Tema III3 Teoria - ocw.unican.es · 2.Puntos de referencia. 3.Coordenadas cartesianas....
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Cinemática y Dinámica de Máquinas. III.3 Métodos numéricos de análisis cinemático.
Universidad de CantabriaDepartamento de Ing. Estructural y Mecánica
Capitulo IIICapitulo IIICapitulo IIICapitulo III
III.3 Métodos numéricos de análisis cinemático
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Cinemática y Dinámica de Máquinas. III.3 Métodos numéricos de análisis cinemático.
Universidad de CantabriaDepartamento de Ing. Estructural y Mecánica
CapCapCapCapíííítulo IIItulo IIItulo IIItulo IIIAnAnAnAnáááálisis cinemlisis cinemlisis cinemlisis cinemáááático de mecanismostico de mecanismostico de mecanismostico de mecanismos
III.1III.1III.1III.1 AnAnAnAnáááálisis cinemlisis cinemlisis cinemlisis cinemáááático de mecanismos. Mtico de mecanismos. Mtico de mecanismos. Mtico de mecanismos. Méééétodos grtodos grtodos grtodos grááááficos.ficos.ficos.ficos.III.2III.2III.2III.2 MMMMéééétodos analtodos analtodos analtodos analííííticos de anticos de anticos de anticos de anáááálisis cinemlisis cinemlisis cinemlisis cinemáááático.tico.tico.tico.III.3III.3III.3III.3 MMMMéééétodos numtodos numtodos numtodos numééééricos de anricos de anricos de anricos de anáááálisis cinemlisis cinemlisis cinemlisis cinemáááático.tico.tico.tico.
1.1.1.1. Coordenadas y ecuaciones de restricciCoordenadas y ecuaciones de restricciCoordenadas y ecuaciones de restricciCoordenadas y ecuaciones de restriccióóóón.n.n.n.2.2.2.2. DeterminaciDeterminaciDeterminaciDeterminacióóóón de la posicin de la posicin de la posicin de la posicióóóón inicial.n inicial.n inicial.n inicial.3.3.3.3. Desplazamientos finitos.Desplazamientos finitos.Desplazamientos finitos.Desplazamientos finitos.4.4.4.4. DeterminaciDeterminaciDeterminaciDeterminacióóóón de las velocidades.n de las velocidades.n de las velocidades.n de las velocidades.5.5.5.5. DeterminaciDeterminaciDeterminaciDeterminacióóóón de las aceleraciones.n de las aceleraciones.n de las aceleraciones.n de las aceleraciones.
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Cinemática y Dinámica de Máquinas. III.3 Métodos numéricos de análisis cinemático.
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Capítulo III: Tema 3Métodos numéricos de análisis
cinemático
1.1.1.1. Coordenadas y ecuaciones de restricciCoordenadas y ecuaciones de restricciCoordenadas y ecuaciones de restricciCoordenadas y ecuaciones de restriccióóóón.n.n.n.1.1.1.1. Coordenadas independientes.Coordenadas independientes.Coordenadas independientes.Coordenadas independientes.2.2.2.2. Coordenadas dependientes.Coordenadas dependientes.Coordenadas dependientes.Coordenadas dependientes.3.3.3.3. Ecuaciones de restricciEcuaciones de restricciEcuaciones de restricciEcuaciones de restriccióóóón.n.n.n.4.4.4.4. Tipos de coordenadas.Tipos de coordenadas.Tipos de coordenadas.Tipos de coordenadas.
2.2.2.2. DeterminaciDeterminaciDeterminaciDeterminacióóóón de la posicin de la posicin de la posicin de la posicióóóón inicial.n inicial.n inicial.n inicial.3.3.3.3. Desplazamientos finitos.Desplazamientos finitos.Desplazamientos finitos.Desplazamientos finitos.4.4.4.4. DeterminaciDeterminaciDeterminaciDeterminacióóóón de las velocidades.n de las velocidades.n de las velocidades.n de las velocidades.5.5.5.5. DeterminaciDeterminaciDeterminaciDeterminacióóóón de las aceleraciones.n de las aceleraciones.n de las aceleraciones.n de las aceleraciones.
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Cinemática y Dinámica de Máquinas. III.3 Métodos numéricos de análisis cinemático.
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Capítulo III: Tema 3Métodos numéricos de análisis
cinemático
1.1.1.1. Coordenadas y ecuaciones de restricciCoordenadas y ecuaciones de restricciCoordenadas y ecuaciones de restricciCoordenadas y ecuaciones de restriccióóóón.n.n.n.1.1.1.1. Coordenadas independientes.Coordenadas independientes.Coordenadas independientes.Coordenadas independientes.2.2.2.2. Coordenadas dependientes.Coordenadas dependientes.Coordenadas dependientes.Coordenadas dependientes.3.3.3.3. Ecuaciones de restricciEcuaciones de restricciEcuaciones de restricciEcuaciones de restriccióóóón.n.n.n.4.4.4.4. Tipos de coordenadas.Tipos de coordenadas.Tipos de coordenadas.Tipos de coordenadas.
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Cinemática y Dinámica de Máquinas. III.3 Métodos numéricos de análisis cinemático.
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θ2
θ2 θ3
G = 1 G = 2
θ2 θ2 θ3
θ4
G = 1 G = 3
El número de grados de libertad define el número el número de elementos elementos elementos elementos de entradade entradade entradade entrada. Es decir, el número de motores y/o actuadores que deben colocarse en el mecanismo para proporcionar movimiento.
Coordenadas independientesCoordenadas independientesCoordenadas independientesCoordenadas independientes
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Coordenadas independientesCoordenadas independientesCoordenadas independientesCoordenadas independientes
Coordenadas independientes:Coordenadas independientes:Coordenadas independientes:Coordenadas independientes: son aquellas que coinciden con el número de grados de libertad del mecanismo, y por tanto son el mínimo número de coordenadas necesarias para definir completamente la posición.
θ2 θ3
θ4
G = 3
[ ]432Ti θθθ=q
Las coordenadas independientes dependen directamente de la variable tiempotiempotiempotiempo. Son las entradas en el mecanismo y el analista establece como varían con el tiempo.
)t(11 θθ =
)t(22 θθ =
)t(33 θθ =
0)t( =ΦRestricciones temporales
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Coordenadas dependientesCoordenadas dependientesCoordenadas dependientesCoordenadas dependientes
Coordenadas dependientes:Coordenadas dependientes:Coordenadas dependientes:Coordenadas dependientes: se puede emplear un número mayor de coordenadas que el número de grados de libertad. De esta forma se consigue una descripción mucho más sencilla del sistema pero deben de incluirse unas ecuaciones de restricciecuaciones de restricciecuaciones de restricciecuaciones de restriccióóóónnnnque las relacione.
G = 3
[ ]432Ti θθθ=q
[ ]65Td θθ=q
[ ]TdTi
Tqqq =
θ2 θ3
θ4θ5
θ6
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Coordenadas dependientesCoordenadas dependientesCoordenadas dependientesCoordenadas dependientes
El número de coordenadas dependientes puede ser seleccionado por el analista en función de los resultados que quiera obtener y por tanto no existe una regla fija.Sin embargo, cuando se emplean coordenadas dependientes es necesario ligarlas con las coordenadas independientes a través de lo que se conoce como ecuaciones de restricciecuaciones de restricciecuaciones de restricciecuaciones de restriccióóóón.n.n.n. Estas ecuaciones de restricción deben ser introducidas en la formulación del problema cinemático.
G = 3
Ecuaciones de restricción:
[ ]432Ti θθθ=q
[ ]65Td θθ=q 0)q(
)q,q(
)q,q(
di2
di1==
ΦΦ
Φ θ2 θ3
θ4θ5
θ6
A
B
C D
E
FL2
L6
L5
L4
L3
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Ecuaciones de restricciEcuaciones de restricciEcuaciones de restricciEcuaciones de restriccióóóónnnn
Por tanto, el número de ecuaciones de restricciecuaciones de restricciecuaciones de restricciecuaciones de restriccióóóónnnn en un problema cinemático es igual al número de coordenadas dependientes empleadas. Estas restricciones dan lugar a un sistema de ecuaciones no lineal, más difícil de resolver cuantas más ecuaciones contenga.
Las ecuaciones de restricción pueden clasificarse en 2 tipos:
•Restricciones en los elementos:Restricciones en los elementos:Restricciones en los elementos:Restricciones en los elementos: En elementos rígidos se establecen normalmente como condición de longitud constante.
•Restricciones en los pares cinemRestricciones en los pares cinemRestricciones en los pares cinemRestricciones en los pares cinemááááticos:ticos:ticos:ticos: Son ecuaciones que permiten el movimiento relativo en los grados de libertad del par cinemático y restringen el resto de movimientos.
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Ecuaciones de restricciEcuaciones de restricciEcuaciones de restricciEcuaciones de restriccióóóónnnnEcuaciones de restricción en los elementos
i
j
Lij
0L)yy()xx( 2ij
2ji
2ji =−−+−
0L)zz()yy()xx( 2ij
2ji
2ji
2ji =−−+−+−
Espacio
Plano
0Lrr 2ijijij =−⋅
Otra forma de representarlo (producto escalar):
rij
i
j
Lij
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;0Lrr 2ijijij =−⋅
;0Lrr 2ikikik =−⋅
;0Lrr 2kjkjkj =−⋅
Elemento con tres puntos (pares cinemáticos) no alineados:
i
k
jSe puede seguir aumentando el número de puntos (pares cinemáticos) en el elemento incluyendo nuevas ecuaciones de restricción.
0L)yy()xx( 2ij
2ji
2ji =−−+−
0L)yy()xx( 2ik
2ki
2ki =−−+−
0L)yy()xx( 2kj
2jk
2jk =−−+−
Ecuaciones de restricciEcuaciones de restricciEcuaciones de restricciEcuaciones de restriccióóóónnnnEcuaciones de restricción en los elementos
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Ecuaciones de restricciEcuaciones de restricciEcuaciones de restricciEcuaciones de restriccióóóónnnnEcuaciones de restricción en los pares cinemáticos
X
Y
Z
OEcuaciones de restricción del par par par par de revolucide revolucide revolucide revolucióóóónnnn (R)(R)(R)(R):
(S)
(R)
ij
i j
0xx ji =−
0yy ji =−
0zz ji =−
Ecuaciones de restricción del par esfpar esfpar esfpar esfééééricoricoricorico (S)(S)(S)(S):
0xx ji =−
0yy ji =−
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Ecuaciones de restricciEcuaciones de restricciEcuaciones de restricciEcuaciones de restriccióóóónnnnEcuaciones de restricción en los pares cinemáticos
En el par cilíndrico es necesario garantizar que existe un eje común en los dos elementos. La primera ecuación implica que los puntos i,j,k están alineados y la segunda ecuación implica que también lo están k,l,j.
Ecuaciones de restricción del par cilpar cilpar cilpar cilííííndricondricondricondrico (C)(C)(C)(C):
× =
× =
ij ik
kl kj
r r 0
r r 0
i k
j l
i
k
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Ecuaciones de restricciEcuaciones de restricciEcuaciones de restricciEcuaciones de restriccióóóónnnnEcuaciones de restricción en los pares cinemáticos
Ecuaciones de restricción del par prismpar prismpar prismpar prismááááticoticoticotico (P):(P):(P):(P):
α1,α2,α3: constantes del producto escalar
+
Cilíndrico + prismático
En el par prismático las restricciones son las mismas que en el cilíndrico pero además es necesario garantizar que el ángulo relativo entre los elementos no se modifica.
× =
× =
ij ik
kl kj
r r 0
r r 0
i k
j l
1
2
3
α
α
α
− =
− =
− =
i
i
i
im jn
im kn
im kn
r r 0
r r 0
r r 0
m
n
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Ecuaciones de restricciEcuaciones de restricciEcuaciones de restricciEcuaciones de restriccióóóónnnnEcuaciones de restricción en los pares cinemáticos
Ecuaciones de restricción de la Junta CardanJunta CardanJunta CardanJunta Cardan o UniversalUniversalUniversalUniversal: 2 gdl
0xx j2j1 =−
0yy j2j1 =−
0zz j2j1 =−
Esférico + cardan
Si además fuese necesario mantener el ángulo Ψ constante:
+
1Δθ1
Δθ2
2
0− =m nu u
21
ji
kuuuum
uuuun
cos 0ψ− =iij jk
ij jkL Lr r
ψ
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Cinemática y Dinámica de Máquinas. III.3 Métodos numéricos de análisis cinemático.
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Tipos de coordenadasTipos de coordenadasTipos de coordenadasTipos de coordenadas
Los tipos de coordenadas que se pueden emplear son las siguientes:
1. Coordenadas relativas.2. Puntos de referencia.3. Coordenadas cartesianas.4. Combinación.
La selección e unas u otras tiene una gran importancia ya que, dependiendo del caso, conducen a una formulación más sencilla o complicada del problema.
En algunos casos se seleccionan aquellas coordenadas que coinciden con el elemento motriz de entrada.
Ejemplo: Motor -> ángulo girado.Actuador lineal -> desplazamiento.
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Coordenadas relativasLas coordenadas relativas definen la posición de cada elemento relativa con respecto al elemento anterior.
1 gdl2 coord. dependientes = 2 ecuaciones de restricción
Tipos de coordenadasTipos de coordenadasTipos de coordenadasTipos de coordenadas
( ) ( )
( ) ( )1 1 2 1 2 3 1 2 3
1 1 2 1 2 3 1 2 3
cos cos cos 0( )
sin sin sin 0
ψ ψ ψ ψ ψ ψ
ψ ψ ψ ψ ψ ψ
+ + + + + − = =
+ + + + + =
L L Lq
L L L
ODΦ
[ ]iTi ψ=q
[ ]32Td ψψ=q
[ ]iTi ψ=q
[ ]32Td ψψ=q
ψ1
ψ2ψ3
ψ1
ψ2
ψ3
( ) ( )
( ) ( )21 1 3 1 2 3 1 2
21 1 3 1 2 3 1 2
cos cos cos 0( )
sin sin sin 0
π
π
ψ ψ ψ ψ ψ ψ
ψ ψ ψ ψ ψ ψ
+ + + + − − = =
+ + + + − =
L Lq
L L
ODΦ
A
B
O D
A
B
O D
3
24
3
24
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Puntos de referenciaLas coordenadas basadas en puntos de referencia consideran las coordenadas de un punto en cada elemento y un ángulo.
1 gdl8 coord. dependientes = 8 ecuaciones de restricción
( )
( )
( )
( )
( )
( )
( )
( )
1
1
1 2
1 2
32
32
3
3
21 0 1
21 0 1
2 22 1 1 2
2 22 1 1 2
2 23 2 2 3
2 23 2 2 3
23 3
23 3
cos
sin
cos cos
sin sin( )
cos cos
sin sin
cos
sin
ψ
ψ
ψ ψ
ψ ψ
ψ ψ
ψ ψ
ψ
ψ
− −
− − − − − − − −
= − − −
− − − − −
− −
L
L
L L
L L
LL
LL
L
D
L
D
x x
y y
x x
y y
x x
y y
x x
y y
Φ q
Tipos de coordenadasTipos de coordenadasTipos de coordenadasTipos de coordenadas
ψ1
ψ2
ψ3
(x1,y1)
(x2,y2)
(x3,y3)ψ1
ψ2
ψ3
(x1,y1)
(x2,y2)
( )
( )
( )
( )
( ) ( )
( )
( )
1
1
1 2
1 2
3
3
3
21 0 1
21 0 1
2 22 1 1 2
2 22 1 1 2
22 3
23 2 2 3 2 2
23 3
23 3
cos
sin
cos cos
sin sin( )
cos sin
cos
sin
π
ψ
ψ
ψ ψ
ψ ψ
ψ ψ
ψ ψ
ψ
ψ
− −
− −
− − − − − −
= − −
− + − − − −
− −
L
L
L L
L L
L
L
D
L
D
x x
y y
x x
y y
y y x x
x x
y y
Φ q
A
B
O D
A
B
O D
ψ2
ψ3ψ2
(x3,y3)
y2-y3
x3-x2
3
2
4
3
2
4
3
4
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Coordenadas cartesianasLa posición del mecanismo se define a través de coordenadas cartesianas de ciertos puntos de interés.
Longitud constante
Puntos alineados
Producto escalar (ángulo ϕ constante)
1 gdl3 coord. dependientes = 3 ecuaciones de restricción
1 gdl5 coord. dependientes = 5 ecuaciones de restricción
2 2 2
2
2 2 2
3
2 2 2
4
3 4
( ) ( ) 0
( ) ( ) 0
( ) ( ) ( ) 0
( )( ) ( )( )
( )( ) ( )( ) cosφ
− + − − =
− + − − = = − + − − = − − − − − − − + − − −
O A O A
A B A B
B D B D
B A C A C A B A
C A B D C A B D
x x y y L
x x y y L
x x y y L
x x y y x x y y
x x x x x x x x L L
Φ q
Tipos de coordenadasTipos de coordenadasTipos de coordenadasTipos de coordenadas
(xA,yA)(xB,yB)A
B
O D
3
2
4
(xA,yA)
(xC,yC)
A
B
O D
(xB,yB)
3
2
4
C
A
2 2 2
2
2 2 2
3
2 2 2
4
( ) ( ) 0
( ) ( ) ( ) 0
( ) ( ) 0
− + − − =
= − + − − = − + − − =
O A O A
A B A B
B D B D
x x y y L
x x y y L
x x y y L
Φ q
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Combinación
1 gdl7 coord. dependientes = 7 ecuaciones de restricción
Tipos de coordenadasTipos de coordenadasTipos de coordenadasTipos de coordenadas
ψ1
ψ2
s
A
B
O D
3
24
C
(xA,yA)
(xC,yC)(xB,yB)
2 2 2
2
2 2 2
3
2 2 2
4
2 2 2
3 4
2 3
( ) ( ) 0
( ) ( ) 0
( ) ( ) 0
( ) ( ) ( ) 0
( )( ) ( )( )
( )( ) ( )( ) cos
( )( ) ( )( ) cos
φ
− + − − =
− + − − =
− + − − =
= − + − − =
− − − − −
− − + − − −
− − + − − −
O A O A
A B A B
B D B D
B A B A
B A C A C A B A
C A B D C A B D
A O C A A O C A
x x y y L
x x y y L
x x y y L
x x y y s
x x y y x x y y
x x x x x x x x L L
x x x x y y y y L L
Φ q
ψ
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0t)t( 11 =−= ωψΦ
1 gdl = 1 coord. Independiente = ecuación temporal.
2 coord. dependientes = ecuaciones de restricción
Sistema de 3 ecuaciones con 3 incógnitas: Ψ1, Ψ2, Ψ3.
Tipos de coordenadasTipos de coordenadasTipos de coordenadasTipos de coordenadas
ψ1
ψ2
ψ3( ) ( )
( ) ( )21 1 3 1 2 3 1 2
2
21 1 3 1 2 3 1 2
cos cos cos 0( )
sin sin sin 0
π
π
ψ ψ ψ ψ ψ ψ
ψ ψ ψ ψ ψ ψ
+ + + + − − = =
+ + + + − =
L Lq
L L
ODΦ
A
B
O D
3
24
( )( )( )1
2
,t
t
= =
ΦΦ q 0
Φ q
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Capítulo III: Tema 3Métodos numéricos de análisis
cinemático
2. Determinaci2. Determinaci2. Determinaci2. Determinacióóóón de la posicin de la posicin de la posicin de la posicióóóón inicial.n inicial.n inicial.n inicial.
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Cinemática y Dinámica de Máquinas. III.3 Métodos numéricos de análisis cinemático.
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DeterminaciDeterminaciDeterminaciDeterminacióóóón de la posicin de la posicin de la posicin de la posicióóóón inicialn inicialn inicialn inicial
El análisis de la posición en los métodos numéricos se basa en resolver un sistema de ecuaciones llamadas ecuaciones de restricción. Las cuales pueden ser expresadas de la siguiente manera,
0),( =Φ tq
donde t representa la variable tiempo y qqqq es el vector de coordenadas que puede ser expresado como,
[ ]nqqq ...21T =q
(1)
(2)
Este es el vector de incógnitas. Entonces, el problema de obtener la posición del mecanismo consiste en resolver el sistema de ecuaciones (1) y obtener el valor de (2). Sin embargo, el sistema (1) puede ser un sistema no lineal, de difícil resolución.
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Cinemática y Dinámica de Máquinas. III.3 Métodos numéricos de análisis cinemático.
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0t)t( 11 =−= ωψΦ
1 gdl = 1 coord. Independiente = ecuación temporal.
2 coord. dependientes = ecuaciones de restricción
Sistema de 3 ecuaciones con 3 incógnitas: Ψ1, Ψ2, Ψ3.
DeterminaciDeterminaciDeterminaciDeterminacióóóón de la posicin de la posicin de la posicin de la posicióóóón inicialn inicialn inicialn inicial
ψ1
ψ2
ψ3( ) ( )
( ) ( )21 1 3 1 2 3 1 2
2
21 1 3 1 2 3 1 2
cos cos cos 0( )
sin sin sin 0
π
π
ψ ψ ψ ψ ψ ψ
ψ ψ ψ ψ ψ ψ
+ + + + − − = =
+ + + + − =
L Lq
L L
ODΦ
A
B
O D
3
24
( )( )( )1
2
,t
t
= =
ΦΦ q 0
Φ q
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Cinemática y Dinámica de Máquinas. III.3 Métodos numéricos de análisis cinemático.
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Resolver el sistema presentado en (1) supone recurrir a métodos numéricos para la resolución de sistemas de ecuaciones como puede ser Newton-Raphson. Este método se basa en la linealización del sistema (1) consistente en remplazar el sistema de ecuaciones por otro aproximado obtenido de aplicar el desarrollo en serie de Taylor. Dicho desarrollo se realiza alrededor de un vector de variables dependientes, qqqqi, cuyo valor esta cerca de la solución. Es decir, tomando los dos primeros términos del desarrollo se obtiene,
donde la variable tiempo no se considera ya que en este caso se considera constante. La matriz Φq es el Jacobiano del vector Φ.
(3)
DeterminaciDeterminaciDeterminaciDeterminacióóóón de la posicin de la posicin de la posicin de la posicióóóón inicialn inicialn inicialn inicial
( ) ( ) ( )( ), i i it = + − =q
Φ q Φ q Φ q q q 0
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Cinemática y Dinámica de Máquinas. III.3 Métodos numéricos de análisis cinemático.
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En otras palabras, es la matriz de derivadas parciales de las ecuaciones de restricción respecto de las coordenadas dependientes. Esta matriz desarrollada tiene la siguiente forma,
∂
∂
∂
∂
∂
∂
∂
∂
∂
∂
∂
∂∂
∂
∂
∂
∂
∂
=Φ
n
mmm
n
n
q
qqq
qqq
qqq
φφφ
φφφ
φφφ
...
............
...
...
21
2
2
2
1
2
1
2
1
1
1
(4)
donde m es el número de ecuaciones de restricción y n el número de coordenadas generalizadas. Si las ecuaciones de restricción son independientes se tiene que cumplir: G g.d.l. = n-m.
DeterminaciDeterminaciDeterminaciDeterminacióóóón de la posicin de la posicin de la posicin de la posicióóóón inicialn inicialn inicialn inicial
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Cinemática y Dinámica de Máquinas. III.3 Métodos numéricos de análisis cinemático.
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Por tanto, el sistema de ecuaciones presentado en (3) es un sistema lineal aproximado al sistema original pero no idéntico, la mayor o menor aproximación dependerá del mayor o menor grado de linealidad del sistema (1). Entonces, el valor de las coordenadas dependientes, qqqq, obtenidas de (3) será también aproximado.
0),( =Φ tqSistema original (ecuaciones algebraicas NONONONO lineales)
Sistema aproximado (ecuaciones algebraicas lineales)
(3)
(1)
Solución aproximada
DeterminaciDeterminaciDeterminaciDeterminacióóóón de la posicin de la posicin de la posicin de la posicióóóón inicialn inicialn inicialn inicial
( ) ( ) ( )( ),i i i
t = + − =q
Φ q Φ q Φ q q q 0
( ) ( )1
i i i
−= +
qq q Φ q Φ q
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Si denominamos a esta solución qi podemos emplear la siguiente fórmula recursiva para mejorar la solución,
)()(1
1 iiii qqqq q ΦΦ+= −+ (5)
obteniendo qi+1 repetidamente hasta que el error del sistema de ecuaciones (1) sea insignificante, o hasta que la diferencia entre dos iteraciones sucesivas sea tan pequeña como un valor predefinido de tolerancia.
DeterminaciDeterminaciDeterminaciDeterminacióóóón de la posicin de la posicin de la posicin de la posicióóóón inicialn inicialn inicialn inicial
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La figura se observa la representación geométrica del método de Newton-Raphson en el caso de una ecuación no lineal. La función Φ(qqqq) es linealizada sucesivamente partiendo del valor q0 obtenido del sistema lineal (3) y obteniendo sucesivos valores q2, q3, etc. hasta que se alcance la convergencia.
Φ
q
q1q2q3q4
q
0),( =Φ tq
0)()()( =−Φ+Φ iii qqqq q
DeterminaciDeterminaciDeterminaciDeterminacióóóón de la posicin de la posicin de la posicin de la posicióóóón inicialn inicialn inicialn inicial
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Es importante resaltar que el método de Newton-Raphson puede no alcanzar la convergencia. Esto ocurre por ejemplo cuando el valor inicial de las coordenadas dependientes, q1q1q1q1, esta lejos de la solución o cuando dicho valor no representa una solución física posible del problema.
Φ
q
q1
q
0),( =Φ tq0)()()( =−Φ+Φ iii qqqq q
DeterminaciDeterminaciDeterminaciDeterminacióóóón de la posicin de la posicin de la posicin de la posicióóóón inicialn inicialn inicialn inicial
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Capítulo III: Tema 3Métodos numéricos de análisis
cinemático
3. Desplazamientos finitos.3. Desplazamientos finitos.3. Desplazamientos finitos.3. Desplazamientos finitos.
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Este problema consiste en una vez determinada la posición inicial determinar la posición siguiente del mecanismo cuando sufre un incremento en la posición del elemento de entrada. Es decir, se debe calcular la nueva posición del mecanismo partiendo de la posición anterior.
)()(1
1 ooo qqqq q ΦΦ+= −
Aquí se cuenta con una ayuda fundamental que consiste en conocer el valor de las coordenadas dependientes de una posición cercana, y por tanto, el valor de inicio de iteración presentara una elevada precisión. Evidentemente, esto sólo ocurre si el incremento de posición en el elemento de entrada es lo suficientemente pequeño.
1q
oq2q
)()( 11
112 qqqq q ΦΦ+= −
Desplazamientos finitosDesplazamientos finitosDesplazamientos finitosDesplazamientos finitos
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Si el problema de desplazamientos finitos se repite para distintos incrementos de posición del elemento de entrada se puede conocer el movimiento del mecanismo en un determinado rango, obteniendo de forma directa las trayectorias de los puntos cuyas coordenadas sean variables dependientes, y de forma indirecta las trayectorias de los otros puntos.
Desplazamientos finitosDesplazamientos finitosDesplazamientos finitosDesplazamientos finitos
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Capítulo III: Tema 3Métodos numéricos de análisis
cinemático
4. 4. 4. 4. DeterminaciDeterminaciDeterminaciDeterminacióóóón de las velocidades.n de las velocidades.n de las velocidades.n de las velocidades.
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En este apartado se estudia como obtener las velocidades relacionadas con las coordenadas generalizadas seleccionadas. Es decir como obtener la derivada temporal de las coordenadas generalizadas,
q�
Como se ha visto en el problema de posición el valor de las coordenadas generalizadas qqqq se obtiene en instantes discretos de tiempo y por tanto no se conoce una expresión matemática explicita que permita obtener las derivadas temporales de forma analítica.
AnAnAnAnáááálisis de velocidadeslisis de velocidadeslisis de velocidadeslisis de velocidades
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Como se ha visto anteriormente, estas coordenadas se han introducido en una serie de ecuaciones denominadas de restricción con la siguiente forma,
0),( =Φ tq
Se puede plantear como alternativa para el cálculo de las derivadas temporales un procedimiento de diferenciación en cadena partiendo del vector de ecuaciones de restricción. Esto es,
0ΦqΦΦ tq =+= �� )(tqDonde,
donde ΦΦΦΦt es la derivada del vector restricciones respecto del tiempo....
AnAnAnAnáááálisis de velocidadeslisis de velocidadeslisis de velocidadeslisis de velocidades
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Reordenando, 0ΦqΦ tq =+� Se obtiene,
υΦqΦ tq =−=�
Si la matriz Φq es no singular esta ecuación representa un sistema de ecuaciones lineales que puede ser resuelta mediante procedimientos bien conocidos en análisis numérico. Una vez resuelta se obtienen las velocidades para valores discretos de tiempo. Es decir,
t1q ΦΦq −−=�
Expresión que nos ofrece las velocidades de las coordenadas generalizadas.
AnAnAnAnáááálisis de velocidadeslisis de velocidadeslisis de velocidadeslisis de velocidades
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Capítulo III: Tema 3Métodos numéricos de análisis
cinemático
5.5.5.5. DeterminaciDeterminaciDeterminaciDeterminacióóóón de las aceleraciones.n de las aceleraciones.n de las aceleraciones.n de las aceleraciones.
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Para obtener los valores de aceleración el procedimiento seguido es similar al procedimiento de las velocidades. Se toma el vector de ecuaciones de restricción y se deriva dos veces respecto del tiempo según la regla de derivación en cadena,
0),( =Φ tq
0ΦqΦΦ tq =+= ��
)(tqconsiderando,
Derivada 1a
0)(dt
d)(
dt
dt =+= ΦqΦΦ q �
�
0)(t
)( tt =+∂
∂++ ΦqΦqΦqΦ qqq ���
0)( ttttq =++++ ΦqΦqΦqΦqqΦ qqqq ������
Derivada 2a
AnAnAnAnáááálisis de aceleracioneslisis de aceleracioneslisis de aceleracioneslisis de aceleraciones
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0ΦqΦqΦq)q(ΦqΦΦ tttqqtqqq =++++= ��������
Reordenando, γΦq2Φq)q(ΦqΦ ttqtqqq =−−−= �����
γqΦq =��
ttqtqq Φq2Φq)q(Φ −−−= ���γDonde,
Es un valor completamente conocido una vez resuelto el problema de velocidades. Entonces,
Resulta ser un sistema de ecuaciones lineal que puede ser resuelto fácilmente mediante procedimientos habituales.
AnAnAnAnáááálisis de aceleracioneslisis de aceleracioneslisis de aceleracioneslisis de aceleraciones