Tema 4: Resolución de triángulos. -...
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Tema 4: Resolución de triángulos.
Ejercicio 1. En un triángulo rectángulo se conocen: a = 11 cm. y la hipotenusa, c = 20 cm. Hallar los demás
elementos.
Solución:
BEl otro cateto: .7,161120 22 cmb
b A
c
Un ángulo agudo: 2233ˆ55,020
11ˆ AAsen a
El otro ángulo agudo: 8356ˆ90ˆ AB C
- Ahora lo resolveremos con Wiris:
Figura 1.
Enlace con el ejercicio resuelto en la Web:
MATEMATICAS I EDUCANDO CON WIRIS
Ejercicio 2. En un triángulo rectángulo del que se conocen: y un cateto, a = 15 cm. Hallar los demás
elementos.
50ˆ B
Solución:
B.88,175015ˆˆ cmtgBtgab
a
bBtg
2
c
A b
a.34,2350cos
15ˆcos
ˆcos cmB
ac
c
aB
405090ˆ90ˆ BA C
- Ahora lo resolveremos con Wiris:
Figura 2.
Enlace con el ejercicio resuelto en la Web:
Ejercicio 3. Jaime está volando una cometa. Ha soltado 9 m. de cuerda, y esta forma un ángulo de 55º con el
suelo. ¿A qué altura se encuentra?
Solución:
Para calcular el lado desconocido, lo relacionamos con los elementos conocidos mediante la correspondiente
razón trigonométrica:
RESOLUCIÓN DE EJERCICIOS GUIADOS TEMA 4. Resolución de triángulos.
msenxx
sen 37,7º5599
º55
La cometa está a 7,37 m. más la altura de la mano que sostiene la cuerda. - Ahora lo resolveremos con Wiris:
Figura 3.
Enlace con el ejercicio resuelto en la Web:
Ejercicio 4. En el triángulo adjunto conocemos el lado ma 120 y el ángulo Calcular la longitud del
tercer lado c.
º.61ˆ C
Solución:
Como el triángulo no es rectángulo, no podemos aplicar directamente los conocimientos anteriores. Sin embargo, si trazamos la altura, x, se obtienen dos nuevos triángulos rectángulos.
En el triángulo rectángulo conocemos ma 120 y º.61ˆ C 1
3
º61ˆ C
y z
ma 120 ?c
mb 172
x 2 1
Podemos obtener x e y:
.95,104º61120ˆˆ msenCsenaxa
xCsen
.18,58º61cos120ˆcosˆcos mCaya
yC
MATEMATICAS I EDUCANDO CON WIRIS
En el triángulo , el lado z se obtiene de forma inmediata: mmmybz 82,11318,58172 2
Hallamos el lado c buscado aplicando el teorema de Pitágoras: mzxc 82,15482,11395,104 2222
Ahora lo resolveremos con Wiris:
Figura 4.
-
Figura 5.
nlace con el ejercicio resuelto en la Web: E
jercicio 5.
ara hallar el ancho de un río procedemos así: Nos situamos en un punto A, en una orilla del río, y
E P
medimos el ángulo º53 bajo el cual se ve un árbol que está frente a nosotros, en la otra orilla. Nos
alejamos 20 m. de l illa en dirección perpendicular a ella y volvemos a medir el ángulo bajo el
cual se ve el árbol, º.32 ¿Cuánto mide el ancho del río?
a or
4
RESOLUCIÓN DE EJERCICIOS GUIADOS TEMA 4. Resolución de triángulos.
Solución:
D
5
º32 º53
20 m x
A B C
y
mx
xx
xtgxyx
ytg
xtgxyx
ytg
46,17
)20(26,033,1
)20(62,0º32)20(20
º32
33,1º53º53
El río mide 17,46 m de ancho.
- Ahora lo resolveremos con Wiris:
Figura 6.
MATEMATICAS I EDUCANDO CON WIRIS
Enlace con el ejercicio resuelto en la Web:
Ejercicio 6. Sabiendo que: 423,0º25 sen 906,0º25cos 466,0º25 tg
º205)
Hallar todas las razones
trigonométricas de: b c d º65)a º115) º155)
Solución: 145,2
6
145,2
906,0
423,0
º65 º25
a) Los ángulos 65º y 25º son complementarios, por lo que:
906,0º25cosº65 sen
423,0º25º65cos sen
145,2466,0
1
º25
1º65
tgtg
423,0
906,0
º115º25
b) 115º = 25º + 90º, por tanto:
906,0º25cosº115 sen
423,0º25º115cos sen
145,2º25
1º115
tgtg
466,0
º25
º155
906,0
423,0
c) los ángulos de 25º y 155º son suplementarios, luego:
423,0º25º155 sensen
906,0º25cosº155cos
466,0º25º155 tgtg
RESOLUCIÓN DE EJERCICIOS GUIADOS TEMA 4. Resolución de triángulos.
7
466,0º25
º205
906,0
423,0
d) 205º = 25º + 180º, por tanto:
Ahora lo resolveremos con Wiris:
Figura 7.
423,0º25º205 sensen
cos 906,0º25cosº205
tg 466,0º25º205 tg
-
Enlace con el ejercicio resuelto en la Web:
Ejercicio 7.
De un triangulo ABC conocemos:
º.83ˆ,º42ˆ,63 ABmAB Calcular BC utilizando métodos
trigonométricos.
MATEMATICAS I EDUCANDO CON WIRIS
Solución:
8
Casi estamos en condiciones de aplicar el teorema de los senos. Necesitaremos conocer el ángulo : C
º55º125º180)ˆˆ(º180ˆ BAC Ahora podemos relacionar CyAca ˆˆ,,
msen
sena
sensen
a
Csen
c
Asen
a34,76
º55
º8363
º55
63
83ˆˆ
- Ahora lo resolveremos con Wiris:
Figura 8.
Enlace con el ejercicio resuelto en la Web:
DATOS
INCÓGNITAS
mcAB 63
º83ˆ A
º42ˆ B
aBC
A
º83m63
º42 C
B ?
RESOLUCIÓN DE EJERCICIOS GUIADOS TEMA 4. Resolución de triángulos.
Ejercicio 8. Si calcular ,5º30ˆ,4 cmbyBcma .A
A
Solución:
9
B
cma 4
cmb 5º304,0
5
5,04ˆº30
5ˆ
4ˆˆ
AsensenAsenBsen
b
Asen
a
Posibles soluciones: 1443º23ˆ1 A 9152º156ˆ
2 A
Sin embargo, si fuera , A 9152º156 º.180ˆˆ BA
¡Imposible! Por tanto, solo hay una solución. - Ahora lo resolveremos con Wiris:
Figura 9.
Enlace con el ejercicio resuelto en la Web:
Ejercicio 9.
Calcular AC en un triángulo ABC del que conocemos: mBC 1200 mBA 700
Resolverlo trigonométricamente.
º.108ˆ B
MATEMATICAS I EDUCANDO CON WIRIS
Solución:
Hemos de relacionar los tres lados a, b (incógnita), c y el ángulo .B Cb
APodemos, pues, aplicar el teorema del coseno.
10
mbbBaccab 97,1564º108cos700120027001200ˆcos2 22222
- Ahora lo resolveremos con Wiris:
Figura 10.
Enlace con el ejercicio resuelto en la Web:
Ejercicio 10. En el triangulo ABC, AD en la altura relativa al lado BC. Calcula las razones trigonométricas de los
ángulos B y C . Halla la medida de los ángulos del triángulo ABC. ˆ
Solución:
La altura AD es perpendicular a BC. Los triángulos ADB y ADC son rectángulos. Calculamos BD mediante el
teorema de Pitágoras:
B m700c
ma 1200 º108
RESOLUCIÓN DE EJERCICIOS GUIADOS TEMA 4. Resolución de triángulos.
523 222 BDBD
En el triangulo ADB hallaos las razones trigonométricas del ángulo B .
11
cm2
3
2ˆ Bsen 3
5ˆcos B 5
2ˆ Btg
En el triángulo ADC hallamos la hipotenusa:
65,464,212,42 222 ACAC
Las razones trigonométricas de C : ˆ
43,065,4
2ˆ Csen 9,065,4
2,4ˆcos C 47,02,4
2ˆ Ctg
- Ahora lo resolveremos con Wiris:
Figura 11.
B
D
cm2,4cm3
CA
MATEMATICAS I EDUCANDO CON WIRIS
Figura 12.
Enlace con el ejercicio resuelto en la Web:
Ejercicio 11. Halla las restantes razones trigonométricas del ángulo en los siguientes casos:
Solución:
5
32cos) a º90
3
23) ytgb
6
39
5
13
6
39
32
13
5
325
13
5
13
tgsen
tgsen
a) 25
13
25
1211
5
32 2
2
2
sensen Hay dos soluciones:
b) Llamamos cos cysens :
24
31
9
231
3
23
3
23
13
23
222
2
22
ccccc
cs
csc
s
Como ,0º90 tgy está en el
tercer cuadrante. Por tanto:
8
23
24
3cos
8
46
8
23
3
23
sen
12
RESOLUCIÓN DE EJERCICIOS GUIADOS TEMA 4. Resolución de triángulos.
- Ahora lo resolveremos con Wiris:
Figura 13.
Figura 14.
Enlace con el ejercicio resuelto en la Web:
13
MATEMATICAS I EDUCANDO CON WIRIS
Ejercicio 12. Calcula los lados y los ángulos del triangulo ABC, rectángulo en A, del que conocemos el cateto
cmAC 15 y la altura relativa a la hipotenusa, .12 cmAD
Solución:
Al trazar la altura ,AD se forman dos triángulos rectángulos, ADC y ADB.
14
C D
cm12cm15
Calculamos el ángulo C en el triángulo ADC: 847º53ˆ15
12ˆ CCsen A
BCalculamos el ángulo en el triángulo ABC: 2125º3690 B
Calculamo
ˆB
s ,AB en el triángulo ADB: cmABBsen 201212ˆ
senAB 2125º36
La hipotenusa ,CB del triángulo ABC, la calculamos por el teorema de Pitágoras:
cmCB 25202
- Ahora lo resolveremos con Wiris:
CBABACCB 1522222
Figura 15.
RESOLUCIÓN DE EJERCICIOS GUIADOS TEMA 4. Resolución de triángulos.
Figura 16.
o resuelto en la Web: Enlace con el ejercici
15
cables están alineados con el pie e la antena y distan entre si 98
ula la altura de la antena.
iángulo ABC. En el triángulo rectángulo ADC:
Ejercicio 13. Una antena de radio está sujeta al suelo con dos cables, que forman con la antena ángulos de 36º y
48º. Los puntos de sujeción de los
m. Calc
Solución:
A La antena es una altura de del tr
C D x98
º36 º48
x
º36tghx º36g h
x
t
En el triángulo rectángulo ABD:
xtghh
tg 98º48º48x98
ustituimos x en la segunda ecuación:
S
B
mhtgtg
htgtghtghtghtghtg 3,53º36º48
9898)º36º48(98º36º48º3698º48
h
MATEMATICAS I EDUCANDO CON WIRIS
- Ahora lo resolveremos con Wiris:
Figura 17.
o resuelto en la Web: Enlace con el ejercici
os de un triángulo es doble del otro, y el ángulo comprendido mide 60º. Halla los
os.
o que forman el ángulo de 60º y hallamos el tercer lado,
Ejercicio 14.
Uno de los lad
otros ángul
Solución:
Llamamos x y 2x a los lados del triángul ,BC en función
de x, aplicando el teorema del coseno. B
16
Cx2 º60
x
324º60cos222 222222xxxxxxxBC x 32 xBC
Con el teorema de los senos hallamos los ángulos B y C .
132
32º602ˆº60ˆ
x
x
x
senxBsen
senBsen
º90ˆ º30)º60º90(º180ˆ C
332x x
AB
RESOLUCIÓN DE EJERCICIOS GUIADOS TEMA 4. Resolución de triángulos.
- Ahora lo resolveremos con Wiris:
Figura 18.
o resuelto en la Web: Enlace con el ejercici
iden 6 cm. y 14 cm. y forman un ángulo de 75º. Halla los
ángulos del paralelogramo.
Ejercicio 15. Las diagonales de un paralelogramo m
lados y los
Solución:
OB .3cm y Como las diagonales de un paralelogramo se cortan en su punto medio, cmOA 7
En el tr AB aplicando el teorema iángulo ABO, hallamos del coseno.
17
C
D
º75 O
cm613,47º75cos73222 ABAB 9,72 3
Ángulo BAO : 94º24 BAOO
39,6
º75 BAsensen
En el triángulo AOD: º105º75º180 AOD
B
A
MATEMATICAS I EDUCANDO CON WIRIS
cmAD 3,887,68ºAD co73273 222
ngulo OAD :
105s
18
Á 62º20 OAD
51º45ˆ OADBAO 54º134ˆ180ˆ AD
º105 OADsensen
33,8
A
Los lados del paralelogramo miden 6,9 cm. y 8,3 cm., y sus ángulos 45º 15´ y 134º 45´. - Ahora lo resolveremos con Wiris:
Figura 19.
Figura 20.
RESOLUCIÓN DE EJERCICIOS GUIADOS TEMA 4. Resolución de triángulos.
Figura 21.
Figura 22.
Figura 23.
o resuelto en la Web: Enlace con el ejercici
19
MATEMATICAS I EDUCANDO CON WIRIS
20
C
cº98
cma 5,7
º55b
jercicio 16.
ngulo conocemos dos de los ángulos y un lado: .5,7,º98,55 cmaBA Resuelve el
riángulo.
Solución:
l ángulo º27)º98º55(º180 C
on el teorema de los senos hallamos los lados b y c.
E
En un triá ˆˆ
t
ˆE C
B
.1,9º985,75,7
cmsen
bº55º55º98 sensen
b
sen
.2,4º275,75,7
cmsen
cº55º55º27 sensen
c
xiste solución única siempre que º.180 BA
Ahora lo resolveremos con Wiris:
senA
ˆˆE -
Figura 24.
o resuelto en la Web: Enlace con el ejercici
RESOLUCIÓN DE EJERCICIOS GUIADOS TEMA 4. Resolución de triángulos.
21
C
cmc 14 a
cmb 20
jercicio 17.
n un triángulo se conocen: .14,20,º35 cmccmbA Resuelve el triángulo.
Solución:
.7,11º35cos142021420 cma
omo conocemos los tres lados, la solución es única siempre.
alculamos los ángulos CyB :
E
ˆE
Se halla el lado a con el teorema del coseno:
222a B C
ˆˆC
52´02º43ˆº35
7,11ˆ
14 CsenC
5393º101)(º180 BCA
Ahora lo resolveremos con Wiris:
sen
ˆˆˆˆ AB -
Figura 25.
MATEMATICAS I EDUCANDO CON WIRIS
Figura 26.
o resuelto en la Web: Enlace con el ejercici
esuelve un triángulo del que se conocen a = 37 cm., b = 42 cm. y c = 68 cm.
olución:
Ejercicio 18. R
S
Calculamos los ángulos ByA ˆˆ con el teorema del coseno:
C 13º28ˆ
5712
5019ˆcosˆcos68422684237 222 AAA cm b=42
cma 37
22
5584º32ˆ5032
4229ˆcos BB
504º118)ˆˆ(º180ˆ BA
C=68 cm xiste solución uníais cada lado es menor que la suma de los otros dos.
ˆcos68372683742 222 B
C E
B A
RESOLUCIÓN DE EJERCICIOS GUIADOS TEMA 4. Resolución de triángulos.
23
C
cm1,17
cm6, 12
cm4,26
- Ahora lo resolveremos con Wiris:
Figura 27.
o resuelto en la Web:
Enlace con el ejercici
jercicio 19.
solución, que la solución sea única o que existan dos soluciones.
E En estos casos, puede no existir
Resuelve estos tres triángulos:
º25ˆ83) Acmbcmaaˆ 43º124ˆ4,266,12) Bcmbcmab
4º281156,82) Acmbcma
Solución:
º2583) Acmbcmaa 43º1244,266,12) Bcmbcmab 4º281156,82) Acmbcmac
a) Aplicamos el teorema de los senos:
c
ˆ ˆ ˆ
.12,1ˆˆ
8
º25
3 Bsen
BsensenImposible. No existe solución.
b) Con el teorema de los senos calculamos :A ´´33´8º23ˆ43º124
4,26ˆ
6,12
Asen
senAsen
´´27´17º32)ˆˆ(º180ˆ BAC ; cmcsensen 124´27´17º32
c1,17
4,26
o puede haber dos soluciones, porque, como
43º ´
N B es obtuso, CyA tienen que ser agudos. ˆˆ
B A
MATEMATICAS I EDUCANDO CON WIRIS
24
C cmb 115
cm9,163c cm6,82a
Ccmb 115
cm1,c 39 cm
) Al aplicar el teorema de los senos obtenemos dos valores para
a 6,82
B : c
54º139ˆ180ˆ5255º40ˆ
ˆ115
4º28
6,82 1
BB
B
Bsensen
12
alculamos el ángulo C y el lado c en cada caso.
ˆC B
11
53º111)ˆˆ(º180ˆ BAC
cmcsensen
c9,163
4º28
6,82
53º111 11
A
B
22
5215º12)ˆˆ(º180ˆ BAC
cmcsensen
c1,39
4º28
6,82
5215º12 22
A
- Ahora lo resolveremos con Wiris:
Figura 28.