TEMA2 - Lectura Separata de Estudio

8/10/2019 TEMA2 - Lectura Separata de Estudio

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Matemticas Financieras

Carlos Door Cabezas


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Finanzas Carlos Door Cabezas

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QQuuvvaammoossaavveerrdduurraanntteeeellccuurrssoo??

Vamos a ver tres cosas:1. Cmo programar y administrar stocks monetarios a lo largo del tiempo.2. Cmo se maneja la Tasa de inters.3. Cmo es el circuito financiero.

Al finalizar el curso habremos visto:1. El cambio de flujos econmicos a travs del tiempo.2. Tasas de Inters.3. El manejo de los principales productos ofrecidos por el sistema financiero.4. Algunas modalidades de inversin.5. Algunas formas de Crditos (financiamientos) y la elaboracin de sus planes de

pago.

Estamos Listos?

Haciendo uso de su calculadora, encuentre el valor de:

( )

( )29

30

00548.01*00548.0

10.005481

+

+


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3

RReeccoorrddaarrqquueeeexxiisstteeuunnoorrddeennllggiiccooooppeerraattiivvoo,,aassaabbeerr::1. Potenciacin y radicacin2. Multiplicacin y divisin3. Adicin y sustraccin

Incorrecto Correcto

Nuevamente, haciendo uso de su calculadora, encuentre el valor de:

279*3

9*3:9

18*3:9

12*81:3

12*81

3

342

3

4

2

=

+

+

+

2518*3

18*3:9

12*81:3

12*81

3

342

3

4

2

=+

+

+

+

( )

( )

=

=

=

=

+

+

= 3t

1t

t

6t

3t

t

0

15.01

15.015.11

*100P


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Asesora:Uso de la calculadora

1. 4 + (1 + 0.08 / 2)2 =

2. Si x = 3, calcular:

3. Calcular:

4. Calcular:

5. Calcular:

=

+=

120

100

301000,3

x

P

+=

38.895$17.905$

00.900$17.905$%)10.0(%4.5i

=

+

= 5

100

5

1

100

51

100

5200

4

F

( ) ( )=

++

=

08.0100

6

06.0108.011

000,500

55

P


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TIEMPO

En finanzas el manejo de la variable tiempo es de suma Importancia;solo se lo puede administrar o programar y hay que tener mucho cuidado con la aplicacin de

sus respectivas equivalencias (mltiplos o submltiplos)

Qu papel juega el tiempo?

El tiempoes fundamental para determinar la ganancia o elinters percibido o pagado, sobre un capital al aplicarle unatasa de inters

CCoommooeesseellttiieemmppooeennffiinnaannzzaass??

El tiempo en finanzas: No lo podemos controlar; solo

podemos programarlo oadministrarlo.

El trmino tiempo pasado no se usaen finanzas, sin embargo cuandoqueremos referirnos a una fechadel pasado, usamos el trminovalor actual. Solo utilizamos lostrminos valor presente actual, y valor futuro (a partir de un punto de anlisis quepodra ser una fecha del pasado, podr calcular valores presentes o valores futuros,dependiendo en la direccin en que me desplace).

El Tiempo y sus Equivalencias

1 ao = 2 semestres4 trimestres6 bimestres12 meses

1 Semestre = 2 trimestres3 bimestres6 meses180 das

1 trimestre = 3 meses

90 das

1 Bimestre = 2 meses

60 das

1 mes = 30 dasAO COMERCIAL = 360 Das


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Flujo

Es la representacin grfica de una cantidad monetaria de ingreso o egreso(inversin pago).Un flujo, cambia de valor cuando se desplaza a lo largo del tiempo, y slo si, est afectado poruna tasa de inters.

Por qu cambia de valor un flujo?

El valor de un flujo cambia solo por estar afectado por unaTASA DE INTERES y al DESPLAZARSE a lo largo deltiempo.

Desplazamiento del Flujo Financiero

Valor Futuro

Valor presente Valor Actual

Disminuye

Crece


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Inters Compuesto

EEnnffiinnaannzzaasseessiimmppoorrttaanntteeaanntteessddeeccoommeennzzaarrccuuaallqquuiieerrccaallccuulloo,,hhaacceerrsseellaassiigguuiieenntteepprreegguunnttaa::

QQuuiieennmmaannddaa??

La respuesta a esta pregunta bsica y elemental es: LA CAPITALIZACION

El inters compuesto es el proceso por el cual el inters generado por un capital en cadaperiodo definido de tiempo, se capitaliza.

Qu es la CAPITALIZACIN?

Cuando el inters producido por un capital, durante una unidad fija de tiempo, se suma alcapital anterior, forma un nuevo capital. Si este nuevo saldo, se vuelve a invertir, por unperiodo similar a la unidad fija de tiempo, generar un nuevo inters, que sumaremos alcapital anterior. La repeticin de este proceso se denomina CAPITALIZACION acumulacin.

Capitalizacin

La Capitalizacin es la frecuencia fija de tiempo donde acumulolos intereses ganados; constituye el perodo de acumulacin o

perodo de capitalizacin.

Antes de resolver cualquier problema de finanzas,debemos hacernos las siguientes preguntas:

Quin manda? La Capitalizacin

Cm o sabemos cul es la capitalizacin?

Porque dice; caso contrario, la asumimos


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INTERES COMPUESTO

P

Si

40%

El dinero crece parte a parte producto de la

CAPITALIZACION

0 n

20% 20%

Observemos en el siguiente ejemplo como es el proceso de acumulacin. Consideraremos unatasa nominalanual de 40% con capitalizacin trimestral

10% x 4 trimestres 40% TASA NOMINALTASA NOMINAL

10%

0 I II III IV

CRECIO

46.41%

TASATASA

EFECTIVAEFECTIVA

100

100

10110

110

11121

12112.10

133.10

133.1013.31

146.41

Trimestres

Valor futuro (Stock Final)

SS==PP((11++ii))nn

Donde i = Tasa de inters del periodo, y est directamente vinculada a la frecuencia decapitalizacin.


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Cuando no se dice nada acerca de la capitalizacin se asumeautomticamente que es diaria.

Todo tiene que expresarse en la unidad de medida de capitalizacin.

EEjjeemmpplloo##11

P = $ 1,000n = 1 ao.i = 40% anualCapitalizacin Semestral

! ! !" #" $ %%

& '! ! # ## ( ! ) ( #*# #*# ! +

!+# #!! , -. ) ! -.

/ ! " ! ) ! #*#


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FORMULAS

Valor Presente

1, = nP

Si( )niPS ,1* +=

( )niS

P,1+

=

( ),1log

log

i

P

S

n+

=

EEjjeemmpplloo##22

Si: Valor futuro $ 125,000Valor presente $ 40,000n = 150 das.

Hallar la tasa de inters nominal anual de la operacin?


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Asesora de FinanzasInters compuesto (tasa nominal)

1. Se tienen dos (2) deudas, una de $1,600.00 y otra de $2,000.00. Si se desealiquidarlas en un solo pago dentro de 2 aos. Cul ser el monto a pagar, si nos

cobran una tasa de inters nominal anual del 12%?Respuesta: S = $ 4,576.32

2. Kharlla, abre un certificado de depsito por US$ 6,000.00 y lo piensa conservardurante 7 aos. Si el certificado gana una tasa nominal anual del 8% concapitalizacin trimestral. Cul ser su valor, al cabo de 7 aos?Respuesta: S = $ 10,446.15

3. Suponga que $1,000.00 son colocados en una cuenta de ahorros que ganaintereses a una tasa nominal anual del 5%, con capitalizacin semestral.

a) Cul es el valor de la cuenta al final de 4 aos?b) Si la cuenta hubiera generado intereses a una tasa del 5% con

capitalizacin anual Cul sera su valor despus de 4 aos?Respuesta: a) S = $ 1,218.40

b) S = $ 1,215.51

4. El 6 de junio la empresa Phentix S.A., compr en el Banco Hoch un Certificadode Depsito a Plazo (CDP) a 90 das, por un importe de $ 20,000.00; ganandouna tasa nominal anual de 24% con capitalizacin diaria. Si el 1 de julio delmismo ao, la tasa baja al 18% nominal anual (con la misma capitalizacin).Cunto recibir Phentix S.A. al vencimiento del plazo del CDP?Respuesta: Recibir$ 21,007.62

5. La firma Rana Rene debe pagar al Roca Bank dos obligaciones de $ 20,000.00y $ 50,000.00 cada una. El Banco, cobra una tasa de inters nominal mensualdel 8%, con capitalizacin mensual. Cunto habr que pagar por cada deuda, sila primera vence dentro de 2 trimestres y la otra dentro de 3 aos?.Respuesta: Primera $ 31,737.49

Segunda $ 798,408.59

6. El cargo por inters de un sobregiro bancario de US$ 100,000.00 ha sido $3,460.00. Si el banco cobra una tasa nominal mensual del 6% Cunto tiempoestuvo sobregirado la cuenta?Respuesta: n = 17.0244... das


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Problemas de Inters compuesto:

con varios flujos,con tasa de inters nominal variable

y con la combinacin de ambos.


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1) Bruno abre una cuenta de ahorros en el banco con $ 200,000.00, a una tasanominal mensual de 5%, y hace un trato con el banco, donde se estipula que noretirar su dinero hasta cumplidos 2 aos de permanencia; si lo hiciese, elbanco, penalizara dicha accin con una baja de 3 puntos porcentuales en latasa de inters. Desde el momento en que abre la cuenta la capitalizacin esquincenal.

a) Si por una emergencia, a los 8 meses, Bruno tiene que retirar $40,000.00de su cuenta de ahorros. Cunto dinero retirar al final del tiempopactado?.

b) Si un amigo de Bruno le pide un prstamo de $ 350,000.00, despus deque este retir su dinero del banco, Dispone Bruno de los fondosnecesarios para prestar?. De ser as, preparar el cuadro de pagos delamigo considerando una tasa mensual del 6% a todo costo,amortizaciones fijas y cancelable en 4 cuotas mensuales.

c) Ahora, si en la segunda cuota, el amigo de Bruno, decidiera pagar $120,000.00, Bruno bajara la tasa de inters a 5% mensual a todo costo.Hacer el nuevo cuadro de pagos.

Solucin

a) X$ 40,000

$ 200,000TNM = 5% TNM = 2%TNQ = 2.5% TNQ = 1%

0 16 48 Quincenas

Capitalizacin quincenal.S1= 200000(1 + 0.025)16= $ 296,901.12Nuevo Saldo = 296,901.12 40,000.00 = $ 256,901.12

S2 = 256,901.12 (1+0.01)32= $ 353,223.80Rpta: $ 353,223.80

b) 0.06N Saldo Amortizacin Inters Cuota1 350,000 87,500 21,000 108,5002 262,500 87,500 15,750 103,2503 175,000 87,500 10,500 98,0004 87,500 87,500 5,250 92,750

c) 0.06

N Saldo Amortizacin Inters Cuota1 350,000 87,500 21,000 108,5000.05

2 262,500 106,875 13,125 120,0003 155,625 77,812.5 7,781.25 85,593.754 77,812.5 77,812.5 3,890.63 81,703.13

2) Dentro de cuantos bimestres se tendr en una cuenta de ahorros, un saldo de $980,200.00, si se sabe que hoy se hace un depsito de $ 400,000.00 y luego


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retiros de $ 100,000.00 y de $ 80,000.00, a los 8 y 14 meses respectivamente.La cuenta de ahorros abona una tasa de inters del 8% nominal bimestral,capitalizable mensualmente.

980,200

400,000 100,00080,000

0 8 14 X Meses

TNB = 8%TNM = 4%

S1= 400,000(1+0.04)8= $ 547,427.62

Nuevo Saldo = 547,427.62 100,000.00 = = $ 447,427.62S2= 447,427.62 (1+0.04)6= $ 566,138.68Nuevo Saldo = 566,138.68 80,000.00 = $ 486,138.68Entonces:

980,200 = 486,138.68 (1+0.04)XAplicando logaritmos tendremos:Log ( 980,200 / 486,138.68) = Log (1+ 0.04)XLog (2.016279) = X * Log (1.04)0.304554 = 0.017033 * XX = 17.88 18 mesesTiempo total = 14 + 18 = 32 meses 16 bimestres

Rpta: 16 Bimestres

3) Hoch, descubre que ha habido un movimiento extrao (retiro ajeno) en sucuenta, este se realiz al mes de abierta la cuenta. Se sabe que el montoinicial fue de $ 10,000.00 y que adems del retiro ilegal, a los 50 y 270 das,Hoch retiro $ 2,000.00 y $ 5,000.00 respectivamente. A su vez, deposit luegode 4 meses de iniciada la operacin, $ 10,000.00. El saldo final de la cuenta alcabo de un ao fu de $ 10,000.00. La tasa de inters anunciada para losprimeros dos meses fue TNM = 1%, para los 7 meses siguientes TNT = 2%, ypara los ltimos 3 meses TNT = 6%. El banco mantuvo siempre unacapitalizacin diaria. Hallar el monto del retiro ajeno?.

10,000 10,000 10,000

TNM = 1%X 2,000 TNT = 2% 5,000

TNT = 6%

0 30 50 60 120 270 360 Das


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Vamos ha establecer la ecuacin de valor el da 30, entonces llevaremos elflujo acumulado a esa fecha:P1= 10,000 / (1+0.0006666...)90= $ 9,417.83Nuevo Saldo = 9,417.83 + 5,000.00 = $ 14,417.83

P2= 14,417.83 / (1+0.0002222...)150= 13,945.21

Nuevo Saldo = 13945.21 10,000.00 = $ 3,945.21P3= 3,945.21 / (1+0.000222...)60= 3,892.95

P4= 3,892.95 / (1+0.000333...)10= 3,879.99

Nuevo Saldo = 3,879.99 + 2,000.00 = $ 5,879.99P5= 5,879.99 / (1+0.0003333...)

20= 5,840.93Nuevo saldo = 5,840.93 + XAhora llevemos el primer flujo al da 30:S1= 10,000 (1+0.0003333...)

30= 10,100.48Entonces:10100.48 = 5,840.93 + X

X = 4,259.55Rpta: $ 4,259.55

4) Ximena ha decidido separarse de Rodrigo. Entre las condiciones que l leimpone para firmar el divorcio, esta el que ella, le devuelva un dinero que l leproporcion hace seis aos para que ella abriera una cuenta bancaria. Slopide que le devuelva la cantidad exacta que l le proporcion entonces, con uninters simple del 10% total. Para ello Ximena hace un recuento delmovimiento de la cuenta, obteniendo los siguientes datos:- Al inicio del segundo ao, Ximena deposit $ 2,000.00 extras de su propio

bolsillo.- Al inicio del tercero, depsito $ 3,000.00, nuevamente propios.- Al inicio del cuarto, retir $ 1,800.00.- Al inicio del sexto, deposit $ 700.00.- La tasa nominal anual fue siempre 6%, salvo durante el tercer ao que cambi

a una tasa nominal trimestral del 1%.- La capitalizacin fue mensual durante los aos impares (1,3,5) y diaria

durante los pares (2,4,6). Se utiliza el ao comercial.- El saldo final de la cuenta es de $15,560.94

Cunto le dio Rodrigo a Ximena para que abriera la cuenta? Cunto lequedara a Ximena en la cuenta si entrega lo que pide Rodrigo?

$ 15,560.94TNA = 6% TNT = 1% TNA = 6%

X 3,0002,000 1,800700

0 1 2 3 4 5 6 AosCap. Cap. Cap. Cap. Cap. Cap.

Mensual Diaria Mensual Diaria Mensual Diaria

El retiro de $ 5,000lo sumamosporque estamosretrocediendo laoperacin. Cuando


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Regresamos todos los flujos al momento cero para determinar el depsitoinicial:

P5= 15,560.94 / (1+0.00016666)360= $ 14,654.81Nuevo Saldo = 14,654.81 700.00 = $ 13,954.81P4= 13,954.81 / (1+0.005)

12= $ 13,144.11

P3= 13,144.11 / (1+0.000166666)360

= $ 12,378.72Nuevo Saldo = 12,378.72 + 1,800.00 = $ 14,178.72P2= 14,178.72 / (1+0.003333333)

12= $ 13,623.67Nuevo Saldo = 13,623.67 3,000.00 = $ 10,623.67P1= 10,623.67 / (1+0.000166666)

360= $ 10,005.05Nuevo Saldo = 10,005.05 2,000.00 = $ 8,005.05P0= X = 8,005.05 / (1+0.005)

12X = $ 7,539.99

Si Ximena le tiene que devolver el monto inicial incrementado en un 10 % ,tendremos:15,560.94 - 7,539.99 (1 + 0.1) = 7,266.95Respuesta: Monto originalmente proporcionado $ 7,539.99.

A Ximena le quedara $ 7,266.95, luego de devolverle $8,293.99 a Rodrigo.

5) A continuacin se presenta un plan de pagos, para una obligacin contrada de $72,000.00, a seis meses, con una TNA del 7%, (capitalizacin diaria).

N Saldo Amortizacin Inters Cuota1 72,000 12,000 421.19 12,421.192 60,000 12,000 350.99 12,350.993 48,000 12,000 280.79 12,280.794 36,000 12,000 210.59 12,210.59

5 24,000 12,000 140.40 12,140.406 12,000 12,000 70.20 12,070.20

Hasta el pago de la primera cuota no hubo problemas para cumplir elcalendario. Para el segundo pago, slo se estuvo en condiciones de pagar losintereses, en vista de lo cual se busc un refinanciamiento de la deuda:

Se acord: modificar la frecuencia de pagos y pasar a perodos bimestrales,manteniendo el nmero de cuotas pendientes, pero con una nueva TNA = 8.5%con capitalizacin diaria. Que la tercera cuota quede libre de todo pago. Que laamortizacin sea por $ 9,200.00 en el cuarto pago y $ 14,800.00 en el quinto. Ycon la sexta cuota se cubrira el saldo restante.

Elabore el nuevo calendario de pagos.

Solucin

Hay que tener mucho cuidado con el clculo de los intereses, no hay queolvidar la frecuencia de capitalizacin, entonces como ejemplo veamos quepasa con los intereses de la cuarta cuota:

Saldo = P = $ 60,000.00n = 2 Bimestres = 4 meses = 120 das


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TNA = 8.5%i = 0.085 / 360 = 0.000236111

S = P ( 1+i)nS = 60,000 ( 1 + 0.000236111)120= $ 61,724.11

Entonces los intereses a cobrar son:I = S PI = 61,724.11 60,000.00 = $ 1,724.11

N Saldo Amortizacin Inters Cuota1 72,000 12,000 421.19 12,421.192 60,000 ------------ 350.99 350.993 60,000 ------------ --------- ------------4 60,000 9,200 1,724.11 10,924.115 50, 800 14,800 724.70 15,524.706 36,000 36,000 513.57 36,513.57

6. 4 socios deciden poner una fbrica para fabricar guitarras y piden un prstamoal banco Usura de $ 15,000.00 por 7 meses. La tasa que aplica el banco porlos primero 3 meses es TNM de 2% y luego la modifica a TNM = 5%. Al final delsegundo mes, ellos hacen un pago de $ 3,000.00. Luego realizan un segundopago de $ 5,000.00 en el mes 4, para deber un monto X en el mes 5. En el mes7, cancelan la deuda pagando una cantidad de $ 7,000.00. Cul fue lacantidad X pagada el mes 5?

15,000 TNM = 2% TNM = 5% 7,0005,000

3,000 X

0 2 3 4 5 7 Meses

S2= 15,000 (1+0.00066666)60= $ 15,611.95

Nuevo Saldo = 15,611.95 3,000.00 = $ 12,611.95

S3= 12,611.95 (1+0.00066666...)30= $ 12,866.64

S4= 12,866.64 (1+0.001666)30= $ 13,525.76

Nuevo Saldo = 13,525.76 5,000.00 = $ 8,525.76

S5= 8,525.76 (1+0.001666)30= $ 8,962.52

Nuevo Saldo = 8,962.52 X


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Ahora, retrocedemos el ltimo flujo ($7,000.00), hacia este mismo tiempo, paraarmar nuestra ecuacin de equivalencia de valor, tenemos:

P5= 7,000.00 / (1+0.001666...)60= $ 6,334.39

Entonces.8,962.52 X = 6,334.39

X = 8,962.52 6,334.39 = $ 2,628.13

En el mes 5 se pag $ 2,628.13

7. Pancha abre una cuenta de ahorros con $ 1,000.00 y el banco Avaro de laNacin le ofrece una TNM de 2%. A los 10 das, Pancha tiene que retirar $100.00 para comprar el parabrisas de su auto que le robaron. El da 60 el bancocambia la tasa a 3% nominal mensual. El da 90, retira $ 150.00 para comprarun televisor. Calcular el monto que recibir si decide retirar todo su dinero elda 100?

TNM = 2% TNM = 3%

$ 1,000 X

100 150

0 10 60 90 100 Das

S10 = P (1+i)n

S10 = 1,000 (1+0.000666666)10= $ 1,006.69

Nuevo Saldo = 1,006.69 100.00 = $ 906.69

S60 = 906.69 (1+0.00066666)50= $ 937.41

*Cambio de tasaS90 = 937.41 (1+0.001)30= $ 965.94Nuevo Saldo = 965.94 150.00 = $ 815.94S100 = 815.94 (1+0.001)10 = 824.14

Pancha recibir $824.14

8. Hoch recibe su estado de cuenta del Cashbank donde aparecen lossiguientes movimientos financieros: Abri la cuenta con un deposit de $

12,000.00; el da 100 retir $ 4,000.00; el da 240 deposito $ 12,000.00; el da540 retir $ 7,000.00 y el da 720 cancel su cuenta retirando un total de $12,000.00.El banco le indica a Hoch que hasta el da 120 pag una TNM de 2% y que apartir de ese momento la tasa cambi a TNT = 4% y a partir del da 540 la tasacambi a TNT = 8%. En el informe de la cuenta, el retiro del da 60 apareceborroso. Calcular el monto del retiro efectuado ese da?.

TNM = 0.02 entonces i = 0.000666666


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TNT = 0.04 entonces i = 0.000444444TNT = 0.08 entonces i = 0.000888888

Si graficamos lo ocurrido tendremos lo siguiente:

TNM = 2% TNT = 4% TNT = 8%

12,000 12,000 12,000

X 4,000 7,000

0 60 100 120 240 540 720 Das

S60 = 12,000 (1+0.00066666...)60= $ 12,489.56

Nuevo Saldo = 12,489.56 X

S100 = (12,489.56 - X)(1.00066666...)40= 12,826.98 - 1.027016251 XNuevo Saldo = 12,826.98 - 1.027016251 X 4,000.00Nuevo Saldo = 8,826.98 - 1.027016251 X

S120 = (8,826.98 - 1.027016251 X) (1.00066666)20S240 = [ (8,826.98 - 1.027016251 X) (1.000666666)20 ] (1.000444444)120S240 = 9,435.35 - 1.097799876 XNuevo Saldo = 9,435.35 - 1.097799876 X + 12,000.00Nuevo Saldo = 21,435.35 - 1.097799876 X

S540 = (21,435.35 - 1.097799876 X) (1.000444444)300

Nuevo Saldo = 24,491.96 - 1.254342641 X 7,000Nuevo Saldo = 17,491.96 - 1.254342641 X

S720 = P (1+i)n12,000 = (17,491.96 - 1.254342641 X) (1.000888888)1801.471879881 X = 8,525.54X = $ 5,792.23

El retiro efectuado el da 60 fue de $ 5,792.23

9. Latino Travel abre una cuenta corriente depositando en el banco $ 5,000.00a una tasa nominal mensual del 2%. A los diez das retira $ 500.00 para caja

chica y luego de 20 das hace un depsito que no recuerda, porque se extraviel recibo de pago. A partir del da 30, desde la fecha de que abri la cuenta, elbanco cambia la tasa a TNM = 3% y el da 40 retira $ 1,000.00 para pagarproveedores. El da 50, el banco califica a Latino Travel como cliente exclusivoy le incrementan la tasa pasiva a 4% nominal mensual.El da 60, Latino Travel deposita $ 500.00 porque gana una comisin adicionalpor volumen de ventas y el da 70 retira todo su dinero y el banco le entregaUS$ 10,000.00, porque debe entregar la cuota inicial para la compra de unnuevo local. Calcular cul fue el importe del depsito del da 30?.


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TNM = 2% TNM = 3% TNM = 4%10,000

5,000

X 500500 1,000

0 10 30 40 50 60 70 Das

P0= $ 5,000.00

S10= 5,000 (1+0.000666666...)10= $ 5,033.43

Nuevo Saldo = 5,033.43 500 = $ 4,533.43

S30= 4,533.43 (1+0.00066666...)20= $ 4,594.26

Nuevo Saldo = 4,594.26 + X

S40= (4,594.26 + X) (1+0.001)10= 4,640.41 + 1.01004512021 X

Nuevo Saldo = S40- 1,000Nuevo Saldo = 3,640.41 + 1.01004512021 X

S50= (3,640.41 + 1.01004512021 X) (1+0.001)10

S50= 3,676.98 + 1.020191144861 XS60= (3,676.98 + 1.020191144861 X) (1+ 0.001333333333333)10S60= 3,681.88 + 1.033875599617 X

Establecemos la ecuacin de equivalencia de valor al da 70:10,000 = (3,681.88 + 1.033875599617 X) (1+ 0.001333333333333)1010,000 = 3731.27 + 1.047743612427 XX = 5,983.08

El da 30 deposit US$ 5,983.08

10. El teacher Hoch, ao a ao organiza la fiesta de la facultad de administracin,con la finalidad de recaudar fondos para donarlos a nios especiales. Este aoha recaudado US$ 3,000.00; los cuales los deposit en el Lucianas Bank, auna tasa nominal trimestral del 11%. Dos meses despus, don US$ 1,000.00.Al finalizar el mes nmero 9, el banco sufre una reestructuracin y la tasa

cambia a tasa nominal semestral del 20%, al cabo de 4 meses ms, el bancodecide regresar a su tasa anterior, en este mismo mes nuestro queridoteacher hace un retiro de US$ 2,500.00 para entregarlo a los niosespeciales. Cunto podr retirar el mes 15 si cancela su cuenta para dar msplata a los nios especiales?


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TNT = 11% TNS = 20% TNT = 11%3,000

X2,500

1,000

0 2 9 13 15 Meses

S2= 3,000 (1+0.0012222)60= $ 3,228.12

Nuevo Saldo = 3,228.12 - 1,000 = $ 2,228.12S9= 2,228.12 (1+0.0012222.)

210= $ 2,879.65Cambio de tasaS13= 2,879.65 (1+0.001111)

120= $ 3,290.13Nuevo Saldo = 3,290.13 2,500.00 = $ 790.13

Cambio de tasaS15= 790.13 (1+0.0012222...)60= $ 850.21El mes 15 podr retirar $ 850.21

11. Los profesores, del curso de finanzas decidieron hacer un fondo comn deUS$ 9,000.00, donde todos invirtieron lo mismo, a fin de conseguir una ligeraganancia. El depsito lo realizaron en el Chiaras Bank que ofreca una tasanominal del 36%. Ellos decidieron no tocar el fondo en un ao, sin embargo alcabo de tres meses 2 de ellos decidieron retirar US$ 1,000.00 cada uno sininformarle al tercero. Al mes de este retiro, el banco cambio la tasa a una tasanominal anual de 45%. Si en el mes 8 el nico profesor que no haba efectuadoretiro alguno, realiz un depsito de US$ 1,500.00. Cul ser el saldo de lacuenta de los profesores al final del ao? Cunto le corresponde a cada unode ellos?

TNA = 36% TNA = 45%

9,000 S

2,000 1,500

0 3 4 8 12 MesesS3= 9,000 (1+0.001)

90= $ 9,847.13Nuevo Saldo = 9,847.13 2,000.00 = $ 7,847.13S4= 7,847.13 (1+0.001)

30= $ 8,085.99Cambio de tasaS8= 8,085.99 (1+0.00125)

120= $ 9,393.70Nuevo Saldo = 9,393.70 + 1,500.00 = $ 10,893.70S12= 10,893.70 (1+0.00125)

120= $ 12,655.49


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El saldo de la cuenta al cabo de un ao es $ 12,655.49

Al profesor que no realiz ningn retiro le corresponde:S12= 3,000 (1+0.001)120(1+0.00125)240+ 1,500 (1+0.00125)120S12 = 4,564.76 + 1,742.59 = $ 6,304.35

En consecuencia a los otros dos les toca:(12,655.49 6,304.35) / 2 = $ 3,175.57

12. El grupo AVIDA, despus del rotundo xito de su concierto, deposit suganancia en el Rock Bank. La ganancia era de US$ 200,000.00. El ManagerEduardo pact con el banco una tasa nominal anual de 18% concapitalizacin mensual. Al cabo de tres meses, el grupo retir US$ 20,000.00para la compra de un nuevo equipo. Al mes, deposita US$ 10,000.00 y despusde 4 meses, retira US$ 50,000.00. A partir del noveno mes el banco pacta unanueva tasa del 6% trimestral. En ese momento el Manager Eduardosospechosamente retira una suma de dinero sin comentrselo al grupo, queconfa plenamente en su Manager y despus de dos meses el grupo retir US$

132,000.00. Cunto retir sospechosamente el manager?

Ojo, tomar nota de que vamos a trabajar con dos tasas distintas y condiferentes capitalizaciones, a saber:

TNA = 18% capitalizacin mensual entonces i = 0.015TNT = 6% capitalizacin diaria entonces i = 0.000666....

200,000 TNA = 18% TNT = 6%Capitalizacin Mensual

132,000

50,00020,000 X

10,000

0 3 4 8 9 11 Meses

Prepararemos nuestra ecuacin equivalente de valor en el mes 9, para ellocada flujo ser llevado a ese momento:200,000 (1+0.015)9 20,000 (1+0.015)6 + 10,000 (1+0.015)5 50,000

(1+0.015)

1

X = 132,000 (1+0.000666...)

-60

228,678.00 21,868.87 + 10,772.84 50,750.00 X = 126,825.89X = $ 40,006.08El retiro sospechoso fue de $ 40,006.08

13. Luciana y Estefania estn planeando ir de viaje a Bvaro. Para ello pretendenusar el dinero de su cuenta bancaria. Si abrieron su cuenta hace 2 aos, hallarel monto que podran llevar de bolsa de viaje segn el siguiente grfico.


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10,000 X2,500 2,000

1,5001,000

0 3 8 13 20 24

TNA=36% TNM=2% TNS=10%

TNA = 36% entonces i = 0.001TNM = 2% entonces i = 0.00066666TNS = 10% entonces i = 0.00055555...

S3= 10,000 (1+0.001)90= $ 10,941.25

Nuevo Saldo = 10,941.25 2,500.00 = $ 8,441.25

S8= 8,441.25 (1+0.001)150= $ 9,806.60Nuevo Saldo = 9,806.60 + 1,000.00 = $ 10,806.60

S13 = 10,806.60 (1+0.0006666)150 = $ 11,942.74Nuevo Saldo = 11,942.74 1,500.00 = $ 10,442.74S20= 10,442.74 (1+0.00066666)210= $ 12,011.45Nuevo Saldo = 12,011.45 2,000.00 = $ 10,011.45S24 = 10,011.45 (1+0.00055555)120 = $ 10,701.43Bolsa de viaje $ 10,701.43

14. Hoy Atenas despus de 40 meses, retira del banco Sheeps la cantidad deUS$ 760,000.00. Cuenta Atenas que al pasar un ao y medio desde la fechade inicio, hizo un retiro de US$ 118,000.00. Tambin cont, que al finalizar eltercer ao, hizo un deposito de US$ 95,000.00. Cunto fue el capitaldepositado al inicio si hasta el da 600, el banco mantuvo una TNT del 9% y apartir de esa fecha modific su tasa a TNM 2%?

TNM = 2%X TNT = 9% 760,000

118,000 95,000

0 18 20 36 40 Meses

( )12036

...0006666.01

000,760

+

=P

P36= $ 701,587.10Nuevo Saldo = 701,587.10 95,000.00 = $ 606,587.10


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( )48020

...000666.01

10.587,606

+

=P

P20= $ 440,519.75Cambio de tasa

( )6018

001.01

75.519,440

+=P

P18 = $ 414,878.31Nuevo Saldo = 414,878.31 + 118,000.00 = $ 532,878.31

( )5400

001.01

31.878,532

+

=P

P0 = $ 310,617.70Depsito inicial $ 310,617.70

15. Alex abre una cuenta bancaria el 14 de abril con $ 1,000.00 percibiendo una

tasa nominal mensual del 4%. El 2 de mayo retira $ 400.00, el 15 de mayoretira $ 200.00 y el 3 de junio deposita $ 100.00. Qu monto acumul desdeque abri su cuenta hasta el 24 de junio?

1,000X

400200 100

14/04 02/05 15/05 03/06 24/06

TNM = 0.04Tasa diaria = i = 0.04/30 = 0.001333...

1,000 (1+0.00133333...)18 400.00 = 624.27624.27 (1+0.0013333...)13- 200 = 435.18435.18 (1+0.0013333...)19+ 100 = 546.34546.34 (1+0.0013333...)21= 561.84

Alex acumul $ 561.84

16. La empresa Villa-Casica pensando en la adquisicin de un grupo electrgenoest evaluando las siguientes propuestas:

a. $ 8,500.00 al contadob. Al crdito: inicial de $ 2,000.00 y 6 cuotas de $ 1,200.00 cada una, con

vencimientos cada 30 das. Tasa de financiamiento 3% nominalmensual

Qu opcin le conviene ms?

Si graficamos la opcin b y hallamos luego su valor presente, estaremos encondiciones de comparar ambas opciones, entonces:


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...60010053338.0141.107,6

500,6'i 62 ==

Tasa Noninal Mensual = 0.001005333... * 30 * 100 = 3.016001...%

18. Nora decide depositar en el banco $ 20,000.00 a una tasa nominal mensual del1.2%. Transcurridos 50 das, deposita $ 5,000.00 y luego de 60 das deposita $10,000.00 ms. A partir de ese momento y con una nueva tasa nominal del 3%mensual, cada 3 meses realiza un retiro hasta agotar la cuenta. Su primer retirofue 40% del saldo a ese momento y los dos ltimos fueron por similar importe.Cunto dinero retir Nora en cada oportunidad?

20,000TNM = 1.2% TNM = 3%

10,000 X X5,000 40%

del saldo

0 50 110 200 290 380 Das

TNM = 1.2% entonces i = 0.0004TNM = 3% entonces i = 0.001

Saldo de la cuenta al da 200:S200 = 20,000 (1+0.0004)

110 (1+0.001)90 + 5,000 (1+0.0004)60 (1+0.001)90 +10,000 (1+0.001)90

S200= $ 39,411.36

Primer retiro = 39,411.36 * 0.40 = $ 15,764.54

Segundo y tercer retiro:Nuevo Saldo = 39,411.36 15,764.54 = $ 23,646.82Ecuacin de equivalencia de valor:23,646.82 = X / (1+0.001)90+ X / (1+0.001)18023,646.82 = 0.9139722... X + 0.835345... X23,646.82 = 1.7493176 XX = $ 13,517.74

Segundo y tercer retiro por $ 13,517.74

19. Olenka y Atenas deciden un da, abrir una cuenta de ahorros. Olenka aporta latercera parte del dinero y Atenas el resto. Entre las dos, juntan $ 120,000.00.Ellas acuerdan, que a los 30 das, Olenka realizara un retiro de US$ 20,000.00y a los 60 das Atenas retirara US$ 60,000.00. A los 120 das Olenka, retirauna cantidad de dinero que no es del conocimiento de Atenas y a los 150 dasAtenas retira una suma de dinero con la que deja sin fondos la cuenta. Culfue el importe retirado por cada una de ellas los das 120 y 150 , si la tasanominal mensual es del 6%?. Se sabe adems que el valor presente del ltimoretiro de Atenas es el 40% del valor presente del ltimo retiro de Olenka. Si


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fuera el caso, Cunto dinero deber reclamar Olenka a Atenas, porapropiacin indebida de fondos?

TNM = 6% entonces i = 0.002

120,000

60,000 X Y20,000

0 30 60 120 150 Das

Depsito de cada una de ellas:Olenka = 120,000 * (1/3) = $ 40,000.00Atenas = 120,000 40,000 = $ 60,000.00

Saldo de la cuenta conjunta al da 120:

S120= 120,000 (1+0.002)120 20,000 (1+0.002)90 60,000 (1+0.002)60S120= $ 60,931.59Nuevo Saldo = 60,931.59 XFormulamos la ecuacin de equivalencia de valor al da 150:S150 = (60,931.59 X) (1+0.002)3064,695.51 1.061772923... X Y = 0 ...............Ecuacin 1

Valor presente de los ltimos retiros:Olenka P0= X / (1+0.002)120= 0.786816423... XAtenas P0= Y / (1+0.002)

150= 0.741040203YSabemos que:0.741040203...Y = 0.40 (0.786816423...X) .................Ecuacin 2

Ahora, reemplazando la Ecuacin (2) en Ecuacin (1), tenemos:64,695.51 1.061772923...X (0.40*0.786816423...X) / 0.741040203... = 0X = $ 43,522.56 retiro de OlenkaY = $ 18,484.43 retiro de Atenas

Olenka puso inicialmente $ 40,000.00 y efectu dos retiros uno por $20,000.00 a los 30 das y otro por $ 43,522.56 a los 120 das. La pregunta essi retiro de menos o de ms, veamos:S30= 40,000 (1+0.002)

30= $ 42,470.92Nuevo Saldo = 42,470.92 20,000.00 = $ 22,470.92

S120= 22,470.92 (1+0.002)

90

= $ 26,897.74El saldo acumulado al da 120 era de $ 26,897.74 y ella efectu un retiro porun importe mayor, tomando parte de los fondos de Atenas de maneraindebida.

Olenka no tiene nada que reclamar a Atenas.


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21. Diego hoy, luego de 27 meses, retir del banco la suma de $240,000.00.Se sabe que al finalizar el primer ao Diego, realiz un depsito de $ 60,000.00para aumentar su cuenta y al finalizar el segundo ao realiz un retiro de $100,000.00. Cunto fue el capital depositado al inicio si hasta los 270 das elbanco pag una tasa nominal anual del 36 % (capitalizacin diaria ) y a partir deesa fecha solo reconoci una tasa anual del 36% capitalizable mensualmente?

TNA = 36% TNA = 36% Cap. Mensual240,000

X100,000

60,000

0 270 360 720 810 Das

Hasta el mes 9 (270 das) TNA = 36 % entonces i = 0.36 / 360 = 0.001

A partir de ah, TNA = 36% capitalizacin mensual, entonces i = 0.03

S270= X (1+0.001)270= 1.309787735... X

S360= (1.309787735 X) (1+0.03)3= 1.431240422 X

Nuevo saldo = 1.431240422 X + 60,000S720= (60,000 + 1.431240422 X) (1+0.03)12= 85,545.65 + 2.040606614...XEcuacin de equivalencia de valor al momento 810:240,000 = (85,545.65 + 2.040606614...X) (1+0.03)3240,000 = 93,478.04 + 2.229825943...XX = $ 65,710.04Capital depositado al inicio $ 65,710.04

22. Alvaro deposita $ 80,000.00 en el banco por cuatro meses, durante este tiempoel banco reconoci las siguientes tasa nominales mensuales: 2.5 %, 2 %, 1.5%, 1 %. Calcular el monto a retirar luego de 4 meses? Qu tasa nominaltetramestral tiene esta operacin?

TNM = 2.5 % entonces i = 0.025 / 30 = 0.0008333...TNM = 2 % entonces i = 0.02 / 30 = 0.0006666...TNM = 1.5 % entonces i = 0.015 / 30 = 0.0005TNM = 1 % entonces i = 0.01 / 30 = 0.0003333...

Llevamos el depsito mes por mes, entonces tenemos:

S1= 80,000 (1+ 0.0008333... )

30

= $ 82,024.35S2= 82,024.35 (1+0.0006666)30= $ 83,680.80S3= 83,680.80 (1+0.0005)

30= $ 84,945.15S4= 84,945.15 (1+0.0003333)

30= $ 85,798.72La tasa tetramestral ser:

...0005833.01000,80

72.798,85'i 120 ==

TN120= 0.0005833... * 120 * 100 = 6.99978...%


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Tasa tetramestral nominal = 6.03276%

23. Un deudor tiene a su cargo los siguientes pagares:$ 20,000.00 con vencimiento a cuatro aos de plazo$ 50,000.00 con vencimiento a tres aos de plazo$ 40,000.00 con vencimiento a un ao de plazo

$ 50,000.00 a cancelarse de inmediatoEl quiere reemplazar toda su deuda entregando una inicial y luego realizar unsolo pago que lo har efectivo dentro de dos aos. Prepara la siguientepropuesta a su acreedor: pagar $ 30,000.00 hoy, y el saldo, dentro de dosaos. Si la tasa de inters a la que estn sujetos los 4 pagars y la de estaoperacin se pact en 24% nominal capitalizable semestralmente. Cul serel monto a pagar dentro de dos aos para cancelar la obligacin?

Grfico de la deuda vigente:

TNA = 24% capitalizable semestral

50,000 50,00040,000

20,000

0 1 3 4 Aos

Grfico de propuesta de cancelacin:X

30,000

0 2 Aos

Primero calcularemos el importe del prstamo que han generado los primeros 4pagars:Prstamo = 50,000 + 40,000 / (1+0.12)2+ 50,000 / (1+0.12)6+ 20,000 /

(1+0.12)8Prstamo = $ 115,296.98

Nueva forma de pago, estableciendo la ecuacin equivalente de valor:115,296.98 = 30,000 + X / (1+0.12)4115,296.98 = 30,000 + 0.635518078... XX = $ 134,216.45Monto a pagar para cancelar la obligacin dentro de dos aos $ 134,216.45

24. Con que pagos iguales, a efectuarse dentro de un ao, 2 aos y 3 aos, podrreemplazarse una obligacin de US$ 120,000.00, que vence dentro de cuatroaos?. La tasa de inters es de 8% con capitalizacin anual.


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Si dentro de 4 aos debo pagar $ 120,000.00, esta deuda actualizada seconvierte en:P0= 120,000 / (1+0.08)4= $ 88,203.58

Ahora queremos manejarnos dentro del siguiente grfico:

88,203.58

X X X

0 1 2 3 Aos

88,203.58 = X / (1+0.08) + X / (1+0.08)2+ X / (1+0.08)3X = $ 34,301.59El pago igual ser de $ 34,301.59

25. Cul ser el valor actualizado 3 aos antes de su vencimiento, de un pagaraceptado por $ 100,000.00 al 28% nominal anual, capitalizable semestralmente,y con vencimiento dentro de cinco aos?.

El diagrama de flujo de caja ser : 100,000

X

0 1 2 3 4 5 Aos

La deuda acumulada al quinto ao es de: US$ 100,000.00El valor de esta deuda tres aos antes, es decir al final del segundo ao ser:P2 = 100,000 / (1+0.14)6 = $ 45,558.65Valor actualizado en tres aos $ 45,558.65

26. Si usted invierte hoy $ 4000,000.00 en una institucin que paga una tasa de

inters nominal del 3% mensual capitalizable mensualmente, pero que a suvez, hace una retencin cada mes del 10% sobre intereses devengados. Hallarla suma que tendr acumulada dentro de dos aos y medio.

En un mes tendremos:S1 = 4000,000 (1+0.03) = 4120,000.00Intereses ganados = 4120,000.00 4000,000.00 = $ 120,000.00De ac se retiene el 10%, entonces:Retencin = 120,000 * 0.1 = $ 12,000.00


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Neto abonado = 4120,000.00 12,000.00 = $ 4108,000.00Esta operacin se repite por 24 meses

Es lo mismo que decir que la tasa a aplicarse equivale a:0.03 (0.1) * (0.3) = 0.03 0.003 = 0.027S30= 4000,000 (1+0.027)

30= $ 8895,560.12

La suma acumulada ser de $ 8895,560.12

27. El valor presente de una deuda es US$ 1200,000.00. Se tienen programadoslos siguientes pagos: $ 400,000.00 dentro de dos meses, $ 500,000.00 dentrode 6 meses, $ 100,000.00 dentro de 10 meses y el resto dentro de un ao.Sabiendo que el acreedor cobra un inters nominal del 3% mensual. Cul serla cantidad a pagar dentro de 12 meses para dar por cancelada la obligacin?

1200,000

400,000 500,000 X100,000

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 Meses

Si TNM = 3% entonces: i = 0.03 / 30 = 0.001

1200,000 = 400,000 (1+0.001) 60+ 500,000 (1+0.001)180+100,000 (1+0.001)300+ X (1+0.001)360

X = $ 475,088.02

Dentro de 12 meses se pagar $ 475,088.02

28. Hoch deposita US$ 10,000.00 en una cuenta corriente del Banco xito. A los270 das, le comunican, que el saldo que le queda en su cuenta corriente es deUS$ 12,000.00. Hoch, no llega ha entender lo que est sucediendo con sucuenta y de inmediato solicita un estado cortado a la fecha con el detalle y laespecificacin de todos sus movimientos (depsitos y retiros) efectuados. Al dasiguiente, el Banco xito le comunica que a los 30 das realiz un retiro y a los50 das deposit US$ 5,000.00. De inmediato Hoch reclama a su banquero que

l, nunca realiz retiro alguno de su cuenta; luego de las averiguaciones, elbanco concluye que hubo retiro malicioso por mano extraa de la cuentacorriente del seor Hoch. La cuenta reciba trato preferente pagando por sussaldos acreedores hasta el da 90 una tasa nominal del 1.2% mensual.Cunto dinero retiraron a los 30 das, de la cuenta corriente de Hoch, demanera indebida?. Si adems, se conoce que el da 90, la tasa vario a 9%nominal trimestral y que tambin se realizaron otros depsitos los das 100 y180 de $ 1,000.00 y $ 2,000.00 respectivamente?


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TNM = 1.2% TNT = 9% 12,00010,000

5,000

X 2,0001,000

0 30 50 90 100 180 270 Das

Si TNM = 1.2% entonces i = 0.0004Si TNT = 9% entonces i = 0.001

S30= 10,000 (1+0.0004)30= $ 10,120.70

Nuevo Saldo = 10,120.70 + XS50= (10,120.70 X) (1+0.0004)

20= 10,201.97 1.008030473X

Nuevo Saldo = 10,201.97 - 1.008...X + 5,000 = 15,201.97 1.008...XS90= (15,201.97 - 1.008..X) (1+0.0004)40= 15,447.11 1.024285403...XS100= (15,447.11 1.02428...X ) (1+0.001)

10= 15,602.28 1.034574473XNuevo Saldo = 15,602.28 1.034574473X + 1,000 = 16,602.28 1.034...XS180 = (16,602.28 - 1.034574473X) (1+0.001)80Nuevo Saldo = 17,984.32 1.120696348X + 2,000Estableciendo ecuacin equivalente de valor en el momento 270 tendremos:(19,984.32 - 1.120696348X) (1+0.001)90= 12,000X = $ 8,045.58El retiro malicioso fue de $ 8,045.58

29. Alf y Olenka se van a casar en enero del ao X + 2, como el casado casaquiere, ambos decidieron abrir una cuenta bancaria en Enero del ao X con elfin de retirar dos aos despus la cantidad necesaria para comprar sudepartamento. El banco les ofrece una tasa nominal mensual de 2%capitalizable diariamente.Adems, sabemos que Olenka y Alf, han depositado en los meses 6 y 18, $3,000.00 y $ 5,000.00 respectivamente y que siete meses despus de laapertura de la cuenta, Alf, retir $ 1,500.00 para comprar el anillo decompromiso y que Olenka retir en el mes 20, $ 2,000.00 para su ajuar denovia. Queremos saber: Cunto dinero depositaron para abrir la cuenta, si alcancelarla pudieron retirar $ 50,000.00?

TNM = 2% 50,0005,000

3,000X 1,500 2,000

0 6 7 18 20 24 Meses


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Vamos a regresar todos los flujos hasta el momento cero, entonces:

P20= 50,000 / (1+0.000666...)120= $ 46,157.05Nuevo Saldo = 46,157.05 + 2,000 = 48,157.05

P18= 48,157.05 / (1+0.000666...)60

= $ 46,269.40Nuevo Saldo = 46,269.40 5,000 = $ 41,269.40

P7= 41,269.40 / (1+0.0006666...)330= $ 33,121.90

Nuevo Saldo = 33,121.90 + 1,500 = $ 34,621.90

P6= 34,621.90 / (1+0.000666...)30= $ 33,936.57

Nuevo Saldo = 33,936.57 3,000 = $ 30,936.57

Formulamos nuestra ecuacin de equivalencia de valor en el momento cero ytenemos:

X = 30,936.57 / (1+0.000666...)180X = $ 27,439.37

Depositaron US$ 27,439.37

30. Marcela abri una cuenta a plazo fijo de $ 20,000.00 durante dos aos ymedio, con una tasa nomina anual del 36% capitalizable mensualmente, el mes14 increment su deposit con $ 8,000.00 y en el mes 20 la tasa vara a tasanominal mensual 0.9% capitalizable diariamente. El mes 22 nuevamenteincrementa su cuenta a plazo abonando $ 4,000.00. Cunto retirar alcumplirse el tiempo de la cuenta a plazo fijo?

TNA = 36% TNM = 0.9%Capitalizacin mensual Capitalizacin diaria20,000

8,000X

4,000

0 14 20 22 30 Meses

TNA = 36% capitalizacin mensual, entonces: i = 0.36 / 12 = 0.03TNM = 0.9% capitalizacin diaria, entonces: i = 0.009 / 30 = 0.0003

X = 20,000 (1+0.03)20(1+0.0003)300+ 8,000 (1+0.03)6(1+0.0003)300+ 4,000(1+0.0003)240

X = $ 54,273.92Retirar US$ 54,273.92


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31. Phentix deposit $ 20,000.00 en el banco Somos los mejores durante 18meses. Durante este tiempo el banco, realiz los siguientes cambios en la tasade inters, a saber: los primeros seis meses la tasa vigente fue tasa nominalmensual del 1.5% capitalizable diariamente, los siguientes seis meses, una tasanominal bimestral del 3.2% capitalizable quincenalmente y los ltimos seismeses, a una tasa nominal mensual del 5.5% capitalizable mensualmente.

Cunto fue el total de intereses ganado durante todo este tiempo?

TNM = 1.5% TNB = 3.2% TNM = 5.5%Cap. Diaria Cap. Quincenal Cap. Mensual

20,000 X

0 6 12 18 Meses

TNM = 1.5% capitalizacin diaria, entonces i = 0.015 /30 =0.0005

TNB = 3.2% capitalizacin quincenal entonces i = 0.032 / 4 = 0.008TNM = 5.5% capitalizacin mensual entonces i = 0.055 / 1 = 0.055

S6 = 20,000 (1+0.005)180 = $ 21,882.99S12 = 21,882.99 (1+0.008)12 = $ 24,078.70S18 = 24,078.70 (1+0.055)6 = $ 33,200.75

I = S PI = 33,200.75 20,000.00 = 13,200.75

Inters ganado US$ 13,200.75

32. Hoy Phentix retir del banco la suma de $ 500,000.00, luego de permaneceren el por espacio de 36 meses. Se sabe que al finalizar el segundo ao Phentixretir $ 85,000.00 para comprar el ltimo modelo del automvil BMW. LuegoPhentix preocupada por su futuro decidi hacer un depsito de $ 13,000.00, 3meses despus.Cunto fue el capital depositado al inicio si hasta el mes 15 la tasa nominalanual fue de 15% y luego cambi a una tasa nominal trimestral del 6%? (Enambos casos la capitalizacin era mensual).

TNA = 15% TNT = 6% 500,000Cap. Mensual Cap. Mensual

X

85,00013,000

0 15 24 27 36 Meses

TNA = 15% capitalizacin mensual entonces i = 0.15 / 12 = 0.0125TNT = 6% capitalizacin mensual entonces i = 0.06 / 3 = 0.02


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P27= 500,000 / (1+0.02)9= $ 418,377.63

Nuevo Saldo = 418,377.63 13,000.00 = $ 405,377.63

P24= 405,377.63 / (1+0.02)3= $ 381,996.40

Nuevo Saldo = 381,996.40 + 85,000.00 = $ 466,996.40

P15= 466,996.40 / (1+0.02)9= $ 390,761.69

Momento del cambio de tasaP0= X = 390,761.69 / (1+0.0125)

15X = $ 324,329.54

Al inicio deposit US$ 324,329.54

33. Hansel y Grethel decidieron poner un negocio. Contaban con un capital de $6,000.00. Al ver que no les alcanzaba para emprender su pollera DoorsChicken, decidieron poner su capital en el banco durante un tiempo a una tasa

nominal mensual del 1% con una capitalizacin trimestral. Luego de seismeses, el banco cambi la tasa de inters pasando a una tasa nominaltrimestral de 3.6% con una capitalizacin diaria. Qu cantidad retiraron Hansely Grethel luego de dos aos, si en el mes 16, Grethel deposit $ 1,750.00 y enlos meses 6 y 18 efectu retirs por $ 500.00 y $ 2,650.00 respectivamente?

TNM = 1% TNT = 3.6%Cap. Trimestral Capitalizacin diaria

6,000X

2,6501,750

500

0 6 16 18 24 Meses

TNM = 1% cap. Trimestral entonces i = 0.01 * 3 = 0.03TNT = 3.6% cap. Diaria entonces i = 0.036 / 90 = 0.0004

S6= 6,000 (1+0.03)2= $ 6,365.40

Nuevo Saldo = 6,365.40 500.00 = $ 5,865.40S16= 5,865.40 (1+0.0004)300= $ 6,613.06Nuevo Saldo = 6,613.06 + 1,750.00 = $ 8,363.06

S18 = 8,363.06 (1+0.0004)60 = $ 8,566.16Nuevo Saldo = 8,566.16 - 2,650.00 = $ 5,916.16X = S24 = 5,916.16 (1+0.0004)180 = $ 6,357.74

Hansel y Grethel retiraron US$ 6,357.74

34. En el grfico adjunto, hallar el valor de X?


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TNM 1% TNT 2% TNT 6%10,000 10,000 10,000

X 2,000 5,000

0 30 50 60 120 270 360 Das

TNM 1% = 0.01/30 = 0.000333333...TNT 2% = 0.02/90 = 0.000222222...TNT 6% = 0.06/90 = 0.000666667

S360= $ 10,000.00 P270= ?

i = 0.000666667n = 90 dasS = P(1 + i)n10,000 = P270(1.000666667)

90$ 9,417.83 = P270Nuevo Saldo = 9,417.83 + 5,000 = $ 14,417.83

S270 = $ 14,417.83 P120= ?i = 0.000222222...n = 150 dasS = P(1 +i)n14,417.83 = P120(1.000222222...)150$ 13,945.21 = P120Nuevo Saldo = 13,945.21 - 10,000 = $ 3,945.21

S120= $ 3,945.21 P60= ?i = 0.000222222...n = 60 dasS = P(1 +i)n$ 3,945.21 = P(1.000222222...)60$ 3,892.96 = P60

S60= $ 3,892.96 P50= ?

i= 0.0003333333...n = 10 dasS = P(1 +i)n

3,892.96 = P(1.000333333...)10$ 3,880.00 = P50Nuevo Saldo = 3,880 + 2,000 = $ 5,880

S50= $ 5,880.00P30= ?


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n = 20 dasi= 0.006687813S = P(1 +i)n

$ 5,880 = P(1.006687813)20P30= $ 5,840.94Nuevo Saldo = 5,840.94 + X

5,840.94 + X = 10,000 (1.000333333...)30X = $ 10,100.48 - $ 5,840.94X = $ 4,859.54Retir el monto de $ 4,859.54

35. Un ahorrador deposita hoy $ 350,000.00 en una institucin que paga un intersnominal del 29% capitalizable diariamente. Si retira al cabo de un ao$135,900.00 y $ 181,600.00 un ao ms tarde. Que saldo tendr en la cuentade ahorros, un ao despus del ltimo retiro?

350,000 X

181,600135,900

0 1 2 3 Aos

TNA =29% cap. diaria entonces i = 0.29 / 360 = 0.000805555....

S1= 350,000 (1 + 0.0008055....)360= $ 467,695.02Nuevo Saldo = 467,695.02 135,900 = $ 331,795.02

S2= 331,795.02 (1 + 0.0008055)360= $ 443,368.22Nuevo Saldo = 443,368.22 181,600 = $ 261,768.22Saldo final = 261,768.22 (1 + 0.0008055.)360 = $ 349,793.12El saldo de su cuenta ser US$ 349,793.12

36. El presupuesto de una persona ha crecido a una tasa anual de 2.8%capitalizable mensualmente, durante los ltimos 5 aos. Si el dinero que poseeactualmente es $ 3825,000.00 cul seria su presupuesto al cabo de 5, 10 y 20aos, considerando:

a) Que la tasa de inters no cambiab) Que el presupuesto crece al 2.8% los primeros 5 aos, 2.5% los siguientes5 aos, y 2.0% los ltimos aos.

a) La tasa de inters no cambiaAl cabo de 5 aos: 3825,000 (1+(.028/12))60= $ 4399,079.73Al cabo de 10 aos: 3825,000 (1+(0.028/12))120= $ 5059,321.12Al cabo de 20 aos: 3825,000(1+(0.028/12))240= $ 6691,955.60


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b) Si el presupuesto crece al 2.8% los primeros 5 aos, 2.5% lossiguientes 5 aos, y 2.0% los ltimos aos.Al 5to. Ao: 3825,000(1+(0.028/12))60= $ 4399,079.73Al 10mo ao: 4399,079.73 (1+(0.025/12))60= $ 4984,162.27Al ao 20: 4984,162.27 (1+(0.020/12))120= $ 6086,656.14

37. Un da Pamela y Mario abren una cuenta de ahorros en el banco Rocket.Luego de 34 meses retiraron la suma de $ 40,000.00. Al finalizar el ao ymedio, Pamela realizo un deposito de $ 50,000.00 y a los dos aos y medio,Mario retir $ 100,000.00. Cul fue el capital inicial, si hasta los 420 das elbanco pag una tasa nominal anual del 15% y despus de esa fecha cambi atasa nominal mensual del 5%?

TNM = 5%TNA = 15% 100,000

X 50,000 40,000

0 14 18 30 34 Meses420 das

Hasta el mes 14, TNA 15% entonces i = 0.15 / 360 = 0.000416666Hasta el final, TNM 5% entonces i = 0.05 / 30 = 0.001666666

Usando el mtodo del retroceso de los flujos hasta el inicio tendremos:

El flujo de $ 40,000.00 lo regresamos hasta el mes 30:P30= 40,000 / (1+0.001666666)120 = $32,754.68

A este flujo le sumamos el retiro de Mario ($ 100,000.00)Nuevo Saldo = 32,754.68 + 100,000 = $ 132,754.68

Llevamos este saldo al mes 18:P18= 132,754.68 / (1+0.001666666)360= $72,893.71

A este saldo le restamos el depsito de Pamela ($50 000)Nuevo Saldo = 72,893.71 50 000= 22,893.71

Ahora, llevamos este saldo al mes 14P14= 22,893.71 / (1+0.001666666)120= $ 18,746.91

Ahora este saldo lo llevamos al principio con el cambio de tasacorrespondiente.P= 18,746.91 / (1+0.000416666)420= $ 15,737.80El capital inicial fue de US$ 15,737.80


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38. Comegen dispone de US$ 7,000.00 y mientras decide que negocio iniciar, losdeposita en el banco. Comegen mantuvo su depsito por espacio de 2bimestres y durante todo este tiempo el banco reconoci las siguientes tasasnominales mensuales de inters 2.4%, 1.2%, 0.54%, 0.9%, respectivamente.Calcular el monto a retirar? Qu tasa nominal trimestral tiene la operacin?

X

7,000TNM = 2.4% TNM = 1.2% TNM = 0.54% TNM = 0.9%

0 1 2 3 4 MesesTNM = 2.4% = 0.024 / 30 = 0.0008TNM = 1.2% = 0.012 / 30 = 0.0004TNM = 0.54% = 0.005 / 30 = 0.00018

TNM = 0.9% = 0.009 / 30 = 0.0003

S1= 7,000 (1 + 0.0008)30= $ 7,169.96

S2 = 7,169.96 (1 + 0.0004)30= $ 7,256.50

S3= 7,256.50 ( 1+ 0.00018)30= $ 7,295.79S4= 7,295.79 ( 1+ 0.0003)30= $ 7,361.74Al mes 4 podr retirar US$ 7,361.74

La tasa combinada ser:

...000419973.01

00.000,7

74.361,7' 120 ==i

Tasa Nominal trimestral = 0.000419973 * 90 * 100 = 3.779757...%

39. Un capital colocado hoy, ganar el 54% nominal anual capitalizablebimestralmente. Despus de 3 aos, se retira la cuarta parte de los interesesganados hasta entonces y a partir de ese momento, se cambia la capitalizacinde la tasa de inters a capitalizacin anual. Cul ser el monto total ha retirar6 aos despus del retiro efectuado, sabiendo que este fue de $ 20,500.00?

TNA = 54%Cap. Bimestral Capitalizacin anual

S

X20,500

0 3 9 aos

TNA = 50% capitalizacin bimestral entonces i = 0.54 / 6 = 0.09


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41

Inters ganado hasta los tres aos:I = S PS3= X (1+0.09)18= 4.717120417... XI = 4.717120417 X - X = 3.717120417 XSabemos que la cuarta parte de los intereses equivalen a $ 20,500, entonces:3.717120417 X / 4 = 20,500

X = $ 22,060.09Al cabo de 9 aos podremos rertirar:S9= 22,060 (1+0.09)

18(1+0.54)6= $ 1388,055.39

40. Colesi tiene una obligacin con el banco Wich por un prstamo que fueutilizado para iniciar un negocio de compra y venta de automviles. Colesi hapropuesto cancelar su obligacin de la siguiente manera:

$200,000 hoy $100,000 dentro de un ao $100,000 dentro de 18 meses a partir de hoy

La tasa de inters pactada es del 18% nominal anual.Desgraciadamente Colesi acaba de sufrir un siniestro que no le permitir

cumplir con lo ofrecido al banco y para no ocasionar problemas plantea unnuevo esquema de pago que consiste en pagar a partir de hoy:

$85,000 dentro de 4 meses (a partir de hoy) $115,000 dentro de 13 meses (a partir de hoy) un ultimo pago dentro de 20 meses (a partir de hoy)

La tasa de inters nominal en este caso ser de 2.1% mensual.Qu suma tendr que pagar al final?

SolucinEl monto de la deuda responde a la actualizacin de los flujos del siguientegrfico:

TNA = 18%200,000

100,000 100,000

0 12 18 meses

TNA = 18% entonces i = 0.18 / 360 = 0.0005

Importe de la deuda:Deuda = 200,000 + 100,000 / (1+0.0005)360+ 100,000 (1+0.0005)540Deuda = $ 359,873.88

Ahora distribuimos la misma de la siguiente manera:

TNM = 2.1%359,873.88


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42

X85,000 115,000

0 4 13 20 Meses

TNM = 2.1% entonces i = 0.021 / 30 = 0.0007359,873.88 = 85,000 / (1+0.0007)120+ 115,000 / (1+0.0007)390+ X / (1+0.0007)600359,873.88 = 78,153.95 + 87,534.03 + 0.657143368...XX = $ 295,500.05EL ltimo pago ser de US$ 295,500.05

41. Un seor abri una cuenta de ahorros por un ao, con $ 30,000.00. Sabemosque a los 3 meses retir $ 5,000.00 y a los 5 meses deposit X y a los 9meses deposit 2X. Si al finalizar el ao, el seor recibi $ 250,000.00.

Calcular el valor de X?. Sabiendo que el banco pag hasta el tercer mes,una tasa nominal mensual del 4.5% y a partir de esa fecha hasta el novenomes, una tasa nominal mensual del 3% y de ah, hasta el doceavo mes, unatasa nominal mensual del 5% con capitalizacin mensual.

TNM = 4.5% TNM = 3% TNM = 5%Cap. Mensual

250,000

30,000 2X5,000 X

0 3 5 9 12 Meses

TNM = 4.5% entonces i = 0.045 / 30 = 0.0015TNM = 3% entonces i = 0.03 / 30 = 0.001TNM = 5% capitalizacin mensual entonces i = 0.05

S3= 30,000 (1+0.0015)90= $ 34,332.63Nuevo Saldo = 34,332.63 5,000 = $ 29,332.63

S5= 29,332.63 (1+0.001)60= $ 31,145.52

Nuevo Saldo = 31,145.52 + XS9= (31,145.52+ X) (1+0.001)

120= 35,114.37 + 1.127429249XNuevo Saldo = 35,114.37 + 1.127429249X + 2XNuevo Saldo = 35,114.37 + 3.127429249X

Ecuacin equivalente de valor en el mes 12:250,000 = (35,114.37 + 3.127429249X) (1+0.05)3250,000 = 40,649.27 + 3.620390284X


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43

X = $ 57,825.46

42. Una empresa a los cinco aos se da cuenta que tiene en el banco la suma de $150,352.00 que estuvieron a una tasa nominal anual del 18%. A los cuntosdas tuvieron $ 20,000 de intereses?Con cuanto dinero abrieron la cuenta?.

TNA = 18% entonces i = 0.18 / 360 = 0.0005

Inicio de la cuenta:P = 150,352 / (1+0.0005)1800= $ 61,142.31La cuenta se abri con US$ 61,142.31

I = S PS = P + I

61,142.31 (1+0.0005)X= 61,142.31 + 20,000.00(1.0005)X= 81,142.31 / 61,142.31

(1.0005)X= 1.327105731Tomando logaritmos a cada miembro de la ecuacin, tendremos:

X log (1.0005) = log 1.327105731X = 566.1423461... Das

43. Un capital de $ 100,000.00 se deposita en un banco durante 3 aos con unatasa de 30% anual con capitalizacin mensual. Despus de 13 meses, seretiran las dos terceras partes de los intereses. Cul fue el monto del retiro? YCul ser el saldo final de la cuenta?

TNA = 30% capitalizacin mensual X100,000

2/3 I

0 13 36 Meses

A los 13 meses la cuenta tena:S13= 100,000 (1+0.025)

13= $ 137,851.10Los intereses acumulados a esa fecha:I = 137,851.10 100,000.00 = $ 37,851.10Como retira las 2/3 partes, el monto del retiro fue de:Retiro = 2/3 * 37,851.10 = $ 25,234.07Nuevo Saldo = 137,851.10 25,234.07 = $ 112,617.03Saldo Final:

S = 112,617.03 * (1+0.025)

23

= $ 198,725.2144. Se coloca hoy un capital ganando el 9% de inters nominal mensual, despus

de 8 meses se retira la mitad de los intereses ganados hasta entonces. 4meses ms tarde, el banco modifica la tasa de inters incrementndola en unaproporcin del 10% lo cual anima al ahorrista ha depositar otro capital msgrande que el primero en 180%. Bajo esas condiciones, el ahorrista retira $500,000.00 en un plazo total de dos aos.Calcule los capitales depositados?


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44

Al inicio la TNM = 9% entonces i = 0.09 / 30 = 0.003Al partir del mes 12 la TNM = 0.09 + 0.09 *0.1 = 9.9%, entonces:i = 0.099 / 30 = 0.0033Ahora, tenemos el siguiente grfico:

TNM = 9% TNM = 9.9% 500,000

X + 1.8 X

XI/2

0 8 12 24 Meses

Al mes 8, tenamos acumulado:S8= X (1+0.003)240= 2.052220043... XLos intereses ganados son:I = 2.052220043... X X = 1.052220043 XComo se retira la mitad de los intereses, tenemos:Retiro = 1.052220043 X / 2 = 0.526110022 XNuevo Saldo = 2.052220043... X - 0.526110022 X = 1.526110022 XS12= 1.526110022 X (1+0.003)

120= 2.186239853 XNuevo Saldo = 2.186239853 X + (X+1.8X) = 4.986239853 XEcuacin equivalente de valor, considerando el cambio de tasa:500,000 = (4.986239853 X) (1+0.0033)360500,000 = 16.32546553 XX = $ 30,627.00El primer depsito fue de US$ 30,627.00El segundo, $ 85,755.60

45. Julio deposita $ 35,000.00 en el banco Citibank por tres meses, durante estetiempo el banco le reconoci las siguientes tasas nominales mensuales: 3%,1.5% y 1% respectivamente. Calcular el monto a retirar luego de tres meses?.Tomando en cuenta nicamente el valor inicial y final, Qu tasa nominaltrimestral equivalente tiene est operacin?

TNM = 3% entonces i= 0,03 / 30 = 0,001

TNM = 1.5% entonces i= 0.015 / 30 = 0,0005TNM = 1% entonces i= 0.01 / 30 = 0,000333...

Llevamos el depsito mes por mes con su correspondiente tasa:S1= 35,000 (1+0,001)

30= $ 36,065.37S2= 36,065.37 (1+0.0005)

30= $ 36,610.29S3= 36,610.29 (1+.000333...)

30= $ 36,978.17Luego de tres meses podremos retirar $ 36,978.17


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45

La tasa trimestral ser:

000611072.0100.000,3517.978,36

' 90 ==i

La TNT equivalente = 0.000611072 * 90 * 100 = 5.499648...%

46. Olenka realiza dos depositos: $ 6,000.00 con una tasa nominal mensual de Xy $ 3,500.00 con una tasa nominal mensual de Y; en ambos casos losintereses se capitalizan mensualmente. Si cada uno de los capitales, se colocaa dos aos, se obtiene entre ambos un total de $ 20,000.00. Ahora, si seintercambian la tasas, en el mismo plazo, los mismos capitales dan un montototal de $ 21,000.00. Determine las tasas a los que fueron colocados loscapitales.

Del problema se tiene que:Capitales Tasa de interes PlazoK1= $ 6,000.00 TNM = X 24 mesesK2= $ 3,500.00 TNM = Y 24 meses

Ademas:K1(1+X)

24+ K2(1+Y)24 = 20,000 ------------------------------- (1)

K2(1+X)24+ K1(1+Y)24= 21,000 ------------------------------ (2)

Reemplazando datos y con el artificio:A = (1+X)24B = (1+Y)24Se tiene:6,000 A + 3,500 B = 20,000 (3)3,500 A + 6,000 B = 21,000 (4)

Resolviendo las ecuaciones (3) y (4) :

A = 1.957894737B = 2.357894737

Reemplazando1.957894737 = (1+X)24X = 0.028390105 entonces X = 2.8390105% Mensual

2.357894737 = (1+Y)24Y = 0.036386747 entonces Y = 3.6386747... % Mensual

47. Dos hermanos ceden sus capitales segn las siguientes tasas: el primero a 5%y el segundo a 6%. El capital del primero, esta en relacin con el segundo como3 es a 2. Se quiere determinar los capitales que cedieron, si despus de 24meses y 10 das ambos obtienen un total de $ 13,500.00.

Del problema se tiene que:Capitales: Tasa de interes PlazoX 5% 730dasY 6% 730 das


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46

Ademas:X / Y = 3 / 2X = 3Y / 2 -----------(1)

SX+ SY= $ 13,500

X (1+(0.05/360))730

+ Y (1+(0.06/360))730

= 13,500 ------(2)

Reemplazando (1) en (2):(3Y / 2) (1+(0.05/360)730+ Y (1+(0.06/360)730= 13,5001.660048863 Y + 1.129366405 Y = 13,5002.789415268 Y = 13,500Y = $ 4,839.72

X = $ 7,259.59


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47

Tasa de inters

0

0

0

/!

1

02

!!

'!!

#$

1$

0

3#!


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49

Tasa Nominal Anual( % )

Capitalizacin Tasa del perodo ( i )( % )

60 TrimestralMensual 0.8

55 Bimestral

Mensual 2.5

18 DiariaDiaria 0.08

24 Semestral

Trimestral 3

36 Diaria

1. Si TNA = 15% con capitalizacin mensual, Hallar la tasa del perodo?

2. Si TNA = 20% con capitalizacin mensual, Hallar la TNS?

3. Si la capitalizacin es trimestral y la tasa del perodo es 5%. Cul es la TNA?

4. Si TNT = 9%. Hallar la TNM?

5. Si TNA = 36% con capitalizacin mensual. Hallar la TNT?


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50

TASA EFECTIVA

Simbologa: TE

Pero toda tasa efectiva, adems de su simbologa base, siempre lleva consigo una unidad detiempo, que seala el valor de la tasa dentro de esa unidad de tiempo, por ejemplo TEA, donde

la unidad de tiempo A representa ao. Este ltimo caracter, podra cambiar por cualquierotra letra o nmero que indique el valor de la tasa durante esa unidad de tiempo, ejemplo TET,donde T equivale a trimestre o TE67 donde 67 representa el nmero de das para loscuales esta sealado el valor de la tasa.

Es lo efectivamente cobrado o pagado. Recoge en su contenido el producto delas capitalizaciones o acumulaciones de ganancias.

Con esta tasa SOLOse permiten dos operaciones:

POTENCIACION y RADICACION

Siempreque dentro de una unidad de tiempo (por ejemplo: un ao), exista ms de unafrecuencia de capitalizacin; entonces, la tasa efectivaser mayor en representacinnumrica que la tasa nominal.

TASA EFECTIVA

FrmulasFrmulas:

Tasa de periodo:

11, += n TEi

Unidad de

tiempo

Tener presente que:En el perodoy solo en el, la tasa nominal y la tasa efectiva son iguales.

in= ie = i

Adems, hay que considerar y tener presente que para efectuar clculos quenos permitan la toma de decisiones financieras, es fundamental hallar,calcular, encontrar y definir la tasa del perodo ( i,)


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51

RELACION DE EQUIVALENCIA

Es la que permite hacer comparable una tasa nominal con una tasa efectiva.

11

++

TT

EE

==

((11

++

ii))

nn

Donde:i = Tasa del periodon = nmero de capitalizaciones comprendidas en la unidad de

tiempo de la tasa efectiva anunciada.

RECORDAR

Dada una tasa nominal, siempre tendr su equivalente efectiva.

Dada una tasa efectiva, siempre tendr su equivalente nominal.

Manda siempre la capitalizacin, y hay que tener cuidado con el uso y aplicacindel tiempo.

Ejemplo # 1

TNA = 40%, capitalizacin trimestral. Hallar la tasa efectiva anual?

Dado que la capitalizacin es trimestral, entonces, todo debe estar expresado entrimestres

TEA = (1 + i)n- 1

TEA = (1 + 0.1)4 - 1TEA = 0.4641

TEA = 46.41%

10.04

40.0

,,===

in

TNA

i


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52

Ejemplo # 2

Hallar la tasa equivalente partiendo de la tasa nominal.TNA = 60%, capitalizacin mensual Hallar TEA?.

Ejemplo # 3

Hallar la tasa equivalente partiendo de una tasa efectiva.TEA = 46.41%, capitalizacin trimestral Hallar TNA?.

Cuadro MgicoCuadro Mgico (para convertir tasas)(para convertir tasas)

ii

11 +n TE

Creado por: Carlos Door Cabezas


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Caso 1 : De tasa nominal a tasa efectiva

Cmo pasar de una tasa nominal a una tasa efectiva equivalente.

Observe el siguiente ejemplo:

TNA = 28.5%, capitalizacin diaria Hallar TEA?.

TEA = (1 + i)n - 1TEA = (1 + 0.00079166667) 360- 1TEA = 0.329612

TEA = 32.961207%.

Se puede apreciar que es indispensable calcular en primer lugar el valor de la tasadel perodo, para este caso, el perodo es un da porque la capitalizacin ha sidoanunciada y es diaria. No hay que olvidarse que como venimos de una tasa nominalpara calcular la del perodo slo podemos dividir la tasa nominal anunciada entre elnmero de das que comprenda la unidad de tiempo de la tasa, para el ejemplo, launidad de tiempo de la tasa nominal dada es un ao (TNAla unidad de tiempo estaacotada en negrita) y para ir a la tasa efectiva equivalente solo podemos potenciar.Al final multiplicamos el resultado por 100 para dar la respuesta en porcentaje.

Caso 2 : De tasa efectiva a tasa nominal

Cmo pasar de una tasa efectiva a una tasa nominal equivalente.

Observe el siguiente ejemplo, poniendo especial atencin a las unidades de tiempode cada una de las tasas dadas:TE trimestral = 12%, capitalizacin diaria. Hallar la Tasa Nominal Semestralequivalente?.

...001260001.0112.01i

1TET1i90,

n,

=+=

+=

TNS = i (n) (100)TNS = 0.001260001 (180) (100)

TNS = 22.680018...%

Nuevamente es indispensable calcular en primer lugar el valor de la tasa del perodo.Para este caso, el perodo es un da, porque la capitalizacin anunciada es diaria. Nohay que olvidarse que como venimos de una tasa efectiva para calcular la tasa delperodo slo podemos radicalizar la tasa efectiva anunciada considerando como

...000791666.0360285.0

in

TNAi ,, ===


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ndice de la raz el nmero de das que comprenda la unidad de tiempo de la tasa,para el ejemplo, la unidad de tiempo de la tasa efectiva dada es un trimestre (TETlaunidad de tiempo, esta acotada en negrita) y para ir a la tasa nominal equivalentesolo podemos multiplicar. Al final multiplicamos el resultado por 100 para dar larespuesta en porcentaje.

CCAASSOO33::DDeettaassaannoommiinnaallaattaassaannoommiinnaall

Cmo pasar de una tasa nominal de unidad de tiempo mayor a una tasa nominalequivalente de unidad de tiempo menor.

Observe el ejemplo, poniendo especial atencin a las unidades de tiempo de cadatasa de inters:

TNA = 28.5%, capitalizacin diaria Hallar la tasa equivalente nominal Trimestral?.

TNT = 7.125%

Dado que se trata de pasar de una tasa nominal de tiempo mayor a una equivalentede tiempo menor y por ser de nominal a nominal podemos trabajar sin tomar encuenta la capitalizacin.Slo consideraremos las unidades de tiempo de cada una de las tasas, cuidandoestablecer correctamente la relacin existente entre mltiplos y submltiplos de lasrespectivas unidades de tiempo.

Para el ejemplo mostrado, apreciamos que se trata de pasar de una TNA a una TNT.La unidad de tiempo de cada tasa es ao y trimestre respectivamente; entonces, si latasa nominal de partida tiene una unidad de tiempo de un ao y queremos hallar latasa nominal de menor unidad de tiempo (trimestre), debemos vigilar que la unidadde tiempo menor sea submltiplo de la unidad de tiempo mayor (4 trimestres = 1aos).Por tratarse de pasar de una tasa nominal a otra nominal, podemos dejar deconsiderar a la capitalizacin para los clculos (pero no olvide que para efectos deliquidacin se mantendr la capitalizacin anunciada).Una vez determinada la cantidad de veces que la unidad de tiempo de la tasanominal de unidad de tiempo menor est contenida en la unidad de tiempo de la tasanominal de unidad de tiempo mayor, procederemos tan solo a efectuar la divisin

correspondiente.Estos clculos pueden ser considerando la tasa en notacin decimal en notacinporcentual.

Si quisiramos ir de una tasa nominal de unidad de tiempo menor a una tasa nominalequivalente de unidad de tiempo mayor se har el proceso inverso, multiplicando.

07125.04285.0

nTNAi, === TNT


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CCAASSOO44::DDeettaassaaeeffeeccttiivvaaaattaassaaeeffeeccttiivvaa

Cmo pasar de una tasa efectiva de unidad de tiempo menor a una tasa efectivaequivalente de unidad de tiempo mayor.

Observe el ejemplo, poniendo especial atencin a las unidades de tiempo de cada

tasa de inters:

TE trimestral = 12%, capitalizacin diaria.Hallar la Tasa Efectiva Semestral?.

TES = 25.44%

Como se trata de pasar de una tasa efectiva a una efectiva equivalente, podemostrabajar sin tomar en cuenta la capitalizacin (pero no olvide que para efectos deliquidacin se mantendr la capitalizacin anunciada).Consideraremos tan slo las unidades de tiempo de cada tasa. Hay que establecercorrectamente la razn existente entre mltiplos y submltiplos de las respectivasunidades de tiempo.Para el ejemplo mostrado, se trata de pasar de una TET a una TES, la unidad detiempo de cada tasa es trimestre y semestre respectivamente; entonces, si la tasaefectiva de partida tiene una unidad de tiempo de un trimestre y queremos hallar latasa efectiva de mayor unidad de tiempo (semestre), debemos vigilar que la unidadde tiempo menor sea mltiplo de la unidad de tiempo mayor (2 trimestres = 1semestre).Una vez determinada la cantidad de veces que la unidad de tiempo de la tasa

efectiva de unidad de tiempo menor est contenida en la unidad de tiempo de la tasaefectiva de unidad de tiempo mayor, procederemos a efectuar la potenciacincorrespondiente.Slo podemos realizar estos clculos considerando la tasa en notacin decimal porlo que al final de la operacin tendremos que multiplicarla por 100 para expresarnuestra respuesta en porcentaje.

Si quisiramos ir de una tasa efectiva de unidad de tiempo mayor a una tasa efectivaequivalente de unidad de tiempo menor se har el proceso inverso, radicalizando.

( )

( ) 2544.0112.01TES

1TET1TES2

2

=+=

+=


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Problemas de inters compuesto

Ejemplo # 1P = $ 10,000.00, TEA = 30%, n = 90 das. Hallar el valor de S?

90

n,

360,

...)00072905.01(*000,10S

)i1(PS

...00072905.0130.01i

+=

+=

=+=

S = $ 10,677.90

EEjjeemmpplloo##22TET = 8%, capitalizacin mensual. Hallar TNS?.

100*6*...0259.0TNS...0259855.0108.01i

1TET1i

3,

n,

=

=+=

+=

TNS = 15.591341%

Ejemplo # 3Hoch deposita hoy la suma de $ 25,000.00; 4 meses despus deposita $ 20,000.00 yluego de dos meses retira $ 10,000.00; el banco donde efectu sus depsitos,remuner la cuenta con las siguientes tasas de inters: por los primeros 3 mesesTNT = 9%, por los 5 meses siguientes TEM = 5% y a partir de all TEA = 42%. Si

Hoch cancel su cuenta al cabo de 1 ao desde el momento de su apertura Cuntoretir?

Respuesta: US$ 54,171.21


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Asesora

Complete el siguiente cuadro


Capitalizacin Tasa Efectiva Anual( % )

45 TrimestralMensual 0.958

54 Bimestral

Mensual 3.5

28 Diaria

Diaria 0.08

14 Semestral

Trimestral 5

30 Diaria

1. Si TNA = 15% con capitalizacin mensual, Hallar la TEM equivalente?

2. Si TNA = 20% con capitalizacin mensual, Hallar la TES?

3. Si la capitalizacin es trimestral y la tasa del perodo es 3%. Cul es la TNA?

4. Si TNT = 9%. Hallar la TEM equivalente?

5. Si TNA = 36% con capitalizacin mensual. Hallar la TET equivalente?

6. Si TNM = 2% con capitalizacin mensual. Hallar la TES equivalente?

7. Si TNT = 9%, capitalizacin anual. Hallar la TEA equivalente?

8. Si TNA = 15%. Hallar la tasa del perodo?

9. Si P = $ 130,000.00; S = $ 345,000.00 y el tiempo transcurrido fue de 5 aos.Hallar la tasa efectiva mensual que rigi esta operacin?

10. Hace 2 aos deposit US$ 100,000.00 en mi cuenta de depsito a plazo fijo; elfuncionario del banco hoy manifiesta que a la fecha he ganado por intereses lasuma de US$ 18,000.00 y que no mueva mi depsito porque el banco estamodificando la tasa de inters dentro de 2 meses y la nueva tasa ser de TET =6% con lo que yo podra retirar dentro de un ao (a partir de hoy), la suma deUS$ 136,000.00. Qu tasa de inters efectiva trimestral pagaba el banco

antes?

11. Hallar el plazo que rigi la siguiente operacin P = $ 42,000; S = $ 64,000.00;tasa efectiva anual = 24%


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Operaciones Financieras Descontadas o Anticipadas

Tasa de descuento

Dada una tasa nominal o efectiva, sabemos que es fcil calcular la tasa de perodo.Una vez que hallamos la tasa de periodo con la siguiente frmula podemos calcular

la tasa de descuento correspondiente a ese periodo.

,

,

i1i

d+

=

Si tuviramos como dato la tasa de descuento para un determinado perodo,aplicando la siguiente frmula podremos establecer la tasa efectiva correspondienteal perodo calculado.

d1d

i,

=

LETRA

Valor Nominal: US$ 18,670.00 (S)Vencimiento: 26 das (n)TEA: 20%Cunto es el valor netodel documento?

Tasa Efectiva para 26 das

i26= (1 + 0.000506577047)26

- 1i26 = 0.01325474362

Tasa de Descuento

d = 0.0130813536

Descuento = 18,670 x 0.0130813536Descuento = US$ 244.23

Valor Neto = 18,670 - 244.23 = US$ 18,425.77

470005065770.0120.01i 360, =+=

20132547436.0120132547436.0

d+

=


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Ejercicio # 1Si tengo en mi poder documentos (letras) por importes $ 34,000.00; $ 54,000.00 y $63,000.00. Con vencimientos a 35, 98 y 132 das respectivamente. Cul ser elabono neto si deseo contar con liquidez de inmediato? . TEA = 20%

Ejercicio # 2Un cliente se acerca a una tienda que en su publicidad informa lo siguiente:

Nadie financia mejor que nosotros. Compre al crdito

El cliente se tienta a comprar un artculo cuyo precio de catlogo hoy es $ 14,000.00(precio contado) entonces se acerca al vendedor y le dice: Deseo dar una inicial de $4,000.00 y financiar el saldo en una letra a 45 das. El vendedor le dice que no hayproblema y que le harn llegar el producto a su casa. El cliente al indagar por la tasade inters del financiamiento recibe el siguiente mensaje: La tienda aplica una tasade descuento mensual del 4%

Porqu importe se tendr que girar la letra? Qu tasa de inters efectiva anual le estn aplicando al cliente?


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60

Factores Simples de Capitalizacin y de Actualizacin

Los factores solo son nmeros. Sern de utilidad para buscar valores futuros o presentes, segn sea el

caso, para una determinada tasa de inters.

Factor Simple de Capitalizacin

Se representa por FSC

FSC = ( 1 + i,) n

Factor Simple de Actualizacin

Se representa por FSA

Tabla de factores y su uso

La preparacin de la tabla de factores es muy sencilla, para ello slo necesitamos hallar la tasade inters del perodo ( i,diario equivalente a la tasa de inters anunciada) y sumarle uno. Aeste resultado lo llamaremos pvoty ser el elemento principal que permitir calcular todoslos nmeros de la tabla.

Para mostrar la forma de cmo preparar una tabla de factores desarrollaremos el siguiente

ejemplo:

Preparar la Tabla de Factores Simples de Capitalizacin y Actualizacincorrespondientes a una TEA = 60%

Como sabemos que la capitalizacin es diaria, entonces nuestro primer paso ser calcular elvalor de nuestra tasa de perodo, a saber:

...0013064182.016.01i 360, =+=

Pvot = ( 1 + 0.0013064182... )1

Nota: el pvot esta elevado al exponente 1 porque corresponde alvalor de un da

( )niFSA ,11

+=


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Tabla de Factores Simples de Capitalizacin y Actualizacin

( 1 + i,)n ( 1 + i,)-n

nDas

Factor Simple CapitalizacinFSC

Factor Simple ActualizacinFSA

123....

1.001306418...1.002614543...1.003924376...

.

.

.

.

0.998695...0.997392...

.

.

.

.

.

303132..

.60...

1.039944100...1.041302701...1.042663078...

.

.

.1.081483730...

.

.

.

0.961590.......

.0.924655...

.

.

.

90...

120...

180....

360

1.124682624......

1.169607059......

1.264911005.......

1.60

0.889139......

0.854988......

0.790569.......

0.625

EjercicioSi TET = 48%, complete el siguiente cuadro de factores simples de capitalizacin y

actualizacin:N de das FSC FSA

357698132


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Consolidacin

1. Complete el siguiente cuadro


Capitalizacin Tasa Efectiva Anual( % )

30 DiariaDiaria 27

Mensual 48

36 trimestral

Diaria 18

2. Si TE34= 20%, Hallar la TNS?

3. Si S = $ 50,000.00 n = 4 meses TES = 12% Hallar P?

4. Si P = $ 60,000.00 TEB = 9% n = 3 aos Hallar S?

5. Si TE270= 36% con capitalizacin diaria. Hallar la TET? Hallar la TES? Hallarla TEA? Cul ser la tasa equivalente nominal de 270 das?

6. Latino Travel deposit durante 45 das $ 75,000.00 a una tasa nominal anual del15%. Cunto retir cuando termin la operacin?

7. Latino Travel retir hoy de su cuenta $ 120,000.00. Si el dinero permaneci enel banco 10 meses a una tasa efectiva mensual del 0.5% Cul fue el depsitooriginal?


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Tasa de inters real o libre de inflacin

Esta tasa muestra el efecto neto de los cambios en el valor deldinero. Representa la ganancia real en el poder de compra.

Frmula:

Valor Presente considerando la inflacin:

Tasa Real

Simbologa:

TRir

+

==

1

TEiTR r


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DolaresFuturos

ValorCorriente

Valor constante

TEA = 10%

Prdida de Valorcon respectoal valor constantepor = 5 %

1 2 3 Aos

$ 863.84

$ 1,331.00

1,102.50+55.13

1,050.00+ 1,157.631,000+ 52.50

50 1,102.50

1,0501,000

0 1 2 3 AosTasa de inflacin anual = 5%

La inflacin crece cadavez que la capitalizo yme anuncia el nuevo

poder de compra

Nuevo poder decompra

15.763%en tres aos

TTAASSAARREEAALL

44..77661199......%%

TTAASSAAIINNFFLLAADDAA


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65

0

Simbologa: if

Frmulas:

( )( ) 111

))((

++=

++=

TEi

TETEi

f

f

!

" #$ % ! #$

Depsito = US$ 1,000.00Inflacin = 10% aoTEA = 10%

Cul es la tasa real y la tasa inflada equivalentede esta operacin?

01.01

1.01.0

1

=+

=

+

=

r

r

i

TEi

( )( )

21.0

)1.0(*)1.0(1.01.0

=

++=

++=

f

f

f

i

i

TETEi

ir = 0 % if = 21 %


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66

Valor Futuro

.100,1)1.01(*1000S

)'i1(PS1

n

=+=

+=

S = $ 1,100.00

Valor Neto considerando Costo de Oportunidad (TE e Inflacin)

09.90921.1

100,1V

21.01100,1

V

i1S

V

N

N

fN

==

+=

+=

VN = $ 909.09

TEA = 10 %

= 10 %

$ 1,000.00

1 ao

$ 1,100.00

Precio delbien X al inicio = $ 10.00

Si Bx= $ 10Qx = 100 unidades Si Bx= $ 11

Qx = 100 unidades

Dinero depositado en banco

Dinero bajo el arbolito


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Qu hubiera pasado si la inflacinhubiera sido 12% y qu si hubiera

sido 8%?

%20.23

...%78571.1

12.1

02.0

12.01

12.010.0

=

=

=

+

=

f

r

r

i

i

i

%80.18

...%85185.1

08.1

02.0

08.01

08.010.0

=

=

=+

=

f

r

r

i

i

i

Si = 12 %, entonces: Si = 8 %, entonces:

RECORDAR

Dada una inflacin, siempre existir una tasa real.

Dada una tasa efectiva y una tasa real, siempre podr calcularse la inflacindel periodo.

Manda siempre la capitalizacin, y hay que tener cuidado con el uso yaplicacin del tiempo.

Ejercicio:

Hoch, ex alumno de la Universidad, desea efectuar una donacin al FondoEstudiantil de su Alma Mter y ofrece cualquiera de los siguientes planes:Plan A: $ 42,000.00 ahora.Plan B: $ 15,000.00 anuales durante 4 aos,

empezando dentro de 1 ao.Plan C: $ 25,000.00 dentro de 3 aos y

otros $ 40,000.00 dentro de 5 aos.La nica condicin es que el dinero sea utilizado para Investigacin en temasfinancieros. La universidad desea seleccionar el plan que permita maximizar el poderde compra de los dlares por recibir, de manera que le pide a usted evale los


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68

planes considerando el impacto de la inflacin. La Universidad desea obtener unatasa efectiva del 10% anual y se espera que la tasa de inflacin promedio sea delorden del 3% anual. Qu plan debemos aceptar?

if= 0.10 + 0.03 + (0.10) * (0.03) = 0.133....(13.3%)

Valores Presentes:

VPA = US$ 42,000.00

VPB = US$ 44,340.38

VPC = US$ 38,613.47

15, 15, 15, 15,

25,

40,


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Cuadro de inflacin proyectada

10.76.20.5Noviemb

10.23.70.3Octubre 9.82.40.2Setiemb

9.62.40.2Agosto

9.43.70.3Julio

199.14.90.4Junio

8.67.40.6Mayo

26810.00.8Abril

31.87.112.71Marzo

42.56.160.14Febrero

26.8226.82Enero

ac py ao acum proy ao (%)mes


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Asesora TASA REAL

1) Se sabe que el valor neto de un documento al que se le aplic una tasa de descuentotrimestral del 12% es $ 15,800.00a) Hallar el valor nominal del documento?b) Hallar la Tasa Efectiva Anual?

Solucin

a) Valor Nominal:

=+=

=

=

)12.0(N.V800,15VN

136363636.012.01

12.0TET

oo

VNo= $ 17,954.55

b) Si TET = 0.1363636364Entonces:

TEA = (1 + 0.1363636364)4 1 = 0.66751319TEA = 66.751319 %

2) Si se conoce que la cantidad descontada $ 720.00 (D = $ 720.00) a una letra que vencedentro de 90 das a la que se le aplic una TEA = 40%. Hallar el valor nominal deldocumento?.

Solucin

0806.0

720No.V

d*No.VD

%0677.808775.01

08775.0

TET1

TET

d

%40TEA

=

=

=+

=+

=

=

Valor Neto = $ 8,924.46

3) En el pas ATHOS la tasa de inflacin anual es 12%. Hoch, residente de ese pas, tomarecursos por $100,000 indexados, a una TNA = 48%. Cunto tendr que devolver a los120 das para cancelar su operacin?

Solucin

TNA = 48%


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71

03849882.01)12.01(

173385813.0TE

1360

48.01TE

120

360/120

120

120

120

120

=+=

=

+=

218559782.0if

)03849882.0)(173385813.0(03849882.0173385813.0if

120

120

=

++=

Total indexado:S = 100,000 ( 1 + 0.218559782...) = $ 121,855.98

4) Hallar Tasa Real Anual, si d = 9 % y la tasa de inflacin mensual es 0.5%

Solucin

%5.0

TEMA2 - Lectura Separata de Estudio

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