TEMA N°1.2 1-2015
-
Upload
jesus-rodriguez -
Category
Documents
-
view
230 -
download
1
description
Transcript of TEMA N°1.2 1-2015
-
Contenido
Mtodos Numricos
para Ingenieros Qumicos
Prof. Carlos Sanchez
Sem I-2015
Mtodos de
Resolucin
Sist. Iterativos
Introduccin
Gauss-Siedel
Gauss-Jacobi
Matriz Inversa
-
Mtodos de
Resolucin
Sist. Iterativos
Introduccin
Gauss-Siedel
Gauss-Jacobi
Matriz Inversa
SISTEMAS DE ECUACIONES LINEALES
Contenido Previo
Cifras significativas: La misma representa la cantidad decifras o trminos que aportan informacin a una medicin
experimental y que permite durante un clculo aportar
informacin confiable.
Precision: Por otra parte
la misma se hace
referencia a que tan
cercano est algn
valor individual en
relacin a otros
Exactitud: Har
referencia a que tan
cercano se encuentra
un valor individual
medido respecto al
verdadero
-
Mtodos de
Resolucin
Sist. Iterativos
Introduccin
Gauss-Siedel
Gauss-Jacobi
Matriz Inversa
SISTEMAS DE ECUACIONES LINEALES
Error:
Al hacer referencia al concepto de error, se deber tener en cuenta que
al realizar cualquier aproximacin para representar las operaciones
matemticas, se introducirn a dichas operaciones desviacin del valor
exacto tanto por redondeo como por truncamiento.
Error = Valor Verdadero - Aproximacin
Mientras que en el caso de los mtodos numricos donde la
respuesta no se conoce a priori, la mejor aproximacin al valor
verdadero nos permite normalizar el error como:
Para algunos casos en los que se emplean mtodos iterativos, el
error a menudo depende de la forma como sucesivamente se van
obteniendo mas y mejores aproximaciones, por lo cual se definir en
funcin de la diferencia entre la aproximacin previa y la actual
como:
-
SISTEMAS DE ECUACIONES LINEALES
Matrices
Introduccin
Metodos de
Resolucion
Sist. Iterativos
Introduccin
Gauss-Siedel
Gauss-Jacobi
Matriz Inversa
Introduccin
En primera instancia para aquellos casos donde sevuelve imprctico en uso de las tcnicas directascomo las presentadas en la clase anterior.
Se vuelva mas vital la implementacin de tcnicasiterativas o indirectas como El mtodo de Gauss-Siedel y el mtodo de Jacobi los cuales se ilustrarana continuacin.
Vale la pena tener en consideracin que los mismorepresenta una solucin correcta al implementarlosen matrices que presenten una forma diagonalmentedominante.-
-
SISTEMAS DE ECUACIONES LINEALES
Matrices
Introduccin
Gauss-Siedel
Gauss-Jacobi
Matriz Inversa
Matrices
Introduccin
Metodos de
Resolucion
Sist. Iterativos
Introduccin
Antes de iniciar vale la pena recalcar queuna matriz diagonalmente dominante aquella quecontiene en todos los elementos de diagonalprincipal para el cual la suma del valor absoluto delos mismos representa la mayor suma respecto a losdems elementos de la matriz.-
Con i=1, 2, 3
De cumplirse la condicin anterior es de esperarque los mtodos citados a continuacin secumplan, de no ser as es posible que no secumpla su convergencia.-
-
SISTEMAS DE ECUACIONES LINEALES
Matrices
Introduccin
Introduccin
Gauss-Jacobi
Matriz Inversa
Matrices
Introduccin
Metodos de
Resolucion
Sist. Iterativos
Gauss - Siedel
En principio y para lo sucesivo se considerara como ejemplo deformulacin un sistema de ecuaciones lineales general como elsiguiente
A11X1 + A12X2 + A13X3 = B1
A21X1 + A22X2 + A23X3 = B2
En donde si tambin se cumple con el criterio de suficiencia, serrazn suficiente para despejar de cada ecuacin la incgnita cuyocoeficiente satisfacen las otras:
A31X1 + A32X2 + A33X3 = B3
-
SISTEMAS DE ECUACIONES LINEALES
Matrices
Introduccin
Introduccin
Gauss-Jacobi
Matrices
Introduccin
Metodos de
Resolucion
Sist. Iterativos
Gauss - Siedel
Mtodo de Gauss-Siedel
Este viene a se el mtodo mas comnmente empleado en casosdonde se espere iterar para sistemas de n ecuaciones. Para lo cualse considerara el siguiente procedimiento:
1. Se supondrn los valores iniciales para realizar las iteraciones (de
acuerdo al caso).
2. Luego se har uso de la informacin mas reciente de cada uno, es
decir:
Primero se determinara con la informacin de las otras dos variables,
X1i+1
X2i=X20 X3i=X30
Se determinara con la informacin de las otras dos variables, X2i+1
X1i+1=X1i+1 X3i=X30
Luego determinar con la informacin de las otras dosvariables,
X3i+1
X1i+1=X1i+1 X2i+1=X2i+1
-
SISTEMAS DE ECUACIONES LINEALES
Matrices
Introduccin
Introduccin
Gauss-Jacobi
Matriz Inversa
Matrices
Introduccin
Metodos de
Resolucion
Sist. Iterativos
Gauss - Siedel
3. Finalmente se comprobaran todos los trminos (empleando la norma
general) o todos los valores obtenidos en la dos ultimas iteraciones, es
decir:
De forma iterativa a razn de la formulacin a emplear se puede
presentar simplificar como:
X1i+1 - X1i
X2i+1 - X2i
X3i+1 X3i
Nota: Reconsiderar el paso 1,- del procedimiento o el planteamiento de
la matriz caso de coeficientes y verificar que en efecto se cumpla el
criterio de suficiendcia.
-
SISTEMAS DE ECUACIONES LINEALES
Matrices
Introduccin
Introduccin
Gauss-Jacobi
Matriz Inversa
Matrices
Introduccin
Metodos de
Resolucion
Sist. Iterativos
Gauss - Siedel
-
SISTEMAS DE ECUACIONES LINEALES
Matrices
Introduccin
Introduccin
Gauss-Siedel
Matriz Inversa
Matrices
Introduccin
Mtodos de
Resolucin
Sist. Iterativos
Gauss-Jacobi
Mtodo de Jacobi
Durante la aplicacin de este mtodo siempre se empleara lainformacin de la iteracin anterior, para lo cual el procedimiento aemplear ser el siguiente:
1. Se supondrn los valores iniciales para realizar las iteraciones (de
acuerdo al caso).
2. Luego se resolvern las ecuaciones planteadas en principio a objeto
de obtener los valores del o de los siguientes pasos de iteracin:
Primero se determinara con la informacin de las otras dosvariables,
X1i+1
X2i=0 X3i=0
Se determinara con la informacin de las otras dos variables,X2i+1
X1i+1=0 X3i=0
Luego determinar con la informacin de las otras dosvariables,
X3i+1
X1i+1=0 X2i+1=0
X3i=X30X2i=X20X1i=X10
-
SISTEMAS DE ECUACIONES LINEALES
Matrices
Introduccin
Introduccin
Gauss-Siedel
Matriz Inversa
Matrices
Introduccin
Mtodos de
Resolucin
Sist. Iterativos
Gauss-Jacobi
3. De igual forma se comprobaran los valores obtenidos de la dos ultimas
iteraciones, es decir:
En forma anterior a como se vio para el mtodo de Gauss-Seidel la
formulacin a emplear se puede presentar simplificar como:
X1i+1 - X1i
X2i+1 - X2i
X3i+1 X3i
-
SISTEMAS DE ECUACIONES LINEALES
Matrices
Introduccin
Introduccin
Gauss-Siedel
Matriz Inversa
Matrices
Introduccin
Mtodos de
Resolucin
Sist. Iterativos
Gauss-Jacobi
-
SISTEMAS DE ECUACIONES LINEALES
Matrices
Introduccin
Introduccin
Gauss-Siedel
Matriz Inversa
Matrices
Introduccin
Mtodos de
Resolucin
Sist. Iterativos
Gauss-Jacobi
Para fines prcticos se definir como criterio de para en el
ciclo de iteraciones el uso de la norma bajo la forma
siguiente:
-
SISTEMAS DE ECUACIONES LINEALES
Matrices
Introduccin
Introduccin
Gauss-Siedel
Matriz Inversa
Matrices
Introduccin
Mtodos de
Resolucin
Sist. Iterativos
Gauss-Jacobi
Diferencias entre los Mtodos
-
SISTEMAS DE ECUACIONES LINEALES
Matrices
Introduccin
Introduccin
Gauss-Siedel
Gauss-Jacobi
Matrices
Introduccin
Mtodos de
Resolucin
Sist. Iterativos
Matriz Inversa
Matriz Inversa (Caso Especial)
Por ultimo para aquellas situaciones en las cuales se tenga unsistema presentado por una matriz de coeficientes de tamao nxn,la cual presente un determinante no singular (det0), es posibleobtener las soluciones de sistema de ecuaciones linealesconsiderando el siguiente producto de matrices.-
a11 a12 a13 X1 C1
a21 a22 a23 X2 C2
a31 a32 a33 X3 C3
x =
X1 C1 a11 a12 a13
X2 C2 a21 a22 a23
X3 C3 a31 a32 a33= x
-1
Matriz de
Coeficientes
Incognitas
Vector de
Soluciones