Funksiyanın qiymətinin hesablanması və cədvəlləşdirilməsi Hər hansı funksiyanın qiymətini hesablamaq üçün əvvəlcə arqumentin qiymətlərinin daxil etmək (generasiya etmək) lazımdır. Bu əməliyyatı müxtəlif üsullarla etmək olar. Arqumentin qiymətləri xi diskret olduğundad funksiyanın bu nöqtələrdə hesablanmış qiymətləri də diskret şəkildə yi(xi) olur. Qrafiki təsvirdə nöqtələr kəsilməz (‘-‘) və ya stildən asılı olaraq qırıq-qırıq (‘--‘) (və ya başqa) düz xətlə birləşdirilirlər.Lazım gələrsə diskretləşdirmə nöqtələrini qeyd etmək olar, məsələn‘°’ dairəciklər ilə.Funksiyanın qrafikini originala yaxınlaşma dəqiqliyini artırmaq üçün arqumentin dx diskretləşdirmə addımını kiçiltmək lazımdır. Misal 2.1. y=ex funksiyasının [0;1] intervalında sabit h=0,2 addımla və x=[0, 0.5, 1, 2, 5] qiymətləri üçün qiymətlərini hesablayıb cədvəlləşdirək.
34
Eyni zamanda bir-neçə funksiyanı cədvəlləşdırmək mümkündür. Fərz edək ki, y1=ex, y2=x2, y3=sin(x).
Cədvəlin tronsponə (sətirlərlə sütunların yerinin dəyişdırilməsi) edilməsi.
2.1.1. Massivin elementlərinin cəminin və hasilinin hesablanması
1.Cəmin hesablanması.Matlabda massivin əlementlərinin
cəmi sum(x) funksiyasının köməyi ilə hesablanır. x-vektor olarsa vektorun elementlərinin cəmi hesablanır.x-
matris olan halında isə hər-bir sütunun elementlərinin cəmini
35
hesablanir. Misal 2.2.
2.Hasilin hesablanması. Matlabda massivin
əlementlərinin hasili prod(x) funksiyasının köməyi ilə hesablanır.
x-vektor olarsa vektorun elementlərinin hasili hesablanır.x-matris olan halında isə hər-bir sütunun elementlərinin hasili hesablanir.
Misal 2.3.
1-dən 10-qədər ədədlərin hasili;
[1 4 9 16 25] –vektorunun (vektor sətir) əlementlərinin hasili;
[1 2 3 4;2 3 4 5;3 4 5 6;4 5 6 7] matrisinin elementlərinin hasilini hesablayaq.
36
2.2. Funksiyaların vizuallaşdırılması
2.2.1. İkiölçülü qrafika
Икиюлчцлц графиканын ясас функсийалары ашаьыдакылардыр:
)y,x(plot ,
)s,y,x(plot ,
)sn,yn,xn,,2s,2y,2x,1s,1y,1x(plot .
Bурада:
х функсийанын вектор шяклиндя верилмиш гиймятляри;
у аналитик шякилдя, вектор вя йа матрис шяклиндя
верилмиш функсийа;
s графикин стилляри (цслублары) вектору; вя йа матрис
шяклиндя верилмиш функсийа; функсийанын графикинин рянэини тяйин едян сабит кямиййят (константа);
xn,,2x,1x бир графикдя цзяриндя тясвир едилмиш n
сайда функсийаларын аргументляри;
yn,,2y,1y бир графикдя цзяриндя тясвир едилмиш n
сайда функсийалар. )y,x(plot функсийасы функсийа )x(fу кими аналитик шякилдя,
вектор вя йа матрис шяклиндя верилдикдя онун графикини гурмаьа имкан верир. Рийази щесабламаларда эениш тятбиг тапмышдыр. Ян чох ашаьыдакы щалларда истифадя олунур:
0)x(f тянлийинин кюкляринин айрылмасы (тяклянмяси)
37
областынын сечилмясиндя; функсийанын хцсуси нюгтяляринин (максимумларынын,
минимумларынын, яйилмя нюгтяляринин, кясилмя нюгтяляринин) мцяййянляшдирилмясиндя;
интерполйасийа функсийасынын сечилмясинин дюьрулуьунун йохланылмасында.
Misal 2.4.
6x93y x функсийасы верилмишдир.
06x93x тянлийинин вя функсийанын диэяр хцсуси
нюгтялярини тяйин етмяли. Щялли:
>> x=0:0.1:3.5;
>> y=3.^x-9.*x+6;
>> plot(x,y)
Şəkil 2.1-də fунксийанын графики göstərilmişdir.
Şəkil 2.1. 6x93y x funksiyasının qrafiki
Шякилдян эюрцнцр ки, тянлийин ики кюкц вя функсийанын мини-муму вар. Кюклярин айрылмасы (тяклянмяси) областыны ашаьыдакы кими эютцрмяк олар:
.30.2
,5.15.0
2
1
x
x
Функсийанын минимуму
38
5.25.1 min x
областында йерляшир. )s,y,x(plot функсийасы )y,x(plot функсийасындан йалныз
графикин стилини мцяййян едян s константасы иля фярглянир.
Графикин стилини эюстярмямяк дя олар. ,2s,1s стилляри апостроф арасында олан цч маркер (нишан)
символу иля верилир. Бу маркерлярин бири хяттин типини (ъядвял 2.1),
диэяри хяттин рянэини (ъядвял 2.2), ахырынъы ися гойулан гойулан нюгтялярин типини верир (ъядвял 2.3). Бу маркерлярин щамысыны эюстярмямяк дя олар. Маркерлярин йерляшмя ардыъыллыьынын ящя-миййяти йохдур, йяни 'r+-' вя '-+r' ейни нятиъяни верир.
Ъядвял 2.1
Хяттин типини верян маркерляр
Маркер - -- : -.
Хяттин типи Кясилмяз Штрих Пунктир Штрихпунктир
Ъядвял 2.2
Хяттин рянэини верян маркерляр
Маркер Хяттин рянэи Маркер Хяттин рянэи
c Мави g Йашыл
m Бянювшяйи b Эюй
y Сары w Аь
r Гырмызы k Гара
Ъядвял 2.3
Нюгтялярин типини верян маркерляр
Маркер + * о х
Нюгтянин типи Нюгтя
Плйус Улдуз Даиряъик Хач
1. Qrafiklərin bir pəncərədə qurulması. y1=x2 və
39
y2=sin(5x) funksiyalarının qrafiklərini bir pəncərədə quraq (şək.2.2). Misal 2.5.
Şəkil 2.2
Düyün nöqtələri düz xəttlərlə birləşdirilmişdir. Dəqiqliyi artırmaq üçün x arqumentinin dx=0.2 diskretləşdirmə addımını kiçiltmək lazımdır. Yeni qrafiki yeni pəncərədə qurmaq üçün plot əmrindən əvəl figure(2) əmrini daxil etmək lazımdır: >>figure(2); plot(x,y); İki qrafiki bir pəncərədə qurmaq üçün hold on əmrindən istifadə olunur (şəkil 2.3):
40
Şəkil 2.3 Analoji nəticəni plot(x,y,x,z) əmrinin köməyi ilə də almaq olar. 2. Qrafiki qurulan funksiyaya məhdudiyyət verilməsi. Bəzi hallrda qrafiki qurulan funksiya x arqumentinin müəyyən qiymətlərində olduqca böyük qiymət alır. Məsələn, ikinci tərtib kəsilmə baş verir. Şkala bu qivmətə uyğunlaşdığından funksiya lazımi tərzdə vizuallaşa bilmir. Funksiyanı məhdudlaşdırsaq bu çatəşmamazlığı aradan qaldırmaq olar. Lazım olarsa arqumentin qrafikə çıxarılan qiymətini də (absis oxunu) məhdudlaşdırmaq olar. Aşağıda Matlab proqramının teksti göstərilmişdir:
x=0:01:x1; y=f(x);plot(x,y), xlim([xmin xmax]), ylim([ymin ymax]).
xmax<x1. Misal 2.6. >> % Qrafikin qurulması
41
Şəkil 2.4 Şəkil 2.5
Funksiyanın məhdudlaşdırılması tg(x) qrafikinin normal vizuallaşdırılmasına səbəb oldu. Koordinat oxlaının miqyasının dəyişdirilməsi: axis([xmin, xmax, ymin, ymax]). 3.Parçada verilmiş funksiyaların qrafiki. Üç hissədən ibarət olan funksiyanın qrafikini quraq:
.2,sin
;,
;2,sin
)(
3
xx
xx
xx
xy (2.1)
Əvvəlcə hər üç budağı, yəni üç cüt (x1,y1),(x2,y2) və (x3,y3) massivlərini hesablamaq lazımdır. Sonra absisləri x, fuksiyaları isə y vektorunda birləşdirib, (x,y) cütünün xarakterizə etdiyi əyrinin qrafiki qurulur. Misal 2.7.
42
Şəkil 2.6-da (2.1) ifadısinə uyğun gələn parçada verilmiş (və ya hissə-hissə) y(x) funksiyasının qrafiki göstərilmişdir.
Şəkil 2.6 Şəkil 2.7
4.Parametrik şəkildə verilmiş funksiyanın qrafiki. Bu tip funksiya aşağıdakı şəkildə verilir:
).()(),()( 21 ttyttx (2.2)
y=f(x) aslılığının qrafikini qurmaq tələb olunur.t parametrini birinci tənlikdən tapıb (əgər bu mümkündürsə) ikincidə yerinə yazsaq y=f(x) funksiyasının analitik ifadəsini ala bilərik. Lakin Matlabda qrafik qurmaq üçün daha konstruktiv üsul məvcuddur. Əvvəlcə t arqumentinin (parametr, burada zaman) qiymətlər vektoru generasiya olunur. Sonra x(t) və y(t) funksiyaları hesablanır. Məhz bu vektorlar plot -un arqumentləri rolunda çıxış edirlər. Misal 2.8. Fərz edək,ki x(t)=0.5sin(t), y(t)=0.7cos(t),
].2,0[ t
-8 -6 -4 -2 0 2 4 6 80
0.5
1
1.5
2
2.5
3
3.5
-0.5 -0.4 -0.3 -0.2 -0.1 0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5-0.8
-0.6
-0.4
-0.2
0
0.2
0.4
0.6
0.8
43
Şəkil 2.7-də (2.2) formasında verilmiş funksiyanın qrafiki göstərilmişdir. 5. Eyni zamanda bir-neçə qrafiki pencərənin açılması. Bu əməliyyat müxtələf qrafiklərin yığcam şəkildə vizuallaşdırılması məqsədi üçün nəzərdə tutulmuşdur. Bu məqsədlə pəncərələri matris şəklində yerləşdirməyə imkan verən üç parametrli subplot(i,j,n) əmrindən istifadə olunur.Burada i,j-pəncərələrin vertikal və horizontal üzrə sayı (matrisin sətir və sütunlarin sayı), n-cari çap olunacaq qrafikin nömrəsədir. Hər bir subplot(i,j,n) ünvanından sonra vizuallaşdırma əmrini yazmaq lazımdır (məsələn, plot(.) və ya ezplot(.),...) Misal 2.9. Sadə misala baxaq.1)
Şəkil 2.8 Şəkil 2.9
44
2)
6. Qrafiklərin müxtəlif pəncərələrdə qurulması. Müxtəlif avtonom qrafiki pəncərələr açmaq üçün figure əmrindən istifadə olunur. Misal 2.10. y=5sin(2x)e-0.3x, z=10cos(12x0.4) funksiyalarının qrafiklərini müxtəlif pəncərələrdə quraq.
Şəkil 2.10
7. Simvolik şəkildə verilmiş fuksiyanın qrafiki. Qrafik ezplot(.) funksiyasının köməyi ilə qurulur:
ezplot(f) -f(x) funksiyasının qrafikini x [2pi,-2pi] intervalında qurur;
ezplot(f,xmin,xmax) -f(x) funksiyasının qrafikini verilmiş x [xmin,xmax] intervalında qurur;
Misal 2.11. f=sin(x) funksiyasının qrafiki.
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10-3
-2
-1
0
1
2
3
4
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10-10
-8
-6
-4
-2
0
2
4
6
8
10
45
Şəkil 2.11-də müvafiq qrafik göstərilmişdir.
Şəkil 2.11 Şəkil 2.12
Misal 2.12. -3<x<3, 3<y<-3 intervalında x2-y2-1=0 parabolasının qrafiki.
2.2.2.Üçölçülü qrafiklərin qurulması Fəza qrafiki plot3(.) funksiyasının köməyi ilə qurulur. Misal 2.13. 1)
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
-1
-0.5
0
0.5
1
x
sin(x)
-3 -2 -1 0 1 2 3-3
-2
-1
0
1
2
3
x
y
x2-y2-1 = 0
46
Şəkil 2.13
2) x,y arqumentlərinin [-4;4] intervalında h=0.1 addim ilə z=lnx+lny funksiyasının qrafikini quraq.
Şəkil 2.14
2.2.3. İşıqlandırılmış səthin qurulması Fərz edək ki, səth işığı əks etdirən və udan materialdan hazırlanmışdır.Bundan başqa, işıq mənbəyinin yerini dəyişmək
0
10
20
30
40
-1
-0.5
0
0.5
1-1
-0.5
0
0.5
1
-4
-2
0
2
4
-4
-2
0
2
4-6
-4
-2
0
2
4
47
mümkündür.Bu iki imkan qrafikin döndərilməsi ilə birlikdə səthi lazımi bucaq altında işıqlandırmağa və təbii görkəm almağa imkan berir.İşıqlandırılmış səthi qurmaq üçün surfl funksiyasından istifadə olunur. Arqumentlərin ]1,0[],1,1[ yx intervalında
)1()1()5.1cos(2sin4),( 2 yyxyxyxz
ifadısi ilə verilmiş işıqlanmış səthi quraq. surfl funksiyasından istifadə etdikdə rəng politrasını copperç,bone,gray,pink funksiyaları ilə vermək əlverişlidir. Bu halda işığın intensivliyi xətti dəyişir.Rəvan dəyişən kölgə almaq üçüçn shading interp –dən istifadə etmək olar. Matlabda relizasiya. Misal 2.14.
Şəkil 2.15
2.2.4. Qrafiklər ailəsinin qurulması.Dövr operatopu
-1
-0.5
0
0.5
1
0
0.5
1-1
-0.5
0
0.5
1
xy
z
48
Fərz edək ki, parametrdən asılı olan funksiyanı parametrlərin müxtəlif qiymətlərində və dəyişənin verilmiş intervalında hesablamaq tələb olunur.Belə funksiya y=f(a,x) şəklində verilə bilər. Bu məqsədlə for (üçün) dövr operatorundan istifadə olunur:
for a=amin:∆a:amax
Matlab əmirləri end
Misal 2.15. y(a,x)=e-axsin(x) funksiyasının parametrin ]1.0,1.0[a qiymətləri üçün dəyişənin ]2,0[ x
intervalında əyrilər ailəsini quraq.
Şəkil 2.16
0 1 2 3 4 5 6 7-2
-1.5
-1
-0.5
0
0.5
1
1.5
49
FƏSİL 3
RİYAZİ FUNKSİYALARIN HESABLANMASI __________________________________________________
Əsas riyazi funksiyalar aşağıdakılardır:
1. Elementar funksiyalar. 2. Xüsusi funksiyalar. 3. İstifadəcinin funksiyaları. Funksiyaların siyahısını göstərək və onların hesablama qaydalarına baxaq.
3.1. Elementar funksiyalar
Riyazi funksiyalar fun(x) şəklində təsvir olunur.fun-funksiyanın adı, x- arqumentidir (ədəd və ya matris).Bəzi elementar funksiyalarin hesablanma texhologiyasına baxaq. Əsas elementar funksiyaların siyahısı Əlavə 1-də verilmişdir.
3.1.1. Cəbri və arifmetrik funksiyalar 1. abs(x)- x-in mütləq qiyməti. Aşağıdakı ədəd və matrislerin mütləq qiymətlərini tapaq: x1=(-3, 5); x2=(2, 3, 2+3i, i);
.
52
321
32
3
ix
Misal 3.1.
50
2.exp(x)- eksponensial funksiya. x-həqiqi ədəd olarsa ex hesablanr.Əgər x=a+ib kompleks kəmiyyət olarsa kompleks eksponenta
dicbibee ax )sin(cos hesablanır.
Aşağıdakı arqumentlər üçüşn ex hesablayaq: x1=(1 2 3 4 5); x2=(2.5+7i -1 1);
.
25.05.0
52.13
1.01
3
ii
i
x
Arqumentləri bir matris şəklində birləşdirmək üçün x1, x2, x3 sətirləri eyni götürülmüşdür.
Misal 3.2.
51
3.log(x), log10(x), log2(x) - loqarifmik funksiyaları ədədlərin əsası e, 10,və 2 olan loqarifmlərini hesablayır.
Arqument x müsbət, mənfi və kompleks ola bilər.Əgər x=a+ib kompleks kəmiyyətdirsə, onda kompleks loqarifm adlanan loqarifm hesablanır:
).,(2))(log()log( baanatixabsx
Həqiqi a və b ədədləri üçün z=atan2(a,b) a,b vektorları arasında bucaqdır: ].,[
Misal 3.3.
52
3.1.2. Hiperbolik funksiyalar
Bunlar eksponensial funksiyalarla ifadə olunurlar:
.1
2)(,
1
2)(,
1
1)(
,1
1)(,
2)(,
2)(
222
2
2
2
x
x
x
x
x
x
x
xxxxx
e
excsh
e
exsch
e
excth
e
exth
eexch
eexsh
Müvafiq Matlb funksiyaları (bax, Əlavə 1):
Əvvəldə olduğu kimi arqument x həqiqi, kompleks ədəd, vektor və ya matris ola bilər. Misal 3.4.
53
FƏSİL 4 XÜSUSİ HESABLAMALAR __________________________________________________
4.1. Həddlərin hesablanması
Həddlərin hesablanması riyazi analizin vacib sahəsini təşkil edir. h ədədi f(x) funksiyasının a nöqtəsində o zaman həddi adlanir ki, x dəyişəni a nöqtəsinə yaxınlaşdıqda (x→a) f(x) funksiyası h-a hədsiz yaxınlaşsın. Bu proses aşağıdakı kimi işarə olunur:
.)(lim hxfax
Elə funksiyalar mövcuddur ki, (məsələn, a nöqtəsində kəsilən) onların x=a nöqtəsinin özündə həddi yoxdur (yəni, ± ∞ (inf) ola bilər).Lakin soldan x→a-0 və sağdan x→a+0 yaxınlaşmada həddi mövcuddur.Burada sıfır çox kiçik kəmiyyət kimi başa düşülür. Birinci halda deyirlər ki, hədd a nöqtəsindən solda, ikinci halda isə-sağda mövcuddur. Məsələn f(x)=tg(x)
funksiyasının )90(2/ ax nöqtəsində limiti yoxdur. Sol və
sağ həddlər bərabər olarsa, onda x=a nöqtəsində hədd mövcuddur.
54
Kompyüter cəbrinin əməliyyatları 0/0, 0/∞, ∞/0, ∞/∞tipli qeyri-müəyyənliklərir halında belə funksiyanın həddini tapmağa imkan verir. Matlabda həddlər limit(.)funksiyasının kəməyi ilə hesablanır. Sintaksis limit(f,x,a): -f-həddi təyin olunan funksiya; -x-arqument; -a-x-in hədd qiymətidir. limit(f,x,a,’left’)-soldan yaxınlaşma həddi; limit(f,x,a,’right’)-sağdan yaxınlaşma həddi.
Misal 4.1.
x
x
x
)sin(lim
0tapaq.
Misal 4.2.
n
n n
x
)1lim təyin etməli.
Cavab f∞=ex artan eksponentadır. Şəkil 4.1-də ilkin funksiyanın n=10, n=100 qiymətlərində və hədd funksiyalarının qrafikləri göstərilmişdir.
55
Şəkil 4.1
Göründüyü kimi, n artdıqca ilkin funksiyanın qrafiki özünün hədd əyrisinə yaxınlaşır. Misal 4.3. y=tg(x) funksiyasının pi/2 (90o) nöqtəsində sol və sağ hədd qiymətlərini tapaq.
4.2. Funksiyanın sıraya ayrılması
Mürəkkəb funksiyalarin aproksimasiyası (yaxınlaşma)
məsələlərində bu funksiyların tədqiqat və hesablama baxımından daha sadə olan sıraya ayrılması vacib yer tutur. Bundan başqa, qeyri-xətti funksiyanı xəttiləşdirdikdə onu sıraya ayırıb xətti hissəni götürürlər.
4.2.1. Teylor sırası y=f(x) funksiyasını üstlü sıraya ayırmaq üçün Teylor
sırasından istifadə olunur:
56
.)(!
)(....)(
!
)(
...)(!2
)()(
!1
)()()(
0
)()(
2
n
n
nn
n
axn
afax
n
af
axaf
axaf
afxf
Burada a- kiçik ətrafında sıraya ayırmanın yerinə yetirildiyi x=a nöqtəsidir.
)(),...,(),(),( )( afafafaf n funksiya və onun törəmələrinin
x=a nöqtəsindəki qiymətidir (sıranın əmsalları). Aydındır ki, əmsalları hesablaya bilmık üçün f(x) funksiyasının x=a nöqtəsində (kiçik ətrafında) n-də daxil olmaqla bütün tırtib törəmətəri mövcud olmalıdır. x=a olarsa sıra Makleron sırası adlanır:
....!
)0(...
!2
)0(
!1
)0()0()(
)(2
n
n
xn
fx
fx
ffxf
Matlab sistemində funksiyanın Teylor sırasına ayrılması
taylor(f,x,x0,n) funksiyasının köməyi ilə həyata keçirilir. Burada: f - sıraya ayrılan funksiya; x- arqunent;
x0=a - kiçik ətrafında sıraya ayırmanın yerinə yetirildiyi nöqtə; n-həddlərin sayı. Misal 4.4. y=ex, y=sin(x) funksiyalarını x=0 nöqtəsinin ətrafında Teylor sırasına ayırıb n=5 həddini ğötürün.
x=0 nöqtəsində f=sin(x) funksiyasının cüt tərtibli törəmələri sıfra bərabər olduğundan proqram yalnız iki hədd vermişdir.
57
Misal 4.5.x
xfsin54
1)(
funksiyasını x0=2 nöqtəsinin
ətrafında sıraya ayırıb n=5 həddini götürməli. Alinmış funksiyanın qrafikini qurub ilkin f(x) funksiyasının qrafiki ilə müqayisə etməli.
Şəkil 4.2.
Görundüyü kimi, n=5 üçün orta x=1 nöqtəsinin [1;3] ətrafında aproksimasiya (yaxınlaşma) kifayyət qədər dəq aparılmışdır.
4.2.2. Sıranın cəminin hesablanması
Riyazi analizdə bir-şox hallarda arqumentin tam x=k qiymətlərində sıranın cəmini hesablamaq lazım gəlir:
.)(
b
ak
kfF
Arqumentin yuxarı hədd qiymətindən asılı olaraq cəm sonlu b<∞ və ya sonsuz b=∞ cəm adlanır.
1 1.2 1.4 1.6 1.8 2 2.2 2.4 2.6 2.8 3
0.11
0.12
0.13
0.14
0.15
0.16
0.17
0.18
0.19
0.2
0.21
x
Teylor aproksim. ve ilkin funksiya
Funksiya
Teylor
58
Bu tip cəmi analitik (simvol) hesablamaq ücün symsum əmrindən istifadə olunur:
symsum(f)- verilmiş dəyişənə nəzərən sonsuz sıranın cəminin ifadəsini verir;
symsum(f,x)- sonsuz cəmin x dəyişəninə görə ifadəsini verirr;
symsum(f,a,b) və symsum(f,k,a,b)- a-dan b-yə qədər sonlu cəmin qiymətini verir.
Aşağıda cəmin hesablanmasına aid misallar verilmişdir.
Misal 4.5.
1
4
1
k ks sırasının cəmini hesablayaq.
Misal 4.6. Funksiya .!
1
0
k k
s Matlabda faktorial
)1!0(,...21! kk sym(.!) əmri ilə yerinə yetirilir.
Cavab e1=e. Misal 4.7.
59
Matlabda Psi() funksiyası .)(
/)()(
хГ
dxxdГxPsi Burada Г(x)-
qamma funksiyadır.
Misal 4.8. Elə hallar mümkündür ki, toplanan həddlər təkcə k indeksindən deyil, hər-hansı simvol, məsələn, x dəyişənindən də asılı olur. sin(x) funksiyasının siraya ayrılışı:
.)!12(
)1(12
0
k
xs
k
k
k
Bu cəmi hesablayaq.
60
Gözlənildiyi kimi, cəm ilkin sin(x) funksiyasına bərabər olmuşdur. 4.2.3. Furye sırası
Furye sırasının əsas üstünlüyü ondan ibarətdir ki, o kəsiən və qeyri-hamar funksiyaları hamar funksiyalar ilə yüksək dəqiqliklə aproksimasiya (yaxınlaşma) etməyə imkan verir. Kəsilən funksiyaya misal olaraq düzbucaqlı inpulslar ardıcıllığını, qeyri-hamar funksiyaya isə üçbucaqlı impulslar ardıcıllığını göstərmək olar.
Furye sırası dövrü (periodik) siqnallara tətbiq olunur. Belə siqnalların
qiymətləri T periodundan bir təkrar olunur: ),kTt(x)t(x ...,2,1,0k
Periodik funksiyalara misal olaraq ),tsin( ),tcos(
düzbucaqlı və mişarvari impulslar ardıcıllığını göstərmək olar. Birinci iki siqnalın periodu T=2π/ω, s. ω, rad/s – dövrü sürətdir (əslində bucaq sürəti).
Periodik olmayan siqnallara furye sırasını T→ həddinə keçməklə tətbiq etmək mümkündür. Bu halda Furye sırası Furye inteqralına çevrilir. Bu inteqral Furye çevirməsi adlanır. Furye sırasını tətbiq edə bilmək üçün x(t) siqnalı aşağıdakı Dirixle şərtlərini ödəməlidir:
a) ikinci tərtib (sonsuzluğa gedən) sıçrayışlar olmalı deyil.
b) birinci tərtib (sonlu) sıçrayışların sayı məhduddur. c) ekstremumların sayı məhduddur.
61
Bazis funksiyalarından asılı olaraq müxtəlif formalı Furye sıralarından
istifadə olunur. 1.1.Sinus-cosinus forması:
.))tksin(b)tkcos(a(2
a)t(x
1k
nn0
F
(4.1)
Burada T/2 - dövri tezlik, T – perioddur.
İfadə (4.1)-ə daxil olan əmsallar aşağıdakı düstürların köməyi ilə hesablanır:
,dt)tkcos()t(xT
2a
t
Tt
k
...,2,1k (4.2)
t
Tt
k ,dt)tksin()t(xT
2b
T
Tt
0 .dt)t(xT
2a
Əgər )t(x siqnalı t,Tt intervalında tək funksiya olarsa
,0a,0a k0 cüt funksiya olduqda isə ...).,2,1k(0bk
1.2. Həqiqi forma:
1k
kk0
F )tkcos(A2
a)t(x . (4.3)
1.3.Kompleks forma. Bu forma (4.3) ifadəsində Eyler düsturundan isitifadə edərək
)ee(2
1xcos jxjx
əvəzləməsini etməklə alınır:
tjk
k
kF eCtx
)( , (4.4)
t
Tt
tjkk dte)t(x
T
1C . (4.5)
62
Misal 4.5. Şəkil 4.2-də göstərilən düzbucaqlı impulslar ardıcıllığını
.2t
,t0
eger
eger
a
a)t(x
Furye sırasına ayıraq.
Şəkil 4.2
Bu halda period .s/rad1.,s2T
Sıranın əmsallarını təyin edək. )(tx tək funksiya olduğundan
...).,2,1k(0a,0a k0 Düstur (4.2)-də Tt qəbul etsək
alarıq:
0
2
k 1)kcos(k
a2dt)ktsin(adt)ktsin(a
2
2b
.tek
,cut
k
k
eger
eger
k
a40
)1(1k
a2 k
Beləliklə, baxılan impulslar ardıcıllığı üçün Furye sırası yalnız sinusun tək harmonikalarının sonsuz cəmindən ibarətdir:
..)t5sin(
5
1)t3sin(
3
1)tsin(
a4)t(xF .
x
T
0
a
-a
t
63
Şəkil 4.3-də 5,3,1k,1a halında ilkin )t(x siqnalının və
aproksimasiyaedici )t(xF funksiyasının (qırıq-qırıq xətt)
qrafikləri göstərilmişdir.
Şəkil 4.3 Qənaətbəxş dəqiqlik alamaq üçün sıranın üç həddi kəfayyət etmişdir.
Çalışmalar - 4.1
64
Həddlərin hesablanması. Aşağıdakı funksiyaların həddlərini tapın:
.0,)1log(
1;,)1(
;0,2
;,)1(
4)1/(1
3
/1
2/1
1
x
t
eyxxy
xba
yxxy
atx
xxx
x
Uyğun cavablar: .;1;;1 aba
Analitik (əl ilə) və Matlabın kömöyi ilə yoxlayın.
1. ;11lim/1
x
xx 2. ;
2lim
/1
0ba
bax
x
3. ;11
1lim
/1
x
x x 4. ;1lim
1/1
1NaNx
x
x
5. ;11lim1/1
x
xx 6. ;
)1log(
1lim
0a
t
e at
t
7. ;ln1
lim0 a
a
an
an
n
8. ;
2
12lim a
e
ea
ax
ax
x
9. ;1)1ln(
lim
ax
ax
ax 10. ;ln
)2lim 2
2
2nn
x
nn x
x
Çalışmalar- 4.2
Тапшырыг вариантларына уйьун олараг MatLAB системиндя
верилмиш функсийаларын мцхтялиф стиллярдя графиклярини гурмалы. Гейд: MatLAB системиндя функсийанын графикини гураркян
верилмиш функсийаны мцхтялиф облатсларда тяйин едилмиш ики
65
функсийа кими эютцрмяли. Тапшырыг вариантлары
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
9.
10.
11.
12.
FƏSİL 5
66
XÜSÜSİ RİYAZİ FUNKSİYALAR __________________________________________________
5.2. Inteqral sinusu və cosinusu
Bu inteqrallar yuxarı sərhəddən (burada z) asılı olan acilmayan inteqrallar sinfinə aiddir. İnteqral sinusu
dxx
xzSi
z
0
)sin()(
hesablamaq üçün sinint(z) funksiyasından istifadə olunur. Misal 5a. z=1, z=3+3i hallarına baxaq.
İnteqral cosinusun aşağıdakı ifadə ilə təyin olunur:
.|)arg(|,1)cos(
)ln()(
0
zdxx
xzzCi
z
...5772.0 Eyler sabiti.
Misal 5.3. z=1, z=pi /4, z=2+3i.
67
5.3. Qamma-funksiya Qamma-funksiyanın əsas yazılış formalarından biri:
.)( 1
0
dttenГ nt
Bu inteqral parametrdən asılı olan inteqraldır. Tam n parametri üçün aşağıdakı münasibətlər doğrudur:
)()1(
)!1()(
;1)2()1(
nnГnГ
nnГ
ГГ
Ümimi halda:
!2
1)1
2
1(
;22
1
;2
1
nnГ
Г
Г
Ümimi halda n mənfi, müsbət, tam, kəsir və kompleks ədəd şəklində ola bilər. Lakin Matlabda n yalnız həqiqi müsbət ədəd ola bilər.
68
Sintaksis: gamma (n), n-həqiqi müsbət ədəddir. Misal 5.4. n=[0, 1, 2, 6, -3, 4.2] vektoru üçün qamma-fuksiyasını hesablayaq.
Göründüyü kimi, n=0 və n=-3 qiymətlərində proqram qamma-funksiyanı hesablaya bilməyir- qiyməti inf-sonsuzluq alınır. Qamma-funksiyanın )!1()( nnГ xassəsəndən istifadə
edərək faktorialı hesablamaq olar.Məsələn, 5! tapmaq tələb olunarsa n=6 götürmək lazımdır.
Natamam qamma-funksiya:
.)(
1),( 1
0
dttenГ
nxP nx
t
Matlab funksiyası:gammainc(x,n). Misal 5.5.
Burada NaN qeyri-müəyyənlik deməkdir.
Mühəndis praktikasında ),(
/),(),(
nхP
dxnхdPnxPsi
funksiyasından da istifadə olunur: psi(x,n).
69
5.4. Betta-funksiya Betta-funksiya birinci cins Eyler inteqralı da adlanır.Bu
funksiya çoxlu sayda inteqral təqdimatlarına malikdir. Bunlardan əsası aşağıdakı ikiparametrik inteqral təşkil edir:
.)1(),( 11
0
1 dtttyxB yx
Burada x, y- sabit parametrlər, t isə [0;1] intervalında dəyişən inteqrallama dəyişənidir. Praktiki hesablamalarda adətən betta-funksiyanı qamma-funksiyanın vasitəsi ilə hesablayırlar:
.)(
)()(),(
yxГ
yГxГyxB
Matlab sistemində bu funksiyanın hesablanmasinın bir-neşə variantı mövcuddur. O cümlədən: -beta (x,y) -betaln(x,y). Birinci halda x,y>0. İkinci halda betta-funksiyanın natural loqarifmi hesablanır. Misal 5.6. Parametrlərin x=2, y=4 qiymətlərində betta-funksiyanın qiymətini hesablayaq.
70
5.5. Üstlü inteqral funksiyası
Çoxlu sayda üstlü inteqral funksiyaları mövcuddur. Matlada bunlardan biri reallaşdırılmışdır:
.)( dtt
exE
x
t
Burada inteqralın aşağı sərhəddi x ədəd, vektor, matris, həqiqi və ya xəyali ədədlər ola bilər. Matlabda bu funksiya expint(x) kimi təqdin olunur. Arqument x ədəd,vektor, matris, mənfi, müsbət və ya kompleks kəmiyyət ola bilər . Misal 5.7.
5.6. Lejandr funksiyası
Lejandr funksiyası aşağıdakı şəkildədir:
.)(
)1()1()( 2
mn
mmmm
ndx
xPdxxP
71
Burada
.)1(
!2
1)(
2
n
n
nndx
xd
nxP
Matlabda bu funksiya legendre(n,x) əmrinin köməyi ilə hesablanır. Burada n-256 ədədini aşmayan tam ədəd, n<=256; x-arqumenti -1<x<1 intervalında dəyişən həqiqi ədəddir. x ədəd və ya vektor ola bilər. legendre(n,x) əmri x-in hər bir qiyməti üçün n+1 ölşülü massiv formalaşdırır. Misal 5.8.
5.7. Bessel funksiyası
Bessel funksiyası Bessel tənliyi adlanan aşağıdakı dəyişən əmsallı iki tərtibli xətti bircins diferensial tənliyin həllidir:
.0)()()()( 22
2
22 xynx
dx
xdyx
dx
xydx
Burada n-mənfi olmayan sabitdir, 0n .
Aydındır ki, həll y(x,n) y-in əmsalına təsir edən n-dən asılıdır. Bu tip tənliyin həlli n-in tam qiymətində elementar funksiyalar ilə ifadə oluna bilmədiyindən bu hal üçün Bessel
72
tərəfindən bir-neçə həll düsturu təklif edilmişdir: 1. Birinci cins n- tərtibli Bessel fuksiyası. Bu halda həll sonsuz sıra şəklində axtarılır.Nəticədə həllin aşağıdakı ifadəsi alinır:
.1,)(!
4
2),(
0
2
knaaГk
x
xnxJ
k
k
n
n
Burada )(aГ qamma funksiya, n-tam ədəddir.
.)( 1
0
dtteaГ ax
t
2.İkinci cins n-tərtibli Bessel funksiyası (triqonometrik forma):
.)sin(
),()cos(),(),(
n
nxJnnxJnxY nn
n
3.Birinci və ikinci cins Bessel funksiyalarının kombinasiyasından ibarət olan üçüncü cins Bessel funksiyası da mövcuddur. Matlabda Bessel funksiyaları aşağıdakı əmirlərin köməyi ilə hesablanır:
-besselj(n,x); -bessely(n,x).
Misal 5.9. n=0,1,2,3 qiymətləri üçün birinci cins Bessel J0, J1, J2, J3 funksiyalarının qrafikinı quraq.Bu məqsədlə for...end dövr operatorundan istifadə edəcəyik.
73
Şəkil 5.4-də müvafiq qrafiklər göstərilmişdir.
Şəkil 5.4. Şəkil 5.5.
İkinci cins Bessel Y0, Y1, Y2, Y3 funksiyasının hesablayaq.
Şəkil 5.5-də ikinci cins Bessel funksiyalarının qrafikləri göstərilmişdir. Arqunentin x=0 qiymətində Y(n,x)=-inf. Bu səbəbdən qrafikləri bir pəncərədə göstərə bilmək üçüçn amplitudlar Ylim([-2 2]) əmrinin köməyi ilə məhdudladırılmışdır. Bessel tənliyi Laplas və Helmqols tənliklərini silindrik koordinatlarda tapdıqda meydana çıxır. Bessel funksiyalarından dalğaların yayılması, statik potensiallar, nazik dairəvi membranın rəqslərinin forması və digər məsələlərin həlli zamanı istifadı olunur.
74
FƏSİL 6 VEKTOR VƏ MATRİS CƏBRİ __________________________________________________
6.1. Bektor və matris anlayışı Biz elementləri həqiqi ədədlər olan ədədi ədədi vektor və matrisləri öyrənəcəyik. Vektor ədədlərdən ibarət olan sütun (vektor-sütun) və ya sətir (vektor-sətir) şəklində verilə bilər. Biz vektoru vektor-sütun şəklində qəbul edəcəyik:
,2
1
na
a
a
a
)....(,)...( 2121 nTT
n aaaaaaaa
T- transponə əməliyyatı (sütunlarla sətirlərin yerinin dəyişdirilməsi), n- vektorun ölçüsüdür (elementlərinin sayı). Məsələn,
.)132(,
1
3
2Taa
bax T yazılışı vektor-sətrin vektor-sütuna vurulması
deməkdir. Vektor sütuna n sətir və 1 sütuna malik olan n×1ölçülü matris kimi baxmaq olar.
Matris. Həqiqi aij ədədlərindən ibarət olan düzbucaqlı cədvəl ədədi matris adlanır:
75
.453
102;,1;,1],[
21
22221
11211
Amjnia
aaa
aaa
aaa
A ij
nmnn
m
m
Məsələn,
.3,1;2,1,453
102
jiA
aij ədədləri matrisin elementləri adlanır. i və j indeksləri aij elementinin i-ci sətrin və j-cu sütunun kəsişməsində yerləşməsini göstərir. Başqa sözlə, i sətrin , j isə sütunun nömrəsidir. Məsələn, a23 elementi 2-ci sətir ilə 3-cü sütunun kəsişməsində yerləşir. Matrisin ölçüsü n × m kimi göstərilir.
6.2. Vektor və matrisin daxil edilməsi Vektor və matrislər Matlabın əmirlər pəncərəsindən daxil
edilir.Vektor-sütun aşağıdakı rimi daxil edilir. Sütunun elementləri ; ilə ayrılırlar.
Birölçülü massivlərin generasiyası:
a) sabit addım dx=const, interval maxmin xxx .
76
b) müxtəlif intervallarda müxtəlif addimlar.
Bütün intervallarda elementlərin sayı eyni olmalıdır! Matris sətir-sətir ardıcıl olaraq daxil edilir. Şətirlər ; ilə
ayrılır.
6.3. Matrislərin əsas növləri Mühəndis hesablamalarında daha tez-tez istifadə olunan matrislər aşağıdakılardır.
1. Düzbucaqlı matris, n≠m.
.6.453
8.102
A
Burada A matrisi 2×3 ölçülü matrisdir. 2. Kvadratik matris , n=m.
.0.56.3
4.00.2
A
Bu halda n=2, m=2 . Matrisin ölçüsü 2×2.Və ya sadəcə demək
77
olar ki, kvadratik matrisin ölçüsü 2-jə bərabərdir. 3.Transponə olunmuş matris, AT-sütunlarla sətirlərinin
yerləri dəyişdirilmiş matris.Bu əməliyyat nəticəsində aij=aji olur. İkinci bənddəki A matrisi üçün
.0.54.0
6.30.2
TA
Matlabda vektorun və matrisin transponə əməliyyatı A
simvolunun köməyi ilə yerinə yetirilir.Ümumiyyətlə ştrix simvolu kompleks qoşma A* matrisi xarakterizə edir. Həqiqi matrislər üçün AT=A*.
4. Qoşma matris A*-ümumi halda matrisin elementləri
içərisində kompleks ədədlər olarsa bu matrisi transponə edib kompleks ədədlərin yerinə onların qoşmasını yazmaq lazımdır. Həqiqi ədədlərin qoşması özünə bırabər olduğundan elementləri həqiqi ədədlər olan matrislər (həqiqi matrislər) üçün A*=AT.Məsələn,
0.54.0
106.30.2 iA
78
olarsa
0.5106.3
4.00.2
iA .
5. Unitar matris- A*A=AA*=İ şərtinin ödəyən kompleks (elementləri kompleks ədədlərdir) A matrisi. 6.Ortoqonal matris- həqiqi (elementləri həqiqi ədədlərdir) unitar matris. Həqiqi matris üçün A*=AT olduğundan ortoqonal matris üçün AT A=AAT=İ münasibəti ödənilir.
)cos()sin(
)sin()cos(
tt
ttA
matrisinin ortoqonal olmasını göstərək.
7. Üçbucaq matris-elementləri i>j üçün aij=0 şərtinin ödəyən matris sağ və ya yuxarı üçbucaq matris adlanır.
79
.
600
310
542
A
i<j üçün aij=0 şərti ödənilərsə matris sol və ya aşağı üçbucaq matris adlanır.
8.Simmetrik matris-kbadratik matrisin (n=m) elementləri diaqonala nəzərən simmetrik olan matris.Başqa sözlə diaqonaldan kənar elementləri üçün aij=aji, i≠j. Simmetrik matris üçün AT=A.
.
635
310
502
A
Simmetriklik çəp diaqonala nəzərən ödənilərsə belə matris çəpsimmetrik matris adlanır.
80
9. Diaqonal matris- diaqonaldan kənar elementləri sıfra bərabər olan matris. A=diag(a11 a22... ann) işarə olunur.
.
600
010
002
A
Matlab funksiyası: A=diag([a11; a22; ...; ann]).
Baş diaqonaldan kənarda olan diaqonalı doldurmaq üçün lki arqumentli diag(d, k) funksiyası nəzərdə tutulub. k kənar diaqonalın baş liaqonaldan nə qədər sağda (yuxarıda), -k isə solda (aşağıda) yerləşməsini təyin edir.
10.Vahid matris-diaqonal elementləri vahidə bərabər olan diaqonal matris. İ ilə işarə olunur.
.
00
10
01
,
100
010
001
II
81
Matlab funksiyası: İ=eye(n,m).
11. Sıfır matris- bütün elementləri sıfra bəraər olan matris.
.000
000
A
Matlab funksiyası: A=zeros(n,m).
12. Seyrək matris- kifayyət qədər çoxlu sıfırları olan matris.
.
006
010
000
A
Matlabda seyrək matrisdə sıfırdan fərqli elementlərin yerləşmə sxemini və sayını təyin etmək üçün spy(A) funksiyasından istifadə olunur (Şəkil 6.1).
0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 4
0
0.5
1
1.5
2
2.5
3
3.5
4
nz = 2
82
Şəkil 6.1 Şəkildən göründüyü kimi, elementlərdən biri a22 (-1), digəri isə a31 (6) yerləşir. Sıfra bərabərolmayan elementlərin sayı şəklin altında göstərilmişdir nz=2.
16.Tərs matris- skalyardan fərqli olaraq matrislər üçün
bölmə əməliyyatı olmadığında n tırs matrisə vurma
əməliyyatından istifadə olunur.A matrisinin tərsi A-1və ya inv(A) kimi işarə olunur:
.||
)(1
A
AadjA
adj(A)- birləşdirilmiş matris adlanır:
.
...
...
...
)(
21
22221
11211T
nnnn
n
n
AAA
AAA
AAA
Aadj
Burada Aik matrisi aik elementinin cəbri tamamlayıcısıdır:
.)1( ikki
ik MA
Mik- aik elementinin minorudur (i sətrini və k sütununu pozduqdan sonra alınan matrisin təyinedicisi). Məsələn,
215
072
134
A
matrisinin a21=2 elementinin minoru
,721
1321
M
cəbri tamamlayıcısı isə A21=(-1)2+17=-7. Aşağıda Matlabda tərs matrisin alınmasının iki üsulu
83
göstərilmişdir.
17. Cırlaşan (məxsusi) matris- təyinedicisi (determinanantı) |A|=0 bərabər olan matris.Matlabda matrisin determinantını tapmaq üçün det(A) funksiysından istifadə olunur.
6.4. Vektor və matrislər üzərində riyazi əməliyyatlar Векторлар вя матрисляр цзяриндя практики олараг ядядляр
цзяриндя олан бцтцн ямялиййатлары йериня йетирмяк олар: топлама вя чыхма, вурма вя бюлмя, гцввятя йцксялтмя, квадрат кюкалма кими елементар функсийаларын щесабланмасы, логарифмлярин щесабланмасы, тригонометрик функсийаларын щесабланмасы. Матрис операторлары демяк олар ки, бцтцн щесаби операторлардыр. Бунлар ашаьыдакы ъядвял 6.1-дя эюстярилмишдир.
84
Ъядвял 6.1 Matlab пакетиндя матрис операторлары ъядвяли
Функси-йалар
Функсийаларын ады Оператор
Синтаксис
plus Плйус (матрислярин топланмасы)
BA
minus Минус (матрислярин чыхылмасы)
BA
times Ядядляр массивинин element-element вурулмасы
.* BA *.
mtimes Матрислярин вурулмасы * BA* mpower Матрисин гцввятя
йцксялдилмяси ^ ХA^
power Матрисин елементляринин щядбящяд гцввятя йцксялдилмяси
.^ ХA.^
mrdivide Матрислярин солдан саьа бюлцнмяси
/ BA /
mldivide Матрислярин тярсиня бюлцнмяси
\ BA \
rdivide Матрисин елементляринин щядбящяд солдан саьа бюлцнмяси
/. BA /.
ldivide Матрисин елементляринин щядбящяд саьдан сола (тярсиня) бюлцнмяси
\. BA \.
Матрис ямялиййатларынын йериня йетирилмясиня мисаллар
эюстяряк. Fərz edək ki, ашаьыдакы матрисляр верилмишдир:
412
132
521
A ,
133
451
302
B
Ъядвялдя верилмиш матрис функсийаларындан истифадя
85
етмякля бу функсийалара уйьун ямялиййатлары Matlabda йериня йетиряк:
545
583
823
),( BAplusC
321
321
221
),(minusC BA
436
4152
1502
),( BAtimesC
141717
191810
162519
),( BAmtimesC
271112
171410
271315
)2,(AmpowerC
1614
194
2541
)2,(ApowerC
1.026.002.1
7.018.014.0
5.07.09.0
),( BAmrdivideC
BA /
ямялиййаты 1* BA
ямялиййаты иля еквивалентдир
0476.05714.03810.0
5714.11429.04286.0
3810.05714.29524.0
),( BAmldivideC
BA \
ямялиййаты
BA *1 ямялиййаты
иля еквивалент
дир
43333.06667.0
25.06.02
6667.1inf5.0
),( BArdivideC
86
25.035.1
46667.15.0
6.002
),( NМldivideC
BA \.
ямялиййаты BA /.
ямялиййаты иля
еквивалентдир
Məsələn, Ax=b vektor tənliyinin həlli x=A-1b, AX=B matris
tənliyinin həlli isə X=A-1B. Həllər soldan vurma əməliyyatı nəticəsində tapılmışdır. Skalyar halda 5/2(5:2)=2.5; 5\2(2:5)=0.4.
Fунксийалар явязиня уйьун операторлардан da истифадя етmək olar. Мясялян,
>> A=[1 2 5; 2 3 1; 2 1 4]; >> B=[2 0 3; 1 5 4; 3 3 1]; >> A.*B ans = 2 0 15 2 15 4 6 3 4 >> A^2 ans = 15 13 27 10 14 17 12 11 27 >> A.^2 ans = 1 4 25 4 9 1 4 1 16
Аналожи ямялиййатлары векторлар цзяриндя дя апармаг олар. Буну мисал цзяриндя эюстяряк.
Тутаг ки, ашаьыдакы кими ики вектор-sətir верилмишдир:
>> V1=[ 1 2 4 7];
87
>> V2=[-2 3 1 5]; >> V=V1+V2 V = -1 5 5 12 >> V=V1-V2 V = 3 -1 3 2 >> V=V1.*V2 V = -2 6 4 35 >> V=V1.^2 V = 1 4 16 49 >> V=V1./V2 V = -0.5000 0.6667 4.0000 1.4000 >> V=V1.\V2 V = -2.0000 1.5000 0.2500 0.7143
Əməliyyatların əsas xassələri:
1. Cəmləmə əməliyyatı Vektor və matrislərin cəmi üçün aşağıdakı xassələr doğrudur:
a) A+B=B+A - komutativlik; b) A+(B+C)+(A+B)+C - asosiativlik; c) A+0=0 . 1) vektor və matrislərin cəmləmə əməliyyatı elementlərin
uyğun cəmlənməsindən ibarət olduğundan cəmlənən vektor və ya matrislərin ölcüləri eyni olmalıdır.
A+B=[aij]+[bij]=[cij]. 2. Vurma əməliyyatı Vektor və matrislərin hasili üçün aşağıdakı xassələr doğrudur: a) İ×A=A – vahid matrisə soldan vurma;
88
b) A(BC)=(AB)C; c) (A+B)C=AC+BC; d) C(A+B)=CA+CB; İki matrisin hasili ümumi halda komutativ deyil: AB≠BA. Bu
səbəbdən matris əməliyyatlarında soldan və sağdan vurma anlayışları mövcuddur.
Misal. AB və BA hasillərini hesablayaq:
.01
00,
00
10
BA
Həll:
.00
01
00001000
01001100
01
00.
00
10
AB
.10
00
00110001
00100000
00
10.
01
00
BA
Göründüyü kimi, nəticə eyni deyil.
89
2) vektor sətri vektor-sütuna vurma nəticəsində skalyar
(ədəd) alınır:
.22112
1
21 nn
n
nT bababa
b
b
b
aaabac
ab olarsa .... 222
21 naaac
3) vektor sütunu vektor-sətrə vurma nəticəsində matris
alınır:
.
...
...
...
21
22212
12111
212
1
nnnn
n
n
n
n
T
bababa
bababa
bababa
bbb
a
a
a
abc
90
4) matrislər üzərində vurma əməliyyatı apardıqda birinci A
matrisinin sütunlarının sayı m ikinci B matrisinin sətirlərinin n sayına bərabər olmalıdır, yəni m=n ödənilməlidir. N×m ölçülü manrisi m ölçülü matrisə vurduqda n ölçülü matris alınır.
5) matrislər üzərində vurma əməliyyatı apardıqda birinci A matrisinin hər-bir ai sətri ikinci B matrisinin hər-bir bj sütununa vurulur.Yəni 2-ci bəndə olduğu kimi vektor sətrin vektor sütuna vurulması baş verir. Nəticədə alınmış ədəd cij i-ci sətir ilə j-cu sütünun kəsişməsinə yazılır.
].[
...
...
...
...
...
...
...
21
222
11211
2
222
112
21
11211
ij
nnnmmnmnn
m
c
ccc
cc
ccc
bb
bb
bb
aaa
aaa
ABC
21
m1
21
11
2m2221 c
b
b
b
...aaa
Hesablama düsturu:
.,...,2,1;,...,2,1,1
jnibac kj
m
k
ikij
6) matrisi vektora vurduqda vektor alınır: cbA * .
91
7) vektor- sətri matrisə vurduqda vektor-sətir alınır:
.* TT cAb
8) vektor- sütunu matrisə vurulma əməliyyatı təyin olumayıb ! 9) kvadratik matrisin özünün tərsi ilə hasili vahid matris verir.
10) matrisin sütünlar üzrə cəmlənməsi-s1=sum(A,1) .
11) matrisin sətirlər üzrə cəmlənməsi-s2=sum(A,2).
Vurma funksiyası prod(.) (vurma) da eyni qaydada işləyir.
92
6.5. Matrisin əsas göstəriciləri
1. Kvadratik matrisin determinantı, |A| və ya det(A).
Determinantın hesablanmasının sadə üsllarından biri onun hər-hansı bir sətrin və ya sütunun (sıfır elementləri çox olan) elementlərinin cəbri tamamlayıcılarına görə parçalayıb hər iterasiyada tərtibinin azaldılmasidır. Əvvəldə göstərildiyi kimi, aik elementinin cəbri tamamlayıcısı:
.)1( ikki
ik MA
Mik- aik elementinin minorudur (i sətrini və k sütununu pozduqdan sonra alınan matrisin təyinedicisi). Məsələn,
215
072
134
A
matrisinin a21=2 elementinin minoru
,721
1321
M
cəbri tamamlayıcısı isə A21=(-1)2+17=-7. Parçalama teoreminə əsasən yazmaq olar:
nkAaAaA ki
n
i
ki
n
i
ikik ,...,2,1,det11
Aik –larin tərtibı 2-dən böyük olarsa onlara da ardıcıl olaraq yuxarıdıkı parçalanmanı tətbiq edərək hər-dəfə (iterasiyada) tərtibi 1 vahid azaltmaq olar. Misal 6.1. Fərz edək ki, 3×3 (n=3) matris verilmişdir:
93
.
5877
2440
1244
3036
A
Bu matrisin determinantını ikinci sütunun elementlərinə parçalamaqla hesablayaq. Bu halda i=1,2,3,4, k=2.Onda parçalama teoreminı əsasən:
Beləliklə
.7443
042
421
603
7
785
421
603
4
785
042
603
4
785
042
421
3det 42322212 MMMMA
Determinantlar (yəni Mik minorları) 3 ölçülü olduğundan və hesablanması cətinlik törətdiyindın onların ölçüsünü 1 vahid də azaldaq.Bu məqsədlə onları birinci sətirlərin elementlərinə nəzərən parçalayaq:
,1628281678
041)1(
75
022)1(
85
424)1( 312111
12 M
94
,60842478
043)1(
75
020)1(
85
426)1( 312111
22 M
M32=66, M42=48. Alınmış nəticələri det(A) ifadəsində yerinə yazsaq alarıq:det(A)=-216. Determinantın hesablanmasının ümumi və konstruktiv üsulu inversiya üsuludur. Bu üsula ısasən
nnnn
n
n
aaa
aaa
aaa
A
21
22221
11211
matrisinin determinantı aşağıdakı ifadənin köməyi ilə hesablanır:
.,...,2,1,...)1(det||21 21
21
22221
11211
njaaa
aaa
aaa
iaa
Anni
j
n
ii
nnnn
n
n
Burada 1-dən n-ə qədər olan niii ...21 ardıcıllığın
inversiya ədədidir. n sayda ədədlərin yerdəyişmələrinin sayı n! bərabərdir.Məsələn, n=3 olarsa .6321! n İnversiya ədədi
əvvəlki ədədlərin sonrakı ədədlərin neçəsindən böyük olmasını göstərir.Məsələn, 123;231;312;321;132;213 yerdıyişmələrinin inversiya ədədləri uyğun olaraq ).1;1;3;2;2;0(
Determinantın yuxarıdakı ifadəsinin sağ tərəfi hər-biri n sayda elementlərin hasilindən ibarət olan n! sayda cəmdən ibarətdir. Bütün cəmlərdəki elementlərin birinci indeksləri
1,2,...,n ədədlərindən ibarətdir. İkinci indeksləri isə niii ...21
95
(yəni 12...n) ədədlərinin yerdəyişmələrindən ibarətdir.Cəmdə ardıcıl olmaya da bilər.
Misal 6.2. Matris
.
231
420
321
A
.26080124123303142202
3412)2(1)1()1(
)1()1()1()1()det(
3122133
3221132
312312
2332112
1322311
1332211
0
aaaaaaaaa
aaaaaaaaaA
2. Manrisin ranqi- xətti aslı olmayan sətirlərinin və ya sütunlarının sayı.Başqa tərif: determinantı sıfra bərabər olmayan ən böyük minorun tərtibi- rank(A).
Bu halda birinci üç vektor üçün
0
0
0
1
8
3
1
3
2
1
2
1
321 ccc
münasibətini ödəyən ci-lər mövcud olduğundan (vektorların əttilik xassəsi) A matrisinin birinci üç sütunu xətti asılıdır. Doğrudan da bu tənliklər sistemini vektor şəkildə deyil, koordinat formasında yazsaq alariq:
96
.0
,0832
,032
321
321
321
ccc
ccc
ccc
Həll: c1=c2 +c3, c2=-2c3. Bu səbəbdən sistemin sonsuz həlli mövcuddur. Onlardan buru: c1=1, c2=2, c3=-1.
Sonuncu sütun isə bunların istənilən biri ilə xətti asılı olmadığından matrisin ranqı 2-yə bərabərdir:
10. Vektorun norması. ),...,,( 21 nx (vektor sətir) üşün
norma:
1;
/1
1
px
pn
k
pkp
Bu norma p göstəricisi ilə Helder norması adlanır.Helder normalarının ən geniş yayılmış formaları p=1, p=2, p=∞ qiymətləri üçün nəzərdə tutulmuşdur:
.max;;1
2/1
1
2
21
1 knk
n
k
k
n
k
k xxx
p=2 qiymətinə uyğun gələn norma evklid norması adlanır
və bəzi hallarda E
x kimi işarə olunur.
Matlabda realizasiya.
97
Matlabda xüsusi n=norm(x,p) funksiyası da
mövcuddur.Məsələn,
13. “Sehirli” kvadrat Bu matris n×n (n>=3) ölçülü kvadrat matris olub sətirləri, sütunları və baş diaqonal ellementlərinin cəmi biri-birinə bərabərdir. “Sehirli” matrisi qurmaq üçün magic(n) funksiyasından istifadə olunur. n- kvadrat matrisinin ölçüsüdür. Misal 6.7.
Çalışmalar- 6.1
A вя B матрисляри верилмишдир:
98
3
2N8N9
51N67
3N4N
Nq
2
Nq13
NqNq
N1N
A
2
,
33,0896
56263
392,0212
55,087
B
Бц матрисляр цзяриндя MатLAB системиндя ъядвял 6.1-дя
эюстярилян ямялиййатлары йериня йетирмяли ( 2X эютцрмяли). Burada N-tələbənin jurnaldakı sıra nömrəsi, Nq- qrup
nömrəsidir (3 rəqəmli).
99
FƏSİL 7
CƏBRİ VƏ TRANSENDRNT TƏNLİKLƏRİN HƏLLİ __________________________________________________
Мялумдур ки, бир чох тянликлярин вя тянликляр системинин
аналитик щялли йохдур. Илк нювбядя бу яксяр трансендент тянликляря аиддир. Исбат олунмушдур ки, дяряъяси 4-дян йухары олан истянилян ъябри тянлик цчцн щялл дцстуруну гурмаг (йяни, аналитик щялл етмяк) мцмкцн дейил. Лакин беля тянликляри верилмиш дягигликля тягриби щялл етмяк олар.
MatLAB мцщитиндя ъябри вя трансендент тянликлярин щялли ашаьыдакы стандарт (гурашдырылмыш) функсийаларын кюмяйи иля щяйата кечирилир:
)solve( , )fzero( , )roots( .
Бу функсийаларын кюмяйи иля тянликлярин щялли олдугъа садядир. Она бахаг вя мисаллар эюстяряк.
7.1. solve() funksiyasının köməyi ilə tənliklərin həlli
)solve( функсийасы ашаьыдакы шякилдя тясвир едилир:
)solve( x,)'x(f' ,
бурада:
)'x(f' тяк дырнаглар арасында йазылмыш щялл едиляъяк
тянлик;
x ахтарылан мяъщулдур. 0)x(f тянлийини истянилян формада йазмаг олар. Беля ки,
яэяр бярабярлик ишаряси йазылмайыбса, програм тянлийи 0)x(f
шяклиндя баша дцшцр. Тянлийин щялли заманы x аргументини йазмамаг олар. Символ дяйишянинин адыны тяйин вя тянликляр системинин
щяллиндя щюкмян лазым олан )syms( функсийасы бурада иштирак
100
етмяйя биляр. )solve( функсийасынын кюмяйи иля тянликлярин кюкляринин тяйин
едилмяси технолоэийасына мисаллар цзяриндя бахаг. Мисал 7.1. Тутаг ки, тянлийи щялл етмяк
лазымдыр. Тянлийин щялли програмы белядир:
>> y=solve('sin(x)x1=0') Enter клавишини басдыгдан сонра ашаьыдакы щялли алырыг:
y = .510973 x -ин башланьыъ гиймятлярини вя йа кюклярин локаллашдырылмасы
интервалларыны эюстярмямякля )solve( функсийасы бир сыра щалларда
0)x(f тянлийинин бцтцн кюклярини тапмаьа имкан верир.
Мисал 7.2. Тутаг ки, тянлийин кюклярини
тапмаг лазымдыр. Тянлийин щялли програмы вя нятиъя белядир:
>> y=solve('2.^x-4*x+3=0') y = 1.418 3.413 Тянлийин щяр ики кюкц тапылмышдыр.
)solve( функсийасы 0)x(f тянлийинин няинки щягиги, щям дя
комплекс кюклярини тапмаьа имкан верир. Буну мисал цзяриндя эюстяряк.
Мисал 7.3. Тутаг ки, тянлик 01exlnxsin x
шяклиндядир вя онун кюклярини тапмаг лазымдыр. Програм белядир:
>> y=solve('sin(x)+log(x)+exp(x)1=0')
Enter клавишини басдыгдан сонра ашаьыдакы щялли алырыг:
y = -3.055-1.71447 i )solve( функсийасынын ашаьыдакы мянфи ъящяти вар. Бу
функсийа x -ин башланьыъ гиймятлярини вя йа кюклярин локаллаш-дырылмасы интервалларыны эюстярмяйи тяляб етмир. Буна эюря дя бир сыра щалларда трансендент тянлийинин бцтцн кюклярини тапмыр.
01xxsin
03x42x
101
7.2. zero() funksiyasının köməyi ilə tənliklərin həqiqi köklərinin tapılması
)fzero( функсийасынын ян чох истифадя олунан ашаьыдакы
реализасийалары вар: )fzero( x,)'x(f'
)fzero( ]2x,1x[,)'x(f'
Функсийанын ифадяляриндя ашаьыдакы ишаряляр гябул едилмишдир:
)'x(f' тяк дырнаглар арасында йазылмыш щялл едиляъяк
тянлик;
x ахтарылан кюкцн башланьыъ йахынлашмасы (гиймяти);
]2x,1x[ кюклярин локаллашдырылмасы интервалыдыр.
Мисал 7.4. Тутаг ки, 0xsinxx42x тянлийинин
кюкляринин 1x вя 4x гиймятляриня йахын олмасы мялумдур вя бу кюкляри тапмаг лазымдыр.
Щялли:
>> y=fzero('2.^x-4.*x+x.*sin(x)',1)
y = 0.3478
>> y=fzero('2.^x-4.*x+x.*sin(x)',4)
y = 4.4761
Мисал 7.5. Тутаг ки, )fzero( ]2x,1x[,)'x(f' функсийасындан
истифадя етмякля 03x3x 23 тянлийинин щягиги кюклярини
тапмаг лазымдыр. Бу тянлийин кюкляринин локаллашдырылмасы интервалларыны тяйин едяк.
>> x=-2:0.1:2;
>> y=x.^3+3*x.^2-3;
>> plot(x,y), grid
Шякил 7.1-дя функсийанын графики эюстярилмишдир.
102
Шякил 7.1. 3x3x 23 функсийасынын графики
Шякилдян эюрцндцйц кими, верилмиш тянлийин кюкляри ]2 ;3[ ,
]1 ;5,1[ , ]1 ;5,0[ интервалларында йерляшир.
Онда кюклярин тапылмасы програмы вя мясялянин щяллинин нятиъяляри ашаьыдакы шякилдя олаъаг:
>> x1=fzero('x.^3+3*x.^2-3',[-3,-2]);
>> x2=fzero('x.^3+3*x.^2-3',[-1.5,-1]);
>> x3=fzero('x.^3+3*x.^2-3',[0.5,1]);
>> x=[x1 x2 x3]
x = -2.5321 -1.3473 0.8794
7.3. roots() funksiyasının köməyi ilə coxhədlinin köklərinin tapılması
)roots( функсийасы ашаьыдакы шякилдя тясвир едилир:
)roots(z ,
бурада: z чохщядлинин ямсалларындан ибарят олан вектордур. Мясялянин щялли технолоэийасыны мисал цзяриндя эюстяряк. Мисал 7.6.Тутаг ки, )roots( функсийасындан истифадя етмякля
3x3xy 23 чохщядлисинин кюклярини тапмаг лазымдыр.
Чохщялдидя kx щядди иштирак етмяйян щалда 0ak эютц-
рцлцр. Мясялянин щялли ашаьыдакы шякилдядир:
103
>> y=roots([1 3 0 -3]) y =-2.5321 -1.3473 0.8794
Çalışmalar- 7.1
1) MatLAB мцщитиндя ]b,a[ интервалында )x(f функсийасынын
(ъядвял 7.1) графикини гурмалы вя тянлийин кюклярини тяхмини мцяййян етмяли.
2) MatLAB мцщитиндя )solve( , )fzero( функсийаларын кюмяйи
иля 0)x(f тянлийини щялл етмяли.
Ъядвял 7.1
№ )x(f ]b,a[
1 xx31x e ]1,0[x
2 )x6,3sin(3
1x
]1,0[x
3 3x3,01xarccos ]1,0[x
4 xarcsinx4,01 2 ]1,0[x
5 2xx25,0 3 ]2,0[x
6 1xcos2,1x2 2 ]1,0[x
7 x
1
x
1sin2
x
2cos
]2,1[x
8 xlnxx1,0 2 ]2,1[x
9 xx1
x1arccos
2
2
]3,2[x
10 5xln4x3 ]4,2[x
Çalışmalar -7.2
MatLAB мцщитиндя roots функсийасынын кюмяйи иля )x(p
104
чохщядлисинин (ъядвял 7.2) кюклярини тапмалы. Ъядвял 7.2
№ )x(p
1 20 12x x 2x x 234
2 19 11x x 5x 34
3 60 4x x 6x x 234
4 67 40x 14x 7x 24
5 14 10x x x 3x 234 2
6 25 3x x 6x 23
7 26 3x x 6x 4x 234
8 77 41x 13x x 24
9 75 16x 7x x 6x 234
10 10 x x 13x 8x 234
105
FƏSIL 8
XƏTTİ VƏ QEYRİ-XƏTTİ TƏNLİKLƏR SİSTEMİNİN HƏLLİ __________________________________________ 8.1. Xətti cəbri tənliklər sisteminin həlli
MatLAB мцщитиндя хятти тянликляр системинин щяллинин ашаьы-
дакы цсулларына бахаг: детерминантларын щесабланмасы цсулу (Крамер
гайдасы); матрис цсулу; )solve( функсийасынын кюмяйи иля.
8.1.1. )solve( функсийасынын кюмяйи иля хятти
тянликляр системинин щялли
Хятти тянликляр системинин щялли щалында )solve( функсийасы
ашаьыдакы шякилдядир:
)solve( 'f',,'f','f' n21
)solve( n21n21 x,,x,x,'f',,'f','f'
бурада:
'f' i системин и-ъи тянлийи, n,,2,1i ;
ix и-ъи мяъщулдур, n,,2,1i .
Системин щяр бир тянлийи тяк дырнаглар арасында йазылыр вя
106
яввялки тянликдян верэцлля айрылыр. )solve( функсийасындан габаг syms функсийасынын кюмяйи
иля символ дяйишянлярини тяйин етмяк лазымдыр. Тянликляр системинин щялли технолоэийасына мисал цзяриндя
бахаг. Мисал 8.3. Тутаг ки, ашаьыдакы тянликляр системини щялл етмяк
лазымдыр:
5.0zyx
1z4y3x5
3zyx3
Тянликляр системинин щялли програмы ашаьыдакы шякилдядир:
>> syms x y z;
>> Y=solve('3*x+y-z=3','-5*x+3*y+4*z=1','x+y+z=0.5')
Enter клавишини басдыгдан сонра ъавабы ашаьыдакы
шякилдя алырыг: Y = x: [1x1 sym] y: [1x1 sym] z: [1x1 sym]
Програм мясяляни щялл етмишдир. x, y, z мяъщулларынын гий-мятини алмаг цчцн k.Y ямриндян истифадя етмяк лазымдыр,
бурада k мяъщулун адыдыр. Бизим щалда щялл ашаьыдакы шякилдя олаъаг:
>> Y.x ans = -.10714 >> Y.y ans = 1.96428 >> Y.z ans = -1.35714
n)vpa(Y.k, функсийасындан да истифадя етмяк олар. Бурада:
107
k ахтарылан мяъщул;
n ъавабын ишаряляринин сайыдыр. Ишарялярин сайы 6n олан щялляри алаг.
>> vpa(Y.x, 6)
ans = -.107143
>> vpa(Y.y, 6) ans = 1.96429
>> vpa(Y.z, 6) ans = -1.35714
8.2. Matlab мцщитиндя гейри-хятти тянликляр системинин щяллi
MatLAB мцщитиндя гейри-хятти тянликляр системинин щялли
)fsolve( функсийасынын кюмяйи иля щяйата кечирилир. )fsolve( функ-
сийасы ашаьыдакы шякилдядир:
)fsolve( 0x,'file'
бурада:
file m-faylda сахланылмыш тянликляр системи;
0x башланьыъ йахынлашмалар векторудур.
Мисал 8.4. Тутаг ки, ашаьыдакы гейри-хятти тянликляр системини щялл етмяк лазымдыр:
1470xxx
167xxx
5.6xxx
3621
3221
321
Верилмиш тянликляр системини myfun адлы истифадячи функсийасы
шяклиндя тясвир едяк вя ону myfun.m файлында сахлайаг.
Тутаг ки, файлын тяркиби ашаьыдакы шякилдядир:
function F=myfun (x) F=[x(1)*x(2)+x(3)-6.5; x(1)*x(2)^4+x(3)-167; x(1)*x(2)^6+x(3)-1470];
108
Тянликляр системинин щялли програмы вя нятиъяляр ашаьыдакы шякилдядир:
>> x0 = [1; 1; 1]; >> X = fsolve('myfun', x0) X = 2.1512 2.9678 0.1157
Çalışmalar - 8.1
Верилмиш тапшырыг вариантларына уйьун олараг хятти (ъядвял 8.1) вя гейри-хятти тянликляр системини (ъядвял 8.2) MatLAB вя мцщитиндя йухарыда эюстярилян бцтцн цсцлларла щялл етмяли. Тапылмыш щяллярин доьрулуьуну йохламалы.
Гейд: Гейри-хятти тянликляр системинин щяллиндя башланьыъ йахынлашмалары ъядвялдян эютурмяли.
Ъядвял 8.1
№1 №2
810354
212537
627
6259
4321
4321
432
4321
xxxx
xxxx
xxx
xxxx
18243
3425
12223
174
4321
421
4321
421
xxxx
xxx
xxxx
xxx
№3 №4
14211512
91273
075
16575
4321
4321
32
4321
xxxx
xxxx
xx
xxxx
12525
344
72
164
4321
321
431
321
xxxx
xxx
xxx
xxx
№5 №6
109
78812106
3053
17243
823
4321
432
4321
321
xxxx
xxx
xxxх
xxx
30524
194
185523
23253
432
43
4321
4321
xxx
xx
xxxx
xxxx
110
FƏSİL 9
TÖRƏMƏ VƏ İNTEQRALLARIN HESABLANMASI __________________________________________
9.1. Törəmələrin analitik (simvollu) hesablanması
Ali riyaziyatdan məlum olduğu kimi f(x) funksiyasının x-a görə törəməsi arqumentin artımı sifra yaxınlaşdıqda funksiyanın ∆f(x) artımının arqumentin ∆x artımına olan nisbətinə deyilir:
.)(
lim)(
0 x
xf
dx
xdf
x
Burada )()()( xfxxfxf funksiyanın artımıdır.
Sadə bir misala baxaq. Fərz edək ki, f(x)=x2. Onda
).2(2)()( 22222 xxxxxxxxxxxxf
İndi yazmaq olar:
.2)2(lim)2(
lim)(
00xxx
x
xxx
dx
xdf
xx
MatLABda функсийаларын тюрямяляри ашаьыдакы гурашдырылмыш
функсийа иля щесабланыр:
)n,x,(fdiff
бурада:
f диференсиалланан функсийа;
x функсийанын аргументи (диференсиаллама дяйишяни);
n тюрямянин тяртибидир (сусмайа эюря мм 1n ).
Тюрямялярин щесабланмасы технолоэийалары: 1. syms функсийасынын кюмяйи иля символ дяйишянляринин тяйин
111
едилмяси. 2. Диференсиалланан f функсийасынын дахил едилмяси. 3. x вя n -нин конкрет гиймятляри иля )n,x,(fdiff функсийасы-
нын дахил едилмяси. 4. Enter клавишини басдыгдан сонра щяллин алынмасы.
Методиканы мисалларла айдынлашдыраъаьыг. Мисал 9.1. Тутаг ки, x2sinxy функсийасынын 1-ъи, 2-ъи вя
3-ъц тюрямялярини тапмаг лазымдыр. Matlabda tюрямялярин щесабланмасы проседуру ашаьыдакы кимидир:
>> syms x n;
>> y=x*sin(2*x);
>> z= diff(y,x) z =sin(2*x)+2*x*cos(2*x) >> z=diff(y,x,2) z =4*cos(2*x)-4*x*sin(2*x) >> z=diff(y,x,3) z =-12*sin(2*x)-8*x*cos(2*x)
)n,x,(fdiff функсийасы символ дяйишянляри олан функсийаларын
да тюрямялярини аналитик щесабламаьа имкан верир.
Мисал 9.2. Тутаг ки,
41 axy ,
x
an)xalg(ey anax
2
2
функсийаларынын 1-ъи вя 2-ъи тюрямялярини щесабламаг лазымдыр. Тюрямялярин щесабланмасы проседуру ашаьыдакы кимидир:
>> syms a x n;
>> y1=a*x^4;
>> y2=exp(-a*x^2)+log10(a^n+x^a)-a*n/x;
>> z1=diff(y1,x,1) z1 = 4*a*x^3
112
>> z2=diff(y2,x,1)
z2 = -2*a*x*exp(-a*x^2)+x^a*a/x/(a^n+x^a)/log(10)+a*n/x^2 >> z12=diff(y1,x,2)
z12 = 12*a*x^2 >> z22=diff(y2,x,2)
z22 = -2*a*exp(-a*x^2)+4*a^2*x^2*exp(-a*x^2)+x^a*a^2/x^2/(a^n+x^a)/log(10)-x^a*a/x^2/(a^n+x^a)/log(10)-(x^a)^2*a^2/x^2/(a^n+x^a)^2/log(10)-2*a*n/x^3
f функсийасы вектор вя йа матрис шяклиндя дя ола биляр. Беля щалларда ъаваб елементляри илкин функсийаларын тюрямяляри олан вектор вя матрис олаъаг.
Мисал 9.3. Txexx )),3sin(,2(cos2 vektorunun (vektor
sütun) тюрямяsini тапаг.
>> syms x n;
>> v=[cos(2*x); sin(3*x); exp(-x^2)]; % Vektir sütun
>> diff (v,x) ans = -2*sin(2*x) 3*cos(3*x) -2*x*exp(-x^2) >> syms x n;
v=[cos(2*x) sin(3*x) exp(-x^2)];% Vektor sətir
>> diff (v,x) ans =[ -2*sin(2*x), 3*cos(3*x), -2*x*exp(-x^2)] Misal 9.4. f=sin(ax)funksiyasının a-ya görə törımısini tapaq.
113
Misal 9.5. Aşağıdakı matrisin törımısini tapaq:
.)cos()sin(
)sin()cos(
axax
axaxA
Xüsusi törəmənin hesablanması Bu halda iki arqument üçün f=z=φ(x,y). Sintaksis Dzdx=diff(z, x); Dzdy=diff(z, y);
Misal. Fərz edək ki, z=x2+y3. .3,2 2yy
zx
x
z
114
9.1.1. Parametrik şəkildə verilmiş funksiyanın törəməsi Funksiyalar bir-neçə formada verilə bilər: a) aşkar forma- y=f(x); y=sin(x) b) qeyri-aşkar forma-F(x,y)=0; x2+y2-1=0 c) parametrik forma
).(
),(
ty
tx
Məsələn, tsikloidanin tənliyi
).cos(1(
),sin((
tay
ttax
Sikloidanın qrafiki şəkil 9.1-də göstərilmişdir.
Şəkil 9.1. Şəkil 9.2
115
Burada t-dəyişənləri əlaqələndirən parametrdir. Məsələn, dinamik sistemlərdə-zaman. Parametrik funksiyanın dxdy / törəməsi:
.t
t
x
y
dt
dxdt
dy
dx
dy
Misal 9.6.
Şəkil 9.2-də yx=dy/dx torəməsinin t-dən asılılıq qrafiki göstırilmişdir.
Parametrik şəkildə verilmiş funksiyanın ikinci törəməsi:
.)( 32
2
t
tttt
x
xyxy
dx
yd
116
9.1.2. Mürəkkəb funksiyanın törəməsi
Bu tip funksiya aşağıdakı şəkildə verilir: )].(),([)( tytxtz
dttdz /)( törəməsini tapmaq tələb olunur.
Qaydaya əsasən mürəkkəb funksiyanın t-yə gərə törəməsi:
.dt
dy
y
z
dt
dx
x
z
dt
dz
Vı ya
.tytx yzxzdt
dz
Misal 9.7. Fərz edək ki, x=sin(t), y=cos(t), z=ax2+by2. Bu halda zx=2ax, zy=2by, xt=cos(t), yt=-sin(t) olduğundan
).cos()sin()(2
)sin()cos(2)cos()sin(2)sin(2)cos(2
ttba
ttbttatbytaxdt
dz
Matlab proqramı.
9.2. Mцяййян интегралларын ядяди цсулларла щесабланмасы
Ali riyaziyyatdan məlum olduğu kimi, inteqral həndəsi olaraq f(x) funksiyası ilə absis oxu arasında qalan sahəni
117
təyyin edir. Sahəni ];[ bax intervalında eni h olan düzbucaqlılar ilə n-
hissəyə bölsık yazmaq olar:
)....( 121 nyyyhS
Bu cəm Darbu cəmi adlanır.h enini sıfra yaxınlarsaq sahə
S-in yaxınlaşdığı hədd inteqral adlanır və simvolu ilə işarə
olunur:
F(x)= .)(lim0
b
ah
dxxfS
İnteqrallama nəticəsində alınmış funksiyanın diferensialı dF(x)=f(x)dx və ya dF(x)=f(x)dx. Yəni inteqral ilə törəmə (diferensial) biri-birini qarışılıqlı ləğv edirlər. Müəyyən inteqralı açdıqdan sonra onun qiyməti Leybnis qaydasına əsasən belə tapılır:
).()()( aFbFdxxf
b
a
Matlab sistemi inteqralaltı ifadə analitik ifadə şəklində verildikdə qeyri-müəyyən və müəyyən inteqralları təqribi hesablama üsullarının köməyi ilə hesablamağa inkan verir. Müxtəlif ədədi inteqrallama üsulları mövcuddur. Bütün bu üsullarda hesablamalar kvadratura adlanan təqribi formulaların köməyi ilə aparılir.
Буz мцяййян интегралларын щесабланмасы цчцн düzbucaqlılar, трапесийалар və Simpson цсулlarının reılizə olnmasına baxacağıq.
1. Düzbucaqlılar üsulu. Bu halda toplanan cəmlər düzbucaqlılardan ibarət olur.Bir (k-ınıcı) düzbucaqlının sahəsi sk=hyk olduğundan, bütöv sahə üçün yazmaq olar:
.)...()(1
0
1210
n
k
kn
b
a
yhyyyyhdxxf
2. Trapesiyalar üsulu. Bu halda toplanan cəmlər
118
trapesiyalardan ibarətdir. Trapesiyanın sahəsi oturacaqlarının cəmi ilə (yk+yk+1) hündürlüyü (h) hasilinin yarısına bərabər olduğundan , yazmaq olar:
.22
)2
...2
()(1
1
0121
0
n
k
nk
nn
b
a
yy
yh
yyyy
yhdxxf
3. Simpson (parabolalar) üsulu. Bu halda kvadratur düsturu aşağıdakı çəkildıdir:
. ])...(4
)...(2[3
)(
1531
26420
nn
n
b
a
yyyyy
yyyyyh
dxxf
Бу дцстурларда:
h интеграллама аддымы;
ky интегралалты функсийанын kx ( n,,2,1,0k )
аргументиндя гиймяти;
h
abn
]b,a[ интегралаллама парчасынын
бюлцндцйц бюлэц нюгтяляринин сайыдыр.
MatLAB мцщитиндя трапесийалар вя Симпсон цсуллары иля мцяййян интегралларын щесабланмасы технолоэийасыны тясвир едяк.
9.2.1. Трапесийалар цсулу
MatLAB мцщитиндя трапесийалар цсулу бир нечя функсийаларла реаллашдырылмышдыр. Бунлардан йалныз )y,x(trapz функсийасына
бахаъаьыг. )y,x(trapz )x(y функсийасынын интегралыны трапе-
сийалар цсулу иля щесаблайыр. Аргумент вя функсийа векторлар
шяклиндя, йахуд да x вектор шяклиндя, y матрис шяклиндя
верилир. Мисал 9.8. Тутаг ки, x аргумент вя )x(y функсийасы ашаьы-
дакы векторлар шяклиндя верилмишдир:
х = [1 3 7 9 10], y = [1 3 5 7 9].
119
Трапесийалар цсулу иля интегралын гиймятини щесабламаг тяляб олунур.
Щялли: >> x = [1 3 7 9 10]; >> y = [1 3 5 7 9]; >> trapz (x,y)
Enter клавишини басдыгдан сонра щялли алырыг:
ans = 40 Мисал 9.9. Тутаг ки, )x(y функсийасынын аргументи
х = [1 3 7 9 10]
вектору, )x(y функсийасынын юзц ися
y = [1 3 5; 3 5 8; 8 6 3; 5 10 7; 4 7 6]
матрисидир. )y,x(trapz функсийасындан истифадя етмякля
интегралын гиймятини тяляб олунур. Щялли: >> x = [1 3 7 9 10];
>> y = [1 3 5; 3 5 8; 8 6 3; 5 10 7; 4 7 6]; >> trapz (x,y) ans = 43.5000 54.5000 51.5000
Мисал 9.10. Тутаг ки, интегралалты функсийа
1xlnxe)x(y x
шяклиндядир. 0,1 аддымы иля 8
1
dx)x(y мцяййян интегралыны щесаб-
ламаг лазымдыр. Щялли: >> format bank >> x=1: 0.1: 8; >> y=x.*exp(x)+log(x)+1; >> inteqral=trapz (x,y) >> inteqral inteqral = 20905.69
120
9.2.2. Симпсон цсулу
MatLAB мцщитиндя Симпсон цсулу ашаьыдакы бир нечя функсийаларла реаллашдырылмышдыр:
)b,a,'fun('quad
)tol,b,a,'fun('quad
)trace,tol,b,a,'fun('quad
Бу функсийаларда ашаьыдакы ишаряляр гябул едилмишдир:
'fun' тяк дырнаглар арасында йазылмыш интегралалты функ-
сийа;
b,a интеграллама сярщядляри;
tol истифадячи тяряфиндян верилян нисби хята, сусмайа
эюря 3e.1tol ;
trace сыфырдан фяргли ядяддир, бу ядяд верилдикдя систем
щесаблама просесинин эедишатыны эюстярир. Садаланан функсийалара бахаг вя мисаллар эюстяряк.
)b,a,'fun('quad функсийасы 310 -дян бюйцк олмайан дягиг-
ликля b
а
dx)x(f мцяййян интегралыны щесаблайыр.
Интегралалты )x(f функсийасы MatLAB системиндя функсийала-
рын йазылышы гайдаларыны эюзлямякля аналитик шякилдя тясвир олунур. Мисал 9.11. Тутаг ки, интегралалты функсийа
5xsinxe)x(f 2x
шяклиндядир. 5
1
dx)x(f интегралыны щесабламаг лазымдыр.
Щялли: >> y='exp(x)+x.^2+2*sin(x)-5'; >> inteqral=quad (y,1,5)
Enter клавишини басдыгдан сонра ашаьыдакы ъавабы алырыг: inteqral = 167.5415 Функсийа бир сятирдя дя тясвир едиля биляр:
121
>>inteqral=quad('exp(x)+x.^2+2*sin(x)-5',1,5)
Enter клавишини басдыгдан сонра ейни ъавабы аларыг.
)tol,b,a,'fun('quad функсийасында tol параметри арзу
олунан хятадыр вя ne1 шяклиндя тясвир олунур. Сусмайа эюря
3e.1tol .
Мисал 9.12. Тутаг ки, интегралалты функсийа
5xsinxe)x(f 2x
шяклиндядир. 5
1
dx)x(f интегралыны 710 -дян йцксяк олмайан
дягигликля щесабламаг лазымдыр. Щялли: >> quad('exp(x)+x.^2+2*sin(x)-5',1,5,1e-7)
Enter клавишини басдыгдан сонра ашаьыдакы ъавабы алырыг: ans = 167.5415
)trace,tol,b,a,'fun('quad функсийасындан истифадя етмякля
щесаблама просесинин эедишатыны эюрмяк олар. Мисал 9.13. Тутаг ки, интегралалты функсийа
5xsinxe)x(f 2x
шяклиндядир. 5
1
dx)x(f интегралыны 410 -дян йцксяк олмайан
дягигликля щесабламаг вя щесаблама просесинин эедишатына бахмаг лазымдыр.
Щялли: >> y='exp(x)+x.^2+2*sin(x)-5'; >> quad(y,1,5,1e-4,1)
Enter клавишини басдыгдан сонра ашаьыдакылары алырыг: 9 1.0000000000 1.08632000e+000 4.6656537473
11 1.0000000000 5.43160000e-001 1.1622085119
13 1.5431600000 5.43160000e-001 3.5034427411
15 2.0863200000 1.82736000e+000 50.2932898724
17 2.0863200000 9.13680000e-001 14.4288633682
19 2.0863200000 4.56840000e-001 5.5025466418
122
21 2.5431600000 4.56840000e-001 8.9263135654
23 3.0000000000 9.13680000e-001 35.8637210072
25 3.0000000000 4.56840000e-001 14.0377607484
27 3.4568400000 4.56840000e-001 21.8259514564
29 3.9136800000 1.08632000e+000 112.5833495495
31 3.9136800000 5.43160000e-001 42.0161253700
33 4.4568400000 5.43160000e-001 70.5671433686
35 4.4568400000 2.71580000e-001 30.7364454709
37 4.7284200000 2.71580000e-001 39.8306970791
ans =167.5415
9.3.1. Parametrdən asılı olan inteqralların
hesablanması Bu tip inteqral aşağıdakı kimi verilir:
b
a
dxpxfpI .),()(
Burada p hər hansı bir fiziki məna kəsb edən parametrdir. Məsələn, zaman t. Parametrin hər bir qiymətində inteqral yenidən hesablanır. Əgər p bir qiymət deyil, verilmiş intervalda qiymətlər alarsa, onda uyğun qrafik:
Şəkil 9.4
quad və quad8 funksiyaları parametrdən asılı olan
inteqralları hesablamağa imkan verir. Misal 9.14. İki paramtrdən asılı olan inteqralı p1=22.5, p2=-
123
5.9 qiymətlərində hesablayaq:
.))sin(( 22
1
1
1 dxxpxpI
Həll:
9.3.2. Yuxarı həddi dəyişən olan inteqrallar Bu tip inteqrallar aşağıdakı şəkildə verilir:
y
dxxfyI
0
.)()(
İnteqralın qiyməti yuxarı sərhəd qiymətindən asılı oiduğundan onu y-in hər-bir qiyməti üçün hesablayıb cıdvəlləşdirmək və ya İ(y) qrafikini qurmaq olar.
Məsələn,
yx dxxxeyI
0
.)cos()(sin()(
Belə inteqralı hesablamaq üşün iki M-fayl-funksiya yazmaq lazımdır:
124
- inteqralaltı f(x) funksiyası üçün; - y-in hır-bir qiymətində inteqralın qiymətini tapan İy. Aşağıda fayl-funksiyaların listinqləri ğöstərilmişdir.
Inteqralin yuxarı sırhədd qiymətindən asılılıq qrafikini
qurmaq üçün fplot(’Iy’,[0,pi])funksiyasından istifadə olunur. Aşağıda bu funksiyanın Matlabın əmirlər pəncərəsində realizasiyası ğöstərilmişdir.
Şəkil 9.6-da ],0[ y intervalıda müvafiq qrafik
göstərilmişdir.
Şəkil 9.6
9.4. MatLAB mühütində мцяййян интегралларын аналитик (simvollu) щесабланмасы
0 0.5 1 1.5 2 2.5 30
0.5
1
1.5
2
2.5
3
3.5
y
I(y)
125
MatLAB мцщитиндя мцяййян интегралларын аналитик цсулла щялли )(int функсийалары иля щяйата кечирилир. Бу функсийалар ашаьы-
дакы шякилдядир: ))x(y(int
)b,a),x(y(int
бурада:
)x(y интегралалты функсийа;
b,a интеграллама сярщядляридир.
Бу функсийалар ашаьыдакылары щесаблайыр:
гейри-мцяййян интегралы;
символ дяйишянляри олан гейри-мцяййян интегралы;
сярщядляри символ дяйишянляри олан мцяййян интегралы;
ъябри функсийалардан мцяййян интегралы;
чохгат интеграллары;
гейри-мяхсуси интеграллары.
Интегралларын щесабланмасы технолоэийасы кифайят гядяр садядир вя ашаьыдакылардан ибарятдир:
1. syms функсийасынын кюмяйи иля символ дяйишянляринин тяйин
едилмяси. 2. Ад мянимсятмякля интегралалты ифадянин дахил едилмяси;
)x(fy .
3. Яэяр гейри-мцяййян интеграл щесабланырса, )y(int
функсийасынын, яэяр интеграллама сярщядляри b,a олан мцяййян
интеграл щесабланырса, )b,a,y(int функсийасынын дахил едилмяси.
4. Enter клавишини басмаг йолу иля щяллин алынмасы.
Мисал 9.16. Тутаг ки,
dxx1
x2
интегралыны щесабламаг лазымдыр. Щялли: >> syms x;
126
>> y=x/(1+x^2); >> int(y) ans =1/2*log(1+x^2)
Мисал 9.17. Тутаг ки,
dxbxa
x2
интегралыны щесабламаг лазымдыр. Бу о щалдыр ки, интегралалты функсийа символ дяйишянляри иля
аналитик шякилдя верилмишдир. Щялл ашаьыдакы шякилдядир: >> syms x a b; >> y=x/(a+b*x^2); >> int(y) ans =1/2/b*log(a+b*x^2)
Мисал 9.18. Тутаг ки,
b
a
2dx
x1
x
интегралынын гиймятини щесабламаг лазымдыр. Бурада интеграллама сярщядляри символ дяйишянляри иля верил-
мишдир. Щялли: >> syms x a b; >> y=x/(1+x^2); >> int(y, a, b) ans =1/2*log(1+b^2)-1/2*log(1+a^2) Мисал 9.20. Тутаг ки,
b
a
2dx
dxс
x
интегралыны щесабламаг лазымдыр.
127
Бу о щалда интегралалты ифадя аналитик шякилдя верилмишдир, интеграллама сярщядляри ися символ дяйишянляри шяклиндядир. Бу интегралларын щесабланмасынын даща цмуми щалыдыр.
Щялл ашаьыдакы шякилдядир:
>> syms x a b c d; >> y=x/(c+d*x^2); >> int(y, a, b) ans =1/2*(log(c+d*b^2)-log(c+d*a^2))/d
Мисал 9.21.
5
1
2dx
x1
x интегралы щесабламалы.
Щялли:
>> syms x; >> y=x/(1+x^2); >> int(y, 1, 7) ans =log(5) Щялли ади формада алмаг цчцн ъаваб сятрини активляшдирмяк
вя Enter клавишини басмаг кифайятдир. Ашаьыдакы ъаваб
алынаъаг: ans =1.6094 Çoxdəfəli inteqrallama. Bu halda ən sadə üsul əvvəlki
cavabı yenidən inteqrallamaqdır. Misal 9.22. Aşağıdakı inteqralı hesablayaq:
.1 2
dxx
xI
int(.) əmrini n dəfə təkrar etsək sadə proqram qurmaq olar. Həll:
128
Növbəti misal 3-qat inteqralın hesablanmasına aiddir:
.3
1)( 6
0 0 0
22 adxdydzzyx
a a a
Тапшырыг- 9. 1
Тапшырыг вариантларына уйьун олараг MatLAB системiндя верилмиш функсийаларын тюрямялярини аналитик щесабламалы вя алынмыш нятиъянин доьрулуьуну аналитик интеграллама йолу иля йохламалы.
Тапшырыг вариантлары
1. 3652 23
xxey x 2. xsinexy x 32
3. )xln(xxy 23 4. 1
4
xe
xsiny
5. )xxln(y 12 6. 3
xlnarctgy
7. 4
12
xtglny 8. 333 xxlnxy
9. 44
4 xtg
xcosy 10. )xeln(y x 32
Çalışmalar - 9.2
129
Тапшырыг вариантларына уйьун олараг мцяййян интеграллары йухарыда эюстярилян ядяди цсулларла MatLAB системляриндя щесабламалы.
Тапшырыг вариантлары
1. dxx
,
,
61
802 12
1 2. dx
x
)xsin()x(
,
1
50
21
3. dxx
02
1 4. dxe
x
),x(tg x
,
1
50
50
5. dxx
022
1 6. dx
x
)xcos(
,
1
50
2 2
7. dxex x
1
0
3 2
8. dxex
xcos x
,
1
50
2 1
9. dxex x
1
0
2 2
10. dxex
)xln( x
1
0
1
130
FƏSIL 10
ADI DİFERENSİAL TƏNLİKLƏRİN HƏLLİ __________________________________________________
10.1. Dinamik sistemlərin diferensial tənliklərlə
yazılışı
Dinamik obyektlərin koordinatları zamana görə dəyişdiyindən onların modellərinə giriş və çıxış dəyişənlərinin sürəti, təcili və s., yəni zamana görə birinci, ikinci və daha yüksək tərtibli törəmələri daxil olur. Axtarılan funksiya, yəni məchulun törəmələrinin daxil olduğu tənlik diferensial tənlik adlanır.
Diferensial tənliklər ingilis alimi İsaak Nyuton (16421727)
tərəfindən ixtira olunmuşdur. O, deyirdi: təbiətin qanunları
diferensial tənliklərlə ifadə olunmalıdır. Məchul bir dəyişənli funksiya )t(y olarsa, diferensial tənlik
adi ndiferensial tənlik, çoxdəyişənli funksiya )t,,x,x(y 21
olduqda isə xüsusi törəməli və ya paylanmış parametrli diferensial tənlik adlanır. Aşağıda uyğun tənliklər göstərilmişdir:
);,()(
tyfdt
tdy ).,,(
),(),(txyf
t
txy
x
txy
Naməlum (məchul) )t(y və ya )t,x(y funksiyaları bu
tənliklərin həlli nəticəsində tapılır. Biz adi diferensial tənlikləri öyrənəcəyik.
)(...1
1
1 tfyadt
yda
dt
ydnn
n
n
n
xətti dif. tənliyin həlli iki toplanandan ibarətdir: sıfra bərabər
131
olmayan başlanğıc şərtlərin təsiri altında yaranan sərbəst hərəkət ys(t); xarici qüvvənin təsirindən yaranan məcburi hərəkət ym(t):
).()()( tytyty ms
10.2. Diferensial tənliyin həlli
Diferensial tənliyin həlli nə deməkdir? Sadəlik üçün birinci tərtib diferensial tənliyə baxaq:
)t,x(fdt
dx . (10.9)
Tərif 1. )t(x funksiyası o zaman (10.9) tənliyinin həlli
adlanır ki, o bu tənliyi ödəsin. Başqa sözlə, )t(x ifadəsini
tənlikdə yerinə yazdıqda eynilik alınmalıdır. Bu xüsusiyyət istənilən (cəbri, triqonometrik və s.) tənlik üçün də öz qüvvəsini saxlayır.
Ümumi həll inteqrallama sabiti С -dən asılı olur: )C,t(x .
Koşi məsələsində )t(x -nin başlanğıc qiyməti 00 x)t(x adətən
zamanın 0tt başlanğıc anında verildiyindən inteqrallama
sabiti 0x -dan asılı olaraq tapılır. Bu halda xüsusi həll )x,t(x 0
şəklində olur. Tərif 2. )t(x həlli başlanğıc şərti ödəyir. Yəni )t(x
ifadəsində 0tt yazdıqda 00 x)t(x olmalıdır. Bu o deməkdir
ki, həll düzgün tapılıbsa, o )x,t( 00 nöqtəsindən başlamalıdır.
Ümumi həll. n sayda iC inteqrallama sabitlərindən asılı
olan həll ümumi həll adlanır:
)C,,C,С,t(y)t(y n21 . (10.17)
Bu ifadə inteqral əyriləri ailəsinin tənliyidir. iC -lərin
qiymətlər çoxluğu sonsuz olduğundan belə əyrilərin sayı da sonsuzdur.
İnteqrallama sabitlərini təyin etmək üçün n sayda əlavə
132
şərtlər verilməlidir. Koşi məsələsində bu şərtlərin hamısı
zamanın başlanğıc 0tt (bir çox hallarda 0t0 ) anında verilir
və başlanğıc şərtlər adlanır:
00 y)t(y , 1
00 y)t(y , 2
00 y)t(y ,, 1n
00
)1n( y)t(y .
Əgər (10.17) ümumi həlli məlumdursa, Koşi məsələsində
iC inteqrallama sabitlərini aşağıdakı cəbri tənliklər sisteminin
həllindən tapırlar:
.y)C,,C,С,t(ydt
d
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
,y)C,,C,С,t(ydt
d
,y)C,,C,С,t(y
1n
0
tt
n2101n
1n
1
0
tt
n210
0n210
0
0
(10.18)
İndi (10.17) ümumi həllini aşağıdakı konkret şəkildə yazmaq olar:
)y,,y,y,t(y)t(y 1n
0
1
0
0
0
.
Xüsusi həll. Konkret başlanğıc şərtlərdən asılı olan həll xüsusi həll adlanır. Bu həll inteqral əyriləri ailəsindən yalnız başlanğıc şərtləri ödəyən birinin tənliyidir.
Çoxnöqtəli sərhəd məsələsində n sayda sətirlər
zamanın }t,,t,t{t m21 anlarında verilir. Maraqlı cəhət odur
ki, Koşi məsələsindən fərqli olaraq, n sətrin hamısı eyni tərtib
)t(y )kn( törəməyə aid ola bilər, n,,1k . Bu halda nm
olmalıdır. Məsələn, ikitərtibli tənlik üçün ( 2n ) iki sayda sətri
0y)0(y , 1y)1(y ( 2k ) şəklində vermək mümkündür.
Aşağıda bir tərtibli Tdy/dt+y=k tənliyin ümumi və xüsusi həllinin Matlab proqramı göstərilmişdir.
133
Misal 10.2. Obyektin tənliyi:
)tsin(dt
yd2
2
, 1y)t(y 00 , 5.0y)t(y 100 ,
4t0
s.
Bu tənliyi zamana görə iki dəfə inteqrallasaq )t(y həllini
alarıq:
11
t
0
C)tcos(Cdt)tsin()t(y .
212
t
0
1
t
0
CtC)tsin(CdtCdt)tcos()t(y .
İnteqrallama sabitlərini təyin edək. Bu halda (10.18) tənliklər sistemi:
.5.0C4
cosCtC)tsin(
,1C4
C4
sin
1'
4t
21
21
Buradan
134
.87.14
C4
sin1C
,207.0)12(2
1
2
1
2
25.0
4cosC
1
i
2
i
1
10.2.1. Xətti diferensial tənliklər sisteminin analitik həlli
Arqumenti dinamik sistemlərin yazılışında olduğu kimi t (zaman) deyil x qəbul etcək xətti tənliyi aşağıdakı şəkildə yazmaq olar:
.)(),( 00 yxyxBAydx
dy
Burada y=(y1, y2,...,yn)T; ;),...,,( 21
Tm A,B-n×n və
n×m ölçülü matrislərdir. Xətti diferensial tənliklər sisteminin analitik həlli mövcuddur
və Koşi düsturu ilə təyin olunur:
.)()(
0
0 )(0
)( dBueyexy
x
x
xAxxA
Burada eAx- matris eksponentası və ya keçid matrisi adlanır x=x-x0.
Bircins tənlik üçün xarici qüvvə u=0 olduğundan həll sadələşir:
.)( 0)( 0 yexy
xxA
Misal 10.3. Obyektin тянлийи
21 yy , u 22 y2y , x0=1, y(1)=0, y(1)=2; u=0.
Бурада
20
10
А ,
1
0B
.
xAe тапмаг цчцн mühəndis praktikasında
])[( 11 AsILeAx ifadəsindən isifadə edirlər:
135
2s0
1s
20
10
s0
0ss
AIR .
т11 )(det
1)(s R
RAIR
2s
10
)2s(s
1
s
1
s0
12s
)2s(s
1
.
R матриси R матрисинин ъябри тамамлайаъагдыр. Лаплас чевирмяси ъядвяиндян истифадя едяряк, тапырыг:
)1(2
)1(2
2
211
0
)1(5.01
0
150 1][
x
xA
e
e
e
)e(.Le
x
xx
R .
Həll
)1(2
)1(2
2
1
2
1
2
)1(
)1(
)1(
)(
)(
x
xA
e
e
y
ye
xy
xy x .
Şəkil 10.7-də y(x) və y(x) həllərinin qrafiki göstərilmişdir.
Şəkil 10.7. Həllərin qrafiki
136
10.3 . Matlab mühitində adi diferensial tənliklərin və tənliklər sisteminin həlli
MatLAB системи нятиъяляри ъядвял вя график шякилдя тясвир
етмякля диференсиал тянликляри вя диференсиал тянликляр системини ədədi щялл етмяйя имкан верир. Bundan başqa ahalitik (simvol) həll texnologiyaları da mövcuddur ki, bu halda həllin ifadəsi (düsturu) alınır.
10.3.1. Simvol (analitik) həlli Bu halda diferensial tənliyin həllinin analitik ifadəsi alınır.
Bu məqsədlə MATLABda dsolve funksiyasından istifadə olunur. Analitik həlli olmayan tənliklərin həllində təqribilik ola bilər. Xətti diferensial tənliklərin dəqiq analitik həlli mövcud olduğundan bu tip tənliklərin simvolik həllində problem yaranmır. Inteqrallama sabitlərindən asılı olan ümumi həllin və verilmiş sərhəd şərtlərini ödəyən xüsusi həllərin alınması mümkündür.
Misallara müraciət edək. İşarələmələr:
yDy , yy2D ,, )k(yDky .
Qeyd edək ki, baxılan tənliklərdə arqument kimi t (zaman) götürülmüşdür. Sırf riyazi məsələlərdə isə adətən x qəbul olunur.Onda
.// dxdydtdy Həll texnologiyası isə dəyişmir.
1. 1yy 2 tənliyinin ümumi həllini tapın. Ümumi həldə
başlanğıc şərtlər verilmir.
2. 2y5y tənliyinin ümumi həllini tapın.
137
3. 1y5y tənliyinin 0)0(y , 0)0(y başlanğıc
şərtlərində xüsusi həllini tapın.
4. )t2cos(yy xətti tənliyinin 1)0(y , 0)0(y başlanğıc
şərtlərində xüsusi həllini tapın.
Burada simplify funksiyası simvol tipli ifadənin sadələşdirilməsi deməkdir.
5. )t(1y2y3y , 1)0(y , 2)0(y halında xətti
diferensial tənliyin həllini tapın.
6. 0y2yt2y)t1( 2 qeyri-stasionar xətti diferensial
tənliyin ümumi həllini tapın.
7. 1y4y3y 211 ,
138
212 y3y4y ,
xətti diferensial tənliklər sisteminin ümumi həllini tapın.
Həllin qrafikini qurmaq üçün )t,tezplot(y, f0 funksiyasından
istifadə etmək olar. Burada f0 t,t zamanın başlanğıc və son
anlarıdır. Məsələn, 0t0 , 20t f . Həll y və onun y
törəməsinin qrafiklərini bir yerdə almaq üçün onhold
funksiyasından istifadə olunur. Bu məqsədlə əvvəlcə )(diff
funksiyasının köməyi ilə həllin törəməsini almaq lazımdır: )y(diffdy .
Müvafiq misal aşağıda göstərilmişdir. Tənlik: 1y5y ,
0)0(y , 0)0(y .
y
139
10.3.2. Ədədi həll Bu üsullar ilkin analoq (fasiləsiz) diferensial tənliyin
zamana görə diskretləşdirilməsinə əsaslandığından həllin qiymətləri )tk(y , zamanın yalnız diskret tkt , ,2,1,0k
nöqtələrində hesablanır. Bu qiymətlər cədvəl və qrafiki təqdimatda verilə bilər. MATLABda adi diferensial tənliklər sistemini həll etmək üçün 23ode , 45ode , 113ode , 23ode ,
s15ode , s23ode , t23ode və tb23ode funksiyalarından istifadə
olunur. Бу функсийаларын адларынын щярфи щиссяси Ordinary
Differential Equation (Ади диференсиал тянлик) ифадясинин ихтисарыны, рягямляр ися истифадя олунан Рунге-Кутт усулларынын версийаларынын тяртиблярини эюстярир. )(ode45 функсийасы даща
дягиг щялл верир, лакин щялл цчцн нисбятян чох вахт тяляб олунур. )(ode funksiyaları 3 – 6 tərtibli Runqe-Kut üsulunu
reallaşdırır. Addımın seçilməsi avtomatik yerinə yetirilir. Bu funksiyalar aşkar şəkildə verilmiş
)t,x,,x(fx n1ii , ,,1 ni
diferensial tənliklər sistemini həll edir. Bu səbəbdən ilkin diferensial tənliyin tərtibi n>1 olarsa onu tənliklər sisteminə (Koşi forması) gətirmək lazımdır. Sintaksis: [t,x]=ode(.)(’fun’,t0,tf,x0).
fun- dif. tənliyin fi(.) sağ tərəflələrindən ibarət olan M-fayl;
t0 arqumentin başlanğıc qiyməti;
tf - arqumentin son qiyməti;
x0 başlanğıc şərtlər vektorudur. Qeyd edək ki, arqumenti x, funksiyanı isə y ilə işarə etmək
olar. Həll texnologiyası aşağıdakı bəndlərdən ibarətdir: 1. M-faylda hər hansı bir ad altında, məsələn, fun və ya
sisdu, diferensial tənliklər sisteminin sag tərəfini yadda saxlamaq lazımdır. Bu ona görə edilir ki, hər iterasiyada tənliklər sisteminə müraciət oluna bilsin. Bu məqsədlə alətlər
140
panelində File/New/M-file düyməsinə klik etmək lazımdır.Açılan M-fayl pıncərəsinə yazmalı:
2. function F=sisdu(t,x)
))];(),...,1(());...(),...,1(([ 1 nxxfnxxfF n
3. Tənliklər sisteminin fi(.)sağ tərəflərini daxil etdikdən sonra File/Save düyməsinə klik edib F funksiyasını sisdu faylında yadda saxlamalı;
4. Növbəti mərhələdə MATLABın əmrlər pəncərəsində t0, tf, x0 və )(ode funksiyası daxil edilir:
>>t0=t0; tf=tf; x0=[x10 ,x20 ,…,xn0];
>>[t,x]=ode()(sisdu,t0,tf,x0); >>z=[x,y] % Çap etmək 5. Sonra Enter klavişini klik etmək lazımdır.
6. Həllin qrafikini əldə etmək üçün plot(t,x) bütün xi(t)-lər bir pəncərədə, ayrı-ayrılıqda isə plot(t,x(:,1)), plot(t,x(:,2)),...,plot(t,x(:,n)) funksiylarından istifadə etmək olar.
Misal 10.4. )(ode23 функсийасындан истифадя етмякля
,xyydx
dy x0=0, xf=1. 1)0(y
Коши мясялясини щялл етмяли. Алынмыш щяллин графикини гурмалы. Bu halda arqument .xt
Верилмиш тянлийин саь тяряфини sisdu адлы M-файл шяклиндя формалашдыраг:
function F = sisdu(x,y)
F = x*y;
Сонра параметрлярин ядяди гиймятлярини веририк.
>> x0=0; xf=1; y0=1;
Артыг ясас ямр йериня йетириля биляр:
>> [x,y]=ode23('sisdu',[x0 xf],y0);
>> z=[x,y] йазыб Enter клавишини басırıq.
141
Şəkil 10.5-də M-fayl və həllin Matlab proqramı göstərilmişdir.
142
Şəkil 10.5. Həllin qrafiki
Мисал 10.5. )(ode45 функсийасындан истифадя етмякля
qeyri-xətti diferensial
,0sin8.0 3 yyy x0=2, xf=20, y(2)=1, y'(2)=0
tənliyi üçün Коши мясялясини щялл етмяли. Алынмыш щяллин графикини гурмалы. Bu halda n>1 olduğundan bu tənliyi tənliklər sisteminə gətirmək lazımdır.
yy1 , yy2 ишаря еtsək верилмиш тянлийи ики тянликдян
ибарят олан систем шяклиндя йазmаг olar:
,8.0
,
3212
21
yyy
yy
, x0=2, xf=20, Y0=[1 0].
Саь тяряфлярин щесабланмасы цчцн sisdu адлы M-файлы форма-лашдырырыг:
function F = sisdu(x,y)
F =[y(2);- y(1)-0.8*y(2)^3];
Сонра параметрлярин ядяди гиймятлярини веририк.
>> x0=2; xf=20; y0=[1 0];
Артыг ясас ямр йериня йетириля биляр:
>> [x,y]=ode45('sisdu',[x0 xf],y0);
Щяллин графикини гураг:
>> plot(x,y) Şəkil 10.6-da M-fayl və həllin Matlab proqramı
göstərilmişdir.
143
Şəkil 10.6. Həllin qrafikləri
10.4. Diferensial tənliklərin yazılış formaları
1. Adi differensial tənlik. Axtarılan funksiya (məchul) bir dəyişəndən (burada t) asılıdır. Xətti halda:
)t(ub)t(yadt
)t(dya
dt
)t(yda 0212
2
0 .
144
y(t) – axtarılan funksiya (məchul), yəni həll; u(t) – məlum funksiya. Abstrakt riyaziyatta adətən arqument kimi x qəbul edirlər.Onda törəmə: dy/ dx. 2. Xüsusi törəməli differensial tənlik. Axtarılan funksiya iki və daha çox dəyişəndən x, t,…, asılıdır:
)t,x(ut
)t,x(y
x
)t,x(y2
2
.
y(x,t) – axtarılan funksiyadır (məchul), yəni həll. 3. Xətti differensial tənlik. Funksiya və onun törəmələrinə nəzərən xətti olan tənlik. Məsələn,
)t2cos(y3yty 2 .
4. Qeyri xətti differensial tənlik. Funksiya və onun törəmələrinə nəzərən qeyri xətti olan tənlik:
)t(uyeyy2y 2t .
,bu)t(ydt
)t(dy)1)t(y(
dt
)t(yd 2
2
2
bu)t(kydt
)t(dy 2
5. Qeyri stasionar xətti differensial tənlik. Bir və ya bir neçə parametri zamandan asılı olan tənlik:
)t(bu)t(y)t(adt
)t(dy)t(a
dt
)t(yd)t(a 212
2
0 ,
Məsələn, )t(buyedt
dy t .
6.Qeyri xətti və qeyri stasionar differensial tənlik:
ub)ysin()t(dt
yd02
2
,
buy)t2sin(ydt
dyt
dt
yd2
2
.
145
7. Bircins differensial tənlik. Sağ tərəfi sıfra bərabər olan tənlik. Obyektin sərbəst hərəkətini xarakterizə edir:
F(y,y, y)=0, y(0)=y0, y´(0)=y'0.
Məsələn, 0)t(yadt
)t(dya 10 , y(0)=y0.
8. Qeyri bircins differensial tənldik. Sağ tərəfi sıfra bərabər olmayan tənlik. Obyektin məcburi hərəkətini xarakterizə edir:
)(0212
2
0 txbyadt
dya
dt
yda .
9. Vəziyyət dəyişənlərində yazılmış tənlik. Normal Koşi forması. Bir tərtibli differensial tənliklərdən ibarət olan tənliklər sistemidir. Xətti halda:
11 x
dt
dx ,
ubxaxadt
dx02211
2 ,
10.Vektor şəklində yazılış forması:
DuCxyBuAxdt
dx , .
Çalışmalar -10.1
1. Aşağıdakı diferensial tənliklərin analitik (simvollu) həllini tapın.
1. 2t7dt
dy , 7.0)1(y
2. ycost5dt
dy 2 , 4/)0(y
3. t3eydt
dy , 2)0(y
146
4. 35y5dt
dy , 4)0(y
5. 8y5dt
dy7
dt
yd2
2
, 1)0(y , 2)0(y
6. t35y15dt
dy12
dt
yd2
2
, 0)0(y , 1)0(y
7. 0ydt
dy3
dt
yd2
2
8. yx ,
xy)1x(10y 2 , 1)0(x , 0)0(y .
2. Aşağıdakı diferensial tənliklərin ədədi həllini 23ode ,
45ode , 113ode , s15ode funksiyalarından birinin köməyi ilə
tapın. )t(y keçid prosesinin qrafikini qurun.
1. 0ydt
dy2
dt
yd2
2
, 1)0(y , 0)0(y
2. t
1y
dt
yd2
2
, 0)0(y , 5.0)0(y
3. 0y2dt
dyt2
dt
yd)t1(
2
22 , 1)0(y , 1)0(y
4. yxx ,
y3x2y , 2)0(x , 2.0)0(y
5. 35y5dt
dy , 4)0(y
6. t3eydt
dy , 2)0(y
7. t2 eyyty)y1( , 0)0(y , 0)0(y .
8. Aşağıdakı ikinöqtəli sadə sərhəd məsələlərini
0t0 , 10t f intervalında simvolik həll edib )t(y və )t(y
qrafiklərinin verilmiş nöqtələrdən keçməsini yoxlayın.
147
1. 1y5y , 0)0(y , 1)1(y .
2. 1y5y , 0)1(y , 0)1(y .
3. 0y4y2.0y , 1)0(y , 0)2(y .
Törəmənin )t(y qrafikini belə qurmaq olar. Həll y -i
aldıqdan sonra )y(diffdy funksiyasının köməyi ilə )t(y
törəməsini alıb )10,0,dy(ezplot funksiyasından istifadə etmək
lazımdır. 1. Aşağıdakı obyektlər üçün diferensial tənliklərin MATLABda simvolik həllini tapın və ezplot (y, t0,tf) funksiyasının köməyi ilə y(t) həllinin qrafiklərini qurun. 1.1. Koşi məsələsi.
1. tey2y .
Başlanğıc şərtlər verilməyib – ümumi həlli tapmaq lazımdır. 2. 0u,uy3y8.0y2
y(0)=2, y(0)=0 - sərbəst hərəkət.
3.
0u,uy4x3y
,y3x2x
x(1)=0, y(1)=6 – sərbəst hərəkət
4. 1u,utyy 2
y(0)=4 - sərbəst və məcburi hərəkətlər
5. )t6sin(u,uy2ytyt 2
y(0)=0, 0)0(y - məcburi hərəkət
6. 100,0yy)1y(y 2
y(0)=1, 0)0(y – sərbəst hərəkət
1.2. Sadə sərhəd msələsi
1. ).t(u,utyy 2
y(1)=0 2. ).t()t2cos(u),t2cos(yy
y(0)=1, 0)2(y - sərbəst və məcburi hərəkətlər
148
3. 0yy2y )4(
,1)5(y,0)3(y,2)1(y,1)0(y )3( - sərbəst hərəkət
4.
25.0u,8,u4xy)1x(y
,yx
2
x(0)=1, y(2)=0 - sərbəst və məcburi hərəkətlər ezplot (y, t0,tf) funksiyasının köməyi ilə y(t) və y (t)
qrafiklərini bir pəncərədə qurub bunların verilmiş nöqtələrdən keçməsini yoxlayın. 2. Aşağıdakı diferensial tənliklərin ədədi həllini ode45, ode23s və ya digər funksiyaların köməyi ilə tapın (§ 2.8). 1. y =2y+u, u=1, y(0)=1.
2.
.2)0(y,2)0(x,0u,uxy)1x(50y
,yx
2
3.
)t2cos(u,ux2x4x
tu,ux6x2x
22112
2
11211
x1(0)=0, x2(0)=1. 4. t2u,uy3y5.0y2
y(0)=1, 4)0(y .
5. )t2sin(eu,u2yty2y t2)4(
.0y,0)0(y,0)0(y,1)0(y )3(
6. uye2y4yt6ty5y t22)3()4(
.3/),t4sin(eeu t5t3
2.0)0(y,2/1)0(y)0(y,1)0(y )3( .
Qrafik pəncərədə subplot və plot funksiyalarının köməyi ilə x(t), y(t), x1(t), x2(t), y (t) qrafiklərini qurun.
Çalışmalar-10.2
1. MatLAB мцщитиндя )(ode23 вя )(ode45 функсийаларындан
149
истифадя етмякля ъядвял 10.1-дя верилмиш тапшырыг вариантларына уйьун диференсиал тянлик цчцн ]b,a[ парчасында Коши мясялясини
щялл етмяли вя тапылмыш щяллин графикини гурмалы. Ъядвял 10.1
№ Диференсиал тянлик Башланьыъ шяртляр ]b,a[
1 22 10xyxy y(0)=0.5 [0;2]
2 xcosytgxyy 4 y (0)=1 [0;1]
3 y/xx/yy y (1)=2 [1;3]
4 1 )yy(ex y (0)=1 [0;2]
5 x
ysin
x
yy y (1)=1 [1;9]
6 xeyyy 22 y (0)=0.5 [0;3]
7 xy
yxy
22 y (2)=1 [2;4]
8 ctgx/)y(y 12 y (1)=2 [1;2]
9 yxy 2 y (0)=2 [0;2]
10 xeyyx y (1)=0 [1;5]
Çalışmalar-10.3
1. MatLAB мцщитиндя )(ode23 вя )(ode45 функсийаларындан
истифадя етмякля ъядвял 10.1-дя верилмиш тапшырыг вариантларына
уйьун диференсиал тянликляр системи цчцн n0 ttt интервалында
Коши мясялясини щялл етмяли вя тапылмыш щяллин графикини гурмалы.
Ъядвял 10.2
150
№
Диференсиал тянликляр системи
Башланэыъ шяртляр
0t nt
1
yxdt
dy
yxdt
dx
.)t(y
,)t(x
0
2
0
0
0 2
2
zyxdt
dz
zyxdt
dy
zyxdt
dx
3124
3
126
.)t(z
,)t(y
,)t(x
13
5
12
0
0
0
0 2
3
texdt
dy
tydt
dx
.)t(y
,)t(x
0
1
0
0
0 1,2
4
yxdt
dz
zyxdt
dy
zyxdt
dx
2
.)t(z
,)t(y
,)t(x
6
5
6
0
0
0
0 1
5
yxdt
dy
yxdt
dx
46
37
.)t(y
,)t(x
1
2
0
0
0 1
151
Ədəbiyyat
1. Вербицкий В.М. Основы численных методов: Учебник для
вузов. – М.: Высшая школа, 2005.
2. Дьяконов В.П. Компьютерная математика. Теория и прак-
тика. – М.: Нолидж, 2001.
3. Лазарев Ю.Ф. Начала программирования в среде MatLAB:
Учебное пособие. – К.: НТУУ "КПИ", 2003.
4. Ануфриев И.Б., Смирнов А.Б., Смирнова Е.Н. MATLAB 7. –
СПб.: БХВ-Петербург, 2005.
5. Дащенко А.Ф., Кириллов В.Х.,Коломиец Л.В., Оробей В.Ф.
MATLAB в инженерных и научных расчетах: Монография. –
Одесса: Астропринт, 2003.
6. Сейидов М.И., Сярдарлы С.М., Мяммядова К.А, Хялилов
Е.О. Excel вя Mathcad васитяси иля тянликляр вя тянликляр
системинин щялли. Дярс вясаити. – Бакы, Ширванняшр,
2007.
7. Сейидов М.И., Йусифов Р.Ф. Моделляшдирмя вя ядяди
цсуллар. Дярс вясаити. – Бакы, Ширванняшр, 2009.
8. Исмайылов Я., Ялийев М. вя башг. Щесаблама методлары вя
ЕЩМ-ин тятбиги. – Бакы, Бакы Университети няшриййаты,
1991.
9. Калиткин Н. Н. Численные методы. – М.: Наука, 1978.
10. Амосов А.А., Дубинский Ю.А., Конченова Н.В. Вычисли-
тельные методы для инженеров: Учеб. пособие. М.: Высш.
шк., 1994.
11. Макаров Е.Г. Инженерные расчеты в Mathcad. Учебный
курс. – СПб.: Питер, 2005.
12. Сергиенко А.Б. Цифровая обработка сигналов.СПб:Питер,
2007.
13. Половко А.М., Бутусов П.Н.Matlab для студента.СПб.:БХВ-
Петербург, 2006.
14. Rüstəmov Q.Ə. Avtomatik tənzimləmə nəzəriyyəsi: Matlab
Simulinkdə realizasiya.2-ci nəşir. Bakı, “Elim və Təhsil”, 2012,
750 s.
152
15. Корн Г., Корн Т. Справочник по математике (для научных
работников и инженеров). М.: Наука, 1973, 832 с.
Rüstəmov Qəzənfər Ərəstun oğlu
Mühəndis riyaziyyatı: Matlab/Simulinkdə modelləşdirmə.Dərs vəsaiti. Bakı,
AzTu, 2015.- 145 s.
153
AzTU-nun mətbəəsi - 2015
