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UNIVERSIDAD DE EXTREMADURA

CENTRO UNIVERSITARIO DE MRIDA

Departamento de Expresin Grfica

REA TEMTICA n 3

Diseo Planimtrico

Tema 9.- Estudio y Replanteo de la Clotoide

JOS RAMN FIGUEIRA GONZLEZ

Mrida, Diciembre de 2003

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Asignatura: TOPOGRAFA IIIrea Temtica n 3: DISEO PLANIMTRICO

Tema n 9: Estudio y Replanteo de la Clotoide

Pgina n 3

A. ndice:1.- Curvas de transicin.

1.1.- Generalidades.

1.2.- Estudio dinmico: Relacin velocidad, peralte y radio.

1.3.- Tipos de curvas de transicin.

2.- La Clotoide.

2.1.- Elementos de la curva.

2.2.- Clculo de los elementos de la clotoide.

2.3.- Tipos de enlaces.

2.3.1.- Simtricos.

2.3.2.- Asimtricos.2.4.- Distancia de un punto a la curva clotoide.

2.5.- Clotoides paralelas.

2.6.- Encaje de clotoides entre rectas.

2.6.1.- Encaje simtrico clotoide circular clotoide.

2.6.2.- Encaje simtrico clotoide clotoide.

2.6.3.- Encaje asimtrico clotoide circular clotoide.

2.6.4.- Encaje asimtrico clotoide clotoide.

2.6.5.- Otros encajes.

2.7.- Clculo de las coordenadas absolutas de los puntos secuenciales de un

enlace con arcos de transicin.

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Pgina n 5

Te

O

R= finito

dx Alineacin recta

Curva circular

R= finito

R= infinito

Fc

Tema 9.- ESTUDIO Y REPLANTEO DE LA CLOTOIDE

1.- CURVAS DE TRANSICIN

2.- LA CLOTOIDE

Introduccin al tema

Cuando un mvil, comienza a transitar por una curva circular, en el punto de tangenciaentre la alineacin recta y la curva, aparece una fuerza, denominada centrfuga, que tiende adesplazar el mvil hacia el exterior de la misma, siendo constante a lo largo del recorrido de lacurva y desapareciendo instantneamente en el punto de tangencia de salida de la curva.

Figura n 1. Acuerdo planimtrico alineacin recta curva circular.

Su expresin es la siguiente:R

vmFc

2

=

Segn esta expresin, las formas de hacer disminuir esta fuerza, que provoca que elmvil tienda a salirse de la va es:

1. Aumentar el radio R, circunstancia que no siempre es posible al necesitar radios deun gran valor (1500 m en adelante en carreteras), provocando que la curva se aleje delas alineaciones proyectadas. Figura n 2

2. Disminuir la velocidad, algo que en la actualidad no es viable por las normativasactuales sobre seguridad y confort en las vas, ya que la masa m del mvil, esconstante.

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Pgina n 6

Figura n 2. Curva circular primitiva y modificada segn norma.

Es evidente que el tirn instantneo de esta fuerza, obliga al vehculo a desviarse de sucorrecta trayectoria. Se hace necesario por tanto que a lo largo de una cierta distancia, el mvil,se adapte al cambio de condiciones de la marcha de una forma gradual, y por consiguiente esnecesario que exista un arco de transicin para pasar de la recta, donde el valor de Fc = 0 alpunto de tangencia con la circunferencia (punto F), donde el valor de la Fc va a ser mximo y

constante a lo largo de la misma.

Figura n 3. Arco de transicin entre recta y curva circular.

Este arco es necesario que pertenezca a un tipo de curva tal que su variacin de

curvatura sea gradual y progresiva, a fin de que la aparicin de la fuerza centrfuga no seabrusca, teniendo adems una longitud adecuada para que el mvil que est circulando sobre ella,

0

C X

F

R

Arco de Transicin

Recta

Circunferencia

R =h Fc = Mxima

Fc = 0

R = 400

R = 2000

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Pgina n 7

disponga del espacio suficiente para adaptarse adecuadamente, al paso de un valor de la Fc = 0,a un valor en el punto F mximo. Figura n 3

Es evidente que al estar el valor de la Fc, en funcin del radio R de la curva circular,cuanto mayor sea este, menor ser la Fc llegando a ser despreciable para valores de radiograndes. Adems del radio, la velocidad es otro elemento a tener en cuenta a la hora del clculode la Fc, porque si se hace disminuir sta, la Fc disminuye proporcionalmente, de ah que enproyectos, como viales de urbanizaciones donde la velocidad es muy reducida no se utilicen estetipo de curvas.

Figura n 4. Ajuste al trazado primitivo de los diferentes tipos de curvas.

Las ventajas de este tipo de curvas, se pueden resumir en:

! Permite una marcha ms regular y cmoda.

! Su adaptacin al paisaje es excelente, reduciendo el movimiento de tierras conrespecto a un trazado clsico de rectas y circunferencias. Como se observa en la Figuran 4, ante la necesidad de la mejora del trazado, la solucin pasa por, la utilizacin deuna curva circular de gran radio, lo que implica que la misma se salga de la zonaactual de actuacin, con el consiguiente gasto en expropiaciones, o bien, un trazadocon curvas de transicin que permite un mejor ajuste del mismo al trazado primitivo,como se observa en la citada figura.

R = 2000

R = 400

A = 175 A = 175

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Pgina n 8

Estas condiciones las cumplen las curvas espirales o radioides, y entre ellas la Clotoide. (Figura n 5)

La clotoide es una curva plana de tipo espiral que comenz a utilizarse en ingeniera enla dcada de los aos 30 en EE.UU. y Alemania y es en la actualidad la curva de transicin porexcelencia. La caracterstica principal de esta curva es que el radio disminuyeproporcionalmente a la longitud de su desarrollo.

Figura n 5. Curva clotoide.

Las caractersticas geomtricas de esta curva se pueden resumir en:

# El radio de curvatura R, decrece proporcionalmente a la longitud L del desarrollo,desde R = , en el punto de tangencia con la alineacin recta y comienzo de la curvaC, hasta R = 0

# Se cumple que:

Ra > Rb > Rd > ... > RF > ... > Ri > ...

2F AtetanconsR)FC(Rd)dC(Rb)bC(Ra)aC( =====

Siendo )aC( el arco de curva desde el punto C o inicio, al punto a.

A este valor constante y por convenio generalmente aceptado, se considera igual a A2,

denominando al valor de A, Parmetro de la Curva.

C

F

R =

a

b

d

Ra Rb

Rd

o

R

X

Y

CLOTOIDE

F

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Pgina n 9

l*rL*RA2 ==

En una clotoide, el producto del desarrollo, para un punto determinado, por el valor delradio R en ese punto es el mismo en todos los puntos de la curva y por tanto el parmetro A,

expresa unvocamente el tamao de la curva. Todas son semejantes entre s y homotticasrespecto al punto de curvatura nula.

La curva utilizada normalmente en ingeniera corresponde a su tramo inicial y por tantono se aprecian la caracterstica de curva espiral. Figura n 5

Si se parte de una curva circular inicial, y de la premisa de no variar el radio de lamisma, es necesario que el centro de la curva circular primitiva, se desplace para que se puedaintercalar la nueva o las nuevas curvas, (Figura n 6). Este desplazamiento denominadoretranqueo (R), tendr un valor que ser funcin del tamao de la clotoide a intercalar.

Figura n 6. Desplazamiento de la curva circular primitiva.

Elementos de la clotoide

Vo V1

V2

O

O

O

R

R

R

V/2

V/2

R R

R

R

Ts

Te

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Los elementos que representan la clotoide como muestra la Figura n 7, se denominanpor convenio de la siguiente forma:

Figura n 7. Elementos de la clotoide.

# C Punto origen de la clotoide. Es el punto de tangencia de la alineacin recta con laclotoide. R = .

# F Punto final de la clotoide. Es el punto de contacto de la clotoide con la curva circular,siendo en ste punto el valor del radio coincidente.

# O Centro de la curva circular.

# n Punto de interseccin de la ordenada del punto O y la alineacin recta.

# m Punto interseccin de la recta tangente por el punto F y la alineacin recta CV.

#q Punto de interseccin de la ordenada del punto O y la curva circular.

hC

Rc =

n

F

L

l + dl

l

X

TL

Xo

LS

R

Tc

p'

pq

m

dl

O

rp = r

R

Tangente

YF

V

FTangente

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# p Punto cualquiera de la curva clotoide.

# CV Eje de abscisas del sistema particular de la curva.

# L Longitud de la curva. Desarrollo del arco comprendido entre el punto C y el punto F.

# R Radio de la curva circular.

# A Parmetro de la clotoide.

L*RA2 =

# Rc Radio de curvatura de la clotoide en el punto C.

# XF C-h:Abscisa del punto F. ( X )

# YF F-h:Ordenada del punto F.( Y )

# R q-n: Retranqueo de la curva circular. Desplazamiento de la circunferencia primitivasobre la alineacin recta.

# Xo C-n:Abscisa del punto O sobre la recta CV.

# Yo O-q-n:Ordenada del punto O sobre la recta CV.

# Tc F-m: Tangente corta.

# TL C-m: Tangente larga.

# ngulo que define el arco de circunferencia (F-F).

# D Desarrollo del tramo de circunferencia (F-F).

# ngulo formado en el centro de la curva circular entre el radio al punto F y la ordenadade O (Yo).

# ngulo polar del punto F. Formado entre la cuerda CF y la recta CV.

# SL Cuerda del arco de curva comprendido entre C y F.

Para un punto pi cualquiera de la curva:

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# rp Radio de curvatura en cualquier punto de la clotoide (p).

# lp Longitud de curva de transicin para cualquier punto p de la clotoide.

# p ngulo formado por la tangente a la curva en el punto P con la recta CV. Tambin es elngulo formado por el eje de ordenadas en el punto C y el radio de curvatura del puntoP.

# xp C-p:Abscisa del punto p.

# yp p-p:Ordenada del punto p.

# p ngulo polar del punto p.

# SLp Cuerda del arco de curva comprendido entre C y p.

Clculo de los elementos de la clotoide

Una vez definidos los elementos de la clotoide, se procede al clculo matemtico de losdiferentes elementos definidos anteriormente.

Partiendo de la ley de la curva, expresada a continuacin, se calculan todos y cada uno

de los dems elementos de la curva.

A2 = R * L

R * L = cte = A2 (Ecuacin 1)

donde:

A = Parmetro de la clotoide

R = Radio de curvatura en el punto FL = Longitud de la curva (desarrollo del arco C-F)

La curvatura de la curva es constante a lo largo de la misma, y por tanto igual que secumple la expresin anterior para el punto F, tambin se cumple para cualquier punto p i de lamisma.

Para el punto F: A2 = R * L

Para un punto pi: A2 = rp * lp

Si se igualan las dos expresiones, se obtiene que:

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R * L = A2 = rp * lp

Figura n 8. Desarrollo matemtico.

Clculo de

Se verifica que si se toma un diferencial de curva dl, el cual al ser tan pequeo, puedeconsiderarse el radio rp, constante y por consiguiente se puede aplicar la expresin:

arco = ngulo * radio => dl = d * r

Despejando r y sustituyendo en (1):

R * L = A2 = rp * lp => R * L = A2 = r * l

==

ddl*L*R

lL*Rl*

d

dl

Integrando con respecto a d y dl se obtiene:

L*R

dl*l

d = => = dl*lL*R1

d => = C2

l

*L*R

1 2

+ ;

dxp

C

SL

x

y

p'V

R =

d

O

ldy

R

dl

r = r

FTangente

Tangente

m

p

p

p

p

p

p

p

p

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= CRL2

l2+

siendo C la cte de integracin. Esta constante vale cero ya que cuando

l = 0 => que = 0 y por tanto C = 0.

El valor del ngulo ser:

RL2

l2= (en radianes)

Si esta ecuacin se aplica para el punto F, siendo = y l = L, se obtiene:

=RL2

L2=> =

R2

L(en radianes)

Clculo de las coordenadas cartesianas

Observando la Figura n 8, se puede comprobar que para un sector diferencial de arco,a partir de un punto p cualquiera de la curva:

Sen = dldy, teniendo en cuenta que para un diferencial de arco, dl puede ser

considerado una recta.

Aplicando el desarrollo en serie de Taylor a la funcin sen:

...!9!7!5!3

sen9753

+

+

=

Sustituyendo:

...!9!7!5!3dl

dy 9753 +

+

=

yRL2

l2=

...

)RL2(!7

l

)RL2(!5

l

)RL2(!3

l

RL2

l

dl

dy7

14

5

10

3

62

++=

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Se integra, recordando que : ++=+

C1n

ldll

1nn

dl...))RL2(!7

l

)RL2(!5

l

)RL2(!3

l

RL2

l(dy 7

14

5

10

3

62

++= +C

...)RL2(!7*15

l

)RL2(!5*11

l

)RL2(!3*7

l

)RL2(3

ly

7

15

5

11

3

73

++=

cuando l = 0 => y = 0, entonces C = 0.

...

)RL2(75600

l

)RL2(1320

l

)RL2(42

l

)RL2(3

ly

7

15

5

11

3

73

++=

De igual forma se calcula el valor de x teniendo en cuenta esta vez que:

Cos =dl

dx

Aplicando el desarrollo en serie de Taylor de la funcin cos:

...!8!6!4!2

1cos8642

++=

Sustituyendo:

...!8!6!4!2

1dl

dx 8642 +

+

=

y

RL2

l2=

...)RL2(!6

l

)RL2(!4

l

)RL2(!4

l1

dl

dx6

12

4

8

2

4

++=

Integrando:

dl...))RL2(!6

l

)RL2(!4

l

)RL2(!2

l1(dx

6

12

4

8

2

4

++=

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...)RL2(!6*13

l

)RL2(!4*9

l

)RL2(!2*5

llx

6

13

4

9

2

5

++= +C

cuando l = 0 => que x = 0 y por tanto C = 0.

...)RL2(9360

l

)RL2(216

l

)RL2(10

llx

6

13

4

9

2

5

++=

Una vez obtenidas las ecuaciones para la determinacin de las coordenadas cartesianasde cualquier punto pi de la clotoide, se pueden calcular las del punto F, al ser el valor del arco declotoide:

lp = L

X e Y en funcin de L quedar finalmente:

...)RL2(75600

L

)RL2(1320

L

)RL2(42

L

)RL2(3

LY

7

15

5

11

3

73

F ++=

...)RL2(9360

L

)RL2(216

L

)RL2(10

LLX

6

13

4

9

2

5

F ++=

Clculo de las coordenadas polares

Del tringulo rectngulo C-p-p, (Figura n 8) se deduce que:

x

ytag = y despejando

x

yarctag=

El valor del radio polar SL se obtiene a partir de la aplicacin del Teorema de Pitgorasal tringulo C-p-p.

22L yxS += , aunque tambin se puede obtener a partir de:

=LS

ysen

=

sen

ySL

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Pgina n 17

=LS

xcos

=

cos

xSL

Figura n 9. Elementos de la clotoide.

Clculo de Xo:

Segn la Figura n 9 se demuestra que:

Xo = C-n ; C-n = C-h n-h

C-h = XF == sen*RnhR

nhsen

Por tanto:

Xo = XF - Rsen

Clculo del retranqueo R:

De la Figura n 9:

hC

Rc =

n

F

L

l + dl

l

X

TL

Xo

LS

R

Tc

p'

pq

m

dl

O

rp = r

R

Tangente

YF

V

FTangente

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Pgina n 18

R = q-n; q-n = O-n O-q

O-q = R y O-n = R cos +Y

Sustituyendo:

R = R cos +Y R

Clculo de la tangente corta (Tc) y la tangente larga (TL):

Tc = F-m

Del tringulo m-h-F se deduce que: sen =

Fm

YF

Por lo que:

Tc =sen

YF

TL = C-m

Si: C-m = C-h m-h

C-h = XF y m-h = Tc cos o tambin mh =Tg

YF

Por lo que:

TL = XF Tc cos o tambin TL = X

Tg

Y

La Tabla n 1 contiene un resumen de toda la formulacin:

Ley de la clotoide A2 = R * L = A2 = rp * lp

ngulo interiorRL2

l2=

R2

L=

Abscisa del punto pi ...

)RL2(9360

l

)RL2(216

l

)RL2(10

llx

6

13

4

9

2

5

++=

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Ordenada del punto pi ...)RL2(75600

l

)RL2(1320

l

)RL2(42

l

)RL2(3

ly

7

15

5

11

3

73

++=

Abscisa del punto F ...)RL2(9360

L

)RL2(216

L

)RL2(10

LLX

6

13

4

9

2

5

F ++=

Ordenada del punto F ...)RL2(75600

L

)RL2(1320

L

)RL2(42

L

)RL2(3

LY

7

15

5

11

3

73

F ++=

ngulo polarx

yarctag=

Cuerda

=sen

ySL ;

=

cos

xSL

22L yxS +=

Abscisa de O Xo = XF R sen

Retranqueo

R = R cos

+Y R

Tangente Corta Tc =sen

YF

Tangente larga

TL = XF Tc cos

TL = X

Tg

Y

Tabla n 1. Relacin de la formulacin general de la curva clotoide.

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Pgina n 21

2.6.- ENCAJE DE LA CLOTOIDE ENTRE RECTAS

La curva clotoide no es un elemento aislado dentro de un acuerdo planimtrico, y comotal, es necesario encuadrarla dentro de alineaciones rectas y curvas.

Los casos ms usuales que se encuentran en los proyectos de ingeniera son los queaparecen en la Figura n 10.

Clotoide de Vrtice Asimtrica

Clotoide de Vrtice Simtrica

C C'

V

VV

O

F=F'

0

2

3

Clotoide Circular Simtrica

Clotoide Circular Asimtrica

0V

C

3V

O

C'

F=F'

V2

0V

C

3V

O

C'

F=F'

V2

0V

C

3V

O

C'

F

V2

F'

Figura n 10. Tipos ms usuales de acuerdos planimtricos con clotoides.

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2.6.1.- Encaje simtrico clotoide circular clotoide

Una vez establecida la necesidad de encajar curvas de transicin entre las alineacionesrectas y la curva circular, el diseo ms usual y lgico es aquel, en el que el encaje es simtrico,

para que en las mismas condiciones dinmicas en las que se entra en el acuerdo planimtrico, sepueda salir.

La Figura n 11, representa un acuerdo planimtrico simtrico de crculo, formado porun tramo recto, la clotoide de entrada (Ae), un tramo circular (D), la clotoide de salida (As) y untramo recto, hasta encontrarse con el siguiente acuerdo.

Inicialmente, se parte del conocimiento de las coordenadas de los vrtices de lasalineaciones, as como del valor del radio de la curva circular y del parmetro de las clotoides,que al ser el acuerdo simtrico, tienen las dos el mismo valor.

PuntoCoordenada

XCoordenada

YVo 1000.000 1000.000V1 1897.226 929.387V2 1826.566 2427.722

Ae = As 200 mR 500 m

A partir de los datos de partida:

! Las coordenadas de los vrtices del estado de alineaciones V0-V1-V2

! El valor del radio de la curva circular R.

! El valor del parmetro de la clotoide de entrada Ae y de salida As.

se procede a calcular cada uno de los elementos del acuerdo planimtrico.

1. En primer lugar se determina por diferencia de coordenadas entre los vrtices:

# La distancia y acimut de Vo a V1. 1VVo y 1

# La distancia y acimut de V1 a V2. 2V1V y 2

Alineacin Distancia (m) Acimut (Grados g)Vo a V1 900 1 = 105.0000V1 a V2 1500 2 = 397.0000

El valor del ngulo V, ngulo en el centro de las dos alineaciones que forman elacuerdo, se obtiene por diferencia entre el acimut 2 y el acimut 1.

V = 2 - 1

ngulo V (Grados g)

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92.0000

A partir de tener el valor V y con los datos de partida del radio de la curva circular y elparmetro de la clotoide de entrada y salida, se procede a calcular todos los elementos

de la curva clotoide a partir de las ecuaciones generales que se vieron con anterioridad,al ser estos valores independientes de la posicin absoluta de la curva.

Figura n 11. Acuerdo simtrico de crculo.

2. Conocido el valor de A y R, se obtiene la longitud de la curva L, aplicando la ley de lacurva.

R

ALL*RA

22 ==

L (m)

80.000

3. El valor de se obtiene de la expresin siguiente,R2

L

RL2

L2== la cual viene

expresada en radianes.

(Gradosg

)5.0930

Vo

V1Xo

Tte

V0 - V1

t

Xo

Tte

V1 - V2

L

L

v/2

v/2DR

R

R

O

n

n

R

CF

F

C

V2

Ae

As

t

V

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4. Para obtener el valor de , ngulo en el centro de la curva circular, se suman todos losngulos del tringulo rectngulo V1-O-n.

2v2100200 +++= v2200 =

(Grados g)97.8140

Calculado el valor de , se determina el valor del desarrollo de la curva circular D, apartir de:

400

R2D

=

D (m)

768.230

5. Una vez calculados estos elementos, se puede determinar la longitud del acuerdo en eltramo curvo, al ser la suma de L + D + L. El problema es el desconocimiento de lospuntos donde se entra en contacto con los tramos rectos, puntos C y C, y para ello esnecesario determinar el valor de las tangentes totales Tt.

TtstXoTte =+=

Xo se obtiene de las ecuaciones de la clotoide resueltas con anterioridad.

donde:

senRXX =0 obtenindose X de la expresin:

...)RL2(685440

L)RL2(9360

L)RL2(216

L)RL2(10

LLX8

176

134

92

5 +++=

X (m)

79.949

Xo (m)

39.999

Si se aplica la frmula de la tangente al tringulo rectngulo V1-O-n, se obtiene elvalor de t:

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2vtg

RRt

t

RR2vtg

+=

+=

El valor del retranqueo R se obtiene de::

RYcosRR +=

siendo el valor de Y:

...)RL2(75600

L

)RL2(1320

L

)RL2(42

L

)RL2(3

LY

7

15

5

11

3

73

++=

Y (m)

2.132R (m)0.5337

t (m)

567.744

Tte = Tts (m)

607.735

Por tanto ya se ha determinado el valor de las tangentes totales, es decir la distanciadesde el vrtice del acuerdo planimtrico al punto C y C.

6. Slo resta saber la longitud del tramo recto de la alineacin Vo-V1, r1 y la longitud deltramo recto de la alineacin V1-V2, r2, los cuales se obtienen de las expresiones:

Tte1V0V1r =

Tts2V1V2r =

r1 (m) r2 (m)

292.265 892.265

La Tabla n 2, es un estadillo de los puntos kilomtricos de los puntos singulares delacuerdo, a partir del punto Vo.

Puntos Singulares Tramo Distancia (m) Punto Kilomtrico

acumulado

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Pgina n 26

Vo 0 + 000.000

r1 292.265

C 0 + 292.265

L 80

F 0 + 372.265

D 768.230

F 1 + 140.495

L 80

C 1 + 220.495

r2 892.265

V2 2 + 112.760

Tabla n 2. Tabla con los Pks de los puntos singulares del acuerdo planimtrico.

A partir de los datos de la tabla anterior, se puede representar el diagrama dealineaciones, el cual formar parte de los planos de perfiles longitudinales, como parteplanimtrica de un documenta grfico bsicamente altimtrico.

Figura n 12. Diagrama de alineaciones de un acuerdo simtrico de circulo.

En la Figura n 13 se puede ver la implementacin del diagrama de alineaciones dentrode un perfil longitudinal completo.

Vo C F F C V2

Pk.

AR

A

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Pgina n 27

Figura n 13. Perfil longitudinal completo con la representacin del diagrama de alineaciones yperaltes.

2.6.2.- Encaje simtrico clotoide clotoide

Este encaje denominado tambin encaje de vrtice, nicamente se diferencia del

anterior, en que el valor del desarrollo de curva circular es cero y por tanto el ngulo es nulosiendo los puntos F y F coincidentes. Las expresiones deducidas con anterioridad, son lasmismas, aunque es necesario tener presente lo siguiente:

! La longitud total del tramo curvo es igual a 2 L.

! Al ser el desarrollo de la curva circular cero, es nulo y por tanto,2v100200 ++=

Se parte al igual que en el ejemplo desarrollado en el epgrafe anterior, del

conocimiento de las coordenadas de los vrtices de las alineaciones, as como del valor del radiode la curva circular y el parmetro de las clotoides.

PuntoCoordenada

XCoordenada

YVo 1000.000 1000.000V1 1897.226 929.387V2 1826.566 2427.722

Ae = As 130.248 mR 100 m

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Pgina n 28

A partir de estos datos se procede a calcular cada uno de los elementos del acuerdoplanimtrico.

1. Se determinan en primer lugar por diferencia de coordenadas entre los vrtices:




Figura n 14. Acuerdo simtrico de vrtice.

El ngulo V, ngulo en el centro de las dos alineaciones que forman el acuerdo, seobtiene por diferencia entre el acimut 2 y el acimut 1.

V = 2 - 1

ngulo V (Grados g)

92.0000

Vo

V1Xo

Tte

V0 - V1

t

Xo

Tte

V1 - V2

L

L

v/2

v/2

R

R

O

n

n

R

C

F

F

C

V2

Ae

Ast

V

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Pgina n 29

A continuacin se procede, como en el apartado anterior, a calcular todos loselementos de la curva clotoide a partir de las ecuaciones generales.

2. Conocido el valor de A y R, se obtiene la longitud de la curva L a partir de:

R

ALL*RA

22 ==

L (m)

169.645

3. El valor de se obtiene de la expresinR2

L

RL2

L2== , expresin que es necesario

multiplicar por los segundos que tiene un radian.

(Grados g)53.9998

Aunque como ya se ha indicado previamente, tambin se puede obtener por diferenciade ngulos del tringulo rectngulo V1-O-n. (Ver Figura n 14)

2v100200 ++= 2v100 =

4. El valor total de la parte curva del acuerdo se conoce, al ser 2 L, pero como ya seindic anteriormente se desconoce donde entra en contacto con el tamo recto, y paraello es necesario determinar las tangentes totales Tt.

TtstXoTte =+=

Xo se obtiene de las ecuaciones de la clotoide resueltas con anterioridad.

donde:

= senRXX0 obtenindose X de la expresin:

...)RL2(685440

L

)RL2(9360

L

)RL2(216

L

)RL2(10

LLX

8

17

6

13

4

9

2

5

+++=

X (m)

157.839

Xo (m)

82.829

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Pgina n 30

Si se aplica la frmula de la tangente al tringulo rectngulo V1-O-n, se obtiene elvalor de t:

2vtg

RRt

t

RR2vtg

+=

+=

El valor del retranqueo R se obtiene de:

RYcosRR +=


...)RL2(75600

L

)RL2(1320

L

)RL2(42

L

)RL2(3

LY

7

15

5

11

3

73

++=

Y (m)

45.557

R (m)11.688

t (m)

567.744

Tte = Tts (m)

209.514

Por tanto ya se ha determinado el valor de las tangentes totales.

5. Slo resta saber el tramo recto de la alineacin Vo-V1, r1 y el tramo recto de laalineacin V1-V2, r2, los cuales se obtienen de las expresiones:

Tte1V0V1r =

Tts2V1V2r =

r1 (m) r2 (m)

690.487 1290487

En la Tabla n 3, se muestran los puntos kilomtricos de los puntos singulares delacuerdo.

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Pgina n 31

Puntos Singulares Tramo Distancia (m) Punto Kilomtricoacumulado

Vo 0 + 000.000

r1 690.487

C 0 + 690.487

L 169.645

F = F 0 + 860.133

L 169.645

C 1 + 029.778

r2 1290.487V2 2 + 320.265


La Figura n 15 representa el diagrama de alineaciones de este tipo de acuerdos.

Figura n 15. Diagrama de alineaciones de un acuerdo simtrico de vrtice.

En la Figura n 15 se puede ver la implementacin del diagrama de alineaciones juntoa los dems elementos altimtricos y planimtricos que lo constituyen.

Vo C F F C V2

Pk.

AR

A

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Pgina n 32


2.6.3.- Encaje asimtrico clotoide circular clotoide

A diferencia del caso anterior, se van a tratar ahora los encajes en los cuales lasclotoides de entrada y salida utilizadas en el acuerdo planimtrico no tienen el mismo valor y

por consiguiente el mismo tamao.

La Figura n 17 representa un acuerdo planimtrico asimtrico de crculo, el cual sediferencia de los acuerdos simtricos en que el punto O, centro de la circunferencia, no transitapor la bisectriz del ngulo V, sino que sufre un desplazamiento a un lado u otro de sta,dependiente del tamao de la clotoide de entrada y de salida.

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Pgina n 33

V

R

C

C'

VV

O

Q

Z

V

n

n'

0 2

1

d

d

V/2

V/2

V

FF'

Xo

t

T Te

Xo'

t'

TTS

h

Ae

D

As

RD RD

RD

U

Figura n 17. Acuerdo asimtrico de crculo.

En la Figura n 17, se puede observar un acuerdo planimtrico asimtrico de crculo,formado por un tramo recto, la clotoide de entrada (Ae), un tramo circular (D), la clotoide desalida (As) y un tramo recto, hasta encontrarse con el siguiente acuerdo.

Se parte como en los casos anteriores del conocimiento de:

PuntoCoordenada

X

Coordenada

YVo 1000.000 1000.000V1 1897.226 929.387V2 1826.566 2427.722

Ae 300 mAs 500 mR 500 m

A partir de estos datos:

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Pgina n 34

! Las coordenadas de los vrtices del estado de alineaciones Vo-V1-V2.



Se procede a calcular cada uno de los elementos del acuerdo planimtrico.

1. En primer lugar se determinan por diferencia de coordenadas entre los vrtices:




El valor del ngulo V, ngulo en el centro de las dos alineaciones que forman elacuerdo es:

V = 2 - 1

ngulo V (Grados g)

92.0000

A partir de tener el valor V y con los datos de partida del radio de la curva circular y elparmetro de la clotoide de entrada y salida, se procede a calcular todos los elementos

de las curvas, obtenindose en este caso diferentes resultados para la clotoide deentrada y para la de salida, al no ser iguales.

2. Conocido el valor de A, A y R, se obtienen las longitudes de las curvas L y L.

R

ALL*RA

22 ==

R

ALL*RA

22 ==

L (m)

180.000

L (m)

500.000


L

RL2


multiplicar por los segundos que tiene un radian, para ambas clotoides.

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Pgina n 35

(Grados g)11.4592

(Grados g)31.8310

4. Para obtener el valor de , ngulo en el centro de la curva circular, se suman todos losngulos del cuadriltero V1-n-O-n.

v200400 ++++= v200 =

(Grados g)64.7098

Determinado el valor de , se obtiene el valor del desarrollo de la curva circular D.

400

R2D

=

D (m)

508.230

5. Una vez calculados estos elementos, se puede determinar la longitud del acuerdo entramo curvo, al ser la suma de L + D + L. El problema es el desconocimiento dedonde entra en contacto con el tamo recto, puntos C y C, y para ello se hace necesariodeterminar la tangente total de entrada TtE. y la de salida TtS.

Esto que en los acuerdos simtricos era inmediato, no es as en los acuerdos asimtricos,al desconocer el valor del ngulo en el vrtice del tringulo, n-V1-O.

Para solucionar esto, lo que se hace es trasladar el valor del retranqueo menor, en estecaso el de la clotoide de entrada, a la alineacin de salida, formando como se aprecia en laFigura n 18 un acuerdo simtrico al tener la nueva figura el radio y el retranqueo del mismovalor R+R.

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Pgina n 36

V

R

C

C'

VV

O

Q

Z

V

n

n'

0 2

1

d

d

V/2

V/2

V

FF'

t

t'h

R

RR

U

Figura n 18. Acuerdo asimtrico de crculo.

Si se prolonga la alineacin V2 V1 y la recta que une O con el punto Q, se obtiene elpunto Z.

Como se aprecia en la Figura n 18, se forma un tringulo Q-Z-V1 con dos ngulosiguales y por tanto con dos lados tambin (tringulo issceles). Al valor de los lados de igualtamao se le denominar d.

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Pgina n 37

Q

Z

V1

d

d

V/2

V/2

V

h

U

Figura n 19. Detalle tringulo Z-Q-V1.

Si h se obtiene de la diferencia de R - R y se aplica el teorema del seno al tringulorectngulo Q-V1-U, se obtiene que:

vsen

RRd

d

hvsen

=

=


RYcosRR +=


...)RL2(75600

L

)RL2(1320

L

)RL2(42

L

)RL2(3

LY

7

15

5

11

3

73

++=

y el valor del retranqueo R se calcula de idntica forma:

RYRR += cos


...)RL2(75600

L

)RL2(1320

L

)RL2(42

L

)RL2(3

LY

7

15

5

11

3

73

++=

R (m) R (m)2.697 20.648

Y (m) Y (m)10.775 81.857

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Pgina n 38

A partir de estos resultados el valor de d, es:

d (m)

18.094

Slo recta calcular las tangentes totales, comenzando por la tangente total de entrada,recta C-V1. sta se puede deducir de la Figura n 20.

dtXoTte ++=

Figura n 20. Detalle tringulo V1 n- O.

dtXoTte ++=

Xo se obtiene de las ecuaciones generales de la clotoide,

V

R

C

O

Q

Z

V

n

d

d

V/2

V/2

V

F

F'

Xo

tTTe

1

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Pgina n 39

donde:


...)RL2(685440

L

)RL2(9360

L

)RL2(216

L

)RL2(10

LLX

8

17

6

13

4

9

2

5

+++=

X (m)

179.418

Xo (m)

89.903

Si se aplica la frmula de la tangente al tringulo rectngulo O-Q -n, subrayado, seobtiene el valor de t:

2vtg

RRt

t

RR2vtg

+=

+=

dtXoTte ++=

t (m)

570.198

Tte (m)

678.195

Por tanto una vez determinado el valor de la tangente total de entrada, es necesariohacer lo mismo para la tangente de salida, como se puede observar en la Figura n 21.

dtoXTts +=

Donde:

0 senRXX = obtenindose X de la expresin:

...)RL2(685440

L

)RL2(9360

L

)RL2(216

L

)RL2(10

LLX

8

17

6

13

4

9

2

5

+++=

X (m)

487.644

Xo (m)

247.931

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Pgina n 40

Figura n 21. Detalle tringulo V1 n-O.

Si se aplica la frmula de la tangente al tringulo rectngulo O-Z- n, subrayado, seobtiene el valor de t:

2vtg

RRt

t

RR2vtg

+=

+=

dtoXTts +=

t (m)590.560

Tts (m)

820.397

Obtenindose el valor de la tangente total de salida.

El valor del tramo recto de la alineacin Vo-V1, r1 y el tramo recto de la alineacinV1-V2, r2, se obtienen de las expresiones:

V

R

R

R

C'

V

O

Q

Z

V

n'

2

1

d

d

V/2

V/2

V

F'

Xo'

t'

TTS

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Pgina n 41

Tte1V0V1r =

Tts2V1V2r =

r1 (m) r2 (m)221.806 679.604

La Figura n 22 representa el diagrama de alineaciones de este tipo de acuerdos, laFigura n 23 su posicin dentro de un perfil longitudinal y la Tabla n 4, el estadillo de losresultados anteriormente calculados.

Figura n 22. Diagrama de alineaciones de un acuerdo asimtrico de circulo.


Vo 0 + 000.000

r1 221.806

C 0 + 221.806

L 180

F 0 + 401.806

D 508.230

F 0 + 910.036

L 500C 1 + 410.036

r2 679.603

V2 2 + 089.639


Vo C F F C V2

Pk.

AR

A

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Pgina n 42


2.6.4.- Encaje asimtrico clotoide - clotoide

Encaje denominado tambin encaje asimtrico de vrtice, diferencindose del casoanterior, en que no existe desarrollo de curva circular y por tanto es nulo.

Este acuerdo se caracteriza por:

! La longitud total del tramo curvo es igual a L + L.

! Al ser el desarrollo de la curva circular cero, es nulo y por tantov200400 +++= . (ver Figura n 24)

Se parte al igual que en el ejemplo desarrollado en el epgrafe anterior, delconocimiento de las coordenadas de los vrtices de las alineaciones, as como del valor del radiode la curva circular y el parmetro de las clotoides.

PuntoCoordenada

XCoordenada

YVo 3.084 178.459V1 1897.226 929.387V2 1826.566 2427.722

Ae 508.900 mAs 601.05 mR 500 m

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Pgina n 43

V

R

C

C'

VV

O

Q

Z

V

n

n'

0 2

1

d

d

V/2

V/2

V

F = F'

Xo

tT Te

Xo

t'

TTS

RDRD

RD

U

Figura n 24. Acuerdo asimtrico de vrtice.

A partir de estos datos:

! Las coordenadas de los vrtices del estado de alineaciones Vo-V1-V2.



Se procede a calcular cada uno de los elementos del acuerdo planimtrico.

1. En primer lugar se determinan por diferencia de coordenadas entre los vrtices:# La distancia y acimut de Vo a V1. 1VVo y 1


Alineacin Distancia (m) Acimut (Grados g)Vo a V1 2037.564 1 = 75.9714V1 a V2 1500.000 2 = 397.0000

El valor del ngulo V, ngulo en el centro de las dos alineaciones que forman elacuerdo es:

V = 2 - 1

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Pgina n 44

ngulo V (Grados g)

121.029

2. Conocido el valor de A, A y R, se obtienen las longitudes de las curvas L y L.

R

ALL*RA

22 ==

R

ALL*RA

22 ==

L (m)

517.958

L (m)

722.522


L

RL2


multiplicar por los segundos que tiene un radian, para ambas clotoides.

(Grados g)32.9743

(Grados g)

45.9972

4. Una vez calculados estos elementos, se puede determinar la longitud del acuerdo entramo curvo, al ser la suma de L + L. El problema es que se desconoce donde se entraen contacto con el tamo recto, puntos C y C, y para ello se hace necesario determinarla tangente total de entrada TtE. y la de salida TtS.

De la misma forma que como se explic en el epgrafe anterior, se determina en primerlugar el valor de d, con la nica salvedad de la no existencia de desarrollo de curva circular.

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Pgina n 45

V

R

C

C'

VV

O

Q

Z

V

n

n'

0 2

1

d

d

V/2

V/2

V

F = F'

Xo

tT

TE

Xo'

t'

TTS

RD

RD

RD

Ae' As

hD

U

Figura n 25. Acuerdo asimtrico de vrtice.

Si h se obtiene de la diferencia de R - R y se aplica el teorema del seno al tringulorectngulo que se forma (Q-V1-U), se obtiene que:

vsen

RRd

d

hvsen

=

=


RYcosRR +=


...)RL2(75600

L

)RL2(1320

L

)RL2(42

L

)RL2(3

LY

7

15

5

11

3

73

++=

y el valor del retranqueo R se calcula de idntica forma:

RYcosRR +=

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46/62



Pgina n 46


...)RL2(75600

L

)RL2(1320

L

)RL2(42

L

)RL2(3

LY

7

15

5

11

3

73

++=

R (m) R (m)22.144 42.701

Y (m) Y (m)

87.728 167.631

A partir de estos resultados el valor de d, es:

d (m)

21.732

Slo recta calcular las tangentes totales, comenzando por la tangente total de entrada,recta C-V1.

dtXoTte ++=

Xo se obtiene de las ecuaciones generales de la clotoide,

donde:


...)RL2(685440

L

)RL2(9360

L

)RL2(216

L

)RL2(10

LLX

8

17

6

13

4

9

2

5

+++=

X (m)

504.234

Xo (m)

256.680

Si se aplica la frmula de la tangente al tringulo rectngulo O-Q -n, se obtiene elvalor de t:

2vtg

RRt

t

RR2vtg

+=

+=

dtXoTte ++=

Tte (m) t (m)

651.365 372.952

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Pgina n 47

Por tanto una vez determinado el valor de la tangente total de entrada, es necesariohacer lo mismo para la tangente de salida.

dtoXTts +=

Donde:

0 senRXX = obtenindose X de la expresin:

...)RL2(685440

L

)RL2(9360

L

)RL2(216

L

)RL2(10

LLX

8

17

6

13

4

9

2

5

+++=

X (m)

685.704Xo (m)

355.065

Si se aplica la frmula de la tangente al tringulo rectngulo O-Z- n , se obtiene elvalor de t:

2vtg

RRt

t

RR2vtg

+=

+=

Obtenindose el valor de la tangente total de salida.

dtXoTts +=

t (m)

387.636

Tts (m)

720.969

El valor del tramo recto de la alineacin Vo-V1, r1 y el tramo recto de la alineacin

V1-V2, r2, se obtienen de las expresiones:

Tte1V0V1r =

Tts2V1V2r =

r1 (m) r2 (m)

1386.199 779.031

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Pgina n 48

La Figura n 26 representa el diagrama de alineaciones de este tipo de acuerdo, laFigura n 27 su posicin dentro de un perfil longitudinal y la Tabla n 5, el estadillo de losresultados anteriormente calculados.

Figura n 26. Diagrama de alineaciones de un acuerdo asimtrico de vrtice.


Vo 0 + 000.000

r1 1386.199

C 1 + 386.199

L 517,958

F = F 1 + 904.157

L 722,522

C 2 + 626.679

r2 779.031

V2 3 + 405.710


Vo C F F C V2

Pk.

AR

A

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Pgina n 49


2.6.5.- Otros encajes

Existen tantos tipos de encajes, como soluciones se tengan que dar a problemasplanteados de encaje entre alineaciones, aunque los cuatro ejemplos anteriores son los msusuales. Se podran enumerar muchos tipos, pero a modo de ejemplo se van a estudiar dos,aunque el clculo de todos ellos, se base en la extrapolacin de alguno de los casos anteriores yen el caso de tener alguna duda sobre algn enlace especfico, se puede consultar la bibliografabsica.

La Figura n 28 refleja un acuerdo planimtrico formado por circular y clotoide desalida, sin clotoide de entrada. Este caso es asimilable al ejemplo estudiado en el epgrafe 2.6.3.,pero en este caso el valor de d es:

vsen 0Rddhvsen

=

=

y el valor de las tangentes de entrada y salida se obtienen de las expresiones:

dtTte +=

dtXoTts +=

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Figura n 28. Acuerdo recta circular clotoide recta.

Otro caso sera el enlace entre rectas con curva circular de lazo, como aparece en laFigura n 29, caso utilizado en intersecciones (enlaces) a diferente altura en carreteras.

Como se aprecia en la Figura n 29, es un enlace al revs, ocupando los puntos detangencia, C y C posiciones muy prximas al vrtice de las alineaciones.

Como este acuerdo es simtrico, el valor de la Tt va a ser:

XotTt =

siendo

2vtg

RRt

t

RR2vtg

+=

+=

0V 2V

1V

V

V/2

V/2d

d

V

RR

Xo

t

T

C

n

F

O

Q

E

t

Tte

Tts

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Figura n 29. Enlace en forma de lazo.

2.7.- Clculo de las coordenadas absolutas de los puntos secuenciales de unenlace con arcos de transicin.

Como ya se indic en el tema anterior, es necesario saber determinar las coordenadas

absolutas de cualquier punto y en particular cualquier punto de los enlaces estudiados, para queestos puedan ser replanteados desde una base de replanteo, cuyas coordenadas se encuentrenreferidas a un sistema general de obra y no como se ha estado estudiando hasta ahora, dondetodos los datos se han obtenidos con respecto al sistema relativo de la curva, con origen en C ydireccin, el eje de abscisas, siendo ste la tangente en ese punto.

Se va a tomar como ejemplo un acuerdo simtrico de crculo, como el de la Figura n30, cuyos datos de partida van a ser las coordenadas de los vrtices del estado de alineaciones,el radio de la curva circular y el parmetro de la clotoide de entrada y de salida.

V

C'C

V

V

V

1

20

F F'

t

O

n n'

T Te

Xo

R

w

RDRD tt

Ae

D

As

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PuntoCoordenada

XCoordenada

YVo 1000.000 1000.000V

11897.226 929.387

V2 1653.881 2104.454

Ae = As 120 mR 200 m

Figura n 30. Clotoide simtrica de crculo.

Para calcular los puntos secuenciales (secuencia 20 m) de la alineacin recta Vo C,

ser necesario saber el valor de r1, para saber que punto es el ltimo, y a que distancia seencuentra de C, para poder saber la longitud l, del primer punto a replantear en la curvaclotoide, y as sucesivamente. Resear, que previo a todo ello, es necesario determinar lascoordenadas del punto C, al ser este punto el origen desde donde se van a calcular los puntos dela clotoide de entrada.

Por tanto, es necesario antes de comenzar con cualquier clculo, determinar desdedonde se van a calcular las coordenadas de los puntos de las diferentes alineaciones.

Los puntos pertenecientes a la alineacin recta r1, se van a calcular desde Vo, los puntospertenecientes a las curvas clotoides, se van a calcular desde el punto C y C, los puntos

pertenecientes a la curva circular se calcularn desde O, y por ltimo los puntos pertenecientes ala alineacin recta r2, se van a calcular desde C.

r1

CVoV1

V2

Xo

Xo t

t

Tte

Tts

C

F

F v/2

w

t

t

O

L

D

L

r2

n

n

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Para poder realizar este clculo, es necesario, determinar las coordenadas de variospuntos y direcciones en el sistema general, como son C, C, O, ... y para ello es necesariocalcular los datos que aparecen en la siguiente tabla, deducidos de igual forma de cmo se hizoen el apartado 2.6.1.

Alineacin Distancia (m) Acimut (Grados g) Alineacin Distancia (m) Acimut (Grados g)

Vo a V1 900 1 = 105.0000 V1 a V2 1200 2 = 387.0000

ngulo V(Grados g) (Grados g) L (m) D (m) R (m) Y (m)

82 11.4592 72 298.708 1.079 4.310

X (m) Xo (m) t (m) Tt (m) r1 (m) r2 (m)

71.767 35.961 267.812 303.773 596.227 896.227

Las coordenadas de C y C, se obtienen a partir de conocer las coordenadas de V1 y elvalor de las tangentes totales.

Puntoorigen

CoordenadaX

CoordenadaY

Acimut Distancia

V1 - V0 Tte305.0000 303.773V1 - V2 Tts

V1 1897.226 929.387

387.0000 303.773

Puntoresultante

CoordenadaX

CoordenadaY

C 1594.389 953.221C 1835.625 1226.848

Las coordenadas de O, se obtienen a partir de conocer las coordenadas de n, fcilmentededucibles a partir del conocimiento del acimut de la alineacin y el valor de t. Una vezdeterminado n, la direccin n - O, es perpendicular a la anterior y la distancia, es la suma delradio de la curva circular y el retranqueo R, como se puede observar en la Figura n 31.

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Figura n 31. Determinacin de C, n y O.

Puntoorigen

CoordenadaX

CoordenadaY

Acimut Distancia

V1 - V0 tV1 1897.226 929.387 305.0000 267.812

V1 - V2 t

387.0000 267.812

Puntoresultante

CoordenadaX

CoordenadaY

n 1630.226 950.399n 1842.914 1191.635

Puntoorigen

CoordenadaX

CoordenadaY

Acimut Distancia

n - O R + Rn 1630.226 950.3995.0000 201.079n - O R + R

n 1842.914 1191.635 287.0000 201.079

Puntoresultante

CoordenadaX

CoordenadaY

O 1646.016 1150.858O 1646.016 1150.858

Una vez determinadas las coordenadas de los puntos origen de clculo de las diferentesalineaciones, el siguiente paso consiste en la determinacin de los puntos de desfase entrealineaciones como consecuencia de cambiar de punto de origen entre alineaciones y el valorconstante del desfase.

r1

CVoV1

Xo t

Tte

F v/2

w

O

L

D

n

R

R

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La alineacin recta Vo C, tiene una longitud r1 (596.227), esta se divide por lasecuencia (20 m) y tomando la parte entera del resultado, (29) nos sale el nmero de puntos acalcular.

Con origen en Vo, y el Acimut de la direccin de la alineacin V0

C, se vancalculando todos los puntos de la recta, simplemente incrementando el contador de la secuencia.

Puntoorigen

CoordenadaX

CoordenadaY

Acimut Distancia

V0 - V1 n* Secuencia105.0000 20V1 - V2 2n* Secuencia

V0 1000.000 1000.000

105.0000 40

Puntoresultante

CoordenadaX

CoordenadaY

Pk 0+20 1019.938 998.431Pk 0+40 1039.877 996.862

PK Coordenada. Coordenada Azi mut

X Y

0. 000 1000. 000 1000. 000 105. 0000

20. 000 1019. 938 998. 431 105. 0000

40. 000 1039. 877 996. 862 105. 0000

60. 000 1059. 815 995. 292 105. 0000

80. 000 1079. 753 993. 723 105. 0000

100. 000 1099. 692 992. 154 105. 0000

120. 000 1119. 630 990. 585 105. 0000

140. 000 1139. 568 989. 016 105. 0000

160. 000 1159. 507 987. 447 105. 0000

180. 000 1179. 445 985. 877 105. 0000

200. 000 1199. 383 984. 308 105. 0000

220. 000 1219. 322 982. 739 105. 0000

240. 000 1239. 260 981. 170 105. 0000

260. 000 1259. 199 979. 601 105. 0000

280. 000 1279. 137 978. 031 105. 0000

300. 000 1299. 075 976. 462 105. 0000

320. 000 1319. 014 974. 893 105. 0000

340. 000 1338. 952 973. 324 105. 0000

360. 000 1358. 890 971. 755 105. 0000

380. 000 1378. 829 970. 186 105. 0000

400. 000 1398. 767 968. 616 105. 0000420. 000 1418. 705 967. 047 105. 0000

440. 000 1438. 644 965. 478 105. 0000

460. 000 1458. 582 963. 909 105. 0000

480. 000 1478. 520 962. 340 105. 0000

500. 000 1498. 459 960. 770 105. 0000

520. 000 1518. 397 959. 201 105. 0000

540. 000 1538. 335 957. 632 105. 0000

560. 000 1558. 274 956. 063 105. 0000

580. 000 1578. 212 954. 494 105. 0000

El siguiente paso es determinar las coordenadas de los puntos de la curva clotoide, ypara ello, es necesario saber el valor de l1, primer arco de clotoide a calcular. Si el valor de la

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recta r1, hubiera sido mltiplo de la secuencia, el valor de l1,sera la secuencia pero como estono es probable, como en el ejemplo que nos ocupa, es necesario determinar el desfase, cuyoresultado ser:

= uenciasec*

uenciasec1renteraparte1r1Desfase

Desfase 1 (m)

16.227

Figura n 32. Clculo del desfase entre alineaciones.

El desfase 2, ser el resultado de restar al desfase uno la secuencia.

1DesfaseSecuencia2Desfase =

Desfase 2 (m)

3.773

Por tanto la primera longitud de arco de clotoide a calcular l1,, ser igual al desfase 2. Elarco l2, ser igual al arco l1 incrementado en la secuencia, as sucesivamente hasta el ltimopunto de esta alineacin curva que al no coincidir con el punto F, existir un tercer desfase, quese determinar a partir del conocimiento dela longitud de clotoide.

= uenciasec*

uenciasec

2DesfaseLenteraparte2desfaseL3Desfase

r1

C

VoV1

t

Tte

Fv/2

w

O

D

n

R

Desfase 1 Desfase 2

l 1

l 2

Desfase 3

Desfase 4

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Desfase 3 (m)

8.227

Para el clculo de los puntos de la clotoide, se parte del conocimiento de las

coordenadas del punto C y las longitudes de arco de clotoide a calcular.

A partir de conocer los diferentes arcos de clotoide li, se introducen en las ecuaciones,

...)RL2(685440

l

)RL2(9360

l

)RL2(216

l

)RL2(10

llx

8

17i

6

13i

4

9i

2

5i

ii +++=

...)RL2(75600

l

)RL2(1320

l

)RL2(42

l

)RL2(3

ly

7

15i

5

11i

3

7i

3i

i ++=

obtenindose las coordenadas cartesianas relativas de cada punto.

Figura n 33. Clculo de las coordenadas relativas cartesianas y polares para un punto pi.

A partir de ests, se obtienen las coordenadas polares para el mismos punto, aplicandolas ecuaciones:

C V1F

w/ 2

t

O

DR

sSl

y

x

Pi

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i

ii

i

ii x

yarctag

x

ytag ==

i

i

i

iiL cos

x

sen

yS ==

Si aplicamos las ecuaciones para el valor l1 (3.773 m), Pk 0 +600 y el siguiente de lasecuencia del ejemplo Pk 0+620, se obtiene:

l1 x (m) y (m) SL3.773 3.773 0.001 0.010 3.773

l1 x (m) y (m) SL23.773 23.772 0.155 0.416 23.773

A partir de las coordenadas de C y el acimut de la alineacin V 0V1, como quedailustrado en la Figura n 33, al ir la curva a la izquierda, habr que restar el ngulo paraobtener el acimut de la direccin, siendo el valor del radio polar igual al valor de la cuerda SL.

Pk l1 x (m) y (m)

SL0+600 3.773 3.773 0.001 0.010 3.773

Pkl2 =

l1 + n* Secuenciax (m) y (m) SL

0+620 23.773 23.772 0.155 0.416 23.773

Puntoorigen

CoordenadaX

CoordenadaY

C 1594.389 953.221

AcimutDireccin

AcimutDireccin

DistanciaPk

V0 - V1 (V0 - V1 )- SL0+600 105.0000 104.990 3.7730+620 105.0000 104.584 23.773

Puntoresultante

CoordenadaX

CoordenadaY

Pk 0+600 1598.150 952.925Pk 0+620 1618.100 951.510

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Pk Coordenada. Coordenada Azi mut

X Y

600. 000 1598. 150 952. 925 104. 9685

620. 000 1618. 100 951. 510 103. 7508

640. 000 1638. 084 950. 755 100. 7646

660. 000 1658. 074 951. 215 96. 0101

El punto F corresponde al Pk, 668.227, resultante de sumar r1 + L.

El desfase 4 corresponde al tramo inicial de curva circular, d1, cuyo valor ser:

3DesfaseSecuencia4Desfase =

Desfase 4 (m)

11.773

Figura n 34.Clculo de los puntos de la curva circular.

El primer punto de la curva circular, se encuentra al valor del desfase 4 del punto F, ylos siguientes estarn situados segn la secuencia, hasta encontrarse con el punto F, lugardonde se formar el desfase nmero 5, al no coincidir la secuencia, con el Pk del punto F.

Si D es el desarrollo de curva circular, el desfase ser:

=

uenciasec*uenciasec

4DesfaseD

enteraparte4desfaseD5Desfase

C Fv/2

w

t

O

D

RDesfase 3

Desfase 4

FDesfase 5

dd

1

2

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Desfase 5 (m)

6.935

El clculo de los puntos de la curva circular se va a realizar desde el punto O, centro de

la misma, y para ello el nico dato necesario de determinar es el acimut de cada direccin, elcual se calcular a partir de conocer el valor de los diferentes d i, arcos de circunferencia y poderdeterminar el correspondiente .

R2

400*d

400

R2d ii

ii

=

=

Con las coordenadas de O, y conocido el acimut de la direccin O n, se resta a estadireccin el valor de , y se tiene el acimut de la direccin O F. A partir de aqu, como puedeobservarse en Figura n 34 nicamente habr que ir restando los diferentes valores que se

obtengan de los correspondientes i

En el caso del ejemplo que se viene desarrollando, se tiene:

Puntoorigen

CoordenadaX

CoordenadaY

Acimut O - n Acimut O -FO 1646.016 1150.858 205.000 11.4592 193.5408

Acimut DistanciaPk d1 1

O F - 1 Radio680 11.773 3.7474 189.7935 200d2 =

d1 + n* Secuencia2 O F - 2 Radio

700 31.773 10.1137 183.4273 200

Puntoresultante

CoordenadaX

CoordenadaY

Pk 0+680 1677.944 953.423Pk 0+700 1697.495 957.597


X Y

680. 000 1677. 944 953. 423 89. 7935

700. 000 1697. 495 957. 597 83. 4273

720. 000 1716. 532 963. 701 77. 0611

740. 000 1734. 864 971. 676 70. 6949

760. 000 1752. 308 981. 441 64. 3287

780. 000 1768. 691 992. 899 57. 9625

800. 000 1783. 847 1005. 935 51. 5963

820. 000 1797. 627 1020. 419 45. 2301

840. 000 1809. 892 1036. 207 38. 8639

860. 000 1820. 519 1053. 140 32. 4977

880. 000 1829. 403 1071. 049 26. 1315

900. 000 1836. 454 1089. 756 19. 7654

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920. 000 1841. 603 1109. 073 13. 3991

940. 000 1844. 797 1128. 808 7. 0330

960. 000 1846. 005 1148. 763 0. 6667

Concluido el clculo de los puntos secuenciales situados en la curva circular, se

continua ahora con los de la clotoide de salida, finalizando con el tramo recto r2, siguiendo elmismo criterio que se ha seguido hasta ahora. Como resultado final, se obtendrn lascoordenadas de todos los puntos segn la secuencia establecida, y que se recogen en el listadosiguiente.

Tramo de la clotoide de salida

PK Coordenada. Coordenada Azi mut

X Y

980. 000 1845. 241 1168. 741 394. 67791000. 000 1842. 849 1188. 594 390. 3510

1020. 000 1839. 387 1208. 291 387. 7925

Tramo de recta r2


X Y

1040. 000 1835. 409 1227. 891 387. 0000

1060. 000 1831. 353 1247. 475 387. 0000

1080. 000 1827. 297 1267. 060 387. 0000

1100. 000 1823. 241 1286. 644 387. 0000

1120. 000 1819. 186 1306. 228 387. 0000

1140. 000 1815. 130 1325. 813 387. 00001160. 000 1811. 074 1345. 397 387. 0000

1180. 000 1807. 018 1364. 982 387. 0000

1200. 000 1802. 963 1384. 566 387. 0000

1220. 000 1798. 907 1404. 151 387. 0000

1240. 000 1794. 851 1423. 735 387. 0000

1260. 000 1790. 795 1443. 320 387. 0000

1280. 000 1786. 740 1462. 904 387. 0000

1300. 000 1782. 684 1482. 489 387. 0000

1320. 000 1778. 628 1502. 073 387. 0000

1340. 000 1774. 572 1521. 657 387. 0000

1360. 000 1770. 517 1541. 242 387. 0000

1380. 000 1766. 461 1560. 826 387. 0000

1400. 000 1762. 405 1580. 411 387. 0000

1420. 000 1758. 349 1599. 995 387. 0000

1440. 000 1754. 294 1619. 580 387. 0000

1460. 000 1750. 238 1639. 164 387. 0000

1480. 000 1746. 182 1658. 749 387. 0000

1500. 000 1742. 126 1678. 333 387. 0000

1520. 000 1738. 071 1697. 918 387. 0000

1540. 000 1734. 015 1717. 502 387. 0000

1560. 000 1729. 959 1737. 086 387. 0000

1580. 000 1725. 903 1756. 671 387. 0000

1600. 000 1721. 848 1776. 255 387. 0000

1620. 000 1717. 792 1795. 840 387. 0000

1640. 000 1713. 736 1815. 424 387. 0000

1660. 000 1709. 680 1835. 009 387. 0000

1680. 000 1705. 625 1854. 593 387. 0000

1700. 000 1701. 569 1874. 178 387. 0000

1720. 000 1697. 513 1893. 762 387. 0000

7/22/2019 tema9 clotoide _2004_

62/62



1740. 000 1693. 457 1913. 347 387. 0000

1760. 000 1689. 402 1932. 931 387. 0000

1780. 000 1685. 346 1952. 515 387. 0000

1800. 000 1681. 290 1972. 100 387. 0000

1820. 000 1677. 234 1991. 684 387. 0000

1840. 000 1673. 179 2011. 269 387. 0000

1860. 000 1669. 123 2030. 853 387. 00001880. 000 1665. 067 2050. 438 387. 0000

1900. 000 1661. 011 2070. 022 387. 0000

1920. 000 1656. 956 2089. 607 387. 0000

1935. 162 1653. 881 2104. 454 387. 0000

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