Tema3. Anillos de polinomios. Ideales de polinomios y anillo cociente.

7/25/2019 Tema3. Anillos de polinomios. Ideales de polinomios y anillo cociente.

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Captulo 6

Anillos de polinomios

Objetivos del captulo

Se estudian con mas profundidad los anillos de polinomios sobre un anillo arbitrario R. Centramosluego la atencion en los anillos de polinomios sobre anillos conmutativos, definiendo el homomor-fismo evaluacion.

Estudiamos los anillos de polinomios sobre un cuerpo F. Definimos polinomio irreducible y estu-diamos los primeros criterios de irreducibilidad. Estudiamos criterios de irreducibilidad propiospara Q[X] el anillo de polinomios sobre el cuerpo de los racionales.

Demostramos que F[X] es un dominio Eucldeo, un dominio de factorizacion unica y un dominio

de ideales principales (aunque sin estos nombres).

Por ultimo estudiamos cocientes F[X]/ < p(x) >, si p(x)= 0, demostramos que este anillo escuerpo o D.I si y solo si p(x) es un polinomio irreducible si y solo si < p(x) >es un ideal maximalo primo.

1. Anillos de polinomios sobre anillos arbitrarios

Aunque ya se han visto los anillos de polinomios sobre un anillo arbitrario R, verProposicion15(Pag.73). En este tema vamos a estudiar mas en profundidad alguna desus propiedades.

Proposicion 1 (Recordatorio) Sea R un anillo. Se define el anillo de series formalessobre Ry se representa por R[[X]] como:

R[X] := {f : N R} supondremos en este caso que 0 N

con suma y producto dado por:

Suma: (f+g)(k) :=f(k) +g(k). Producto: (f.g)(k) :=ki=0f(i)g(k i)

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118 6.1 Anillos de polinomios sobre anillos arbitrarios

Nota:Estais mas acostumbrados a denotar una serie por

n=0anXn. La informacion

necesaria para definir una serie son los coeficientes an (n N) y estos se pueden daren forma de funcion f : N R. Por tanto, podemos ver una serie como una funcionf : N R o, si queremos, como una suma formal, f n=0anXn en donde an no esmas que f(n).

Proposicion 2 (Recordatorio) Sea R un anillo. Se define el anillo de polinomios concoeficientes en R, y se denota por R[X] como el subanillo de R[[X]],

R[X] := {f : N R|f(i) = 0 casi para todo i}

Aunque esta es la definicion formal de anillo de polinomios, normalmente se represen-tan como:

R[X] := {a0+a1X+ +anXn | n N, ai R}En donde p(X) =a0+a1X+ anXn nos representa la funcion f : N R definida

por

f(k) :=

ak, k n0, k > n

Definicion 3 SeaR un anillo yR[X] el anillo de polinomios con coeficientes enR. Dado

p(X) =a0+a1X+ anXn

R[X] se dice que losaison loscoeficientes del polinomiosiendo, ak, el coeficiente que acompana a Xk el coeficiente k-esimo de p(X). Se define elgrado de un polinomio no nulo p(X) R[X] y se representa por dg(P(X)) como elmayork N tal queak= 0. Se dice que un polinomio es constantesi tiene grado cero.Se dice que un polinomio es monico si su coeficiente de mayor grado es 1.

Nota:Observar que, por construccion, dos polinomios son iguales si y solo si coincidencoeficiente a coeficiente.

Proposicion 4 SeaR un anillo. Entonces:

1. R es unitario si y solo siR[X] es unitario.

2. R es conmutativo si y solo siR[X] es conmutativo.

3. Sip(X), q(X) R[X] y el coeficiente de mayor grado dep(X) no es un divisor decero, entonces

dg(p(X)) q(X)) = dg(p(X)) + dg(q(X)).

4. SiR es un dominio de integridad:

a) Sip(X), q(X)

R[X], entoncesdg(p(X))

q(X)) = dg(p(X)) + dg(q(X)).

b) R[X] es un dominio de integridad.

c) Los elementos inversibles deR[X]son los polinomios constantesp(X) =a cona Inv(R)


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Captulo 6. Anillos de polinomios 119

Demo: (1). Supongamos que R es unitario y sea 1 la unidad de R. Consideremosp(X) = 1 el polinomio constante 1. Tenemos que dado q(X) =b0+b1X+ +bnXn,

p(X)q(X) = 1(b0+b1X+ +bnXn) =b0+b1X+ +bnXn =q(X)q(X)p(X) = (b0+b1X+ +bnXn)1 =b0+b1X+ +bnXn =q(X)

Supongamos que R[X] es unitario y sea p(X) = a0+a1X+ +anXn R[X] launidad. Entonces dado b R, consideremos q(X) el polinomio constate a b, tenemosentonces que

b= q(X) =p(X)q(X) = (a0+a1X+ +anXn)b= a0b+a1bX+ +anbXnb= q(X) =q(X)p(X) =b(a0+a1X+ +anXn) =ba0+ba1X+ +banXn

Luego, ba0 =b ya0b= b para todo b R, por lo que Res unitario con unidad a0.Nota: Como la unidad es unica, hemos demostrado en la implicacion anterior que la

unidad de R[X] es el polinomio constante a 1. As, a1, a2, . . . , an tienen que ser cero.(2). Supongamos que R es conmutativo. Dados p(X) = a0 +a1X+ +anXn y

q(X) =b0+b1X+ +bnXm, tenemos que

p(X)q(X) =n+mi=1

(i

j=0

aibji)Xi =

n+mi=0

(i

j=0

bjiai)Xi =()

n+mi=0

(i

j=0

biaji)Xi =q(X)p(X)

Nota: (

)ij=0 bjiai=1j=0 bjiai= ij=0 biaji.

(3). Sean p(X) = a0 +a1X+ + anXn y q(X) = b0 +b1X + +bnXm dospolinomios de R[X]. Supongamos que an no es divisor de cero (el caso bm no divisor decero es identico). Entonces

p(X)q(X) =

n+mi=0

(

ij=0

aibji)Xi

Como an no es divisor de cero, anbm= 0 y por tanto

dg(p(X))

q(X)) =n+m= dg(p(X)) + dg(q(X)).

(4). El apartado (a) es una consecuencia de (3).El apartado (b), es una mera comprobacion: si p(X) = a0 +a1X+ +anXn y

q(X) =b0+ b1X+ + bnXm son dos polinomios no nulos de R[X],an, bm= 0. Entonces

p(X)q(X) =

n+mi=0

(

ij=0

aibji)Xi = 0

ya que su coeficiente de mayor grado es anbm= 0.(c). Sea p(X) = a0 +a1X+

+anX

n

R[X] un polinomio inversible de R[X].

Entonces existe q(X) = b0+b1X+ +bnXm R[X] tal que p(X)q(X) = 1. Por elapartado (4)(a), dg(p(X)) + dg(q(X)) = 0 y por tanto, dg(p(X)) = 0 y dg(q(X)) = 0, esdecir, son polinomios constantes. Por ultimo, sia Res inversible, es claro que p(X) =aes tambien inversible en R[X].


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120 6.1 Anillos de polinomios sobre anillos arbitrarios

Nota: Que el grado del producto sea la suma de los grados no tiene que darse. As,si consideramos Z6[X], el anillo de los polinomios con coeficientes en Z6 y consideramos

p(X) = 1 + 2X2

, q(X) = 1 + 3X4

tenemos que p(X) q(X) = 1 + 2X2

+ 3X4

por lo que

dg(p(X) q(X)) = 4 = 6 = dg(p(X)) + dg(q(X))

Nota:En anillos que no son dominios de integridad el apartado 4(c) no es cierto. EnZ4[X], el polinomio 1 + 2Xes inversible, siendo su inverso el mismo.

Al igual que en el caso de los enteros nos encontramos aqu con un algoritmo de ladivision para polinomios sobre anillos arbitrarios:

Teorema 5 (Algoritmo de la division) SeaRun anillo y seap(X), q(X) R[X] su-pongamos que el coeficiente de mayor grado deq(X) es inversible enR. Entonces existendos unicos polinomiosc(X) yr(X) R[X] tales que

p(X) =c(X)q(X) +r(X) conr(X) = 0 o dg(r(X))< dg(q(X))

Demo: La demostracion es bastante similar a la demostracion del algoritmo de ladivision en Z. Consideremos el conjunto

:= {p(X) a(X)q(X)|con a(X) R[X]}Es claro que este conjunto es no vaco, p(X) .

Tenemos ahora dos posibilidades: si 0

, entoncesp(X) =c(X)q(X)+0 y tendramosque demostrar simplemente la unicidad. Caso contrario, si pensamos en los grados de estospolinomios, tenemos que es un subconjunto no vaco de los naturales, por lo que por elprincipio del buen orden del conjunto de los naturales existe un polinomio, que llamare-mos r(X) de grado mnimo (en no hay un polinomio que tenga grado menor).Como r(X) , existe c(X) R[X] tal que r(X) =p(X) c(X)q(X), es decir

p(X) =c(X)q(X) +r(X)

Veamos ahora que dg(r(X)) < dg(q(X)). Como nos va a hacer falta trabajar con loscoeficientes de estos polinomios, sea:

p(X) =a0+a1X+ +anXn, q(X) =b0+b1X+ +bmXm,r(X) =d0+d1X+ +drXr

Supongamos, por reduccion al absurdo, quer = dg(r(X)) dg(q(X)) =m. Como porhipotesis bm es inversible, sea b

1m su inverso en R. Entonces (aplicado el proceso normal

de division de polinomios, o simplemente comprobando) tenemos que

r(X) =c(X)q(X) +r(X), con dg(r(X)) = dg(r(X)) 1,en donde

c

(X) =drb1m X

rm

, y r

(X) =r(X) drb1m X

rm

q(X)Por tanto,

r(X) =r(X)c(X)q(X) =p(X)c(X)q(X)c(X)q(X) =p(X)(c(X)+c(X))q(X).


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Lo que implica que r(X) y tiene grado menos que r(X), una contradiccion. Luego

p(X) =c(X)q(X) +r(X) con r(X) = 0 o dg(r(X))< dg(q(X))

Veamos ahora la unicidad: Si



tenemos que c(X)q(X) +r(X) =c(X)q(X) +r(X) por lo que

(c(X) c(X))q(X) =r (X) r(X)

Entonces, si c(X) c(X)= 0, el grado de (c(X)c(X))q(X) es mayor o igualque m mientras que el grado de r(X) r(X) es menor que m, una contradiccion, luegoc(X) c(X) = 0 y por tanto r(X) r(X) = 0.

Nota: Hemos dado el algoritmo de la division por la izquierda (ya que R no es con-mutativo. Tambien se puede enunciar un algoritmo de la division por la derecha:

Teorema 6 (Algoritmo de la division) SeaRun anillo y seap(X), q(X) R[X] su-pongamos que el coeficiente de mayor grado deq(X) es inversible enR. Entonces existendos unicos polinomiosc(X) yr(X) R[X] tales que

p(X) =q(X)c(X) +r(X) conr(X) = 0 o dg(r(X))< dg(q(X))

2. Anillos de polinomios sobre anillos conmutativos.

En toda esta seccion vamos a trabajar con anillos conmutativos, lo que nos va apermitir hablar de homomorfismo evaluacion y factorizacion de polinomios.

Proposicion 1 (Recordatorio) Sean R y S dos anillos conmutativos y sea a S.Entonces para todo homomorfismos de anillosf :R Sexiste un unico homomorfismofs : R[X] Stal que fs(X) =s y hace conmutativo al siguiente diagrama:

R S

R[X]

i

f

fs

Nota:Recordamos que fs(a0+ a1X+

+ anX

n) :=f(a0) + f(a1)s +

+ f(an)s

n.

Definicion 2 (Recordatorio) SeaR un anillo conmutativo y sea R[X] el anillo de poli-nomios con coeficientes enR. Dados Ryp(X) R[X] se define al evaluacion dep(X)en s y se representa por p(s) como is(p(X)).


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122 6.2 Anillos de polinomios sobre anillos conmutativos.

Nota:Observar que tal como se demostro en la proposicion anterior, si consideramosel polinomio p(X) =a0+a1X+ +anXn R[X], y el elemento s R

p(s) := is(p(X)) =a0+a1s+ +ansn

Definicion 3 (Recordatorio) Sea R un anillo conmutativo y sea a R. Entonces laaplicacion

a: R[X] R definida por a(p(X)) :=p(a)en un epimorfismo de anillos, llamado el homomorfismo de evaluaci on asociado al a.

Teorema 4 (Teorema del Resto) SeaR un anillo conmutativo y unitario y seaa R.Seap(X) R[X]. Entonces el resto de dividirp(X) porX a esp(a).

Demo:ComoX aes un polinomio cuyo termino de mayor grado es inversible, es 1,puedo aplicar el algoritmo de la division a p(x) y X a, por lo que existe c(X)R[X]y r(X) R, de grado cero y por tanto un polinomio constante, r(X) = r0 R tal quep(X) =c(X)(Xa) + r0aplicando ahora el homomorfismo de evaluacion a este expresiontenemos que p(a) =c(a)(a a) +r0, lo que demuestra el enunciado.

Recordatorio:Sea R un anillo y sea a R. En general se tiene que:

Rxes un ideal por la izquierda de R.

Si R es unitario, Ra es un ideal por la izquierda de R que contiene a a. Si R no es unitario y queremos un ideal por la izquierda que contenga a a

tenemos que construir Ra+ Za.

aRes un ideal por la derecha de R.

Si R es unitario, aRes un ideal por la derecha de R que contiene a a. SiRno es unitario y queremos un ideal por la derecha que contenga a atenemos

que construir aR+ Za.

RaR= {finitauiavi| ui, vi R} es un ideal de R. Si R es unitario, RaR es un ideal de R que contiene a a. SiRno es unitario y queremos un ideal por la derecha que contenga a atenemos

que construir RaR+Ra+aR+ Za.

Si Res un anillo conmutativo Ra= aR es un ideal de R.

Si Res un anillo conmutativo y unitario Ra es un ideal de Rque contiene a a.

Corolario 5 SeaRun anillo conmutativo y unitario y seaa R. Entonces el nucleo delhomomorfismo evaluaciona es el ideal deR[X] generado porX a.


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Demo: Por el recordatorio anterior, el ideal de R[X] que contiene a X aes

R[X](X a) = {p(X)(X a)|p(X) R[X]}Es claro que si q(X) R[X](X a), es decir, q(X) = c(X)(X a), entonces q(a) =x(a)(a a) = 0 y por tanto q(X) Ker(a). Por otro lado, si q(x) Ker(a), entoncesq(a) = 0 y aplicando el teorema del resto, q(X) es divisible por X a, por lo queq(X) =c(X)(X a) R[X](X a).

Definicion 6 SeaR un anillo conmutativo y unitario y seap(X) R[X]. Se dice que unelementoa R es una raz dep(x) sip(a) = 0.

Teorema 7 Sea R un dominio de integridad. Entonces un polinomio p(X) R[X] degrado n tiene a lo sumo n races distintas.

Demo: Sea p(X) R[X] un polinomio de gradon y sean a1, . . . , ar r races distintasde p(X). Vamos a demostrar, por un proceso inductivo, que existe c(X) R[X] tal que

p(X) = (X a1)(X a2) (X ar)c(X)Sir = 1, el resultado se sigue del Teorema del resto. Supongamos que si tenemos n racesdistintas el polinomiop(X) factoriza en la forma anteriorp(X) = (Xa1)(Xa2) (Xas)c(X) y supongamos s+ 1 races distintas. Aplicando el principio de induccion a las sprimeras races, p(X) = (X a1)(X a2) (X as)c(X). Ahora,

0 =p(as+1) = (as+1 a1)(as+1 a2) (as+1 as)c(as+1)y como estamos en un anillo sin divisores de cero c(as+1) = 0, por lo que aplicando elTeorema del resto, c(X) = (X c(as+1))c(X) y por tanto

p(X) = (X a1)(X a2) (X ar)(X c(as+1))c(X)Lo que demuestra la induccion. Por ultimo,

dg(p(X)) = dg((X a1)(X a2) (X ar)c(X)) r

3. Anillos de polinomios sobre cuerpos.

Nos vamos a centrar en estudiar en esta secci on los anillos de polinomios sobre uncuerpo F. Por el momento sabemos que:

F[X] es un dominio de integridad. Tenemos un algoritmo de la division para elementos de F[X]. Un polinomiop(X) F[X] es inversible si y solo si es constante y no nulo. Para cada a F tenemos asociado un epimorfismo de anillos, el homomorfismo de

evaluacion, a : F[X] Fcon a(p(X)) =p(a). Un polinomiop(X) de grado ntiene a lo sumo nraces en F.


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124 6.3 Anillos de polinomios sobre cuerpos.

Veamos que en este contexto tambien podemos dar un teorema de factorizacion (aligual que en el caso de Z).

Definicion 1 Sea F un cuerpo y F[X] el anillo de polinomios con coeficientes en F.Diremos que un polinomio p(X) F[X] es irreducible si:

(i) dg(p(X)) = 0.(ii) Si p(X) =r(X) s(X) entonces dg(s(X)) = 0 o dg(R(X)) = 0.

Nota:Los polinomios irreducibles en F[X] van a jugar el papel de los numeros primosen Z. En este caso la condicion (i) nos dice que un irreducible no es cero o una unidad(recordar que los numeros primos son|p| 2). La condicion (ii) nos dice que si unpolinomio es irreducible y es producto de dos polinomios, uno de ellos es inversible (y portanto un elemento no nulo de F).

Nos vamos a preocupar de dar distintos criterios a lo largo de la seccion que nos asegurecuando un polinomio p(X) es irreducible (problema que puede ser muy complicado paraciertos polinomios sobre ciertos cuerpos).

Teorema 2 (Primer criterio de irreducibilidad) Sea F un cuerpo y p(X) F[X].Entonces:

(i) Si dg(p(X)) = 1, p(X) es irreducible.

(ii) Si p(X) es irreducible con dg(p(X))> 1, p(X) no tiene races sobre F.

(iii) Si dg(p(X)) = 2 o 3,p(X) es irreducible si y solo si no posee races en F.

Demo:(i). Supongamos que p(X) =q(X)r(X) con q(X), r(X) R[X]. Como1 = dg(p(X)) = dg(q(X)) + dg(r(X))

se tiene que dg(q(X)) = 1 y dg(r(X)) = 0, o dg(q(X)) = 0 y dg(r(X)) = 1, lo quedemuestra que p(X) es irreducible.

(ii). Supongamos quep(X) es de grado mayor que 1 y supongamos que posee una raza F. Por el teorema del resto existe c(X) F[X] tal quep(X) = (Xa)c(X). Entoncesdg(X a) = 1 y dg(c(X) = dg(p(X)) 1 1, es decir, p(X) no es irreducible.

(iii). Por el apartado anterior, si p(X) es irreducible, no posee races en F. Supongamosahora quep(X) no posee races en F y seanc(X), r(X)

F[X] tales quep(X) =c(X)r(X).

Sir(X) (resp.c(X)) tiene grado 1, entoncesr(X) =aX+ bcon a, b F,a = 0. Por tantob/a F es raz de r(X) (resp.c(X)) y por tanto raz es raz de p(X), una contradiccion.Luego si

2 = dg(p(X)) = dg(c(X)) + dg(r(X))

las unicas posibilidades son dg(c(X)) = 2 y dg(r(X)) = 0 o dg(c(X)) = 0 y dg(r(X)) = 2yp(X) es irreducible. Y s

3 = dg(p(X)) = dg(c(X)) + dg(r(X))

las unicas posibilidades son dg(c(X)) = 3 y dg(r(X)) = 0 o dg(c(X)) = 0 y dg(r(X)) = 3yp(X) es irreducible.

Nota: Para polinomios de grado cuatro el resultado (iii) ya no es cierto. Para elcuerpo de los Reales, tenemos que el polinomio p(X) = X4 + 2X2 + 1 no es irreducible,p(X) = (X2 + 1)2 y no tiene races en R, ya que sus races son i, i (ambas doble).


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3.1. Factorizacion de polinomios

En esta seccion vamos a ver que el anillo de polinomios sobre un cuerpo F se comporta,con respecto a la factorizacion, de forma bastante parecida a como se comporta el anillode los enteros Z.

Vamos a empezar demostrando la existencia de un maximo comun divisor en el anillode polinomios F[X] con Fun cuerpo.

Definicion 3 Sea Fun cuerpo y F[X] el anillo de polinomios con coeficientes en F. Seanp(X), q(X) dos polinomios de F[X]. Se dice que p(X) divide a q(X) y se denota p(X)|q(X)si existe c(X) F[X] tal que q(X) =c(X)p(X).

Definicion 4 Sea Fun cuerpo y F[X] el anillo de polinomios con coeficientes en F. Sean

p(X), q(X) dos polinomios de F[X], alguno no nulo. Se define el maximo comun divisorde p(X) yq(X) en F[X] como un polinomio d(X) F[X] tal que:

d(X) es un polinomio monico. d(X) divide a p(X) y a q(X). Si h(X) F[X] divide a p(X) y a q(X), entonces h(X) divide a d(X).

Proposicion 5 Sea F un cuerpo y F[X] el anillo de polinomios con coeficientes en F.Sean p(X), q(X) dos polinomios de F[X] con p(X) = 0. Entonces:

(i) existe y el unico el maximo comun divisor de p(X) y q(X) que denotaremos porm. c. d(p(X), q(X)).

(ii) Existenr(X), s(X) F(X) tales que

m. c. d(p(X), q(X)) =r(X) p(X) +s(X) q(X)

Demo: La demostracion de este teorema es bastante similar a la demostraci on hechaen el anillo de los enteros. Consideremos el conjunto,

:= {a(X) p(X) +b(X) q(X) = 0|a(X), b(X) F[X]}Este conjunto es no vaco, ya que p(X) y q(X) . Si nos fijamos en este conjunto,habra un polinomio (o mas) que tenga grado mnimo. Veamos que podemos conseguir unpolinomio monico de grado mnimo: sea d(X) un polinomio con grado mnimo. Pordefinicion de existiran r(X), s(X) F[X] tales que

d(X) =r(X) p(X) +s(X) q(X).

Por otro lado, si d(X) =d0+d1X+ +dkXk con dk no nulo y distinto de 1, dividiendotoda la expresion por dk, es decir, tomando r(X) =r

(X)/dk, s(X) =s(X)/dk tenemos

que d(X) =d(X)/dk es monico y tiene grado mnimo en :

d(X) =d(X)/dk =r(X) p(X) +s(X) q(X). (1)

Veamos qued(X) verifica las propiedades del maximo comun divisor de p(X) yq(X).


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Veamos que d(X) divide a p(X) y a q(X): Por el algoritmo de la division parapolinomios, al dividir p(X) por d(X), existen c(X), u(X) F[X] tales que

p(X) =c(X)d(X) +u(X) con u(X) = 0 o dg(u(X))< dg(d(X)).

Siu(X) = 0 ya hemos terminado, en caso contrario, si despejamos u(X) de esta expresiony sustituimos d(X) de la expresion (1) tenemos,

u(X) =p(X) c(X)d(X) =p(X) c(X)(r(X)p(X) +s(X)q(X)) =(1 c(X)r(X))p(X) c(X)s(X)q(X)

Una contradiccion ya que por la forma que tiene, u(X) seria un elemento de de gradomenor que d(X). Por tanto, u(X) = 0. De forma analoga se demuestra que d(X) divide

a q(X). Seav(X) F[X] tal quev(X) divide ap(X) y aq(X). Tenemos entonces que existen

p(X) yq(X) F[X] tales que p(X) =v(X)p(X) y q(X) =v(X)q(X). Entonces

d(X) =r(X) p(X) +s(X) q(X) =r(X) v(X) p(X) +s(X) v(X) q(X)=v(X)(r(X) p(X) +s(X) q(X))

Es decir, v(X) divide a d(X).Por ultimo demostremos la unicidad: supongamos d(X) yd (X) verifican ambos las

propiedades del m. c. d(p(X), q(X)), es decir,

Al verificar d(X) las propiedades del maximo comun divisor,(i) d(X) es un polinomio monico.

(ii) d(X) divide a p(X) y a q(X).

(iii) Si h(X) F[X] divide a p(X) y a q(X), entonces h(X) divide a d(X).Al verificar d(X) las propiedades del maximo comun divisor,

(i) d(X) es un polinomio monico.

(ii

) d

(X) divide a p(X) y a q(X).

(iii) Si h(X) F[X] divide a p(X) y a q(X), entonces h(X) divide a d(X).por (ii), d(X) divide a p(X) y a q(X) y por (iii), d(X) divide a d(X), por lo qued(X) = a(X)d(X), por lo que el grado de d(X) es mayor o igual al grado de d(X).Cambiando los papeles de ambos, por (ii), d(X) divide a p(X) y a q(X), y por (iii),d(X) divide a d(X), por lo qued(X) =a(X)d(X) por lo que el grado de d(X) es mayoro igual al grado de d(X). Tenemos entonces que ambos grados coinciden y por tanto,a(X) es un polinomio constante (no nulo), por tanto a(X) = F. Por ultimo, comoambos polinomios son monicos = 1 yd(X) coincide con d(X).

Lema 6 (ejercicio) SeaFun cuerpo, F[X]el anillo de polinomios con coeficientes enFyp(X), q(X), c(X), r(X) F[X]. Supongamos quep(X) =c(X)q(X) + r(X). Demuestraquem. c. d(p(X), q(X)) = m. c. d(q(X), r(X)).


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Corolario 7 (ejercicio) SeaF un cuerpo, F[X] el anillo de polinomios con coeficientesenF. Entonces, se puede usar el algoritmo de Euclides para calcular el maximo comun

divisor de dos polinomiosp(X), q(X) F[X].Lema 8 SeaF un cuerpo yF[X]el anillo de polinomios con coeficientes enF. Seanp(X),q(X)dos polinomios deF[X], conp(X)irreducible, seaanes el coeficiente de mayor gradodep(X) y bm es el coeficiente de mayor grado de q(X) y un elemento no nulo deF.Entonces

(i) p(X) es tambien un polinomio irreducible deF[X].

(ii) m. c. d(p(X), q(X)) = 1 o a1n p(X).

(iii) Siq(X) es tambien irreducible con p(X)

|q(X), entoncesq(X) =bma1

n p(X).

Demo:(i) es trivial.(ii). Denotemos pord(X) el maximo comun divisor dep(X) y q(X). Comod(X) divide

a p(X) tenemos que existe p(X) F[X] tal que p(X) =d(X)p(X). Pero como p(X) esun polinomio irreducible tenemos dos posibilidades:

dg(p(X)) = 0, por lo que p(X) = F. Ademas, como d(X) es monico, elcoeficiente de mayor grado de p(X) =d(X)p(X) =d(X) es (=an) y por tanto

m. c. d(p(X), q(X)) =d(X) =a1n p(X).

dg(d(X)) = 0, por lo que d(X) es constante, pero como tambien es monico,m. c. d(p(X), q(X)) =d(X) = 1.

(iii) se deduce de (ii).

Proposicion 9 Sea F un cuerpo y F[X] el anillo de polinomios con coeficientes en F. Seanp(X), f1(X), f2(X), . . . , f n(X) tales que p(X) es irreducible sobre Fy divide al productof1(X) f2(X) fn(X). Entonces p(X) divide a alguno de losfi(X).

Demo:Sea an el coeficiente de mayor grado de p(X). Vamos a dar una demostracion

por induccion a n, el numero de polinomios que aparece en el producto.Si n= 2 tenemos p(X) divide a f1(X) f2(X), es decir f1(X)f2(X) =t(X)p(X). Sea

d(X) = m. c. d(p(X), f1(X)). Por el apartado anterior, tenemos dos posibilidades: (a).d(X) =p(X)/an por lo que como d(X) divide a f1(X),

f1(X) =f1(X)(a

1n p(X)) = (f

1(X)a

1n )p(X),

es decir, p(X) divide a f1(X).(b).d(X) = 1 por lo que aplicando el teorema de existencia del maximo comun divisor,

existen r(X), s(X) F[X] tales que 1 = r(X)p(X) + s(X)f1(X). Si multiplicados estaexpresion por f2(X) tenemos que

f2(X) =f2(X)r(X)p(X) +f2(X)s(X)f1(X) =f2(X)r(X)p(X) +s(X)f1(X)f2(X) =

f2(X)r(X)p(X) +s(X)t(X)p(X) = (f2(X)r(X)) +s(X)t(X))p(X)


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es decir, p(X) divide a f2(X).Supongamos ahora el resultado cierto para n 1, es decir,

si p(X)|f1(X)f2(X)fn1(X), entoncesk {1, 2, . . . , n 1} tal que p(X)|fk(X).

Supongamos que p(X) divide f1(X) f2(X) fn(X). Por el caso n = 2, p(X) divide alproducto (f1(X) f2(X) fn1(X)) fn(X) y por tanto,

o divide a fn(X) o divide al producto f1(X) f2(X) fn1(X) y por la hipotesis de induccionk

{1, 2, . . . , n 1} tal que p(X)|fk(X).

Teorema 10 (Teorema de factorizacion unica) Sea Fun cuerpo y F[X] el anillo depolinomios con coeficientes en F. Entonces, dado un polinomio no constante f(X) F[X]existen unos unicos polinomios irreducibles y monicos p1(X), p2(X), . . . , pk(X), y unosunicos numeros naturales n1, . . . , nk tales que, salvo el orden,

f(X) =an(pn11 (X) pn22 (X) pnkk (X))

en donde an es el coeficiente de mayor grado de f(X).

Demo:Vamos a demostrar el resultado por induccion al grado def(X). Sif(X) tienegrado 1,f(X) =aX+b F[X] por lo quef(X) =a(X+a1b) conX+a1bun polinomiomonico e irreducible (ver lema anterior).

Supongamos ahora quef(X) tiene gradon. Sif(X) es irreducible,f(X) =an(a1mf(X))

con a1mf(X) un polinomio monico e irreducible de F[X]. Si f(X) no es irreducible, en-tonces existen dos polinomios de grados menores tales que f(X) =u(X)v(X). Aplicandoahora el proceso de induccion a u(X) yv(X) tenemos que

u(X) =(qm11 (X) qm22 (X) qmss (X))v(X) =(tl11(X) tl22(X) tlrr(X))

Por lo que

f(X) =(qm11 (X) qm22 (X) qmss (X))(tl11(X) tl22(X) tlrr(X))

Es mas, como todos los polinomios irreducibles son monico, el producto de estos es unpolinomio monico y por tanto tiene que coincidir con el coeficiente de mayor grado def(X). Por lo que tenemos demostrado la existencia de la factorizacion.

Demostremos ahora la unicidad de la factorizacion: Vamos a dar una demostracionpor induccion al grado del polinomio f(X): Si f(X) tiene grado uno, f(X) = aX+b,por lo que factoriza como a(X+ba1). Si suponemos cualquier otra factorizacion paraf(X) = d(pn11 (X) pn22 (X) pnkk (X)), como los polinomios irreducibles tienen al menosgrado 1, nk = 1, n1 = 1 y p1(X) = X+ c (tiene que tener grado 1), por lo que f(X) =

d(X+ c) igualando ahora coeficientes tenemos que d= a y c= a1b. Supongamos ahoraque

f(X) =an(pn11 (X) pn22 (X) pnkk (X)) =an(qm11 (X) qm22 (X) qmrr (X))


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En donde pi(X) y qj(X) para i = 1, 2, . . . k, j = 1, 2, . . . , r son polinomios irreducibles.Tenemos entonces que p1(X) divide a f(X) y por tanto divide a alguno de los qi(X),

reordenando estos podemos suponer que esq1(X). Por tanto, por el lema anterior,p1(X) =q1(X) y dividiendo por este tenemos que

an(pn111 (X) pn22 (X) pnkk (X)) =an(qm111 (X) qm22 (X) qmrr (X))

Como este polinomio tiene grado menor que f(X) podemos aplicar la hipotesis deinduccion para demostrar que k =r , cada pi(X) se corresponde con un qj(X) (ordenan-do estos podemos suponer que estan en el mismo orden y estan elevados a las mismaspotencias), es decir, n1 1 =m1 1 (por lo que n1=m1), n2=m2, . . . , nk =mk.

3.2. Ideales enF

[X]En esta ultima seccion del tema vamos a estudiar como son y que propiedades tienen

los ideales del anillo de polinomios sobre un cuerpo F. Como postre vamos a estudiar losanillos cocientes en F[X].

Recordamos que dado un elemento p(X) F[X], el ideal generado por p(X) es,F[X]p(X) = {f(X) p(X)|f(X) F[X]} = F[X] p(X)

es decir, el conjunto de todos los polinomios que son divisibles por p(X). Este ideal sedenota por < p(X)> y es llamado el ideal principal generado por p(X).

Ya demostramos que si Ies un ideales de Z, entonces existe n

N tal que I = nZ.

Veamos un resultado similar para el anillo de polinomios sobre un cuerpo:

Teorema 11 SeaF un cuerpo yF[X] el anillo de polinomios con coeficientes enF. SeaIun ideal no nulo deF[X]. Entonces existe un unico polinomio f(X) F[X] monico talqueI=< f(X)>. Es decir, todo ideal deF[X] es principal.

Demo: La demostracion es identica a la dada para Z. De entre todos los polinomiospertenecientes a I, sea f(X) I uno con grado mnimo. Tenemos que si el coeficientede mayor grado es an, f(X) = a

1n f(X)I es monico y de grado mnimo. Veamos que

I=< f(X)>. Por un lado, como f(X) I, por lo que aplicando las condiciones de ideal,para todo p(X) F[X] tenemos que p(X)f(X) I, es decir, < f(X) > I. Por otrolado, si p(X) I, aplicando el algoritmo de la division existen c(X), r(X) F[X] talesque

p(X) =c(X)f(X) +r(X) con r(X) = 0 o dg(r(X))< dg(f(X))

Si dg(r(X)) < dg(f(X)), r(X) = p(X) c(X)f(X)I(ya que c(X)f(X)I) y tienegrado menor que f(X), una contradiccion. Por tanto r(X) = 0 y p(X) < f(X)>.

Veamos ahora la unicidad: Si I=< f(X)>=< g(X)> con f(X) y g(X) dos polino-mios monicos de F[X]. Entonces

f(X)< g(X) >, luego existe c(X)F[X] tal que f(X) = c(X)g(X). Por tanto,aplicando la formula de los grados, dg(g(X)) dg(f(X))

g(X) < f(X)>, luego existe c

(X) F[X] tal que g(X) =c

(X)f(X). Por tantodg(f(X)) dg(g(X))

Luego dg(f(X)) = dg(g(X)) y c(X) es un polinomio constante. Por ultimo, comoambos polinomios son monicos, c(X) = 1 yf(X) =g(X).


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Teorema 12 SeaF un cuerpo yF[X] el anillo de polinomios con coeficientes enF. Seap(X) un polinomio no nulo deF[X] eI=< p(X)> el ideal deF[X] generado porp(X).

Las siguientes condiciones son equivalentes:

(i) p(X) es un polinomio irreducible deF[X].

(ii) Ies un ideal maximal deF[X].

(iii) F[X]/Ies un cuerpo.

(iv) F[X]/Ies un dominio de integridad.

(v) Ies un ideal primo deF[X].

Demo: (i) = (ii). Supongamos que p(X) es un polinomio irreducible de F[X].Veamos que Ies un ideal maximal de F[X]. En primer lugar, I= F[X] ya que p(X) esun polinomio de grado mayor que cero. Sea Jun ideal de F[X] tal que I J K. ComoJ es un ideal principal de F[X], existe g(X) F[X] tal que J =< g(X) >. por tanto,existec(X) F[X] tal que p(X) =c(X)g(X). Ahora, por el caracter irreducible de p(X)tenemos que dg(c(X)) = 0 por lo que < g(X)>=Io dg(g(X)) = 0 por lo que J= F[X].

(ii) = (iii) es consecuencia del Teorema4(Pag.113).(iii) = (iv) es trivial (a estas alturas del curso).(iv) = (v) es consecuencia del Teorema 6(Pag.113).(v) = (i). Por hipotesis I= F[X], por lo que el grado de p(X) no es cero. Por otro

lado, si p(X) =f(X)g(X) (luego el grado de f(X) y g(X) es menor o igual al grado dep(X)), tenemos que f(X)g(X) Ipor lo que por la condicion de ser un ideal primo deF[X], tenemos dos posibilidades:

f[X] I, por lo que existe c(X) F[X] tal que f(X) = c(X)p(X). Esto implicaque dg(f(X)) = dg(p(X)) y por tanto g(X) tiene grado cero.

g[X] I, por lo que existe c(X) F[X] tal que g(X) = c(X)p(X). Esto implicaque dg(g(X)) = dg(p(X)) y por tanto f(X) tiene grado cero.

Luego p(X) es un polinomio irreducible de F[X].

3.3. Cocientes enF[X]Vamos a estudiar ahora como son los cocientes en F[X]. Sea I un ideal de F[X]

Quien es F[X]/I?. Sabemos que existe un unico polinomio monico f(X) F[X] tal queI=< f(X)>. Supongamos que f(X) =Xn +an1X

n1 + +a1X+ a0. Veamos que todo polinomio de F[X] es congruente a un polinomio de grado menor

que n modulo I. Es decir, que dado p(X)F[X] existe q(X) F[X] con dg(q(X)) < ntal que f(X) q(X) en F[X]/I:

Aplicando el algoritmo de la division, existen c(X), r(X) F[X] tales que

p(X) =c(X)f(X) +r(X) conr(X) = 0 o dg(r(X))< dg(f(X))

Por tanto f(X) =r(X) en F[X]/I.Por tanto tenemos que F[X]/I ={q(X)| dg(q(X)) < n}. Es mas, ningun polinomio

de grado menor que npuede ser congruente a cero modulo I, por lo que en este conjunto
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todos los representantes son distintos. Por ultimo, la suma es componente a componentey el producto sigue las reglas anteriores (si en un producto alguna potencia es mayor que

n, se sustituye por su congruente de grado menor).Observar que por ejemplo,X

n F[X]/Ies: 0 f(X) =Xn + an1Xn1 + + a1X+a0, por lo que

Xn = (an1Xn1 + +a1X+ a0) F[X]/I

Teorema 13 (ejercicio) Sea Fun cuerpo, F[X] el anillo de polinomios con coeficientesen F y p(X) F[X] no constante. Entonces la aplicacion : F F[X]/ < p(X) >definida por () = es un monomorfismo de anillos. Ademas,

si p(X) es un polinomio irreducible de F[X], F[X]/ < p(X) > es un cuerpo y F

puede verse como un subcuerpo de F[X]/ < p(X)>,F Im() F[X]/ < p(X)> .

El polinomio p(X) posee una raz en F[X]/ < p(X)>.

Ejemplos A SeaR es cuerpo de los reales y sea p(X) = X2 + 1 R[X]. Calculemosquien esR[X]/ < p(X) >. En primer lugar, como p(X) es un polinomio irreducible deR[X], El anillo cocienteR[X]/ < p(X)> es un cuerpo.

Los elementos deR[X]/ < p(X)> son de la forma{ax+b| cona, b R}. La sumaes componente a competente y el producto es

(ax+b) (cx+d) =acX2 + (ad+bc)X+ bd (ad+bc)X+ bd ac

Ya que X2 1 modulo I. Por tanto este cociente no es mas que el cuerpo de los

complejos.

4. Irreducibilidad de polinomios sobreQ, R o C.

Aunque hemos estudiado bastantes propiedades relativas a polinomios irreducibles enF[X] la realidad es que es complicado saber cuando un polinomio es o no es irreducible,

incluso en cuerpos tan estudiados como Q, Ro C. En esta seccion estudiaremos un pocoeste problema.

4.1. Sobre el cuerpo de los complejos y de los reales

Por primera y unica vez en esta asignatura vamos a enunciar y utilizar un resultado sindemostrarlo previamente. Dicho resultado se denomina, curiosamente, el Teorema Funda-mental del algebra. Es un resultado, facil de entender, difcil de demostrar (curiosamentelas demostraciones de este teorema suelen hacer uso de teoras procedentes del analisismatematico). En cualquier caso este resultado nos va a ser muy util ya que va a permitircaracterizar los polinomios irreducibles sobre C y tener un amplio conocimiento sobres

los polinomios irreducibles sobre R.

Definicion 1 Se dice que un cuerpo F es algebraicamente cerrado si dado p(x) F[X]con dg(p(X) 1 se tiene que p(X) tiene una raz en F.


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132 6.4 Irreducibilidad de polinomios sobreQ, R o C.

Teorema 2 Sea F un cuerpo algebraicamente cerrado. Entonces un polinomio p(X)F[X] es irreducible si y solo si dg(p(X)) = 1.

Un breve resumen del cuerpo de los complejos:Denotemos por i un numero imaginario que verifique que i2 =1 y sea C el con-

junto:C := {a+bi|a, b R}.

Dado z = a+ bi C diremos que a es la parte real de zmientras que b es su parteimaginaria. Vamos a poder definir una suma y un producto en C:

La suma se define: (a+bi) + (c+di) = (a+c) + (b+d)i

El producto se define: (a+bi)

(c+di) = (ac

bd) + (ad+bc)i

Nota: observar que no son suma y productos arbitrarios, ya que la suma se realizaaplicando la propiedad distributiva y conmutativa y el producto aplicando ademas elhecho de que i2 = 1.Nota:Todo numero Real lo podemos ver como un numero Complejo, ya que todoa R

puede verse como a+ 0i C. De ahora en adelante siempre veremos los numeros Realescomo un subconjunto de los Complejos.

Antes de ver las propiedades que verifican los numeros Complejos veamos algunasdefiniciones y propiedades.

Definicion 3 Seaz=a +bi C. Se define elconjugado dezy se denota porzcomoz=a bi.

Definicion 4 Seaz=a + bi C. Se define elmodulodez, y se representa por |z| comoel numero Real,|z| =a2 +b2

Nota:Observar que un numero Complejo es cero si y solo si su modulo es cero, es decir:dado z=a+bi C

z= 0 |z| = 0.

Lema 5 Seanz, w

C dos numeros Complejos. Entonces

z+w = z+w.

z w=z w.zz= |z|2.

Lema 6 Sea0 = z= a +biC un numero Complejo. Entonces el inverso dez es z|z|2

.Es decir,

1

a+bi=

a

a2 +b2 b

a2 +b2i.

Nota:Ya sabemos sumar, restar, multiplicar y dividir numeros complejos:

a+bi

c+di= (a+bi)(c+di)1 = (a+bi)(

c

c2 +d2 d

c2 +d2i).


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Teorema 7 (Teorema fundamental del Algebra) El cuerpo de los complejos es al-gebraicamente cerrado.

Corolario 8 Sea C el cuerpo de los complejos. Entonces

(i) Todo polinomiop(X) C[X] se factoriza como producto de polinomios de grado 1.Es decir, existen a, 1, 2, . . . , n Ctales que

p(X) =a(X 1)(X 2) (X n)en donde a es el coeficiente de mayor grado de p(X) y 1, 2, . . . , n son las racesde p(X) en C.

(ii) Un polinomiop(X)

C[X] es irreducible sobre C si y solo si dg(p(X)) = 1.

Esto nos da la posibilidad de describir los polinomios irreducibles sobre R.

Corolario 9 Sea R el cuerpo de los reales. Entonces

(i) Un polinomio p(X) R[X] es irreducible si y solo sidg(p(X)) = 1 o,

dg(p(X)) = 2, p(X) =X2 +X+con 2 4


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En esta factorizacion no sabemos que c(X) R[X] (en principio esta en C[X]). Si dividi-mos p(X) por X2 2aX+ a2 +b2 en R[X] tenemos que

p(X) = (X2 2aX+ a2 +b2)c(X) +r(X),luego r(X) =p(X) (X2 2aX+ a2 +b2)c(X) y a+bi, a bison races de r(X)!!!

r(a+bi) =p(a+bi) ((a+bi)2 2a(a+bi) +a2 +b2)c((a+bi)) =p(a+bi) = 0r(a bi) =p(a bi) ((a bi)2 2a(a bi) +a2 +b2)c((a bi)) =p(a bi) = 0

Por lo quer(X) es un polinomio de grado 1 con dos races, es decir,r(X) = 0. Es decir,c(X) = c(X) y p(X) = (X2 2aX+a2 +b2)c(X) con c(X)R[X]. Por ultimo, comop(X) es irreducible, deg(c(X)) = 0 y p(X) = c0(X

2 2aX+a2 +b2), que claramentetiene discriminante negativo:

(2c0a)2 4c20(a2 +b2) =c20(4a2 4a2 4b2) = 4b2c20


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Proposicion 11 (Ejercicio) Sea Z el anillo de los enteros y sea k Z. Entonces laaplicacionk : Z[X]Zk[X] con(a0+ a1X+ +anXn) =a0+ a1X+ +anXnes un epimorfismo de anillos.

Nota: Normalmente denotaremos porp(X) a la imagen dep(X) Z[X] pork. Esdecir, k(p(X)) :=p(X)

Teorema 12 (Lema de Gauss) SeaZ el anillo de los enteros y seapZ un numeroprimo. Seang(X), h(X) Z[X] yf(X) =g(X) h(X). Supongamos quepdivide a todoslos coeficientes def(X). Entoncesp divide a todos los coeficientes deg(X) o p divide atodos los coeficientes deh(X).

Demo: Sean f(X) = a0 +a1X+ +anXn, g(X) = b0 +b1X+ +bmXm, yh(X) = c0 +c1X+

+ckX

k. Consideremos el homomorfismo p : Z[X]

Zp[X].Tenemos entonces que

p(f(X)) = p(a0+a1X+ +anXn) =a0+a1X+ +anXn = 0

Por otro lado,

0 = p(f(X)) = p(g(X) h(X)) = p(g(X)) p(h(X))

Pero como Zp[X] es un dominio de integridad,

0 = p(g(X)) =a0+b1X+

+bmX

m

con lo que todo bi es multiplo de po,

0 = p(h(X)) =c0+c1X+ +ckXk

con lo que todo ci es multiplo de p.

Definicion 13 Seap(X) Z(X) un polinomio. Se dice quep(X) =g(X) h(X) es unafactorizacion propia dep(X) sidg(g(X)) 1 ydg(h(X)) 1.

Teorema 14 Seap(X) Z[X]. Entoncesp(X) es un polinomio irreducible enQ[X] si ysolo si no admite factorizaciones propias enZ[X].

Demo: Si p(X) admite una factorizacion propia en Z[X], por definicion, p(X) no esirreducible en Q[X]. Supongamos ahora que p(X) no es irreducible en Q[X], veamos queentonces admite una factorizacion propia. Tenemos entonces que existen dos polinomiosq(X), h(X) Q[X] ambos de grado mayor que 1 tal que p(X) =q(X)h(X). Si buscamosun denominador comun para los coeficientes de q(X) y h(X) tenemos que

p(X) =a0+a1X+

+anX

n con ai

Z, i= 1, 2, . . . , n

q(X) =b1(b0+b1X+ +bmXm) con b, bi Z, i= 1, 2, . . . , mh(X) =c1(c0+c1X+ +crXr) conc, ci Z, i= 1, 2, . . . , r


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Por lo que

p(X) =b

1

c

1

(b0+b1X+ +bmXm

)(c0+c1X+ +crXr

)

Es mas, podemos suponer que b y c no tienen ningun primo en comun con todos los bi(i= 1, 2, . . . , m) ni con todos loscj (j = 1, 2, . . . , r) ya que si los tuviera lo simplificamos.Ahora,

bcp(X) = (b0+b1X+ +bmXm)(c0+c1X+ +crXr)Luego cualquier primo de la factorizacion de bc es un primo comun para todos los coefi-cientes del polinomio bcp(X), por lo que por el Lema de Gauss, Teorema12(Pag.135),este primo esta en todos los coeficientes de b0+b1X+ +bmXm o en todos los coeficientesde c0+c1X+ +crXr, una contradiccion. Por tanto bc= 1 y hemos encontrado una

factorizacion propia de p(X) enZ

[X].

Teorema 15 (criterio de irreducibilidad modular) SeaZ el anillo de los enteros ysea0 =f(X) Z[X]. Supongamos que existe un numero primo p Z tal que:

p no divide al coeficiente de mayor grado def(X) f(X) es un polinomio irreducible enZp[X].

Entoncesf(X) es un polinomio irreducible sobreQ[X].

Demo:Por reduccion al absurdo. Si f(X) es irreducible sobre Q[X], entonces admite

una factorizacion propia sobre Z[X], por tanto existe bi Z, i = 1, 2, . . . , m y ci Z,i= 1, 2, . . . , rtales que

f(X) = (b0+b1X+ +bmXm)(c0+c1X+ +crXr)Por tanto, por la proposicion11(Pag.135),

k : Z[X] Zp[X] con (a0+a1X+ +anXn) =a0+a1X+ +anXn

es un epimorfismo de anillos. Por tanto

k(f(X)) = k(b0+b1X+

+bmXm)k(c0+c1X+

+crX

r)

Por ultimo, como el coeficiente de mayor grado de f(X) no es multiplo de p, k(f(X))tiene gradom + r, por lo que por la formula de los grados, solo puede ocurrir que k(b0+b1X+ +bmXm) tenga grado m y k(c0 +c1X+ +crXr) tenga grado r. Unacontradiccion ya que por hipotesis k(f(X)) era un polinomio irreducible de Zp[X].

Nota:Este teorema es bastante util para polinomios f(X) Z[X] de grado menor oigual que 3. Por ejemplo: Es irreducible el polinomio p(X) = 9X3 + 15X+ 35 Z[X]?

Como 9 no es par puedo preguntarme si f(X) Z2[X] es irreducible. Pero al tenergrado 3 es irreducible si y solo si no tiene races en Z2.

f(0) = 1, f(1) = 1

Por tanto es irreducible. Si llegamos a pensar si tiene o no tiene races en Z tendramosque haber probado con 1, 5, 7, 35, 1

3, 53

, 73

, 353, 1

9, 59

, 79

, 359

y todas las negativas.
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Teorema 16 (criterio de irreducibilidad de Eisenstein) SeaZ el anillo de los ente-ros y seaf(X) =a0+a1X+ +anXn Z[X]un polinomio de gradon 1. Supongamosque existe un numero primo p Z tal que:

p no divide aan p divide aa0, a1, . . . , an1. p2 no divide aa0.

Entoncesf(X) es un polinomio irreducible sobreQ[X].

Demo: Volvamos a aplicar la caracterizacion dada en el Teorema 14(Pag. 135). Sisuponemos que f(X) es reducible, entonces admite una factorizacion propia en Z[X], es

decir, existenq(X) =b0+b1X+ +bmXm Z[X] y h(X) =c0+c1X+ +crXr Z[X]de grado mayor que 0 tales que f(X) =q(X)h(X).

Como p divide a a0 =b0c0, entonces p divide a b0 o a c0, pero no a ambos, ya que p2

no divide a a0. Podemos suponer, cambiando el nombre a los polinomios, que

pdivide a b0 y no divide a c0.

Sea k el primer termino de q(X) que no es divisible por p. k < mya que an =bmcr no esmultiplo de p.

pdivide a b0, b1, . . . , bk1 y no divide a bk, k < m < n.

Entoncesak =b0ck+b1ck1+ +bk1c1+bkc0

Nota: Si k > r en la formula anterior suponemos que ci = 0, i = r + 1, . . . , k Porultimo,ak, b0ck, b1ck1, . . . , bk1c1son todos multiplos dep mientras que bkc0no lo es, unacontradiccion.

Nota:El criterio de irreducibilidad de Eisenstein tambien es muy util. Si consideramosel polinomio, p(X) = 7X5 14x4 + 32x3 58x2 + 22X+ 70 Z[X], tenemos que esirreducible.

Estos dos resultados, junto con los anteriores criterios d irreducibilidad pueden serutiles:

Proposicion 17 (Ejercicio) SeaF un cuerpo, F[X] el anillo de polinomios con coefi-cientes enF y F. Entonces la aplicacion : F[X] F[X] definida por(p(X)) =p(X+ ) es un automorfismo de anillos.

Proposicion 18 (Ejercicio) Sea F un cuerpo y sea F[X] el anillo de polinomios concoeficientes enF. Sea F. Entoncesp(X) F[X] es irreducible sobreF[X] si y solo sip(X+ ) es irreducible sobreF[X].

A veces ningun criterio de los anteriores es aplicable, en este caso y como ultimo recursopodemos usar la fuerza bruta: si pensamos en el polinomio p(X) =X4 +X+ 1 (no hecomprobado que no funcionen los criterios anteriores). Sabemos que p(X) es irreduciblesobre Qsi y solamente si no tiene factorizacion propia en Z. Veamos si encontramos una
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factorizacion propia en Z o no. Por la proposicion10las unicas posibles races de p(X)en Q son 1 y1, que no son races. Por tanto, caso de existir una factorizacion propiade p(X) los polinomios de la factorizacion tienen que tener grado dos (si uno tiene grado1, p(X) tendra una raz). Por tanto, nos preguntamos si p(X) puede escribirse comoproducto de dos polinomios de grado dos, es decir,

p(X) = (aX2 +bX+c)(X2 +X+)

si multiplicamos e igualamos coeficientes a = 1 y al estar en Z a = = 1 (y ambospolinomios de grado dos son monicos) o a= = 1 ( en este caso multiplicamos ambospolinomios por1 tendremos polinomios de grado dos monicos,

p(X) = (X2

bX

c)(X2

X

)

Cambiando el nombre de los coeficientes, p(X) = (X2 +aX+b)(X2 +cX+ d)

p(X) =X4 +X+ 1 = (X2 +aX+ b)(X2 +cX+ d)

=X4 + (a+c)X3 + (b+d+ac)X2 + (bc+ad)X+db

Por tanto tenemos que resolver el sistema de ecuaciones:

0 =a+c

0 =b+d+ac1 =bc+ad

1 =bd

De la ultima ecuacion tenemos que bd = 1, b = d = 1 ob = d = 1 estudiemos amboscasos:

(a). Si b= d = 1, el sistema de ecuaciones queda:

0 =a+c

0 = 2 +ac1 =c+a

1 =bd

Que claramente es incompatible.(a). Si b= d = 1, el sistema de ecuaciones queda:

0 =a+c

0 = 12 +ac

1 = c a1 =bd

Que claramente es incompatible.
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Por tanto, p(X) no tiene una factorizacion propia en Z[X] y as, p(X) es irreducibleen Q[X].

Nota: Si aplicamos el criterio modular para p = 2 tenemos que ver si el polinomiop(X) =X4 + X+ 1 Z2[X] es irreducible o no en Z2[X]: vimos en clase que un polinomiode grado 4 es irreducible en Z2[X] si no tiene races y no es X

4 + X2 + 1, por lo quep(X)es un polinomio irreducible en Z2[X] y por tanto p(X) es irreducible sobre Q.


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140 6.5 Ejercicios del Tema

5. Ejercicios del Tema

1 Sea D un dominio de integridad y D[X] el anillo de polinomios con coeficientes en D .Sea p(X) D[X] tal que y D son races de p(X). Demuestra que existe un unicopolinomio c(X) D[X] tal que p(X) = (X )(X )c(X).2 Sea Z5[X] el anillo de polinomios sobre Z5. Di cuales de los siguientes polinomios son

irreducibles.

X4 +X+ 4 X2 +X+ 1 2X3 + 3X2 + 3X3 +X2 +X+ 1 X X2 + 1

3 Sea F un cuerpo, F[X] el anillo de polinomios con coeficientes en F yp(X), q(X), c(X), r(X) F[X]. Supongamos que p(X) =c(X)q(X) +r(X). Demuestra que m. c. d(p(X), q(X)) =m. c. d(q(X), r(X)).

4 Sea F un cuerpo, F[X] el anillo de polinomios con coeficientes en F. Enuncia y De-muestra el algoritmo de Euclides para calcular el maximo comun divisor de dos polinomios(alguno no nulo) en F[X]

5 Sea Q el cuerpo de los racionales. Calcula el maximo comun divisor de los polinomios:

p(X) =x5 +X4 +X3 +X+ 1, q(X) =X5 +X3 +X2 + 1

6 Sea F un cuerpo y F[X] el anillo de polinomios con coeficientes en F. Seanp(X),q(X)

dos polinomios de F[X], con p(X) irreducible, sea an es el coeficiente de mayor gradode p(X) y bm es el coeficiente de mayor grado de q(X) y un elemento no nulo de F.Entonces

(i) p(X) es tambien un polinomio irreducible de F[X].

(ii) Si q(X) es tambien irreducible con p(X)|q(X), entonces p(X) =anb1mq(X).7 Sea F un cuerpo y F[X] el anillo de polinomios con coeficientes en F. Seanp(X) F[X]

monico e irreducible. Entonces dado q(X) F[X] se tiene que m. c. d(p(X), q(X)) = 1 op(X).

8 Sea F un cuerpo y F[X] el anillo de polinomios con coeficientes en F. Sean p(X),f1(X),f2(X), . . . , f n(X) tales quep(X) es irreducible sobre F y divide al productof1(X) f2(X) fn(X). Entonces p(X) divide a alguno de los fi(X).9 Sea Qel cuerpo de los racionales. Factoriza como producto de irreducibles los polino-

miosX6 1 y X4 1.10 Sea Qel cuerpo de los racionales. Demuestra que X4 + 1 es un polinomio irreducible

de Q[X].

11 Demuestra que en Z[X] el conjunto := {p(X) Z[X]|el termino independiente de p(X) es par}

Es un ideal de Z[X] que no es principal. Contradice esto algun teorema?


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12 Sea Z2[X] el anillo de polinomios sobre Z2. Demuestra queX2+X+1 es un polinomio

irreducible de Z2[X]. Da las tablas de sumar y multiplicar Z2[X]/ < X2 +X+ 1> (que

es un cuerpo).

13 Sea Rel cuerpo de los reales y sea p(X) R[X]. Demuestra que si p(X) tiene gradoimpar, entonces p(X) posee una raz Real. (Si no usas analisis me gusta mas)

14 Sea Qel cuerpo de los racionales. Calcula las races racionales del polinomio p(X) =12

+ 13

X+ X2 + 32

X3 +X5 Q[X].

15 Sea Zel anillo de los enteros y sea k Z. Entonces la aplicacion k : Z[X] Zk[X]con (a0+a1X+ +anXn) =a0+a1X+ +anXn es un epimorfismo de anillos.

16 Demuestra que X4 + 1 Z[X] no admite factorizaciones propias en Z[X].17 Sea Q[X] el anillo de polinomios sobre el cuerpo de los racionales. Di cuales de los

siguientes polinomios son irreducibles.

9X3 + 9 5X7 + 8X5 + 14X4 + 22X3 + 2X+ 6 X6 +X3 + 110X2 + 4X4 + 2 7X7 + 6X5 + 12 9X3 + 54X2 + 27X3 + 9

18 Sea F un cuerpo, F[X] el anillo de polinomios con coeficientes en F y F. Entoncesla aplicacion : F[X] F[X] definida por (p(X)) =p(X+) es un automorfismo deanillos.

19 Sea Fun cuerpo y sea F[X] el anillo de polinomios con coeficientes en F. Sea F.Entoncesp(X) F[X] es irreducible sobre F[X] si y solo si p(X+ ) es irreducible sobreF[X].

20 Sea Q[X] el anillo de polinomios sobre el cuerpo de los racionales. Di cuales de lossiguientes polinomios son irreducibles.

7X4 + 35 X4 + 1 X4 + 3X2 + 2X6 + 1 X 1 5X7 + 25X6 + 150X5 100X4 + 50

21 Sea F un cuerpo, F[X] el anillo de polinomios con coeficientes en F y p(X)F[X].Entonces la aplicacion : F F[X]/ < p(X)> definida por () = es un monomor-fismo de anillos. Ademas,

si p(X) es un polinomio irreducible de F[X], F[X]/ < p(X) > es un cuerpo y Fpuede verse como un subcuerpo de F[X]/ < p(X)>,

F Im() F[X]/ < p(X)> .

El polinomio p(X) posee una raz en F[X]/ < p(X)>.

22 Sea Z2[X] el anillo de polinomios sobre Z2. Sea f(X) = X4 +X2 + 1 Z2[X].Encuentra un cuerpo F que contenga a F como subanillo y tal que p(X) tenga una razen F.

Tema3. Anillos de polinomios. Ideales de polinomios y anillo cociente.

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