TEMA III: FUNCIONES DE VARIABLE COMPLEJA

1 Numeros complejos

Se define el conjunto de los numeros complejos C como

C ={z = (a, b) = a + ib : a, b ∈ R , i =

√−1}

.

Al numero real a se le denomina parte real de z y se simboliza por a = Re(z). Al numero real b se le

llama parte imaginaria de z y se representa por b = Im(z).

Igual que representamos a todo numero real en la recta por medio de un punto, de la misma

forma podemos pensar que un numero complejo es un punto del plano. Los puntos del eje OX se

identifican con los numeros reales z = a = a + i0 = (a, 0), y los del eje OY z = ib = 0 + ib = (0, b) se

denominan imaginarios puros.

Dos numeros complejos seran iguales cuando lo sean sus partes reales e imaginarias, respectiva-

mente. Es decir

z1 = a + ib = z2 = c + id ⇐⇒ a = c , b = d.

Suma: z1 = a + bi y z2 = c + di:

z1 + z2 = (a + ib) + (c + id) = (a + c) + i(b + d).

1

Producto: z1 = a + bi y z2 = c + di. En base a que i2 = −1, se define

(a + ib)(c + id) = ac + iad + ibc + i2bd = (ac− bd) + i(ad + bc),

que respeta el producto de numeros reales y sigue teniendo como elemento neutro al 1 = 1 + i0

(a + i0)(c + i0) = (ac) + i0 ; (a + ib)(1 + i0) = a + ib.

Este producto permite definir el cociente a partir del inverso. Sea z = a + ib 6= 0. Entonces

1z

=a

a2 + b2− i

b

a2 + b2.

Es facil comprobar que z · 1z

= 1. Luego, si z2 6= 0:

z1

z2= z1 · 1

z2.

Conjugado: Dado z = a + ib, se define su conjugado z = a − ib, que determina el punto del plano

simetrico a z respecto al eje OX. Se verifica:

z · z = a2 + b2, z1 ± z2 = z1 ± z2, z1 · z2 = z1 · z2,

(z1

z2

)=

z1

z2, Re(z) =

z + z

2, Im(z) =

z − z

2i.

Forma Polar: Todo punto del plano tiene asociadas unas coordenadas polares (r, θ) que lo determi-

nan. Dado z = a + ib, se tiene

{a = r cos θb = r sen θ

⇐⇒

r =√

a2 + b2 = |z|θ = arctg

(b

a

)= arg(z)

z = a + ib = r cos θ + i r sen θ = r(cos θ + i sen θ) = rθ.

2

Naturalmente, arg(z) queda definido salvo multiplos enteros de 2π. Conviene entonces fijar un inter-

valo de definicion de dicho argumento: lo tomaremos en (−π, π].

i = 1π2, −1 = 1π, 1 + i =

√2π

4.

Producto en forma polar:

z1 · z2 = (|z1| · |z2|)arg(z1)+arg(z2) ;z1

z2=

( |z1||z2|

)

arg(z1)−arg(z2)

(z2 6= 0);1z

=(

1|z|

)

−arg(z)

.

Potencias de un complejo: z = r(cos θ + i sen θ) = |z|arg(z);

zn = |z|nn arg(z) = rn [cos(nθ) + i sen(nθ)] ;

(cos θ + i sen θ)n = cos(nθ) + i sen(nθ) (Formula de De Moivre).

Raıces de un complejo:

n√

z =(

n

√|z|

)arg(z)+2kπ

n

(k = 0, 1, 2, ..., n− 1).

2 Funciones analıticas

Una aplicacion entre dos subconjuntos de numeros complejos, define una funcion de variable compleja.

Por ejemplo:

f(z) = z + 5, f(z) = z2, f(z) =1z.

Como f(z) ∈ C, podemos descomponer toda funcion en la forma f(z) = f(x+ iy) = u(x, y)+ iv(x, y),

donde

u(x, y) = Re f(z), v(x, y) = Im f(z).

Ejemplo: f(z) = z2 = (x + iy)2 = x2 − y2 + i2xy, luego Re f(z) = u(x, y) = x2 − y2 e Im f(z) =

v(x, y) = 2xy.

Podemos entender una funcion de variable compleja como una aplicacion de R2 en R2, por lo

que el concepto de lımite funcional queda recogido del caso real:

limz→z0

f(z) = w0 ⇐⇒ ∀ ε > 0, ∃ δ > 0 : |z − z0| < δ ⇒ |f(z)− w0| < ε.

Si f(z) = u(x, y) + iv(x, y), z0 = x0 + iy0, w0 = a + ib, entonces

limz→z0

f(z) = w0 ⇐⇒

lim(x,y)→(x0,y0)

u(x, y) = a

lim(x,y)→(x0,y0)

v(x, y) = b.

3

Propiedades:

• Si existe limz→z0

f(z), entonces es unico.

• limz→z0

[f(z)± g(z)] = limz→z0

f(z)± limz→z0

g(z).

• limz→z0

[f(z) · g(z)] = limz→z0

f(z) · limz→z0

g(z).

• limz→z0

[f(z)g(z)

]=

limz→z0

f(z)

limz→z0

g(z), siempre que lim

z→z0g(z) 6= 0.

Ejemplos:

1. limz→z0

(z2 + c) = lim(x,y)→(x0,y0)

(x2 − y2 + i2xy + c) = x20 − y2

0 + i2x0y0 + c = z20 + c.

2. limz→z0

z = lim(x,y)→(x0,y0)

x + iy = x0 − iy0 = z0.

3. limz→z0

z2

z= lim

(x,y)→(x0,y0)

x2 − y2 − 2ixy

x + iy= lim

(x,y)→(x0,y0)

(x2 − y2 − 2ixy)(x− iy)x2 + y2

. El calculo se com-

plica. Sin embargo si tenemos en cuenta que

∣∣∣∣∣z2

z

∣∣∣∣∣ =|z|2|z| = |z| y que el unico numero complejo

que tiene modulo cero es z = 0, podemos concluir que limz→z0

z2

z= 0.

De igual forma podemos introducir los lımites en el infinito:

limz→∞ f(z) = w0 ⇐⇒ ∀ ε > 0, ∃ M > 0 : |z| > M ⇒ |f(z)− w0| < ε

limz→z0

f(z) = ∞ ⇐⇒ ∀ M > 0, ∃ δ > 0 : |z − z0| < δ ⇒ |f(z)| > M.

Definicion 2.1 Una funcion de variable compleja f(z) es continua en z0 si

1. existe limz→z0

f(z);

2. existe f(z0);

3. limz→z0

f(z) = f(z0).

4

2.1 Derivacion

Se define la derivada de f(z) en z0 por el lımite

df

dz(z0) = f ′(z0) = lim

z→z0

f(z)− f(z0)z − z0

,

siempre que dicho lımite exista. En tal caso, tambien se puede escribir

f ′(z0) = lim∆z→0

f(z0 + ∆z)− f(z0)∆z

(∆z = z − z0).

Ejemplos:

• f(z) = z2;

f ′(z) = lim∆z→0

(z + ∆z)2 − z2

∆z= lim

∆z→0(2z + ∆z) = 2z.

• f(z) = |z|2;

f ′(z) = lim∆z→0

|z + ∆z|2 − |z|2∆z

= lim∆z→0

(z + ∆z)(z + ∆z)− zz

∆z=

=zz + z∆z + z∆z + ∆z∆z − zz

∆z= lim

∆z→0

[z + z

∆z

∆z+ ∆z

],

por lo que si z = 0 es claro que f ′(0) = 0. Sin embargo, si z 6= 0 podemos comprobar la no

derivabilidad de f , dado que el lımite del cociente∆z

∆zno existe:

∆z

∆z=

∆z = ∆x :∆z

∆z= 1,

∆z = i∆y :∆z

∆z= −1.

Proposicion 1 Si f(z) es derivable en z0, entonces es continua en z0.

Demostracion:

limz→z0

[f(z)− f(z0)] = limz→z0

[f(z)− f(z0)

z − z0(z − z0)

]= lim

z→z0

[f(z)− f(z0)

z − z0

]lim

z→z0(z − z0) = f ′(z0) · 0 = 0.

Reglas de derivacion

1)d

dzC = 0, (C ∈ C); 2)

dzn

dz= nzn−1 (z 6= 0 si n < 0);

3)d

dz[f(z)± g(z)] =

df

dz(z)± dg

dz(z); 4)

d

dz[f(z) · g(z)] = f ′(z) · g(z) + f(z) · g′(z);

5)d

dz

[f(z)g(z)

]=

f ′(z) · g(z)− f(z) · g′(z)g2(z)

; 6)d

dz[f(g(z))] = f ′(g(z)) · g′(z).

5

Ejemplos: f(z) = 3z2 − 2z + 4, f(z) = (1− 4z2)3, f(z) =(1 + z2)4

z2.

Ecuaciones de Cauchy-Riemann

Anteriormente se comprobo que la funcion f(z) = |z|2 solo admite derivada en z = 0. Por otro

lado f(z) = |z|2 = x2 + y2, luego u(x, y) = Re f = x2 + y2 y v(x, y) = Im f = 0 son funciones

infinitamente diferenciables. Una primera conclusion es que el buen comportamiento de la parte real

e imaginaria de una funcion compleja no basta para su derivabilidad.

Obtendremos una pareja de ecuaciones que han de satisfacer en un punto las derivadas parciales

de primer orden de las partes real e imaginaria de una funcion f(z) que admita derivada en dicho

punto. Supongamos que existe f ′(z0):

f ′(z0) = lim∆z→0

f(z0 + ∆z)− f(z0)∆z

.

Si z0 = x0 + iy0, ∆z = ∆x + i∆y y Re f = u(x, y) e Im f = v(x, y):

Re[f ′(z0)] = lim(∆x,∆y)→(0,0)

Re

[f(z0 + ∆z)− f(z0)

∆z

],

Im[f ′(z0)] = lim(∆x,∆y)→(0,0)

Im

[f(z0 + ∆z)− f(z0)

∆z

].

Ademas,

f(z0 + ∆z)− f(z0)∆z

=u(x0 + ∆x, y0 + ∆y)− u(x0, y0) + i [v(x0 + ∆x, y0 + ∆y)− v(x,y0)]

∆x + i∆y.

Que f ′(z0) exista implica que para cualquier eleccion de ∆z → 0 el lımite existe, y es el mismo.

Entonces, si tomamos ∆z = ∆x

Re[f ′(z0)] = lim∆x→0

u(x0 + ∆x, y0)− u(x0, y0)∆x

= ux(x0, y0),

Im[f ′(z0)] = lim∆y→0

v(x0 + ∆x, y0)− v(x0, y0)∆x

= vx(x0, y0),

de donde

f ′(z0) = ux(x0, y0) + iv(x0, y0).

Si tomamos ∆z = i∆y, nos queda

f ′(z0) =1iuy(x0, y0) + vy(x0, y0) = −iuy(x0, y0) + vy(x0, y0).

Tenemos entonces que si f ′(z0) existe, necesariamente las anteriores expresiones deben coincidir, y

llegamos aux(x0, y0) = vy(x0, y0)uy(x0, y0) = −vx(x0, y0)

}(Ecuaciones de Cauchy-Riemann).

6

Deducimos por tanto que, si en algun punto z0 no se verifican las ecuaciones de Cauchy-Riemann,

entonces no puede existir f ′(z0). Este papel de las mencionadas ecuaciones es mas relevante aun y

queda reflejado en el siguiente teorema.

Teorema 2.1 Si f(z) = u(x, y) + iv(x, y) es tal que las derivadas parciales ux, uy, vx y vy son

funciones continuas en z0 = x0 + iy0, entonces f ′(z0) existe si y solo si u(x, y) y v(x, y) satisfacen las

ecuaciones de Cauchy-Riemann en z0.

Esto nos permite estudiar la derivabilidad de cualquier funcion analizando su parte real y su

parte imaginaria.

Ejemplos:

• f(z) = z2 = x2 − y2 + i2xy.

u(x, y) = x2 − y2, ux(x, y) = 2x, uy(x, y) = −2y,

v(x, y) = 2xy, vx(x, y) = 2y, vy(x, y) = 2x.

Las funciones ux, uy, vx, vy son continuas en todo R2. Ademas, para todo punto (x, y) se

verifica que ux(x, y) = vy(x, y) y que uy(x, y) = −vx(x, y). Por tanto existe f ′(z) para todo

z ∈ C y su valor es

f ′(z) = ux(x, y) + ivx(x, y) = 2x + i2y = 2(x + iy) = 2z.

• f(z) = z · z = |z|2 = x2 + y2.

u(x, y) = x2 + y2, ux(x, y) = 2x, uy(x, y) = 2y,

v(x, y) = 0, vx(x, y) = 0, vy(x, y) = 0.

Las funciones ux, uy, vx, vy son continuas en todo R2, sin embargo solo se verifican las ecuaciones

de Cauchy-Riemann para (x, y) = (0, 0). Por tanto no existe f ′(z) para z 6= 0, mientras que

f ′(0) = 0.

• f(z) =12x2 + ixy.

u(x, y) =12x2, ux(x, y) = x, uy(x, y) = 0,

v(x, y) = xy, vx(x, y) = y, vy(x, y) = x.

7

Las funciones ux, uy, vx, vy son continuas en todo R2, sin embargo para que se verifiquen las

ecuaciones de Cauchy-Riemann, hemos de exigir que y = 0. Por tanto solo existe f ′(z) para

z = x + i0 y f ′(x + i0) = x + i0.

• f(z) = xy + i12y2.

u(x, y) = xy, ux(x, y) = y, uy(x, y) = x,

v(x, y) = 12y2, vx(x, y) = 0, vy(x, y) = y.

Las funciones ux, uy, vx, vy son continuas en todo R2, sin embargo en este caso para que se

verifiquen las ecuaciones de Cauchy-Riemann, hemos de exigir que x = 0. Por tanto solo existe

f ′(z) para z = iy, y f ′(iy) = y.

2.2 Funciones Analıticas

Definicion 2.2 Una funcion f(z) de variable compleja se dice analıtica u holomorfa en z0, si existe

f ′(z) en todo punto z perteneciente a una bola B(z0, r) centrada en z0.

En los ejemplos anteriores podemos comprobar que f(z) = z2 es holomorfa en todo C, mientras

que las otras tres funciones no son holomorfas en ningun punto.

Una funcion se dice que es entera si es holomorfa en todo C. Por ejemplo, los polinomios.

Propiedades: Dadas f(z) y g(z) holomorfas en z0, entonces:

• f(z)± g(z) es holomorfa en z0.

• f(z) · g(z) es holomorfa en z0.

• f(z)g(z)

es holomorfa en z0 siempre que g(z0) 6= 0.

Definicion 2.3 Si f(z) es analıtica en una bola B(z0, r) centrada en z0 salvo en el propio z0, diremos

que z0 es una singularidad (aislada) de f(z).

Ejemplo: f(z) =1z

(z 6= 0), f(z) es derivable en todo C− {0} y f ′(z) = − 1z2

.

8

3 Algunas funciones elementales

3.1 Exponencial

Buscamos definir la extension compleja ez de ex, que conserve todas sus propiedades. Esencialmente

nos interesan dos:

1. ez debe coincidir con ex si z = x + i0 ∈ R.

2. ez deber ser entera y f ′(z) = ez al igual que ex en R.

Para lograr nuestro objetivo, definimos:

f(z) = ez = ex+iy = ex · eiy = ex(cos y + i sen y) = ex cos y + i ex sen y.

Claramente se verifica 1. La analiticidad es facil de comprobar con las ecuaciones de Cauchy-Riemann:

u(x, y) = ex cos y, ux(x, y) = ex cos y, uy(x, y) = −ex sen y,

v(x, y) = ex sen y, vx(x, y) = ex sen y, vy(x, y) = ex cos y,

de donde ux = vy y uy = −vx para todo (x, y). Ademas f ′(z) = ux(x, y) + ivx(x, y) = ex cos y +

i ex sen y = ez.

Propiedades:

• ez1 · ez2 = ez1+z2 ;

• (ez)m = emz;

• ez1

ez2= ez1−z2 ;

• ez = (ex)y, es decir |ez| = ex, arg(ez) = y.

Las dos siguientes propiedades son exclusivas de ez, es decir, no se verifican para ex, x ∈ R.

• ez es periodica de periodo 2πi;

• ez puede tomar valores negativos, por ejemplo eiπ = −1, pero nunca se anula.

9

3.2 Funciones trigonometricas

En base a la formula de Euler sabemos que eiθ = cos θ + i sen θ y e−iθ = cos θ − i sen θ. Por lo que

podemos escribir

cos θ =eiθ + e−iθ

2, sen θ =

eiθ − e−iθ

2i.

Definimos de esta forma el seno y el coseno, en el campo real, a partir de la exponencial compleja.

Podemos por tanto extender de esta forma la definicion de seno y coseno de un numero complejo por

cos z =eiz + e−iz

2, sen z =

eiz − e−iz

2i.

A partir de estas definiciones se introducen el resto de las funciones trigonometricas de la forma usual:

tg z =sen z

cos z, sec z =

1cos z

, cosec z =1

sen z, cotg z =

1tg z

.

Propiedades:

• sen z y cos z coinciden con senx y cos x para z = x + i0 ∈ R.

• sen z y cos z son holomorfas en todo C, o lo que es lo mismo, son funciones enteras.

• d

dz(sen z) = cos z y

d

dz(cos z) = − sen z.

• sen2 z + cos2 z = 1.

• sen(z1 ± z2) = sen z1 cos z2 ± cos z1 sen z2.

• cos(z1 ± z2) = cos z1 cos z2 ∓ sen z1 sen z2.

• sen z = sen x cosh y + i cosx senh y.

• cos z = cosx cosh y − i senx senh y.

• d

dz(tg z) = sec2 z.

Por ultimo comentaremos que, a diferencia de lo que ocurre en R, las funciones seno y coseno no estan

acotadas (piensese en el valor de cos(ib), b ∈ R).

10

3.3 Logaritmo

La idea es definir la funcion inversa de ez, esto es, debe verificarse que elog z = z. Si log z = u(x, y) +

iv(x, y), entonces

z = elog z = eu(x,y)eiv(x,y) = |z|eiarg(z),

luego u(x, y) = log |z| y v(x, y) = arg(z) + 2kπ, con k ∈ Z. Por lo tanto, definimos el logaritmo de un

numero complejo como

log z = log |z|+ i[arg(z) + 2kπ] (k ∈ Z).

El problema de esta definicion es que arg(z) no esta unicamente definido, ya que si θ = arg(z) entonces

arg(z) = θ + 2kπ tambien verifica que elog z = z.

Definimos el logaritmo principal de z como Log z = log |z|+i Arg(z), donde Arg(z) ∈ (−π, π].

Nota: seguimos sin poder evaluar log(0 + i0), y la funcion log z es discontinua en (−∞, 0) pues arg(z)

lo es. Sin embargo, ahora podemos calcular logaritmos de numeros reales negativos.

Ejemplos:

a) Log(−1− i) = log√

2 + i

(−3π

4

); b) log(−1− i) = log

√2 + i

(−3π

4+ 2kπ

);

c) Log(−10) = log 10 + iπ.

Propiedades:

• log(z1 · z2) = log z1 · log z2;

• log zn = n log z;

• log(

z1

z2

)= log z1 − log z2;

• d

dz(log z) =

1z

en C− (−∞, 0].

3.4 Potencias complejas

Si z, w ∈ C se define zw de la siguiente forma:

zw = ew(log z) = ew[log |z|+i(arg(z)+2kπ)].

Denominamos valor principal de zw al que se obtiene al tomar el logaritmo principal en la definicion.

11

Ejemplo:

• (1+ i)2i = e2i[log(1+i)] = e2i[log√

2+i(π4+2kπ)]. El valor principal sera e−

π2 [cos(log 2) + i sen(log 2)].

4 Integracion

Definicion 4.1 Una curva C del plano complejo es un conjunto de puntos z = x + iy determinados

por una ecuacion

z(t) = x(t) + iy(t), a ≤ t ≤ b

donde x(t) e y(t) son funciones continuas del parametro real t.

Ejemplos:

a) z(t) = r cos t + ir sen t = reit, t ∈ [0, 2π]; b) z(t) = t + it, t ∈ [0, 2];

c) z(t) = t + i sen t, t ∈ [0, π].

La curva −C : u(t) = z(−t), t ∈ [−b,−a] denota la misma curva que C : z(t), t ∈ [a, b], pero

recorrida en sentido inverso.

Si z(a) = z(b) se dice que C es una curva cerrada. Si z(t) no se corta a sı misma, se dice que

C es una curva de Jordan.

La derivada z′(t) se define por z′(t) = x′(t)+ iy′(t) con t ∈ [a, b], donde z′(a) y z′(b) denotan las

derivadas laterales por la izquierda y por la derecha en a y b respectivamente. Ası dz = dx + idy =

x′(t)dt + iy′(t)dt.

Las integrales de las funciones de una variable compleja se definen sobre curvas en el plano

complejo.

12

Definicion 4.2 Sea C : z(t) = x(t) + iy(t), t ∈ [a, b] una curva en el plano complejo y f(z) una

funcion continua a trozos en C. Se define la integral de f(z) a lo largo de C como∫

Cf(z)dz =

∫ b

af [z(t)] · z′(t)dt

Si f(z) = u(x, y) + iv(x, y),∫

Cf(z)dz =

∫

C(u + iv)(dx + idy) =

∫

C(udx− vdy) + i(udy + vdx) =

=∫ b

a[u(x(t), y(t))x′(t)− v(x(t), y(t))y′(t)]dt + i

∫ b

a[u(x(t), y(t))y′(t) + v(x(t), y(t))x′(t)]dt.

Ejemplos:

• I =∫

Czdz, C : z(t) = t + i sen t, t ∈ [0, π].

I =∫

Czdz =

∫

Cz(t)z′(t)dt =

∫ π

0(t + i sen t)(1 + i cos t)dt =

=∫ π

0[(t− sen t cos t) + i(t cos t + sen t)] dt =

[t2

2− 1

2sen2 t

]π

0

+ i [t sen t]π0 =π2

2+ i0 =

π2

2.

• I =∫

Cz2dz, C : z(t) = t + i(t2 + 1), t ∈ [0, 1]. z2 = (x− iy)2 = x2 − y2 − i2xy.

I =∫

Cz2dz =

∫ 1

0

[t2 − (t2 + 1)2 − i2t(t2 + 1)

](1 + i2t)dt =

∫ 1

0

[t2 − (t2 + 1)2 + 2t(t2 + 1)2t

]dt

+i

∫ 1

0

[(t2 − (t2 + 1)2)2t− 2t(t2 + 1)

]dt =

∫ 1

0(3t4 + 3t2 − 1)dt− i2

∫ 1

0(t5 + 2t3 + 2t)dt =

=[35t5 + t3 − t

]1

0− i2

[t6

6+

t4

4+ t2

]1

0

=35− i

103

.

• I =∫

Cz2dz, C : z(t) =

t + i, 0 ≤ t < 1 : C1

1 + it, 1 ≤ t ≤ 2 : C2.

I =∫

Cz2dz =

∫

C1

z2dz +∫

C2

z2dz.

∫

C1

z2dz =∫ 1

0(t2 − 1− i2t)dt =

∫ 1

0(t2 − 1)dt− 2i

∫ 1

0tdt = −

(23

+ i

),

∫

C2

z2dz =∫ 2

1(1− t2 − i2t)idt =

∫ 2

12tdt + i

∫ 2

1(1− t2)dt = 3− i

43.

Luego

I =∫

Cz2dz = −

(23

+ i

)+ 3− i

43

=73− i

73.

13

Propiedades:

1.∫

C=C1+C2

f(z)dz =∫

C1

f(z)dz +∫

C2

f(z)dz.

2.∫

−Cf(z)dz = −

∫

Cf(z)dz.

3.∫

Ckf(z)dz = k

∫

Cf(z)dz (k ∈ C).

4.∫

C[f(z)± g(z)]dz =

∫

Cf(z)dz ±

∫

Cg(z)dz.

4.1 Teorema de Cauchy

El siguiente teorema se conoce como teorema de Cauchy

Teorema 4.1 Sea f(z) una funcion analıtica en todos los puntos de una curva de Jordan cerrada C

y en todos los puntos que encierra. Entonces∫

Cf(z)dz = 0.

Demostracion:

La demostracion de este resultado se basa en la definicion de integral a lo largo de una curva utilizando

la aproximacion por integrales sobre polinomios. No obstante la idea primera que llevo a deducir este

teorema es mas sencilla aunque sobre funciones analıticas con derivada continua. Posteriormente se

demostro que esta condicion no era necesaria.

Si f(z) = u(x, y) + iv(x, y) es continua en la region R encerrada por la curva C, ası como su

derivada f ′(z), tenemos entonces que u(x, y) y v(x, y) son funciones continuas en R con derivadas

parciales continuas. Entonces en base al teorema de Green:∫

Cf(z)dz =

∫

C(udx− vdy) + i

∫

C(vdx + udy) =

∫ ∫

R(−vx − uy)dxdy + i

∫ ∫

R(ux − vy)dxdy.

Pero por las ecuaciones de Cauchy-Riemann, ux = vy y uy = −vx, con lo que las dos integrales dobles

son cero.

Este teorema reduce ampliamente la resolucion de integrales sobre contornos cerrados, ya que

nos lleva a considerar solo aquellas funciones que no son analıticas.

Ejemplos:

• Comprobar el teorema de Cauchy para f(z) = zn, con C : z(θ) = reiθ, θ ∈ [0, 2π].

14

• Comprobar que para f(z) =1z

y la misma curva del ejemplo anterior, no es aplicable el teorema

de Cauchy.

4.2 La formula integral de Cauchy y su generalizacion

Teorema 4.2 Sea f(z) una funcion analıtica en una curva de Jordan cerrada C y en todos los puntos

de su interior. Si z0 es un punto del recinto cerrado por C, entonces

f(z0) =1

2πi

∫

C

f(z)z − z0

dz,

igualdad conocida como la formula integral de Cauchy.

Aplicaciones: Esta formula nos permite calcular algunas integrales mediante una simple evaluacion de

funciones en algun punto.

• I =∫

C

cos z

z − 1dz, siendo C el borde del triangulo de vertices 0 + 0i, 2 + 2i y 2 − 2i. Como

f(z) = cos z verifica las condiciones del teorema, tenemos I = 2πif(1) = 2πi cos 1. Por otro

lado, no podemos aplicar la formula de Cauchy a la integral I =∫

C

cos z

z + 1dz, pues el punto

z = −1 no esta en el recinto encerrado por C. Sin embargo, por el teorema de Cauchy sabemos

que esta ultima integral es cero.

• I =∫

C

cos z

z2 + 1dz, siendo C : |z − 2i| = 2.

I =∫

C

cos z

z2 + 1dz =

∫

C

cos zz+i

z − idz = 2πi

cos i

i + i= π cosh 1.

• I =∫

C

z

(9− z2)(z + i)dz, siendo C : |z| = 2.

I =∫

C

z

(9− z2)(z + i)dz =

∫

C

z9−z2

z + idz = 2πi

−i

9− (−i)2=

π

5.

La formula integral de Cauchy permite obtener propiedades de las derivadas de f(z), basandonos

en las reglas de derivacion bajo el signo integral.

Teorema 4.3 Si una funcion es analıtica en una region R, entonces admite derivadas de todos los

ordenes en R. Dichas derivadas son ademas funciones analıticas en R y pueden ser calculadas en

cada punto z0 ∈ R por

f (n)(z0) =n!2πi

∫

C

f(z)(z − z0)n+1

dz n = 0, 1, 2, ...

donde C representa cualquier curva cerrada de Jordan contenida en R y que rodee a z0.

15

De nuevo tenemos una forma de evaluar integrales.

Ejemplos:

• I =∫

C

dz

z − z0, siendo C una curva cerrada de Jordan que rodea a z0. Si tomamos f(z) = 1,

concluimos que I = 2πi · 1 = 2πi. Por otro lado∫

C

dz

(z − z0)n+1= 0, ya que f (n)(z) = 0 para

n = 1, 2, 3, ....

• I =∫

C

z3 + 2z + 1(z − 1)3

dz, siendo C : |z| = 2.

I =∫

C

z3 + 2z + 1(z − 1)3

dz =d2

dz2

[z3 + 2z + 1

](1) · 2πi

2!= 6πi.

• I =∫

C

cos z

(z − 1)3(z − 5)2dz, siendo C : |z − 4| = 2.

I =∫

C

cos z

(z − 1)3(z − 5)2dz =

∫

C

cos z(z−1)3

(z − 5)2dz =

2πi

1!d

dz

[cos z

(z − 1)3

](5) = 2πi

(−64 sen 5− 48 cos 546

).

El recıproco del teorema de Cauchy tambien es cierto, y se conoce como teorema de Morera.

Teorema 4.4 Si f(z) es continua en una region R y para toda curva de Jordan cerrada C contenida

en R se tiene que ∫

Cf(z)dz = 0,

entonces f(z) es analıtica en R.

Este resultado nos aproxima a la idea de campos conservativos en el plano y la mayorıa de las

aplicaciones que se apoyan en la variable compleja se basan en representar los campos vectoriales

por medio de funciones analıticas, ya que aunque la definicion de integral es distinta al caso real, las

operaciones finales sı son integrales de lınea de funciones vectoriales.

5 Desarrollos en serie de potencias

Teorema 5.1 Sea f(z) analıtica en el disco D : |z − z0| < R. Si z ∈ D, f(z) puede representarse

por un desarrollo en serie de potencias

f(z) =∞∑

n=0

cn(z − z0)n = c0 + c1(z − z0) + c2(z − z0)2 ....

16

donde los coeficientes cn vienen dados por

cn =f (n)(z0)

n!.

Por tanto, la serie de potencias converge a f(z) cuando |z − z0| < R.

Ejemplos:

• La funcion f(z) = ez tiene el desarrollo en serie

ez =∞∑

n=0

zn

n!, z ∈ C.

• La funcion f(z) = sen z tiene el desarrollo en serie de potencias

sen z =∞∑

n=0

(−1)n z2n+1

(2n + 1)!, z ∈ C.

Analogamente,

cos z =∞∑

n=0

(−1)n z2n

(2n)!, z ∈ C.

• La funcion f(z) = 11−z es analıtica en |z| < 1. Tiene el desarrollo en serie de potencias

11− z

=∞∑

n=0

zn = 1 + z + z2 + z3 + . . . , |z| < 1.

A partir de estos, se pueden obtener desarrollos para funciones mas generales.

Ejemplos:

• f(z) = z2e3z.

• f(z) =1 + 2z2

1 + z2.

6 Desarrollos de Laurent

Definicion 6.1 El desarrollo en serie de Laurent de una funcion f(z) viene dado por

f(z) =∞∑

n=−∞cn(z − z0)n = .... + c−2(z − z0)−2 + c−1(z − z0)−1 + c0 + c1(z − z0) + ....

donde la serie converge a f(z) en un cierto dominio del plano complejo.

17

Se pueden obtener ejemplos de desarrollos de Laurent haciendo simples manipulaciones de de-

sarrollos conocidos de Taylor. Por ejemplo:

eu = 1 + u +u2

2!+

u3

3!+ ....

Tomando u = (z − 1)−1, obtenemos

e1

z−1 = 1 + (z − 1)−1 +(z − 1)−2

2!+

(z − 1)−3

3!+ .... z 6= 1.

Este ejemplo representa un desarrollo de Laurent sin potencias positivas de (z − 1). Si multiplicamos

el desarrollo anterior por (z − 1)2, nos queda

(z − 1)2e1

z−1 = .... +(z − 1)−1

3!+

12!

+ (z − 1) + (z − 1)2 z 6= 1,

que representa un desarrolo de Laurent con potencias positivas y negativas de (z − 1).

Teorema 6.1 Sea f(z) analıtica en el anillo D : r1 < |z − z0| < r2. Si z ∈ D, f(z) puede

representarse por un desarrollo de Laurent

f(z) =∞∑

n=−∞cn(z − z0)n = .... + c−2(z − z0)−2 + c−1(z − z0)−1 + c0 + c1(z − z0) + c2(z − z0)2 + ....

donde los coeficientes cn vienen dados por

cn =1

2πi

∫

C

f(z)(z − z0)n+1

dz,

siendo C cualquier curva cerrada contenida en D y que rodee a la circunferencia interior |z−z0| < r1.

La serie es uniformemente convergente en cualquier region anular centrada en z0 y contenida en D.

Ejemplo:

• Hallar el desarrollo de Laurent de f(z) =1

z − 3en potencias de z − 1. Establecer el dominio de

convergencia. Tenemos

11− w

= 1 + w + w2 + w3 + ...., |w| < 1.

Por otro lado, si1

z − 3=

1(z − 1)− 2

=1

z−1

1− 2z−1

,

y si tomamos w =2

z − 1, se llega a

1z − 3

=1

z − 1

[1 +

2z − 1

+4

(z − 1)2+ ....

]= (z − 1)−1 + 2(z − 1)−2 + 4(z − 1)−3 + ....

La condicion |w| < 1, se transforma en |z − 1| > 2.

18

7 Residuos y su aplicacion en integracion

Definicion 7.1 Sea f(z) analıtica sobre una curva cerrada de Jordan C y sobre los puntos interiores

a esta salvo en z = z0. Entonces el residuo de f(z) en z0, escrito como Res[f(z), z0], se define como

el numero complejo

Res[f(z), z0] =1

2πi

∫

Cf(z)dz.

Teorema 7.1 El residuo de la funcion f(z) en una singularidad aislada z0, es el coeficiente c−1 de

(z − z0)−1 en el desarrollo de Laurent de f(z) en un anillo 0 < |z − z0| < R.

El siguiente teorema se conoce como el teorema de los residuos

Teorema 7.2 Sea C una curva cerrada de Jordan y f(z) analıtica sobre C y todos los puntos interiores

salvo en las singularidades aisladas z1, z2, ..., zn. Entonces:

12πi

∫

Cf(z)dz = Res[f(z), z1] + Res[f(z), z2] + ... + Res[f(z), zn].

7.1 Singularidades aisladas

Clasificamos las singularidades aisladas (de ahora en adelante denominadas simplemente singulari-

dades) de una funcion f(z) en tres tipos: polo, singularidad esencial y singularidad evitable.

Definicion 7.2 Si f(z) posee una singularidad en z0, decimos que z0 es un polo de orden N si

limz→z0

(z − z0)Nf(z) = c (c 6= 0, c 6= ∞).

Ejemplo: la funcion f(z) =1

z(z − 1)2tiene en z = 0 un polo de orden 1 y en z = 1 un polo de orden

2.

Definicion 7.3 Si f(z) posee una singularidad en z0, decimos que z0 es una singularidad evitable si

limz→z0

f(z) = c (c 6= ∞).

Ejemplo: la funcion f(z) =sen z

zposee una singularidad evitable en z = 0, pues lim

z→0

sen z

z= 1.

Definicion 7.4 Si f(z) posee una singularidad en z0, decimos que z0 es una singularidad esencial si

no es un polo o evitable.

19

Ejemplo: la funcion f(z) = sen1z

posee una singularidad esencial en z = 0.

Definicion 7.5 Sea z0 punto singular de f(z) y∞∑

−∞cn(z − z0)n el desarrollo de Laurent de f(z) en

z0. Llamamos parte principal del desarrollo a la constituida por los sumandos con potencias negativas

de z − z0, es decir .... + c−k(z − z0)−k + c−k+1(z − z0)−k+1 + .... + c−2(z − z0)−2 + c−1(z − z0)−1.

Esta definicion nos permite dar una caracterizacion de los distintos tipos de puntos singulares:

• Si el desarrollo de Laurent de f(z) en la singularidad z0 posee una parte principal cuya mayor

potencia negativa de z − z0 es −N , z0 es un polo de orden N .

Ejemplo: f(z) =1

z(z − 1)2

f(z) = z−1 + 2 + 3z + 4z2 + .... 0 < z < 1.

f(z) = (z − 1)−2 − (z − 1)−1 + 1− (z − 1) + (z − 1)2 + .... 0 < |z − 1| < 1.

• Si el desarrollo de Laurent de f(z) en la singularidad z0 no posee parte principal, z0 es una

singularidad evitable

Ejemplo: f(z) =sen z

z

f(z) = 1− z2

3!+

z4

5!+ ....

• Si el desarrollo de Laurent de f(z) en la singularidad z0 posee una parte principal con infinitas

potencias negativas de z − z0, z0 es una singularidad esencial.

Ejemplo: f(z) = sen1z

f(z) = z−1 − z−3

3!+

z−5

5!+ .... z 6= 0.

Calculo de residuos en polos

Si f(z) tiene un polo de orden N en z0, entonces

Res[f(z), z0] = limz→z0

1(N − 1)!

dN−1

dzN−1

[(z − z0)Nf(z)

].

El residuo de f(z) =g(z)h(z)

en un polo simple z0, donde g(z0) 6= 0 y h(z0) = 0, viene dado por

Res[f(z), z0] =g(z0)h′(z0)

.

20

Ejemplo: Encontrar el residuo de f(z) =ez

z2(z2 + 1)en todos sus polos. En primer lugar, reescribimos

la funcion como

f(z) =ez

z2(z + i)(z − i),

lo que nos muestra que posee polos simples en z = ±i y un polo de orden dos en z = 0.

Res[f(z), i] = limz→i

(z − i)ez

z2(z + i)(z − i)= − ei

2i.

Para calcular el residuo en z = −i podrıamos usar la misma regla, pero para ilustrar otra lo abor-

daremos como sigue: tomemos g(z) =ez

z2, la cual verifica que g(−i) 6= 0, y h(z) = z2 + 1, con lo que

h′(z) = 2z. Entonces:

Res[f(z),−i] =

[ez

z2

2z

]

z=−i

=e−i

2i.

Por ultimo:

Res[f(z), 0] = limz→0

d

dz

[z2 ez

z2(z2 + 1)

]= lim

z→0

ez(z2 + 1)− 2zez

(z2 + 1)2= 1.

7.2 Aplicaciones al calculo integral

Evaluacion de integrales complejas

• I =∫

C

cos z

(z − 1)3(z − 5)2dz siendo C : |z − 4| = 4. La funcion f(z) =

cos z

(z − 1)3(z − 5)2es

holomorfa en C, excepto en z = 1 (polo triple) y z = 5 (polo doble). Calculemos sus residuos:

Res[f(z), 1] = limz→1

12

d2

dz2

[(z − 1)3f(z)

]= −1

221 cos 1 + 8 sen 1

256,

Res[f(z), 5] = limz→5

d

dz

[(z − 5)2f(z)

]= −3 cos 5 + 4 sen 5

256.

Por lo tanto

I = 2πi {Res[f(z), 1] + Res[f(z), 5]} .

Evaluacion de integrales reales

Las integrales definidas reales de la forma∫ 2π

0R(sen θ, cos θ)dθ, donde R representa una funcion

racional, pueden resolverse efectuando el cambio de variable z = eiθ, dz = ieiθdθ; ası que

dθ =dz

iz, sen θ =

z − z−1

2i, cos θ =

z + z−1

2.

La variacion de θ entre 0 y 2π, hace que la nueva variable z se mueva a lo largo de la circunferencia

unidad |z| = 1.

21

Ejemplo:

I =∫ 2π

0

12 + sen θ

dθ =∫

|z|=1

dziz

2 + z−z−1

2i

=∫

|z|=1

2dz

z2 + 4iz − 1.

Los polos del integrando son los ceros de z2 + 4iz − 1, que son z1 = i(−2 +√

3) y z2 = −i(2 +√

3).

El punto z2 esta fuera del cırculo unidad, luego la funcion integrando posee un unico polo simple, z1,

dentro de la region encerrada por |z| = 1. Entonces:

I = 2πiRes

[2

z2 + 4iz − 1, i(−2 +

√3)

]=

2π√3.

Nota: este mismo cambio de variable puede aplicarse cuando aparezcan cos(nθ) y sen(mθ), sin mas

que tener en cuenta que

dθ =dz

iz, sen(mθ) =

zm − z−m

2i, cos(nθ) =

zn + z−n

2.

Ejemplo:

I =∫ 2π

0

cos(2θ)5− 4 sen θ

dθ = −π

6.

Integrales impropias

Sea f(z) una funcion analıtica, con un numero finito de polos {zk}nk=1 en el semiplano superior,

y ninguno en el eje real. Entonces

∫

Cf(z)dz = 2πi

n∑

k=1

Res[f(z), zk],

donde C : {z = Reiθ : θ ∈ [0, π]} ∪ [−R, R], siendo R suficientemente grande, de forma que la curva

C deje en su interior a todos los polos.

C

-R R

22

Pero ∫

Cf(z)dz =

∫ R

−Rf(t)dt +

∫ π

0f(Reit)Rieitdt,

y por eso ∫ R

−Rf(t)dt = 2πi

n∑

k=1

Res[f(z), zk]−∫ π

0f(Reit)Rieitdt.

Si existe el lımite de la ultima integral cuando R → ∞, podemos calcular una integral impropia.

Normalmente, el lımite es cero y entonces∫ ∞

−∞f(t)dt = 2πi

n∑

k=1

Res[f(z), zk].

Ejemplos:

•∫ ∞

−∞dt

1 + t2= arctg t

∣∣∣∞−∞ = π.

Sea f(z) =1

1 + z2, que tiene polos simples en z = ±i.

Res[f(z), i] = limz→i

(z − i)1

1 + z2= lim

z→i

1z + i

=12i

,

y de aquı ∫

Cf(z)dz = 2πi

12i

= π,

donde C : {z = Reiθ : θ ∈ [0, π]} ∪ [−R, R]. Pero∫

Cf(z)dz =

∫ R

−R

dt

1 + t2+

∫ π

0

11 + R2e2it

Rieitdt,

y se tiene ∣∣∣∣1

1 + R2e2itRieit

∣∣∣∣ ≤R

R2 − 1→ 0 (R → +∞).

Por eso ∫ ∞

−∞dt

1 + t2= π.

•∫ ∞

−∞cosx

1 + x2dx.

Consideremos f(z) =eiz

z2 + 1y la misma curva C del ejemplo anterior. Entonces

∫

Cf(z)dz = 2πiRes[f(z), i] = 2πi lim

z→i

eiz

z + i=

π

e.

Pero∫

Cf(z)dz =

∫ R

−Rf(t)dt +

∫ π

0f(Reit)Rieitdt =

∫ R

−R

eit

t2 + 1dt +

∫ π

0

eiReit

R2e2it + 1iReitdt,

23

y ademas∣∣∣∣∣eiReit

iReit

R2e2it + 1

∣∣∣∣∣ ≤R

R2 − 1

∣∣∣eiR cos t−R sen t∣∣∣ =

R

R2 − 1e−R sen t ≤ R

R2 − 1−→ 0 (R → ∞).

Por tanto, ∫ ∞

−∞eit

t2 + 1dt =

π

e,

y de esto se concluye que

∫ ∞

−∞cos t

t2 + 1dt =

π

e,

∫ ∞

−∞sen t

t2 + 1dt = 0.

• Demostrar que

∫ ∞

−∞x3 sen x

(x2 + a2)(x2 + b2)dx = 2π

(a2e−a

a2 − 2b2+

b2e−b

b2 − 2a2

), a, b > 0,

teniendo en cuenta el lema de Jordan, que nos garantiza que

∫ π

0e−R sen tdt <

π

R, (R > 0).

24