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Electrotecnia Tema 7: Transformadores

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TEMA 7

TRANSFORMADORES

VII.1 Transformador monofásico

VII.2 Transformador real I

VII.3 Transformador real II

VII.4 Transformador trifásico

VII.5 Estructura del sistema eléctrico

Cuestiones


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VII.1 TRANSFORMADOR MONOFÁSICO

Un transformador es una máquina eléctrica estática capaz de convertir una corriente alterna en otra corriente alterna de diferente tensión e intensidad. Un transformador está compuesto por un núcleo de hierro con dos arrollamientos o devanados separados y aislados entre sí, denominados primario y secundario.

Al conectar el devanado primario a una corriente alterna monofásica, se establece un flujo magnético alterno dentro del núcleo. Este flujo atraviesa el devanado secundario induciendo una fuerza electromotriz en el devanado secundario. A su vez, al circular corriente alterna en el secundario, se contrarresta el flujo magnético, induciendo sobre el primario una fuerza contraelectromotriz. Desde el punto de vista energético, un transformador convierte energía eléctrica en magnética en el primario, y en el secundario convierte energía magnética en eléctrica. El primario se comporta como un receptor y el secundario como un generador. Como el flujo circulando por el núcleo en único, las tensiones del primario y secundario (fuerza contraelectromotriz y electromotriz respectivamente) son proporcionales al número de vueltas da cada arrollamiento:

tNV

∆

∆⋅−=

φ11

tNV

∆

∆⋅−=

φ22 despejando obtenemos: m

N

N

V

V==

2

1

2

1

donde V1 y V2 son las tensiones en el primario y secundario y N1 y N2 son el número de vueltas en el primario y secundario. A la relación entre el número de vueltas en el primario y el secundario la llamamos relación de transformación, y la representamos con la letra m. Si el transformador fuese ideal y no tuviese pérdidas, la potencia eléctrica consumida en el primario sería igual a la generada en el secundario, y puesto que el flujo magnético y las corrientes están en fase ϕϕϕ == 21 (osea, que se mantiene el desfase):

ϕϕ coscos 221121 ⋅⋅=⋅⋅⇒= IVIVPP y por tanto: 1

2

2

1

2

1

I

Im

N

N

V

V===


3

De esta fórmula deducimos que si el transformador es reductor, es decir que reduce la tensión, la corriente aumenta, y si es elevador, la tensión aumenta y la corriente disminuye. Resumiendo, un transformador es una máquina que sirve para variar la tensión de una corriente alterna, variando también la intensidad, dejando la misma frecuencia y desfase. Hay que destacar que un transformador no sirve para corriente continua.

Ejercicio 1: Sea un transformador monofásico ideal, el bobinado primario tiene

35 espiras y el secundario 78 espiras. ¿Qué relación de transformación tiene

el transformador? ¿Es un trafo elevador o reductor? ¿Si le aplicamos 230V de

ca al primario, qué tensión aparece en el secundario? ¿Y si el secundario está

consumiendo 0,75A, que corriente circula por el primario? ¿Qué factor de

potencia tendrá el primario y si el secundario tiene un cosφ=0,8?

Un autotransformador es un transformador con una sola bobina intermedia, en el que el primario y el secundario tienen partes comunes. Al tener sólo una bobina son más baratos, ligeros y tienen mayor rendimiento. Sólo se utilizan cuando no hay mucha diferencia entre el primario y el secundario.

Existen los autotransformadores regulables, donde ajustando las espiras del secundario regulamos la relación de transformación y por tanto la tensión de salida.


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EJERCICIOS VII.1: Transformador monofásico

Alumno: Grupo:

1.- Un trasformador monofásico ideal convierte de 400V a 24V de corriente alterna. ¿Qué relación de transformación tiene el transformador? ¿Qué corriente habrá en el secundario si por el primario pasan 1,35A? 2.- Un transformador monofásico ideal tiene 2000 espiras en el arrollamiento primario y 50 espiras en el arrollamiento secundario. ¿Qué tensión aparece en el secundario si aplicamos una tensión de 15 KV en el primario? Determina si es un transformador reductor o elevador. 3.- Queremos transformar los 230V de una instalación moderna en 127V para un receptor antiguo, para ello utilizamos un transformador reductor doméstico. ¿Qué relación de transformación habremos de utilizar? ¿Qué corriente consumirá el primario del trafo si el receptor consume 2A? ¿Qué potencia consume el primario si el secundario trabaja con un FP=0,9? 4.- Calcula la lectura de los dos amperímetros:

5.- Un autotransformador reductor tiene un bobinado principal con 500 espiras al que la aplicamos 230V. ¿Cuántos arrollamientos utilizaremos para de dicho bobinado para obtener 55V en el secundario?


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VII.2 TRANSFORMADOR REAL I

Un transformador real se diferencia de un transformador ideal en que tiene unas pérdidas internas. Estas pérdidas hacen que se pierda tensión e intensidad según la carga que apliquemos al transformador. Sin embargo, a pesar de que externamente no se cumpla rigurosamente la relación de transformación para las tensiones e intensidades, sí que mantiene la relación de tensiones internas (fem y fcem). Puesto que las pérdidas son pequeñas, matemáticamente expresamos:

1

2

2

1

2

1

I

I

V

V

fem

fcemm ≈≈=

Además, un transformador real, como toda máquina real, está preparada para trabajar por debajo de unos valores máximos de potencia, tensión e intensidad, llamados valores nominales. Así, definimos la tensión nominal del primario y del secundario (V1N y V2N) como la tensión de trabajo que es capaz de soportar el aislamiento, y la intensidad

nominal de primario y del secundario (I1N y I2N) como la máxima corriente que puede circular por los respectivos bobinados sin sobrecalentarse. Asociado al primario tenemos la potencia nominal del transformador, que mide la máxima potencia que es capaz de transformar.

NNNNN IVIVS 2211 ⋅≈⋅=

Hay que destacar que la potencia nominal de un transformador se mide siempre en potencia aparente, puesto que no sabe qué transforma, si potencia activa o reactiva. Definimos el índice de carga (C) como es la relación entre la potencia de consumo y la nominal. Este número nos indica el grado de solicitación a que sometemos al transformador.

NNN I

I

I

I

S

SC

2

2

1

11 ≈==

Ejercicio 1: Un transformador monofásico tiene de valores nominales

6KV/690V/125KVA. Calcula las corrientes nominales del primario y secundario.

¿Con qué índice de carga trabaja el transformador si consume 60KW con

cosφ=0,8?


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Un transformador real tiene pérdidas de energía en forma de calor en la conversión de la corriente, por tanto la potencia absorbida o del primario no es la misma que la potencia transmitida o del secundario. Estas pérdidas internas se clasifican en: Pérdidas del hierro (PFe): Estas pérdidas son constantes e independientes de la carga aplicada. Para cuantificar estas pérdidas se realiza el “ensayo de vacío”, que consiste en medir cuánta potencia consume un transformador sin carga o en vacío al aplicarle la tensión nominal. Se llaman pérdidas de vacío (PFe=Po). Este ensayo nos sirve también para medir la relación de transformación. Las pérdidas de vacío se deben a: - Histéresis del hierro: Al aplicar un flujo magnético alterno al hierro, éste tiene que imanarse y desimanarse periódicamente (a la frecuencia de la red eléctrica), forzando a los átomos a reorientar su campo magnético continuamente. Esto hace que fricciones los átomos entre sí provocando un calentamiento en el núcleo de hierro por histéresis. - Corrientes de Foucault: Al variar el flujo magnético dentro del núcleo de hierro, se crea una fuerza electromotriz que provoca el desplazamiento de electrones dentro del hierro. Estas corrientes internas se denominan corrientes de Foucault, y provoca que el hierro se caliente por efecto Joule. Para limitar este efecto, en vez de fabricar los núcleos con hierro macizo, se fabrican apilando chapas de hierro intercaladas con un dieléctrico. Pérdidas del cobre (PCu): Para cuantificar estas pérdidas se realiza el “ensayo de cortocircuito”, que consiste en cortocircuitar el secundario del transformador y aplicarle progresivamente una tensión creciente hasta que en el secundario circule la corriente nominal, y entonces medimos la potencia consumida a la que llamamos pérdidas de cortocircuito (PCC), que son variables y dependen del índice de carga, por tanto

CCCu PCP ⋅= 2 . Las pérdidas en el cobre se deben a:

- Efecto Joule en los bobinados. - Flujos de dispersión: Debidos a la porción de flujo magnético que se escapa del hierro, y no fluye del primario al secundario. También medimos la tensión del primario a la que llamamos tensión absoluta de

cortocircuito (UCC) y tensión relativa de cortocircuito (ucc): N

CC

ccV

Uu

1

=

Por último, el rendimiento del transformador se obtiene como:

CCCuFeabsorbida

util

PCPP

P

PPP

P

P

P

P

P

⋅++=

++===

202

2

2

2

1

2η

Ejercicio 2: En el ensayo de vacío de un transformador monofásico de 5 KVA

obtenemos que reduce la tensión nominal de 400V a 237V y que consume una

potencia de 20W. En el ensayo de cortocircuito observamos que la tensión del

primario es de 16V y que consume una potencia de 430W. Obtén:

a) la relación de transformación, las pérdidas de vacío y de cortocircuito.

b) la tensión absoluta y relativa de cortocircuito.

c) la potencia de pérdidas si no le conectamos ninguna carga.

d) la potencia de pérdidas si le conectamos una carga de 2KW con cosφ=0,8.

e) el rendimiento del transformador en el caso c) y d).


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EJERCICIOS VII.2: Transformador real I

Alumno: Grupo:

1.- Un transformador de corriente nominal de 0,6A en el secundario, se le aplica una carga que consume 400 mA. ¿Con qué índice de carga está trabajado? 2.- ¿Cuánta potencia nominal debe tener un transformador para alimentar a un motor de 1,5KW/230V/50Hz/cos φ=0,8? 3.- Un transformador reductor de valores nominales 220V/125V/6KVA. Calcula las corrientes nominales del primario y secundario. ¿Qué corriente consume el primario y el secundario si trabaja con un índice de carga de 0,6? 4.- A un transformador de valores nominales 220V/660V/4KVA, conectamos el primario a una red de 220V/50Hz y el secundario a un motor de 2KW/660V/cosφ=0,78. Calcula la corriente que consume el motor, y la que circulará por el secundario y por el primario. ¿Con qué índice de carga está trabajando? 5.- En el ensayo de vacío de un transformador monofásico medimos 220V y 27V en cada bobinado consumiendo una potencia de 450 mW. En el ensayo de cortociruito medimos 23V, consumiendo una potencia de 3,7 W. Calcula: a) la relación de transformación. b) la tensión absoluta y relativa de cortocircuito, c) las pérdidas internas (cobre y hierro) si trabaja a plena carga. 6.- Un transformador monofásico de 6KV/230V/25KVA tiene unas pérdidas de P0=300W y PCC=1600W. Si trabaja a media carga con un factor de potencia 0,8 inductivo, ¿Cuánta potencia activa transforma? ¿Cuánta potencia pierde en el hierro y en el cobre? Calcula el rendimiento.


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VII.3 TRANSFORMADOR REAL II

Ya hemos visto que un transformador real difiere de uno ideal en sus pérdidas internas y en sus limitaciones de tensión y corriente. Analicemos ahora cómo representar de forma simplificada un transformador real. Las pérdidas del hierro son independientes de la carga aplicada, y por tanto de la intensidad de corriente consumida, y son siempre constantes. Así, estas pérdidas las representaremos mediante una resistencia en paralelo con el bobinado primario que llamaremos resistencia de vacío (R0). Las pérdidas del cobre sí que dependen de la carga aplicada, y por tanto de la intensidad en el secundario. Así, estas pérdidas las representaremos mediante una resistencia en serie con el secundario llamada resistencia de cortocircuito (RCC). El conjunto del transformador real quedaría como sigue, con un trafo ideal más las dos resistencias asociadas a sus pérdidas:

Asociado a la resistencia de vacío tenemos la intensidad de vacío (I0), que es la intensidad que consume el transformador sin carga, sólo de conectarlo a la red.

0

21

0R

VP = ; CCNCC RIP ⋅=

22 ; CCCu RIP ⋅=

22 ;

0

10

R

VI = ;

fem

fcemm =

Ejercicio 1: Tras medir en el ensayo de vacío de un transformador monofásico

sus pérdidas de vacío en 50W y la tensión del primario y secundario en 226V y

28,7V, obtén:

a) la resistencia de vacío.

b) la intensidad de vacío.

c) la relación de transformación.

d) la intensidad consumida por el transformador si I2 vale cero.


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Asociado a la resistencia de cortocircuito tenemos: - la intensidad de cortocircuito (ICC), es la máxima intensidad que puede aparecer al producirse un cortocircuito en el lado del secundario.

CC

N

CCu

II 2=

- la potencia de cortocircuito (SCC), es la máxima potencia que puede transmitir el transformador al producirse un cortocircuito en el lado del secundario.

NCC

CC

N

CC VIu

SS 2⋅==

Ejercicio 2: Un transformador monofásico de 50 KVA, 10000V/230V/50Hz, se

ensaya en cortocircuito conectando el devanado de alta tensión. Si las

indicaciones de los aparatos son 410V, 820W, 5A. Calcula:

a) la tensión absoluta y relativa de cortocircuito.

b) la resistencia de cortocircuito.

c) las pérdidas en el transformador trabajando a media carga.

d) la intensidad que circulará si se produce un cortocircuito entre los bornes

del secundario.

Ejercicio 3: Calcula la corriente de cortocircuito y la resistencia de

cortocircuito de un transformador monofásico de 250KVA a 20KV/400V con

tensión de cortocircuito del 6%.


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EJERCICIOS VII.3: Transformador real II

Alumno: Grupo:

1.- Estima las resistencias internas (de vacío y de cortocircuito) de un transformador monofásico de 5KVA/220V/24V si las pérdidas de vacío y de cortocircuito son respectivamente 70W y 680W. 2.- Calcula la intensidad que consumirá el secundario y el primario del transformador anterior si: a) no le conectamos ninguna carga al secundario. b) si le conectamos 12 pilotos de 60W cada uno. c) si le conectamos un cable directamente entre los dos bornes del secundario. 3.- Un transformador monofásico de 1500VA/400V/24V tiene una resistencia de cortocircuito de 0,02Ω. Calcula la intensidad de cortocircuito que aparece en el secundario. ¿Cuánto vale la tensión de cortocircuito de dicho transformador? 4.- ¿Cuál es la máxima potencia que se disipa si se produce un cortocircuito en un transformador de 2500V/220/125/ucc=4%? ¿Cuánta intensidad circulará por el secundario en dicho caso? 5.- Las resistencias internas de un transformador de 660V/230V/3200VA son R0=5KΩ y Rcc=0,12Ω. a) calcula la intensidad de vacío y de cortocircuito. b) calcula las pérdidas del hierro y del cobre trabajando a plena carga. c) calcula el rendimiento del transformador si I2=7A.


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VII.4 TRANSFORMADOR TRIFÁSICO

Cuando tenemos un sistema trifásico de tensiones, podemos convertirlo en otro sistema trifásico de diferente tensión mediante dos sistemas: - banco de 3 transformadores monofásicos: A pesar de su menor rendimiento, mayor volumen y mayor coste, presenta la ventaja de poder sustituirlo más fácilmente en caso de avería. En España su uso está muy limitado.

- un transformador trifásico: Está compuesto por un núcleo con tres columnas, donde arrollamos el primario y el secundario de cada fase en cada columna. Presenta la ventaja de su economía, menor volumen y mayor rendimiento.

Ambas sistemas pueden conectarse en estrella o triángulo tanto el primario (en mayúscula) como el secundario (en minúscula), quedando 4 configuraciones básicas: - Yy: Estrella-estrella - Yd: Estrella-triángulo - Dy: Triángulo-estrella - Dd: Triángulo-triángulo


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Las relaciones de transformación estudiadas en los transformadores monofásicos también son válidas para los valores de fase del transformador trifásico, es decir, que si fuese ideal serían:

1

2

2

1

2

1

F

F

F

F

I

Im

N

N

V

V===

Para obtener los valores de línea basta con aplicar las relaciones entre fase y línea según sea estrella o triángulo. Ejercicio 1: Un transformador trifásico ideal tiene una relación de

transformación de 45. Si la tensión e intensidad de línea del primario son

15KV y 22A, respectivamente, calcula las tensiones e intensidades de línea

del secundario si: a) están conectados en Yd, b) están conectados en Dd.

Como los transformadores reales monofásicos, los transformadores trifásicos están limitados en tensión e intensidad por sus valores nominales, y de ahí se derivan las potencias nominales. Basta con sustituir las ecuaciones vistas en los transformadores

monofásicos las tensiones e intensidades por las de línea, e incorporarles el factor 3 . Ejercicio 2: Un transformador real con conexión Dy tiene unos valores

nominales de potencia de 400KVA, de tensión del primario 20KV y del

secundario 400V. Calcula los valores de intensidad nominal de fase y de línea

del primario y del secundario.


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Transformadores monofásicos:

Transformadores trifásicos:


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EJERCICIOS VIII.4: Transformador trifásico Alumno: Grupo:

1.- Un transformador tiene una relación de transformación de las fases de 26 tiene una tensión de línea en el primario de 6KV y una corriente de línea en el primario de 2A. Calcula la tensión y corriente de línea en el secundario si: a) tiene una configuración Yy. b) tiene una configuración Dy. c) tiene una configuración Yd. d) tiene una configuración Dd. 2.- Un motor trifásico de 5KW/400V/50Hz/FP=0,8 lo conectamos al secundario de un transformador con relación de transformación 25 y configuración Yd. Calcula la corriente que circulará por el primario. 3.- Sea un transformador trifásico de 125KVA/6KV/230V/Dy, calcula la corriente y tensión de fase y de línea nominal en el primario y en el secundario. PRIMARIO SECUNDARIO

Fase Línea Fase Línea Tensión Corriente 4.- Para alimentar a tres receptores monofásicos de 4KW/FP=0,9/220V cada uno, desde una red trifásica de 15000V, utilizaremos un trafo trifásico de 45KVA/15KV/220V/Yy. Calcula las tensiones e intensidades de fase y de línea del primario y del secundario. Calcula el índice de carga con el que trabaja el transformador.


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VII.5 ESTRUCTURA DEL SISTEMA ELÉCRICO

El sistema eléctrico español está compuesto por cuatro grandes subsistemas: Generación, transporte, distribución y consumo. Cada subsistema tiene una estructura propia, y trabaja en un rango de tensiones determinadas. Clasificamos las tensiones en: - Baja tensión (BT): menos de 1000V. Las más frecuentes son 125V (en desuso), 230V y 400V. - Media tensión (MT): entre 1KV y 36KV. Lo más frecuente para la comunidad valenciana y otras zonas de Iberdrola es 13,2KV y 20KV, aunque todavía existen redes de 15KV y 6KV. - Alta tensión (AT): entre 36KV y 132KV. Donde la mayoría de las líneas están a 66KV y a 132KV. - Muy alta tensión (MAT): más de 132 KV. Generalmente 230KV y 400KV. Definimos los subsistemas: - El subsistema de generación comprende las centrales nucleares, eólicas, hidroeléctricas, térmicas y de ciclo combinado. Este subsistema trabaja en MT. - El subsistema de transporte comprende las líneas aéreas de AT, y sirve para transportar la energía eléctrica hasta las subestaciones transformadoras. Trabaja en AT y en MAT. - El subsistema de distribución comprende los elementos para llevar la energía eléctrica desde las subestaciones transformadoras hasta los usuarios finales, o puntos de consumo. La distribución se realiza mediante líneas aéreas y subterráneas de MT y BT, discurriendo por dominio público. - El último subsistema de consumo comprende los elementos a partir de la acometida. Se subdividen en instalaciones de enlace (desde la acometida hasta la propiedad de cada usuario), y la de interior (en el interior de la propiedad del usuario). Trabaja en BT. Para conectar cada uno de los subsistemas es necesario el uso de los transformadores, que son unas máquinas eléctricas de alto rendimiento que transforman la tensión eléctrica.

El objetivo de aumentar la tensión durante el transporte es minimizar las pérdidas por efecto Joule durante el transporte.


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Las pérdidas por efecto Joule en cada conductor se cuantifican como RIP ⋅= 2 ,

donde la resistencia del conductor vimos que eraS

lR ⋅= ρ . Si la línea es monofásica, hay

dos conductores generando pérdidas (fase y neutro), pero si la línea es trifásica, son tres los conductores que generan pérdidas (3 fases). En ambos casos las pérdidas son

independientes de la tensión. Sin embargo, la potencia transportada por una línea sí que depende de la tensión. Esto significa que para transportar una potencia dada, a mayor tensión, menor corriente circulará por el conductor, y por tanto, menores pérdidas por efecto Joule. El rendimiento máximo de una línea se obtendrá cuando la potencia transportada sea máxima, es decir, con factor de potencia unitario, para los cual: SP = , quedando,

datransporta

Perdidasdatransporta

P

PP −=η

Potencia de pérdidas Potencia transportada Monofásico

SlIPJOULE ⋅⋅⋅= ρ22 IVSP ⋅=≈

Trifásico S

lIPJOULE ⋅⋅⋅= ρ23 IVSP ⋅⋅=≈ 3

Ejercicio: Un conductor de aluminio de 95 mm2 de sección es capaz de

soportar una corriente de 260 A. ¿Qué potencia máxima puede transportar si

la línea es monofásica de BT(400V)? ¿Y si fuera trifásica de MT (20KV)?

Ejercicio: Una línea trifásica con conductores de Al de 150 mm2 de sección y

de 2 km de longitud transporta una corriente de 330A. Calcula las pérdidas

que se producen por calentamiento. Calcula la potencia transportada si la

línea es de 20KV y si fuera de 400V. Calcula el rendimiento de la línea para

cada tensión.


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EJERCICIOS VII.5: Estructura del sistema eléctrico

Alumno: Grupo:

1.- La corriente que circula por una línea trifásica de MT(6KV) de 8 Km de cobre de 95mm2 de sección es de 160A. Calcula la potencia aparente transportada por la línea. ¿Qué potencia se pierde en forma de calor a lo largo de la línea? ¿Qué porcentaje de la energía se convierte en forma de calor y qué porcentaje llega al final de la línea?

2.- Una línea trifásica de cobre de 200m de longitud y 35mm2 de sección alimenta a una industria que consume 25KW a 400V/50Hz con cosφ=0,9. ¿Cuánta potencia se pierde en forma de calor? Calcula el porcentaje de energía que se pierde. 3.- La industria del ejercicio anterior ha de ser alimentada desde una red que se encuentra a 5 km de distancia. Calcula el porcentaje de energía se pierde si: a) mantenemos la tensión de la línea en 400V. b) transformamos la tensión a 6KV. 4.- Una línea trifásica de Al de 150mm2 y 15KV tiene que abastecer a un polígono industrial con 12 transformadores de 400KVA cada uno. ¿Qué pérdida de potencia ocurrirá en el transporte si la línea tiene una longitud de 25Km? ¿Qué rendimiento tiene la línea estimando el factor de potencia en 1? 5.- ¿Qué corriente circulará por cada tramo de la línea si la corriente total consumida en el circuito de BT es de 10KA?


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CUESTIONES TEMA 7: MÁQUINAS DE CORRIENTE ALTERNA Haz una redacción de al menos 100 palabras con cada uno de los siguientes temas: 1.- El transformador: finalidad, principio de funcionamiento, elementos que lo componen, relación de transformación. 2.- Ensayos y perdidas internas de un transformador. Resistencias internas. 3.- Características de un transformador real: potencia nominal, tensión nominal, intensidad nominal, tensión de cortocircuito, potencia de cortocircuito,… 4.- Transformadores trifásicos: constitución, características, acoplamientos, aplicaciones,…

5.- El sistema eléctrico español: estructura y subsistemas, clasificación de tensiones, pérdidas de energía.


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FORMULARIO TEMA 7 MÁQUINAS DE CORRIENTE ALTERNA

Transformador monofásico ideal:

1

2

2

1

2

1

I

Im

N

N

V

V=== ϕϕ coscos 2211 ⋅⋅=⋅⋅= IVIVP

Transformador real:

NNNNN IVIVS 2211 ⋅≈⋅= NNN I

I

I

I

S

SC

2

2

1

11 ≈==

CCCuFeabsorvida

util

PCPP

P

PPP

P

P

P

P

P

⋅++=

++===

02

2

2

2

1

2η

0

10

R

VI = 0

20

0

21

0 RIR

VP ⋅==

CCCu PCP ⋅= 2 CCCu RIP ⋅=

22 CCNCC RIP ⋅=

22

CC

N

CCu

II 2= NCC

CC

N

CC VIu

SS 2⋅==

N

CC

ccV

Uu

1

=

Transformadores trifásicos ideal:

1

2

2

1

2

1

F

F

F

F

I

Im

N

N

V

V=== ϕϕ cos3cos3 2211 ⋅⋅⋅=⋅⋅⋅= IVIVP

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