Asignatura: Cartografía urbanística y catastral Tema: La medida de la posición

Ángel Manuel Felicísimo Pérez

Área de Ingeniería Cartográfica, Geodésica y Fotogrametría Departamento de Expresión Gráfica

Curso 2007-2008

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1 CONCEPTOS BÁSICOS SOBRE LA MEDIDA DE LA POSICIÓN 2

1.1 La forma de la Tierra 2 Elipsoides 2 Geoide 3 Geoides locales 3

1.2 ¿Qué es la posición? 4 Latitud, longitud y altura sobre el elipsoide 4 Coordenadas cartesianas 4 Alturas ortométrica y elipsoídica 5 Nivel medio del mar 5 Coordenadas planas 6

1.3 Necesidad de un datum 6

1.4 Red de referencia: TRF 7

1.5 Algunos mitos sobre sistemas de coordenadas 8 Mito 1: un punto sobre la Tierra tiene valores únicos de latitud y longitud 8 Mito 2: un plano horizontal es una superficie de nivel 8 Mito 3: las coordenadas de un punto sobre la Tierra no cambian 9 Mito 4: existen fórmulas matemáticas exactas para cambiar de sistema de coordenadas 9

2 ALGUNOS DATUM DE USO EN EUROPA 10

2.1 WGS84, World Geodetic System 1984 10 GPS como red de referencia 10

2.2 ETRS89, European Terrestrial Reference System 10

2.3 ED50, European Datum 1950 11

3 TRANSFORMACIONES GEODÉSICAS 13

3.1 ¿Qué es una transformación geodésica? 13

3.2 Transformación de Helmert 14

3.3 Conversión entre coordenadas cartesianas y angulares 15 De latitud, longitud y altura elipsoídica a coordenadas cartesianas 15 De coordenadas cartesianas a latitud, longitud y altura elipsoídica 15

4 PROYECCIONES CARTOGRÁFICAS 16

4.1 Distorsiones debidas a la proyección 16 Representación de ángulos 16 Representación de superficies 17 Representación de las distancias 17 Representación de las direcciones 18

4.2 La proyección UTM 18

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1 Conceptos básicos sobre la medida de la posición

1.1 La forma de la Tierra

La forma real de la Tierra es irregular y enormemente compleja. Si se desea determinar o etiquetar la situación de cualquier objeto se hace necesario utilizar un modelo de la forma de la Tierra. Como todo modelo, se trata de una simplificación del objeto real que va a ser útil para ser usado como base del establecimiento de un sistema de referencia espacial.

La geodesia es una disciplina cuyo principal objetivo es determinar la forma de este modelo y a partir de él definir los sistemas de referencia y consecuentemente la manera de expresar las localizaciones en el espacio. Estas localizaciones pueden ser de magnitudes muy diferentes: desde las cordilleras, líneas de costa o placas tectónicas, hasta los clavos o marcas de control usados para levantamientos cartográficos a grandes escalas.

La primera cuestión que se plantea en geodesia es cuál es el mejor modelo de la Tierra, entendiendo como mejor el más simple y el más útil para los objetivos de la geodesia. Una vez que este modelo se defina, su superficie puede ser usada para medir las formas topográficas.

Las respuestas a la cuestión anterior se basan en dos conceptos: elipsoide y geoide.

Elipsoides

Aunque la Tierra es casi esférica, su rotación hace que el radio en el Ecuador sea apenas un 0.33% mayor que el radio hacia los Polos (unos 21.5 km). La figura geométrica más simple que se ajusta a esta forma es un elipsoide biaxial, una figura tridimensional generada por rotación de una elipse sobre su eje más corto. Este eje coincide aproximadamente con el eje de rotación de la Tierra.

Debido a que la forma de un elipsoide no se ajusta perfectamente a la de la Tierra, se han propuesto elipsoides de diferentes formas y localizaciones, buscando a veces el mejor ajuste general a todo el planeta o, en otras, el mejor ajuste a una zona concreta, país o continente. Por ejemplo, el sistema de coordenadas usado en GPS (Global Positioning System) usa un elipsoide llamado GRS80 (Geodetic Reference System 1980) diseñado para un ajuste global. Otros elipsoides pueden variar en tamaño, forma, orientación y posición relativa. Por ejemplo, su centro puede coincidir o no con el centro de masas de la Tierra. La tendencia actual es usar el GRS80 debido, sobre todo, a la compatibilidad ya que es válido para toda la Tierra.

elipsoide local

región de mejor ajuste

elipsoide de mejor ajuste global

Representación muy exagerada de una sección de la Tierra y dos elipsoides. El general busca el mejor ajuste sobre la totalidad del globo. El local busca el mejor ajuste sobre una parte (un país, un continente...)

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Geoide

Si queremos medir alturas, es necesario definir un “nivel cero” o superficie de referencia que sirva de origen para la escala de medida. La altura en un punto sería la distancia desde ese punto a la superficie de referencia.

Dicha superficie de referencia puede ser un elipsoide en cuyo caso se habla de “alturas elipsoídicas”; la distancia entre un punto y la superficie del elipsoide se mediría sobre el segmento rectilíneo que pasa por dicho punto y es normal a la superficie del elipsoide.

Sin embargo, en los trabajos geodésicos se han utilizado niveles para relacionar puntos entre sí, mediante la medida de ángulos verticales y horizontales y distancias. La medida de los ángulos verticales se realiza con un sistema de referencia esencialmente gravitacional: la línea de plomada marca el eje vertical a partir del cual se miden los ángulos.

La línea de plomada depende de la fuerza gravitacional en cada punto del terreno y ésta es variable y no tiene que ver con un elipsoide. Para mantener controlada esta circunstancia, la superficie de referencia debe ser otra, basada en la gravedad.

Esto ha llevado a que esta superficie de referencia, llamada geoide, no sea una forma geométrica simple. El geoide es una superficie de referencia de “igual gravedad” (equipotencial) en todos sus puntos, lo que se determina mediante gravimetría. Es decir, dado el campo gravitatorio de la Tierra, el geoide está determinado por el lugar geométrico de todos los puntos con igual valor de gravedad, lo que conforma una superficie cerrada y de forma compleja. Debido a la distribución de las masas, el geoide normalmente asciende en los continentes y desciende en los océanos, y la línea de plomada no tiene porqué apuntar hacia el centro de masas de la Tierra.

La selección del “nivel cero” gravitatorio es esencialmente arbitraria, ya que cualquier valor podría ser usado como referencia pero en la práctica se ha elegido el valor que define la superficie mejor ajustada al nivel medio de los océanos. Las alturas determinadas sobre el geoide se denominan “alturas ortométricas”.

En http://earth-info.nga.mil/GandG/wgs84/index.html podemos encontrar representaciones gráficas y una calculadora (National Geospatial-Intelligence Agency).

Representación del Geoide (figura tomada de Franco Rey, J. 2002

http://www.cartesia.org/article.php?sid=84

Geoides locales

En España, las altitudes en un mapa están referidas al “nivel medio del mar en Alicante”. Eso significa que se ha utilizado una superficie de referencia local, en vez de la general. Para la mayoría de los usos, estas superficies locales pueden considerarse paralelas a la general y sólo

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hay que tener en cuenta una desviación sistemática sobre o bajo la misma. Como están basadas también en gravimetría, pueden llamarse “geoides locales”, en contraste con el Geoide, que es general.

1.2 ¿Qué es la posición?

Para expresar la localización de un punto sobre la Tierra es necesario definir un sistema de referencia que permita fijar las escalas y su origen exacto. El reto es definir un sistema que permita expresar numéricamente la posición de cualquier elemento, sin ambigüedad y con exactitud.

Latitud, longitud y altura sobre el elipsoide

Una forma de determinar la posición sobre la Tierra es mediante el uso de dos ángulos: latitud y longitud. Estos dos valores definen una recta, cuya intersección con la superficie de un elipsoide determina la posición en el espacio.

La relación entre un elipsoide y latitud y longitud es simple: las líneas de longitud constante se denominan meridianos y las de latitud constante, paralelos. Uno de los meridianos se elige como origen (meridiano de referencia) y se le asigna el valor angular de longitud cero. Actualmente existe consenso en la elección del meridiano que pasa por Greenwich como origen de las longitudes pero en España se utilizaron varios meridianos, como el de Madrid (3º 41’ 15” al Este del de Greenwich). La longitud de un punto sobre el elipsoide es el ángulo que forma el meridiano que pasa por ese punto y el meridiano cero (medido en el plano ecuatorial). Es frecuente dividir estos ángulos en dos sectores de 180º, Este y Oeste.

El ecuador del elipsoide se define como línea de latitud cero. La latitud de un punto es el ángulo entre el plano ecuatorial y la línea perpendicular al elipsoide en el punto. Las latitudes se expresan como valores entre 0 y 90º en los sectores Norte y Sur.

Latitud y longitud definen un punto sobre el elipsoide pero la superficie de la Tierra puede estar por encima o por debajo de ese punto por lo cual necesitamos un tercer valor, en este caso no angular: la altura elipsoídica. Esta altura es la distancia entre el punto y la superficie del elipsoide medida sobre la perpendicular a la misma. Con estos tres valores podemos determinar sin ambigüedad la localización de un punto en el espacio.

P

Polo

meridianoprincipal

XY

Z

planoecuatorial

latitud del punto P

longitud del punto P

Latitud y longitud de un punto. Obsérvese que el segmento que define el ángulo de latitud no tiene porqué pasar por el origen de coordenadas. Este segmento se traza perpendicularmente al elipsoide en el punto P. Sólo si en vez de un elipsoide se tratara de una esfera, esta perpendicular pasaría por su centro.

Coordenadas cartesianas

Un sistema cartesiano de coordenadas es una opción muy simple para describir la posición de un punto en el espacio, usando tres ejes perpendiculares entre sí X, Y y Z. Las coordenadas cartesianas pueden utilizarse como alternativa al sistema de latitud/longitud/elevación elipsoídica sin mayores problemas. Lo más simple para combinar ambos sistemas de referencia es hacer coincidir el origen de coordenadas cartesianas con el centro del elipsoide. Los ejes X e

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Y estarán sobre el plano ecuatorial; en el primer caso (X) cortará el meridiano 0 y en el segundo (Y) el meridiano de 90º. El eje Z coincidirá con el eje polar del elipsoide.

Es importante darse cuenta que las transformaciones entre sistemas de referencia dan resultados que sólo son válidos para esos sistemas y que no pueden ser comparados con otros sin realizar una operación de transformación entre los dos sistemas. En consecuencia, cuando se manejan coordenadas procedentes de fuentes diversas es necesario asegurarse de su compatibilidad antes de comenzar los análisis.

longitud cero(plano ZX)

latitud cero (plano XY)

elipsoide

P(x, y, z)P(Φ, λ, H)

geocentro

Elipsoide con líneas de latitud y longitud (“gratícula”) y el sistema de coordenadas 3D asociado. Este ejemplo sitúa el origen de coordenadas en el centro de masas de la Tierra (geocentro). La posición del punto P puede expresarse en coordenadas angulares o en cartesianas.

Alturas ortométrica y elipsoídica

La relación entre las alturas sobre el Geoide (h) y sobre el elipsoide (H) es en principio simple:

NhH +=

donde N es la separación entre Geoide y elipsoide en ese punto, también llamada ondulación del Geoide. Debido a que el Geoide es una superficie compleja, el valor de N es variable según el lugar. Una función, tabla o relación de los valores de N para una zona determinada se denomina modelo de Geoide. Lógicamente, es necesario disponer de este modelo si queremos transformar alturas sobre el elipsoide y alturas ortométricas y viceversa.

Obviamente, la construcción de buenos modelos de Geoide es esencial para aumentar la exactitud de las medidas de elevación. Un buen modelo de Geoide permite determinar las alturas ortométricas usando GPS (que dan alturas elipsoídicas) y la ecuación anterior.

Como en el caso de los elipsoides, una altura ortométrica debe ir siempre acompañada de información sobre el modelo de Geoide utilizado.

Nivel medio del mar

Como ya se ha comentado, los geoides locales hacen referencia a un punto que está relacionado frecuentemente con la expresión “nivel medio del mar”. Como es obvio que el mar cambia de nivel por motivos diversos, este punto es el resultado de una larga serie de medidas. Este punto sirve para determinar el potencial gravitatorio que se usa para determinar el geoide local (ver información para España en http://www.mfom.es/ign/, sección “Geodesia” - “Nivelación y mareógrafos”).

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topografía

modelo de Geoide

Geoide

elipsoide

Altura sobre el elipsoide H y altura ortométrica h de dos puntos, A y B.

N es la separación entre el modelo de Geoide y el elipsoide. La medida está afectada por el error de ajuste entre el modelo de Geoide y el Geoide real.

topografía

Geoide real

elipsoide

modelo de Geoide local

nivel medio del mar

altura sobre el elipsoide

altura ortométrica real

altura ortométrica local

Relación entre el Geoide, un modelo de geoide local, el nivel medio del mar y un elipsoide.

Coordenadas planas

Las coordenadas planas se utilizan para determinar posiciones sobre un mapa entendido como una superficie plana bidimensional. Las coordenadas sobre el mapa se definen sobre un sistema cartesiano de dos ejes y sus valores se determinan de acuerdo con fórmulas de transformación conocidas genéricamente como proyecciones cartográficas.

Un mapa proyectado no puede ser una representación perfecta porque no es posible transformar una superficie curvada en una plana sin crear distorsiones y discontinuidades. En función de estas distorsiones se han diseñado proyecciones útiles para usos diversos. La proyección más utilizada en España es la UTM (Universal Transversa Mercator). Como en casos anteriores, cualquier valor de coordenadas debe ir acompañada de información sobre el sistema de proyección que se haya utilizado.

Mientras que en geodesia las coordenadas planas suelen usarse sólo para la visualización o presentación gráfica de datos o resultados, en los sistemas de información geográfica es frecuente el uso directo de datos proyectados.

1.3 Necesidad de un datum

Independientemente del tipo de coordenadas que usemos (angulares, rectangulares...) es necesario determinar algunos parámetros, como el origen de coordenadas del sistema de referencia. Las posiciones en el espacio exigen definir un conjunto de parámetros que se llama habitualmente datum geodésico (o simplemente datum) o Sistema de Referencia Terrestre (Terrestrial Reference System, TRS).

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Si se usa un sistema de coordenadas en tres dimensiones, será necesario un datum 3D para determinar las posiciones de los ejes. En este sentido, el datum es el nexo entre un sistema abstracto de coordenadas y el mundo físico real.

En el caso de usar el sistema de latitud/longitud/altura elipsoídica, necesitaré determinar igualmente el centro del sistema de referencia pero también los parámetros que definen las forma y tamaño del elipsoide. El tamaño suele determinarse mediante la distancia entre el origen y el ecuador del elipsoide: semieje mayor, a. La forma se expresa mediante el semieje menor b, (distancia desde el Polo al origen), un valor de la excentricidad e o el inverso del coeficiente de “aplastamiento” 1/f ; las expresiones son en cada caso:

2

2

222 2 ff

a

bae −=

−=

a

baf

−=

El datum geodésico expresado como se indica arriba está formado por 8 parámetros: 3 para expresar la localización 3D del origen, 3 para definir los ejes de coordenadas, 1 para el tamaño del elipsoide y 1 para la forma.

1.4 Red de referencia: TRF

Aunque se haya definido el datum o TRS, queda un problema pendiente: hacer accesible la medida de coordenadas en la práctica. La medida se facilita estableciendo un conjunto de puntos sobre la Tierra cuyas coordenadas han sido medidas con precisión y se hacen públicas. Los métodos clásicos de localización se basan en el uso de visuales desde dichos puntos. En los años 80 se planteó el uso de puntos de referencia en satélites, que tienen la ventaja de ser visibles desde amplias zonas de la Tierra.

La red de puntos de referencia se llama Terrestrial Reference Frame (TRF) y su propósito es establecer puntos de coordenadas conocidas para facilitar la toma de medidas. Estos puntos son los conocidos vértices geodésicos. Menos intuitivo es que los satélites de la constelación GPS del Departamento de Defensa de los EE.UU. son esencialmente puntos de referencia de la TRF. Cada uno de estos satélites sirve para lo mismo que un vértice geodésico: son puntos muy visibles y de posición conocida (aunque en este caso la posición sea variable). Los observadores pueden usar estos puntos mediante receptores GPS y obtener nuevas posiciones antes desconocidas.

La definición de una red de referencia implica operaciones de medida de los puntos y, en consecuencia, las observaciones están afectadas siempre por algún error. Este error proviene de los instrumentos y métodos de medida, no del datum que es un conjunto de parámetros adoptados por convención y está, por esencia, libre de error en su definición. Las coordenadas de un punto de la red deberán estar acompañadas de estadísticos que describan su incertidumbre.

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Vértice geodésico “Mas de la Marina” (Castellón) en forma de pilar reducido con coordenadas UTM, X=749456.410, Y=4460440.143, Z=399.881 (Datum ED50).

Corresponde a la Red Geodésica de 4º orden del Instituto Cartográfico Valenciano.

1.5 Algunos mitos sobre sistemas de coordenadas

Ahora ya podemos comentar algunas ideas frecuentes pero falsas sobre las localizaciones

Mito 1: un punto sobre la Tierra tiene valores únicos de latitud y longitud

Por razones históricas no existe un sistema de latitud/longitud universalmente aceptado. Existen diferencias que hacen que las localizaciones de un mismo punto puedan diferir hasta unos 200 m según el datum utilizado. La figura inferior muestra tres puntos, todos ellos con la misma latitud y longitud, en tres sistemas de coordenadas diferentes: OSGB36, WGS84 y ED50.

Tres puntos con la misma latitud y longitud en tres sistemas de coordenadas diferentes. La zona representada mide 200 m de lado.

Mito 2: un plano horizontal es una superficie de nivel

Las superficies de nivel son equivalentes a una superficie líquida en reposo; la gravedad en la Tierra hace que dicha superficie no pueda ser un plano, aunque en pequeñas dimensiones el efecto sea difícil de percibir. Es más, al ser el Geoide una forma compleja, dicha superficie no será tampoco esférica.

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Mito 3: las coordenadas de un punto sobre la Tierra no cambian

La superficie de la Tierra es dinámica, no estática. Fenómenos como la deriva continental, la tectónica de placas o la subsidencia hacen que dos puntos en dos continentes puedan tener movimientos relativos de varios centímetros al año. Este hecho hace que la tendencia actual sea usar sistemas de referencia globales incluso para aplicaciones locales. Asimismo, el movimiento continuo sobre la Tierra obliga a actualizar las redes de referencia periódicamente.

Mito 4: existen fórmulas matemáticas exactas para cambiar de sistema de coordenadas

Las fórmulas exactas sólo pueden aplicarse a objetos cuya descripción es puramente matemática. Las coordenadas de un punto se obtienen mediante un proceso de medida que está sometido a un error frecuentemente desconocido. La incertidumbre asociada a un conjunto de medidas puede a veces ser acotada (fijar un límite máximo o una probabilidad de que un límite no sea traspasado). Los modelos matemáticos de trasformación se aplican, por tanto, sobre datos imprecisos por lo que el resultado será también inevitablemente impreciso.

Situación de los continentes del Hemisferio Sur hace 200 millones de años (arriba) y 100 Ma (izquierda). La deriva continental sigue su curso con lo que las coordenadas de cualquier punto sobre la Tierra varían con el tiempo.

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2 Algunos Datum de uso en Europa

2.1 WGS84, World Geodetic System 1984

El datum usado por el sistema de localización GPS es el WGS84 y consiste en un sistema cartesiano de coordenadas 3D y un elipsoide. Las posiciones pueden describirse tanto mediante coordenadas XYZ como mediante valores de latitud, longitud y altura sobre el elipsoide. El origen del datum es el centro de masas de la Tierra.

Tal como hemos comentado antes, el datum WGS84 no es más que un conjunto de convenciones, no incluye infraestructuras de ningún tipo ni métodos de localización o medida. La definición incluye los siguientes aspectos:

• los ejes cartesianos y el elipsoide son geocéntricos: su origen es el centro de masas de la Tierra incluyendo mares y atmósfera.

• su orientación (es decir, la orientación de los ejes y la del ecuador y meridiano principal del elipsoide) coincide con el ecuador y meridiano principal del Bureau International de l’Heure en el inicio de 1984 (00:00 h del 1 de enero).

• desde 1984, la orientación de los ejes y elipsoide ha cambiado de forma que el movimiento medio de los continentes relativo al elipsoide es cero. Esto asegura que el eje Z coincida con el Internacional Reference Pole y que el meridiano principal (que contiene los ejes Z y X) coincida con el Internacional Reference Meridian.

• la forma del elipsoide está definida por una longitud del semieje mayor a=6378137.0 m y un coeficiente de aplastamiento 1/f = 298.257223563.

• se han adoptado valores convencionales para la velocidad de rotación de la Tierra (velocidad angular) y para la constante de gravitación. La primera es necesaria para la medida del tiempo y la segunda define la escala del sistema en un sentido relativístico.

El elipsoide se ha definido para conseguir el mejor ajuste global posible al Geoide. Esto significa que el ajuste en un país determinado no tiene porqué ser especialmente bueno. Los elipsoides locales no geocéntricos pueden dar un ajuste mejor ya que están adaptados a una zona concreta.

Otro aspecto interesante es que los ejes y, en consecuencia, los paralelos y meridianos en el datum WGS84 no son estacionarios respecto a ningún país o punto en concreto. Debido a la deriva continental, diferentes partes del mundo se mueven y cambian de posición relativa varios centímetros al año. El Meridiano y el Polo Internacional de Referencia y, consecuentemente, el datum WGS84 son estacionarios respecto a la media de dichos movimientos. Sin embargo, en un país concreto las localizaciones cambian; por ejemplo, en Inglaterra las latitudes y longitudes WGS84 cambian a una tasa constante de unos 2.5 cm al año en dirección NE. Otras partes del mundo, como Hawai o Australia, se mueven alrededor de 10 cm al año.

GPS como red de referencia

Un datum cuyo origen es el centro de masas de la Tierra es especialmente adecuado para la era espacial ya que ese punto es uno de los focos de las órbitas elípticas de los satélites.

La principal red de referencia WGS84 es la constelación de satélites GPS. GPS puede entenderse como la herramienta que permite la localización de acuerdo con el datum WGS84, de otra forma inaccesible.

2.2 ETRS89, European Terrestrial Reference System

ETRS89 es el sistema de referencia geodésico europeo y ha sido adoptado recientemente por España (BOE 29/10/2007) estableciendo un periodo de transción desde el ED50 hasta el año 2015. Fue propuesto por la IAG Subcommision for the European Reference Frame (EUREF). El elipsoide es el mismo que para el datum WGS84. El marco de referencia es el llamado ETRF

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(European Terrestrial Reference Frame, ver http://lareg.ensg.ign.fr/EUREF/ para más información).

En España, el proyecto que construye esta red se denomina REGENTE (Red Geodésica Nacional por Técnicas Espaciales) y se finalizó en el año 2001 con la asignación de coordenadas a unos 1200 vértices de la red ED50. REGENTE tuvo como finalidad cubrir todo el territorio español con una red geodésica tridimensional de alta precisión. En cada Hoja del MTN 1/50.000 existirá, como mínimo, una estación REGENTE coincidente con un vértice de la Red Geodésica Convencional (ROI) o con un clavo de una línea de nivelación NAP. La observación, iniciada en 1994 en la zona peninsular y en las Islas Canarias, se efectúa con 9 receptores GPS (doble frecuencia) en dos estacionamientos de tres horas cada uno por estación y registros cada 15 segundos.

El cálculo se lleva a cabo apoyado en la red IBERIA95, asegurando de esta forma la homogeneidad de REGENTE con ETRF89. La precisión así obtenida puede considerase mejor que 5 centímetros en cada coordenada, utilizando el elipsoide asociado al sistema GRS80 para la transformación de coordenadas tridimensionales en coordenadas geodésicas (altitudes referidas al elipsoide).

Recientemente han sido publicadas las coordenadas de la Red de Orden Inferior (ROI) en el nuevo sistema oficial. A efectos cartográficos, ETRS89 es esencialmente igual a WGS84.

2.3 ED50, European Datum 1950

El European Datum 1950 se estableció por el Coast and Geodetic Survey de los EEUU con el fin de unificar la cartografía de todos los países aliados después de la Segunda Guerra Mundial. ED50 es el datum oficial en España por el Decreto 2303/1970.

El datum ED50 está basado en el elipsoide de Hayford de 1909 o Internacional de 1924. El origen de coordenadas se sitúa en el Ecuador para las latitudes y en el meridiano de Greenwich para las longitudes.

Se fijó un punto origen o Punto Astronómico Fundamental en el se realizan determinaciones astronómicas de latitud y longitud que serán datos de partida para el resto de la red. En este caso se adoptó la llamada Torre de Helmert localizada en el Observatorio de Potsdam (Alemania). Las coordenadas adoptadas para este punto fueron 13º 03' 58"74 de longitud al Oeste de Greenwich y 52º 21' 51"45 de latitud al Norte del Ecuador.

En España, la red de referencia llamada Red Geodésica Nacional Convencional está referida al sistema de referencia local ED50 (European Datum 1950) aunque los vértices se están dotando progresivamente de coordenadas WGS84 y ETRS89. Esta red depende del Instituto Geográfico Nacional (IGN) y consta de unos 11000 vértices.

Vértice geodésico de primer orden del IGN

Más información puede encontrarse en http://www.geo.ign.es/

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Otras redes han sido desarrolladas por las Comunidades Autónomas (Comunidad Valenciana, Cataluña, etc.)

Resumen de datos sobre elipsoides, datum y proyecciones

Elipsoide semieje mayor, a (m) aplastamiento Datum y proyecciones

asociados

Internacional 1924 Hayford 1909 6378388.000 1/f = 297.00 ED50, UTM

GRS80, WGS84 6378137.000 1/f = 298.257223 WGS84, ITRS, ETRS89

Red geodésica de primer orden en Extremadura. Esta red está formada por 573 vértices a una distancia media de 40 km. La red de segundo orden tiene 2170 con una distancia entre ellos de unos 10 a 25 km. Finalmente, la red de tercer orden consta de unos 12000 vértices

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3 Transformaciones geodésicas

3.1 ¿Qué es una transformación geodésica?

Una transformación geodésica es una operación matemática que, dados los valores de coordenadas de un punto P en un sistema determinado nos devuelve la localización de ese punto según otro sistema diferente y viceversa.

Para comprender las transformaciones geodésicas es necesario entender bien las relaciones entre el datum y la red de referencia que lo materializa. Las redes de referencia son de calidad muy variable pero incluso las redes excelentes no son una expresión exacta del datum. En efecto, asignar coordenadas a un conjunto de puntos es un proceso que está sometido a un error dependiente de la precisión y exactitud del método de medida. Si tomamos la red en conjunto como referencia para la localización de nuevos puntos, cada resultado está afectado por un valor de incertidumbre, consecuencia del error que afecta a los nodos de la red.

En consecuencia, si disponemos de dos redes que expresan datum diferentes, la transformación entre ambos será sólo una aproximación: estadísticamente podremos hacer la mejor estimación posible en función de los datos que deberá ir acompañada del estadístico de incertidumbre correspondiente.

Por ejemplo, supongamos dos sistemas de coordenadas unidimensionales, A y B, representados por tres puntos tal como se muestra en la figura siguiente.

0 5 10 15

0 5 10 15

Sistema de coordenadas A

Sistema de coordenadas B

punto

blanco

gris

negro

coord. A

4.1

9.8

12.2

coord. B

7.3

12.7

15.0

Queremos realizar una transformación desde el datum A al B mediante un número t que, añadido a la coordenada en A deberá darnos la coordenada en B. En estas condiciones, la mejor estima de la transformación entre las redes es simplemente la media de las transformaciones o desplazamientos individuales:

t (blanco) = grisB – grisA = 3.2

t (gris) = grisB – grisA = 2.9

t (negro) = negroB – negroA = 2.8

luego

t = [ t (blanco) + t (gris) + t (negro)] / 3 = 2.97

este valor, la “mejor estimación” de t , no permite realizar la transformación con exactitud en ninguno de los puntos. En consecuencia, debemos aportar una medida de incertidumbre para las transformaciones que vayan a hacerse con este valor de t. Esta medida es la desviación estándar de t :

( ) ( ) ( )

17.03

222

=−+−+−

=tttttt

snegrogrisblanco

t

Este cálculo permite expresar nuestra estimación de t como 17.097.2 ±=t lo que significa que el valor de t no es exacto sino que oscila entre unos límites determinados. De acuerdo con la teoría estadística, en un 95% de los casos t estará dentro del rango 17.096.197.2 ⋅±=t o sea, entre 2.64 y 3.30.

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Es decir, al estar los valores de los puntos medidos con error, la transformación entre el datum A y el datum B no puede hacerse con exactitud, aunque sí puede estimarse y calcular un valor de incertidumbre.

La incertidumbre en una transformación depende del error de las redes que, en primera instancia, depende a su vez de los métodos usados para establecerlas. También depende del método que hayamos utilizado en el diseño de la transformación; posiblemente en el ejemplo, podríamos haber utilizado una transformación no lineal y haber obtenido mejores ajustes.

3.2 Transformación de Helmert

Dos datum basados en elipsoides pueden diferir en:

a) la posición del origen de coordenadas

b) la orientación de los ejes (y, en consecuencia, del elipsoide)

c) tamaño y forma del elipsoide de referencia.

Si trabajamos en coordenadas 3D, la forma y tamaño del elipsoide son datos innecesarios. En este caso, se necesitan 6 parámetros para describir las diferencias entre los dos datum: 3 para el cambio en el origen de coordenadas y 3 para las rotaciones entre los ejes. Además suele introducirse un séptimo parámetro (factor de escala) aunque viene dado por razones históricas y no es estrictamente necesario en la actualidad. A pesar de ello, el factor de escala figura en las transformaciones entre datum, conocidas como “transformación de Helmert” o, lo que es lo mismo “transformación conforme 3D”.

La transformación de Helmert sólo puede dar resultados exactos entre sistemas de referencia definidos matemáticamente. Cuando efectuamos las transformaciones en la práctica, los puntos reales están medidos con error por lo que es aplicable el concepto de incertidumbre comentado en el apartado anterior. Este aspecto debe siempre tener en cuenta, especialmente cuando trabajamos con datos tomados antes de la existencia del GPS y con alturas ortométricas sobre grandes áreas, dependientes de modelos de Geoide de calidad muy variable.

La forma matemática más usual es una fórmula lineal que asume que las rotaciones son pequeñas. De hecho, las rotaciones entre sistemas geodésicos cartesianos suelen estar por debajo de los 5 segundos de arco debido a que los ejes están alineados por convención con el meridiano de Greenwich y el eje polar. Estas fórmulas no deben aplicarse para rotaciones amplias, en cuyo caso deberían usarse las matrices de rotación de uso general.

En notación matricial, las coordenadas de un punto en el sistema B se calculan a partir de las coordenadas en el sistema A mediante la expresión:

A

XY

XZ

Yz

Z

Y

X

B

z

y

x

srr

rsr

rrs

t

t

t

z

y

x

⋅

+−

−+

−+

+

=

1

1

1

donde t son las traslaciones sobre los ejes X, Y y Z (en metros); r son las rotaciones (en radianes) y s es el factor de escala (adimensional) menos 1 (s es habitualmente muy pequeña). Los signos de los elementos de la matriz de rotación pueden cambiar según la convención que se utilice para definir los ángulos positivos y negativos.

Ocasionalmente pueden encontrarse transformaciones de tres parámetros (sólo traslación) o de seis (traslación y rotación). La expresión anterior puede usarse para estas transformaciones anulando los elementos que no se usen.

La transformación de Helmert se usa para transformar entre dos datum y no puede, en realidad, trabajar bien con redes afectadas por incertidumbre especialmente en grandes áreas que son heterogéneas. En este caso, una transformación única dará resultados cuyo error será diferente en función de la localización espacial.

En resumen, para una transformación simple entre el datum A y el datum B, expresaremos los valores de latitud y longitud como coordenadas cartesianas tomando las elevaciones sobre el elipsoide como nulas y usando los parámetros del elipsoide del datum A; aplicaremos ahora la

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transformación de Helmert del datum A al B; finalmente, convertiremos las coordenadas cartesianas a valores de latitud y longitud usando los parámetros del elipsoide B.

3.3 Conversión entre coordenadas cartesianas y angulares

De latitud, longitud y altura elipsoídica a coordenadas cartesianas

Se requiere conocer los valores del semieje mayor a y la excentricidad al cuadrado, e2; recuérdese que las expresiones son:

2

2

222 2 ff

a

bae −=

−=

a

baf

−=

llamando φ a la latitud y λ a la longitud:

φν

22 sin1 ⋅−=

e

a

( ) λφν coscos ⋅⋅+= Hx

( ) λφν sincos ⋅⋅+= Hy

( )[ ] φν sin1 2 ⋅+⋅−= Hez

De coordenadas cartesianas a latitud, longitud y altura elipsoídica

La longitud se obtiene mediante la expresión

( )xy /arctan=λ

La latitud debe obtenerse mediante un procedimiento iterativo donde el valor inicial es:

( )

−⋅=

21arctan

ep

zφ donde 22

yxp +=

el valor de φ se va ajustando calculando valores de ν usando el último valor de φ y recalculando φ de acuerdo con

+=

p

ez φνφ

sinarctan

2

el proceso se repetirá hasta que los cambios entre un valor de latitud y el siguiente sean menores que lo que exige la precisión que se desea.

La altura sobre el elipsoide viene dada por:

νφ

−=cos

pH

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4 Proyecciones cartográficas

Lo mencionado hasta aquí se refiere a la expresión de la posición de un punto sobre la Tierra en sistemas 3D. Las coordenadas cartográficas usan un sistema bidimensional, es decir, deben expresar las posiciones sobre la Tierra reduciéndolas a dos dimensiones. La transformación 3D�2D asigna a cada punto un par de coordenadas a partir de la latitud y longitud mediante fórmulas denominadas proyecciones cartográficas. Como ya se ha indicado, la transformación 3D�2D se realiza a costa de someter los objetos a deformaciones en sus propiedades métricas y a veces topológicas.

4.1 Distorsiones debidas a la proyección

Las alteraciones más importantes son las que afectan a los ángulos, superficies, distancias y direcciones.

Representación de ángulos

Sobre la superficie de la Tierra, la rosa de los vientos permanece igual en todos los lugares salvo en los Polos: las direcciones cardinales forman ángulos rectos y todas las demás mantienen siempre el mismo ángulo con las cardinales. Cuando esta propiedad se mantiene en una proyección se habla de proyecciones conformes u ortomórficas (“forma correcta”). Esta cualidad se asigna a los entornos de cada punto, no a zonas amplias. La “forma correcta” no significa que las áreas se conserven.

Los mapas que deben usarse para registro o estudio del movimiento requieren el uso de proyecciones conformes: cartas de navegación, por ejemplo. Las relaciones de escala son iguales en cada punto pero varían sobre el mapa por lo que la forma correcta se mantiene para zonas de poca amplitud.

Existen 4 proyecciones conformes de uso común: Mercator, Mercator Transversa, cónica conforme de Lambert con dos paralelos estándar, y estereográfica.

La proyección Mercator data de 1569 y se diseñó para navegación marítima ya que posee la propiedad de que todos los rumbos se representan mediante líneas rectas. La proyección es cilíndrica, con el eje coincidiendo con el eje Polar y tangente en el Ecuador. Los meridianos y el Ecuador aparecen como líneas rectas, no así los paralelos por lo que la proyección de Mercator no muestra las direcciones verdaderas. Las áreas aumentan rápidamente hacia las zonas polares.

A B

A’ B’

Proyección Mercator donde los puntos A y B son proyectados sobre un cilindro tangente al Ecuador para convertirse en A’ y B’. Las distorsiones en las distancias se incrementan con la separación del Ecuador.

Cuando el cilindro se gira 90º de forma que la tangencia corresponda con un meridiano, se obtiene una proyección Mercator Transversa. Esta proyección es conforme pero la mayoría de paralelos y meridianos aparecen curvos por lo que no todos los rumbos son líneas rectas. Las áreas aumentan rápidamente al separarse del meridiano de tangencia por lo que sólo es útil

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para una pequeña zona alrededor de éste. Esta proyección es la base de la UTM (Universal Transversa Mercator).

Para reducir la variación de la escala alrededor del meridiano central, en el sistema UTM la proyección se convierte en secante.

En el sistema utilizado para la proyección UTM, en vez de usar una sola línea estándar como en A, se usan dos, como en B. En UTM, las líneas se colocan 180 km al Este y Oeste del meridiano central.

Factor de escala:

en A en B

A

a b c a b c

B

a : 1.0020

b : 1.0000

c : 1.0020

a : 1.0000

b : 0.9996

c : 1.0000

La Tierra en proyección Mercator. Es evidente la enorme distorsión en latitudes altas.

Representación de superficies

En una proyección es posible mantener la representación de las áreas de forma que todas las regiones mantengan su tamaño relativo correcto. En este caso se habla de proyecciones equiárea o equivalentes. Esto no significa que no haya distorsiones en la forma ni en los ángulos (de hecho, las hay).

Estas proyecciones se usan para mapas destinados a la enseñanza, donde las comparaciones entre países o accidentes geográficos es prioritaria.

Representación de las distancias

La correcta representación de las distancias entre dos puntos depende de que se mantenga una escala uniforme a lo largo de la línea que une dichos puntos. No es posible mantener esta propiedad en toda la superficie proyectada; pueden darse dos casos:

• la escala se mantiene a lo largo de una o más líneas paralelas pero sólo en estas, que se llaman líneas de base, de referencia o automecoicas

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• la escala se mantiene en todas direcciones pero sólo a partir de uno o dos puntos; en este caso se habla de proyecciones equidistantes

Proyección cónica equiárea

Representación de las direcciones

Tampoco es posible mediante una proyección representar todas las direcciones mediante líneas rectas trazadas sobre el plano que guarden entre sí las relaciones angulares correctas. En la práctica, es posible representar los arcos de círculos máximos como líneas rectas a partir sólo de uno o dos puntos. Hablamos entonces de proyecciones acimutales.

4.2 La proyección UTM

La proyección UTM es “universal” en el sentido de que se trata de un sistema donde la Tierra se ha dividido en fajas meridianas cada una de las cuales se proyectará de acuerdo con la proyección UTM con parámetros específicos para ese valor de longitud.

Como ya se ha indicado, el eje del cilindro es perpendicular al eje Polar. Como las distorsiones se incrementan según nos alejamos del meridiano central, la proyección se ha diseñado de forma que, cada 6º de longitud, se cambia de parámetros. Esto supone la existencia de un conjunto de 60 husos o zonas (ver figura) que configuran el sistema UTM.

meridiano central

“huso”

En la proyección UTM se considera un intervalo al Este y Oeste de cada meridiano dentro del cual la representación es adecuada. A intervalos de 6º se conforma una proyección UTM adaptada al nuevo valor de longitud. A estas zonas se les suele denominar “husos”. El cilindro no es tangente con el meridiano central sino que se configura como secante para reducir las distorsiones generales; el factor de escala en dicho meridiano es de 0.9996.

La Península Ibérica está incluida en los husos 29, 30 y 31. Portugal está completamente incluida en el 29. Las Islas Canarias están en su mayor parte en el 28 y sólo un fragmento de la Isla de Hierro está en el huso 27. Los husos 29, 30 y 31 tiene como meridianos centrales los de 6º, 3º y –3º de longitud. Recuérdese que los meridianos con factor de escala 1.0000 están situados a 180 km al Este y al Oeste del meridiano central.

En Europa, la proyección UTM se asocia con el elipsoide Internacional 1909.

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Proyección Factor de escala en el meridiano central, F0

Origen, φ0 yλ0 Coordenadas del origen (m), E0 y N0

Elipsoide

UTM. huso 29 0.9996 latitud 0º, longitud 9º Oeste

E: 500000, N: 0 Internacional 1924

UTM. huso 30 0.9996 latitud 0º, longitud 3º Oeste

E: 500000, N: 0 Internacional 1924

UTM. huso 31 0.9996 latitud 0º, longitud 3º Este

E: 500000, N: 0 Internacional 1924

UTM es un sistema cartesiano plano por lo que los mapas proyectados se imprimen o representan con una retícula que sirve de guía para asignar coordenadas en la proyección. Los mapas a escala 1:50.000 suelen imprimirse con una retícula de 1 km (2 cm).

La retícula UTM no señala el Norte geográfico salvo que coincida con el meridiano central. Fuera de este meridiano, la retícula está desviada un cierto ángulo, llamado convergencia de la cuadrícula. La convergencia se expresa para el punto central de cada mapa aunque dentro de las hojas 1:50.000 puede considerarse aproximadamente constante. Este valor suele acompañarse en los mapas de otro ángulo, el que forma el Norte geográfico con el Norte magnético. Este último ángulo no es válido para cualquier momento ya que el Norte magnético terrestre se mueve.