Tema 4:Energía

electrostática

Joaquín Mur Amada

Tema 4 - Índice.1. Energía electrostática en sistema de cargas

puntuales Primero veremos la energía asociada a dos cargas

y deduciremos el resultado para más cargas.

2. Energía electrostática almacenada en un condensador

Debida a su carga almacenada a un cierta diferencia de potencial Debida a los campos E y D en su interior

¡¡crear un campo eléctrico cuesta energía!!

3. Campos eléctricos variables sobre materiales dieléctricos.

Cualitativamente se verá el efecto de las ondas electromagnéticas en dieléctricos (principio de funcionamiento del horno microondas).

2

1- Energía electrostática de cargas puntualesPartimos de que tenemos las cargas puntuales ya creadas (en esta sección no contabilizo el trabajo que cuesta “fabricar” esa carga puntual).Trabajo para situar una carga q1 en un punto en el espacio P1 cuando no hay más.

Puesto que sólo existe una carga, la carga no sufre ninguna fuerza No hay campo externo que actúe sobre la carga.

Colocar la primera carga nos sale “gratis”.

3

P1

Trabajo que realizamos para llevar la carga q1 desde P1 =

1PW =0

q1

1.1. Sistema de dos cargasInicialmente tenemos q2 en un punto muy distante.

Trabajo que un agente exterior debe realizar para situar q2 en presencia de q1 en el punto P2.

4

1

2 2

1

2

1

1

2 2 qP P

1

qP2 1 1

21 2 21

q carga puntual

q

trabajo que cuesta llevar a q desde PW W

(es debido sólo a la presencia de q )

Wpotencial del punto P q qV k k

debido sólo a la carga q q distancia r

2

1P 2

21

qW q k

r

P 2

T r a b a j o q u e r e a l i z a m o s p a r a l l e v a r l a c a r g a q 2 e n p r e s e n c i a

d e q 1 d e s d e P 2 = 1

2 2 1

qP 2 e n P d e b i d o a qW q V

q 2 q 1 r 1 2

Forma elegante de expresar la energía de un sistema de dos

cargaTrabajo total para crear el sistema de las cargas puntuales q1 y q2

Trabajo que realizamos nosotros (un agente exterior al campo eléctrico).q1V2 = trabajo que tenemos que realizar para trasladar 1 C desde el hasta el punto que ocupará q2 en presencia únicamente de la carga q1

5

2

1 2

q1 1 2 1 2E P 2 1 2 1

21 21 21 21

q q2 creado sólo 1 creado sólo 2 2 1 1

por q1 en P2 por q2 en P1

q q q q1W 0 W q k q k q k q k

r r 2 r r

1 1q V q V q V q V

2 2

ObservacionesEl orden en que se traigan las cargas q1 y q2 no afecta a la energía eléctrica del sistema WE

Tampoco afecta el camino seguido para trasladarlas (por ser el campo eléctrico conservativo) trasladamos todas las cargas de forma reversible desde el hasta su posición final.WE es debida a la energía potencial eléctrica.

WE es la facultad que tiene el sistema de producir movimiento (transformarse a energía cinética) a causa de la posición relativa de las cargas.Sistema conservativo Wtotal = WE + Wcinética

Como el campo E es conservativo, WE es igual al trabajo necesario contra el campo E (el que realizamos nosotros, agentes externos al campo E) para llevar las cargas a sus posiciones en el sistema.

6

1.2. Sistema de tres cargasWtotal = trabajo que realizamos para crear el sistema de tres cargas puntuales.

7

P2

q2 q1 r12

P3

q3

r32 r32

1 2

1 1

q q2 2 2 creado sólo 1 creado sólo 2 2 1 1

por q1 en P2 por q2 en P1

q W = 0 J = no necesito realizar trabajo

1 1q W q V q V q V q V

2 2

Trabajo que realizamos para situar q3 en su posición final en presencia de q1 y q2

8

1

2

31 1

1 2

32 2

q3

3 q3

qq q3 1 1 3 3

q q3 3 3

qq q3 2 2 3 3

E 1

aplicamos el principio de superposición: Wq3 W

(conocemos la energía de un par de cargas) W

1W q V q V

2 W W W1

W q V q V2

W W

3 31 2 1 2

3 32 1 1 2

q qq q q q2 3 2 2 1 1 1 1 3 3 2 2 3 3

q qq q q q1 1 1 2 2 2 3 3 3

1 2

1

en P1 creado por todas en P2 creado por todaslas cargas menos q las cargas me

1 1 1W W q V q V q V q V q V q V

2 2 21

q V V q V V q V V2

1 = q V q V

2

3

3

1 T1 2 T2 3 T3 i Tii 1

2 3

en P3 creado por todasnos q las cargas menos q

q V

1 1 = q V q V q V = q V

2 2

Generalización para un número de cargas N

9

j

N

E i Tii 1

Ti

i

i

q

Ti Tij 1

1W = q V

2

V potencial puntual (referencia ) del punto que ocupa la

carga q debido a todas las cargas (menos ella misma, puesto que

la distancia de q a sí misma no tiene sentido).

V = V

N

i j

WE = trabajo que realizamos para crear el sistema de N cargas puntuales, trasladando de forma reversible todas las cargas desde el hasta la posición final que ocupan en el espacio.

En caso de tener la carga distribuida en un volumen o superficie, el sumatorio se convertiría en una integral y en vez de cargas puntuales tendríamos dq.

Cuando se carga un condensador, la fuente de alimentación realiza un trabajo para transportar las cargas de una placa a la otra, elevando la energía potencial de éstas. Éste aumento de energía de las cargas constituye la energía potencial almacenada en el condensador. circuito carga cond

http://www.phy.ntnu.edu.tw/java/rc/rc_s.htm

Inicialmente, cuando el condensador está descargado, no le cuesta energía mover la primera carga.

2. Energía electrostática almacenada en un condensador

10

Vídeo carga condensador

Extra

cto to

mad

o d

e “E

l un

iverso

mag

nético

y m

ás

allá

”.

Vídeo descarga condensador

Extra

cto to

mad

o d

e “E

l un

iverso

mag

nético

y m

ás

Extra

cto to

mad

o d

e “E

l un

iverso

mag

nético

y m

ás

allá

”.allá

”.

Carga de un condensador a través de una fuente con potencia limitadaInicialmente, cuando el condensador está descargado, no le cuesta energía mover la primera carga.Conforme se va cargando el condensador, el potencial está más alto y por lo tanto, para llevar una carga + del electrodo – al + le va costando más energía.

Símil de un obrero que va construyendo una pared: los primeros ladrillos que pone en el suelo no le suponen gasto energético porque no los tiene que levantar. Conforme aumenta la altura del muro, tiene que gastar más energía en levantar los ladrillos.

13

2.1. Deducción de la energía acumulada en el condensador (en función de su carga)

14

Energía acumulada en el condensador = suma del trabajo necesario para trasladar cada carga q+ desde el terminal inferior Vb o V- al terminal o electrodo superior Va o V+

dW = trabajo que realizamos para transladar dq desde VbVa en un instante.

dW = dq (Va-Vb)

La d.d.p. en el condensador varía en función de la carga que vamos almacenando: Va-Vb = q / C

dW = q C-1 dqSuma se convierte en integral al trabajar con diferenciales

Condensador cargado q = Q 2

E

Cond.descargado q = 0

q q QW dW dq dq

C C 2C

http

://web

.mit.e

du

/8.0

2t/w

ww

/80

2TE

AL3

D/

visu

aliza

tion

s/ele

ctrosta

tics/vd

gd

ischarg

e/

vd

gd

ischarg

e.h

tm

Energía necesaria para separar cargas + y - = energía necesaria para almacenar un par de cargas Q+ y Q- en un

condensador

Fórmulas equivalentes de la energía acumulada en el condensador

16

Nota: por comodidad emplearé simplemente V para denotar Va-Vb, la d.d.p. entre las placas del condensador.

Fórmula recomendada para condensadores NO aislados (conectados a una fuente, V = cte)

Fórmula recomendada para condensadores AISLADOS (Q = cte)

22

E

Q QC C

V V

1 Q 1 1W Q V C V

2 C 2 2

2E

1W C V

2

2

E

1 QW

2 C

Ejemplo: condensador plano con placas de área S, distancia entre ellas d e inicialmente vacío.

17

Se conecta a una fuente de alimentación a una d.d.p. V

a) Calcular la energía electrostática.

b) Si se mantiene conectado a la fuente (la d.d.p. es cte.) y se introduce entre las placas un material de permitividad , calcular la nueva energía electrostática.

c) Si en el apartado a) se aísla el condensador y luego se introduce el material de permitividad , calcula la energía

220 0

0 E 0 Vacío

S V S1C W C V W

d 2 2d

22

E Vacío

S V S1C W C V W

d 2 2d

0

2 2 220 0 0 0

E Vacío VacíQ C V

2

o

C V d V SQ dW W W

2 S 2 S

1 Q

2d2 C

Ejemplo: condensador plano con placas de área S, distancia entre ellas d e inicialmente vacío.

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d)¿quién aporta el trabajo necesario para el cambio de energía electrostática en los casos b) y c) respecto de la situación inicial a)?

a) Condensador vacío c) Introducimos el dieléctrico a Q=cte

b) La fuente mantiene la ddp constante para que no dismi-nuya la ddp al introducir el dieléctrico, aumenta la carga.

c) El dieléctrico se ve atraído al introducirlo la ddp entre elec-trodos disminuye ya que las placas están aisladas (Q=cte)

2.2. Deducción de la energía acumulada en el condensador (en función del E y D en su interior)

19

Deduciremos la energía potencial eléctrica WE para un condensador plano, pero el resultado será aplicable a cualquier condensador.

2E

SV E d; C

d1 1 S

W C V2 2 d

2 2E d

volumenEdonde 0

2

E

E

1 1E Sd E E Volumen

2 2

1W D E = volumen entre placas

2En general, cuando tenemos un sistema donde E ct

1W

e o D cte,

debemos utilizar una integral de volumen:

expres D d E

2

ión válida para cualquier

sistema, sea o no condensador

2.3. Densidad de energía electrostática asociada a un campo eléctrico

20

Hemos visto una expresión para calcular la energía almacenada en un volumen de dieléctrico

A partir de la expresión anterior puedo definir la densidad de energía o energía por unidad de volumen que puede asociarse a un punto del espacio

Notación:W (mayúscula): energía total del sistemaw (minúscula): energía por unidad de volumen, propiedad

puntual (letra griega tau): volumen (se utiliza para no confundirlo

con V)

volumenE EdondeE 0

Si E y D son constantes Si E cte o D cteen un dieléctrico (fórmula general)

1 1W D E W D E d

2 2

EE

0

W 1w densidad de energía electrostática lim D E

2

Observaciones sobre la densidad de energía electrostática asociada a un campo eléctrico

21

La densidad de energía revoluciona el concepto de energía visto hasta ahora, que asociaba la energía a las cargas y al potencial en el punto donde se ubicaban.Ahora asociamos la energía a puntos del espacio con D y E no nulos, en los que puede haber o no cargas. Para obtener la energía total de sistema hay que integrar la densidad de energía al volumen donde sea no nula.

Para condensadores planos, D y E son constante en el dieléctrico, por lo que obtenemos la fórmula del apdo. 2.2

volumenE EdondeE 0

W w d

E

volumenE E E E dielec dieléctricodielecw cte endondeE 0 el dieléctrico

1W w d w d w D E

2

Más observaciones...

22

La densidad de energía también tiene la ventaja de permitir el cálculo de energías acumuladas en regiones del espacio sin tener que conocer la distribución de las cargas que crean el campo.La capacidad se puede calcular a través de la energía almacenada en un condensador.Cuando E 0, existe densidad de energía > 0

Si queremos crear un E en una región del espacio, necesitaremos energía.

Crear un campo eléctrico cuesta energía. Por ejemplo, si utilizamos una antena para crear un campo eléctrico (p. ej. teléfono móvil), tendremos que aportar energía (de la batería).

¿Cómo creamos un campo variable? El caso más sencillo: un condensador que lo

tenemos conectado a una fuente de alterna

Cables con señal alterna. Cargas moviéndose (por ejemplo, en una antena)

http://webphysics.davidson.edu/Applets/Retard/Retard.htmlhttp://micro.magnet.fsu.edu/primer/java/electromagnetic/index.html http://micro.magnet.fsu.edu/primer/java/polarizedlight/emwave/index.html

3- Campos eléctricos variables sobre materiales dieléctricos

23

Va VbE

VaVb

Efecto de un campo eléctrico sobre un dipolo

Modelo dipolar para un dieléctrico polar

24

+-

E

E

F

F

Si variamos muy rápidamente E, no da tiempo a que su polarización siga a E.

Puede aparecer una especie de “rozamiento” al orientarse y parte de la energía eléctrica se disipa en calor.

Este efecto es más importante a algunas frecuencias.

Consecuencia: los dipolos se van alineando según E varía

25

F

F

F

F

Desfase entre el vector polarización P y el

vector campo eléctrico E

26

-1,1

0

E(t)

Ps

P(t)

De la misma forma que en circuitos de corriente alterna se utiliza las impedancias complejas para representar el desfase entre tensión V(t) e intensidad I(t), en electromagnetismo se utiliza la permitividad compleja * para representar el desfase entre D(t) y E(t):

r produce los efectos que hemos estudiado hasta ahora (polarización proporcional al campo eléctrico).i tiene que ver con el desfase de D(t) respecto E(t) y crea, como consecuencia, un calentamiento en el dieléctrico debido a que el dieléctrico, al ser sometido a un campo de cierta frecuencia, no es capaz de orientarse a la vez que varía el campo E.

Descripción matemática del desfase entre E y P: Permitividad dieléctrica

compleja

27

)(j)()( ir*

r() componente real de *()i() componente imaginaria de

*()

donde

Representación de r y i frente a la frecuencia

-5

0

5

10

15

20

25

0 10 20 30 40 50 60 70 80 90 100

r

i

Relajación Resonancia

R.F y Microondas Infrarrojos...

s

Para campos que varían lentamente, tiene el valor que utilizamos en clase.

Para campos que varían muy rápidos, la permitividad tiende a valer lo mismo que la del vacío

En algunas frecuencias, el material sufre un proceso por el cual absorbe energía en forma de calor y la permitividad tiene parte compleja

28

La densidad volúmica de potencia absorbida es proporcional a la frecuencia, a la parte imaginaria de la permitividad del dieléctrico para esa frecuencia, i , y a la amplitud del campo eléctrico aplicado al cuadrado

Potencia absorbida por unidad de volumen en un dieléctrico

29

)(E2

1p i

20

Ventajas del calentamiento porcampos eléctricos

• Calentamiento volumétrico, con densidades de potencia muy elevadas concentradas en la zona de procesamiento.

• Calentamiento selectivo.• Calentamiento uniforme y más rápido.• Ambiente limpio, libre de productos de

combustión. Comparación Microondas vs. R.F• Con R.F. No hay problemas de penetración• Los sistemas de R.F. Presentan mayores

problemas en cuanto a generación de armónicos.• Los sistemas de RF son más problemáticos frente

a la aparición de arcos por utilizar campos mayores

30

Secado industrial de textiles

Ventaja: Ahorro de energía 60 %

Dato: Unidades de secado de 60 kW 13,5 MHzsecan 1500 pares de tirantes/h, tras el proceso de tinte

31

El generador de microondas es un magnetrónLas paredes metálicas del horno forman una cavidad resonante.No deben introducirse objetos metálicos indiscriminadamente.Los recipientes para microondas son un ejemplo práctico de aplicación del calentamiento selectivoFrecuencia de trabajo típica: 2,5 GHzPotencia 1kW

Dibujos extraídos de http:\www:gallawa.com/microtech

Hornos de microondas32

Generación de campos electromagnéticos de alta

frecuencia• Las antenas se utilizan para generar (y también,

para detectar) campos electromagnéticos en aplicaciones de telecomunicaciones.

• Las cargas se mueven en una antena el campo eléctrico dependerá de la posición de las cargas en cada instante.

• Corriente eléctrica = cargas en movimiento hay una corriente por la antena.

• Corriente eléctrica se genera un campo magnético

• Los campos eléctrico y magnético se propagan en el espacio a la velocidad de la luz…

34

Vídeo dipolo oscilante(~ antena ½ onda)

http

://web

.mit.e

du

/jbelch

er/w

ww

/an

im.h

tm

Acumulación de carga en antena ¼

Q máxima, I mínima

Q mínima, I máxima

1

3 4

2

Vista de las líneas de E generadas por una antena

http

://web

.mit.e

du

/jbelch

er/w

ww

/an

im.h

tm

Travelling: Líneas 3D de E generadas en el espacio por una antena en un instante

determinado

http

://web

.mit.e

du

/jbelch

er/w

ww

/an

im.h

tm

Campo emitido por una antena tipo dipolo en el espacio

http

://web

.mit.e

du

/jbelch

er/w

ww

/an

im.h

tm

Onda electromagnética

http

://web

.mit.e

du

/jbelch

er/w

ww

/an

im.h

tm

Espectro electromagnético de frecuencias

41

Espectro electromagnético de frecuencias

42

Enlaces a animaciones Carga constante en movimiento:

http://webphysics.davidson.edu/Applets/Retard/Retard.html Ver una onda electromagnética propagándose

http://micro.magnet.fsu.edu/electromag/java/index.html http://micro.magnet.fsu.edu/primer/java/electromagnetic/

index.htmlwebphysics.davidson.edu/physletprob/northpark/EMWaveLWM.htmlhttp://www.phy.ntnu.edu.tw/java/waveType/waveType.htmlhttp://www.phy.ntnu.edu.tw/java/emWave/emWave.html

Principio básico del funcionamiento de la radiohttp://micro.magnet.fsu.edu/primer/java/radiowavetuner/index.html

Movimiento de una partícula en un campo electromagnético uniforme http://www.phy.ntnu.edu.tw/java/emField/emField.html

Campo eléctrico y magnético dentro de un condensador:http://webphysics.davidson.edu/physletprob/ch9_problems/ch9_8_

emwave/emwave9_8_2.html

43

ResumenUn campo variable sobre un dieléctrico produce absorción de energía en el mismoEl tratamiento matemático de este fenómeno se simplifica si se utiliza notación complejaLa densidad volúmica de potencia absorbida es proporcional a la frecuencia, a la i del dieléctrico para esa frecuencia y a la amplitud del campo eléctrico aplicado al cuadradoEste tipo de calentamiento tiene algunas ventajas respecto a otras técnicas clásicasEste fenómeno tiene aplicaciones en diversos procesos industriales

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