PAGE

PRODUCTOS NOTABLESDEFINICINSon los resultados de la multiplicacin que se obtienen de polinomios que tienen caractersticas especiales y necesidad de realizar la multiplicacin.

PRINCIPALES PRODUCTOS NOTABLES1) Binomio al Cuadrado

1.1. (a ( b)2 = a2 ( 2ab+b2

Nota: (a-b) 2 = (b-a) 2Corolario: "Identidades de Legendre"1.2. (a+b)2 + (a-b)2 = 2(a2+b2)

1.3. (a+b)2 - (a-b)2 = 4ab2) Diferencia de Cuadrados

2.1 (a+b)(a-b) = a2-b23) Trinomio al Cuadrado

3.1 (a+b+c)2 = a2+b2+c2+2ab+2bc+2ca4) Binomio al Cubo

4.1 (a+b)3 = a3+3a2b+3ab2+b3 = a3+b3+ 3ab(a+b)

4.2 (a-b)3 = a3-3a2b + 3ab2 - b3 = a3-b3-3ab(a-b)5) Suma y Diferencia de Cubos5.1 (a+b)(a2-ab+b2) = a3+b35.2 (a-b)(a2+ab+b2) = a3-b36) Trinomio al Cubo

6.1 (a+b+c) 3 = a3 + b3 + c3 + 3a2(b+c) + 3b2(c+a) + 3c2(a+b) + 6abc

Tambin:

6.2 (a + b + c) 3 = a3 + b3 + c3 + 3(a+b)(b+c)(c+a)

6.3 (a + b + c) 3 = 3(a+b+c) (a2+b2+c2) - 2(a3+b3+c3) + 6abc

6.4 (a + b + c) 3 = a3+b3+c3 + 3(a+b+c) (ab+bc+ca) - 3abc

7) Producto de Binomios con un Trmino Comn7.1 (x+a)(x+b) = x2+(a+b)x+ab (Identidad de Stevin)7.2 (x+a)(x+b)(x+c) = x3+ (a+b+c)x2 +(ab+bc+ca)x + abc

8) Identidad Trinmica (Argand)8.1 (x2n+xnym+y2m).(x2n-xnym+y2m) = x4n+x2ny2m+y4mCasos Particulares:

8.2 (x2+xy+y2)(x2-xy+y2) = x4+x2y2+y48.3 (x2+x+1)(x2-x+1) = x4+x2+1

9) Identidad de Lagrange9.1 (a2+b2)(x2+y2) = (ax+by) 2+(ay-bx) 29.2 (a2+b2+c2)(x2+y2+z2) = (ax+by+cz)2 +(ay-bx) 2 +(bz-cy) 2 +(cx-az) 210) Identidades Adicionales10.1 (a+b+c) [(ab)2 + (a-c)2 + (b-c)2] = a3+b3+c33abc (Ident. de Gauss)10.2 a3+b3+c3-3abc = (a+b+c)(a2+b2+c2 -ab-ac-bc) (Identidad de Gauss)

10.3 a2+b2+c2-ab-ac-bc = 1/2{(a-b)2 + (b-c) 2 + (c-a) 2}

10.4 (a + b)(b + c)(c + a) + abc = (a+b+c) (ab+bc+ca)

11) Igualdades CondicionalesSi: a + b + c = 0, entonces se cumplen:11.1 a3 + b3 + c3 = 3abc 11.2 a2 + b2 + c2 = -2(ab + bc + ca)

11.3 (ab) 2+(bc) 2+(ca) 2 = (ab+bc+ca)211.4 (a4 + b4 + c4) = (a2 + b2 + c2)211.5 a2+b2+c2 . a3+b3+c3 = a5+b5+c5 2 3 5

11.6 a2+b2+c2 . a5+b5+c5 = a7+b7+c7 2 5 7EJERCICIOS1) Si: a+b = 2 y ab = 1

Halla: a5+b5Solucin

a + b = 2 ab= 1

(a+b)2 = 22 (2)3 = (a+b)3

a2 + b2 + 2ab = 48= a3 + b3+3(a+b)(ab)

a2 + b2 + 2(1) =48 = a3 + b3 + 3(2)(1)

a2 + b2 = 2

2 = a3 + b3Luego (a2 + b2) x (a3 + b3) = 2 x 2

a5 + (ab)2 (a+b) + b5 = 4

a5 + b5 = 2

2) Si: a+2b+3c = 7x

Halla:

Solucin

E =

E =

E =

E = 1

3) .- Reduce:

Solucin :

a + b + c + d = x

a-b-c-d= b

( x2 + y2 + 2xy 3a2 (x + y)2 3a2(a + b + c + d + a - b c d)2 - 3a2

4a2 3a2 = a24) E=(x2+x+3)(x2+x+7)- (x2+x+2)(x2+x+8)

Solucin :

Hacemos :

x2 + x = a

(

E = (a + 3) (a + 7) (a + 2) (a + 8)

E = a2 + 10a + 21 a2 10a 16

E = 5

5) Reduce : H = (3z + 4)2 + (4 3z)2Solucin :

E = (3z + 4)2 + (4 3z)2E = (3z + 4)2 (3z - 4)2

E = 4(3z) (4) (propiedad)

E = 48z

6) Si : a + b = 2

ab = 3

Determina : a3 + b3Solucin :

a + b = 2

ab = 3

a3 + b3 =?

Elevando al cubo :

(a + b)3 = 23a3 + b3 + 3ab (a +b) = 8

a3 + b3 + 3(3) (2) = 8

a3 + b3 = -10

7) Si : x + y = + 2y ( xy =

Calcula : x2 + y2

Solucin :

x + y = + 2y ( x y =

(x y)2 = ()2x2 + y2 2xy =

x2 + y2 - 2 =

x2 + y2 = 3

3

8) Si se cumple :

Halla :

Solucin :

( x + y + x = 0

(

pero x3 + y3 + z3 = 3xyz

( = 3

9) Si : = 62 ; ab ( 0

Calcula el valor que adquiere :

Solucin :

= 62

= 62

a2 + b2 = 62ab

Completando el T.C.P.

a2 + 2ab + b2 = 62ab + 2ab

(a + b)2 = 64ab

a + b = ( 8

( = ( 810) Simplifica :

E =

Solucin :

y2 1 = (y + 1) (y 1)

Luego :

(y + 1) (y2 y + 1) = y3 + 1

(y 1) (y2 + y + 1) = y3 1

E =

E =

E =

E =

E = 3

CUESTIONARIO1).- Simplifica : G =

a) 6

b) 5

c) 4

d) 2

e) 16

2).- Si a + b = 4; ab=2; halla : a2 + b2a) 8

b) 10

c) 12

d) 14

e) 16

3).- Si : a + b = 2ab ( ab = 3, calcula :

a) 18

b) 5

c) 10

d) 4

e) 8

4).- Reduce : S = (x + 6)2 (x + 8)(x + 4) + 1

a) 1

b) 2

c) 3

d) 4

e) 5

5).- Efecta :

(x2 + x + 1) (x + 1) (x 1)(x2 x + 1)-x6a) x + 1b) -1

c) x-1

d) 1

e) x56).- Si : x2 + 3x - = 0

Calcula : x(x + 1) (x + 2)(x + 3) - 2

a) 2

b) 7

c) 0

d) 6

e) 73

7).- Si : x2+; ( x > 1, calcula : V = x-

a) 1

b) 2

c) 3

d) 4

e) 5

8).- Si : (a + b)2 = 4ab, calcula:

a) ab

b) a + b

c) a2 b2d) 1

e) 2

9).- Halla : E =

Si :a + b + c = 0

a) 1

b) 2

c) 3

d) 4

e) 5

10).- Efecta :

a) 3

b) 2

c) -5

d) 3

e) 1

11).- Simplifica :

E =2b2 + 2ab+

y calcula :

a) a + b

b) (a + b)2c) a b

d) ab

e) a2 + b212).- Si : a =-1; b=1 - ; c = -

Calcula :

a) 1/3

b) 2/3

c) 1/9

d) 7/3

e) 1

13).- Si : y =

Calcula : E = (y + 3)(y 3) (y2 + 9) y4a) 81

b) 81

c) -27

d) 9

e) -9

14).- Si :x + y = 5; xy = -2

Calcula : x2 + y2a) 23

b) 27

c) 7

d) 29

e) 21

15).- Efecta : H =

a) 5

b) 4

c) 3

d) 2

e) 1

16).- Si :

Halla el valor de : E = (2a)555 (2b)555a) 0

b) 1

c) -1

d) 2

e) -2

17).- Si : ab=1 ( a + b = 4, calcula :

F =

a) 4

b) 3

c) 16/7

d) 13/7

e) 26/7

18).- Si : a, b ( R adems :

a2 + 2b2 + 2ab + 2b + 1 =0

Calcula :

a) 1

b) 2

c) 3

d) 1

e) 4

19).- Efecta :

(x + 1) (x + 2) + (x + 3) (x + 4)- 2x(x + 5)

a) 15

b) 14

c) 13

d) 12

e) 111

20).- Si : a + c x =x b d

Calcula :

(x a)2 + (x - b)2 + (x c)2 + (x d)2a) a b + c d

b) a2 b2 + c2

c) a2 + b2 + c2 + d2d) a2 + b2 + c2 + d2e) abcd

21).- Si : x + y =xy = 3

Halla : x3 + y3 - 1

a) 1

b) 2

c) 8

d) 26

e) 80

22).- Luego de operar :

La expresin equivalente es :

a) 6

b) 5

c) 3

d) 1

e) -4

CLAVES

1) d2) c3) c4) e5) b

6) a7) a8) e9) c10) b

11) a12) c13) b14) d15) e

16) a17) e18) b19) b20) d

21) a22) b

DEPARTAMENTO DE PUBLICACIONES

200 MILLAS

COL2004/RMAT-12 11/03/04 J.P.B

PAGE

_1141616247.unknown

_1141616395.unknown

_1141617097.unknown

_1141617822.unknown

_1141670507.unknown

_1141670547.unknown

_1141670747.unknown

_1141670775.unknown

_1141670536.unknown

_1141618004.unknown

_1141618025.unknown

_1141617599.unknown

_1141617716.unknown

_1141617430.unknown

_1141617143.unknown

_1141616654.unknown

_1141616954.unknown

_1141616310.unknown

_1141616359.unknown

_1141616295.unknown

_1141614088.unknown

_1141614404.unknown

_1141614546.unknown

_1141614641.unknown

_1141614767.unknown

_1141614906.unknown

_1141616227.unknown

_1141614829.unknown

_1141614722.unknown

_1141614567.unknown

_1141614529.unknown

_1141614540.unknown

_1141614513.unknown

_1141614258.unknown

_1141614353.unknown

_1141614168.unknown

_1141613622.unknown

_1141613873.unknown

_1141613896.unknown

_1141613847.unknown

_1111254633.unknown

_1141613477.unknown

_1111253126.unknown

_1111253468.unknown

_1020092842.unknown