Temario Cientifica 2016 Universidad de Panama

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7Profesor Vctor M. Len Profesor Ral Carranza Profesor Percis Garcs Profesor Frank Solis Profesor Ivn Luna

AUTORES

B I OL OG A

REVISADO Y ACTUALIZADO 2006

Profesor Vctor M. Len Profesor Jorge Gutirrez


Profesor Jorge Gutirrez (mdulos 2 y 4) REVISADO Y ACTUALIZADO 2010

Profesor Jorge Gutirrez Profesor Ricardo Prez

8

BIOLOGA

BOTNICA (Vegetal)

VIDA

ZOOLOGA (Animal)

CITOLOGA (Clula)

MICROBIOLOGA (Microorganismo

s)

Gentica (genes)

Anatoma (estructura)

Fisiologa (funcin)

Embriologa (desarrollo)

Taxonoma (clasificacin)

Ecologa (ambiente)

CIENCIA Mtodo

15

Esquema resumen de los niveles de organizacin de los seres vivos

17

COMPUESTOS INORGNICOS

Agua, CO2, Bicarbonatos etc

COMPUESTOS ORGANICOS C--H

CARBOHIDRATOS LPIDOS PROTEINAS ACIDOS NUCLEICOS C.H.O C,H,O C,H,O,N,S P,C,H,O,N

Energa Reserva Estructura DNA, RNA Monosacridos Monoglicridos Aminocidos Nucletidos Disacridos Diglicridos Dipptidos Polisacridos Triglicridos Polipptidos PLANTAS ANIMALES MICROORGANISMOS

21

Esquema tomado de Robertis, 1997

45

Cuadro Resumen de Organelos Citoplasmticos y sus Funciones

Organelo citoplasmtico Funcin.

Retculo endoplasmtico rugoso Transporte de protenas que se forman en su membrana, hacia otros organelos. Retculo endoplasmtico liso Transporte de glucosa y glucgeno. Sntesis de esteroides. Biosntesis de lpidos.

Aparato de golgi

Lisosomas Degradan molculas complejas (lpidos, protenas, carbohidratos y cidos nucleicos).

Vacuolas Almacenamiento de nutrientes en plantas y animales.

Peroxisomas Transforman las molculas de peroxido de hidrgeno, que se forman durante el proceso de respiracin celular.

Glioxisomas Convierten los lpidos almacenados en la semillas de las plantas en azcares.

Mitocondrias Extraer la energa contenida en los alimentos durante el proceso de respiracin celular para la sntesis de ATP.

Cloroplastos Convierten la energa solar en energa qumica, que almacena en los alimentos a travs del proceso de fotosntesis.

Citoesqueleto En la movilidad celular, durante el desarrollo embrionario, el movimiento de los orgnulos en la secrecin, la fagocitosis y en la separacin de los cromosomas durante la divisin celular.

Ncleo Control de las actividades celulares como: sntesis de protenas y divisin celular.

48

d-

b-

c-

d-

e-

53

de la

54

OBJETIVO DEL METABOLISMO

Transformar la materia y energa Incorporada del medio ambiente en materia

prima de la clula

CATABOLISMO Molculas complejas a simples + ATP

ANABOLISMO Molculas simples + ATP a complejas

Obtener energa utilizable por la clula

Fabricar los componentes celulares y almacenar sustancias

56

BALANCE DE LA GLICLISIS

ocurre en el citoplasma

60

Fuente: Robertis, 1997

61


63

turriolaTypewritten Text


66


68

Fuente: http://fai.unne.edu.ar/biologia/cel_euca/meiosis.htm

n

72

ti

73

ventajosas

la

74

OVOGNESIS

Ovogenia

Ovocito primario

cuerpos polares

vulo

cuerpo polar

Las ovogonas en los ovarios se dividen varias veces

Primera divisin

Segunda divisin meitica

Espermatogenia

Espermatocito

Espermatocito

Espermatidas

Clulas espermatidas maduras

Las espermatogonas en los testculos se divide varias veces por mitosis

Segunda divisinmeiotica

Primera divisin meiotica

ESPERMATOGENESIS

78

a.

a.

a.

a.

a.

84

Figura de una flor.

88

r `

90

d

carpelo

91

`

`

92

MODULO 6. LEYES DE MENDEL, ADN Y ARN (ESTRUCTURA)

Objetivos:

Comprender las reglas y las leyes que rigen la herencia.1.1.

Conocer los principales trminos utilizados en gentica1.2.

Explicar las estructuras qumicas del ADN y ARN. 1.3.

I. LEYES DE MENDEL:

Mendel, bas sus leyes en experimentos cuantitativos y sigui un pensamiento abstracto, lgico y aplicado a la

interpre tacin de sus resultados. Se dedic a hibridar guisantes, de una variedad, a la que el polen de otra planta

no poda fecundar y a seleccionar plantas con caracteres alternativos claros (semilla lisa o rugosa, amarilla o verde,

tallo largo o corto) luego, se preocup de cuantificar, estadsticamente, los resultados, lo que le permiti establecer

las siguien tes leyes estadsticas:

A. La primera ley o de la uniformidad y reciprocidad: dice que al cruzar dos lneas puras, la primera

generacin estar formada por individuos idnticos, que presentarn solo uno de los caracteres paternos, el

dominante. Todos los cruces se representan en los diagramas de Punnett de la figura 1-A

Figura 1-A:

Cruce de homocigotos con un solo carcter:

Gametos: A= semilla amarilla

a= semilla verdeA A

a Aa Aaa Aa Aa

Descendencia : 100% Aa

Genotipo: 1(Aa)

Fenotipo: semilla amarilla

En un segundo cruce, fecund los hbridos obtenidos entre s y observ que el carcter recesivo, reapareca en la

segunda generacin en un 25 % de los hijos (ver figura 1-A1 de Punnett).

93

Figura 1-A1:

Cruce de heterocigotos con un solo carcter:


a= semilla verde

Descendencia : 25% AA homocigoto dominante

50% Aa heterocigoto

25% aa homocigoto recesivo

Genotipo: 1:2:1

Fenotipo: 3 semilla amarilla (A): 1 semilla verde (a)

Luego, fecund un hbrido, obtenido en la segunda generacin con uno de la lnea pura o parental y obtuvo

una tercera generacin, compuesta por un 50% que presentaba el carcter en dominancia y otro 50% que lo

presentaba en recesividad (figura 1-A2).

Figura 1-A2:

Cruce de heterocigoto con homocigoto con un solo carcter:


a= semilla verdeA a

a Aa aaa Aa aa

Descendencia : 50% Aa, 50% aa

Genotipo: 1(Aa): 1(aa)

Fenotipo: 1 semilla amarilla (A):1 semilla verde (a)

A partir de estas hibridaciones, Mendel estableci la segunda ley o de la segregacin y pureza de los game-

tos: diciendo que el carcter era controlado por un factor (ahora sabemos que es un gen), que se transmite

sin mezclarse; pero que puede separarse en el hbrido y entrar, en gametos diferentes, para distribuirse despus

entre la descendencia.

Posteriormente, cruz progenitores con dos caracteres diferentes y dedujo la tercera ley (Figura 2-A y 2-A1),

de la distribucin independiente o de la libre combinacin de factores hereditarios: deduciendo que

cuando dos o ms factores hereditarios se segregan, simultneamente, la distribucin de cualquiera de ellos es

independiente de los dems.

A aA AA Aaa Aa aa

95

e,

Fuente: http://es.wikipedia.org/wiki/Grupo_sangu%C3%ADneo. Modificado.

99

-

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100

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103


105

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107

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108

1.a.b.c.d.

a.b.c.d.

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109

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a.c.

110

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111

rbol Filogentico Universal

112

i-

113

Categoras de clasificacin y concepto de especie

La clasicacin de los seres vivos se realiza en varias categoras. La categora ms grande de la clasicacin

es el reino, que se divide en lum. A su vez, el lum contiene varias clases que abarcan varios rdenes, Un

orden rene varias familias, las cuales se dividen en gneros. Cada gnero est constituido por una o varias

especies. En el cuadro siguiente se observa la clasicacin de diferentes seres vivos:

Categora Taxonmica Hombre Saltamontes Diente de len

Bacteria de

Reino Animalia Animalia Plantae ProtistaFilum Chordata Arthropoda Tracheophyta Schizomycophyta

Clase Mammalia Insecta Angiospermae SchizomycetesOrden Primates Orthoptera Campanulales Eubacteriales

Familia Hominidae Acridiidae Compositae Bacteriaceae

Gnero Homo Schistocerca Taraxacum Eberthella

Especie Homo sapiens Schistocerca americana Taraxacum ofcinale Eberthella typhosa

i

115

m :

-

nis

116

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118

R

119

y

120

Omnvoros Omnvoros

Consumidores terciarios

123

a

r

125

-

127

s s

128

l

pl

rea Cientifica

105

Matemtica

AUTORES

M A T E M T I C A

Profesor Belisario Brandao Profesora Myrta C. de Jan Profesora Gladys de Sanjur Profesora Leydis de Silvera


Profesora Leydis de Silvera Profesor Edis Flores

Profesora Guadalupe Melo Profesora Gladys Bonilla


Direccin General de Admisin Temario

MDULO 1: TEORA DE CONJUNTOS

Objetivos

1. Construir ejemplos de conjuntos.

2. Determinar conjuntos por comprensin y extensin.

3. Determinar la unin, interseccin y complemento de conjuntos.

4. Clasificar los nmeros reales como naturales (IN), enteros (Z), racionales (Q) e irracionales (I).

5. Enunciar las propiedades de la adicin y la multiplicacin en IR.

6. Representar el orden sobre la recta real.

7. Definir los intervalos como conjuntos de puntos.

8. Calcular el valor absoluto de un nmero.

9. Expresar potencias con exponentes negativos como potencias con exponentes positivos y viceversa.

10. Expresar potencias con exponentes fraccionarios como radicales.

1. Conjunto: Coleccin bien definida de objetos, llamados elementos.

Notacin de Conjuntos:

Los conjuntos se denotan por letras maysculas. Ejemplo: A, B, C.

Los conjuntos pueden escribirse entre llaves y separando sus elementos por comas (,).

Por ejemplo R ={0,3,7,}.

Los elementos de un conjunto se denotan por letras minsculas. Ejemplo: a, b, c, d son elementos.

Los elementos de un conjunto no deben repetirse.

El orden de los elementos no es importante. R = {a, b, c} = {c, b, a} = {b, c, a}

Para indicar que un elemento pertenece a un conjunto utilizamos el smbolo y el signo para no

pertenece.

Ejemplo: R = { 0, 3, 7, 8}; 0 R; 4 R.

2. Determinacin de conjuntos:

Para determinar un conjunto, lo podemos hacer de dos (2) maneras:

a. Por Extensin: Se dan en forma explcita sus elementos; como letras, nmeros o nombres de objetos.

Ejemplo: A = {Domingo, Lunes, Martes, Jueves, Sbado}.

b. Por Comprensin: Se da una propiedad o criterio de pertenencia que nos permite decidir si un

elemento pertenece o no al conjunto considerado. En forma general se describe:

A = {x | p(x)}donde p(x) es la propiedad de criterio. Ejemplo: A = {x | x es un da de la semana}.

2.1.Clases de conjuntos:

1. Conjunto Vaco: Aquel que carece de elementos. Se denota por {}.

1130

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rea Cientifica

131

Matemtica

2 Conjunto Finito: Consiste de un cierto nmero de elementos distintos, es decir, si al contar los

diferentes elementos del conjunto, el proceso de contar puede acabar.

Ejemplo:

X = {a, b, c, d, ..., y, z}; A = {x | x es el nmero de dos dgitos}; Y = {a, e, i, o, u}.

3 Conjunto Infinito: Aquel que no es finito. Ejemplo: B = {0, 1, 2, 3, 4, 5, ...}

3. Relacin de inclusin de Conjuntos:

Definicin de Subconjuntos: Dados dos conjuntos A y B, si cada elemento del conjunto A es elemento

del conjunto B, entonces se dice que A es subconjunto de B.

Ejemplo: A = {1, 2, 3, 4, 5}, B = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7}, A B.

Observaciones:

1. Si A B y A B, se dir que A es subconjunto propio de B. 2. Si A = B y A B, se dir que A es subconjunto impropio de B. 3. Sea E un conjunto cualquiera, E.

4. Operaciones fundamentales con conjuntos:

Unin de Conjuntos: Sean A y B dos conjuntos, A B = {x | x A B}. Ejemplo: A = {1, 2, 3}, C = {a, b, c}; A C = {1, 2, 3, a, b, c}.

Interseccin de Conjuntos: Sean A y B dos conjuntos, A B = {x | x A y x B}. Ejemplo: A = {1, 2, 3}, C = {a, b, c}; A C = {x | x A y x C} = .

Complemento de un Conjunto: Sea E un conjunto de referencia (Universal) y A E, el complemento de A con respecto al conjunto E, denotado:

AEC = {x | x E y x A}

Ejemplo: Sea E = {x | x es vocal}, A = {a, e, o}; AEC = {i, u}.

Diferencia de dos Conjuntos: La diferencia del conjunto B con respecto al conjunto A se denota

A - B y A - B = {x : x A y x B}.

131

TURRIOLAText Box


Los Nmeros Reales: El con

132

juntos de los nmeros reales denotado por IR est constituido por subconjuntos de

importancia tales como:

En el conjunto R = Q Ir, se verifican las siguientes propiedades: Si 0 y 1 son nmeros especiales conocidos como cero y uno respectivamente y las letras a, b, c representan

nmeros reales, se tiene que:

1) a + b = b +a; ab = ba Propiedad Conmutativa.

2) a+(b+c) = (a+b)+c; a(bc) =(ab)c Propiedad Asociativa.

3) a) Para a R, existe -a R tal que a + (-a) = 0 Inverso Aditivo.

b) Para cada a 0, a R, existe a1 tal que 11 =

a

a . Inverso Multiplicativo

4) a(b+c) = ab + ac; (a+b)c = ac + bc Propiedad Distributiva.

Observacin:

1. El cero suele denominarse neutro aditivo y el uno (1) neutro multiplicativo.

2. -a recibe el nombre de inverso aditivo de a (u opuesto de a).

3. Si a 0, a1 es llamado inverso multiplicativo de a (o recproco de a).

Definiciones: a-1 = a1 .

Nmeros Reales IR

Nmeros Racionales Q = {a/b,| a, b Z, b 0}

Nmeros Irracionales I, no tienen representacin fraccionaria o decimal.

Nmeros Enteros Z

Cero Nmeros Positivos llamados Naturales IN = {1, 2, 3, ...}

Nmeros Negativos

132

TURRIOLAText Box

rea Cientifica

1

Matemtica

Ejemplo:

1) ( 7 x 5 ) 7 = 7 ( 7 x 5 ) propiedad conmutativa.

2) 9 ( 4 + 5 ) = ( 4 + 5 ) 9 propiedad conmutativa.

3) ( 4 x 5 ) 4 = 4 ( 5 x 4 ) propiedad asociativa.

La recta Real o Numrica

Es posible asociar el conjunto de los nmeros reales con el conjunto de puntos en una recta de modo que a cada

nmero real le corresponda un punto y cada punto de la recta, le corresponda exactamente un nmero real. Para

ello se escoge un punto arbitrario llamado el origen y se asocia con l, el nmero real 0. los puntos asociados con

los enteros queda determinado al marcar segmentos de recta espaciados de igual longitud a cada lado de 0.

-3 -2 -1 0 1 2 3 Observaciones:

1) Los nmeros que corresponden a los puntos del lado derecho de 0 son llamados nmeros reales positivos

y del lado izquierdo negativos.

Orden y Desigualdades:

Orden: Si a y b son reales y a -b es positivo, se dice que a es mayor que b y se escribe a > b, y si a b es

negativo se dice que b es mayor que a y se escribe b > a.

Desigualdades: Los smbolos < > se llaman signos de desigualdades y las expresiones b < a; a > b se

llaman desigualdades.

Ejemplo:

a. - 2 < 1 dado que 1 + 2 es positivo.

b. 5 < 0 dado que 0 + 5 = 5 es positivo.

Intervalos:

Los intervalos son conjuntos especiales que tiene una representacin grfica particular, los hay de cuatro tipos:

a. Intervalo Abierto: se denota (a, b), se define como {x | a < x < b} y se representa por:

( ) a b

b. Intervalo Cerrado: se denota por [a, b], se define como {x | a x b} y se representa por: [ ]

a b

c. Intervalo Semi-Abierto o Semi-Cerrado: Ejemplo: (a, b] = {x | a < x b} y se representa por:

( ] a b

133

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134

d. Intervalo de Extremo Infinito:

Ejemplo: (- , a] = {x | x a}

(a, ) = {x | x > a}

Se representan respectivamente por:

] - a +

( - a +

Valor Absoluto:

| a |

5}

3. {x|x>217 }

4. {x/ 213 < x

rea Cientifica

137

Matemtica

X.- Simplifique las expresiones siguientes:

1) (-2)4 2) (-3)2 - 23 3) 5

2

25

4) 2-4 + (-4)2 5) (16,478)

6) (-3b4)(4b2)(61

b7) 7) ( )2411

618cc

8) (5y2)(-2y3)3 9)( )( )( )52

422

326x

xx

10) (m4)(-4m3)(3m-2) 11) (3x 3y 4w-9)0 12) ( )( )

2

73

634

ccc

13)

5

4

3

32

62

43

xxy

xyx

14) (3x-2 yz3 )4 15) (a+b)2 (a+b)-2

16) (- 4a3 b-2 )-2 17) (cd-1 )-1 18)2

2

2

ab

ba

XI. Simplifique:

a) 1400 b) 7x c) 3 48316 zyx d) baba 532 63 e) 53

827yx

f) 4 8581 sx g) 3 3)2( sr h). ( )22327 cba i)baba6

35

126

XII.- Escriba las expresiones dadas con exponentes fraccionarios.

a) 4 3x b) ( ) 23 ba + c) 22 yx + d) 3 5

XIII.- Escriba las expresiones dadas con radicales.

a) 23

4 b) ( )234x c) 4+ 23x d) ( )234 x+ e) 318y f) ( )318 y

137

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138

XIV. Simplifique la expresin dada:

1) 23

16 2) ( )31027.0 3) ( )52243 4)

21

25

62 uu 5)

31

61

8yy

6) ( )3268w 7) 223316

yx 8)

6

23

31

w

w 9)

( )( ) 3132

21

4

yx

yx 10)

21

41

x

XV. Escriba las expresiones dadas como un radical con el menor ndice posible

1) 3 3x 2) 4 2u 3) 9 3c 4) 96 3 sr 5) 4 33 2 yxxy 6)ba

ab3 2

3

RESPUESTAS

I Respuestas:

1) { }onarevA ,,,,,= 2) { }nauJB ,,,= o cualquier otro nombre 3) { }12,11,10,9,8,7,6,5,4,3,2,1=C (los nmeros horarios del reloj) 4) { }9,8=D 5) { }5,4,3,2,1,0=E

II. Respuestas:

1.

= imparnconnynxx ,93,2

1/

2. { }51/ yentreenteroesxx 3. { }71/ yentreparenteroesxx 4. { }alfabetodelletrasltimasesxx 4/ 5. { }enteronconnynxx ,40,31/ +=

138

TURRIOLAText Box

rea Cientifica

139

Matemtica

5 +

217 +

213 10

+ 3 6

III. Respuestas: (Verdadero y Falso)

a. Falso, 5 no pertenece a este conjunto. d. Verdadero, 8 pertenece al conjunto.

b. Verdadero, 5 no est en este conjunto. e. Falso, 12 es par y pertenece al conjunto.

c. Falso, pues 3 es elemento del conjunto f. Verdadero, 21 es equivalente a 0.5 que es

elemento del conjunto

IV. Respuestas. (trazo de grafica sobre el conjunto de los nmeros reales)

1) [2 3 4 5 6 7 8] (son solo puntos, se trata de nmeros enteros)

2) (#############

3) (######################

4) (####################)

5) [##########]

V. Respuestas: (Verdadero y Falso)

1) Verdadero, los elementos 1, 3 y 6 estn contenidos en el conjunto mayor.

2) Falso, 0 no es elemento del conjunto mayor.

3) Verdadero, todos los es tudiantes de secundaria estud ian lgebra.

4) Verdadero, 0 no pertenece al conjunto mayor.

5) Verdadero, el conjunto vacio esta contenido en todos los conjuntos.

VI. Respuestas.

a) { }baBA ,=I b ) { }gfedcbaBA ,,,,,,=U c) { }hgfeC AU ,,,=

d) ( ) { }hecbaCBA ,,,,=UI e) { }hgfedcCC BUAU ,,,,,=U f) { }hcCC BU ,=I

+

139

TURRIOLAText Box


140

VII. Respuestas (propiedades de los nmeros)

1) )6 .avitatumnoC Elemento inverso aditivo

2) )7 avitatumnoC Elemento neutro multiplicativo

3) Asociativa respecto al producto 8) Asociativa respecto a la adicin

4) )9 avitubirtsiD Elemento inverso multiplicativo

5) Elemento neutro aditivo

VIII. Respuesta (Expresiones con desigualdades)

1) 58 y 2) 9.12 > 7) 53 8) 2b 4)

rea Cientifica

141

Matemtica

X. Respuestas: (Simplificacin de expresiones)

1) 16

2) 1

3)2532

4) 16116

5) 1

6) 132b 7) 3

21 c

8) 1140 y 9)

8132

10) 512m

11) 1

12) 22c 13)

5

7

4xy

14) 8

124

xzy81

15) 1

16) 6

4

16ab

17) cd

18) 1

XI. Respuestas: (Simplificacin de expresiones algebraicas)

a) 1410

b) xx 3

c) 3 22 zy2zyx2

d) aba 23 23

e) yx

yx

23

23

2

f) 423 xxs

g) ( )sr2 h) cba27 23

i) a2

b

XII. Respuestas: (expresiones con exponentes fraccionarias)

a) 43

x

b ) ( )32ba + c) ( )2122 yx + d ) 3

15

141

TURRIOLAText Box


142

XIII. Respuestas: (expresiones con radicales)

a) 34

b) ( )3x4 c) 3x4 +

d) ( )34 x+ e) 3 y8

f) 3 y8

XIV. Respuestas: (Simplificacin de expresiones)

1) 64

2) 103

3) 9

4) 312u

5) y8

6) 44w

7) 332

36 yx

8) 111w

9) 21

38

yx

10) x2

1

XV. Respuestas (radicales con menor ndice)

1) x

2) u

3) 3 c

4) 3sr 5) 12 1113 yx

6) 67

ab

142

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rea Cientifica

143

Matemtica

MDULO 2: OPERACIONES CON FRACCIONES ALGEBRAICAS, ECUACIONES LINEALES, ECUACIONES CUADRTICAS E INECUACIONES

Objetivos:

1. Simplificar fracciones algebraicas.

2. Determinar el mnimo comn denominador de dos o ms fracciones algebraicas.

3. Sumar, multiplicar y dividir fracciones algebraicas.

4. Simplificar fracciones algebraicas compuestas.

5. Resolver ecuaciones lineales enteras fraccionarias y con dos incgnitas.

6. Emplear el concepto de ecuacin lineal en la resolucin de problemas de aplicacin.

7. Resolver ecuaciones cuadrticas por los mtodos de factorizacin, completar cuadrado, frmula general.

8. Resolver inecuaciones enteras y fraccionarias.

9. Resolver inecuaciones lineales con valor absoluto.

10. Resolver inecuaciones de segundo grado del tipo ax2 + c 0 ax2 + c < 0 con a 0.

Operaciones con Fracciones algebraicas.

Las expresiones algebraicas que involucran la operacin de divisin se llaman expresiones fraccionarias.

Algunos ejemplos son:

ba

+ 2c; 4 - x

x 22

+;

ab 2+b

a

El tercer ejemplo es lo que se denomina fraccin compuesta o compleja, pues posee fracciones como trminos en

su numerador o su denominador.

Las expresiones fraccionarias aparecen con bastante frecuencia y a menudo se hace necesario reducir las

fracciones compuestas a fracciones simples o cambiar la forma de las expresiones de manera que pueden

combinarse por adicin en una sola fraccin.

Definicin: Se dice que un polinomio A divide a un polinomio B, si A es un factor de B.

Ejemplo: (a + b) divide al polinomio a2 b2 pues a2 b2 = (a b) (a + b) y a + b es un factor de a2 b2.

Definicin: El mnimo comn mltiplo (M. C. M) de un conjunto de polinomios, es un polinomio L, tal que L es

dividido por todo mltiplo comn de M.

Ejemplo: La expresin ab, 2a2, 6b2, 4a2 b3 tienen como M. C. M., 12 a2 b3.

143

TURRIOLAText Box


144

Pasos para encontrar el M. C. M. De un conjunto de expresiones:

1. Se escribe cada expresin en forma factorial: ab, 2a2, 2 3 b2, 22 a2 b3. 2. El M. C. M. debe contener a cada parte a la mayor potencia con que aparece en cualquiera de las expresiones

dadas:

(22) (a2) (b3) (3) = 12 a2 b3 M. C. M.

Observaciones: Se pueden combinar cualquier nmero de fracciones, si se hallan primero las fracciones

equivalentes, todas las cuales tengan un mnimo denominador.

Operaciones con Fracciones Algebraicas

1) Combinar 22 b3a

2ab

32 ++ab

a) El M. C. M. de los denominadores es 6 a2 b2.

b) Luego: ( ) ( ) ( )

22

22

22 6 6a 3a 3b b 2ab 2

b3a

2ab

32

baab++=++

22

33

6a 18 3b 4ab

ba++=

2) 3 -x ) 1 - x ( 2

) 1 - x ( ) 1 x ( ) 3 - x (

3 -x 2 -2x

1 - 9 6x - 2

2

2 +=+xx

1 x ) 3 - x ( 2

) 3 - x ( ) 1 - x ( ) 1 x () 3 - x ( ) 1 - x ( 2

2

+=

+=

3) Divida:

4) Fraccin Algebraica Compuesta:

33

33

22

33b a -

b - a

b1 -

a1

ab -

ba

ab

ab=

)y x ( x

y -x

)3y x (x 3y x

)y - x ( )y x ( 3xy xy -x entre

3y y

2

22

+=

++

+=++

xx

144

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145

Matemtica

22

22

22

22

22

33

b ab ) b a ( ba

) b ab a ( ) a - b (b a ) b a ( ) a- b ( -

) b ab a ( ) a- b (b a b) a ( ) b - a (

+++=

+++=

+++=

a

ab

Ecuaciones Lineales

Ecuaciones: Igualdad entre dos expresiones algebraicas.

Ejemplos

1. x + 3 = 0

2. x2 5 = 4x

3. (x2 9) 3 1 +x = 0 Observaciones:

1. El valor o los valores de la variable que satisface la ecuacin se llaman raz o solucin de la ecuacin.

2. Atendiendo a la solucin o raz se tienen 3 tipos de ecuaciones: Identidad: se verifica para cualquier valor.

Condicional: se verifica para ciertos valores la variable; Contradictoria: la Igualdad no se verifica para

ningn valor.

3. Resolver una ecuacin, significa encontrar todas las soluciones.

4. El mtodo para resolver una ecuacin es transformar la ecuacin original en otra equivalente a la anterior

de manera ms sencilla que la que le precede y terminar en una ecuacin que permita la solucin de la

misma.

Definicin: Una ecuacin de 1er grado en una variable es una ecuacin que puede ser escrita en la forma

ax + b = 0 donde a 0.

Ejemplo: Resuelva la ecuacin: 2x - 5 = 3

Solucin: 2x - 5 = 3

2x = 3 + 5

2x = 8

x = 4

145

TURRIOLAText Box


146

Observacin: A una ecuacin del tipo ax + b = 0 se le llama ecuacin lineal en x.

Definicin: Una ecuacin de primer grado con dos incgnitas es de la forma ax + by = c donde a, b, c son

constantes.

Ejemplo: 1. 3x 4y = 20 2. 2x y = 2 3. x y = 4

Observacin: Una ecuacin de 1er grado con dos incgnitas tiene infinitas soluciones.

Frmula: Una ecuacin que expresa una propiedad o relacin entre magnitudes.

Ejemplo: Resuelva para la variable c la siguiente frmula S = C ( 1 + it )

C it 1

=+S

Aplicacin de la ecuacin de primer grado.

Las calificaciones de un estudiante son 64 y 78. Cunto debe ganar en una tarea o examen para obtener un

promedio de 80?

Solucin:

a) Sea X la calificacin de la tarea o examen.

b) El promedio de los 3 exmenes es: 3

x 78 64 ++

c) Debe tener 80 de promedio: 80 3 x 78 64 =++ y se encuentra que x = 98.

Ecuacin Cuadrtica

Definicin: Una ecuacin cuadrtica es una ecuacin de la forma ax2 +bx +c = 0, donde a, b y c son reales y a 0 Mtodos de Resolucin de la Ecuacin Cuadrtica:

1. Por factorizacin, resuelva: 3x2 + x 10 =0

Factorizacin : 3x2 + x 10 = 0

(3x 5) (x + 2) = 0 3x 5 = 0 y x + 2 = 0

X1 = 35

Y X2= -2

146

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147

Matemtica

2. Por la frmula Cuadrtica: x = a

acbb2

42 , resolviendo 3x2 x 10 = 0, por tanto

a = 3, b = -1, c= -10

( ) ( ) ( )( )

( ) 612011

32103411

x2 +==

61211x =

6111 =x

Luego: 6111

1+=x y

6111

2=x

x1= 2 y x2= -10/6 = -5/3 3. Completando Cuadrado: 3x2 - x 10 = 0 3x2 x = 10

310

3x

3x3 2 =

361

310

361x

31x 2 +=+

36121

61x

2=

6

1136

12161 ==x

611

61x =

2611

61x1 =+= y 3

56

1161x 2 ==

Inecuaciones Lineales Y Cuadrticas

Para trabajar Inecuaciones o desigualdades debemos conocer las 4 propiedades fundamentales:

Sean a, b, c IR. 1. Si a > b y b > c, entonces a > c.

2. Si a > b, entonces a + c > b + c.

3. Si a > b y c > 0, entonces a c > b c.

4. Si a > b y c < 0, entonces a c < b c.

Solucin de una Inecuacin:

Si tenemos una desigualdad o inecuacin en x, y obtenemos un enunciado verdadero cuando un nmero real a,

se reemplaza por x, entonces a se denomina solucin de la inecuacin o desigualdad.

147

TURRIOLAText Box


148

Observaciones:

1. Resolver una inecuacin significa encontrar todas las soluciones.

2. Para resolver una desigualdad se procede en forma anloga a las ecuaciones, esto es, se reemplaza por una

cadena de desigualdades equivalentes hasta llegar a una para la cual la solucin es obvia.

Ejemplo:

1. Resuelva: -3x + 4 > 11, y de la solucin en forma de intervalo, grfica y en conjunto.

Solucin:

-3x + 4 > 11

-3x > 11 4

x < 37

x ( , 37 )

) | - 37 0 +

{ x IR : x < 37 }

2. Resuelva 1 23x - 4 5

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149

Matemtica

Inecuaciones con Valor Absoluto

Para trabajar este tipo de inecuaciones debemos conocer las propiedades de los valores absolutos con

desigualdades.

Si a, b IR

1. | a | < b -b < a < b.

2. | a | > b a > b a < -b

3. | a | = b a = b a = -b

Ejemplo: Resuelva | x - 3| < 0.1

Por la propiedad 1 se tiene que: -0.1 < x 3 < 0.1 Solucin: (2.9, 3.1) o

-0.1 + 3 < x < 0.1 + 3 {x | 2.9 < x < 3.1}

2.9 < x < 3.1

(/////////////////////////////////////) 2.9 3.1

Inecuaciones del Tipo ax2 + C 0

Para este tipo de Inecuaciones se puede despejar x2 y luego aplicando la propiedad.

x2 > d |x| > d1/2 x > d1/2 x < -d1/2

Ejemplo: Resolver -3x 2 + 8 0 -3x2 -8 x2 38 |x| 2

121

21

38 x

38 -

38

Solucin:

38 ,

38 - 2

121

149

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150

Prctica # 2

I. Reduce las fracciones a un trmino mnimo.

1. 6 - a a 2 - a -

2

2

+a

2. 333

323

3x - 36x - y6

yxx

3. 22

2

4xy - 84yx

zxy 4.

9 6a - a27 -

2

3

+a

5. y - x -ay ax y x -ay -

++ax

6. ( )

( ) c b - c - b - a

2

22

2 +a 7. ( )( )( )( )3

23

1 x 1 -x 1 - x 1 - x

+

II. Efectu las siguientes operaciones y simpli fique:

1. y - 3

9 -

3 y 9

2y ++ 2. a - bb

b aa

b - aa +++ 3. ( ) 22 a - b

b - 2a - a b b

a - b - b

1++a

4. ( )( ) ( )( )y - 2 y -x 4 -y - x- 2 x-y x- 4 5. ( ) ++ 1 -x 2 1 x 1 - x 2 6. ( )1 x x- xy -xy

3 +yx

7.

y1

- x1

xy- x

x 2

2x 8. 2 - 9 3a a

4 - a27 - 2

2

3

aa ++ 9.

1 -x x - 1

1 -x x 1+

10.

a1 1

1 - 1

1

+

III. Resuelva las siguientes ecuac iones:

1) 5x 1 = 3x + 2 2) 6x 1 = 2x 13 3) 3 ( 5a 2) + 4 (1 3a) = 0

4) 3 (b + 2) (b - 4) = 0 5) 7 (4y + 15) 6 (8y + 4) = 1 6) ( )6 8x 21

21 -

21 4 +=

x

7) 41

5 - x 31

- 21 =+x 8) 3 2a 1 - 2

3 +=a 9) 34 - 2b - 2 b =

10) 66 -y

- 2 21

-y = 11) 3 21 - a

3

2 - a =+ 12) 65

32 3y

55-2y =++

13) 10 5a - 31 - 2a =

IV. Resuelva los siguientes problemas:

1. Con ob jeto d e aumentar sus ventas , el propietario de una tienda, revuelve nueces de B/. 12.00 el

kilo con 30 kilos de Avellanas de B/. 15.00 el kilo y vende la mezcla a B/. 13.80 el kilo. Cuntos

kilos de nueces necesita? Resp.: 20 ki los.

2. Cinco veces un nmero es 10 unidades ms que el triple del mismo nmero. Hallar el nmero.

Resp: 5.

3. Una barra de 60 cm de longi tud se corta en dos pedazos, uno de ellos es 5 centmetros ms corto que el otro. Hallar la longitud de cada pieza. Resp : 27 cm y 32 cm.

150

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151

Matemtica

4. El numerador de cierta fraccin es 5 unidades mayor que el denominador. Si el numerador se disminuye en

9 y el denominador se aumenta en 1, la fraccin que resulta es . Cul es la fraccin? Resp: 914

.

5. Un lote de 18 monedas de 0.10 y 0.25 tiene un valor total de B/. 2.25. Hallar el nmero de cada tipo de

monedas. Resp: 3 de 0.25, 15 de 0.10.

V. Resuelva las siguientes frmulas para la variable indicada.

1. 1 = a + (n 1)d para n. 2. 2

B) (h'h +=A para h '

3. C = 95

(F 32) para F. 4. m = x- Xy - Y

para y; para X. 5. C = nr +R

nE para n.

VI. Resuelva las siguientes ecuaciones cuadrticas:

1. r4 = 4 2.912 =z 3. x2-49 = 0

4. b2 8 = 0 5. 49 t2 = 4 6. 0218 2 =u

7. (y + 2)2 = 1 8. 4(z + 3)2 = 25 9. 2571 2 =

+r

VII. Resuelva por factorizacin las siguientes ecuaciones:

1. x2 9x + 20 =0 2. x2 + 17x + 70 =0 3. x2 x - 2 =0

4. y2 19 y +84 =0 5. 3m2 + 4m - 15 =0 6. z2 + z =2

7. z2 + 9z =10

VIII. Resuelva completando cuadrado las siguientes ecuaciones:

1. x2 + 2x - 8 =0 2. 3m2 - 6m - 9 =0 3. x2 + 2x =7

4. y2 +y - 6 =0 5. y2 4y + 3 =0

IX.Resuelva por la frmula cuadrtica, las siguientes ecuaciones:

1. 3x2 + 5x + 1 =0 2. 4x2 + 7x + 2 =0 3. 4x2 - 6x + 1 =0

4. 6x2 + x - 35 =0 5. x2 + 4x =3

X.Resuelva las sigu ientes inecuaciones y trace la grfica del conjunto solucin:

1. y 1 > 9 4y 2. -y + 2(9 y ) < 0 3. 2(3m 6) < 6 (2+m)

151

TURRIOLAText Box


152

4. 15(-4 z) > -5(12 3z) 5. ( )10

605202103 + tt 6. |b - 1| > 0

7. |2y - 1| < 5 8. 1 < |4 - k| 9. - | x | 0 10 | u | - 4 3 11. | 3 - w | > 2

XI. Resolver las siguientes Inecuaciones cuadrticas y trazar la grfica del conjunto de soluciones.

1. y2 12 > 0 2. x2 49 0 3. 0218 2 u

4. 49t2 4

RESPUESTAS

I.

1)( )

)3(1

++

aa

2)( )

11y2

2 +++yy

3)yx

zy2 4) 3

932

++

aaa

5) yxyx

+

6) cbacba+++

7) ( )23

11

+

xx

II.

1) 9

22

3

yy

2) 22

222ba

baba

3) ( )22

22

abbaabb

4) ( ) ( )yx 222

5) ( )( )112 ++ xx 6) 1 7) yx 8)

23

+

aa

9) x21 10) 1+a

III.

1) 23=x 2) 3=x 3)

32=a 4) 5=b 5) 4=y

6) 25=x 7)

1867=x 8) 8=a 9) 2=b 10) 3=y

11) 5=a 12)65=y 13)

5231=a

152

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153

Matemtica

IV.

1) 20 kilos 2) 5=x 3) cmbycma 2121 3227 ==

4) 9

14=x 5) 3 de 0.25 y 15 de 0.10

V.

1) d

dan += 1 2) hBhah = 2 . 3) 3259 += CF

4) ( )m

mxyYXxXmYy == ; 5)CrE

CRn =

VI.

1) 2=r (reales) 2)31=z 3) 7=x

4) 22=b 5) 72=t 6) 4

1=u 7) 1;3 21 == yy

8) 21;

211

21 == zz 9) 7

36;

734

21 == rr

VII.

1) 4;5 21 == xx 2) 7;10 21 == xx 3) 1;2 21 == xx

4) 12;7 21 == xx 5) 35;3 21 == mm 6) 1;2 21 == zz

7) 1;10 21 == zz

VIII

1) 4;2 21 == xx 2) 3721

;3

72121

=+= mm

3) 221;221 21 =+= xx 4) 3;2 21 == yy 5) 1;3 21 == yy

153

TURRIOLAText Box


154

6

0

0

-10

3 5

-7 7

1 5

IX. Respuestas:

1) 6

135;

6135

21=+= xx

2) 8

177;

8177

21=+= xx

3) 4

53;

453

21=+= xx

4) 2

-==5

x;37

x 21

5) 72;72 21 =+= xx

X. Respuestas: (Inecuaciones)

1) y >5 (/////////////////////

2) 6>y (///////////////////

3) 0>m (/////////////////

4) 0< yy /////////) (/////////

2) 77 >< yy /////////) (////////

3) 41

41 >< uu /////////] [////////

4) 72

72 >< tt ///////////] [////////

+

+

+

+

154

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155

Matemtica

MDULO N 3: PROPORCIONES Y PROPORCIONALIDAD

Objetivos

1. Simplificar razones.

2. Dis tinguir l as proporciones directas y las inversas.

3. Resolver problemas de apli cacin de proporcin direc ta e inversa.

4. Definir el concepto de tanto por ciento.

5. Resolver problemas de apli cacin sobre el tanto por c iento.

Razones

Razn: Se define como razn la comparacin entre dos cantidades de la misma espec ie. Esta comparacin

puede ser por medio de la diferencia (razn aritmtica) o por medio del coc iente (razn geomtrica). Nos

limitaremos al estudio de la razn geomtr ica que llamaremos simplemente razn.

As, la razn del nmero a al nmero b es el cociente indicado ba

el cual se puede exp resar a:b , y se lee: a

es a b. Los nmeros a y b reciben el nombre de antecedente y consecuente respectivamente. Cabe resaltar,

entonces, que toda razn tiene dos partes.

Ejemplo:

Exprese la razn que hay de 3 pies a 9 pulgadas. Recordando que las cantidades a comparar deben estar en la

misma un idad de medida, esta razn se expresa como: 14

pulg. 9pulg. 36 = 4:1.

Lo que tambin puede calcu larse como: 14

pies

43

pies 3 = 4:1.

Hay t ipos especiales de razn como lo son la velocidad que se da en Km/hr, m/s, etc.

Simplificacin de Razones: Las Razones son consideradas como una fracci n y por el lo podemos afirmar que

si multiplicamos o dividimos ambos trminos de una razn por un mismo nmero, la razn no vara. Si en la

razn 1215

se divide ambos miembros por 3 tenemos: 45

1215= reduc ida a su ms mnima expresin.

Proporcin: Una proporcin es l a igualdad entre dos razones. dc =

ba

, donde a y d son los trminos extremos,

c y d son los t rminos medios y se puede escribir a:b = c:d.

Ejemplo: 5x

43

;5

10

48 ==

155

TURRIOLAText Box


156

Propiedades de las Proporciones: En cualquier proporcin el producto de los medios es igual al producto de

los extremos.

Ejemplo:

Encuentre el valor de x si: 52

15=x

Solucin: 5x = (15)(2)

6 5

30 x

==

x

Proporcin Directa e Inversa

Proporcin Directa: Si dos variables estn relacionadas de tal forma que el aumento o la d isminucin de una

causa el aumento o disminucin de la otra, entonces se dice que la primera vara directamente con la otra. As

cuando y vara directamente con x, podemos escribir: y = kx (k es la. constante de proporc ionalidad).

Ejemplo:

a. La longitud de una circun ferencia C es directamente proporcional a su dimetro

C = Kd. (mayor dimetro, mayor longitud).

b. La distancia recorrida por un mvil en tiempo constante es directamente proporcional a su

velocidad d = KV. ( a menor velocidad, menor distancia recorrida).

Proporcin Inversa: Si dos var iables estn relacionadas de tal forma que el aumento o d isminucin en una

causa la disminucin o aumento de la otra, entonces se dice que la primera vara inversamente con la otra.

Cuando Y vara inversamente con x, tenemos: y = xk

(k es la constante de proporcionalidad).

Ejemplo:

A temperatura constante, el volumen de una masa de gas es inversamente proporcional a la presin pk V =

(a mayor presin, menor volumen).

Problemas de aplicacin:

El costo C de producir x nmero de artcu los vara directamente con x. Si cuesta B/. 560.00 producir 70

artculos, cul es el valor de C cuando x = 400?

156

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rea Cientifica

15 7

Matemtica

Solucin:

C = kx Luego:

560 = k (7 0) C = 8 (400)

k 70

560 = C = 3,200.00 k = 8 Cuesta B/. 3,200.00 prod ucir 400 artculos.

1) Y vara inversamente con x. Encuen tre la constante de proporc ionalidad cuando y = 15 y x = 1/3.

Solucin:

xk

y =

15 =

31k

( ) k = 1531

k = 5

2) Z vara directamente proporcional con x. Encuentre la cons tan te de proporcionalidad cuando

Z = 4 y x = 32 .

Solucin: z = kx

4 = k

32

212

= k

6 = k Tanto Por Ciento: Tanto por ci en to de un nmero es una o varias de las cien partes iguales en que se puede

dividir el nmero. El smbolo es % y si gnifica dividir por c ien. Por ejemplo 20% = 51

10020 = .

Ejemplo: Al Calcular el 20% de 80 es d ividir 80 en cien partes y lu ego tomar 20 de esas partes.

16 20 x 54

54

1 0080 == , se puede hacer rpidamente calculando: 16 80 x

10020 = .

Problemas de A plicacin de Tanto Por ciento: Los problemas de tanto por c iento se pueden resolver uti lizando

razones y proporciones. En un problema de tanto por c iento siemp re encontramos tres datos conocidos y uno

desconoc ido. El dato desconocido puede ser un nmero dado como total; un tanto por c iento, o u na parte de un

nmero.

157

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158

Ejemplo:

a) Qu % es 75 de 1250? Resolviendo como proporcin 6%. 1250

100 x 75 x 100

x 1250

75 ===

b) Encuentre el 35% de 180. 63. 100

35 x 180 x 180

x 10035 ===

c) De qu nmero 46 representa el 23%?. 200. 23

46 x 100 x x46

10023 ===

d) Pedro tena que pagar B/. 90.00, si le rebajan el 5% de su deuda. Cunto tiene que pagar?

Solucin: x = 4.50 10045

1005 x 90 ==

Tiene que pagar 90.00 - 4.50 = B/. 85.50

158

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rea Cientifica

159

Matemtica

PRCTICA

I. Exprese las razones siguientes simplificando:

a) 6440

b)

38

54

c) m 40m 20

d) 22 y - x

y -x

II. Hallar el valor de x en las siguientes proporc iones:

a) x3

32 = b)

86

x 5 x 3 =+

+ c)

25

43

5.3 =x

d) 2:x : : 4:3 e) (5-x) : (x+3) : : 3:5

III. Resuelva los siguientes problemas de proporcionalidad.

a. Los de la capacidad de un estanque son 500 l itros Cul ser la capacidad de los 83

del mismo

estanque?

b. Una persona camina 9 Km, en dos horas. Cunto tardar en caminar 30 Km.?

c. Si x es directamente proporcional a y, para x = 8, y = 3. Hallar x cuando y = 2.

d. Si x es inversamente proporcional a y. Para x = 8; y = 3. Hallar x cuando y = 2.

e. Si una pelota rueda por un plano inclinado, la distancia recorrida vara directamente como el cuadrado del

tiempo. Si la pelota recorre 12 centmetros en 2 segundos, a qu distancia rodar en 3 segundos?

IV. Resuelva los problemas de apl icacin de tanto por cien to.

a) Una camisa me cuesta B/. 15.00. A cmo tengo que venderla para ganar el 20% del costo?

b) Una caja pesa el 8% de su contenido. Si el contenido pesa 275 kilos. Cunto pesa la caja?

c) Qu nmero aumentado en el 75% de s mismo es igual a 140?

d) Un vendedor vendi B/. 460.00 y su comisin fue de 69.00. A qu porcentaje le estn pagando?

e) En una fbrica el 8% de las mquinas se descomponen y se reemplazan por nuevas. Cuntas mquinas

haba en la fbrica si las mquinas descompuestas fueron 144?

Respuestas:

I. a) 85

b) 103

c) 21

d) y x

1+

II. a) 29

b) 3 c) 3

35 d)

23

e) 2

III. a) 250 litros b) 320

Horas. c) 3

16 d) 12 e) 27 cm.

IV. a) B/. 18;00 b) 22 kilos c) 80 d) 15% e) 1800 mquinas.

159

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160

MDULO 4: LA RECTA; LA CIRCUNFERENCIA; LA PARBOLA; LA ELIPSE Y LA

HIPRBOLA.

Objetivos

1. Definir el concepto de pendiente de una recta.

2. Determinar la ecuacin de la recta:

a) Dados dos puntos de ella.

b) Dado un punto y la pendiente.

3. Encontrar la ecuacin de la recta que es paralela o perpendicular a una recta dada.

4. Determinar la ecuacin cannica y la ecuacin general de la c ircunferencia con centro en (0,0), conociendo

el rad io.

5. Determinar la ecuacin cannica de una parbola con vrtice en (0,0) conociendo alguno de sus elementos.

6. Dada la ecuacin general de la parbola con vrtice en (0,0) determinar sus elementos.

7. Determinar la ecuacin cannica de la elipse con centro en (0,0) conociendo algunos de sus elementos.

8. Dada la ecuacin general de una elipse con centro en (0,0) determinar sus elementos.

9. Determinar la ecuacin cannica de la h iprbola con centro en (0,0) conociendo algunos de sus elementos.

10.Dada la ecuacin general de una hiprbola con centro en (0,0) determinar sus elementos.

11.Dada una de las ecuaciones generales identificar el tipo de lugar geomtrico a que corresponde.

La Recta: Una ecuacin de la forma y = mx + b, donde m y b son nmeros reales, puede representarse como una

recta en el plano cartesiano, en ella m es la pendiente y b la interseccin con el eje y.

Ejemplo: y = 3x + 5, la pendiente es 3 y el punto de interseccin es (0,5).

Pendiente de una Recta: Dados dos puntos cualesquiera A(x1 y1) y B(x2, y2) de una lnea recta, el valor de la

pendiente (denotada por m) es: 12

12

xxyym

=

Recordemos que la pendiente se puede definir como la tangente del ngulo de inclinacin de la recta, Y...

m =tan

160

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rea Cientifica

161

Matemtica

Ejemplo: Dado los puntos A (-2, -1) y B(-3, 2). Encuentre la pendiente.

31

3)2(3)1(2 ==

=m

Ecuacin de la Recta; La ecuacin de la recta que pasa por un punto P(x,y) y tiene pendiente m es:

y-y1=m (x-x1)

A esta ecuacin se le llama punto pendiente.

Ejemplo: Hallar la ecuacin de la recta que pasa por los puntos A(1, 5) y B(-1, 1)

Solucin:

224

1115 ==+

=m

y 5 = 2(x-1)

y = 2x +3

Ejemplo: Hallar la ecuacin de la recta que pasa por el punto 31,

52,3 =

mP

Solucin:

( )( )

33

52

331

52

=+

=

xy

xy

15y 5x = -21

Rectas Paralelas y Perpendiculares:

Si dos rectas L1 y L2 tienen pendientes respectivas m1 y m2 se tiene lo siguiente:

a. L1 y L2 sern paralelas si sus pendientes son iguales; m1 = m2

b- L1 y L2 son perpendiculares si una de sus pendientes es el opuesto del reciproco de la otra;

21 m

1m =

Ejemplo:

Encontrar la ecuacin de la recta que pasa por el punto P(-1 ,-2) y es perpendicular a la recta

2x + 5y + 8 = O

52

m58

x52y -- == La ecuacin de la recta es: ( )( )1

25)2( = xy

2y - 5x = 1

161

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162

La Circunferencia: La circunferencia es el conjunto de todos los puntos P(x,y) cuya distancia a un punto fijo

llamado centro C(h,k) es constante. Esta distancia constante se denomina radio y se denota r.

La ecuacin general de una circunferencia es x 2 + y2 + Dx + Ey +F = 0 y la forma cannica (x-h)2 + (y-k)2 = r2

En particular, si el centro es el origen (0,0), la ecuacin se reduce a: X2 + Y2 = r2 (Forma Cannica).

Ejemplo: Encuentre la ecuacin de la circunferencia con centro (0,0) y que pasa por el punto ( 0, 5).

Solucin: como el punto (0 ,5) es parte de la circunferencia ste satisface a la ecuacin X2 + Y2 = r2,por

lo tanto (0)2 + (5)2 = r2 de esto r2 = 25, que finalmente obtenemos x2 + y2 = 25

Prctica

I. Escriba las ecuaciones de las rectas que tienen las siguientes condiciones:

a) Pasan por los puntos A (-1,4) y B (3,2).

b) La pendiente m = -4 y corta al eje y en el punto (0,7),

c) La pendiente m = -0.25 y pasa por el punto (0,0),

d) Es perpendicular a la recta 3x+y-9=0 y pasa por el origen.

e) Es paralela a la recta 4x - 9y + 5 = 0 y pasa por el punto (2,3).

f) Pendiente 0 y con ordenada al origen 5.

g) Pasa por el punto (3,-3) y es paralela a la recta que pasa por los puntos (-1, 2) y (3,-1).

h) Determine el valor de k en la ecuacin de la recta kx -3y = 0 que es perpendicular a la recta y= 2x + 4

i) Determine la ecuacin de la recta con pendiente m = 3 y que intercepta a y en -2.

j) Determine la ecuacin de la recta con intercepcin con el eje x, en 1, y el eje y, en - 3.

k) Determine la ecuacin de la recta que pasa por (4, 5) y es paralela al eje x.

l) En la ecuacin 3x - 4y = 12, determine la pendiente y la intercepcin de la recta con los ejes .

II. Encuentre la ecuacin de la circunferencia que tiene las siguientes condiciones:

a) Centro (0,0), y pasa por el punto (-7,-9).

b) Centro en el origen y es tangente a la recta y = 4.

c) Con centro (0,0) y la recta 2y = 3x - 5 se intercepta con la circunferencia en el punto de interseccin con e!

eje y,

d) Centro en el origen y radio igual a 7 .

e) Indique qu representa la ecuacin (x -0)2 +(y -0)2 = 0?

f) Determine la ecuacin de la circunferencia con centro (0,0), y que pasa por el punto P (-7,9).

g) Determine el valor de y, si x = -3 en la ecuacin x2 + y2 = 25.

162

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163

Matemtica

h) Dada la ecuacin x2 + y2 = 100. Encuentre las ecuaciones de las rectas tangente a esa circunferencia en el

punto (x,8) y que tiene pendiente m = 3.

Respuesta: y - 3x + 10= O, y - 3x - 26 = 0.

La Parbola

La funcin f(x)= ax2+ bx + c;. a 0, se puede representar en una grfica llamada Parbola,

Definicin: una Parbola es el conjunto de todos los puntos A(x,y) del plano que equidistan de una recta fija

L y de un punto fijo F.

Elementos de la Parbola:

La recta L se llama directriz y el punto fijo F es el foco y adems tiene otro elemento V llamado vrtice. que es

el punto medio entre el foco y la directriz.

Eje de una parbola: recta que contiene al foco y que pasa por el vrtice

La ecuacin general de la parbola con vrtice en el origen (0,0) es x2 + Ey = 0 con eje x = 0 y cuya ecuacin

cannica es x2 = 4py ; donde p es la distancia del foco al vrtice, la ecuacin general de la parbola con vrtice

en el origen (0.0) es y2+Dx = 0 con eje y=0 y cuya ecuacin cannica es y2 = 4px ; donde p es la distancia del

foco al vrtice.

La Parbola con vrtice en (0,0) puede tener cuatro posiciones bsicas dependiendo del eje donde se encuentre

el foco, si est sobre el eje horizontal o el o vertical, as tenemos el siguiente cuadro:

Ecuacin Vrtice Eje Foco Directriz Grficamente la parbola debe abrir X2 = 4Py (0,0) X = 0 (0, P) Y = P Hacia Arriba X2 = - 4Py (0,0) X = 0 (0, -P) Y = P Hacia Abajo Y2 = 4Px (0,0) Y = 0 (P, 0) X = P Hacia la derecha Y2 = - 4Px (0,0) Y = 0 (-P, 0) X = P Hacia la Izquierda

V(0,0)

( )pF ,0 ( )yxA ,

( )pxA ,

AFAA =

L

163

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164

Prctica

1.Dada la ecuacin y = x2, encuentre el foco y la directriz.

2.Obtener el foco e indicar hacia donde se extiende la grfica de la parbola x = 81

y2.

3. Complete el siguiente cuadro:

Ecuacin Eje Foco Directriz Grfico -2x2 = y y2 = 12x y2 =-10x

x2 + 4y = 0 I

4. Encuentre la ecuacin cannica de la Parbola que satisface las condiciones indicadas.

a) Vrtice (0,0) eje x = 0, pasa por (-1,4).

b) Vrtice (0,0), eje y = 0, F (2,0).

c) Dada la ecuacin y2 - 10x = 0. Encuentre el foco y la directriz.

d) Encuentre los puntos de interseccin de la Parbola x = y2 y la recta y = x 2.

e) Explique porque la Parbola x = y2 no se intercepta con la recta x = -1.

Respuestas:

1) Foco

41 0, , directriz y =

41 .

2) Foco (-2, 0), hacia la izquierda.

3)

Ecuacin Eje Foco Directriz Grfica

-2x2 = y x = 0

81- 0, y =

81

,

y2 = 12x y = 0 (3, 0) x = -3

y2 =-10x y = 0

0 ,25 - x =

25

x2 + 4y = 0 x =0 ( )1,0 y =1

I

164

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165

Matemtica

Elementos de la Elipse:

El centro de la elipse es el punto medio del segmento de recta F1 y F2.

El eje mayor de una elipse es el segmento rectilneo que pasa por su centro, contiene los focos y

sus puntos extremos llamados vrtices estn en la elipse V1 y V2.

El eje menor es el segmento de recta que pasa por el centro, perpendicular al eje mayor.

La ecuacin general de la elipse con centro en (0, 0) es Ax2 + Cy2 + F = 0; con A y C positivos.

La ecuacin cannica de la elipse con centro (0,0) y eje mayor y = 0 es 1 y

22

2

2

=+ba

x;

donde c2 = a2 b2 ; .ba ?

P

1V 2V

1V

2V

F2 F1

L1 L2

( ) ( ) KPFdPFd =+ 21

4)

a. y = 4 x 2

b. y 2 = 8 x

c. F ( 5 , 0) ; x = - 5 2 2

d. (1, -1) ; (4, 2)

La Elipse

Definicin: Una elipse es el conjunto de puntos, P(x, y) del plano, tales que la suma de las distancias entre P y los

puntos fijos F1 y F2 llamados focos, es constante e igual a 2a.

165

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Di'ein Garel de A.n8atn

La ecuacin cannica de la elipse con cenho (0, 0) y eje mayor x = 0; es; donde C = d- a'z; a 9, entonces d eje mapr est sobre Y'

a2 = 18 y b, = 9, entonces a=3it y r=3 por condgdente los vrtlces sont (O,3"D)y @,- 3"8),Para enconbar ef foco utlllzamos = I -, C =18 - 9 entonces cE 3esto lmpllcr que 106 focos son: Fr(0,-3)y Fd0,3).

J-2,

l*..,a"\\"'

x

)io, -Jz

EjeX,y = o

EieY,x = 0

142

166

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143

Matemtica

Ejemplo 2:

Obtenga la ecuacin de la elipse con un foco en (2,0) y un vrtice en (5,0)

Como el foco esta en el eje x la ecuacin es de la forma 12

2

2

2

=+by

ax

c = 2; a = 5; b2 = 25 4 =21. Entonces la ecuacin pedida es 12125

22

=+ yx

Prctica

I. Encuentre los vrtices y los focos de las siguientes ecuaciones de la elipse.

a) 12516

22

=+ yx b) 110

22 =+ yx c) 2

48

22

=+ yx d) x2+ 6y2= 6 e) 4x2+ 7y2 = 28

II. Obtenga la ecuacin de la el ipse que satisfaga las condiciones indicadas:

a) Centro (0,0), Vrtice (5,0); b = 2.

b) Vrtice (0, 7); interseccin con x = 4.

c) Vrtice (0, 4); Focos (0, 2).

d) Qu puede Ud. Deducir de la ecuacin de la elipse? 11616

22

=+ yx Respuestas

I.

a) ( )3,0;)5,0( FV b) ( )3,0;)10,0( FV c) ( )0,2;)0,22( FV d) ( )0,5;)0,6( FV e) ( )0,3;)0,7( FV

II.

a) 1425

22

=+ yx b) 14916

22

=+ yx c) 11612

22

=+ yx

167

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144

La Hiprbola

Definicin:

Una hiprbola es el conjunto de puntos P(x,y) del plano, tales que la diferencia de las distancias entre dos puntos

fijos F1 y F2 llamados focos, es una constante.

Elementos de la Hiprbola:

Sobre el eje de la hiprbola se encuentran los Focos y los Vrtices de ella. Adems se le llama eje transversal

Una hiprbola consta de dos curvas separadas. El centro de la hiprbola es el punto medio del segmento F1, F2.

La definicin de la elipse y la de la hiprbola son muy parecidas con excepcin de la palabra "suma" para la elipse y

"diferencia" para la hiprbola; por ello sus ecuaciones difieren en los signos.

La ecuacin general de la hiprbola es:

Ax2 + Cy2 + F = 0; con A y C de signos contrarios.

La ecuacin cannica de la hiprbola con eje x es 122

2

2

=by

ax

donde c2 =a2+b2.

La ecuacin cannica de la hiprbola con eje y es 122

2

2

=bx

ay

= 1 donde c2 = a2 +b2

La hiprbola solo intercepta el eje en el cual estn los focos, este eje pasa por su centro y se llama eje

transverso, el eje perpendicular al transverso se llama eje conjugado.

1V 2V 1F 2F

P ( ) ( ) KPFdPFd = 21

168

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145

Matemtica

Las ecu ac iones y e lem entos de la hiprbola con centr o en (0,0) , estn dadas en e l siguiente cuadr o.

Ecuac i n V rtice Ej e Fo co E x tre m o del Ej e

T ransve rso E xtrem o s d e l

Ej e Co njugado

1 y

- 22

2

2

=ba

x (a, 0) Eje X, y = 0 ( c, 0) (a , 0) (0, b)

1 x - 22

2

2

=ba

y (0, a) Eje Y , x = 0 (0, c) (0, a) (b, 0)

As n tota s: Rectas que pasan por e l centr o de l os e jes de coordenadas. Ver fi gura .

L as ecu ac iones de es as r ectas se pueden obtener de las ecuaciones canni cas as :

0 by

ax

by -

ax 0 y -

2

2

2

2

=

+

=ba

x

De donde las ecuacion es d e las asntot as son :

E je m plo 1: Obtener l os vrti ces, focos y asntotas de la hiprbola cu ya ecuacin es 1 9

y - 2

2 =x

C om o x 2 es positiv a , esta hiprbo la tiene e je transverso horiz onta l, a = 1 , b = 3 , c = 10 . V rtices (1, 0) . Foco ( 1 0 , 0). A sntotas y = 3x , y = - 3x.

E je m plo 2 : Halle la ec uac in de la hiprbola con cent ro (0,0) , v rtic e (3, 0) y fo co (5, 0). S e l v rtice y el foc o estn en e l e je x , la hipr bola tiene e l e je tr ansver sa l horiz onta l. a = 3, c = 5, b = 4. La ec uacin es

1 16y

- 9

22

=x

xaby = x

aby =

b

a

169

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146

PRCTICA

I . Obtenga los vr tices, focos y asntotas de l as si guientes hiprbolas:

a) 1 9y

- 16

22

=x b) y2 x2 = 9. c) 4x2 25y2 = 100 d) x2 y2 = 1.

e) y2 - 4

2x = 1

II. H allar la ecuacin de la hiprbola que satisface las condi ciones dadas:

a) Centro (0,0), Vr tice ( 3,0), un foco en (5,0). b ) Centro (0,0), Vr tice ( 0,1), foco en (0, 3).

c ) Centro (0,0), Foco

0 ,25

, longitu d del eje conjugado 2.

d ) Longi tud del eje conjugado 6, longitud del eje transversal 8, cent ro en (0,0) y eje pr incipal y = 0.

e) Centro en (0,0), eje trans verso en x = 0 y pasa por los puntos P1(-2,4) y P2(-6,7).

III . D adas l as si guientes ecuaciones generales, identi fi car el tipo de lugar geomtrico que

corresponde.

a) 4x2 25y2 = 10 0 b) y = x2 + 4x + 6 c ) 9x2 + y2 = 9 d) 16x2 + 144 = 9y2.

Respuestas:

I. a) V(4,0), F(5,0), y = 43

x b ) V(0, 3), F(0, 3 2 ), y = x.

c) V( 5,0), F( 29 ,0), y = 52

x d) V(1,0), F( 2 ,0), y = x.

e) V(0, 1), F(0, 5 ), y = 2x

II. a) 1 16y

- 9

22

=x b) y2 - 8

2x = 1 c) 4x2 21y2 = 21

d) 1 9

y -

16

22

=x e) 32y2 33x2 = 38 0 II I.

a) Hip rbola b) Parbola c) E lipse d) H iprbola

170

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rea Cientifica

147

Matemtica

MDULO 5: RELACIONES Y FUNCIONES

Objetivos

1. Determinar el domino y el rango de una relacin .

2. Clasificar funciones de acuerdo a la expres in que la d efine.

3. Analizar el comport amiento de la grfica de una funcin cuadrtica.

4. Determinar el dominio de cada una de las func iones algebraicas especiales.

5. Definir funcin exponencial .

6. Enunciar las propiedades generales de la g rfica de la func in exponenc ial.

7. Enunciar las propiedades generales de la g rfica de la func in logartmica.

8. Dar la definicin de logaritmo.

9. Aplicar las propiedades de los logaritmos.

10. Resolver problemas de aplicacin de las funciones exponenc iales y logartmicas.

Producto C artesiano: Sean A y B dos conjun tos, el conjunto A x B = {(x, y) / x A : y B} se le llama producto cartesiano, los elementos del conjunto reciben el nombre de par ordenado.

Relacin

Definicin: Una relacin es un conjun to de pares ordenados, de nmeros reales . El conjunto de los primeros

elementos de los pares se llama dominio de la relacin y el conjun to de los segundos elementos se

llama rango de la relac in.

Nota: Rango, recorr ido, codominio, conjunto de imgenes s ignifican lo mismo.

Ejemplo: El con junto de pares de nmeros: {(3,4),(3,5),(6,10),(8,15)} define una relacin. El conjun to {3,6,8}

es el dominio y el conjunto {4, 5 , 10, 15} es el rango.

Nota: Una relac in se puede representar por medio de una ecuacin .

Funcin

Definicin: Una funcin es una relacin tal que a cada elemento del dominio le corresponde un nico

elemento del rango. Esto es que el con junto de los p ares ordenados no puede contener dos pares

diferentes con el mismo primer elemen to.

Nota: Toda funcin es una relacin , pero no toda relac in es una funcin.

Ejemplos:

1. R1 = {(0,1), (2,3), (4,5), (6,7)} define una func in, pues no hay dos pares con el primer elemento

igual.

2. R2 = {(2,-1), (2,1), (4,-5), (7,2), (9,-3)} no define una func in pues hay pares d iferentes con el primer elemen to igual.

171

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148

Una funcin queda definida por su dominio y la ley de correspondencia asociada a l, que indica cmo se obtiene

la imagen de cada elemento x que est en el dominio de la funcin.

Con frecuencia nos referimos a una funcin en general de una manera simblica y es una funcin de x y

escribimos: .

y = f (x)

En esta notacin, el smbolo f representa la funcin.

x f(x) Entrada Salida

(dominio) (imagen)

Denotaremos al Dominio por Df y al Codominio por Cf.

Ejemplo:

Sea la funcin f(x) = 2x3, cuyo dominio es IR, si definimos como dominio a los elementos del conjunto

D = {0, 1, 2, 3} entonces el conjunto de pares ordenados asociados a esta sern: {(0,0), (1,2), (2,16), (3,54)}.

Si f(x) = 2x3, el dominio {0, 1, 2, 3} define el conjunto {(0,0), (1,2), (2,16), (3,54)}

Ejemplo:

En cada una de las funciones dadas encontrar el dominio y el rango de la funcin:

1. f(x) = x2.

Df = R

Para toda x R, sabemos que x2 0, luego Rf = [0, ) En la prctica, un mtodo para encontrar el recorrido es:

a) Como y = f(x), escribimos y = x2.

b) Despejamos x en funcin de y, obtenindose: x = y . c) Determinamos el conjunto de todos los valores y para los cuales la ley de correspondencia este bien

definida.

d) En este caso: x = y y 0 Cf = [0, +). . Nota: Existen funciones para los cuales el dominio y el codominio quedan restringidos a un subconjunto de

nmeros reales.

2. Para la funcin f(x) = 4 - 2x , debemos buscar valores de x que hagan posible que la raz cuadrada sea un nmero real.

f

172

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rea Cientifica

149

Matemtica

Se debe cumplir que para toda x en el dominio de la funcin f, x2 4 0 x2 4 |x| 2 x -2 x 2, luego, Df = (-, 2] [2, ). Para el recorrido procedemos de la siguiente manera:

y = 4 - 2x x2 = y2 + 4 x = 4 2 +y se observa que por medio de la ley de correspondencia (x en funcin de y), y puede ser cualquier

nmero real, pero como y es igual a y = 4 - 2x y la raz cuadrada es positiva, entonces

necesariamente es y 0, por lo tanto, Cf = [0, +).

3. f(x) = 1 - x

x debemos buscar valores de x para los cuales el denominador sea diferente de cero. Df =

IR {1}

Para el recorrido procedemos de la siguiente manera:

y = 1 - x

x y(x l) = x yx y = x yx x = y x (y 1) = y x =

1 - yy

entonces: y 1, el Cf = R {1}

Clasificacin de Funciones:

A. Funciones Algebraicas:

Definicin: Se dice que una funcin de una variable x es algebraica si x esta sometida a un nmero finito de

una o varias de la operaciones bsicas del lgebra.

Entre las funciones algebraicas tenemos:

a) Funcin Constante: Esta funcin le asigna el mismo nmero real a cada elemento del dominio.

f(x) = k y K R

Df = R Cf = k

b) Funcin Polinomial: esta funcin esta definida por un polinomio cualquiera y se expresa como:

f(x) = anxn + an-1xn-1 + ... + a1x + ao. Su dominio es todo R

k F(x) = k

173

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150

Dentr o de las func iones polinom iales, se ti en e: 1. Funcin Lineal: E sta funcin es de la forma:

f(x ) = m x + b; m, b R , m 0, donde Df = R y el C f = R . Eje mplo: y = 3x + 1

Cuya gr fic a es:

Nota: La grfica de una funci n l ineal es un a r ecta en el pl ano ca rtesia no .

2. F uncin Cua drtica: E sta fu ncin es de la forma:

f(x) = ax 2 + bx + c , a 0, donde a, b, c R. Df = R Nota :

1) La grfica de una func in c uadrtica s e puede di bujar tabulando alg unos p ares ordenados, luego

unindolos por medio d e u na c urva suave y c ontinua cu yas coordenadas sat isfagan la ec uac in

cuadrtic a dada.

2) Cuando el c oefi ciente de x2 es pos itivo, la cur va abre hac ia ar riba; cuand o es n eg at ivo, la curva abre

hacia abajo.

3) La grfic a de la funci n cuadrtic a es una parbola.

4) El vr tice de una parbola esta det erm inado p or V(x, f(x) ) donde x = ab

2 .

5) El codom inio depende del vrtice y h ac ia adon de abre l a c urva (hacia arrib a o haci a abajo).

Ejem plo:

La funcin f definid a por : f(x ) = - x2 x + 4.

Solucin:

Dom inio: Df = IR

Codom inio: B uscamos el vr tice x = -1; y = 29

. V

29

1,

Abr e haci a abajo ya que a = - < 0.

El codom inio ser; C f = ( - , 9/2], cu ya grfica es:

174

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rea Cientifica

151

Matemtica

Comportamiento de la grfica de una funcin cuadrtica a trav s de l discrim inante

Sea y = ax2+ bx +c . Haciend o y = 0, obtenemos la ecuacin ax2 + b + c =0 cuyas races son:

a

acbbx2

4212

= La expresin b2- 4ac es el d iscrim inante de la ecuacin.

1. Si b2 4ac > 0, entonces la parbola corta al eje x en dos puntos

2. Si b2 - 4ac = 0 entonc es l a parbola ti en e vrtice en el eje x

3. Si b2-4ac < O entonces la p arbola no corta al eje x,

a < 0 a > 0

a < 0

a > 0

175

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152

Ejemplo: sea y = x2 + x - 6, indique si la grfica corta el eje x.

Solucin: a= 1, b = 1.c= - 6, b2 - 4ac = 1-4(1 )(-6) = 25,

Como b2 - 4ac > 0 entonces la parbola corta al eje x en dos puntos, adems como a > 0. la curva se abre

hacia arriba.

c). Funcin Racional: Es ta funcin es de la forma f (x) = )()(xQxP

donde P(x) y Q(x) son polinomios. Por

ejemplo, 2

12)(2

++=

xxxxf

Ejemplo: determine el dominio y codominio de 14

5)( += xxf

Solucin: Df= {x R| x 41 }

Nota: Para x = 41 , f(x) no est definida, luego

41 no es elemento del dominio de la funcin.

Para el codominio, procederemos a despejar la x

1x45

y +=

Y (4x +1) = 5 =

yyx

45=

luego Cf= {y r / y 0}.

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rea Cientifica

153

Matemtica

Funciones Trascendentes:

Definicin: una funcin trascendente es aquella que no se puede expresar por un nmero finito de operaciones

algebraicas. Por ejemplo, las funciones exponenciales y logartmicas.

a-) Funcin Exponencial: es aquella en que la variable aparece como exponente.

Ejemplo: f(x) = 2x, f(x) = x

21

, f (x) = ex,

Definicin: sea a > o, a 1. La funcin exponencial de base a, se define por f(x) = ax para todo x R. El dominio est consti tuido por todos los nmeros reales, es decir Df=R

El condominio lo forman los nmeros reales positivos, es decir Cf=[0,) Ejemplo: Trace la grfica de f(x)= 2x

Observaciones:

1. Una funcin exponencial no se define para una base negativa puesto que si a = - y x = , entonces

(- ) no tiene sentido en R. Tampoco se define para a = 1, ya que en este caso 1x = 1 para todo x

R y el comportamiento de la funcin es diferente. 2. Para a > 1, la funcin f(x) = ax es creciente y

para 0 < a < 1, la funcin f(x) = ax es decreciente (grafique y = ()x )

3. La grfica de f(x) = ax s iempre esta por encima del eje x.

4. Para toda x, ax 0. 5. Como a0 = 1, (0, 1) es un punto en la grfica de cualquier funcin exponencial.

6. La grfica de y = x

a

1es simtrica a la grfica de y = ax con respecto al eje y.

b) Funcin Logartmica: Es aquella que se puede representar por y = loga X, donde la base a es

positiva y a 1. La funcin logar tmica se define con base a la funcin exponencial.

177

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154

Definicin: Sean a > 0, a 1. La funcin logartmica de base a, se define por y = loga x x = ay Grfica de y = log2 x.

Observaciones:

1. La grfica de y = loga x corta el eje x en el punto (1,0).

2. La grfica y = loga x es creciente si a > 1 y decreciente si 0< a

rea Cientifica

155

Matemtica

Solucin:

(loga x2 + loga y) loga (x + 2)3 = loga (x2 y) loga (x + 2)3 = loga ( )321

2

2+xyx

PROBLEMAS DE APLICACIONES

Ejemplo: Supongamos que el nmero de bacterias por milmetro cuadrado, en un cultivo crece

exponencialmente con respecto al tiempo. El da martes haban 2000 bacterias por milmetro

cuadrado, El da jueves aument el nmero a 4500.

a) Encontrar la ecuacin particular.

b) Predecir el nmero de bacterias por milmetro cuadrado que habra en el cultivo el

da jueves de la siguiente semana.

Solucin:

a) Sea y el nmero de bacterias por milmetro cuadrado. Sea t el nmero de das a partir del

martes. Como y vara exponencialmente con respecto a t. La ecuacin general es y = A0 at, y los pares

ordenados dados son (0,2000) y (2, 4500). Sustituyendo (0,2000) genera: 2000 = A0 a0 A0 = 2000.

Sustituyendo 2000 para A0 y (2,4500) para (t, y) se obtiene: 4500 = 2000 a2

a = 1.5 2.25 20004500 == , luego la ecuacin es y = 2000(1.5)t

Esto lo podemos representar en una tabla de valores.

t Martes 0 Jueves

2 Otro jueves

9

y 2000 4500 ?

b) Para el siguiente jueves, t = 9, luego y = 2000(1.5)9 76887 bacterias/mm2.

179

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156

Prctica

1. De las siguientes relaciones ind icar cuales son func iones:

a) {(1,2), (3,4 ), (5,7), (8,3)}

b) {(1,2), (1,3), (1,4 ), (1,5)}

c) {(1,6), (2,6), (3,6), (4,6)}

2. Sea f(x) = 2x2 + x 1, calcular:

a) f(0) b) f(-1) c) f(x + h) d) h

f(h) - h) f(x +

3. Encuentre el dominio y recorr ido de cada funcin:

a) f(x) = 5 x + b) g(x) = 2x2 c) f(x) = |x-3| d) f(x) = 5x 6 e) f(x) =

1 x 1+ f) f(x) = 16 - x

2

4. Trace la grfica de la funcin:

a. f(x) = -3x2 + 6 b) f(x) = 4x2 + 2x 3

5 Clasifique las siguientes funciones:

a) h(x) = 3x2 x 12 b) g(x) = 1 x

x+ c) f(x) = 4

d) f(x) = x3 +2x2 +1 e) f(x) = -4x + 2.

6. Trace la grfica de las siguientes funciones cuadrticas, muest re su vrtice e interseccin con los ejes si,

existe.

a) g(x) = x2 x 12 b) f(x) = -3x2 + 5x 4 c) f(x) = 3x2 +6x+12.

7. Hacer la grfica de cada funcin en el intervalo indicado.

a) y = 3x, x [-4, 3] b) y = x

21

, x [-4, 5] c) y = log 3 x, x [0, 9]

8. Transforme las siguientes expresiones a la forma lo gar tmica:

a) 34 = 81 b) (32)1/5 = 2 c) (2/3)3 = 278

d) 5-1 = 51

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rea Cientifica

157

Matemtica

9. Tr an sform e las sig uientes expr esiones a la form a exp onen cia l.

a ) log1/ 5 125 = - 3 b) log2 81

= -3 c) log1/3 27 = -3 d) log6 36 = 2

10. En cuentre x , a y en cada una de los siguient es ec uaciones:

a) log 4 x = -2 b) loga 25 = c) log25 5 = y d) log1 6 x =

11. Es cribir com o u n solo logaritm o.

a) 2 loga x + 32

loga ( x 1) 21

loga y b) 53

loga x - 5

12 loga Y - 5

2 7 loga Z.

12. Se abre una cu ent a de ahorr o con B/ . 1 000 y a l fina l de un ao se t iene B /. 1052.00 suponiendo q ue e l

di nero de la c uenta crece expon en cia lm en te,

a) Determ ine la ec uacin partic ula r para esta funcin exponencia l.

b) Determ ine la cantidad que se tendr en 4 aos despus de inv er tir los B /. 1000.

13. A una cie rta tem peratura e l nm ero de bacterias en la leche se dobla cada 3 h oras. S i inicia lm ente hay

A 0 en una bote lla de l ec he despus de t h oras, hay y = A 0 2t/3 bacter ias en l a lec he.

T race la gr fica para t = 0, 3, 6, 9, 12, 15, luego unir e stos pu ntos m edi an te u na c urva c ontinua.

R E SPUE ST AS:

1. a y c

2. a) - 1 b) 0 c) 2x2 + 4xh + 2h2 + x + h 1 d) 4x + 2h + 1

3. a) D f = [- 5, + ) b) Df = R c) Df = R d) Df = R C f = [0, +) C f = [0, +) Cf = [ 0, + ) Cf = R e) Df = IR {- 1} f) D f = ( - , - 4] [4, + ) Cf = IR - {0} C f = [0, +)

4.

5. a) C uadrtica b) Raciona l c) C onstante d) Pol inomi al ( cbi ca) e) Linea l

181

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158

6.

7.

y = log3 x, x [0, 9 ]

8. a) log3 81 = 4 b) log32 2 = 51

c) log2/3278

= 3 d) log5 51

= -1

9. a)3

51

= 125 b) 2-3 = 81

c) 3

31

= 27 d) 62 = 36

10. a) x = 161

b) a = 625 c) y = d) x = 8

11. a) loga 21

32

1) -(x 2

y

x b) loga

527

512

53

z y

x

12. a) y = 1000 ax b) y = $1224.79

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159

Matemtica

MDULO 6: GEOMETRA PLANA

Objetivos:

1. Resolver problemas de tringulos semejantes.

2. Encontrar el rea de regiones poligonales.

3. Encontrar el rea de un crculo.

4. Resolver problemas aplicando el teorema de recta paralela cortadas por una transversal.

5. Resolver problemas utilizando el teorema de Pitgoras.

Tringulos Semejantes

Se dice que dos tringulos son semejantes si tienen sus ngulos correspondientes iguales y sus lados homlogos

proporcionales. Esto es, tienen la misma forma aunque no tengan necesariamente, el mismo tamao.

A = A', B = B', C = C', C' A'CA

C' B'C B

B' A'B A ==

Para indicar "ser semejante" se utiliza el smbolo ~. La expresin ABC ~ A' B' C' se lee: el tringulo ABC es semejante al tringulo A prima B prima C prima. A lados homlogos de tringulos semejantes se oponen ngulos iguales. Teorema Fundamental de Existencia de Tringulos Semejantes Toda paralela a un lado de un tringulo forma con los otros dos lados un tringulo semejante al primero. Hiptesis: MN es paralelo a AB .

Tesis: CMN ~ CAB

183

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160

Casos de Semejanza de Tringulos

Primer Caso: Dos Tringulos son semejantes cuando tiene dos ngulos respectivamente iguales.

Hiptesis:

rea Cientifica

161

Matemtica

C A G B

Solucin: En ACB y A' C' B' se tiene: B' C'B C

C' A'C A = ; luego se tiene:

5 2x 2 x

124

++=

4 (2x + 5) = 12 (x + 2) 8x + 20 = 12x + 24 x = -1 si x = -1, entonces CB = 1 y C' B' = 3.

1. En los Tringulos ACB y GHB, AC // GH . AC = 18, GH = 6, HB = 9.

Encontrar CB.

Solucin:

Como: AC // GH , entonces ACB ~ GHB.

Luego: 27 CB 9

CB

618

HB

CB

GHAC ===

PRCTICA # 1

1. Sean LUK ~ ZEN. Encontrar UK y EN.

Solucin: 18 EN 6; UK ==

2. En ABC, AB // DE . Encontrar lo que se indica: CD = 12, CA = 18, CE = 8, CB = ? (sol. 12)

a) CD = 10, CA = 24, CE = 12, CB= ? (sol. 28, 8)

b) CD = 4, DA = 8, CB = 18, EB = ? (sol. 12)

E U 3 x + 3 9 5x + 3

L 9 K Z N

C

D E A B

H

185

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162

3. Hallar x.

Solucin: x = 320

reas de Regiones Poligonales

Superficie: Se refiere a la forma. Hay superficies triangulares, rectangulares, cuadradas, circulares, etc.

rea: Es la medida de una superficie (todo lo que hay dentro de una figura). Se refiere al tamao.

1. Tringulos:

El rea de un Tringulo es igual a la mitad del producto de su base por su altura.

Temario Cientifica 2016 Universidad de Panama

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