Tema 6. Polinomis II

1

Tema 6. Polinomis II.

6.1. La regla de Ruffini.

És un mètode de divisió entre polinomis que és més senzill que l’algoritme de la divisió i que

permet la divisió només quan el divisor és de la forma

Q(x) = x ± b. Per fer el càlcul de la divisió disposarem els coeficients del polinomi dividend

P(x) a la part superior de les dues línies de sota i situarem a l’esquerra el valor contrari del terme

independent del polinomi divisor Q(x).

P(x) = an·xn + … + a2·x2 + a1·x + a0

Q(x) = x ± b

Com s’aplica el mètode de la divisió per Ruffini? Veiem-ho amb un exemple.

EXEMPLE

Dividiu p(x) = x3 – 2x2 + x + 1 entre q(x) = x – 3 per Ruffini.

Es disposen els coeficients del polinomi dividend a la part superior de les dues línees. Es posa el

valor contrari del terme independent de Q(x) a la part inferior a l’esquerra. El primer coeficient

es baixa tal qual. Es multiplica pel valor contrari del terme independent i es posa a sota del

següent coeficient del polinomi dividend. Ara es sumen els dos valors i es posa a baix. Es

continua igual. En acabar el darrer número és el residu de la divisió i els anteriors són els

coeficients del quocient de la divisió.

Tema 6. Polinomis II

2

6.2. El teorema del residu.

El valor d’un polinomi P(x) per x = a, coincideix sempre amb el residu de la divisió de P(x)

entre Q(x), on Q(x) = x – a.

Demostració.

Apliquem la definició de divisió a la divisió de P(x) entre Q(x). En ser el grau de Q(x) u, el

residu ha de ser un polinomi de grau zero. Per tant la definició queda.

R)x(C)·x(Q)x(P +=

Ara trobem el valor del polinomi P(x) quan x = a.

0aa)a(Qax)x(QR)a(PR)a(C·0)a(PR)a(C)·a(Q)a(P

=−=→−==⇒+=⇒+=

Per tant queda demostrat que P(a) = R en la divisió de P(x) entre Q(x)= x – a.

6.3. Arrels d’un polinomi.

Les arrels d’un polinomi són els valors de x que anul·len el valor del polinomi. Per determinar

els zeros, cal igualar el polinomi a zero i resoldre l’equació.

EXEMPLE

Sigui el polinomi 2x3x)x(P 24 +−= . Trobeu les arrels del polinomi P(x).

−=−=+=+=

→=

−=+=

→=

=±

=

=−±

=⇒=+−

⇒

=→=+−⇒=

11x11x1s

2x2x2s

213s

21·2·493s02s3s

xsbiquadrada.Eq02x3x0)x(p

4

3

2

1

2

2

24

Les arrels de 2x3x)x(p 24 +−= són 2x,2x,1x,1x −=+=−=+= .

6.3.1. Teorema 1.

El nombre d’arrels o zeros d’un polinomi és sempre menor o igual al grau del polinomi.

Demostració

...

EXEMPLES

El polinomi 2x3x)x(p 24 +−= és de grau 4. Aquest polinomi té quatre arrels.

2x,2x,1x,1x −=+=−=+= .

El polinomi 2x2x3x3xx)x(p 2345 −+−+−= és de grau 5. Aquest polinomi té una

sola arrel. x = +1

Tema 6. Polinomis II

3

Aquest polinomi 1xx)x(p 2 ++= és de grau 2 i no té cap arrel.

6.3.2. Teorema 2.

Sigui un polinomi p(x)=a0+a1·x+a2·x2+...+an·xn amb coeficients enters. Si existeix una arrel α

de p(x) que és entera, aleshores α divideix de forma exacta al terme independent de p(x).

Demostració.

Si x = α és una arrel de p(x), aleshores podem aplicar el teorema del residu.

( ) 1nn21

01nn210

nn

2210

nn

2210

·a...·aaa

·a...·aa·a

·a...·a·aa0·a...·a·aa0)(p−− α++α+−=

α→α++α+−α=→

α−−α−α−=→=α++α+α+→=α

En ser els coeficients enters i l’arrel entera, el resultat de l’operació

1nn21

0 ·a...·aaa −α++α+−=α

ha de ser un nombre. Per tant el quocient α

0a és una divisió

exacta i per tant l’arrel α és un divisor exacte de a0.

6.3.3. Teorema 3.

Sigui un polinomi p(x) de grau n. Considerem que el polinomi té n arrels, concretament x =

a1 , x = a2 , .... , x = an. El quocient de la divisió de p(x) entre x – a1 té com arrels les restants

de p(x).

Demostració

Sigui x = a1 una arrel de p(x). Pel teorema del residu x – a1 serà un divisor exacta de p(x). Si

escrivim la definició de divisió tindrem:

)ax)·(x(C)x(p 1−=

Pel teorema del residu si prenem qualsevol altra arrel de p(x) i substituïm x per ai el valor del

polinomi haurà de ser nul.

0)a(C0)aa)·(a(C)a(p i1iii =→=−=

La resta d’arrels de p(x) també ho són del quocient.

Amb l’ajuda dels teoremes anteriors podem aplicar un mètode genèric per determinar les

arrels d’un polinomi que en general ens permetrà trobar i no totes les arrels si les arrels enteres

d’un polinomi amb coeficients enters.

6.4. Mètode general de determinació dels zeros d’un polinomi.

Començarem igualant el polinomi a zero. Si es pot resoldre l’equació la resolem i obtenim totes

les arrels del polinomi. Si no es pot resoldre l’equació, buscarem tots els nombres enters que fan

exacta la divisió del terme independent perquè aquests valors seran candidats a ser arrels del

polinomi. Per Ruffini dividirem amb els valors anteriors. Si no trobem cap arrel, la conclusió és

Tema 6. Polinomis II

4

que no s’han pogut determinar les arrels, però que potser en té alguna que no és entera. Si

trobem alguna arrel, tornarem a començar amb el quocient de la divisió per Ruffini.

En el diagrama de flux de sota es veuen els passos a seguir.

EXEMPLES

Trobeu les arrels del polinomi 6x5x5x5x)x(p 234 −−++=

Per tant les arrels del polinomi són x = +1, x = -1, x= -2 i x = -3.

Tema 6. Polinomis II

5

NOTA: Si un valor enter no anul·la el residu dividint per Ruffini el primer polinomi, no

anul·larà cap més quocient, per tant no cal tornar a provar-lo en les divisions successives. Si

un valor anul·la el polinomi inicial pot anul·lar els quocients successius quan dividim per

Ruffini els quocients successius.

6.5. Polinomi irreductible.

Diem que un polinomi és irreductible quan es compleix una de les tres condicions següents:

1. Si és de grau major o igual que 2 i no té arrels.

2. Si és de grau 1 i el coeficient de la x és 1.

3. Si és de grau 0.

Com exemples de les definicions anteriors de polinomi irreductible tenim :

6.6. Factorització de polinomis.

Tot polinomi reductible es pot expressar com a producte de polinomis irreductibles. Aquests

producte s’anomena factorització

Com exemples del què acabeu de llegir tenim

3)·2x)·(1x(6x9x3)x(P 2 −−=+−=

)2x)·(2x·(xx4x)x(P 3 +−=−=

−=−=

21x·21x2)x(P

Però com es pot calcular la factorització d’un polinomi qualsevol? Doncs aplicant diversos

teoremes.

6.6.1. Teorema 4.

Un polinomi P(x) de grau m que té n arrels a1, a2, ... an i amb m ≥ n, es pot factoritzar com a

producte de polinomis irreductibles de la forma:

)x(Q)·ax)·...·(ax)·(ax()x(P n21 −−−=

On Q(x) és un polinomi de grau m – n.

Tema 6. Polinomis II

6

Demostració.

Sigui P(x) un polinomi de grau m i que té n arrels diferents dos a dos i que són a1, a2, ... an i

amb m ≥ n.

Si apliquem la definició de la divisió tindrem:

P(x) = C1(x)·(x - a1) + R

En ser x = a1 arrel de P(x), el residu de la divisió serà zero i per tant:

P(x) = C1(x)·(x - a1)

En ser x = a2 arrel de P(x) també ho serà de C1(x) i per tant podrem expressar el quocient com

C1(x) = C2(x)·(x - a2) i per tant P(x) s’expressaria com...

P(x) = C2(x)·(x - a2)·(x - a1)

De forma successiva aniríem expressant els diferents quocients com a productes de nous

quocients per polinomis de grau u de la forma x – a.

P(x) = Cn-1(x)·...·(x - a3)·(x - a2)·(x - a1)

Ara bé, el darrer quocient Cn-1(x) només tindra una arrel x = an que serà l’última arrel de P(x),

que es podrà escriure com:

Cn-1(x) = Q(x)·(x-an) on Q(x) serà un polinomi irreductible de grau m – n.

)x(Q)·ax)·...·(ax)·(ax()x(P n21 −−−=

EXEMPLES

1. Factoritza el polinomi 4x3x3x3x)x(P 234 −+−+= .

Tema 6. Polinomis II

7

6.7. Fraccions algebraiques.

Una fracció algebraica és un quocient de polinomis. Les fraccions algebraiques poden ser

divisions exactes o no.

)x(Q)x(P)x(F =

6.8. Fraccions algebraiques equivalents.

Quan multipliquem (amplificació) o dividim de forma exacta (simplificació) el numerador i el

denominador d’una fracció algebraica obtindrem una fracció algebraica equivalent.

1xxx2xx5x5x

1x1x·

1x2xx4x

1x2xx4x

23

234

2

23

2

23

+−−−++−

=−−

−++−

=−

++−

( ) ( )( ) ( ) 1x

2x3x1x:1x

1x:2xx4x1x

2xx4x 2

2

23

2

23

+−−

=−−

−++−=

−++−

6.9. Operacions amb fraccions algebraiques.

1. Suma i resta. Cal que els denominadors siguin comuns. Per tant abans de sumar o restar

cal reduir a comú denominador (m.c.m).

.)2x)·(1x(3xx2x

)2x)·(1x()1xx)·(2x()1x(

1x1xx

2x1x 23222

−++++

=−+

+−−++=

++−

+−+

2. Producte. Multiplicarem numerador per numerador i denominador per denominador. Si

es pot es simplificarà el resultat. Intenteu simplificar

abans de fer el producte.

2x1x

x2xxx

2xx·

x1x

2

2

++

=++

=+

+ ; 2x1x

2xx·

x1x

++

=+

+

Tema 6. Polinomis II

8

( )

)1x·()1x(1xxx)x(p

1x1x2x

)1x(1x

012112111111

1:1deDivisorsRuffini

resoldrepotesNo01xxx

223

22

23

−+=−−+=

+=++

−→+=→→+

−−

±−→

→=−−+

( )

)1x)·(2x)·(2x(1xxx)x(p

)2x·(2x4x)1x(1x

040140114411

4,2,1:4deDivisorsRuffiniresoldrepotesNo04x4xx

23

2

23

−−+=−−+=

−+=−

−→+=→→

−−++−−

±±±→

→=+−−

3. Divisió. Multiplicarem en creu les dues expressions numerador per denominador i

denominador per numerador. Si es pot es simplificarà el resultat.

x2x

2x3x)2x·(x

)2x)·(1x(2x

x:2x1x

2

2

−

++=

−++

=+−

+

x

1xx2x2xx

2xx:

2x1x

2

2 +=

−+−

=−−

+

x

1xx)·2x(

)2x)·(1x(2x

x:2x1x +

=−

−+=

−−+

4. Simplificació: Per simplificar fraccions algebraiques, cal factoritzar el numerador i el

denominador per trobar polinomis irreductibles comuns.

)2x)·(2x()1x(

)1x)·(2x)·(2x()1x·()1x(

4x4xx1xxx 22

23

23

+−+

=−−+

−+=

+−−−−+

Tema 6. Polinomis II

9

EXERCICIS DEL TEMA 6.

1. Dividiu per Ruffini els següents polinomis.

1x)x(Q3x5x4xx2)x(P 234

+=−−+−=

1x)x(Qx5x5x4x2)x(P 2345

−=−−+=

2x)x(Q

61x2x

43x

21x2)x(P 235

−=

+−−−=

21x)x(Q

31x5x4x2)x(P 23

−=

−−+=

2. Efectueu aquestes dividions aplicant l’algoritme de la divisió i per Ruffini.

3. Dividiu per Ruffini els següents polinomis.

4. Trobeu el quocient i el residu de les divisions següent a través del mètode de Ruffini.

5. Aplicant la regla de Ruffini trobeu el quocient i la resta de la divisió.

Tema 6. Polinomis II

10

6. Dividiu per Ruffini els següents polinomis.

7. Calcula el residu de la divisió sense fer la divisió dels polinomis indicats.

8. Calcula el valor de m perquè el valor del residu de la divisió sigui R.

( ) ( )

( ) ( )

( )( ) 1R)mx(:1mxx·m)d

m2R)1x(:2x4x2mx)c

0R2x:2x7x)m4(mx)b

0R1x:2x·m3x·2x)a

22

23

23

23

=→−++

=→−−++

=→+++++

=→−−−+

9. Sense efectuar la divisió indiqueu si el polinomi P(x) es divisible de forma exacta entre

D(x).

10. Aplicant el Th. del residu indica si la divisió de P(x) entre D(x) és exacta.

Tema 6. Polinomis II

11

11. Determina les arrels dels següents polinomis.

x32x24x16x6x2)x(T)f

6x5x3x)x(S)e

x12x24x3x3)x(Y)d

30x31x5x7x)x(R)c

8x6x3x)x(Q)b

2xx)x(P)a

2345

23

234

234

23

2

++−−=

+++=

−+−=

−−++=

−−+=

−+=

12. Indica quins d’aquests polinomis és reductible i indiqueu el perquè.

2x24x2)x(T)f

6x5x3x)x(S)e

x12x24x3)x(Y)d

16x)x(R)c

x6x3x)x(Q)b

4x2x2)x(P)a

24

23

23

4

23

2

+−=

+++=

−+−=

−=

−+=

−+=

12. Descompon en factors els següents trinomis.

Tema 6. Polinomis II

12

13. Realitza les següents operacions entre fraccions algebraiques.

( )=

+−−

−+

−

=−

−+

=+

+−

−+

=+−

−+−

=+

+−+

52x)·1x(4

3xx3

21x.e

xx2x

x1.d

1x2

1x4

1xx.c

1x1x7

5x43x.b

1x2x

2x1x.a

2

2

=+−−−

=−+

=−

−−

=+−

+−+

3x1

x2

x1x2.i

4x7

21x3.h

1x2

1x5.g

1x2xx

1x1x.f

32

2

2

14. Resol les següents equacions polinòmiques.

01x

21x

5.b

7xx

1x1x.a

2 =−

−−

+=

−+

3x1

x2

x1x2.d

24x7

21x3.c

32 +=−−

=−+