efecto de sitio y respuesta dinámica de estructuras sobre suelos ...
Tema 9. Respuesta dinámica del avión.
Transcript of Tema 9. Respuesta dinámica del avión.
Ecuaciones GeneralesEcuaciones Linealizadas
Ecuaciones Generales de la Dinamica del Avion
Mecanica del Vuelo4o Grado en Ingenierıa Aeroespacial
Damian Rivas RivasFrancisco Gavilan Jimenez
Departamento de Ingenierıa Aeroespacial y Mecanica de FluidosEscuela Superior de Ingenieros. Universidad de Sevilla
[email protected], [email protected]
Curso 2013/14
1 / 32
Ecuaciones GeneralesEcuaciones Linealizadas
Conceptos PreviosEcuaciones CinematicasEcuaciones Dinamicas
Contenido
1 Ecuaciones GeneralesConceptos PreviosEcuaciones CinematicasEcuaciones Dinamicas
2 Ecuaciones LinealizadasLinealizacion de las ecuaciones del movimientoModelo lineal de fuerzas aerodinamicas y propulsivasAdimensionalizacion de las ecuaciones
2 / 32
Ecuaciones GeneralesEcuaciones Linealizadas
Conceptos PreviosEcuaciones CinematicasEcuaciones Dinamicas
Ecuaciones Generales del Movimiento
OBJETIVO FINAL:
relacionar el movimiento de la aeronave con las fuerzas que actuansobre ella.
Hipotesis Simplificativas:
El avion es un solido rıgido de 6 G.D.L.Avion con plano de simetrıa (XZ )Modelo de Tierra Plana:
El sistema topocentrico es inercial.
Modelo de gravedad constante.No se considerara el viento.
3 / 32
Ecuaciones GeneralesEcuaciones Linealizadas
Conceptos PreviosEcuaciones CinematicasEcuaciones Dinamicas
Sistemas de Referencia:
Sistema topocentrico (FT ): Se considerara inercial. Se usara paraexpresar la posicion de la aeronave.
Origen (OT ): cualquier punto de la superficie terrestre.xT : hacia el norte.yT : hacia el este.zT : formando un triedro a derechas.
Sistema de ejes cuerpo (FB): Se usara para expresar las fuerzas ymomentos que actuan sobre el avion.
Origen (OB): en el centro de gravedad del avion.xB : en el plano de simetrıa, segun una lınea de referencia haciael morro.zB : en el plano de simetrıa, perpendicular a xB , hacia abajo.yB : formando un triedro a derechas (hacia el ala derecha).
Sistema de ejes horizonte local (FH): Se usara para expresar la actitud de la aeronave.
Origen (OH): en el centro de gravedad del avion.xH , yH , zH : son paralelos a los xT , yT , zT respectivamente.
4 / 32
Ecuaciones GeneralesEcuaciones Linealizadas
Conceptos PreviosEcuaciones CinematicasEcuaciones Dinamicas
Notacion y Definiciones
~rc : vector de posicion del avion respecto a FT .
~Vc : vector velocidad del avion respecto a FT (groundspeed).
~Vw : velocidad del viento respecto a FT .~V : velocidad aerodinamica del avion (airspeed). Las fuerzas ymomentos aerodinamicos del avion dependen de esta velocidad.
~V = ~Vc − ~Vw
[~x ]S : proyeccion del vector ~x en el sistema de referencia S .
Como hipotesis general, durante este curso no se considerara el viento,por lo que:
~V = ~Vc
5 / 32
Ecuaciones GeneralesEcuaciones Linealizadas
Conceptos PreviosEcuaciones CinematicasEcuaciones Dinamicas
Notacion y Definiciones II
[
~V]B
=
u
v
w
[~ω]B =
p
q
r
[
~FA,T
]B
=
X
Y
Z
[
~MA,T
]B
=
L
M
N
[~rc ]T =
xcyczc
6 / 32
Ecuaciones GeneralesEcuaciones Linealizadas
Conceptos PreviosEcuaciones CinematicasEcuaciones Dinamicas
Notacion y Definiciones III
Angulo de ataque:Angulo formado por el eje xB y la proyeccion de ~V sobre el plano de simetrıa del avion.Angulo de resbalamiento:Angulo formado por ~V y el plano de simetrıa del avion.
Se define la proyeccion de ~V en ejes cuerpo:
[
~V]B
=
u
v
w
α = arctanw
u
β = arcsinv
|~V |7 / 32
Ecuaciones GeneralesEcuaciones Linealizadas
Conceptos PreviosEcuaciones CinematicasEcuaciones Dinamicas
Transformacion entre Sistemas de Referencia
La actitud de la aeronave viene determinada por la orientacion delsistema de ejes cuerpo respecto al sistema horizonte local.
Se necesita disponer de la transformacion FB ↔ FH
La actitud de la aeronave puede ser definida por tres angulos:ANGULOS DE EULER:
Angulo de guinada (ψ): angulo formado por xH y la proyeccion dexB sobre el plano horizontal local.
Angulo de asiento (θ): angulo formado entre el eje xB y el planohorizontal local.
Angulo de balance (φ): angulo formado por yB y la interseccion delplano yBzB con el plano horizontal local.
8 / 32
Ecuaciones GeneralesEcuaciones Linealizadas
Conceptos PreviosEcuaciones CinematicasEcuaciones Dinamicas
Transformacion entre Sistemas de Referencia II
La transformacion de FH a FB viene definido por la siguiente secuencia de rotaciones:
FHψ−→zH
FX1
θ−−→yX1
FX2
φ−−→xX2
FB (1)
Definiendo esta secuencia mediante operaciones matriciales:
[x ]B = TBH [x ]H ; TBH = TBX2TX2X1TX1H
TBH =
1 0 00 cosφ sinφ0 − sinφ cosφ
cos θ 0 − sin θ0 1 0
sin θ 0 cos θ
cosψ sinψ 0− sinψ cosψ 0
0 0 1
=
cos θ cosψ cos θ sinψ − sin θsin θ sinφ cosψ − sinψ cosφ sinψ sin θ sinφ+ cosψ cosφ sinφ cos θsin θ cosφ cosψ + sinψ sinφ sin θ cosφ sinψ − cosψ sinφ cosφ cos θ
Propiedad Importante:
Puesto que TBH se define a partir del producto de matrices ortonormales, TBH tambien es ortonormal,con lo cual:
(
TBH)
−1=(
TBH)T
⇒ THB =(
TBH)T
9 / 32
Ecuaciones GeneralesEcuaciones Linealizadas
Conceptos PreviosEcuaciones CinematicasEcuaciones Dinamicas
Ecuaciones del Movimiento
Se tienen dos grupos:
Ecuaciones Cinematicas:
Relacion entre la posicion y la velocidad lineal (ecuacionescinematicas lineales).Relacion entre la actitud y la velocidad angular (ecuacionescinematicas angulares).
Ecuaciones Dinamicas:
Relacion entre las velocidades lineales y angulares y las fuerzas ymomentos aplicados.
10 / 32
Ecuaciones GeneralesEcuaciones Linealizadas
Conceptos PreviosEcuaciones CinematicasEcuaciones Dinamicas
Ecuaciones Cinematicas Lineales: Trayectoria
El objetivo es disponer de una ecuacion diferencial que permita conocer la posicion del vehıculo apartir de su velocidad.
Vector de posicion: [~rc ]T =
[
xc yc zc]T
; Vector velocidad: ~Vc
[
~Vc
]T
=
[
d~rc
dt
]T
=
xcyczc
Puesto que las ecuaciones dinamicas se van a formular en ejes cuerpos, se dispondra de[
~Vc
]B
,
por lo que hay que hacer la transformacion:
xcyczc
= TTB
u
v
w
(2)
=
u cos θ cosψ + v (sin θ sinφ cosψ − sinψ cosφ) + w (sin θ cosφ cosψ + sinψ sinφ)u cos θ sinψ + v (sinψ sin θ sinφ+ cosψ cosφ) + w (sin θ cosφ sinψ − cosψ sinφ)
−u sin θ + v sinφ cos θ + w cosφ cos θ
11 / 32
Ecuaciones GeneralesEcuaciones Linealizadas
Conceptos PreviosEcuaciones CinematicasEcuaciones Dinamicas
Ecuaciones Cinematicas Angulares
El objetivo es disponer de una ecuacion diferencial que permita conocer los parametros de actitud(angulos de Euler) a partir de la velocidad angular.Refiriendose a la secuencia de rotaciones que define la transformacion FH ↔ FB (ecuacion 1), sepuede definir el vector velocidad angular de la siguiente forma:
~ω = ψ~kH + θ~jX1+ φ~iB
Proyectando esta ecuacion en ejes cuerpo:
p
q
r
= ψTBH[
~kH
]H
+ θTBX2TX2X1
[
~jX1
]X1
+ φ[
~iB
]B
p
q
r
=
φ− ψ sin θ
θ cosφ+ ψ cos θ sinφ
−θ sinφ+ ψ cos θ cosφ
φ
θ
ψ
=
p + (q sinφ+ r cosφ) tan θq cosφ− r sinφ
(q sinφ+ r cosφ) sec θ
(3)
Nota:
Hay que tener en cuenta que estas ecuaciones tienen una singularidad en θ = (2k − 1)π2 ∀k ∈ Z
12 / 32
Ecuaciones GeneralesEcuaciones Linealizadas
Conceptos PreviosEcuaciones CinematicasEcuaciones Dinamicas
Ecuaciones Dinamicas
Ecuacion de cantidad de movimiento:
∑
~Fext = md ~Vc
dt(4)
Ecuacion del momento cinetico:
d~hc
dt=∑
~Mext~hc = ¯I~ω (5)
¿Que sistema de referencia se usa?
Las derivadas anteriores han de tomarse respecto de un sistema inercial (fijo en tierra).Si se usara un sistema inercial:
d~hc
dt= ¯I
d~ω
dt+
d¯I
dt~ω
el segundo termino implica la necesidad de calcular la derivada del tensor de inercia, lo cualcomplica la formulacion.Se va a usar un sistema fijo al avion (ejes cuerpo) para proyectar las ecuaciones dinamicas:
El tensor de inercia es constanteFormulacion mas sencilla de las fuerzas y momentosEs un sistema no inercial. Hay aplicar la formula de Poisson para calcular las derivadas
13 / 32
Ecuaciones GeneralesEcuaciones Linealizadas
Conceptos PreviosEcuaciones CinematicasEcuaciones Dinamicas
Ecuaciones de Fuerzas en Ejes Cuerpo
md ~Vc
dt
∣
∣
∣
∣
∣
Inercial
= m
(
d ~Vc
dt
∣
∣
∣
∣
∣
B
+ ~ω ∧ ~Vc
)
= ~FA,T +m~g
d~hc
dt
∣
∣
∣
∣
∣
Inercial
=
(
¯Id~ω
dt
∣
∣
∣
∣
B
+ ~ω ∧ ¯I~ω
)
= ~MA,T
X −mg sin θ = m (u − rv + qw) (6)
Y +mg cos θ sinφ = m (v + ru − pw) (7)
Z +mg cos θ cosφ = m (w − qu + pv) (8)
L = Ix p − Ixz r + (Iz − Iy )qr − Ixzpq (9)
M = Iy q + (Ix − Iz)pr + Ixz(p2 − r2) (10)
N = Iz r − Ixz p + (Iy − Ix)pq + Ixzqr (11)
14 / 32
Ecuaciones GeneralesEcuaciones Linealizadas
Conceptos PreviosEcuaciones CinematicasEcuaciones Dinamicas
Notas Importantes
El grupo de ecuaciones (2), (3) y (6-11) constituye un sistema de 12 ecuaciones diferencialesque permite calcular las 12 variables de estado:
~x =[
xc yc zc φ θ ψ u v w p q r]
Para su obtencion, se han tenido en cuenta las hipotesis de tierra plana, avion simetrico, ysolido rıgido (sin deformaciones ni partes moviles).
Incluso con estas simplificaciones no es posible obtener soluciones analıticas de las ecuaciones:
Sistema de ODE’s no lineal, acoplado
Para cerrar el problema, es necesario conocer las expresiones de las fuerzas y momentosaerodinamicos y propulsivos. En general:
~FA,T , ~MA,T = f (u(τ), v(τ),w(τ), p(τ), q(τ), r(τ), ~u)
donde x(τ) representa la historia pasada de la variable x , y ~u es el vector de control.Generalmente, se tienen cuatro variables de control:
~u =[
δe δT δa δr]
por lo que el sistema tendra 4 grados de libertad que hay que fijar: Ley de PilotajeEl problema de trayectoria (ecuaciones 2) esta desacoplado del resto. Pueden resolverse lasecuaciones de velocidad y actitud de forma independiente.
15 / 32
Ecuaciones GeneralesEcuaciones Linealizadas
Linealizacion de las ecuaciones del movimientoModelo lineal de fuerzas aerodinamicas y propulsivasAdimensionalizacion de las ecuaciones
Contenido
1 Ecuaciones GeneralesConceptos PreviosEcuaciones CinematicasEcuaciones Dinamicas
2 Ecuaciones LinealizadasLinealizacion de las ecuaciones del movimientoModelo lineal de fuerzas aerodinamicas y propulsivasAdimensionalizacion de las ecuaciones
16 / 32
Ecuaciones GeneralesEcuaciones Linealizadas
Linealizacion de las ecuaciones del movimientoModelo lineal de fuerzas aerodinamicas y propulsivasAdimensionalizacion de las ecuaciones
Teorıa de Pequenas Perturbaciones
Para el estudio de problemas de estabilidad y control, resulta practicamente imposibletrabajar con las ecuaciones no lineales obtenidas.Para simplificar el problema, se selecciona un punto de operacion del avion, y se linealizan lasecuaciones en torno a dicho punto:
Se obtiene un sistema de ODE’s lineal, con el que se pueden abordar los problemas deestabilidad y control.Esta aproximacion solo sera valida si el movimiento de la aeronave consiste en pequenasperturbaciones respecto del punto de operacion.Todas las conclusiones que se obtengan tendran caracter local.En la practica se obtienen buenos resultados.
Se van a expresar las variables de estado como suma de su valor en el punto de operacion, mas sudesviacion (observese el abuso de notacion):
u = us + u(t) p = ps + p(t) φ = φs + φ(t)v = vs + v(t) q = qs + q(t) θ = θs + θ(t)w = ws + w(t) r = rs + r(t) ψ = ψs + ψ(t)X = Xs +∆X Y = Ys +∆Y Z = Zs +∆Z
L = Ls +∆L M = Ms +∆M N = Ns +∆N
17 / 32
Ecuaciones GeneralesEcuaciones Linealizadas
Linealizacion de las ecuaciones del movimientoModelo lineal de fuerzas aerodinamicas y propulsivasAdimensionalizacion de las ecuaciones
Linealizacion de las ecuaciones del movimiento
Se desprecian los terminos de segundo orden en las perturbaciones respecto del punto deoperacion.Los terminos no lineales que puedan aparecer en las ecuaciones se aproximan por series deTaylor entorno al punto de operacion, quedandose solo con la parte lineal.
sin(φs + φ(t)) ≈ sinφs + φ(t) cosφs
cos(φs + φ(t)) ≈ cosφs − φ(t) sinφs
El punto de operacion satisface las ecuaciones del sistema.
Con esto se obtienen las siguientes ecuaciones linealizadas:
∆X −mgθ cos θs = m (u − rvs − vrs + qws + wqs)
∆Y +mg (φ cos θs cosφs − θ sin θs sinφs) = m (v + rus + urs − pws − wps)
∆Z −mg (φ cos θs sinφs + θ sin θs cosφs) = m (w − qus − uqs + pvs + vps)
∆L = Ix p − Ixz r + (Iz − Iy ) (qrs + rqs)− Ixz (qps + pqs)
∆M = Iy q + (Ix − Iz) (prs + rps)− 2Ixz (pps − rrs)
∆N = Iz r − Ixz p + (Iy − Iz) (qps + pqs) + Ixz (qrs + rqs)
φ = p +(
q sinφs + r cosφs + φθs
)
tan θs + θψs sec θs
θ = q cosφs − r sinφs − φ cos θs ψs
ψ =(
q sinφs + r cosφs + φθs + θ sin θs ψs
)
sec θs
18 / 32
Ecuaciones GeneralesEcuaciones Linealizadas
Linealizacion de las ecuaciones del movimientoModelo lineal de fuerzas aerodinamicas y propulsivasAdimensionalizacion de las ecuaciones
Vuelo de Referencia
Como norma general, se va a considerar un vuelo de referencia con las siguientes caracterısticas:
Simetrico: El vector velocidad (~V ) esta en el plano de simetrıa: vs = 0Rectilıneo: φs = 0Estacionario:us , vs , ws , ps , qs , rs constantes
Velocidad angular nula:ps , qs , rs = 0 ⇒ φs , θs , ψs = 0
Con estas simplificaciones, las ecuaciones linealizadas quedan:
∆X −mgθ cos θs = m (u + qws)
∆Y +mgφ cos θs = m (v + rus − pws)
∆Z −mgθ sin θs = m (w − qus)
∆L = Ix p − Ixz r
∆M = Iy q (12)
∆N = Iz r − Ixz p
φ = p + r tan θs
θ = q
ψ = r sec θs
19 / 32
Ecuaciones GeneralesEcuaciones Linealizadas
Linealizacion de las ecuaciones del movimientoModelo lineal de fuerzas aerodinamicas y propulsivasAdimensionalizacion de las ecuaciones
Ejes Estabilidad
Para simplificar el problema, se define el siguiente sistema de ejes.
Sistema de Ejes Estabilidad FS
Origen (OS ): centro de gravedad del avion.xS : segun la direccion de la velocidad del estado dereferencia (~Vs)
[
~Vs
]S
=[
uS 0 0]t
yS : paralelo a yBzS : formando un triedro a derechas.
Las ecuaciones de fuerza linealizadas en ejes estabilidad son:
∆X −mgθ cos θs = m (u)
∆Y +mgφ cos θs = m (v + rus)
∆Z −mgθ sin θs = m (w − qus)
Notese el abuso de notacion realizado.
20 / 32
Ecuaciones GeneralesEcuaciones Linealizadas
Linealizacion de las ecuaciones del movimientoModelo lineal de fuerzas aerodinamicas y propulsivasAdimensionalizacion de las ecuaciones
Ecuaciones del estado de referencia
En las ecuaciones linealizadas aparecen las fuerzas y momentos de perturbacion, pero no seha mencionado que valor tienen que tener las fuerzas y momentos de referencia.En ejes estabilidad, para que las variables de estado de referencia cumplan las ecuaciones delmovimiento, las fuerzas y momentos de referencia tienen que cumplir:
−mg sin θs + Xs = 0
Ys = 0
mg cos θs + Zs =
Ls = 0
Ms = 0
Ns = 0
Linealizacion de los angulos de ataque y de resbalamiento:
V = us + O(u, v ,w) →tanα = w
u→ α ≈ w
us
sinβ = vV
→ β ≈ vus
21 / 32
Ecuaciones GeneralesEcuaciones Linealizadas
Linealizacion de las ecuaciones del movimientoModelo lineal de fuerzas aerodinamicas y propulsivasAdimensionalizacion de las ecuaciones
Linealizacion de las ecuaciones cinematicas lineales
Ecuaciones no lineales:
xcyczc
=
u cos θ cosψ + v (sin θ sinφ cosψ − sinψ cosφ) + w (sin θ cosφ cosψ + sinψ sinφ)u cos θ sinψ + v (sinψ sin θ sinφ+ cosψ cosφ) + w (sin θ cosφ sinψ − cosψ sinφ)
−u sin θ + v sinφ cos θ + w cosφ cos θ
Tomando como referencia un vuelo simetrico, rectilıneo y estacionario:
u = us + u(t) v = v(t) w = w(t)φ = φ(t) θ = θs + θ(t) ψ = ψ(t)
Linealizando las ecuaciones anteriores:
xc = ∆xc + (xc)s = us cos θs + u cos θs − usθ sin θs + w sin θs
yc = ∆yc + (yc)s = us cos θsψ + v
zc = ∆zc + (zc)s = −us sin θs − u sin θs − usθ cos θs + w cos θs
Por ultimo, las perturbaciones respecto de las velocidades de referencia son:
(xc)s = us cos θs ∆xc = u cos θs − usθ sin θs + w sin θs
(yc)s = 0 ∆yc = us cos θsψ + v
(zc)s = −us sin θs ∆zc = −u sin θs − usθ cos θs + w cos θs
22 / 32
Ecuaciones GeneralesEcuaciones Linealizadas
Linealizacion de las ecuaciones del movimientoModelo lineal de fuerzas aerodinamicas y propulsivasAdimensionalizacion de las ecuaciones
Modelo lineal de fuerzas aerodinamicas y propulsivas
Estrictamente, las fuerzas y momentos aerodinamicos y propulsivos son funcionales de lasvariables estados:
Por ejemplo, la sustentacion no depende solo de las variables de estado en cada instante,sino de toda la historia pasada, ya que los torbellinos generados en el pasado afectan alcampo de velocidades presente.
Si A es una fuerza o momento aerodinamico y ξ es una variable de estado, se puede considerarque:
A(t) = A(ξ(τ)) −∞ < τ ≤ t
Puesto que una funcion se puede reconstruir si se conocen sus infinitas derivadas en un punto,esto es equivalente a:
A(t) = A(ξ, ξ, ξ,...ξ , . . .)
Ante la dificultad de conocer con exactitud este modelo aerodinamico, en la practica se linealizala expresion anterior, considerando que unicamente seran relevantes los terminos hasta la primeraderivada:
A ≈ As + Aξξ + Aξξ Donde : Aξ =
∂A
∂ξ
)
s
, Aξ=∂A
∂ξ
)
s
23 / 32
Ecuaciones GeneralesEcuaciones Linealizadas
Linealizacion de las ecuaciones del movimientoModelo lineal de fuerzas aerodinamicas y propulsivasAdimensionalizacion de las ecuaciones
Modelo lineal de fuerzas aerodinamicas y propulsivas II
En general, se tendra:
A ≃ f (t, u, u, v , v ,w , w , p, p, q, q, r , r , δa, δa, δe , δe , δr , δr , δt , δt)
Linealizando:
∆A = Auu + Auu + . . .+ App + App + . . . + Aδaδa + Aδa δa + . . .
Los terminos Au, Au, . . . son conocidos como derivadas de estabilidadNotas:
La justificacion de la aproximacion realizada es que la experiencia demuestra que funciona enla mayorıa de los casos de interes (donde son de aplicacion las ecuaciones linealizadas).No obstante, existen algunas situaciones en las que hay que retener terminos hasta ξ, eincluso incluir terminos no lineales del tipo:
1
2Aξξξ
2, Aξ = f (ξ)
Como regla general, cuanto mas complejo sea el modelo, la identificacion del mismosera mucho mas complicada.Se necesita la ley de control del avion para cerrar el modelo aerodinamico.
Cuando se estudia el problema de mandos libres, en lugar de fijar los grados de libertad de lassenales de control se imponen las ecuaciones de equilibrio en la charnela.
24 / 32
Ecuaciones GeneralesEcuaciones Linealizadas
Linealizacion de las ecuaciones del movimientoModelo lineal de fuerzas aerodinamicas y propulsivasAdimensionalizacion de las ecuaciones
Simplificaciones en el modelo aerodinamico
Por simetrıa del avion y de las condiciones de referencia, las derivadas de estabilidad de Y , Ly N respecto de las variables longitudinales (u,w , q, δe ) son nulas.Por simetrıa del avion, las derivadas de estabilidad de X , Z y M respecto de las variableslaterales-direccionales (v , p, r , δa, δr ) son nulas:
X , Z y M son funciones pares de v , p, r , δa, δr .
Se desprecian todas las derivadas de estabilidad que involucran aceleraciones lineales yangulares, excepto:
Zw , Mw
Las siguientes derivadas se consideran despreciables:
Xq, Xδe , Xδe , Zδe , Yδa , Yδa , Yδr , Lδr , Nδa ,
Con esto, se considerara el siguiente modelo aerodinamico linealizado:
∆X = Xuu + Xww
∆Y = Yvv + Ypp + Yr r + Yδr δr
∆Z = Zuu + Zww + Zw w + Zqq + Zδeδe
∆L = Lvv + Lpp + Lr r + Lδaδa + Lδaδa + Lδr δr
∆M = Muu +Mww +Mw w +Mqq +Mδeδe +Mδeδe
∆N = Nvv + Npp + Nr r + Nδaδa + Nδr δr ++Nδrδr
25 / 32
Ecuaciones GeneralesEcuaciones Linealizadas
Linealizacion de las ecuaciones del movimientoModelo lineal de fuerzas aerodinamicas y propulsivasAdimensionalizacion de las ecuaciones
Ecuaciones desacopladas
Como consecuencia del modelo aerodinamico y propulsivo empleado, existe un desacople en lasecuaciones linealizadas del movimiento (ecuaciones 12) entre la dinamica longitudinal (u,w , q, θ)y la dinamica lateral-direccional (v , p, r , φ, ψ):
Ecuaciones longitudinales:
Xuu + Xww −mgθ cos θs = m (u)
Zuu + Zww + Zw w + Zqq + Zδeδe −mgθ sin θs = m (w − qus)
Muu +Mww +Mw w +Mqq +Mδeδe +Mδeδe = Iy q
θ = q
Ecuaciones laterales-direccionales:
Yvv + Ypp + Yr r + Yδr δr +mgφ cos θs = m (v + rus)
Lvv + Lpp + Lr r + Lδaδa + Lδaδa + Lδr δr = Ix p − Ixz r
Nvv + Npp + Nr r + Nδaδa + Nδr δr ++Nδr δr = Iz r − Ixz p
φ = p + r tan θs
ψ = r sec θs
Notese que la ultima ecuacion (ψ) esta desacoplada del resto.
26 / 32
Ecuaciones GeneralesEcuaciones Linealizadas
Linealizacion de las ecuaciones del movimientoModelo lineal de fuerzas aerodinamicas y propulsivasAdimensionalizacion de las ecuaciones
Ecuaciones desacopladas II
Escribiendo matricialmente las ecuaciones anteriores:
Ecuaciones longitudinales:
m 0 0 00 m − Zw 0 00 −Mw Iy 00 0 0 1
u
w
q
θ
=
Xu Xw 0 −mg cos θsZu Zw Zq +mus −mg sin θsMu Mw Mq 00 0 1 0
u
w
q
θ
+
0 0Zδe 0Mδe Mδe
0 0
[
δeδe
]
Ecuaciones laterales-direccionales:
m 0 0 00 Ix −Ixz 00 −Ixz Iz 00 0 0 1
v
p
r
φ
=
Yv Yp Yr −mus mg cos θsLv Lp Lr 0Nv Np Nr
0 1 tan θs 0
v
p
r
φ
+
0 0 Yδr 0Lδa L
δaLδr 0
0 Nδa Nδr Nδr0 0 0 0
δaδaδrδr
ψ = r sec θs
27 / 32
Ecuaciones GeneralesEcuaciones Linealizadas
Linealizacion de las ecuaciones del movimientoModelo lineal de fuerzas aerodinamicas y propulsivasAdimensionalizacion de las ecuaciones
Magnitudes de referencia y variables adimensionales del
problema longitudinal
Magnitudes caracterısticas del problema longitudinal:
Longitud: c2 Superficie: S Velocidad: us Masa: 1
2ρSc Tiempo: c2us
Presion: 12ρV
2 Fuerza: 12ρV
2S Momento: 12ρV
2Sc M. Inercia: ρS(
c2
)3
Variables adimensionales:
X CX = X12ρV 2S
Z CZ = X12ρV 2S
M Cm = X12ρV 2Sc
u u = uus
w w = uus
≡ α q q = qc2us
t t = t2usc
m µ = 2mρSc
Iy Iy =Iy
ρS( c2)
3
Estado de referencia adimensional:
Xs = mg sin θs CX |s =gc
u2sµ sin θs → CX |s = − CZ |s tan θs
Zs = −mg sin coss CZ |s = −gc
u2sµ cos θs
Ms = 0 Cm|s = 0
28 / 32
Ecuaciones GeneralesEcuaciones Linealizadas
Linealizacion de las ecuaciones del movimientoModelo lineal de fuerzas aerodinamicas y propulsivasAdimensionalizacion de las ecuaciones
Ecuaciones longitudinales adimensionales
Adimensionalizacion de las derivadas de estabilidad longitudinales
Xu = ρSusCXs+
1
2ρSusCXu
, Xw =1
2ρSusCXα
Zu = ρSusCZs+
1
2ρSusCZu
, Zw =1
2ρSusCZα
, Zw =1
4ρScCZ ˆα
Zq =1
4ρScusCZq
, Zδe =ρSu2s2
CZδe
Mu =1
2ρScusCmu
, Mw =1
2ρScusCmα , Mw =
1
4ρSc2Cmα
Mq =1
4ρSc2usCmq
, Mδe =ρScu2s
2Cmδe
, Mδe
=1
4ρSc2usCm ˆ
δe
Ecuaciones del movimiento adimensionales
2µdu
d t= (2CXs
+ CXu) u + CXα
α+ CZsθ
(
2µ− CZ ˆα
) dα
dt= (2CZs
+ CZu) u + CZα
α+(
2µ+ CZq
)
q − CXsθ + CZδe
δe
Iydq
d t− Cm ˆα
dα
dt= Cmu
u + Cmαα+ Cmqq + Cmδe
δe + Cm ˆδe
ˆδe
dθ
dt= q
29 / 32
Ecuaciones GeneralesEcuaciones Linealizadas
Linealizacion de las ecuaciones del movimientoModelo lineal de fuerzas aerodinamicas y propulsivasAdimensionalizacion de las ecuaciones
Magnitudes de referencia y variables adimensionales del
problema lateral-direccional
Magnitudes caracterısticas del problema lateral-direccional:
Longitud: b2 Superficie: S Velocidad: us Masa: 1
2ρSb Tiempo: b2us
Presion: 12ρV
2 Fuerza: 12ρV
2S Momento: 12ρV
2Sb M. Inercia: ρS(
b2
)3
Variables adimensionales:
Y CY = Y12ρV 2S
L Cl =L
12ρV 2Sb
N Cn = X12ρV 2Sb
v v = vus
≡ β p p = pb2us
r r = rb2us
t t = t2usb
m µ = 2mρSb
Iy Iy =Iy
ρS( b2)
3
Xs = mg sin θs CX |s =gb
u2sµ sin θs
Zs = −mg sin coss CZ |s = −gb
u2sµ cos θs
Ms = 0 Ls = 0 Ns = 0
30 / 32
Ecuaciones GeneralesEcuaciones Linealizadas
Linealizacion de las ecuaciones del movimientoModelo lineal de fuerzas aerodinamicas y propulsivasAdimensionalizacion de las ecuaciones
Ecuaciones laterales-direccionales adimensionales
Adimensionalizacion de las derivadas de estabilidad laterales-direccionales
Yv =1
2ρSusCYβ
, Yp =1
4ρSbusCYp
, Yr =1
4ρSbusCYr
, Yδr =1
2ρSu2sCYδr
Lv =1
2ρSbusClβ , Lp =
1
4ρSb2usClp , Lr =
1
4ρSb2usClr , Lδa =
1
2ρSu2s bClδa
Lδr =1
2ρSu2s bClδr
, Lδa
=1
4ρSusb
2Cl ˆδa
, Nv =1
2ρSbusCnβ , Np =
1
4ρSb2usCnp
Nr =1
4ρSb2usCnr , Nδa =
1
2ρSu2s bCnδa
, Nδr =1
2ρSu2s bCnδr
, Nδr=
1
4ρSusb
2Cn ˙δr
Ecuaciones del movimiento adimensionales
2µdβ
dt= CYβ
β + CYpp + (CYr
− 2µ) r − CZsφ+ CYδr
δr
Ixdp
d t− Ixz
dr
d t= Clββ + Clp p + Clr r + Clδa
δa + Cl ˆδa
ˆδa + Clδr
δr
Izdr
d t− Ixz
dp
d t= Cnββ + Cnp p + Cnr r + Cnδa
δa + Cnδrδr + Cn ˆ
δr
ˆδr
dφ
dt= p + r tan θs
dψ
dt= r sec θs
31 / 32
Ecuaciones GeneralesEcuaciones Linealizadas
Linealizacion de las ecuaciones del movimientoModelo lineal de fuerzas aerodinamicas y propulsivasAdimensionalizacion de las ecuaciones
Resumen
Se han formulado las ecuaciones del movimiento de un avion con 6GDL:
Problemas de simulacion
Estas ecuaciones son no lineales y no son adecuadas para estudiosde estabilidad (principal objetivo del curso)
Linealizacion de las ecuaciones entorno a un punto de operacion.
Para cerrar el problema, se necesita establecer un modelo de fuerzasy momentos.
Modelo aerodinamico lineal
En el modelo aerodinamico, aparecen derivadas de estabilidaddimensionales, las cuales son difıciles de estimar
Adimensionalizacion de las ecuaciones linealizadas
Con todo esto, se pueden seguir dos caminos:1 Estudiar como calcular las derivadas de estabilidad adimensionales2 Suponer conocidas las derivadas de estabilidad y pasar a estudios de
estabilidad y respuesta al mando
32 / 32