Tema 4-Operaciones Algebraicas de Vectores
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Operaciones algebraicas vectoriales
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Igualdad de vectores:
Dos vectores son iguales si tienen la misma magnitud, la misma dirección y el mismo sentido.
^^BABABA
,BB,AA
BABA
yxyx
yxyx
B,BjBiBB
A,AjAiAA
senBB
cosBB
senAA
cosAA
y
x
y
x
yy
xx
BA
BA
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Vector negativo
Un vector es negativo de otro si tienen la misma magnitud, la misma dirección pero sentido opuesto al primero.
^^BABABA
,BB,AA
180BABA
yxyx
yxyx
B,BjBiBB
A,AjAiAA
180senBsenBB
180cosBcosBB
senAA
cosAA
y
x
y
x
yy
xx
BA
BA
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Suma de vectores
BAR
x
y
A
Ax
Ay
Bx
By
B
Rx=Ax+Bx
Ry=Ay+By
R
Bx
Ay
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Suma de vectores
BAR
jRiRR;jBiBB;jAiAA yxyxyx
jBiBjAiAjRiRBAR yxyxyx
yyyyyy
xxxxxx
BAR0BAR
BAR0BAR
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Resta de vectores
BABAR
jRiRR;jBiBB;jAiAA yxyxyx
jBiBjAiAjRiRBAR yxyxyx
yyyyyy
xxxxxx
BAR0BAR
BAR0BAR
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Producto de un escalar por un vector
AtR
jRiRR;jAiAA yxyx
jAiAtjRiRAtR yxyx
jtAitAjRiR yxyx
yyyy
xxxx
tAR0tAR
tAR0tAR
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Ejemplo 2.1: Las dos fuerzas P y Q actúan sobre el perno A. Determine su resultante.
Respuesta:
Primero hacemos un diagrama de fuerzas.
y escribimos las coordenadas polares de cada vector
45,N60Q;20,N40P
Ahora encontramos las coordenadas rectangulares o componentes
N4264.4245senN60Q
N4264.4245cosN60Q
N6808.1320senN40P
N5877.3720cosN40P
y
x
y
x
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Respuesta:
N4264.4245senN60Q
N4264.4245cosN60Q
N6808.1320senN40P
N5877.3720cosN40P
y
x
y
x
Entonces hacemos la suma de los vectores:
N1071.5645senN6020senN40QPR
N0141.8045cosN6020cosN40QPR
yyy
xxx
0388.35R
Rarctan
N7255.97RRR
x
y
2y
2x
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Ejemplo 2.2: Un lanchón es arrastrado por dos remolcadores. Si la resultante de las fuerzas ejercidas por los remolcadores es una fuerza de 5000 lb dirigida a lo largo del lanchón, determine: a) la tensión en cada una de las cuerdas sabiendo que =45°, y b) si el valor de es tal que la tensión en la cuerda 2 sea mínima, ¿cuáles son las magnitudes de las tensiones?
Respuesta: Primero hacemos un diagrama de fuerzas.
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senC,cosCA,A0,lb5000CAD 21
23
0senCA
lb5000cosCA
21
23
A,A30senA,30cosAA 21
23
senC,cosCC
0,lb5000lb0sen5000,lb0cos5000D
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a) =45°
045senCA
lb500045cosCA
0senCA
lb5000cosCA
21
23
21
23
0CA
lb5000CA
22
21
22
23
0C2A
lb10000C2A3
lb10000C213C2C23C2A3
C2A
lb2540.3660lb
13
10000A
lb1905.2588lb213
10000C
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b) El valor de para que C sea mínima es de 60°, entonces,
0senCA
lb5000cosCA
21
23
060senCA
lb500060cosCA
21
23
0CA
lb5000CA
23
21
21
23
lb5000C2CCCC3CA
C3A
21
23
21
23
21
23
lb1270.4330lb32500A
lb2500C
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Ejercicio 2.31: Determine la resultante de las fuerzas mostradas en la figura.
Respuesta: El diagrama de fuerzas es
160,kip9C;110,kip7B;40,kip5A
kips0781.3
160senkips9Ckips4572.8
160coskips9C
kips5778.6
110senkips7Bkips3941.2
110coskips7B
kips2139.3
40senkips5Akips8302.3
40coskips5A
y
x
y
x
y
x
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kips0781.3C
kips5778.6B
kips2139.3A
kips4572.8C
kips3941.2B
kips8302.3A
y
y
y
x
x
x
kips8698.12Rkips0211.7R yx
kips6604.14
kips8698.12kips0211.7R 22
6146.118kips0211.7
kips8698.12arctan
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Ejercicio 2.36: Un collarín que puede deslizarse sobre una varilla vertical se somete a las tres fuerzas mostradas en la figura. Determine a) el valor del ángulo para que la resultante de las tres fuerzas sea horizontal, b) la magnitud correspondiente a la resultante.
Respuesta: El diagrama de fuerzas es
270,lb130,lb130C;90,lb90B;,lb70A
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senlb70A
coslb70A,lb70A
y
x
lb9090senlb90B
090coslb90B90,lb90B
y
x
coslb130270senlb130C
senlb130270coslb130C270,lb130C
y
x
coslb130lb90senlb70R
senlb130coslb70R
y
x
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0coslb130lb90senlb70R
senlb130coslb70R
y
x
a) Valor del ángulo para que la resultante de las tres fuerzas sea horizontal.
Vector horizontal significa componente vertical igual a cero. Entonces
coslb130lb90senlb70
222 coslb130lb90senlb70
222222 senlb16900lb16900lb8100senlb12600lb4900
222 sen1lb130lb90senlb70
039sen126sen169 2
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039sen126sen169 2
1692
391694126126sen
2
2341.2819808.0
6080.132353.0
338
42240126sen
Si No
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b) La magnitud correspondiente a la resultante.
0coslb130lb90senlb70R
senlb130coslb70R
y
x
senlb130coslb70R
6080.13
lb6210.98R