TEMA 7 : SISTEMET E BARAZIMEVE DHE JOBARAZIMEVE...

TEMA 7 : SISTEMET E BARAZIMEVE DHE JOBARAZIMEVE LINEARE

Njësia 1: SISTEMI I DY BARAZIMEVE LINEARE ME DY TË PANJOHURA

Faqe e librit 164-166

Përkufizim: Çdo barazim me dy të panjohura 𝑥 𝑑ℎ𝑒 𝑦 , i cili mund të

transformohet në formën 𝑎𝑥 + 𝑏𝑦 = 𝑐, 𝑘𝑢 𝑎, 𝑏, 𝑐 ∈ ℝ 𝑑ℎ𝑒 𝑎 ≠ 0 𝑑ℎ𝑒 𝑏 ≠ 0

quhet barazim linearë me dy të panjohura.

Secila dyshe e renditur e numrave (𝑥0, 𝑦0), për të cilën barazimi 𝑎𝑥 + 𝑏𝑦 = 𝑐, bëhet gjykim i vërtetë 𝑎𝑥0 + 𝑏𝑦0 = 𝑐, quhet

zgjidhje e barazimit.

Shumë detyra në algjebër, gjeometri dhe në praktikë kërkojnë zgjidhjen e

përbashkët të disa barazimeve të cilët i përmbajnë të njejtat ndryshore.

Konjuksioni i dy barazimeve me dy të panjohura quhet system i dy

barazimeve me dy të panjohura të cilin e shënojmë: 𝐹(𝑥, 𝑦 ) = 0 ∧ 𝐺(𝑥, 𝑦) = 0 𝑜𝑠𝑒 {𝐹(𝑥, 𝑦 ) = 0𝐺(𝑥, 𝑦) = 0

Disjunksioni i dy barazimeve me dy të panjohura quhet bashkim i

barazimeve me dy të panjohura të cilin e shënojmë: 𝐹(𝑥, 𝑦 ) = 0 ∨ 𝐺(𝑥, 𝑦) = 0 𝑜𝑠𝑒 [𝐹(𝑥, 𝑦 ) = 0𝐺(𝑥, 𝑦) = 0

Sh1: Shuma e dy numrave është 5, kurse ndryshimi i tyre 1. Cilët janë ato numra?

Zgjidhje:

Nëse 𝑥 𝑑ℎ𝑒 𝑦 janë numrat e kërkuar atëherë konjuksioni:

{𝑥 + 𝑦 = 5𝑥 − 𝑦 = 1 ⇔ { 𝑥 = 5 − 𝑦5 − 𝑦 − 𝑦 = 1 ⇔ { 𝑥 = 5 − 𝑦−2𝑦 = −4 /: (−2) ⇔ {𝑥 = 3𝑦 = 2

d.m.th. dyshja (3, 2) është zgjidhja e barazimit.

Sh2: Zgjidhe barazimin (2𝑥 − 1)(𝑥 + 2) = 0. Zgjidhje:

Shprehja (2𝑥 − 1)(𝑥 + 2) do të jetë zero, nëse plotësohet disjunksioni 2𝑥 − 1 = 0 ⋁ 𝑥 + 2 = 0, përkatësisht

[2𝑥 − 1 = 0𝑥 + 2 = 0 ⇒ [2𝑥 = 1𝑥 = −2 ⇒ [ 𝑥 = 12𝑥 = −2 d.m.th. 𝑥 = 12 ⋁ 𝑥 = −2. Secila dyshe e renditur numrash realë (𝑥0, 𝑦0) për të cilët konjuksioni

është gjykim i saktë përkatësisht për të cilat të dyja barazimet bëhen

gjykime të vërteta paraqet zgjidhje të sistemit të barazimeve.

Sh3: Cila nga dyshet e renditura (0, −1); (1, 2); (−2, −1); (−1, −1) është

zgjidhje e sistemit të barazimeve { 𝑥2 − 2𝑦 = 62𝑥 + 𝑦 = −5 ?

Zgjidhje:

Provojmë secilën dyshe a është zgjidhje e sistemit të barazimeve:

-Për dyshen (0, −1) kemi { 𝑥2 − 2𝑦 = 62𝑥 + 𝑦 = −5 ⇒ {02 − 2 ∙ (−1) = 62 ∙ 0 − 1 = −5 ⇒{ 2 = 6−1 = −5 d.m.th. dyshja (0, −1) nuk është zgjidhje e barazimit.

-Për dyshen (1, 2) kemi { 𝑥2 − 2𝑦 = 62𝑥 + 𝑦 = −5 ⇒ { 12 − 2 ∙ 2 = 62 ∙ 1 + 2 = −5 ⇒ {−3 = 64 = −5

d.m.th. dyshja (1, 2) nuk është zgjidhje e barazimit.

-Për dyshen (−2, −1) kemi { 𝑥2 − 2𝑦 = 62𝑥 + 𝑦 = −5 ⇒ {(−2)2 − 2 ∙ (−1) = 62 ∙ (−2) − 1 = −5 ⇒{ 6 = 6−5 = −5 d.m.th. dyshja (−𝟐, −𝟏) është zgjidhje e barazimit.

-Për dyshen (−1, −1) kemi { 𝑥2 − 2𝑦 = 62𝑥 + 𝑦 = −5 ⇒ {(−1)2 − 2 ∙ (−1) = 62 ∙ (−1) − 1 = −5 ⇒{ 3 = 6−3 = −5

d.m.th. dyshja (−1, −1) nuk është zgjidhje e barazimit.

Nëse të dyja barazimet e sistemit janë lineare me dy të panjohura,

atëherë ai sistem ende quhet system linearë me dy të panjohura.

Secili sistem linearë me dy të panjohura mund të sillet në formën e

përgjithëshme: {𝑎1𝑥 + 𝑏1𝑦 = 𝑐1𝑎2𝑥 + 𝑏2𝑦 = 𝑐2

Ku 𝑥 𝑑ℎ𝑒 𝑦 janë të panjohura, kurse 𝑎1, 𝑏1, 𝑐1, 𝑎2, 𝑏2, 𝑐2 janë cilat do

numra realë ose shprehje të cilat nuk varen nga ndryshoret.

Numrat 𝑎1, 𝑏1𝑎2, 𝑏2 quhen koeficient para të panjohurave, kurse 𝑐1 𝑑ℎ𝑒 𝑐2 quhen terma të lirë të sistemit.

Sh4: Sistemin {2𝑥 − 𝑥−𝑦3 = 2𝑥−12 + 3𝑦 = 3 ktheni në formë të përgjithëshme.

Zgjidhje:

Nëse secilën nga barazimet e sistemit e sjellim në formën 𝑎𝑥 + 𝑏𝑦 = 𝑐,

përkatësisht të parën e shumëzojmë me 3, kurse të dytën me 2, i fitojmë

barazimet:

{2𝑥 − 𝑥−𝑦3 = 2 /∙ 3𝑥−12 + 3𝑦 = 3 /∙ 2 ⇒ {6𝑥 − 𝑥 + 𝑦 = 6𝑥 − 1 + 6𝑦 = 6 ⇒ {5𝑥 + 𝑦 = 6 𝑥 + 6𝑦 = 7 pra fitojmë sistemin : {5𝑥 + 𝑦 = 6 𝑥 + 6𝑦 = 7

Detyrë për nxënësit: fq. 166 Detyra 2) dhe 3).

Profesor i lëndës së Matematikës:

Florime Hamidi Muharemi


Njësia 2: ZGJIDHJA E SISTEMIT TË DY BARAZIMEVE LINEARE ME DY TË

PANJOHURA


Dy sisteme barazimesh janë ekuivalente në fushën e përkufizimit 𝐷,nëse ato

kanë të njejtat bashkësi zgjidhjesh.

Transformimet të cilat na sjellin në ekuivalencën e sistemeve të barazimeve i

kryejmë duke u bazuar në teoremat për ekuivalencë të sistemeve të

barazimeve (i marrim pa vërtetim ).

Teorema 1: Nëse cilido barazim i sistemit të dhënë zëvendësohet me barazim

ekuivalent me të, fitohet sitem ekuivalent me sistemin e dhënë.

Teorema 2: Sistemi i barazimeve { 𝑦 = 𝑓(𝑥)𝑔(𝑥, 𝑦) = 0 është ekuivalent me sistemin { 𝑦 = 𝑓(𝑥)𝑔(𝑥, 𝑓(𝑥)) = 0

Zgjidhja e sistemit të barazimeve me dy të panjohura duke e zbatuar

Teoremën 2 quhet metoda e zëvendësimit.

Sh1: Zgjidhe sistemin e barazimeve { 3𝑥 − 𝑦 = 2𝑥 − 2𝑦 = −1me metodën e zëvendësimit.

Zgjidhje:

Duke i përdorur teoremat për ekuivalencë kemi:

{ 3𝑥 − 𝑦 = 2𝑥 − 2𝑦 = −1 ⇔ {−𝑦 = 2 − 3𝑥 /⋅ (−1)𝑥 − 2𝑦 = −1 ⇔ { 𝑦 = 3𝑥 − 2𝑥 − 2𝑦 = −1 ⇔ ⇔ { 𝑦 = 3𝑥 − 2𝑥 − 2(3𝑥 − 2) = −1 ⇔ { 𝑦 = 3𝑥 − 2𝑥 − 6𝑥 + 4 = −1 ⇔ { 𝑦 = 3𝑥 − 2−5𝑥 = −5 /: (−5) ⇔

⇔ {𝑦 = 3 ⋅ 1 − 2𝑥 = 1 ⇔ {𝑦 = 1𝑥 = 1

Sipas kësaj zgjidhja e sistemit është dyshja (1, 1).

Sh2: Me metodën e zëvendësimit zgjidhni sistemin {3𝑥 − 𝑦 = −4−2𝑥 + 𝑦 = 3.

Zgjidhje:

{3𝑥 − 𝑦 = −4−2𝑥 + 𝑦 = 3 ⇔ { 𝑦 = 3𝑥 + 4−2𝑥 + 𝑦 = 3 ⇔ { 𝑦 = 3𝑥 + 4−2𝑥 + 3𝑥 + 4 = 3 ⇔ {𝑦 = 3 ⋅ (−1) + 4𝑥 = −1

⇔ { 𝑦 = 1𝑥 = −1

Pra, zgjidhja e sistemit është dyshja (−1,1). Teorema 3: Sistemi i barazimeve {𝑓(𝑥, 𝑦) = 0𝑔(𝑥, 𝑦) = 0 është ekuivalent me sistemin { 𝑓(𝑥, 𝑦) = 0𝑔(𝑥, 𝑦) + 𝑓(𝑥, 𝑦) = 0

Zbatimi i kësaj teoreme na mundëson që barazimi 𝑔(𝑥, 𝑦) + 𝑓(𝑥, 𝑦) = 0 të

kaloje në barazim me një të panjohur. Ajo arrihet me transformim të njërit

barazim ose të dyve ashtu që para të njejtës ndryshore të bëhen

koeficientët me numra të kundërt. Tani duke i mbledhur anët përkatëse të

barazimeve të sistemit ajo e panjohur do të eliminohet.

Zgjidhja e sistemit të barazimeve me këtë mënyrë quhet metoda e

koeficientëve të kundërt.

Sh3: Zgjidhni sistemin {3𝑥 − 2𝑦 = 12𝑥 + 𝑦 = 3 me mëtodën e koeficientëve të kundërt.

Zgjidhje:

Barazimin e dytë e shumëzojmë me 2, që koeficientët pranë ndryshores 𝑦 të jenë

të kundërt.

{ 3𝑥 − 2𝑦 = 12𝑥 + 𝑦 = 3 /⋅ 2 ⇔ {3𝑥 − 2𝑦 = 14𝑥 + 2𝑦 = 6 ⇔ { 3𝑥 − 2𝑦 = 14𝑥 + 2𝑦 + 3𝑥 − 2𝑦 = 6 + 1 ⇔

⇔ {3𝑥 − 2𝑦 = 17𝑥 = 7 ⇔ {3 ⋅ 1 − 2𝑦 = 1𝑥 = 1 ⇔ {−2𝑦 = 1 − 3𝑥 = 1 = {𝑦 = 1𝑥 = 1

Pra, zgjidhja e sistemit të barazimeve është dyshja (1,1). Sh4: Zgjidhni sistemin e barazimeve {(𝑥 − 1)2 − (𝑦 + 3)2 = (𝑥 + 1)2 − 𝑦2𝑥+22 − 𝑦−14 = 1 .

Zgjidhje:

{(𝑥 − 1)2 − (𝑦 + 3)2 = (𝑥 + 1)2 − 𝑦2𝑥+22 − 𝑦−14 = 1 /⋅ 4 ⇔

⇔ {(𝑥 − 1)2 − (𝑦 + 3)2 = (𝑥 + 1)2 − 𝑦22(𝑥 + 2) − (𝑦 − 1) = 4 ⇔

⇔ {𝑥2 − 2𝑥 + 1 − 𝑦2 − 6𝑦 − 9 = 𝑥2 + 2𝑥 + 1 − 𝑦22𝑥 + 4 − 𝑦 + 1 = 4 ⇔ { −4𝑥 − 6𝑦 = 92𝑥 − 𝑦 = −1 /⋅ 2 ⇔

⇔ {−4𝑥 − 6𝑦 = 94𝑥 − 2𝑦 = −2 ⇔ { −4𝑥 − 6𝑦 = 94𝑥 − 2𝑦 − 4𝑥 − 6𝑦 = −2 + 9 ⇔ {−4𝑥 − 6𝑦 = 9−8𝑦 = 7 ⇔

⇔ {−4𝑥 − 6 (− 78) = 9𝑦 = − 78 ⇔ {−4𝑥 + 428 = 9𝑦 = − 78 ⇔ {−4𝑥 = 9 − 428𝑦 = − 78 ⇔ {−4𝑥 = 308𝑦 = − 78 ⇔

⇔ {𝑥 = − 30:232:2𝑦 = − 78 ⇔ {𝑥 = − 1516𝑦 = − 78

Zgjidhje është dyshja (− 1516 , − 78).

Detyrë për nxënësit: fq. 169 Detyra 1) dhe 3).



DETYRA PËR USHTRIME 3

1. Të provohet nëse dyshja e renditur është zgjidhje e sistemit:

a) (1, 2) 𝑒 {2𝑥 + 3𝑦 = 8𝑥 − 5𝑦 = −9 ; b) (−1, 3) 𝑒 {7𝑥 − 2𝑦 = −13−2𝑥 − 𝑦 = −5 .

2. Shkruani në formën e përgjithëshme sistemin e barazimeve:

a) {𝑥−𝑦2 + 𝑦−33 = 𝑥 − 12𝑥 − 3𝑦 = 1 ; b) {𝑥+13 − 2𝑦 = 1𝑥 − 2𝑦 = 𝑥2 .

3. Me metodën e zëvendësimit të zgjidhen sistemet:

a) {3𝑥 + 2𝑦 = −46𝑥 − 𝑦 = 2 ; 𝑏) { 5𝑥 + 𝑦 = −33𝑥 − 2𝑦 = −7 ; 𝑐) {5𝑥 + 3𝑦 = 42𝑥 − 𝑦 = −5. 4. Me metodën e koeficientëve të kundërt të zgjidhen sistemet:

a) { 3𝑥 − 𝑦 = 7𝑥 + 4𝑦 = −2 ; 𝑏) { 5𝑥 + 𝑦 = −42𝑥 − 3𝑦 = −5 ; 𝑐) { 2𝑥 + 𝑦 = 35𝑥 − 2𝑦 = −24.




Njësia 3: ZGJIDHJA GRAFIKE E SISTEMIT LINEAR ME DY TË PANJOHURA


Metoda për zgjidhjen grafike të sistemit të dy barazimeve lineare me dy të

panjohura {𝑓(𝑥, 𝑦) = 0𝑔(𝑥, 𝑦) = 0 bazohet në:

1. Vizatohen në një system koordinativ 𝑥𝑂𝑦 grafikët e të dy

barazimeve lineare;

2. Caktohen koordinatat e pikëprerjes (nëse ekziston).

Sh1: Zgjidhni grafikisht sistemin e barazimeve {2𝑥 + 𝑦 = 33𝑥 − 𝑦 = 2 .

Zgjidhje:

I vizatojmë grafikët e funksioneve lineare 𝑦 = −2𝑥 + 3 , 𝑦 = 3𝑥 − 2 në

një sistem koordinativ.

x -1 0 1

y 5 3 1

Y

3 𝑦 = 3𝑥 − 2

2

1 A

-2 -1 0 1 2

-1

-2 𝑦 = −2𝑥 + 3

Nga gjeometria e kemi të njohur se dy drejtëza të një rrafshi mund të kenë

këto pozita reciproke:

a) Të priten, d.m.th. të kenë vetëm një pikë të përbashkët;

x -1 0 1

y -5 -2 1

b) Të jenë paralele, d.m.th. të mos kenë asnjë pikë të përbashkët;

c) Të puthiten, d.m.th. të i kenë të gjitha pikat të përbashkëta.

Përkatësisht nga pozita reciproke që mund të kenë dy drejtëza të një

rrafshi, zgjidhjet e sistemit mund të jenë:

a) Një zgjidhje e vetme;

b) Të mos ketë zgjidhje;

c) Të ketë numër të pafundëm zgjidhjesh.

Sh2: Grafikisht zgjidhi sistemet e barazimeve:

a) { 𝑥 + 𝑦 = 3𝑥 + 2𝑦 = 5; b) {2𝑥 + 𝑦 = −14𝑥 + 2𝑦 = 3 ; c) { 𝑥 + 2𝑦 = 23𝑥 + 6𝑦 = 6.

Zgjidhje:

a) 𝑦 = −𝑥 + 3; 𝑦 = − 12 𝑥 + 52

𝑦 = −𝑥 + 3 y

3 𝑦 = − 12 𝑥 + 52 2 𝐴(1,2)

1

-2 -1 0 1 2 x

-1

-2 Sistemi ka një zgjidhje (1,2);

b) 𝑦 = −2𝑥 − 1; 𝑦 = −2𝑥 + 32

x -1 0 1

y 4 3 2

x -1 1 3

y 3 2 1

x -1 0 1

y 1 -1 -3

x 0 14

y 1 12 1

y

3

2

𝑦 = −2𝑥 − 1 1

-2 -1 0 1 2 x

-1

-2

𝑦 = −2𝑥 + 32 Sistemi nuk ka zgjidhje

-3 (drejtëzat janë paralele)

c) Të dy barazimet janë të barabartë 𝑦 = − 12 𝑥 + 1

y

3

2

1

-2 -1 0 1 2 x

-1 𝑦 = − 12 𝑥 + 1

-2

Sistemi ka pafund zgjidhje (drejtëzat puthiten). Zgjidhje të sistemit në këtë

rast janë të gjitha pikat e drejtëzës.

Detyrë për nxënësit: fq. 172 Detyra 1) .



x 0 2

y 1 0


Njësia 4: DETERMINANTAT E RENDIT TË DYTË. RREGULLAT E KRAMERIT


Skema katrore |𝑎 𝑏𝑐 𝑑| quhet determinant e rendit të dytë, kurse shprehja 𝑎𝑑 − 𝑏𝑐 vlera e saj, d.m.th. |𝑎 𝑏𝑐 𝑑| ≝ 𝑎 ∙ 𝑑 − 𝑏 ∙ 𝑐

Ku 𝑎, 𝑏, 𝑐 𝑑 janë numra realë ose shprehje.

Numrat 𝑎, 𝑏, 𝑐 𝑑 quhen elemente të determinantës, ato janë renditur në

dy rreshta ose kolona.

Sh1: Caktoni vlerën e determinantës:

a) |4 32 1| ; b) |−2 31 0|. Zgjidhje:

a) |4 32 1| = 4 ∙ 1 − 3 ∙ 2 = 4 − 6 = −2; b) |−2 31 0| = (−2) ∙ 0 − 3 ∙ 1 = 0 − 3 = −3. Vetitë e determinantës:

1. Determinanta shumëzohet me numër ashtu që shumëzohet një

rresht ose një kolonë, d.m.th. 𝑘 ∙ |𝑎 𝑏𝑐 𝑑| = |𝑘𝑎 𝑘𝑏𝑐 𝑑 |. Për shembull:

3 ∙ |2 13 4| = |6 33 4| ose 2 ∙ |2 33 5| = |4 36 5|.

2. Nëse të dy rreshtat ose të dy kolonat i ndërrojnë vendet, atëherë

determinanta merr vlerë të kundërt, d.m.th. |𝑎 𝑏𝑐 𝑑| = − |𝑐 𝑑𝑎 𝑏|, |𝑎 𝑏𝑐 𝑑| = − |𝑏 𝑎𝑑 𝑐|.

Për shembull:

|3 −12 5 | = 15 + 2 = 17 ose |−1 35 2 = −2 − 15 = −17|. Sh2: Të zgjidhet sistemi: {𝑎1𝑥 + 𝑏1𝑦 = 𝑐1𝑎2𝑥 + 𝑏2𝑦 = 𝑐2.

Zgjidhje:

Sisitemin do ta zgjidhim me koeficient të kundërt:

{ 𝑎1𝑥 + 𝑏1𝑦 = 𝑐1 /∙ 𝑏2𝑎2𝑥 + 𝑏2𝑦 = 𝑐2 /∙ (−𝑏1) ⇔ { 𝑎1𝑏2𝑥 + 𝑏1𝑏2𝑦 = 𝑐1𝑏2−𝑎2𝑏1𝑥 − 𝑏1𝑏2𝑦 = −𝑐2𝑏1 ⇔

⇔ { 𝑎1𝑥 + 𝑏1𝑦 = 𝑐1 (𝑎1𝑏2 − 𝑎2𝑏1)𝑥 = 𝑐1𝑏2 − 𝑐2𝑏1. Nëse 𝑥 = 𝑐1𝑏2−𝑐2𝑏1𝑎1𝑏2−𝑎2𝑏1 zëvendësojmë te barazimi 𝑎1𝑥 + 𝑏1𝑦 = 𝑐1, pasi të

rregullohet do të fitojmë: { (𝑎1𝑏2 − 𝑎2𝑏1)𝑦 = 𝑎1𝑐2 − 𝑎2𝑐1(𝑎1𝑏2 − 𝑎2𝑏1)𝑥 = 𝑐1𝑏2 − 𝑐2𝑏1 . Vëreni se shprehjet në sistemin e fundit janë vlera të determinantës të rendit të

dytë, të cilat do t’i shënojmë me:

∆= |𝑎1 𝑏1𝑎2 𝑏2| ; ∆𝑥 = 𝑐1𝑏2 − 𝑐2𝑏1 = |𝑐1 𝑏1𝑐2 𝑏2| ; ∆𝑦 = 𝑎1𝑐2 − 𝑎2𝑐1 = |𝑎1 𝑐1𝑎2 𝑐2|. Determinanta ∆ quhet determinant e sistemit.

Sistemi ka zgjidhje të vetme, atëherë dhe vetem atëherë nëse determinanta e

sistemit është e ndryshme prej zeros, d.m.th. ∆= 𝑎1𝑏2 − 𝑎2𝑏1 ≠ 0. Zgjidhjet e sistemit {𝑎1𝑥 + 𝑏1𝑦 = 𝑐1𝑎2𝑥 + 𝑏2𝑦 = 𝑐2 jepen me formulat 𝑥 = ∆𝑥∆ dhe 𝑦 = ∆𝑦𝑦 ∆≠ 0 të cilat quhen rregullat e Kramerit.

Sh3: Zgjidhni sistemin e barazimeve {𝑥 + 2𝑦 = 43𝑥 − 𝑦 = 5 duke zbatuar rregullat e

Kramerit.

Zgjidhje:

Determinantat janë: ∆= |1 23 −1| = −1 − 6 = −7; ∆𝑥 = |4 25 −1| = −4 − 10 = −14;

∆𝑦 = |1 43 5| = 5 − 12 = −7.

Zgjidhje e sistemit është:

𝑥 = ∆𝑥∆ = −14−7 = 2 dhe 𝑦 = ∆𝑦𝑦 = −7−7 = 1, d.m.th dyshja (2, 1).

Në varësi nga ajo se a është determinanta e sistemit i ndryshëm nga zero ose

zero, kemi:

1. Nëse ∆≠ 0, ose ∆= 𝑎1𝑏2 − 𝑎2𝑏1 ≠ 0 d.m.th. 𝑎1: 𝑎2 ≠ 𝑏1: 𝑏2 sistemi ka

zgjidhje të vetme.

2. Nëse ∆= 0 dhe sëpaku njëra nga determinantat ∆𝑥 𝑜𝑠𝑒 ∆𝑦 nuk është e

barabartë me zero atëherë sistemi nuk ka zgjidhje, d.m.th. është i

pamundëshëm ose apsurd.

Nga ∆= 𝑎1𝑏2 − 𝑎2𝑏1 = 0 dhe le të jetë ∆𝑥 = 𝑐1𝑏2 − 𝑐2𝑏1 ≠ 0 rrjedh se 𝑎1: 𝑎2 = 𝑏1: 𝑏2 ≠ 𝑐1𝑐2. 3. Nëse të tre determinantat janë zero, d.m.th ∆= ∆𝑥 = ∆𝑦 = 0, atëherë

sistemi ka zgjidhje të pafundme. Në këtë rast sistemi është i papërcaktuar.

Nga kushti rrjedh se: 𝑎1: 𝑎2 = 𝑏1: 𝑏2 = 𝑐1𝑐2. Sh4: Pa e zgjidhur sistemin e barazimeve (duke i shfrytëzuar koeficientët) tregoni

cilin nga kushtet e mësipërme e plotëson sistemi i barazimeve:

a) { 2𝑥 + 𝑦 = 33𝑥 + 2𝑦 = 5 b){2𝑥 − 𝑦 = 6𝑥 − 𝑦2 = 3

Zgjidhje:

a) Koeficientët e sitemit 2: 3 ≠ 1: 2 ≠ 3: 5 janë të ndryshem d.m.th sistemi ka

zgjidhje të vetme.

b) Koeficientët e sitemit janë proporcional 2: 1 = (−1): (− 12) = 6: 3 pra,

sistemi ka pafund shumë zgjidhje, d.m.th. sistemi është i papërcaktuar.

Detyrë për nxënësit: fq. 175 Detyra 1), 2), 3) dhe 5).

DETYRA PËR USHTRIME 4

1. Grafikisht zgjidhi sistemet e mëposhtme: 𝑎) {𝑥 + 3𝑦 = 42𝑥 + 𝑦 = 3 ; 𝑏) { 2𝑥 + 𝑦 = 34𝑥 + 2𝑦 = 1 ; 𝑐) { 𝑥 + 𝑦 = 22𝑥 + 2𝑦 = 4 ; d) { 2𝑥 + 𝑦 = 53𝑥 − 4𝑦 = 2 ; 𝑒) {𝑥 − 2𝑦 = 1−𝑥 + 𝑦 = 1 ; 𝑓) { 𝑥 − 𝑦 = 32𝑥 − 2𝑦 = 6.

2. Të caktohen determinantat:

a) |3 12 4| ; 𝑏) |−2 54 1| ; 𝑐) | 6 0−2 3|. 3. Me rregullat e Kramerit të zgjidhen këto sisteme:

𝑎) { 5𝑥 − 3𝑦 = 92𝑥 + 4𝑦 = 14 ; 𝑏) { 6𝑥 + 𝑦 = 154𝑥 − 5𝑦 = 27 ; 𝑐) { 4𝑥 + 9𝑦 = 512𝑥 − 3𝑦 = 5. 4. Duke u bazuar në vetitë për determinantën të caktohet natyra e zgjidhjeve

të sistemit: 𝑎) { 𝑥 + 𝑦 = 12𝑥 + 2𝑦 = 2 ; 𝑏) { 𝑥 − 2𝑦 = 3−3𝑥 + 6𝑦 = 9 ; 𝑐) {2𝑥 + 𝑦 = 12𝑥 − 𝑦 = 1.



TEMA 7 : SISTEMET E BARAZIMEVE DHE JOBARAZIMEVE...

Documents

Transcript of TEMA 7 : SISTEMET E BARAZIMEVE DHE JOBARAZIMEVE...