Tema 5-2. Factorial Completo
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Tema 4: Disseny dexperiments
Que interessa normalment ?:
1. Determinar si realment aquestes variables afecten al parmetre
dinters. 2. Determinar com lafecten 3. Trobar les valors de les variables que donin un valor ptim del
parmetre
4..
y = f ( x1, x2, x3, .......xn )
Disseny Factorial
-Pot donar resposta als punts mencionats
-Lexperimentaci realitzada, pot servir com inici daltres dissenys mes elaborats
-
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Tema 5: Disseny dexperiments
Temperatura (C)
Rendiment (g) Concentracin (%)
Nivel (+)
C - Concentracin
Nivel () Factores
T - Temperatura (C) 160 180
20 40
X
Z
PROCES
-
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Tema 4: Disseny dexperiments
x1 x2 x3 1 2 3 4
x1
+ +
+ +
x2
22
1 2 3 4 5 6 7 8
+ + + +
+ + + +
+ + + +
23
1 2 3 4 5 6 7 8 9
10 11 12 13 14 15 16
x1 + + + + + + + +
+ + + + + + + +
+ + + + + + + +
+ + + + + + + +
x2 x3 x4
24
Disseny
Factorial
Complert Base: n nivells
potncia: n factors 2k
-
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Tema 4: Disseny dexperiments
x1 1 +1
x2 +1
1 x1
x2
x3
x1
x2
x3
x1
x2
x3
x4= 1
x4= +1 x4= -1
-
Diseo Factorial Completo. Dos niveles
Representacin de los experimentos: 1, 2, 3, .n a, b, c, .ab, ac, abc, acd, ..
Matrices de experiencias:
x1 x2
1
2
3
4
x1 x2 0 0
1 0
0 1
1 1
1
2
3
4
A B C
+
a
ab
bc
Matriz modelo: 1
2
3
4
x0 x1 x2
+
y = b0 + b1 x1 + b2 x2
-
Diseo Factorial Completo: 2 Factores a 2 niveles
Plan de Experimentacin
x1 x2 y
160 A y1=54
180 A y2=64
160 B y3=60
180 B y4=70
Matriz del Modelo
Modelo Matemtico: y = b0 + b1 x1 + b2 x2
-
Efecto de x1:
cuando x2 est en el nivel bajo () = b1x2(-)
y2 y1
2
y4 y3
2 cuando x2 est en el nivel alto (+) = b1
x2(+)
y1 + y2 y3 + y4 4
Diseo Factorial Completo: 2 Factores a 2 niveles
[ ( y2 y1) / 2 ] + [ ( y4 y3 )/2 ]
2 b1 = =
Clculo de los coeficientes del modelo:
y = b0 + b1 x1 + b2 x2
-
x2
x1
+
y1
+ y4
y2
y3 x2
+ x1
54
+ 80
64
58
1 2
3 4 54
64
58
80
Efecto del factor
-
Efecto de la curvatura
1 2
3 4 y1
y2
y3
y4 y = b0 + b1 x1 + b2 x2
Si esta ecuacin representase bien la variacin de la
respuesta y en el dominio experimental definido
por los factores x1 y x2
o bien su diferencia sera equivalente al
error experimental
Si esto no es as, indica que el plano definido por los puntos 1, 2, 3, 4 es alabeado.
Cul es el modelo matemtico que define un plano con curvatura ?
y = b0 + b1 x1 + b2 x2 + x1 x2
( y3 + y2 )
2 =
2
( y4 + y1)
-
Efecto de la curvatura. Calculo rpido de la interaccin
A la matriz modelo tendremos que aadirle el trmino x1x2
x0 x1 x2 x1x2
+
(y1 y2 y3 + y4)
4 =
Cul es el significado fsico de este trmino?
[ ( y4 y3 ) / 2 ] [ ( y2 y1 ) ] / 2
2 = =
b1 x2 = (+) b1
x2 = (
2 = b12
Luego el trmino b12 se interpreta como la interaccin
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Tema 4: Disseny dexperiments
Pla dexperimentaci Resposta experimental
7.7
67.7
3.7
34.7
8.8
100.0
4.8
37.1
C P T y
15
15
15
15
180
180
180
180
0.05
3
0.05
3
0.05
3
0.05
3
200
200
Matriu
dexperiments
1
2
3
4
5
6
7
8
x1
+ + + +
+ + + +
+ + + +
x2 x3
-
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Tema 4: Disseny dexperiments
Clcul de lefecte dels factors
Respuesta
bCP = ( + y1 y2 y3 + y4 + y5 y6 y7 + y8 ) / 4
bC = ( y1 + y2 y3 + y4 y5 + y6 y7 + y8 ) /4
1
2
3
4
5
6
7
8
+ + + +
+ + + +
+ + + +
+ + + +
+ + + +
+ + + +
+ + + +
y1 y2 y3 y4 y5 y6 y7 y8
C P T Exp. CP CT PT CPT
+ + + + + + + +
Matriu model:
-
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Tema 4: Disseny dexperiments
Efectes calculats
promedio
C
P
T
C P
C T
P T
C T P
33.1
53.6
-26.0
9.3
-22.0
8.1
-7.5
-7.5
Interpretaci: Valor absolut
Signe
+
+
+
3.7 34.7
4.8 37.1
8.8
7.7 67.7
100.0
P
T
C
-
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Tema 4: Disseny dexperiments
Efectes calculats
promedio
C
P
T
C P
C T
P T
C T P
33.1
26.8
-13.0
4.6
-11.0
4.06
-3.7
-3.7
33.1
53.6
-26.0
9.3
-22.0
8.1
-7.5
-7.5
promedio
C
P
T
C P
C T
P T
C T P
-
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Tema 4: Disseny dexperiments
Grfics Pareto: Es basen en la representaci dels ndex pi
pi =bi2
bi2
100
50,4
33,2
7,8
1,0
5,6
0,8
0,6
0,6
-
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Tema 4: Disseny dexperiments
Nivel (+)
A
C - Concentracin
Nivel () Factores
K - Catalizador
T - Temperatura (C)
B
160 180
20 40
Dominio experimental
Planta piloto. Diseo 23
Temperatura (C)
Catalizador
Rendimiento (y) Concentracin (%)
G. E. P. Box, W. G. Hunter, J. S. Hunter Estadstica Para Experimentadores. Ed. Revert, Barcelona, 1989
-
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Tema 4: Disseny dexperiments
Plan de experimentacin
Respuesta experimental
60
72
54
68
52
83
45
80
T C K
A
A
A
A
B
B
B
B
160
180
160
180
160
180
160
180
20
20
40
40
20
20
40
40
Matriz de
experimentos
1
2
3
4
5
6
7
8
x1
+ + + +
+ + + +
+ + + +
x2 x3
59
74
50
69
50
81
46
79
61
70
58
67
54
85
44
81
y
Planta piloto. Diseo 23
-
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Tema 4: Disseny dexperiments
Planta piloto. Diseo 23
Efectos calculados
promedio
T
C
K
T C
T K
C K
T C K
64.25
23.0
-5.0
1.5
1.5
10.0
0.0
0.5
b0 = bT = bC = bK = bTC = bTK = bCK = bTCK =
bT
bC
bK
bTC
bTK
bCK bTCK
Anlisis grfico de los efectos
-5 0 5 10 15 20 25
-
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Tema 4: Disseny dexperiments
Grfic Pareto:
20 40 60 80 100
78.43
14.83
3.7
2.3
0.33
P1
p1,3
p2
p1,2,3
p3
p1,2
p2,3
pi =bi2
bi2
100
0.33
-
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Tema 4: Disseny dexperiments
Plan de experimentacin
Respuesta experimental
T C K
A
A
A
A
B
B
B
B
160
180
160
180
160
180
160
180
20
20
40
40
20
20
40
40
Matriz de
experimentos
1
2
3
4
5
6
7
8
x1
+ + + +
+ + + +
+ + + +
x2 x3
59
74
50
69
50
81
46
79
61
70
58
67
54
85
44
81
y
s1
s2
s3
s4
s5
s6
s7
s8
n rplicas
Planta piloto. Diseo 23 Significacin estadstica de los efectos. Uso de rplicas
-
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Tema 4: Disseny dexperiments
1
)(1
2
2
=
=
n
yy
s
n
j
iij
i
Variana estimada para
cada experiment i
Caso particular: sol 2 repliques:
22
)(22
212 iiii
dyys =
=
con 1 grau de llibertat
59
74
50
69
50
81
46
79
61
70
58
67
54
85
44
81
y di 2
is
2
4
8
2
4
4
2
2
2
8
32
2
8
8
2
2
Error estndard dels efectes emprant repliques
)( 21 iii yyd = N
s
N
s
n
ss
kb
24
2
2
2
2
===
n de rplicas n total de experimentos
(contando las rplicas)
-
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Tema 4: Disseny dexperiments
Significaci estadstica dels efectes
Interpretacin: Si el intervalo de confianza contiene el 0, entonces
el efecto no es significativo a un nivel = 0.05
Intervalo de confianza de aproximadamente el 95% del efecto
estimado
b 2 sb
3.37 1.56 (significativo)
1.25 1.56 (no significativo) Ejemplo:
-
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Tema 4: Disseny dexperiments
Significaci estadstica dels efectes
Efectes calculats
promedio
T
C
K
T C
T K
C K
T C K
64.25
23.0
-5.0
1,5
1,5
10.0
0.0
0.5
bT
bC
bK
bTC
bTK
bCK bTCK
1.4
2.8
2.8
2.8
2.8
2.8
2.8
2.8
4,124
2
2
2
2
====
N
s
N
s
n
ss
kb
-
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Tema 4: Disseny dexperiments
Altres mtodes davaluar lerror estndard dels efectes
Factor Efecte (Efecte)2
ABC 0.14 0.0196
ABD -0.09 0.0081
ACD -0.19 0.0361
BCD -0.39 0.1521
ABCD 0.41 0.1681
Suma de quadrats = 0.3840
Suma mitjana de quadrats = 0.3840/5 = 0.0768
A. A partir de les interaccions dordre superior
B. A partir de repeticions en el punt central
-
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Tema 4: Disseny dexperiments
Significaci estadstica dels efectes: ANOVA
Efecte bi
g.L
SS MSS
SS/gl F
A 53,6 1 8618,88 8618,88 495,20
B -26,0 1 2028 2028 116,52
C 9,3 1 259,47 259,47 14,91
AB -22,0 1 1452 1452 83,42
AC 8,1 1 196,83 196,83 11,31
BC -7,5 1 168,75 168,75 9.70
ABC -7,5 1 168,75 168,75 9,70
ee= Error
experimental 5,9 n (ex 2) 34.81 17.4
Ftab (1,2, =0,05) = 18,153
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Tema 4: Disseny dexperiments
y = f ( x1, x2, x3, .......xn )
Model que podem establir: Superfcie de Resposta
y = b0 + b1x1+ b2x2 + b3 x3+ b12x1.x2+ b13 x1.x2+ b23 x2.x3+ b123 x1x2.x3
y = b0 +b1x1+b2x2 + b12x1.x2
El model sha de validar Amb punts externs dintre del domini
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Tema 4: Disseny dexperiments
1 2 3 4 5 6 70
20
40
60
80
100
120
140
Number of variables
Num
be
r o
f e
xpe
rim
ents
k = 3 8 experiments
k = 4 16 experiments
k = 7 128 experiments
Nombre de factors
No
mb
re d
exp
eri
men
ts
4
8
16
128
...
2k
Efectos principales
Interacciones
2 factores
3 factores
4 factores
5 factores
6 factores
7 factores
N = 2k
2
3
4
7
...
k
7
21
35
35
21
7
1
Factores
Limitacions dels dissenys factorial complert