TEMA 6 SISTEMAS DE ECUACIONES

6.1 Ecuaciones con dos incógnitas . Soluciones .Actividades página 1121. Comprueba si cada uno de los pares de valores siguientes es solución de la ecuación

4x � 3y � 12c) x � 0, y � �4Lo único que hay que hacer, es sustituir estos valores en la ecuación y ver si se cumple laigualdad.4 � 0 � 3 � ��4� � 12 �

� 0 � 12 � 12 CIERTO!!!!!!Entonces si es solución de la ecuación!

Tareas 12-30-2014: todos los ejercicios que faltan del 12 bis Representa las recta de ecuaciones:

3x � 4y � 7 x � y � 8¿Cuál es la solución común a ambas ecuaciones?� 3x � 4y � 7

Primero despejamos y en función de x3x � 7 � 4y �

� y � 3x � 74

Consideramos la siguiente tabla de valores:

x 1 3

y

� � si x � 1 � y � 3 � 1 � 74

� 3 � 74

� �44

� �1

� si x � 3 � y � 3 � 3 � 74

� 9 � 74

� 24

� 12

� 0. 5

Nos queda la tabla de valores:

x 1 3

y -1 0.5�puntos �A � �1,�1�, B � �3, 0. 5��

� x � y � 8Primero despejamos y en función de x� y � 8 � xConsideramos la siguiente tabla de valores:

x 2 4

y

� � si x � 2 � y � 8 � 2 � 6� si x � 4 � y � 8 � 4 � 4

Nos queda la tabla de valores:

x 2 4

y 6 4�puntos �C � �2, 6�, D � �4, 4��

Gráficamente es:

1

Tareas 12-03-2014: 2

6.2 Sistemas de ecuacionesActividades página 113

1. Dí si alguno de los paresx � �1 : y � 4

x � 7 : y � 8es solución de cada uno de los siguientes

sistemas:

d)x � y � 15

x � y � �1

� Tomo el par �x, y� � ��1, 4� y lo sustituyo en el sistema para ver si es cierto.

�1 � 4 � 15

�1 � ��4� � �1�

�3 � 15

�1 � 4 � �1�

�3 � 15

3 � �1IMPOSIBLE: entonces no es solución.

� Tomo el par �x, y� � �7, 8� y lo sustituyo en el sistema para ver si es cierto.

7 � 8 � 15

7 � 8 � �1�

�15 � 15

�1 � �1CIERTO: entonces es solución.

Tareas 13-03-2014: todos los ejercicios que faltan del 1

6.3 Sistemas equivalentesActividades página 1141. Representa estos tres sistemas equivalentes que se obtienen para resolver el primero de ellos:

1.1x � y � 9

x � y � 3�

Primero despejamos y en función de x:

2

�y � 9 � x

x � 3 � y

Tenemos que dar una tabla de valores para cada recta:� y � 9 � x

x 0 4

y

� si x � 0 � y � 9 � 0 � 9 �punto A � �0, 9�� si x � 4 � y � 9 � 4 � 5 �punto B � �4, 5�

Tenemos la tabla de valores:

�x 0 4

y 9 5

� x � 3 � y

x 1 3

y

� si x � 1 � y � 1 � 3 � �2 �punto C � �1,�2�� si x � 3 � y � 3 � 3 � 0 �punto D � �3, 0�

Tenemos la tabla de valores:

x 1 3

y �2 0

Nos queda la siguiente representación gráfica:

1.2x � y � 9

2x � 12�

Primero despejamos y en función de x :

�y � 9 � x

2x � 12

Tenemos que dar una tabla de valores para cada recta: ojo, para una, ya la tenemos de antes!� 2x � 12 �

� x � 122

� 6

Elegimos: x 6 6

y 0 4

Esto es así, pues la única condición que nos imponen es que x � 6, mientras que sobre

3

y no nos dicen nada, de ahí que pueda tomar cualquier valor.Nos queda la siguiente representación gráfica:

1.3x � 6

y � 3

Tenemos que pintar cada una de las rectas dadas.� x � 6

Tenemos la tabla de valores x 6 6

y 1 3

Como sobre la y no nos dicen nada puede tomar cualquier valor.� y � 3

Tenemos la tabla de valores x 1 5

y 3 3

Como sobre la x no nos dicen nada puede tomar cualquier valor.La representación gráfica queda:

Viendo las tres gráficas, comprobamos que se cortan en el mismo punto, por lo que los tressistemas son equivalentes.

Tareas 13-03-2014: 2

6.4 Número de soluciones de un sistema linealAL RESUMEN:¨Los sistemas que tienen una única solución se llaman compati bles determinados . Gráficamente ,son dos rectas que se cortan en un punto ."

4

-10 -8 -6 -4 -2 2 4 6 8 10

-10

-8

-6

-4

-2

2

4

6

8

10

x

y

Actividades página 115Tareas 14-03-2014: 1

6.5 Métodos de resolución de sistemas .

6.5.1. Método de sustitución .Actividades página 1161. Resuelve por el método de sustitución, los siguientes sistemas.

d)x � 4y � 11

5x � 7y � 1

Despejamos la incógnita x en la 1ª ecuación:x � 11 � 4ySe sustituye este valor de x en la otra ecuación:5�11 � 4y� � 7y � 1 �

� 55 � 20y � 7y � 1 �

Se trata de una ecuación de 1º grado con incógnita y, la resolvemos.� 27y � 1 � 55 �

� y � �5427

� � 2

Se sustituye este valor de y para hallar el correspondiente valor de x :x � 11 � 4 � ��2� � 3Se trata de un sistema compatible determinado con solución �x, y� � �3,�2�

Tareas 14-03-2014: todos los ejercicios que faltan del 1

6.5.2. Método de igualación .Actividades página 1171. Resuelve por el método de sustitución, los siguientes sistemas.

d)x � 4y � 11

5x � 7y � 1�

Despejamos la incógnita x en las dos ecuaciones.

�x � 11 � 4y

5x � 1 � 7y�

5

�x � 11 � 4y

x �1 � 7y

5Se igualan las expresiones obtenidas.

11 � 4y �1 � 7y

5�

Nos queda una ecuación de 1º grado en la incógnita y.� 5�11 � 4y� � 1 � 7y �

� 55 � 20y � 1 � 7y �

� 20y � 7y � 1 � 55 �

� 27y � �54 �

� y � �5427

� � 2

Se sustituye este valor de y, para hallar el correspondiente de x :x � 11 � 4 � ��2� � 3Se trata de un sistema compatible determinado con solución �x, y� � �3,�2�

Tareas 14-03-2014: todos los ejercicios que faltan del 2

6.5.3. Método de reducción .Actividades página 1183 Resuelve por el método de reducción, los siguientes sistemas.

c)x � 4y � 11

5x � 7y � 1�

Elegimos la incógnita x; y multiplicamos la primera ecuación por 5 (coeficiente de la x en lasegunda ecuación) mientras que la segunda ecuación la multiplicamos por �1 (opuesto delcoeficiente de la x en la primera ecuación)

��x � 4y � 11�5

�5x � 7y � 1���1��

�5x � 20y � 55

�5x � 7y � �1�

Sumamos en columna para obtener:� �27y � 54 �

� y � 54�27

� � 2

Sustituimos este valor de y en una de las dos ecuaciones para hallar el correspondiente valorde x:5x � 7 � ��2� � 1 �

� 5x � 14 � 1 �

� 5x � 14 � 1 �

� x � 155

� 3

Se trata de un sistema compatible determinado con solución �x, y� � �3,�2�Tareas 19-03-2014: todos los ejercicios que faltan del 34 Resuelve este sistema simplificando previamente:

5�x � 3� � 2�y � 1� � 3�5x � y� � 8xx � 1

7�

y5

� 2�

�5x � 15 � 2y � 2 � 15x � 3y � 8x

�x � 1�535

�7y35

� 7035

�

6

�5x � 15x � 8x � 2y � 3y � �15 � 2

5x � 5 � 7y � 70�

��2x � y � �17

5x � 7y � 65�

Aplicamos el método de reducción. Elegimos la incógnita y: multiplicamos la primera ecuaciónpor 7.

���2x � y � �17�7

5x � 7y � 65�

��14x � 7y � �119

5x � 7y � 65�

Sumamos en columna para obtener:� �9x � �54 �

� x � �54�9

� 6

Sustituimos este valor en una de las dos ecuaciones para hallar el correspondiente valor de y:�2 � 6 � y � �17 �

� �12 � y � �17 �

� y � �17 � 12 � � 5Se trata de un sistema compatible determinado con solución �x, y� � �6,�5�

Tareas 19-03-2014: 5

6.6 Resolución de problemas mediante sistemas de ecuaciones .Actividades página 1201. Dos poblaciones A y B distan 25 km. Un peatón sale de A hacia B a una velocidad de 4km/h.

Simultáneamente, sale de B hacia A otro a 6 km/h. Calcula el tiempo que tardan en cruzarse yla distancia que ha recorrido cada uno hasta ese instante.

PLANTEAMIENTO

Tenemos la tabla siguiente:

distancia tiempo velocidad (km/h)

peatón 1 �A � B� x t 4

peatón 2 �B � A� 25 � x t 6

Como espacio � velocidad � tiempo, tenemos que:� peatón 1� x � 4 � t� peatón 2� 25 � x � 6 � t

RESOLUCIÓN

Tenemos el siguiente sistema de ecuaciones:

x � 4t

25 � x � 6t

Aplicamos el método de sustitución:25 � 4t � 6t �� 25 � 6t � 4t �

� t � 2510

� 52

Sutituimos este valor de t, para hallar el correspondiente valor de x:

x � 4 � 52

� 202

� 10

Se trata de un sistema compatible determinado con solución �x, t� � 10, 52

7

SOLUCIÓN

Se tarda 52

� 2. 5 horas

El peatón 1 recorre 10 kmEl peatón 2 recorre 15 km.

Tareas 19-03-2014: 2

EJERCICIOS FINALES DEL TEMA1. Comprueba si x � 2, y � �1 es solución de los siguientes sistemas de ecuaciones:

b)3x � 4y � 10

4x � 3y � 5

Sustituimos los valores dados en las dos ecuaciones.

3 � 2 � 4 � ��1� � 10

4 � 2 � 3 � ��1� � 5�

�8 � 4 � 10

8 � 3 � 5

Como la primera no se cumple, no es solución.Tareas 20-03-2014: 1 a2 Completa los siguientes sistemas de ecuaciones para que ambos tengan la solución x � 3,

y � �12

b)x2

� y �. . . . . . .

x � y �. . . . . .

Sustituimos los valores dados.

32

� � 12

�. . . . . . .

3 � � 12

�. . . . . .�

�

32

� 12

�. . . . . . .

3 � 12

�. . . . . .�

�

22

�. . . . . . .

6 � 12

�. . . . . .�

�1 �. . . .72

�. . . .

Finalmente es:

x2

� y � 1

x � y � 72

Tareas 20-03-2014: 2 a, 34

a) Representa gráficamente en los mismos ejes las dos rectas siguientes.

2x � y � 3

x � y � 3

Vamos a dar tablas de valores para cada una de las dos rectas.

8

� 2x � y � 3Despejamos y en función de x: y � 3 � 2xConsideramos la siguiente tabla de valores:

x 0 2

y

� si x � 0 � y � 3 � 2 � 0 � 3 �punto A � �0, 3�� si x � 2 � y � 3 � 2 � 2 � � 1 �punto B � �2,�1�

Nos queda la tabla:

x 0 2

y 3 �1

� x � y � 3Despejamos y en función de x: y � x � 3Consideramos la siguiente tabla de valores:

x 0 3

y

� si x � 0 � y � 0 � 3 � �3 �punto C � �0,�3�� si x � 3 � y � 3 � 3 � 0 �punto D � �3, 0�

Nos queda la tabla:

x 0 3

y �3 0

La representación gráfica queda:

b) Di cuál es la solución de este sistema:2x � y � 3

x � y � 3

La solución es el punto donde se cortan las dos rectas que es el punto �x, y� � �2,�1�Se trata de un sistema compatible determinado.c) Di si son equivalentes los sistemas:

2x � y � 3

x � y � 3

y � 1 � 0

3x � 4y � 10

Serán sistemas equivalentes si tienen la misma solución. Por lo tanto, sustituimos la solucióndel primero en el segundo.

9

�1 � 1 � 0

3 � 2 � 4 � ��1� � 10�

��1 � 1 � 0

6 � 4 � 10

Como son las dos ciertas, también es �x, y� � �2,�1� solución del sistema, por lo que los dossistemas son equivalentes.

Tareas 20-03-2014: 56 Resuelve por sustitución.

d)2x � 16 � 2y

2y � 3x � 16

Elegimos la incógnita x y la segunda ecuación, para despejar dicha variable.2y � 3x � 16 �

� 2y � 16 � 3x �

� x �2y � 16

3Se sustituye este valor de x en la primera ecuación.

22y � 16

3� 16 � 2y �

Nos ha quedado una ecuación de 1º grado con una incógnita.

�4y � 32

3� 16 � 2y �

Hallamos el m. c. m.� 3

�4y � 32

3� 3 � 16

3�

3 � 2y3

�

Como tenemos una igualdad donde todos los denominadores son iguales, los podemos quitar.� 4y � 32 � 48 � 6y �

� 16 � 6y � 4y �

� 16 � 2y �

� y � 162

� 8

Sustituimos este valor de y para hallar el correspondiente valor de x.

x � 2 � 8 � 163

� 03

� 0

Se trata de un sistema compatible determinado con solución única �x, y� � �0, 8�Tareas 26-03-2014: 6 (a,b,c)7 Resuelve por igualación.

d)3x � 4y � �4

2x � y � �1

Elegimos la incógnita y para despejarla en las dos ecuaciones.

3x � 4 � 4y

y � �1 � 2x�

�

3x � 44

� y

y � �1 � 2x

Igualamos las dos expresiones obtenidas para la y.3x � 4

4� �1 � 2x �

Nos ha quedado una ecuación de 1º grado en la incógnita x.� 3x � 4 � �4 � 8x �

� 4 � 4 � �8x � 3x �

10

� 8 � �11x �

� x � �811

Sustituimos este valor de x para hallar el correspondiente valor de y.

y � �1 � 2 � � 811

� �1 � 1611

� �11 � 1611

� 511

Se trata de un sistema compatible determinado con solución única �x, y� � �811

, 511

Tareas 26-03-2014: 7 (a,b,c)8 Resuelve por reducción.

f)3x � 2y � �3

x � y � 76

Elegimos la incógnita x. Multiplicamos la segunda ecuación por 3 que es el coeficiente de la xen la primera ecuación. Multiplicamos la primera ecuación por 1 que es el coeficiente de la x enla segunda ecuación.

�3x � 2y � �3�1

x � y � 76

3�

OJO: 76

� 216

� 72

�3x � 2y � �3

3x � 3y � 72

Restando en columna nos queda:3x � 3x � 2y � 3y � �3 � 7

2�

� �y � �6 � 72

�

� �y � �132

�

� y � 132

Sustituimos esta valor de y para hallar el correspondiente valor de x.

x � 132

� 76

�

� x � 76

� 132

� 7 � 396

� �326

Se trata de un sistema compatible determinado con solución única �x, y� � �326

, 132

Tareas 26-03-2014: 8 (a,b,c,d,e)9 Resuelve estos sistemas por el método que consideres más adecuado.

d)3x � 2y � 2

x � 4y � � 53

�

Vamos a aplicar el método de igualación.Elegimos la incógnita x para despejarla en las dos ecuaciones.

�3x � 2 � 2y

x � �4y � 53

�

�x �

2 � 2y3

x � �4y � 53

�

Igualamos las dos expresiones obtenidas para x.2 � 2y

3� �4y � 5

3�

11

Nos ha quedado una ecuación de 1º grado en la incógnita y.

�2 � 2y

3�

�12y3

� 53

�

Como tenemos una igualdad con los mismos denominadores a ambos lados, se puedeneliminar.� 2 � 2y � �12y � 5 �

� 2y � 12y � �5 � 2 �

� 14y � �7 �

� y � �714

� � 12

Sustituimos este valor de y, para halla el correspondiente valor de x.

x � �4 � � 12

� 53

� 2 � 53

� 6 � 53

� 13

Se trata de un sistema compatible determinado con una única solución �x, y� � 13

,� 12

Tareas 27-03-2014: los tres que faltan del 9 por los métodos de reducción, sustitución y representacióngráfica: tres sistemas y tres métodos, es decir, uno distinto para cada uno.11 Resuelve los siguientes sistemas de ecuaciones aplicando dos veces el método de reducción

para despejar cada una de las incógnitas:

b)9x � 13y � 54

11x � 7y � 22�

Elegimos la incógnita y. Multiplicamos la primera ecuación por 7 que es el coeficiente de la y enla segunda ecuación. Multiplicamos la segunda ecuación por 13 que es el coeficiente de la y enla primera ecuación.

��9x � 13y � 54�7

�11x � 7y � 22�13�

�63x � 91y � 378

143x � 91y � 286

Restamos en columna para obtener.63x � 143x � 91y � ��91y� � 378 � 286 �

� �80x � 92 �

� x � � 9280

� � 4640

� � 2320

9x � 13y � 54

11x � 7y � 22�

Elegimos la incógnita x. Multiplicamos la primera ecuación por 11 que es el coeficiente de la xen la segunda ecuación. Multiplicamos la segunda ecuación por -9 que es el opuesto delcoeficiente de x en la primera ecuación.

��9x � 13y � 54�11

�11x � 7y � 22���9��

�99x � 143y � 594

�99x � 63y � �198

Sumamos en columna.99x � 99x � 143y � 63y � 594 � 198 �

� �80y � 396 �

� y � � 39680

� � 9920

Se trata de un sistema compatible determinado con solución única �x, y� � � 2320

,� 9920

Tareas 27-03-2014: 11 a, 14, 1516 Un librero ha vendido 45 libros, unos a 32 euros y otros a 28 euros. Obtuvo por la venta 1368

12

euros. ¿Cuántos libros de cada clase vendió?

PLANTEAMIENTO

Llamamosx al número de libros vendidos a 32 euros

y al número de libros vendidos a 28 euros

Tenemos que:� ha vendido 45 libros� x � y � 45� la venta 1368 euros� 32x � 28y � 1368

RESOLUCIÓN

x � y � 45

32x � 28y � 1368

Aplicamos el método de sustitución.Elegimos la incógnita x en la primera ecuación para despejarla en función de y.x � 45 � ySustituimos este valor de y en la segunda ecuación.32�45 � y� � 28y � 1386 �

Nos ha quedado una ecuación de 1º grado en la incógnita y.� 1440 � 32y � 28y � 1368 �

� �4y � 1368 � 1440 �

� y � �72�4

� 18

Sustituimos este valor de y para hallar el correspondiente valor de x.x � 45 � 18 � 27Se trata de un sistema compatible determinado con una única solución �x, y� � �27, 18�

SOLUCIÓN

Llamamos27 libros vendidos a 32 euros

18 libros vendidos a 28 euros

Tareas 28-03-2014: 17, 18, 19 (UNO CON CADA MÉTODO)20 Un examen de tipo test consta de 50 preguntas y hay que contestar a todas. Por cada acierto

se obtiene un punto y por cada fallo se restan 0. 5 puntos. Si mi nota ha sido 24. 5, ¿Cuántosfallos y aciertos he tenido?

PLANTEAMIENTO

Llamamosx al número de aciertos

y al número de fallos

Tenemos que:� test consta de 50 preguntas y hay que contestar a todas� x � y � 50� Por cada acierto se obtiene un punto y por cada fallo se restan 0. 5 puntos. Si mi nota ha

sido 24. 5 � x � 0. 5y � 24. 5

RESOLUCIÓN

x � y � 50

x � 0. 5y � 24. 5�

Aplicamos el método de igualación.Elegimos la incógnita x para despejarla en ambas ecuaciones.

�x � 50 � y

x � 0. 5y � 24. 5

Igualamos las dos expresiones obtenidas para x.

13

50 � y � 0. 5y � 24. 5 �

� 50 � 24. 5 � 0. 5y � y �

� 25. 5 � 1. 5y �

� y � 25. 51. 5

� 17

Sustituimos este valor de y para hallar el correspondiente valor de x.x � 50 � 17 � 33Se trata de un sistema compatible determinado con solución única �x, y� � �33, 17�

SOLUCIÓN

33 aciertos

17 fallos

Tareas 28-03-2014: 21, 22, 23 (UNO CON CADA MÉTODO)24 Halla dos números naturales que suman 140 y tales que al dividir el mayor entre el menor

obtenemos de cociente 2 y de resto 14.

PLANTEAMIENTO

Llamamosx es el número natural mayor

y es el número natural menor

Tenemos que:� suman 140� x � y � 140� al dividir el mayor entre el menor obtenemos de cociente 2 y de resto 14� x � y � 2 � 14

Recuerda que D d

r c� D � d � c � r

RESOLUCIÓN

x � y � 140

x � 2y � 14

Aplicamos el método de reducción.Restamos en columna.x � x � y � 140 � 2y � 14 �

� y � 2y � 126 �

� y � 1263

� 42

Sustituimos este valor de y para hallar el correspondiente valor de x.x � 2 � 42 � 14 � 84 � 14 � 98Se trata de un sistema compatible determinado con solución única �x, y� � �98, 42�

SOLUCIÓN

Los números son 98 y 4225 La suma de las edades de una madre y su hijo es 56 años. Hace 10 años, la edad de la madre

era el quíntuple de la edad que tenía el hijo. ¿Cuál es la edad actual de cada uno?

PLANTEAMIENTO

Llamamosx es la edad de la madre

y es la edad del hijo

Tenemos que:� suma de las edades de una madre y su hijo es 56 años� x � y � 56� hace 10 años, la edad de la madre era el quíntuple de la edad que tenía el

hijo� x � 10 � 5�y � 10�Hemos de tener en cuenta la siguiente tabla con las edades.

14

edad actual edad hace diez años

madre x x � 10

hijo y y � 10

RESOLUCIÓN

x � y � 56

x � 10 � 5�y � 10�

Aplicamos el método de sustitución.Elegimos la incógnita y en la primera ecuación para despejarla en función de x.y � 56 � xSustituimos este valor de y en la segunda ecuación.x � 10 � 5�56 � x � 10� �

� x � 10 � 5�46 � x� �

� x � 10 � 230 � 5x �

� x � 5x � 230 � 10 �

� x � 2406

� 40

Sustituimos este valor de x para hallar el correspondiente valor de y.y � 56 � 40 � 16Es un sistema compatible determinado con solución única �x, y� � �40, 16�

SOLUCIÓN

La madre tiene 40 años y el hijo, 16 años.Tareas 02-04-2014: 2627 He cambiado un montón de monedas de 20 céntimos por monedas de 1 euro, de manera que

ahora tengo 24 monedas menos que antes. ¿Cuántas monedas de 20 céntimos tenía?

PLANTEAMIENTO

Llamamosx es el número de monedas de 20 céntimos

y es el número de monedas de 1 euro

Tenemos que.� He cambiado un montón de monedas de 20 céntimos por monedas de 1 euro (ahora

sigo teniendo la misma cantidad de dinero en el bolsillo)� 1 � y � 0. 20 � x� ahora tengo 24 monedas menos que antes� x � 24 � y

RESOLUCIÓN

y � 0. 2x

x � 24 � y

Aplicamos el método de igualación.Se igualan las dos expresiones obtenidas para y.0. 2x � x � 24 �

� 0. 2x � x � �24 �

� x � �24�0. 8

� 30

Sustituimos este valor de x para hallar el correspondiente valor de y.y � 30 � 24 � 6Se trata de un sistema compatible determinado con solución única �x, y� � �30, 6�

SOLUCIÓN

Tenía 30 monedas de 20 céntimos.28 Si Álvaro regala a Rita 4 de sus discos, ella tendrá el doble que el. Si Rita da 6 de sus discos a

Álvaro, entonces será el quien tenga el doble que ella. ¿Cuántos discos tiene cada uno?

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PLANTEAMIENTO

Llamamosx es el número de disco de Álvaro

y es el número de discos de Rita

Tenemos que.� Si Álvaro �x � 4� regala a Rita 4 �y � 4� de sus discos, ella tendrá el doble que

el� y � 4 � 2�x � 4�� Si Rita da 6 �y � 6� de sus discos a Álvaro �x � 6�, entonces será el quien tenga el doble

que ella� �y � 6�2 � x � 6

RESOLUCIÓN

y � 4 � 2�x � 4�

2�y � 6� � x � 6

Aplicamos el método de reducción.

y � 4 � 2x � 8

2y � 12 � x � 6�

��2x � y � �4 � 8

�x � 2y � 12 � 6�

��2x � y � �12

�x � 2y � 18

Elegimos la incógnita y. Multiplicamos la primera ecuación por -2, que es el opuesto delcoeficiente de y en la segunda ecuación.

��2���2x � y � �12�

�x � 2y � 18�

�4x � 2y � 24

�x � 2y � 18

Sumamos en columna para obtener.�x � 4x � 2y � 2y � 24 � 18 �

� 3x � 42 �

� x � 423

� 14

Sustituimos este valor de x para hallar el correspondiente valor de y.�14 � 2y � 18 �

� 2y � 14 � 18 �

� y � 322

� 16

Se trata de un sistema compatible determinado con solución única �x, y� � �14, 16�

SOLUCIÓN

Álvaro tiene 14 discos y Rita 16.Tareas 02-04-2014: 30, 31, 32, ,33, 3429 Un comerciante compró 35 juegos de un tipo y 25 de otro pagando por ellos 1220 euros. Con la

venta de los primeros ganó un 25% y con los segundos perdió el 5%, de forma que obtuvo 170euros de ganancia sobre el precio de compra. Calcula el precio de compra de cada tipo dejuego.

PLANTEAMIENTO

Llamamosx es el precio del primer juego

y es el precio del segundo juego

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Tenemos que:� compró 35 juegos de un tipo y 25 de otro pagando por ellos 1220

euros� 35x � 25y � 1220� con la venta de los primeros ganó un 25%�25% de 35x � 0. 25 � 35x � 8. 75x� con los segundos perdió el 5%�5% de 25y � 0. 05 � 25y � 1. 25y� obtuvo 170 euros de ganancia sobre el precio de compra� 8. 75x � 1. 25y � 170

RESOLUCIÓN

35x � 25y � 1220

8. 75x � 1. 25y � 170

Aplicamos el método de sustitución.Elegimos la incógnita x en la primera ecuación para despejarla.35x � 1220 � 25y �

� x �1220 � 25y

35Sustituimos este valor de x en la segunda ecuación.

8. 75�1220 � 25y

35� � 1. 25y � 170 �

�10675 � 218. 75y

35� 1. 25y � 170 �

Calculamos el m. c. m.

�10675 � 218. 75y

35�

43. 75y35

� 595035

�

Como tenemos una igualdad con todos los denominadores iguales, este se puede suprimir.� 10765 � 218. 75y � 43. 75y � 5950 �

� �262. 5y � 5950 � 10765 �

� y � �4815�262. 5

� 18. 343

Sustituimos este valor de y para hallar el correspondiente valor de x.

x � 1220 � 25 � 18. 34335

� 21. 755

Se trata de un sistema compatible determinado con solución única �x, y� � �21. 755, 18. 343�

SOLUCIÓN

El primer tipo de juego cuesta 21.76 y el segundo cuesta 18.34 euros.

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