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Tema II. Las muestras y la teoría paramétrica

2.1. Muestras y muestreos:- La muestra:

. Subconjunto de elementos de la población

. Necesidad práctica:. Motivos económicos. Imposibilidad (práctica/teórica) de estudiar TODA la población. Inconveniencia práctica o ética (al destruir o afectar la muestra)

. Representativa de la población- Estrategias de muestreo:

. Muestreo aleatorio (conocemos la p de la población en la muestra)

. Muestreo opinático (criterios subjetivos; experiencia del investigador)

. Muestreo piloto (previo a un estudio)

Ejemplo de muestra?

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2.1. Muestras y muestreos:- Tipos de muestreo aleatorio (representativo):

. Simple con reemplazamiento (o con N grande)

. Simple sin reemplazamiento

. Estratificado (en función de la estructura de la población)

. Por áreas (geográficas, por ejemplo)

Ejemplo de estratificación

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∑(xi-x)2

s2 = (n-1)

∑xix =

n

2.2. Muestras, estadísticos y estimadores:- Normalmente SIEMPRE se trabaja con muestras (estadísticos y estimadores):

. Estadístico: cualquier función que resume propiedades de la muestra

. Estimador: cuando un estadístico pretende inferir el valor de la población:. μ (x). σ2 (s2)

- Estimación puntual (por intervalos)

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2.3. Las muestras y la distribución muestral:- La distribución de probabilidad del estadístico (estimador) cambia en la muestra- El procedimiento de inferencia parámetrico (empírico):

- Se obtiene una muestra- Se mide el estadístico- Se imagina uno ∞ muestras idénticas sobre las que se calcula el estadístico- Se obtiene la distribución muestral (ejemplo Excel)


Población123456789

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Muestra 1 = 2, 6, 9 (5,67)

Muestra 2 = 1, 3, 6 (3,33)

Muestra 3 = 4, 5, 5 (4,67)

Muestra 4 = 7, 7, 8 (7,33)

Muestra 5 = 1, 7, 9 (5,67)

Muestra 6 = 1, 5, 5 (3,67)

Muestra 7 = 6, 6, 8 (6,67)

Muestra 8 = 1, 2, 3 (2,00)

Muestra 9 = 8, 9, 10 (9,00)

Muestra 10 = 4, 5, 5 (4,67)

Distribución de Frecuencias

Clase 1-2: 1Clase 3-4: 2Clase 5-6: 4Case 7-8: 2Clase 9-10: 1

¡¡La distribución muestral ES normal!! 00.5

11.5

22.5

33.5

44.5

1 2 3 4 5

Distribución muestral

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0

0.2

0.4

0.6

0.8

1

1.2

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

Distribución Población

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Fórmula General

S2

Varm =N

2.3. Las muestras y la distribución muestral:- Obtención de la distribución muestral de la media:

. Procedimiento inferencial teórico

. Tamaño de muestra (N)

. Media muestral (xs)

. Varianza muestral (s2s)

Distribución de la Población

N1 = 10

μσ2

N2 = 100

xs1 = μ

s2

S2s1 =

10

xs2 = μ

s2

S2s2 =

100

Muestra 1

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2.3. Las muestras y la distribución muestral:- El uso de tablas de referencia (distribución t):

- Obtención de IC- Test de Hipótesis

×±


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2.3. Las muestras y la distribución muestral:- Aplicación a muestras, la distribución t:

. Ejemplo de muestra (IC) ×±

Ejemplo de Muestra (N = 8)ALUMNOS DE UNA CLASE: 10,2 9,7 10 9,6 8,7 11 10,5 10,9

Estadística descriptiva:Media de muestra (μ) = 10,07 Varianza de muestra (σ2) = 0,571Desviación típica de muestra (σ) = 0,755

∑(xi-x)2

s2 = (n-1)

OBTENCIÓN DE INTERVALO DE CONFIANZA

N NC CÁLCULO INT1 INT2

8 95% 10,07 ± 0,63 (2,36 x 0,755/√8) 9,4 10,78 99% 10,07 ± 0,93 (3,50 x 0,755/√8) 9,1 11,0

80 95% 10,07 ± 0,17 (1,99 x 0,755/√80) 9,9 10,280 99% 10,07 ± 0,22 (2,64 x 0,755/√80) 9,8 10,3

Este intervalo se refiere al de la media de nuestra muestra


8

2.3. Las muestras y la distribución muestral:- Aplicación a muestras, la distribución t:

. Ejemplo de muestra (Test de hipótesis)

Ejemplo de Muestra (N = 8)ALUMNOS DE UNA CLASE: 10,2 9,7 10 9,6 8,7 11 10,5 10,9

Estadística descriptiva:Media de muestra (μ) = 10,07 Varianza de muestra (σ2) = 0,571Desviación típica de muestra (σ) = 0,755

Nivel significación 5% (p una cola 0.025)

N = 8, si X = 10,5; H0 = pertenece a la población; H1 =no

(10,5 – 10,07)/(0,755/√8) = 1,61 : p en tabla t > 0.05; (>0,1 dos colas)

Según NS del 5% se acepta H0

Método General

x – μ (H0)

σ/√n


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2.4. Aplicación del test t en muestras:- Diferencias entre dos muestras:

. Ejemplo en el Hospital

. Análisis descriptivo

. Test t (H0 y H1)- Con comparaciones múltiples se usa ANOVA

Porcentage de HDL en sangre

Muestra 1 (10 enfermos): 120, 107, 110, 116, 114, 111, 113, 117, 114, 112Muestra 2 (10 sanos): 110, 111, 107, 108, 110, 105, 107, 106, 111, 111

Estadística descriptiva: Muestra 1 Muestra 2Media (μ) 113,4 108,6Varianza (σ2) 13,822 5,155Desviación típica (σ) 3,72 2,27

(n1-1) σ21 + (n2-2) σ2

2 (9x13,822) + (9x5,155)σ2

ponderada = = = 9,488 (3,08)n1 + n2 – 2 18

Método General

x1 – x2 – (μ1- μ2; H0=0) t =

σ2p 1 1

√ n1 n2

t = 3,484 Valor de probabilidad asociado a dicha t < 0.01 GL = n1 + n2 -2 = 18 Valor de t al límite del 5% = 2,109

por ello se puede rechazar la h0


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2.5. Aplicación del test t en muestras:- Diferencias entre dos muestras apareadas:


. Test t (H0 y H1)


Muestra 1 (10 enfermos): 120, 107, 110, 116, 114, 111, 113, 117, 114, 112Muestra 2 (los mismos sanos): 110, 111, 107, 108, 110, 105, 107, 106, 111, 111Diferencia: 10, -4, 3, 8, 4, 6, 6, 11, 3, 1

Estadística descriptiva: DMedia (μ) 4,8Varianza (σ2) 19,73Desviación típica (σ) 4,44

H0 = D no es distinto de 0; H1 = Si lo es

t = 3,42 Valor de probabilidad asociado a dicha t < 0.01 GL = n -1 = 9 Valor de t al límite del 5% = 2,26

por ello se puede rechazar la h0


Método General

D – δ (H0=0) t =

√(σ2p/nparejas)

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2.6. Estimación y test de hipótesis con otros estadísticos:- Diferencias entre dos varianzas:

. La razón de varianzas (s21/s22)

. La distribución F:. GL1 (numerador-1) y GL2 (denominador-1). Puede ser asimétrica o no. Test de una cola


Casos de la distribución F:

F(1, ∞) = Distribución Normal

F(1, n2) = Distribución t

F(n1, ∞) = Distribución χ2

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2.6. Estimación y test de hipótesis con otros estadísticos :- Diferencias entre dos varianzas:

. Uso de la distribución F:. Se elige NS. Se busca valor F GL1 y GL2. Se determina rechazo o no de H0


NS = 5%

Ejemplo: F = 3,45GL1 = 3GL2 = 17

Como 3,45 < 3,59

No significativoSe acepta H0

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. Conclusión


Muestra 1 (10 enfermos): 120, 107, 110, 116, 114, 111, 113, 117, 114, 112Muestra 2 (10 sanos): 110, 111, 107, 108, 110, 105, 107, 106, 111, 111


Estadística descriptiva: Muestra 1 Muestra 2Media (μ) 113,4 108,6Varianza (σ2) 13,822 5,155Desviación típica (σ) 3,72 2,27

H0 = no hay diferencias en varianzasH1 = si las hay

F = Mayor/Menor = 2,68 F5%(9,9) = 3.18

Fprueba < Ftabla = se acepta H0

Muestra 1 y 2 con iguales varianzas

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. La razón de varianzas (s21/s22)

. La distribución F:. GL1 (numerador-1) y GL2 (denominador-1). Asimétrica. Test de una cola


Casos de la distribución F:

F(1, ∞) = Distribución Normal

F(1, n2) = Distribución t

F(n1, ∞) = Distribución χ2

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2.7. Otros tests de hipótesis:- Evaluación de proporciones, frecuencias, etc:

. Métodos no paramétricos (análisis de frecuencias):. Χ2 (conjunto de distribuciones; asimétricas; de una cola). Test G

- Métodos NO-Paramétricos de aleatorización/remuestreo empírico, etc.


df > 30: use z = sqrt(2chi2)-sqrt(2df-1)

44.31 37.65 34.38 16.47 14.61 11.52 25

37.57 31.41 28.41 12.44 10.85 8.260 20

30.58 25.00 22.31 8.547 7.261 5.229 15

23.21 18.31 15.99 4.865 3.940 2.558 10

15.09 11.079.236 1.610 1.145 0.554 5

13.28 9.488 7.779 1.064 0.711 0.297 4

11.34 7.815 6.251 0.584 0.352 0.115 3

9.210 5.991 4.605 0.211 0.103 0.020 2

6.635 3.8412.706 0.016 0.0039 0.00016 1

0.01 0.05 0.10 0.90 0.95 0.99 df\upper tail area

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Referencias Bibliográficas

Daniel, W.W. 1989. Bioestadística. Base para el análisis de las ciencias de la salud. Limusa, México.

Sokal,R.R., Rohlf, F.J. 1995. Biometry. Freeman and co., New York

LIBROS:

PÁGINAS WEB:

http://www.statsoft.com/textbook/sttable.html(tablas en línea para ver probabilidades de la distribución t)

http://home.ubalt.edu/ntsbarsh/excel/excel.htm(programación de cálculos estadísticos en EXCEL)

http://statpages.org/(Página que permite análisis estadísticos interactivos)

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